Исследование напряженно-деформированного состояния оболочек статическим методом тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Стрельникова, Светлана Николаевна

• Стрельникова, Светлана Николаевна
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Стрельникова, Светлана Николаевна

ВВЕДЕНИЕ

ОГЛАВЛЕНИЕ

ГЛАВА 1 СТАТИЧЕСКАЯ ВАРИАЦИОННАЯ ПОСТАНОВКА

ПЛОСКО - НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ МЕТОДОМ

КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ.

1.1 ВАРИАЦИОННОЕ УРАВНЕНИЕ КАСТИЛЬЯНОДЛЯ ПЛОСКОГО НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ.

1.2 ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ПРИ РЕШЕНИИ ВАРИАЦИОННОГО УРАВНЕНИЯ КА СТИЛЬЯНО.

1.3 ФОРМИРОВАНИЕ МЖЭ и МЖС.

1.4 ПОСТРОЕНИЕ АНСАМБЛЯ.

1.4.1 Учет заданных перемещений.

А.2Учет заданных устий.

ГЛАВА 2 РАСЧЕТ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ СТАТИЧЕСКИМИ МЕТОДАМИ С ПРИМЕНЕНИЕМ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ.

2.1 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ МКЭ ПРИ СТАТИЧЕСКОМ РАСЧЕТЕ КОНСТРУКЦИЙ.

2.2 РАСЧЕТ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ОБОЛОЧЕК.

2.3 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ФУНКЦИЙ НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ РАСЧЕТЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК МКЭ.

ГЛАВА 3 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МКЭ ПРИ РАСЧЕТЕ ИЗГИБА

ПЛАСТИН СТАТИЧЕСКИМИ МЕТОДАМИ.

3.1 ПОСТАНОВКА ЗАДА ЧИ.

3.3 КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНАЯ ПОСТАНОВКА ВАРИАЦИОННОЙ

ЗАДАЧИ.

3.3 УЧЕТ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ.

ГЛАВА 4 РАСЧЕТ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК СТАТИЧЕСКИМ

МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ.

4.1 ПОСТАНОВКА ЗАДА ЧИ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ.

4.2 РАСЧЕТ ПОЛОГОЙ ОБОЛОЧКИ, ЖЕСТКО ЗАКРЕПЛЕННОЙ ПО

ВНЕШНЕМУ КОНТУРУ.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование напряженно-деформированного состояния оболочек статическим методом»

Большинство конструкций, применяемых в технике, работают в условиях, при которых напряженно-деформированное состояние не выходит за пределы упругости. Однако, большинство задач упругости сводятся к системе дифференциальных уравнений, которые аналитическими методами не могут быть решены. Распространенные приближенные методы решения основываются на вариационных принципах упругости, среди которых наибольшее применение получили кинематический принцип Лагранжа и статический принцип Кастильяно [4, 14,24,26].

Кинематические методы расчета получили наибольшее распространение в связи с тем, что в общем случае на три основные переменные накладываются ограничения, которые могут быть удовлетворены с достаточной степенью вероятности. В статических вариационных принципах не только присутствует большее количество ограничений и переменных, но и сами ограничения, накладываемые на них, имеют более сложный характер. Это объясняет предпочтение, которое отдают исследователи кинематическим методам.

К универсальным, эффективным методам решения кинематических вариационных уравнений необходимо отнести метод конечных элементов, теоретическая разработка которого заложена в работах [2, 3, 5, 9, 10, 11, 12,14, 19,20, 22,24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 38, 42].

В этих работах при расчете напряженно-деформированного состояния упругих тел перемещения аппроксимируются на множестве конечных элементов и в результате решения задачи определяются кусочно-лоскутные поля деформаций и напряжений. Поле напряжений при этом оказывается разрывным на границе элементов и граничные условия для напряжений выполняются не строго. При расчете оболочечных конструкций и пластин аппроксимации перемещений вводятся в виде несогласованных функций формы [1,5, 11,20, 26, 42].

В большинстве задач при расчете напряженно-деформированного состояния конструкций требуется определить как раз напряженное состояние. В связи с указанными трудностями решения вариационных статических уравнений количество таких попыток в настоящее время незначительно, тем не менее, они есть и эта проблема начинает привлекать внимание исследователей [15, 16].

Одной из наиболее важных в теории оболочек является задача определения напряжений, по величине и характеру распределения которых можно составить представление о "работоспособности" оболочечной конструкции (расчет на прочность). На стадии формирования разрешающих уравнений теории оболочек, исходя из концепции сведения последней как трехмерного тела к ее двумерной модели (срединной поверхности), в качестве характерик напряженного состояния были введены усилия и моменты [6, 17, 18,21].

В работе [9] предпринята попытка расчета плоской задачи методом конечных элементов в напряжениях, где в качестве основной переменной принимается вторая смешанная производная касательных напряжений.

Настоящая работа посвящена применению метода конечных элементов к решению статических вариационных уравнений, в качестве основных искомых функций рассматриваются функции напряжений, с помощью которых автоматически удовлетворяются уравнения равновесия, а поле напряжения в теле при соответствующих аппроксимациях искомых функций оказывается непрерывным и уравновешенным с внешними нагрузками.

Целью настоящей работы является применение статических вариационных уравнений к расчету упругих конструкций и применение метода конечных элементов к их решению: выбор формы используемых элементов и аппроксимирующих функций для конкретных типов оболочек; вычисление функционала Кастильяно через вектор узловых параметров функций напряжения; получение системы для определения узловых параметров. Глава 1.

В классической теории оболочек закон Гука принимается в виде, аналогичном закону Гука для плоского напряженного состояния. В первой главе рассматривается постановка плоской задачи в напряжениях. Вариационный принцип Кастильяно выписывается относительно функций напряжений, которые при конечно-элементной аппроксимации представляется с помощью полиномов Эрмита. Получены матрицы жесткости элементов, описан метод формирования матрицы жесткости системы и рассмотрены различные граничные условия, с учетом которых вариационный принцип Кастильяно дает систему линейных уравнений для узловых параметров функций напряжений.

Полученная задача может быть использована при расчете пластин, нагруженных в своей плоскости.

В качестве численного примера рассмотрено поперечное нагружение защемленной по всему контуру прямоугольной пластины под действием равномерно распределенной нагрузки. В ПРИЛОЖЕНИЯХ 9,10 приведены графики изгибающих моментов, проведено сравнение с известными результатами [39]. Глава 2.

Глава 2 посвящена расчету тонких оболочек статическим методом. В качестве метода вычислений выбран метод конечных элементов, который позволяет разработать алгоритм решения задачи, универсальный для различных граничных условий и нагружений оболочки. При использовании статических методов, уравнения равновесия выполняются строго для каждого элемента и могут быть точно учтены статические граничные условия. Для оболочек статически допустимые решения могут быть получены с помощью функций напряжения с использованием статико-геометрической аналогии [6, 17, 40]. Это позволяет выразить все статические величины через функции напряжений. Последние могут быть получены, если в вариационное уравнение Кастильяно ввести усилия и моменты, выраженные через три функции напряжения. Анализируя характер функционала, выбирается для каждой функции напряжения свой тип аппроксимирующего полинома в зависимости от того, какие производные функции напряжения входят в функционал. Две из этих функций напряжения входят вместе со своими производными первого порядка и аппроксимируются полиномами Лагранжа, третья функция входит вместе с производными второго порядка и аппроксимируется полиномом Эрмита. Ввиду сказанного следует, что в качестве конечного элемента нужно выбрать четырехугольный элемент, ограниченный двумя парами близких координатных линий на срединной поверхности. С помощью локальных изопараметрических координат этот элемент может быть преобразован в прямоугольный.

После введения локальных координат для построения аппроксимирующих функций используются стандартные полиномы Лагранжа и Эрмита.

Элементарные вклады в функционал Кастильяно вычисляются для каждого элемента через его узловые параметры. После суммирования получаем функционал Кастильяно как квадратичную функцию второго порядка относительно узловых параметров системы. В параграфе 2.2 приведены подробные выкладки для осесимметричных оболочек и обсуждаются варианты граничных условий.

Постановка задач несимметричного напряженного состояния оболочек содержится в параграфе 2.3, где поводится расчет незамкнутых цилиндрических оболочек методом конечных элементов. В этом случае рассматриваются двумерные полиномы Лагранжа и Эрмита. Получено выражение усилий и моментов через узловые параметры элементов.

Кроме того, рассмотрено осесимметричное нагружение незамкнутой цилиндрической оболочки, на примере которой обсуждается учет граничных условий и формирование ансамбля задачи. Глава 3.

Задача поперечного изгиба пластин не допускает наличия безмоментного состояния, ее особенности обсуждаются в главе 3. Дается конечно-элементная постановка вариационной задачи, исследуются контактные усилия на сторонах элементов пластины при разбиении области ее срединной поверхности на прямоугольные элементы. Показано, что на граничных сторонах элементов изгибающие моменты непрерывны, а сдвиговые усилия разбиваются на две части: заданные через аппроксимирующие полиномы и через частные решения уравнений равновесия. Суммарные поперечные усилия, соответствующие общему решению уравнения равновесия на сторонах элементов равны 0, а частные решения, заданные аналитически, обеспечивают непрерывность сдвиговых усилий на границе элементов. Рассмотрены различные варианты граничных условий и выписаны ограничения на узловые параметры, которые позволяют удовлетворить статические граничные условия. Глава 4.

Глава 4 диссертации посвящена расчету пологих оболочек статическим методом конечных элементов. Пологими считаем оболочки, внутренняя геометрия срединной поверхности которой совпадает с геометрией плоскости, что позволяет ввести в срединной плоскости прямолинейные координаты и упрощает уравнения равновесия. Для пологих оболочек выписаны зависимости усилий и моментов от функций напряжения, "вектора напряжений" через узловые параметры прямоугольного элемента, получено выражение элементного вклада. В качестве примера приведен расчет жестко закрепленной пологой оболочки и проведено сравнение результатов с напряженным состоянием жестко закрепленной прямоугольной пластины.

На защиту выносятся следующие научные положения и результаты: постановка плоской задачи упругости методом конечных элементов, формулировка основных матриц элементов, формирование ансамбля для определения основных параметров; расчет поперечного изгиба пластины методом конечных элементов, исследование особенностей рассматриваемой задачи в постановке метода конечных элементов; постановка статического расчета оболочек с помощью функций напряжений, применение метода конечных элементов к подобным задачам; расчет напряженного состояния цилиндрических оболочек методом конечных элементов; расчет пологих оболочек методом конечных элементов.

Актуальность темы данной диссертации определяется необходимостью прочностных расчетов упругих конструкций. Развитие вычислительной техники и численных методов сделало возможным использование статических вариационных методов, которые до этого редко были доступны для практических расчетов.

Научная новизна работы заключается в следующем: создана методика расчета напряженного состояния упругих тел с использованием функции напряжений; разработан алгоритм решения задач методом конечных элементов; сформулирована статическая задача метода конечных элементов для плоской задачи упругости; сформулирована статическая постановка расчета напряженного состояния пластин и оболочек методом конечных элементов.

Методы исследования:

Теоретические исследования выполнены с использованием методов теоретической упругости, теории пластин и оболочек, метода конечных элементов. При решении конкретных задач использовалась вычислительная схема метода конечных элементов.

Практическая значимость работы:

Предложенная методика расчета напряженного состояния приводит к более точной оценке прочности конструкций, в дальнейшем может быть использована в ряде технологических задач.

Достоверность полученных результатов обеспечена корректной постановкой задачи, использованием строгого аппарата теории упругости, выбором наиболее надежных и эффективных методов математического моделирования, основанных на применении функции напряжений как способа получения равновесного и непрерывного поля напряжений.

Апробаиия работы. Основные положения диссертационной работы были представлены в виде докладов и обсуждались: на Международной конференции «Математика. Образование. Экология. Тендерные проблемы» (Воронеж, май 2003 г.). на V Российской конференции с международным участием «Смешанные задачи механики деформируемого тела» (Саратов, август 2005 г.). на международной школе-семинаре «Современные проблемы механики и прикладной математики» (Воронеж, сентябрь 2005 г.). на научной сессии ВГУ (Секция механики сплошных сред, Воронеж, 2005 г.); на международной научной конференции «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» (Воронеж, декабрь 2005 г.).

Публикаиии. Результаты диссертации опубликованы в 7 работах.

Объем и структура диссертаиионной работы. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения, 15 приложений и списка литературы, включающего 42 наименования. Объем диссертации составляет 139 страниц и включает в себя: 94 страницы основного текста, 40 страниц с приложениями, 5 страниц списка литературы.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Стрельникова, Светлана Николаевна

Выход

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Сформулируем основные результаты и выводы диссертационной работы:

1. В представленной работе предлагается использование статического вариационного принципа Кастильяно для расчета оболочек с введением функции напряжения для определения общего решения однородной системы уравнений равновесия.

2. Статически допустимые обобщенные усилия определяются в виде суммы общего решения однородной системы и частного решения неоднородной системы уравнений равновесия. Рассмотрены различные варианты выбора частного решения в зависимости от постановки задач с учетом возможности или невозможности применения в качестве частного решения безмоментного напряженного состояния.

3. Рассмотрен вариант решения вариационного уравнения методом конечных элементов. Потенциал Кастильяно вычисляется через функции напряжений и частные решения; выбираются для каждой функции аппроксимирующие полиномы, формы элемента и узловые параметры.

4. Предлагается использовать изопараметрические элементы, что приводит к возможности введения локальных координат. Это, в свою очередь, позволяет провести на уровне элементов интегрирование в локальных системах координат и построение матрицы жесткости элементов через универсальные матрицы, вычисленные в работе.

5. Показано, что на границе элементов, форма аппроксимации обобщенных усилий обеспечивает не только равновесие элемента, но и непрерывность контактных напряжений на границе элементов.

6. Рассмотрена постановка задач плоско-напряженного состояния деформации оболочки, изгиба пластин, расчета пологих оболочек. Обсуждается учет граничных условий на краях пластины или оболочки.

7. Проведены расчеты для жестко защемленной по краям пологой оболочки и прямоугольной пластины. Проведены сравнения полученных результатов с результатами, известными ранее.

Расчет пологой оболочки показывает чувствительность полученной системы к особенностям напряженного состояния оболочки. Например, наличие усилий деформации срединной поверхности выявляется, даже если частное решение не учитывает их.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Стрельникова, Светлана Николаевна, 2006 год

1. Александров А.В. Строительная механика. Тонкостенные пространственные системы / А.В. Александров, Б.Я. Лащеников, Н.Н. Шапошников - М.: Стройиздат, 1983. - 488 с.

2. Аргирис Дж.Г. Вычислительные машины и механика/ Дж.Г. Аргирис // Теоретическая и прикладная механика: Труды XIV Международного конгресса IUTAM. 1979. - С. 15-100.

3. Бате К. Численные методы анализа и метод конечных элементов / К. Бате, Е. Вилсон. М.: Стройиздат, 1982. - 448 с.

4. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности: Пер. с англ. / К. Васидзу. М.: Мир, 1987. - 542 с.

5. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы / Р.Галлагер. -М.: Мир, 1984.-428 с.

6. Гольденвейзер А.Л. Уравнения теории тонких оболочек / А.Л. Гольденвейзер // ПММ. 1940. - Т. 4, вып. 2. - С. 35-42.

7. Гольденвейзер А.Л. Теория упругих тонких оболочек / А.Л. Гольденвейзер. Главная редакция физ-мат литературы изд-ва «Наука», 1976.-512 с.

8. Демидов С.П. Теория упругости: Учебник для вузов / С.П.Демидов. М.: Высш. школа, 1979. - 432 с.

9. Друмев В. Едно решение на рабнинната задача по метода на крайните елементи в напряжения / В.Друмев // Строительство. 1996. - Т. 43, №4.-С. 13-19.

10. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике / О. Зенкевич. М.: Мир, 1975. - 544 с.

11. Зенкевич О. Конечные элементы и аппроксимация: Пер. с англ. / О.Зенкевич, К.Морган. М.: Мир, 1986. - 318 с.

12. Зенкевич О. Метод конечных элементов в теории сооружений и в механике сплошных сред / О.Зенкевич, И.Чанг. М. : Недра, 1974. -238 с.

13. Колкунов Н.В. Основы расчета упругих оболочек / Н.В.Колкунов. М.: Высшая школа, 1972. - 296 с.

14. Лейбензон Л.С. Вариационные методы решения задач теории упругости / Л.С.Лейбензон. М.: Л., 1943. - 287 с.

15. Леонтьев В.Л. Метод конечных элементов. Смешанные вариационные формулировки / В.Л. Леонтьев. Ульяновск: Изд-во Средневолжского научного центра, 1998. - 168 с.

16. Леонтьев В.Л. Сеточные методы расчета криволинейных стержней / В.Л. Леонтьев, Мелентьев // Математическое моделирование,. -2003. Т. 15, № 10. - С. 95-104.

17. Лурье А.И. Общая теория упругих тонких оболочек / А.И.Лурье // ПММ. 1940. - Т. 4, вып. 2. - С. 7-34.

18. Новожилов В.В. Линейная теория тонких оболочек / В.В. Новожилов, К.Ф. Черных, Е.И. Михайловских. Л. : Политехника, 1991. — 656 с.

19. Норри Д. Введение в метод конечных элементов / Д. Норри, Ж. де Фриз. М.: Мир, 1981.

20. Образцов И.Ф. Метод конечных элементов в задачах строительной механики летательных аппаратов: учеб. пособие для студентов авиац. спец. вузов / И.Ф. Образцов, Л.М. Савельев, Х.С. Хазанов. М.: Высш. шк., 1985. - 392 с.

21. Огибалов П.М. Пластины и оболочки / П.М. Огибалов, М.А. Колтунов. М.: Изд-во МГУ, 1969.

22. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред / Дж. Оден. М.: Мир, 1976. - 464 с.

23. Пискунов В.Г. Расчет неоднородных пологих оболочек и пластин методом конечных элементов / В.Г. Пискунов, В.Е. Вериженко, В.К. Присяжнюк, B.C. Сипетов, B.C. Карпиловский. Киев : Изд-во при Киев, ун-те ИО Вища школа, 1987. - 199 с.

24. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела / Ю.Н. Работнов. М.: - Наука, 1988. - 711 с.

25. Рикардс Р.Б. Метод конечных элементов в теории оболочек и пластин / Р.Б. Рикардс. Рига: Зинатне, 1988. - 284 с.

26. Розин Л.А. Задачи теории упругости и численные методы их решения / JI.A. Розин. СПб.: Изд-во СПбГТУ, 1998. - 532 с.

27. Сабоннадьер Ж.-К. Метод конечных элементов и САПР / Ж.-К. Сабоннадьер, Ж.-Л. Кулон. -М.: Мир, 1989.

28. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов / Л. Сегерлинд. М.: Мир, 1979.

29. Смирнов А.Ф. Расчет сооружений с применением вычислительных машин / А.Ф. Смирнов, А.В. Александров, Н.Н. Шапошников, Б.Я. Лащеников. М.: Стройиздат, 1964. - 380 с.

30. Современные методы расчета сложных статически неопределимых систем : сб. статей Дж. Г. Аргироса, С. Келси и др. / под ред. А.П. Филина. Л.: Судпромгиз, 1961. - 876 с.

31. Стрельникова С.Н. Использование МКЭ при расчете изгиба пластин статистическими методами / Т.Д. Семыкина, С.Н. Стрельникова // Вестн. Чувашского Гос. пед. ун-та им. И.Я. Яковлева. — Чебоксары, 2006. — № 1 (48).-С. 134-138.

32. Стрельникова С.Н. Использование статических вариационных уравнений при расчете оболочек методами конечных элементов / Т.Д. Семыкина, С.Н. Стрельникова // Математика. Образование. Экология. Тендерные проблемы : международ, конф.,

33. Воронеж, 26-30 мая 2003 г.: материалы конф. — Воронеж, 2003. — Т. 2. — С. 86-91.

34. Стрельникова С.Н. К применению МКЭ при использовании статистических вариационных принципов расчета конструкций / С.А.Вульман, Т.Д. Семыкина, С.Н. Стрельникова // Вестн. Воронеж, гос. ун-та. Сер. Физика, математика. — 2003. — № 2. — С. 132-135.

35. Стрельникова С.Н. Расчет пологих оболочек статическим методом конечных элементов / Т.Д. Семыкина, С.Н. Стрельникова // Теоретическая и прикладная механика : межведом, сб. науч.-метод. статей. -Минск, 2005.-Вып. 19.-С. 145-149.

36. Стренг Г. Теория метода конечных элементов / Г. Стренг, Дж. Фикс. М.: Мир, 1977. - 349 с.

37. Тимошенко С.П. Пластины и оболочки / С.П. Тимошенко, С. Войновский-Кригер. М.: Физматгиз, 1963. - 636 с.

38. Чернина B.C. Статика тонкостенных оболочек вращения / B.C. Чернина. М.: Наука, 1968.-452 с.

39. Черных К.Ф. Линейная теория оболочек : в 2-х т. / К.Ф. Черных. Л.: Изд-во ЛГУ, 1962. - Т. 1. - 272 с.

40. Шапошников Н.Н. Расчет машиностроительных конструкций на прочность и жесткость / Н.Н. Шапошников, Н.Д. Тарабасов, В.Б. Петров, В.И. Мяченков. М.: Машиностроение, 1981. - 333 с.