Вопросы единственности представления функций рядами и интегралами в теории классических ортогональных систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Своровска, Татьяна Александровна

• Своровска, Татьяна Александровна
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Своровска, Татьяна Александровна

Введение.

Глава 1. Восстановление функции по её тригонометрическому интегралу.

§1. Вспомогательные результаты из римановской теории тригонометрических рядов и теорема Прейсса-Томсона.

§2. Римановская теория тригонометрических интегралов и теоремы равносходимости.

§3. Восстановление фунции по её тригонометрическому интегралу

Глава 2. Связь множеств единственности для рядов по мультипликативной системе и множеств единственности для мультипликативных преобразований.

§1. Определение мультипликативных систем и их континуальных аналогов.

§2. Теорема о связи множеств единственности для рядов и преобразований

Глава 3. Множества единственности для кратных ортогональных рядов.

§1. Вспомогательные леммы

§2. Классы d-мерных множеств единственности и U*-множеств

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Вопросы единственности представления функций рядами и интегралами в теории классических ортогональных систем»

Одним из направлений теории ортогональных рядов является проблема единственности представления функции рядом по некоторой ортогональной системе функций или интегралом по континуальному аналогу соответствующей ортогональной системы функций. Диссертация продолжает исследования в данном направлении.

Изучение вопроса единственности представления функции в виде ряда по системе ортогональных функций впервые началось в теории тригонометрических рядов. В 1870 году Г. Кантор получил первую теорему единственности [10].

Теорема А (Кантора). Если тригонометрический ряд сходится к нулю всюду на [0, 2тт], кроме конечного множества точек, то этот ряд является тождественно нулевым, то есть все его коэффициенты равны нулю.

В 1909 году У. Юнг улучшил этот результат, показав, что теорема Кантора остаётся в силе, если требовать сходимость ряда только вне счётного множества [46].

Дальнейший поиск исключительных множеств, ненарушающих утверждение теоремы Кантора, породил в начале ХХ-го века обширные исследования, выделившиеся в итоге в отдельную ветвь теории тригонометрических рядов, а затем и общей теории ортогональных рядов, под названием "теория единственности". Основным предметом этой теории стали мноэюеетва единственности (U-множества) для различных ортогональных систем функций {<^п}п) то есть множества из области определения системы такие, что из сходимости произвольного ряда по системе {<£>„}„ к нулю вне этих множеств следует, что данный ряд является тождественно нулевым. Приняв это определение, теоремы Кантора и Юнга можно сформулировать так: любое не более чем счётное множество является множеством единственности для тригонометрической системы.

Полученные Г. Кантором и У. Юнгом множества единственности имеют меру нуль. И нетрудно показать, что любое измеримое множество Е положительной меры уже не является множеством единственности для тригонометрической системы. Действительно, возьмём совершенное множество Р С Е положительной меры и рассмотрим характеристическую функцию множества Р. Дополнение к множеству Р на отрезке [0, 27т] является открытым множеством, значит, оно представляется в виде дизъюнктивного объединения интервалов. В силу принципа локализации Римана ряд Фурье рассматриваемой функции сходится к нулю на каждом смежном интервале, а поэтому и всюду вне множества Е. Таким образом, существует тригонометрический ряд, сходящийся к нулю вне множества Е, но с отличными от нуля коэффициентами (в силу положительности меры множества Р нулевой коэффициент ряда Фурье характеристической функции множества Р отличен от нуля). Отсюда следует, что любое измеримое [/-множество имеет меру нуль.

До 1916 года существовала гипотеза, что любое множество меры нуль является [/-множеством. Эта гипотеза была опровергнута Д. Е. Меньшовым [23]. Он построил первый пример совершенного М-множества (множества, не являющегося [/-множеством) меры нуль. Примеры континуальных [/-множеств появились в 20-е годы ХХ-го века. Н. К. Бари [5] и А. Райх-ман [31, 32] независимо получили классы континуальных множеств единственности. В частности, они показали, что троичное множество Кантора является множеством единственности. Фундаментальным структурным результатом для множеств единственности тригонометрических рядов является теорема Бари [50, стр. 795], утверждающая, что счётное объединение замкнутых [/-множеств вновь является [/-множеством.

Дальнейшее изучение U- и М-множеств позволило для множеств определённой структуры получить критерии принадлежности множества классу [/-множеств и М-множеств; при этом обнаружилось, что в общем, даже в самом простом случае геометрической структуры множества, вопрос о том будет ли оно U- или М-множеством решается только с привлечением алгебраической теории чисел. В целом, проблема единственности чрезвычайно трудна, и она не решена не только для произвольных множеств, но и даже для класса замкнутых множеств.

Последовательное изложение основных результатов по теории единственности для тригонометрических рядов проведено в монографиях [50], [59].

Согласно теореме Кантора не существует двух различных тригонометрических рядов, сходящихся всюду на отрезке [0, 2-7г], кроме, быть может, конечного числа точек, к одной и той же конечной функции. В связи с этим возникает вопрос, если тригонометрический ряд сходится всюду к функции /, обязан ли он быть её рядом Фурье, то есть можно ли восстановить коэффициенты ряда по его сумме? Естественно, для корректности поставленного вопроса необходимо на функцию / наложить требования конечности и интегрируемости в некотором смысле. В классической теории тригонометрических рядов этот вопрос был поставлен для функций, интегрируемых по Лебегу. Положительный ответ на вопрос даёт теорема Дю Буа Реймона, доказанная в 1876 году [15], и обобщённая А. Лебегом в 1905 году [21], со случая ограниченных, интегрируемых по Риману функций на случай ограниченных функций.

Теорема В (Дю Буа Реймона—Лебега). Если f огра?шчена на отрезке [0, 27г] и существует тригонометрический ряд, сходящийся к пей всюду на этом отрезке, то этот ряд есть её ряд Фурье.

При этом, как показал А. Данжуа (см. [59]), не каждый сходящийся всюду тригонометрический ряд является рядом Фурье-Лебега некоторой функции. Например, ряд sin пх In п п-2 сходится всюду как ряд по синусам с монотонно убывающими коэффициентами, но он не является рядом Фурье-Лебега.

В 1912 году Валле-Пуссеном был получен [38] более общий результат.

Теорема С (Валле-Пуссена). Если f конечна, интегрируема по Лебегу на отрезке [0, 2тг] и существует тригонометрический ряд, сходящейся к ней всюду на этом отрезке, кроме, быгпъ может, счётного числа точек, то этот ряд есть её ряд Фурье.

В 1923 году И. И. Привалов доказал, что в этой тёореме вместо счётного множества можно взять произвольное замкнутое множество единственности [63]. Наиболее общий результат, обобщающий теорему Валле-Пуссена для интегрируемых по Лебегу функций был установлен Н. Н. Холщевниковой в 1996 году [70, теорема 7].

Вернёмся к общей постановке вопроса. Теорема Валле-Пуссена позволяет восстанавливать коэффициенты тригонометрических рядов, сходящихся всюду вне некоторого не более чем счётного множества к конечной интегрируемой по Лебегу функции / по формулам Фурье. Однако, как было отмечено, сумма всюду сходящегося тригонометрического ряда может не быть интегрируемой по Лебегу, поэтому для восстановления коэффициентов произвольного сходящегося тригонометрического ряда с помощью формул Фурье необходим более общий процесс интегрирования. Первое такое обобщение было сделано А. Данжуа. В заметке [13] он описал интеграл второго ' порядка, названный тотализацией T2S, который восстанавливает функцию по её второй симметрической производной Римана. Совместное применение этого свойства интеграла Данжуа и результатов римановской теории тригонометрических рядов решает задачу восстановления коэффициентов.

Позднее рядом авторов были построены другие интегралы второго порядка, решающие поставленную задачу: SCP-интеграл Бёркилля [7,8], Т{Р)~ иитеграл Марцинкевича-Зигмунда [22], Р2-интеграл Джеймса [20]. См. также [14,39,44].

Последним шагом в данном направлении стало введение в 1989 году в работе [29] интеграла уже первого порядка, относительно которого любой сходящийся всюду тригонометрический ряд является рядом Фурье своей суммы. Данный интеграл, названный аппроксимативным симметрическим интегралом Хенстока-Курцвейля, восстанавливает измеримую функцию по её аппроксимативной симметрической производной. Идея его применения для решения задачи восстановления опиралась на факт из лебеговской теории тригонометрических рядов, доказанный А. Зигмундом [59, т. 1, стр. 509, теорема (2.22)]: если тригонометрический ряд сходится всюду к конечной функции f, то ряд, полученный из исходного формальным интегрированием, сходится почти всюду к некоторой функции F, и f является аппроксимативной симметрической производной функции F.

Определение и основные свойства этого интеграла будут даны во втором параграфе первой главы диссертации. Сформулируем лишь теорему, показывающую, что аппроксимативный симметрический интеграл Хенстока-Курцвейля полностью решает задачу о восстановлении коэффициентов сходящегося тригонометрического ряда.

Теорема 1.G (Прейсса-Томсона, [37, теорема 9.64]). Всякий тригонометрический ряд, сходящийся всюду, кроме, быть Mooicem, некоторого не более чем счётного множества, является рядом Фурье своей суммы относительно аппроксимативного симметрического интеграла Хенстока-Курцвейля.

Дальнейшее развитие теория единственности тригонометрических рядов получила в нескольких направлениях. Мы коснёмся только тех из них, которые будут затронуты в диссертации.

Первым из этих направлений является переход от тригонометрических рядов к тригонометрическим интегралам, интегралам вида оо и eiX*dx(А) = lim(L) [ eiXxdX{А), (1)

J J оо — ш где х имеет ограниченную вариацию на каждом конечном отрезке и удовлетворяет условию Л/о: lim { sup |х(Л + h) — х(А)|} = 0.

А-»±оо osc/isa

Переход к континуальным аналогам рядов Фурье, интегралам Фурье, являющихся частным случаем тригонометрических интегралов, был связан с необходимостью построения математической модели для непериодических процессов таких, как непрерывный фон шумов, лучи света.

Теория тригонометрических интегралов развивается параллельно теории тригонометрических рядов [9,19,24,25,45,47,59]. В ней полностью сохраняются результаты римановской теории в применении к аналогу функции Римана для тригонометрического интеграла [59, т. 2, глава XVI, §8]. Перенос результатов становится возможным благодаря следующей теореме.

Теорема 1.Р (первая теорема равносходимости). Если функция X удовлетворяет условию Л/о, то для любого интервала J длины, меньшей 2tv, существует тригонометрический ряд ^ с„ешж; с коэффициента

Т1 ми стремящимися к 0, такой, что

У^ спетх =4 О, X е J, UJ оо.

U1

J eiXxdX(Л)

-w

Аналогом теоремы Валле-Пуссена выступает теорема Оффорда, доказанная им в 1937 году [25].

Теорема D (Оффорда). Пусть функция с интегрируема по Лебегу на каждом конечном отрезке и её тригонометрический интеграл оо

J eiXxc(X)d\ (2) оо сходится всюду к конечной интегрируемой по Лебегу на каждом конечном отрезке функции f. Тогда оо и , t ^ c(fi) = (С, J f(x)e~^xdx = Jim J ( J f^e^dx | dt

-oo 0 ^ -t. для почти всех fi.

А. Оффорд также показал, что если функция с интегрируема по Лебегу на каждом конечном отрезке и её тригонометрический интеграл всюду

С, 1)-суммируем к нулю, то с(//) = 0 почти всюду. При этом наличие одной исключительной точки может быть достаточно для нарушения утверждения теоремы. А также, (С, 1)-сходимость нельзя заменить на (С, 1 + 5)-сходимость ни для какого положительного S, [24]. Например, оо

С, 1) J eiXx dX = 0, для всех х ф О, оо оо гХх

С, 1 + 5) J

Хе dX = 0, для всех х. оо

Вариант теоремы Оффорда для случая функций с, интегрируемых по Данжуа на каждом конечном отрезке, был также установлен Дж. Бёркил-лем, при этом на функции с накладываются дополнительные ограничения

9].

В первой главе диссертации мы разовьём теорию Лебега для тригонометрических интегралов, докажем ряд утверждений из теории интегралов Фурье и обобщим теорему Оффорда, доказав аналог теоремы Прейсса-Томсона для тригонометрических интегралов.

Нам понадобится уточнить первую теорему равносходимости. Мы докажем её в следующем виде.

Теорема 1.3. Если функция х обращается в нуль в единичной окрестности нуля и удовлетворяет условию Л/"о, тпо для любого интервала J длины, меньшей 2-к, существует тригонометрический ряд ^ спегпх, с коэффициентами сп = o(l/n), п —> оо; такой, что п из

ЛХх е ч dx{X) - 22 спе1ПХ =4 0, a; G J, ш -> оо. из

В такой формулировке она позволяет перенести лебеговскую теорию для тригонометрических рядов на тригонометрические интегралы. Интегрируя (1) формально, рассмотрим

1 с Л\х агХх 1 г piXx dx(A)+ J -dx{x).

Л|<1

Мы покажем, что эти интегралы конечны для почти всех х. Обозначим определяемую их суммой функцию через L. Она является аналогом функции Лебега для тригонометрических рядов и обладает аналогичными свойствами. А именно, функция L всюду аппроксимативно симметрически непрерывна и аппроксимативно непрерывна в каждой точке, где она конечна. При этом если тригонометрический интеграл сходится в точке к числу s, то существует аппроксимативная симметрическая производная функции L в точке и она равна s.

Далее мы покажем, что аппроксимативный симметрический интеграл Хенстока-Курцвейля решает задачу восстановления функции по её тригонометрическому интегралу. Отметим, что при этом, в отличии от рядов, решение задачи восстановления функции не является непосредственным следствием из результатов лебеговской теории тригонометрических интегралов и свойств аппроксимативного симметрического интеграла Хенстока-Курцвейля. Переход к интегралам приводит к необходимости совместного применения лебеговской и римановской теорий тригонометрических интегралов.

Теорема 1.10. Пусть функция с интегрируема по Лебегу на каждом конечном отрезке и её тригонометрический интеграл (2) всюду вне некоторого не более чем счётного множества Е сходится к конечной функции /. Тогда функции f(x) и f(x)e~lflx являются ASН-интегрируемыми и

ОО U1 / t \ сОО = (С, / Ит А. f J /(ф-Ь-еь) dt (3)

-оо О ^ -t ' для почти всех /1, где интеграл по переменной х понимается в смысле аппроксимативного симметрического интеграла Хенстока-Курцвейля, а интеграл по переменной t понимается в смысле интеграла Лебега.

В терминах преобразования Фурье эта теорема утверждает: если тригонометрический интеграл (2) сходится всюду вне некоторого не более чем счётного множества к конечной функции /, то этот интеграл является обобщённым обратным преобразованием Фурье для функции /, а функция с является обобщённым преобразованием Фурье функции /.

В общем случае (С, 1)-сходимость интеграла в (3) нельзя заменить несобственной сходимостью интеграла. Достаточно рассмотреть функцию из примера Лебега о расходящемся в точке ряде Фурье, [50, стр. 133]. Эта функция локально интегрируема и её тригонометрический интеграл сходится, но со

00 ответствующий интеграл f /(х)е~щх dx, понимаемый как несобственный оо интеграл по симметричным отрезкам, расходится при /л = 0. Однако если с удовлетворяет локально некоторому признаку сходимости рядов Фурье, то интеграл в (3) сходится в несобственном смысле.

В качестве следствия из теоремы получаем, что каждое не более чем счётное множество является множеством единственности для тригонометрического интеграла.

В ходе доказательства теоремы мы воспользуемся следующими леммой и утверждением, относящимся к теории интеграла Фурье [43,53,55,69], [59, т. 2, гл. XVI, §1].

Лемма 1.8. Пусть функция с интегрируема по Лебегу на каждом кох нечном отрезке и f c(t) dt удовлетворяет свойству Л/"о, тогда о оо

2 ojt

1 Г , 2 sin Щlim — / c(x + t)-тг*-dt = с(х)

CJ-+00 7Г J j и)t2 У J 00

ОО U! для почти всех х (интеграл f понимается как lim (L) /). w—>оо

Отметим, что интеграл в лемме представляет собой аналог интеграла Фейера из теории рядов Фурье.

Утверждение 1.9. Пусть функция с интегрируема по Лебегу на каждом конечном отрезке. Если её тригонометрический интеграл (2) сходится к конечной функции всюду вне некоторого не более чем счётного множе

U) оо ства, то lim ~ J f с(А + ц) ^^ dX dt = c(/j,) для почти всех ц, то есть о -оо

CJ-»00 сингулярные интегралы функции с сходятся в смысле (С, 1) к функции с оо из почти всюду (интеграл f понимается как lim (L) f). cj—^OO OO — U!

В классической теории интеграла Фурье эти утверждения доказаны в более слабом виде. Лемма 1.8 доказана в предположении, что функция с интегрируема по Лебегу на всей прямой [53, теорема 4], а утверждение 1.9 доказано в предположении интегрируемости по Лебегу на всей прямой функции щц, либо в предположении, что с интегрируема по Лебегу на каждом конечном отрезке и её тригонометрический интеграл (2) сходится равномерно на каждом конечном отрезке [59, т. 2, гл. XVI, теорема 1.21 и §2].

Из теоремы 1.10 можно получить два следствия. Первое из них показывает, как, зная функцию с, можно посчитать ASH-интеграл от функции /.

Следствие 1.11. Если тригонометрический интеграл (2) сходится к функции f всюду вне некоторого не более чем счётного мноэюества и В — множество точек, в которых неопределённый ASH-иптеграл функции f конечен. Тогда для всех a,b £ В

Второе следствие выражает условия, при которых сходящийся тригонометрический интеграл является интегралом Фурье относительно классических интегралов.

Следствие 1.12. Пусть тригонометрический интеграл (2) сходится к функции f всюду вне некоторого не более чем счётного множества. Если f ^ g, а д является локально интегрируемой по Лебегу (Хепстоку-Курцвейлю), то функция f тоже локально интегрируема по Лебегу (Хен-стоку-Курцвейлю) и для почти всех /х функция с восстанавливается по формуле (3) относительно интеграла Лебега (Хенстока-Курцвейля).

Вторым направлением развития теории единственности стал переход от тригонометрической системы функций к другим ортогональным системам. Как оказалось, при этом не все результаты тригонометрической теории сохраняются. Например, если рассмотреть систему функций Хаара, то для нее теорема Кантора не имеет места. Возникает необходимость накладывать на коэффициенты изучаемых рядов некоторые ограничения. Мы в диссертации коснёмся только систем ограниченных ортогональных функций, для которых класс множеств единственности непуст без каких-либо дополнительных ограничений на поведение коэффициентов их ортогональных рядов.

Одной из таких систем является мультипликативная система Прайса. Исторически первой появилась в 1923 году система Уолша [42] (в основном, в литературе эта система рассматривается в нумерации Пэли [27]). В 1957 году Дж. Прайс рассмотрел параметрический класс ортонормирован-ных систем функций [30], получивших название мультипликативных систем Прайса. Этот класс содержит в себе систему Уолша. Интерес в изучении данных систем связан с возросшим использованием их в прикладных вопросах: в теории кодирования, в цифровой обработке сигналов, в распознавании образов. Кроме того, мультипликативные системы представляют собой характеры соответствующих компактных групп и тем самым служат моделью общих характеров в гармоническом анализе. Определение мультипликативной системы приводится во второй главе диссертации. ъ оо а оо

В 1947 году Н. Я. Виленкиным [54] была получена первая теорема единственности для мультипликативных систем, являющаяся аналогом теоремы Кантора. В 1949 году А. А. Шнейдер [72] для системы Уолша показал, что счётное множество является множеством единственности (см. также [16]), любое множество положительной меры является М-множеством, построил пример М-множества меры нуль и континуальное U-множество. Эти результаты позднее были перенесены на произвольные мультипликативные системы [41, 48, 51, 52], теорема Юнга доказана А. М. Зубакиным и И-. И. Ту-зиковой [60] в 1972 году, см. также библиографию в монографиях [48,57]. Ф. Г. Арутюнян и А. А. Талалян [49], Р. Б. Криттенден и В. JL Шапиро [12], В. А. Скворцов [64] различными способами доказали аналог теоремы Валле-Пуссена. Аналог теоремы Бари о счётном объединении замкнутых U-множеств для системы Уолша был доказан У. Уэйдом [40]. Аналог теоремы Привалова для системы Уолша, получен В. А. Скворцовым [64] в 1973 году. Вопросу единственности для систем Уолша посвящены монографии [36,57].

Вернемся ненадолго к тригонометрической системе функций егпх и ее континуальному аналогу егХх. Подобно тому, как для тригометрических рядов было введено понятие множества единственности, можно ввести понятие мнооюества единственности для тригонометрического интеграла — множества на прямой такого, что из сходимости тригонометрического интеграла (2) вне этого множества к нулю следует, что функция с равна нулю почти всюду. Классы множеств единственности для рядов и интегралов будем обозначать соответственно Us, Ui. Множества из класса Us, рассматриваемые на (—оо, оо) периодичны с перидом 27т, а из U{, вообще говоря, нет. Возникает естественный вопрос, в каком отношении находятся множества из классов Us и Ui. В [59] показано, что имеет место следующая связь.

Теорема Е ( [59, теорема (10.24)]). Классы Us и Щ локально совпадают.

Эта теорема доказывается также в работе Р. Хенстока (см. [19]), в ней также установлены

Следствие Е.1 ( [19, теорема 3]). Если Е\, Е2,. . являются Ui-множествами и каждое Еп сосредоточено в некотороль отрезке 1п, причем оо

In ПТт = 0, то 1J. Еп вновь является Ui-мноэюеством. п=1

Следствие Е.2 ( [19, теорема 4]). Если Е таково, что все множества Е П [а, 6] являются Ui-множествами, то и множество Е является Ui~ множеством.

Следствие Е.З ( [19, теорема 5]). Если множество Е не является Щ-множеством, то существет отрезок I сколь угодно малой длины, такой, что Е П I тоже не является Щ-множеством.

Во второй главе диссертации мы покажем, что аналогичные результаты имеют место для мультипликативной системы. Подобно тому, как система ег\х является континуальным аналогом тригонометрической системы егтгж, мультипликативная система {Хт{х)}т имеет континуальный аналог х{х1У)-> введённый Н. Файном в [17]. Определение функции х{х,у) приведено во второй главе диссертации. Рассмотрим ряды по мультипликативной системе функций ^ атХт(х) (4) т=0 и их континуальные аналоги, называемые мультипликативными преобразованиями, оо оо a(x)x(x,y)dx. (5)

Определение 2.1. Множество Е с [0,1) называется множеством единственности (Us- множеством) для мультипликативной системы функций {хт}т, если каждый ряд (4), сходящийся к нулю вне этого множества, может быть только тождественно нулевым.

Определение 2.2. Скажем, что интегральный процесс I обладает свойством единственности, если из сходимости несобственного интеграла оо п

J а(х)х(х, у) dx = Jim (I)J a(x)x(x, у) dx, о 0 где а локально /-интегрируема, к нулю всюду на [0, оо) следует, что а{х) — О почти всюду.

Свойством единственности обладают интеграл Лебега [54], [67], интеграл Перрона [67] и "Р-ичный интеграл хенстоковского типа [35].

Пусть I — интегральный процесс, обладающий свойствами аддитивности, линейности и единственности.

Определение 2.3. Множество Е С М. называется мноо/сеством единственности для мультипликативного преобразования (Ui-множеством), если из сходимости несобственного интеграла

00 п a(x)x{x,y)dx= lim (/)/ a(x)x(x,y)dx

J J о 0 к нулю вне множества Е следует, что а(х) = 0 почти всюду.

Мы установим следующую теорему.

Теорема 2.12. Множество £ С [0, сю) является множеством единственности для мультипликативного преобразования, задаваемого функцией х{х->у)> тпогда и только тогда, когда множества Ek = {{?/}: у Е Е П [к, к + 1)} при каждом целом неотрицательном к являются множествами единственности для мультипликативной системы функций хР}п •

Замечание 2.13. Теорема утверждает, что необходимые и достаточные условия принадлежности множества Е классам С/г(£)-, Ui(P)-, Ui("Р)-мно-жеств (то есть классам множеств единственности из определения 2.3 для интегралов Лебега, Перрона и "Р-ичного интеграла соответственно) совпадают, значит,

Ui{L) = Щ(Р) = ЩР).

Следствие 2.14. Пусть Е С [0, оо) и существует число s 6 I такое, что множества = {{?/}: у Е П [s + fc, s + & + 1)} при каждом к являются множествами единственности для мультипликативной си р>\ стемы функций {хп }п- Тогда Е является множеством единственности для мультипликативного преобразования, задаваемого функцией х(х,у)

Обратно, пусть множество Е С [0, оо) является множеством единственности для мультипликативного преобразования, задаваемого функцией x{xi у)> число s фиксировано. Тогда каждое из мнооюеств Е| является множеством единственности для мультипликативной системы {хпР^}п

Более того, мы покажем, что сохраняют силу аналоги теорем 3-5 из работы Р. Хенстока [19].

Последним направлением развития тригонометрической теории единственности, которого мы коснёмся в третьей главе этой работы, является переход от одномерных тригонометрических рядов к многомерным и не только тригонометрическим, но и к кратным рядам по смешанным ортогональным системам ограниченных функций. При переходе от одномерных рядов к кратным встаёт вопрос, как понимать сходимость таких рядов. Например, пусть задан cf-мерный ряд по некоторой системе функций: оо ^ ani.ndfni(xl) " • • • ' fn,i(xd)

Тогда существует несколько естественных способов упорядочить его члены для суммирования, задающих понятие сходимости ряда. Для каждого из этих способов возникает задача единственности представления функции в виде ряда по заданной системе функций.

Наибольший интерес представляют следующие виды сходимости: г) Повторная сходимость: под суммой ^^ nrf=-оо понимается у-оо / /у^оо ч ч гг) Сходимость по прямоугольникам: под суммой ^^ nlt=-оо понимается limmin(J-b.j(i)>00 • • • Slridl^) ш) Сходимость по кубам: под суммой ^^ .,nd=-оо понимается iv) Сходимость по сферам: под суммой понимается lim^oo SnJ+.-.+^r2 •

Сходимость по кубам слабее сходимости по прямоугольникам, а повтор-пая сходимость сильнее так называемой полу прямоугольной сходимости, которая слабее сходимости по прямоугольникам. В данной работе мы будем изучать только прямоугольную сходимость и её связь с повторной сходимостью.

Теория единственности для многомерных тригонометрических рядов начинается с работы 1919-го года X. Гейрингер [18]. В пей было дано первое доказательство теоремы единственности для сходимости по прямоугольникам. После его появления считалось, что для сходимости по прямоугольникам проблема единственности решена, и естественным образом внимание переключилось на решение проблемы единственности для других видов сходимости, а именно, для сходимости по сферам. В 1957 году В. Шапиро была доказана теорема единственности для рядов, сферически суммируемых по Абелю, с условием на рост коэффициентов: Если d-кратный тригонометрический ряд всюду сферически суммируем по Абелю к нулю и его коэффициенты удовлетворяют условию (S), |otni.„rf| = o(R),

R-iy^nl+.-.+nfeR2

R —У оо, то все его коэффициенты равны нулю. В 1971 году Р. Куком был доказан аналог теоремы Кантора-Лебега для двумерных тригонометрических рядов, сходящихся по сферам: Если двойной тригонометрический ряд сходится по сферам всюду, то имеет место условие (S). Из сходимости по сферам к функции следует суммируемость по Абелю к той же функции. В силу последнего утверждения из теорем Кука и Шапиро следует, что каждый сходящейся по сферам к нулю двойной тригонометрический ряд может быть только тождественно нулевым. В 70-е годы в доказательстве

X. Гейрингер Дж. М. Эшем и Г. Уэлландом была обнаружена неустранимая ошибка. И вновь внимание сконцентировалось на сходимости по прямоугольникам. В 1972 году Дж. М. Эшу и Г. Уэлланду удалось показать, что теорема единственности для сходимости по прямоугольникам верна для размерности два [2,3]. Их доказательство опиралось на совпадение двух фактов, которые имели место только в размерности два: выполнение условия Шапиро (S) и сферическая суммируемость по Абелю для каэюдого всюду сходящегося по прямоугольникам двойного тригонометрического ряда. Отсюда по теореме В. Шапиро следует, что сходящийся по прямоугольникам двойной тригонометрический ряд может быть только тождественно нулевым.

Таким образом, в пространстве размерности два проблема единственности для сходимости по прямоугольникам была решена благодаря совпадению двух фактов, которые уже не имеют места при переходе к большим размерностям [1]. Поэтому полученное доказательство не позволяло понять, как решать проблему при d ^ 3. В течении 20-ти лет проблема была неприступной. И только в начале 90-х годов задачу удалось решить полностью двумя независимыми и полностью различными способами. Более сложное доказательство принадлежит Дж. М. Эшу, К. Фрейлингу и Д. Ринну [1]. Оно проводится по схеме получения многомерных аналогов основных шагов доказательства одномерной теоремы Кантора. Был установлен аналог теоремы Кантора-Лебега, рассмотрен аналог функции Римана и введены обобщения производной Шварца — обобщённая производная Шварца и коннекторы. Сначала показывается, что если определённые частичные суммы ограничены в точке и ряд сходится по прямоугольникам к нулю в этой точке, то все «^-коннекторы второго формального интеграла ряда равны нулю в этой точке. Затем показывается, что если функция F непрерывна и все ее 5-коннекторы равны нулю, то все б'-дифференциальные разности равны нулю. И, наконец, теорема Эша и Уэлланда об ограниченности прямоугольных сумм всюду сходящихся по прямоугольникам тригонометрических рядов обобщается с помощью теоремы Кантора-Лебега на частичные суммы, в которых фиксированы один или более индексов, отсюда устанавливается, что нулевой коэффициент равен нулю. Остаётся только сдвинуть нумерацию умножением ряда на экспоненту в соответствующей степени, и, тем самым, завершить доказательство.

Второе доказательство было предложено в 1991 году Ш.Т. Тетунашви-ли [68]. Оно опиралось на простую, но очень мощную идею. Ш.Т. Тетуна-швили отметил, что доказательство теоремы единственности для повторной сходимости элементарно. Поэтому достаточно свести сходимость по прямоугольникам к повторной сходимости. Это становится возможным благодаря сходимости ряда по прямоугольникам на множестве положительной меры определённой структуры. Ш. Т. Тетунашвили построил целый класс семерных [/-множеств. Этот класс содержит в себе неизмеримые множества, но все измеримые множества этого класса имеют меру нуль. Также был установлен аналог теоремы Валле-Пуссена. А именно, имеют место следующие результаты.

Пусть Ф = {<£>n}£!Lo — одномерная ортонормированная система ограниченных функций, a Td — d-кратная тригонометрическая система. Функции одномерной тригонометрической системы обозначим через = 1? t2n-i(x) = \/2cos27rncc, t2n(x) = y/2sm2iтпх. Будем говорить, что непустое измеримое множество А принадлежит классу U*(Ф), если из сходимости ряда по системе Ф вне множества А к суммируемой функции / следует, что ряд является рядом Фурье функции /. Пусть Ф имеет непустой класс множеств единственности, обозначаемый £/(Ф). Рассмотрим систему функций Td1 х Ф = {£П1 Oi) • . • tn^Xd-1) • VnAxd)}nu.,nd- Будем говорить, что множество Е принадлежит классу х Ф), d ^ 2, если Е = {{xh ., Xd): xd G A, EXd = [0, l]d1; xd $ A, EXd G ^(T^1)}, A G U(Ф), EXd — сечение множества E в точке Xd. £/(Ф) = и(Ф). В качестве системы Ф может выступать мультипликативная система функций или тригонометрическая система.

Лемма F ( [68, лемма 3]). Если d ^ 2, Е G Zl(Td), тогда любое измеримое подмножество множества Е имеет меру нуль.

Теорема G ( [68, теорема 1]). Все мноэ/сества из класса х Ф) являются множествами единственности для рядов по системе функций rpd-i х ф со сходимостью по прямоугольникам.

Теорема Н ( [68, теорема 2]). Пусть заданы множества A G U(Ф), Е G U^-1 X Ф)7 и конечная функция /: [0,1] —> R. Кроме того, для каоюдого xd ^ А функция fXd является Hd-i-измеримой на [0,l]d1. Тогда если , , оо а—1 an1.ndY[tn.(xj)ipnd(xd) = .,Xd) (6) m,.,nd=o j=1 вне Е, то для као/сдого (щ, 1) G Z^)-1

00 ani.nd-1nli(Pnd{xd) — (xd) < oo, Xd ^ A, nd=0 и для любого фиксированного xd ^ А

ОО (1—1 bni.nd1(xd)Y[tnj(xj) = f{xU.,Xd-l,Xd), Щ ,.,71^-1=0 j = 1 когда (хъ ., Xd-i) ф EXd.

Следствие Н.1 ( [68, следствие 8]). Пусть Ф — любая ортонор-мированная система ограниченных функций, для которой U*(Ф) ф 0 и Е\ 6 U*(Tl). Тогда если ряд (6) сходится вне множества Е\ х [0, l]d-1(e частности, вне любого счётного множества) к конечной суммируемой на [0, l]d функции f: [0, —К, то для каждого (п\,., n^) £ Zq

Р d— 1 f(xi,., xd) Д tnj (Xj)(pnd(xd) dx 1. n n i=1

Отметим также, что H. Н. Холщевниковой сужением класса кратных тригонометрических рядов так, чтобы поведение рядов этих классов было подобно поведению одномерных рядов, получен ряд результатов о счётном объединении множеств единственности и аналог теоремы Привалова [71].

Параллельно с развитием многомерной теории единственности для три-гонометической системы шло развитие этой теории для системы Уолша. И впервые результаты единственности для рядов Уолша опередили соответствующие результаты для тригонометрических рядов. Еще в 1973/74 годах для сходимости по прямоугольникам В. А. Скворцов [66] и X. О. Мовси-сян [62] показали, что имеет место следующая теорема.

Теорема I. Пусть кратный ряд Уолша сходится по прямоугольникам всюду, кроме, быть может, счётного множества, к конечной суммируемой функции /. Тогда этот ряд является рядом Фурье функции /.

Из этой теоремы следует, что счётное множество является множеством единственности для кратных рядов Уолша. Более того из работ [65,66] следует, что счётное объединение гиперплоскостей единичного cZ-мерного куба является [/-множеством для d-мерной системы Уолша, а значит, существуют континуальные множества единственности.

В 1989 году С. Ф. Лукомский [61] доказал, значительно используя свойства функций Уолша, что существуют и другие континуальные множества единственности.

Теорема З.А. Пусть Е С [0, d ^ 2. Множество Е х [0,1) является множеством единственности для d-кратного ряда Уолша тогда и только тогда, когда Е является множеством единственности для {d— 1)-кратного ряда Уолша.

Теорема З.В. Пусть Е С [0, l)d, d ^ 2. Обозначим через Ех2,.,xd множество {ж1 : (xi,X2 ,.,Xd) € Е} для (ж2, .,ха) G [0, l)d-1, а через А мноэюество {(^2, ■ ■ ■, ха) Ех2r.,X(i более чем счётно} . Тогда если А — множество единственности для (d — 1)-кратного ряда Уолша, то Е — множество единственности для d-кратного ряда Уолша.

В упомянутой выше работе [71] также сужением класса кратных рядов Уолша так, чтобы поведение рядов этих классов было подобно поведению одномерных рядов, получен ряд результатов о счётном объединении множеств единственности и аналог теоремы Привалова. А также построен еще один пример множества единственности. Пусть А — совершенное [/-множество на (0,1). Тогда множество (А х (0,1)) U ((0,1) х А) является множеством единственности для двойных рядов Уолша.

В третьей главе диссертации мы покажем, что классы ^-мерных множеств единственности, построенных Ш. Т. Тетунашвили и С. Ф. Лукомским, для соответствующих систем функций могут быть расширены. Более того, мож-' но построить новые классы d-мерных множеств единственности для кратных рядов по смешанным системам функций. Идея построения указанных классов опирается на метод Ш. Т. Тетунашвили сведения прямоугольной сходимости к повторной.

Пусть {дп^}п является системой ортонормированных функций для каждого k = 1,. , d Для единообразия будем считать, что индекс п пробегает все целочисленные значения. Для систем функций, нумеруемых только неотрицательными целыми числами, будем предполагать, что все функции с отрицательными значениями индекса тождественно равны нулю и суммирование в рядах по этим системам ведётся только по неотрицательным индексам.

Множество Е С [0, l]d называется множеством единственности (U-множеством) для системы функций {gi^ . ••<7n?}nb.,nd) если из сходимости оо по прямоугольникам вне множества Е произвольного ряда ^ о>т.па

П1,.,П4= — ОО дп) -. • gifa к нулю следует, что все его коэффициенты нулевые.

Множество Е С [0, l]d называется U*-множеством для системы функг (1) (db ции {gnI -. - дпа \ni,.,nd, если из сходимости по прямоугольникам вне мно

QQ /-j \ / j\ жества E произвольного ряда E a>m.nd9n\ • • • • • 9nd к конечной ин

7li,.,rid= — 00 тегрируемой по Лебегу функции / следует, что данный ряд является рядом Фурье функции /.

Пусть {hn}n — ортонормированная система функций на [0,1], для которой в классах U- и £/*-множеств существуют множества Е, удовлетворяющие следующему свойству.

Свойство BS. Пусть ряд оо 1 ^П^з-.П^^П! (7) nl ,.,tld= — 00 сходится по прямоугольникам вне множества Е к конечной функции. Тогда для любого фиксированонного п1 существуют номер N > 0 и величина А > 0 со свойством: h 3d

I - ' ' °nin2-nd ^ n2=-j2 Tid=-jd для любого набора (j2,. ,jd), удовлетворяющего условию min(j2,., jd) > N.

Подклассы указанных U-, U*-множеств будем обозначать U-qs, &bs> coot~ ветственно.

Как будет показано в первом параграфе третьей части, в качестве функций {hn}n могут выступать тригонометрическая и мультипликативная системы функций. При этом в качестве Е можно брать произвольное U- или С/*-множество для соответствующей системы функций, то есть в обоих случаях UBs = U, U£s = U*. оо

Теорема 3.8. Пусть ряд Е ani.„ndhni(x) сходится по прямоугольni,.,rid= — 00 никам к конечной функции /(ж) при х £ V (к нулю при х fi U), где V является TJ^-множеством для системы {/in}n (U является U^s- множеств ом для системы {hn}n), тогда

00

1) ряды Е 0"n1n2.nd сходятся по прямоугольникам при всех ni; n2,.,nd=-oo

00 / оо ч

2) ряд Е Е anin2:.nd) hni(x) сходится к f{x) при х V и

Т1\ = — 00 —00 ' оо 1 / ОО / 00 ч

Е = /f(x)hni(x)dx ( Е ( 12 aniTl2nd)hni(x) схоnd=—оо 0 «1=—оо оо ' оо

ОО \ дится к нулю при х £ U и ^ anm2.nd — О J. n2,—,nd= — оо '

Пусть для каждого к = 2,., d система {д^}п является ортонорми о\ рованиой системой функций на [0,1] и пусть система функций {(Д2 • . • 9щ}}п->,.,па имеет непустой класс (d — 1)-мерных множеств единственности. Мы построим класс множеств единственности ll^, в котором каждое множество Е задаётся набором множеств {[/, где U — (d-1)г (2) (dh мерное множество единственности для системы \дп2 ••■ • 9nJ jn2,.,nd в случае СХОДИМОСТИ ПО прямоугольникам, a одномерные С/вя-множества для функций {/in}n- Если обозначить Р = {(a?i, х2,., х^) 6 [0,l]d: (®2,.,®d) € Uix1 6 [0,1]}, и R = {(®i,®2,.,a;<i)G[0,l]d: (я?2, .,xd) £ и, X1 E U(X2^Xd) },'Г0 E = PUR.

Теорема 3.9. Каждое множество из класса U^ является U-множеством для системы функций {hni • • . • gifj}m,.,nd

Заметим, что если А является М-множеством для системы {дп }п, то множество Е = [0,1] х А тоже является М-множеством для двойного ряда по системе {hni • п\,п2 при любом методе суммирования ряда. Действительно,

00 (2) существует не тождественно нулевой ряд Y1 ап29п2(х2), сходящийся к ну

П2 = — 00 лю всюду вне А. Пусть аоп2 = ап2 > а все остальные коэффициенты aniTl2 рав

00 (2) °° (2) ны нулю. Тогда anm2V(zi)#n2'Лх2) = h0(xi) ^ аП2д^(х2). Ука

Л1,П2 = — ОО П2 —— ОО занный ряд не является тождественно нулевым, но он при любом методе суммирования сходится к нулю вне множества Е, то есть Е является М-множеством.

Пусть теперь для каждого к — 2,., d система {г4 является ортонорп\ мированной системой функций на [0,1] и пусть система функций {vn2 ■. -Vn}}no,.,nd имеет непустой класс [d— 1)-мерных £/*-множеств. Мы построим класс U*-множеств Щ, в котором каждое множество Е задаётся набором множеств {У, {V(x2,.,xd)}{x2,.,xd)$v}, где V — (d - 1)-мерное {/"-множество г (2) (<0i для системы \Vn2 • ■. • • Vnd jn2,.,nd, в случае сходимости по прямоугольникам, \V(x2,-.-,xd) \{x2,.,xd)$v — одномерные [/^-множества для функций {hn}n. Если обозначить Р = {(жь . •, xd) £ [0, l]d (х2,., Xd) (=.V,xi £ [0,1]} и R= {(xux2,.,xd) е [0,l]d: (x2l.,xd)$ V,X! 6 V{x2^>xd)}, то E = P U R.

Теорема 3.10. Пусть Е е Щ и ряд

00

Yl а^^.«Л, • Vn} Ы • • ■ ■ • У{п] Ы) (8) сходится по прямоугольникам всюду вне множества Е к конечной интегрируемой по Лебегу на [0, l]d функции f, то данный ряд является рядом Фурье функции f, то есть

1 1 anin2.nd = J •■■ J f(xi, .,xd)- hni(x i) • v${x2) v{n}(xd) dx1 dx2. dxd. о о

В 2008 году в работе [56] Jl. Д. Гоголадзе получил варианты теорем 3.9 и 3.10. Сравнение результатов автора диссертации и результатов Л. Д. Гоголадзе будет проведено в конце второго параграфа третьей главы.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [7380].

Диссертация изложена на 95 страницах. Она состоит из введения, трех глав и списка литературы из 80 наименований. Каждая глава имеет нумерацию параграфов, а также двоичную нумерацию формул и утверждений: первое число означает номер главы, в качестве второго индекса нумерации выступает либо буква, если утверждение не принадлежит автору, либо число, в противном случае.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Своровска, Татьяна Александровна, 2009 год

1. Ash J . М Freiling С Rinne D ., Uniqueness of rectangularly convergent trigonometric series, Annals of Mathematics, (2) 137, №1 (1993), 145 — 166.

2. Ash J. M., Welland G.V., Convergence, summability, and uniqueness of multiple trigonometric series, Bulletin of the Amer. Math. Soc., 77 (1971), 123-127.

3. Ash J. M., Welland G.V., Convergence, uniqueness, and summability of multiple trigonometric series, Transactions of the Amer. Math. Soc., 163 (1972), 401-436.

4. Ash J. M., Wang G., A survey of uniqueness questions in multiple trigonometric series, Contemporary Mathematics, 208 (1997), 35 — 71.

5. Bari N., Sur I'unicite du developpement trigonometrique, Comptes Rendus de Г Acad, des Sciences a Paris, 177 (1923), 1195-1197.

6. Bari N., Sur Vunite du developpement trigonometrique, Fundamenta Mathematicae, 9 (1927), 62—118.

7. Burkill J. C., The Cesaro-Perron integral, Proceedings of the London Math. Soc., (2) 34 (1932) 314-322.

8. Burkill J. C., The expression of trigonometric series in Fourier form, Journal of the London Math. Soc., 11 (1936), 43—48.

9. Burkill J. C., Uniqueness theorems for trigonometric series and integrals, Proceedings of the London Math. Soc., (3) 1 (1951), 163—169.

10. Cantor G., Uber einen die trigonometrischen Reihen betreffenden Lehrsatz, Crelles fiir Math. 72 (1870), 130—138; also in Gesammelte Abhandlungen, Georg Olms, Hildesheim, 1962, 80-83.

11. Cooke R., A Cantor-Lebesgue theorem in two dimensions, Proceedings of the Amer. Math. Soc., 30 (1971), 547-550.

12. Crittenden R. В., Shapiro V. L., Sets of uniqueness on the group 2", Annals of Mathematics, 81, №3 (1965), 550-564.

13. Denjoy A., Une extension de I'integrale de M. Lebesgue, Comptes Rendus de Г Acad, des Sciences a Paris, 154 (1912), 859-862.

14. Denjoy A., Legons sur le calcul des coefficients d'une series trig onometris que, Paris, 1941-49, 1—715.

15. Du Bois Reymond P., Beweis das die Koeffizienten der trigonometrischen Reihen, Abh. Akad. Wiss., Munchen, XII (1876), 117-166.

16. Fine N. J., On the Walsh functions, Transactions of the Amer. Math. Soc., 65, №3 (1949), 372-414.

17. Fine N. J., The generalized Walsh functions, Transactions of the Amer. Math. Soc., 69 1950, 66-77.

18. Geiringer H., Trigonometrische Doppelreihen, Monat. ftir Math., 28 (1918), 65-79.

19. Henstock R., Sets of uniqueness for trigonometric series and integrals, Proceedings of the Cambridge Phil. Soc., 46 (1950), 538—548.

20. James R. D., A generalised integral (//), Canadian J. Math., 2 (1950), 297-306.

21. Lebesgue H., Recherches sur la convergence des series de Fourier, Mathematische Annaien, 61 (1905), 251—280.

22. Marcinkiewicz J., Zygmund A., On the differentiability of functions and the summability of trigonometric series, Fundamenta Mathematicae, 261936), 1-43.

23. Menshov D., Sur Vunicite du developpement trigonometrique, Comptes Rendus de l'Acad. des Sciences a Paris, 163 (1916), 433-436.

24. Offord A. C., Note on the uniqueness of the representation of a function by a trigonometric integral, J. of the London Math. Soc., 11 (1936), 171—174.

25. Offord A. C., On the uniqueness of the representation of a function by a trigonometric integral, Proceedings of the London Math. Soc., (2) 421937), 422-480.

26. Ostaszewski К. M. , "Henstock integral in the plane", Mem. Math. Soc., 63:353, 1986.

27. Paley R., A remarkable series of orthogonal functions, Proceedings of the London Math. Soc., , II. Ser. 34 (1932), 241-279.

28. Pollard S., Identification of the coefficients in a trigonometric integral, Proceedings of the London Math. Soc., (2) 25 (1926), 451—468.

29. Preiss D., Thomson В .S., The approximate symmetric integral, Can. J. Math. XLI, № 3, (1989), 508-555.

30. Price J. J., Certain groups of orthogonal step functions, Canad. J. Math., 9, № (1957), 413—425.

31. Rajchman A., Sur Vunicite du developpement trig о пот etriqu e, Fundamenta Mathematicae, 3 (1922), 287—302.

32. Rajchman A., Rectification et addition a ma Note "Sur Vunicite du developpement trigonometrique", Fundamenta Mathematicae, IV (1923), 366-367.

33. Rinne D., Rectangular and iterated convergence of multiple trigonometric series, Real Analysis Exchange, 19(2)(1993/94), 644—650.

34. Rudin W., "Real and complex analysis", McGraw-Hill, New-York, 1970.

35. Skvortsov V. A., V-adic Henstock integral in inversion formula for multiplicative transform, Real Analysis Exchange. Summer Symposium in Real Analysis XXVII, Opava 2003, 93-98.

36. Schipp F., Wade W. R., Simon, P., "Walsh series. An introduction to dyadic harmonic analysis", Adam Hilder, Bristol, 1990.

37. Thomson B. S., "Symmetric properties of real functions", Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics, 183, Marcel Dekker, 1994.

38. Vallee-Poussin Ch. J., Sur Vunicite du developpement trigonometrique, Bull. Acad. Roy. de Belg. (1912), 702-718.

39. Verblunsky S., On the theory of trigonometric series VII, Fundamenta Mathematicae, 23 (1934), 193-236.

40. Wade W. R., Summing closed U-sets for Walsh series, Proceedings of the Amer. Math. Soc., 29, №1 (1971), 123-125.

41. Wade W. R., Sets of uniqueness for the group of integers of a p-series field, Can. J. Math. 31, №4 (1979), 858-866.

42. Walsh J. L., A closed set of normal orthogonal functions, Amer J. Math., 45 (1923) 5-24.

43. N. Wiener, "Generalized harmonic analysis", Acta Mathematica, 55 (1930), 117-258.

44. Wolf F., On summable trigonometric series: an extension of uniqueness theorems, Proceedings of the London Math. Soc. (2) 45 (1939), 328—356.

45. Wolf F., "Contributions to a theory of summability of trigonometric integrals", University of California Press, 1947.

46. Young W. H., A note on trigonometric series, Mess, of Math., 38 (1909), 44-48.

47. Zygmund A., On trigonometric integrals, Annals of Mathematics, 48 (1947), 393-440.

48. Агаев Г. H., Виленкин Н. Я., Джафарли Г. М., Рубинштейн А. И., "Мультипликативные системы функций и гармонический анализ на нульмерных группах", Баку, 1981.

49. Арутюнян Ф. Г., Талалян А. А., О единственности рядов по системам Хаара и Уолша, Изв. АН СССР. Сер. мат., 28, №6 (1964), 1391-1408.

50. Бари Н. К., "Тригонометрические ряды", М.: Физ.-Мат. Лит., 1961.

51. Бокаев Н. А., О множествах единственности для некоторых орто-нормированных систем, Деп. в ВИНИТИ 03.08.1983, №4288-83 Деп.

52. Бокаев Н. А., Об U-множествах для мультипликативных систем, Вести. Моск. ун-та. математика, механика, 1 (1995), 84—86.

53. Бохнер С., "Лекции об интегралах Фурье", Физматгиз, Москва, 1962.

54. Виленкин Н .Я ., Об одном классе полных ортогональных систем, Изв. АН СССР, серия матем., 11 (1947), 363-400.

55. Винер Н., Интеграл Фурье и некоторые его прилоэ/сения", Физматгиз, Москва, 1963.

56. Гоголадзе JI. Д., К вопросу о восстановлении коэффициентов сходящихся кратных функциональных рядов, Изв. РАН, серия матем., 72 (2) (2008), 83-90.

57. Голубов Б. И., Ефимов А. В,., Скворцов В. А., "Ряды и преобразования Уолша", М.: ЛКИ,2-е издание, 2008.

58. Дьяченко М . И ., Некоторые проблемы теории кратных тригонометрических рядов, УМН, 47 (5) (287) (1992), 97-162.

59. ЗигмундА., "Тригонометрические ряды", М.: Мир, 1965, т. 1, 2.

60. Зубакин А. М'., Тузикова И. И., О множествах единственности рядов по мультипликативным периодическим системам, Тр. зон. объед. матм. кафедр пед. ин-тов Сибири, 1 (1972), 62—63.

61. Лукомский С. Ф., О некоторых классах мноэюеств единственности кратных рядов Уолша, Математический сборник, 180, №7 (1989), 937-945.

62. Мовсисян X. О ., О единственности двойных рядов по системам Ха-ара и Уолша, Известия АН Арм. ССР. Матем., 9, №1 (1974), 40 — 61.

63. Привалов И. И., Обобщение теоремы Paul-du-Boys-Reymond'a, Математический сборник, 31, №2 (1923), 229—231.

64. Скворцов В . А., Некоторые обобщения теоремы единственности для рядов по системе Уолша, Математические заметки, 13, №3 (1973), 367-372.

65. Скворцов В . А., О множествах единственности для многомерых рядов Хаара, Математические заметки, 14, №6 (1973), 789—798.

66. Скворцов В . А., О коэффициентах сходящихся кратных рядов Хаара и Уолша, Вестн. Моск. ун-та. математика, механика, 6 (1973), 77 — 79.

67. Скворцов В. А., Теорема единственности представления функций мультипликативными преобразованиями, Вестн. Моск. ун-та. математика. механика, 6 (1992), 14 — 18.

68. Тетунашвили Ш. Т., О некоторых кратных функциональных рядах и решение проблемы единственности кратных тригонометрических рядов для сходимости по Прингсхейму, Математический сборник, 182, №8 (1991), 1158-1176.

69. Титчмарш Е., "Введение в теорию интегралов Фурье", M.-JL, 1948.

70. Холщевникова Н. Н., К теореме Валле-Пуссена о единственности представления функции тригонометрическим рядом, Математический сборник, 187, №5 (1996), 143-160.

71. Холщевникова Н. Н ., Объединение множеств единственности кратных рядов — Уолша и тригонометрических, Математический сборник, 193, №4 (2002), 135-159.

72. Шнейдер А. А., О единственности разлоснсений по системе функций Уолша, Математический сборник, 24 (1949), 279—300.

73. Жеребьёва Т. А., Прямоугольная и повторная сходимость двойных рядов Уолша, Современные проблемы теории функций и их приложения: Тезисы докладов 13-й Саратовской зимней школы — Саратов: ООО Изд-во "Научная книга" 2006. 69 — 70.

74. Жеребьёва Т. А., Об одном классе множеств единственности для двойных рядов Уолша, Вестн. Моск. ун-та. математика, механика, 5 (2007), 13-18.

75. Жеребьёва Т. А., Теорема единственности для двойных рядов по мультипликативной системе функций, Мат-лы Воронежской зимней математической школы "Современные методы теории функций и смежные проблемы". Воронеж, 2007. 79—80.

76. Zherebyova Т. A., Sets of uniqueness for double trigonometric series, the 21st International Conference on Real Functions Theory: Abstracts — Niedzica. 2007. 63 — 64.

77. Жеребьёва Т. А., Об одном классе множеств единственности для кратных рядов Уолша, Вести. Моск. ун-та. математика, механика, 2 (2009), 14-21.

78. Жеребьёва Т. А., Восстановление функции по её тригонометрическому интегралу, Мат-лы Воронежской зимней математической школы "Современные методы теории функций и смежные проблемы". Воронеж, 2009. 68-69.

79. SworowskaT. A., On recovery of a function from its trigonometric integral, the 23rd International Conference on Real Functions Theory: Abstracts — Niedzica. 2009. 67-68.