Равновесие оболочки с препятствием под действием нагрузки тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Неймарк, Алексей Борисович

• Неймарк, Алексей Борисович
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Неймарк, Алексей Борисович

Введение

Глава 1. Равновесие арки с препятствием

1.1 Геометрия арки.

1.2 Основные соотношения

1.3 Линеаризованное условие непроникновения.

1.4 Энергетическое пространство.

1.5 Вариационная постановка.

1.6 Существование и единственность решения

Глава 2. Равновесие пологой оболочки модели Власова при наличии препятствия

2.1 Основные соотношения теории пологих оболочек модели Власова.

2.2 Модель жесткого препятствия

2.3 Модель упругого препятствия типа Винклера.

2.4 Энергетические пространства.

2.5 Вариационная постановка.

2.6 Разрешимость.

Глава 3. Равновесие оболочки, заданной в произвольной криволинейной системе координат, с жестким препятствием

3.1 Задача равновесия пологой оболочки при наличии жесткого препятствия в перемещениях

3.1.1 Геометрия срединной поверхности оболочки

3.1.2 Соотношения нелинейной теории пологих оболочек в произвольной криволинейной системе координат

3.1.3 Модель препятствия.

3.1.4 Энергетические пространства.

3.1.5 Вариационная постановка.

3.1.6 Разрешимость.

3.1.7 Обоснование метода конечного элемента.

3.2 Задача равновесия пологой оболочки при наличии жесткого препятствия с функцией усилия.

3.3 Равновесие оболочки при наличии препятствия в рамках линейной теории Нагди.

3.4 Результаты решения частных задач.

3.4.1 Задача с препятствием в случае цилиндрического изгиба.

3.4.2 "Квазианалитическое" решение для одного вида препятствия

3.4.3 Численное решение методом конечно-элементной аппроксимации

3.4.4 Результаты вычислительного эксперимента.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Равновесие оболочки с препятствием под действием нагрузки»

Большинство прикладных задач механики, как правило, не имеют явного решения и поэтому для получения нужного результата приходится прибегать к численным методам решения. Контактные задачи не являются исключением. Многообразие методов исследования контактных задач механики и многообразие постановок таких задач в последнее время резко возросло, что отражают работы [1,9, 51, 52, 56,65, 68, 72, 73, 74, 91]. Соответственно развиваются и численные методы анализа контактных задач [61, 62, 63, 64, 66, 67, 78, 81, 83, 84, 85, 87, 92]. Для численного анализа задачи одним из важнейших является факт существования решения математической постановки проблемы. Важность заключается в том, что, во-первых, существование не является тривиальным фактом, а, во-вторых, поиск решения только при предположении о его существовании может привести к различного рода противоречиям.

Данная диссертационная работа посвящена вопросам существования обобщенных решений статических контактных задач для оболочки с препятствием в случае отсутствия трения. Задачи теории пластин и оболочек являются важным и относительно новым классом задач контактной механики, который находит применение не только в машиностроении и технике, но и в механике композитов [59, 68, 85] и в биомеханике [81]. Трудность решения контактных задач связана с тем, что, как правило, априори неизвестна область контакта, а потому контактные задачи относятся к теории граничных задач со свободной границей. Вопросам, возникающим при решении контактных задач для тонкостенных конструкций, посвящен ряд монографий и журнальных публикаций. Значительный вклад в развитие теории контактных задач для балок, пластин и оболочек внесли такие ученые как В. М. Александров [2], Ю. П. Артюхин [4, 5], В. А. Вабешко [6], М. В. Блох [7], JI. А. Галин [13], Э. И. Григолюк [15, 16], С. Н. Карасев [20], Т. Н. Карпенко [21], С. М. Мхитарян [3], Б. JI. Пелех [38], Г. Я. Попов [40], В. М. Толкачев [42], Эссенбург Ф. [50], С. N. DeSilva [60], D. P. Updike [88] и др. В большинстве работ этих исследователей постановка задачи содержит предположение о виде (форме) зоны контакта, размеры которой определяются некоторыми неизвестными параметрами, а сама задача сводится к решению интегрального уравнения. Контактные задачи для оболочек в этих работах в основном рассмотрены для частного вида оболочек (цилиндрическая, сферическая) и частного вида штампов (плоский, параболический).

Одним из современных подходов к изучению математических вопросов механики является метод обобщенных решений, основанный на вариационной постановке задачи. Контактные задачи в такой постановке сводятся к вариационным неравенствам, теория которых в последнее время находит все больше приложений как для аналитического исследования задачи, так и для проведения вычислительного эксперимента. При этом постановка контактной задачи в виде вариационного неравенства не требует никаких априорных предположений о характере контактного множества.

Впервые задача о контакте деформируемых тел как вариационная задача с ограничениями в виде неравенств была рассмотрена А. Синьо-рини [86]. Результаты А. Синьорини были обобщены Ж.-Л. Лионсом, Ж. Дюво, Г. Фикерой, Г. Стампаккьей, Ж.-Ж. Моро, Д. Киндерлеререм, А. Фридманом и другими в ряде фундаментальных работ по вариационным неравенствам [19, 22, 43, 44, 77]. Одной из привлекательных черт теории вариационных неравенств является ее применимость к большому количеству проблем, имеющих физический интерес: задача теории смазки, стационарная фильтрация жидкости через пористую перегородку, обтекание жидкостью заданного профиля, задачи об управлении температурой, классические задачи и задачи с трением в теории упругости и вязко-у пру гости, задачи теории пластичности, задачи на односторонний изгиб тонких упругих пластин, динамические односторонние задачи для пластин, задачи для жидкости Бингама. Применение теории вариационных неравенств к этим и многим другим задачам можно найти в монографиях Г. Дюво и Ж.-Л. Лионса [19], Д. Киндерлерера и Г. Стам-паккьи [22], А. С. Кравчука [25], П. Панагиотопулоса [37], N. Kikuchi и J. Т. Oden [70] и др.

Исследование контактных задач для тел конечных размеров методом вариационных неравенств Лионса-Стампаккьи было выполнено А.С. Кравчуком [23, 24, 25]. Изгиб прямой балки при ограничениях на ее перемещения в виде неравенств рассмотрено Дж. Чиматти [58] и П. Вилладжио [89]. Задачи изгиба тонких пластин с односторонними ограничениями изучены в [19, 37, 79, 80].

Постановка контактных задач для оболочек в виде вариационных неравенств была рассмотрена Г.И. Львовым [29] и A.M. Хлудневым [45, 46, 47, 48, 69]. В работе [29] предложена вариационная постановка задач равновесия линейной пологой оболочки модели Власова и физически нелинейной оболочки при ограничении в виде неравенства внутри области. A.M. Хлуднев в статьях [45, 46, 47] исследовал вопросы существования и регулярности решения вариационного неравенства для задачи равновесия пологой геометрически линейной оболочки модели Власова с ограничениями в виде неравенств на границе и внутри области, показал отсутствие концентраций напряжений в оболочке. В работе [48] рассмотрена уже нелинейная пологая оболочка модели Власова с ограничениями на границе области. Также A.M. Хлудневым в работе [69] исследованы вопросы существования и регулярности решения для линейной оболочки с включением.

Обобщенная постановка задачи с препятствием в виде вариационного неравенства позволяет использовать разработанный математический аппарат анализа той же задачи, но без препятствия. Многие отечественные и зарубежные ученые уделяли большое внимание созданию такого аппарата для изучения обобщенной постановки краевых задач теории оболочек. Огромный вклад в исследование вопросов существования решения задач равновесия тонких упругих оболочек и ряда других важных вопросов внес И. И. Ворович. Он впервые разработал топологический и вариационный подход в проблеме разрешимости основных краевых задач нелинейной теории пологих оболочек в перемещениях и с функцией усилий. Также И. И. Ворович рассмотрел возможность применения ряда прямых методов для нахождения приближенного решения задач статики нелинейной теории пологих оболочек. Основные результаты, полученные им в этой области, собраны в монографии [10]. Также разрешимость различных краевых задач в обобщенной постановке теории пластин и оболочек исследовалась такими учеными как Ю.А. Дубинский [18], Л.П. Лебедев [12, 26], С.Г. Михлин [30], Н.Ф. Морозов [31, 32], Дж. Перадзе [82], В.И. Седенко [41], Б.А. Шойхет [49], М. Bernadou [53, 54],

P.G. Ciarlet [53], В. Miara [53] , A. Blouza, [55], J.T. Oden [54] и др.

В связи с вышеизложенным представляется актуальной проблема обобщенной постановки задачи равновесия оболочки при наличии препятствия и исследование ее разрешимости с помощью существующего математического аппарата, разработанного для анализа краевых задач теории оболочек. Тем более, что этот аппарат позволяет рассматривать вопросы сходимости широкого круга вычислительных методов, применяемых в механике сплошной среды.

В качестве цели работы были выдвинуты следующие вопросы контактной проблемы оболочки с препятствием под действием нагрузки:

1. Построить математическую модель препятствия, для которой доказать существование решения в случае вариационной постановки контактной задачи, а для линейных теорий оболочек и его единственность.

2. Обосновать применимость предложенной модели препятствия и вариационной постановки контактных задач, для чего продемонстрировать возможность численного решения частных задач на основе предложенной модели и сравнить результаты с известными.

При проведении диссертационной работы использовались методы и идеи вариационного подхода в проблеме разрешимости краевых задач нелинейной теории пологих оболочек, разработанного И. И. Ворови-чем. Основой этого подхода является формулировка вариационной постановки задачи в энергетическом пространстве оболочки, норма которого образована путем выделения из функционала внутренней энергии его квадратичной части, и поиск элемента, минимизирующего функционал полной энергии деформированной оболочки в этом пространстве. При получении "квазианалитического" решения частного случая задачи использовалась техника вариационного исчисления. Для проведения вычислительного эксперимента применялись конечно-элементная аппроксимация и методы квадратичного программирования.

Начальным моментом в исследовании предложенной задачи является ее физическая постановка, заключающаяся в следующем. Изучается равновесие тонкой упругой изотропной оболочки под действием внешней нагрузки. При этом перемещения оболочки при переходе из недеформированного состояния в равновесное ограничены наличием в непосредственной близости от оболочки жесткого неподвижного препятствия. Оно не позволяет точкам оболочки в процессе деформации проникать в область пространства, занимаемую препятствием. Таким образом, в состоянии равновесия оболочки возможен контакт между ней и препятствием, который осуществляется посредством одной из лицевых поверхностей оболочки и поверхностью препятствия. Предполагается, что контакт происходит без трения и возможно скольжение оболочки вдоль поверхности препятствия. Никаких априорных предположений о характере области контакта не делается. Можно отметить два физически различных случая взаимодействия оболочки с препятствием, которые будут объединены математической постановкой. В первом из них недеформи-рованная оболочка и препятствие находятся на некотором расстоянии друг от друга и контакт в этом случае возможен (но не обязателен) в процессе деформации оболочки. Во втором случае оболочка и препятствие изначально находятся в контакте, при этом оболочка уже может быть деформированной. В этом случае может исследоваться деформированное состояние оболочки, возникающее либо только из-за наличия и вдавливания препятствия либо за счет наличия препятствия и дополнительного действия внешней нагрузки.

С математической точки зрения вне зоны контакта выполняются уравнения равновесия оболочки, а в остальной области поверхность оболочки совпадает с поверхностью препятствия. Однако здесь трудность заключается в неизвестности области контакта и контактного взаимодействия, а также в нелинейности задачи даже в случае использования линейной теории оболочки. Поэтому ввиду трудностей, возникающих в связи с использованием уравнений равновесия, решение статической задачи контакта оболочки с препятствием ищется из принципа минимума энергии. Возможность применения этого принципа обусловливается отсутствием трения при контакте, что означает, что при переходе из недеформированного положения оболочки в ее равновесное положение работу совершают только внешние нагрузки. Для осуществления намеченного метода поиска решения выводится условие, определяющее множество возможных перемещений оболочки, то есть условие, гарантирующее непроникновение точек оболочки через поверхность препятствия. Такое условие будем называть условием непроникновения. Данное условие непроникновения имеет вид неравенства и можно говорить, что оно является математической моделью препятствия, так как ограничения, накладываемые препятствием, описываются этим условием. Если условие непроникновения в некоторой точке рассматриваемой области обращается в равенство, то это означает, что в данной точке происходит контакт. Итак, математическая постановка рассматриваемой задачи равновесия оболочки с препятствием сводится к минимизации функционала полной энергии деформированной оболочки на множестве возможных перемещений оболочки. Множество кинематически возможных перемещений определяется условием непроникновения и граничными условиями для компонент вектора смещения оболочки. Для разрешимости задачи точное условие непроникновения линеаризуется, чтобы множество возможных перемещений стало выпуклым. Линеаризованное условие непроникновения имеет геометрическую интерпретацию, заключающуюся в том, что препятствие в каждой точке своей поверхности заменяется касательной плоскостью, построенной в этой точке. Решение разыскивается в энергетическом пространстве оболочки. Такая вариационная постановка называется вариационным неравенством.

Основным моментами при доказательстве существования обобщенного решения являлись: 1) возможность представления функционала полной энергии деформированной оболочки или арки в виде и) = ||и|& + Ф(и)-А(и), где и — поле смещений, Н — энергетическое пространство, Ф(и) — слабо непрерывный функционал в Н, а >1(и) — линейный непрерывный функционал в Н; 2) рост /(и) при росте ||и||н; 3) использование теоремы Цитланадзе о минимуме растущего функционала.

Факты 1), 2) для некоторых используемых моделей оболочки были доказаны в работах И. И. Воровича [10, 12] и Л. П. Лебедева [12, 26]. Тем не менее для полноты изложения доказательства этих фактов приводятся в диссертации с небольшим изменением. Кроме того, при доказательстве некоторых других фактов использовались идеи, заимствованные также в работах И. И. Воровича и Л. П. Лебедева.

Содержание работы состоит из трех глав и приложения. В первой главе доказывается существование и единственность задачи равновесия линейной теории плоской криволинейной арки, являющаяся одномерным вариантом оболочки, при наличии препятствия. На этой модельной задаче были отработаны основные моменты и идеи математической постановки: вывод линеаризованного условия непроникновения, построение энергетического пространства и доказательство разрешимости задачи в обобщенной постановке.

Вторая глава содержит доказательство разрешимости для задачи равновесия нелинейной пологой оболочки модели Власова при наличии жесткого неподвижного препятствия. Параллельно доказывается существование слабого решения задачи равновесия для той же модели оболочки, но при наличии упругого препятствия винклеровского типа.

Третья глава является центральной частью диссертационной работы. В ней рассматривается задача с препятствием для оболочки, заданной в произвольной криволинейной системе координат. В этой главе доказана разрешимость задачи равновесия при наличии жесткого неподвижного препятствия для модели пологой нелинейной оболочки, предложенной В.Т. Коитером [71] и описанной у И.И. Воровича [10], в перемещениях и с функцией усилий. Для задачи в перемещениях обосновано применение конечно-элементного метода для нахождения приближенного решения. Также в третьей главе доказано существование и единственность обобщенного решения задачи равновесия при наличии жесткого препятствия для оболочки в рамках линейной теории Нагди. На основе задачи с препятствием для пологой нелинейной оболочки в перемещениях была рассмотрена задача о цилиндрическом изгибе пологой круговой цилиндрической оболочки при наличии цилиндрического препятствия. Для частного случая этой задачи, когда препятствие параллельно оболочке приводится получение точного решения. Результаты, полученные при рассмотрении линейной теории, сравнивались с результатами, полученными при рассмотрении нелинейной теории. Для этого строились графики зависимости длины зоны контакта от внешней нагрузки и от удаленности препятствия от недеформированного положения оболочки.

Для общего вида цилиндрического препятствия в случае цилиндрического изгиба круговой цилиндрической пологой оболочки была с помощью пакета Optimization системы Matlab разработана численная реализация метода конечного элемента для нахождения приближенного решения. Для сравнения с известными результатами теории контактных задач для тонкостенных конструкций [15] в третьей главе приведены результаты численного анализа задачи о вдавливании штампа постоянной кривизны в пластину в случае цилиндрического изгиба. В качестве сравниваемой величины рассматривался график зависимости длины зоны контакта от перемещения штампа.

Приложение содержит необходимые сведения из функционального анализа, а также наиболее часто употребляемые в работе теоремы и леммы.

В заключении дана сводка основных выводов, полученных в диссертации.

Основные результаты диссертационной работы обсуждались на III Всероссийской конференции по теории упругости (г. Ростов-на-Дону — Азов, 2003), на II канадской конференции по нелинейной механике сплошной среды CanCNSM 2002 (Ванкувер, Канада, 2002), на конкурсах молодых ученых имени академика И. И. Воровича (г. Ростов-на-Дону, 2002, 2004), на научных семинарах кафедры теории упругости Ростовского государственного университета.

По теме диссертации опубликованы статьи [27, 28, 33, 34, 35, 36, 75]. Статьи [27, 28, 33, 75] написаны в соавторстве с научным руководителем профессором Л.П. Лебедевым. В статьях [27, 33] Л.П. Лебедеву принадлежит физическая постановка задачи и выбор метода исследования, а соискателю вывод линеаризованного условия непроникновения, сведение задачи к вариационному неравенству и реализация доказательства теоремы существования и единственности. В статье [28] Л.П. Лебедеву принадлежит идея доказательства разрешимости обобщенной постановки задачи, а соискателю вариационная постановка задачи и реализация доказательства существования обобщенного решения. В статье [75] Л.П. Лебедеву принадлежит постановка задачи и выбор способа обоснования применения конечно-элементного метода, а соискателю реализация обоснования применения конечно-элементного метода на основе теоремы разрешимости.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Неймарк, Алексей Борисович

Заключение.

В диссертации были получены следующие основные результаты.

1. Построена математическая модель жесткого неподвижного препятствия в контактной задаче для оболочки, заданной в произвольной криволинейной системе координат, дана геометрическая интерпретация этой модели.

2. Сформулированы обобщенные постановки задач равновесия при наличии жесткого неподвижного препятствия для линейной теории плоской криволинейной арки, для оболочки в рамках линейной теории Нагди, для нелинейной пологой оболочки модели Власова и для нелинейной пологой оболочки, заданной в произвольной криволинейной системе координат, в случае отсутствия трения при контакте.

3. Доказана теорема разрешимости каждой из вышеуказанных задач в обобщенной постановке, причем в случае использования линейной теории доказана единственность решения.

4. Дано обоснование применения метода конечного элемента для получения приближенного решения вариационной постановки задачи равновесия пологой нелинейной оболочки, заданной в произвольной криволинейной системе координат, с препятствием в случае отсутствия трения при контакте.

5. Для задачи цилиндрического изгиба цилиндрической круговой геометрически нелинейной пологой оболочки при наличии параллельного ей жесткого препятствия построено "квазианалитическое" решение, в случае общего вида препятствия проведено сравнение результатов вычислительного эксперимента с результатами других авторов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Неймарк, Алексей Борисович, 2004 год

1. Алейников С.М., Кутенков Е.В. Развитие метода специальной аппроксимации в контактных задачах теории упругости // Математическое моделирование и краевые задачи, 2004. № 1. С. 9-13.

2. Александров В.М. Некоторые контактные задачи для балок, пластин и оболочек // Инженерный журнал, 1965. Т. 5. № 4. С. 782-785.

3. Александров В.М., Мхитарян С.М. Контактные задачи для тел с тонкими покрытиями и прослойками. М.: Наука, 1983. 487 с.

4. Артюхин Ю.П., Карасев С.И. Применение уточненной теории оболочек при решении контактных задач //В кн.: Теория оболочек с учетом поперечного сдвига. Изд-во Казанского университета, 1977. С. 132-153.

5. Артюхин Ю.П. Контактные задачи взаимодействия мембран с подвижным штампом // Вестник УлГТУ, серия "Естественные науки", 2001. № 3. С. 43-51.

6. Бабешко В.А., Векслер В.Е. Смешанная стационарная задача о ме-ридиальной аксиально-симметричной деформации замкнутой сферической оболочки //В кн.: Расчет оболочек и пластин. Ростов-на-Дону, 1975. С. 180-201.

7. Блох М.В., Цукров С.Я. Об осесимметричном контакте тонких цилиндрических оболочек // Прикладная механика, 1973. Т. 9. № 11. С. 23-28.

8. Власов В.З. Общая теория оболочек и ее приложение в технике. М.; JL: Гостехиздат, 1949. 784 с.

9. Ворович И.И., Александров В.М. Механика контактных взаимодействий. М., Физматлит, 2001. 672 с.

10. Ворович И.И. Математические проблемы нелинейной теории пологих оболочек. М.: Наука, 1989. 373 с.

11. Ворович И.И., Лебедев Л.П. Функциональный анализ. М.: Вузовская книга, 2000. 320 с.

12. Ворович И. И., Лебедев Л.П. О разрешимости нелинейной задачи равновесия пологой оболочки // ПММ, 1988. Т. 52. Вып. 5. С. 814820.

13. Галин Л.А. Контактные задачи теории упругости. М., Гостехиздат, 1953. 332 с.

14. Гельфанд И.М., Фомин С.В. Вариационное исчисление. М., Физмат-гиз, 1961. 228 с.

15. Григолюк Э.И., Толкачев В.М. Контактные задачи теории пластин и оболочек. М., Машиностроение, 1980. 416 с.

16. Григолюк Э.И., Толкачев В.М. Цилиндрический изгиб пластины жесткими штампами // Прикладная математика и механика, 1975. Т. 39. № 5. С. 876-883.

17. Динник А.Н. Устойчивость арок. M.-JL, ОГИЗ Гостехиздат, 1946. 128 с.

18. Дубинский Ю.А. О разрешимости системы сильного изгиба пластинок // ДАН СССР, 1967. Т. 175. № 5. С. 1026-1029.

19. Дюво Г., Лионе Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. М., "Наука", 1980. 384 с.

20. Карасев С.Н., Артюхин Ю.П. Контактное взаимодействие пластин с жесткими телами //В кн.: Исследования по теории пластин и оболочек. Вып. 11. Изд-во Казанского университета, 1975. С. 148159.

21. Карпенко Т.Н. Контактная задача для цилиндрической оболочки конечной длины // Прикладная механика, 1976. Т. 12. № 6. С. 70-75.

22. Киндерлерер Д., Стампаккья Г. Введение в вариационные неравенства и их приложения. М.: Мир, 1983. 256 с.

23. Кравчук А. С. К задаче Герца для линейно- и нелинейно-упругих тел конечных размеров // ПММ, 1977. Т. 41. Вып. 2. С. 329-337.

24. Кравчук А. С. Постановка задачи о контакте нескольких деформируемых тел как задачи нелинейного программирования // ПММ, 1978. Т. 42. Вып. 3. С. 466-474.

25. Кравчук А. С. Вариационные и квазивариационные неравенства в механике. М., Изд-во Московской государственной академии приборостроения и информатики, 1997. 339 с.

26. Лебедев Л.П. О равновесии свободной нелинейной пластины // ПММ, 1980. Т. 44. Вып. 1. С. 161-165.

27. Лебедев Л.П., Неймарк А.Б. Равновесие оболочки при наличии препятствия в рамках теории Нагди // Известия ВУЗов. СевероКавказский регион. Естественные науки. Спецвыпуск. Нелинейные проблемы механики сплошных сред. 2003. С. 244-249.

28. Лебедев Л.П., Неймарк А.Б. Контакт нелинейной пологой оболочки с упругим препятствием типа Винклера // Экологический вестник научных центров черноморского экономического сотрудничества. 2003. Ж. С. 64-67.

29. Львов Г. И. Вариационная постановка контактной задачи для линейно-упругих и физически нелинейных пологих оболочек // ПММ, 1982. Т. 46. Вып. 5. С. 841-846.

30. Михлин С.Г. Проблема минимума квадратичного функционала. М.; JL: Гостехиздат, 1952. 216 с.

31. Морозов Н.Ф. К нелинейной теории тонких пластин // ДАН СССР, 1957. Т. 114. № 5. С. 968-971.

32. Морозов Н. Ф. К нелинейным задачам теории тонких пластин с осями симметрии // ДАН БССР, 1963. Т. 7. № 6.

33. Неймарк А.Б., Лебедев Л.П. Равновесие арки с препятствием // Известия ВУЗов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки, 2001. т. С. 67-71.

34. Неймарк А.Б. Односторонние ограничения для пологой нелинейной упруго закрепленной оболочки // Труды III Всероссийской конференции по теории упругости с международным участием, 2003. Ростов-на-Дону — Азов. С. 272-275.

35. Паиагиотопулос П. Неравенства в механике и их приложения. М.: Мир, 1989. 494 с.

36. Пелех E.JI. Некоторые особенности постановки и решения контактных задач о взаимодействии упругих цилиндрических оболочек с твердыми жесткими телами //В кн.: Избранные проблемы прикладной механики, М., 1974. С. 559-566.

37. Погорелое А.В. Дифференциальная геометрия. М., Наука, 1974. 176 с.

38. Попов Г. Я. Об интегральных уравнениях контактных задач для тонкостенных элементов // Прикладная математика и механика, 1976. Т. 40. № 4. С. 662-673.

39. Седенко В. И. Классическая разрешимость начально-краевой задачи нелинейной теории колебаний пологих оболочек // Известия РАН, сер. математическая, 1996. Т. 60. № 5. С. 157-190.

40. Толкачев В.М. Контактная задача для сферической цилиндрической оболочки //В кн.: Теория пластин и оболочек. М., Наука, 1971. С. 271-277.

41. Фикера Г. Теоремы существования в теории упругости. М., Мир, 1974. 160 с.

42. Фридман А. Вариационные принципы и задачи со свободными границами. М., Наука, 1990. 535 с.

43. Хлудпев A.M. Существование и регулярность решения односторонних краевых задач линейной теории пологих оболочек // Дифференциальные уравнения, 1984. Т. 20. № И. С. 1968-1975.

44. Хлудпев A.M. О вариационном неравенстве для оператора пологих оболочек с ограничением на границе // ПММ, 1987. Т. 51. Вып. 2. С. 345-348.

45. Хлудпев A.M. Вариационный подход к проблеме контакта пологой оболочки с жестким телом // В кн.: Дифференциальные уравненияс частными производными (Труды семинара C.JL Соболева). Новосибирск, 1981. № 2. С. 109-114.

46. Хлуднев A.M. Краевые задачи для пологих оболочек с условиями Синьорини на границе // Динамические задачи сплошной среды, 1981. Вып. 53. С. 151-162.

47. Шойхет Б.А. О теоремах существования в линейной теории оболочек // ПММ, 1974. Вып. 3. С. 567-571.

48. Эссенбург Ф. О принудительно изогнутых пластинках // Прикладная механика. Серия Е, 1962. Т. 29. № 2. С. 136-140.

49. Abdou М.А., Badr A.A. On a method for solving an integral equation in the displacement contact problem // Applied Mathematics and Computation, 2002. V. 127. № 1. P. 65-78.

50. Antes H., Stavroulakis G.E. Nonlinear equation approach for inequality elastostatics: a two-dimensional BEM implementation // Computers and Structures, 2000. V. 75. № 6. P. 631-646.

51. Bernadou M., Ciarlet P.G., Miara B. Existence theorems for two-dimensional linear shell theories //J. Elasticity, 1994. V. 34. P. 111-138.

52. Bernadou M., Oden J.T. An existence theorem for a class of nonlinear shallow shell problems // Journal de Mathematiques Pures et Appliquees, 1981. V. 60. P. 285-308.

53. Blouza A., Le Dret H. Naghdi's shell model: existence, uniqueness and continuous dependence on the midsurface //J. Elasticity, 2001. V. 64. P. 199-216.

54. Bosakov S. V. Solving the Contact Problem for a Rectangular Die on an Elastic Foundation // International Applied Mechanics, 2003. V. 39. № 10. P. 1188-1192.

55. Ciarlet P.G. Mathematical elasticity. Volume III: Theory of shells. Amsterdam. North-Holland publishing, 2000. 599 pp.

56. Cimatti G. The constrained elastic beam // Meccanica, 1973. V. 8. P. 119-129.

57. Costa L., Fernandes L., Figueiredo I., Judice J., Leal R., Oliveira P. Multiple- and single-objective approaches to laminate optimization with genetic algorithms // Structural and Multidisciplinary Optimization, 2004. V. 27. № 1-2. P. 55-65.

58. DeSilva C.N., Tsai P.J. On the contact problem of thin elastic shells / / Zeitschrift fur angewandte Mathematik und Mechanik Meccanica, 1969. V. 49. № 5. S. 267-273.

59. Dostal Z., Haslinger J., Kucera R. Implementation of the fixed point method in contact problems with Coulomb friction based on a dual splitting type technique // Journal of Computational and Applied Mathematics, 2002. V. 140. № 1-2. P. 245-256.

60. Eck C., Wohlmuth B. Convergence of a Contact-Neumann Iteration for the Solution of Two-Body Contact Problems // Mathematical Models and Methods in Applied Sciences, 2003. V. 13. № 8. P. 1103-1118.

61. Gu R.J., Murty P., Zheng Q. Use of penalty variable in finite element analysis of contacting objects // Computers and Structures, 2002. V. 80. № 31. P. 2449-2459.

62. Han W., Kuttler K.L., Shillor M., Sofonea M. Elastic beam in adhesive contact // International Journal of Solids and Structures, 2002. V. 39. № 5. P. 1145-1164.

63. Hassani R., Hild P., Ionescu I.R., Sakki N.-D. A mixed finite element method and solution multiplicity for Coulomb frictional contact //

64. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2003. V. 192. № 41-42. P. 4517-4531.

65. Hild P., Laborde P. Quadratic finite element methods for unilateral contact problems // Applied Numerical Mathematics, 2002. V. 41. № 3. P. 401-421.

66. Ни W., Zhang X., Meng Q. Energy approach to a linearization contact problem of simply supported cross-ply laminated composite plate // International Journal of Solids and Structures, 2002. V. 39. № 23. P. 5851-5863.

67. Khludnev A.M. On a Signorini problem for inclusions in shells // Euro. Jnl. of Applied Mathematics, 1996. V. 7. P. 499-510.

68. Kikuchi N., Oden J. T. Contact problems in elasticity: a study of variational inequalities and finite elements. SIAM, Philadelphia, 1988.

69. Koiter W.T. On the nonlinear theory of thin elastic shells, I, II, III // Nederlandse Akademie van Wetenschappen Proceeding, 1966. V. B69. P. 1-54.

70. Konyukhov A., Schweizerhof K. Contact formulation via a velocity description allowing efficiency improvements in frictionless contact analysis // Computational Mechanics, 2004. V. 33. № 3. P. 165-173.

71. Kulikov G.M., Plotnikova S.V. Contact problem for Timoshenko-type shell undergoing arbitrarily large displacements and rotations // Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 2003. V. 67. № 6.

72. Kuttler K.L., Renard Y., Shillor M. Models and simulations of dynamic frictional contact of a beam // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 1999. V. 177. № 3-4. P. 259-272.

73. Lebedev L.P., Neymark А.В. A finite element analysis of a nonlinear shell with boundary restrictions // 2nd Canadian Conference on Nonlinear Solid Mechanics. June 19-June 23 2002, Vancouver. Vol. II. P. 675-684.

74. Lebedev L.P., Vorovich I.I. Functional analysis in mechanics. New York. Springer-Verlag, 2002. 238 pp.

75. Lions J.L., Stampacchia G. Variational inequalities // Comm. Pure Appl. Math., 1967. V. 20. № 3. P. 493-519.

76. Naumann J. An existence theorem for the von Karman equation under the condition of free boundary // Apl. mat., 1974. V. 19. № 1. P. 17-27.

77. Naumann J. On some unilateral boundary value problems in non-linear plate theory // Beitrage zur Analysis, 1977. V. 10. P. 119-134.

78. Nedoma J., Klezl Z., Fousek J., Kestranek Z., Stehlik J. Numerical simulation of some biomechanical problems // Mathematics and Computers in Simulation, 2003. V. 61. № 3-6. P. 283-295.

79. Odisharia V., Peradze J. Solvability of a nonlinear problem of Kirchhoff shell // Inst. Math. Its Appl. Univ. Minnesota, N 1359, Minneapolis, USA, 1995. P. 1-9.

80. Sackfield A., Mugadu A., Barber J.R., Hills D.A. The application of asymptotic solutions to characterising the process zone in almost complete frictionless contacts // Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 2003. V. 51. № 7. P. 1333-1346.

81. Schoberl J. Efficient contact solvers based on domain decomposition techniques // Computers and Mathematics with Applications, 2001. V. 42. № 8-9. P. 1217-1228.

82. Selvadurai A.P.S. On an invariance principle for unilateral contact at a bimaterial elastic interface // International Journal of Engineering Science, 2003. V. 41. № 7. P. 721-739.

83. Signorini A. Sopra alcune guestioni di elastostatica. Atti Soc. Ital. Progresso Sci., 1933.

84. Sun H., Yao W. Virtual boundary element-linear complementary equations for solving the elastic obstacle problems of thin plate // Finite Elements in Analysis and Design, 1997. V. 27. № 2. P. 153-161.

85. Updike D.P., Kalnins A. Contact pressure between an elastic spherical shells and a rigid plate // Transactions of the ASME. Series E. Journal of Applied Mechanics, 1974. V. 41. № 4. P. 969-973.

86. Villaggio P. Monodimensional solids with constrained solutions.// Meccanica, 1967. V. 2. P. 65-68.

87. Vorovich I.I., Lebedev L.P. On the finite element method in the nonlinear shallow shell theory // Russian Journal of Computational Mechanics, 1993. № 1. P. 85-106.

88. Wozniak M., Hummel A., Pduh V.J. Axisymmetric contact problems for an elastic layer resting on a rigid base with a Winkler type excavitation // International Journal of Solids and Structures, 2002. V. 39. № 15. P. 4117-4131.

89. Xiaoming G., Roulei Z. , Yinghe S. On the mathematical modeling for elastoplastic contact problem and its solution by quadratic programming // International Journal of Solids and Structures, 2001. V. 38. № 44-45. P. 8133-8150.