Расширенная сложность трехмерных многообразий тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат физико-математических наук Шатных, Олеся Николаевна

• Шатных, Олеся Николаевна
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Шатных, Олеся Николаевна

Введение

1 Определение расширенной сложности трехмерных многообразий

1.1 Спайны и сложность трехмерных многообразий.

1.2 Корни и свободные поверхности в трехмерных многообразиях.

1.3 Нормальные поверхности в разбиениях на ручки

1.3.1 Разбиения на ручки.

1.3.2 Нормальные поверхности в разбиениях на ручки

1.4 /-компоненты трехмерного многообразия

1.5 /-число трехмерных многообразий.

1.6 Характеристика края трехмерного многообразия.

1.7 Определение расширенной сложности трехмерных многообразий.

1.7.1 Определение расширенной сложности.

1.7.2 Многообразия малой расширенной сложности

2 Свойства расширенной сложности

2.1 Поведение расширенной сложности трехмерных многообразий при разрезании по существенной поверхности.

2.2 Конечность процесса разрезания трехмерного многообразия по существенной поверхности.

2.3 Свойство конечности.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Расширенная сложность трехмерных многообразий»

В настоящее время в топологии трехмерных многообразий существует ряд проблем, одной из которых является проблема эффективной классификации трехмерных многообразий. Обычно классификация геометрических объектов ведется в порядке возрастания их сложности. Поэтому имеется настоятельная необходимость в удобной и естественной характеристике многообразия, которую можно было бы взять в качестве такой сложности. Она должна представлять собой функцию, определенную на достаточно широком классе трехмерных многообразий и принимающую значения в некотором вполне упорядоченном множестве. Значение этой функции на каждом конкретном многообразии М удобно называть сложностью этого многообразия. Разумеется, было бы желательно, чтобы такая сложность обладала следующими полезными свойствами.

1. Свойство монотонности. При разрезании многообразия по существенной поверхности сложность многобразия строго уменьшается.

2. Свойство конечности. Для любого значения сложности существует только конечное число многообразий, сложность которых совпадает с данной.

Таким образом, возникает следующая важная задача, решение которой является основным результатом диссертации. задача. Построить функцию сложности, которая для достаточно широкого класса трехмерных многообразий обладает свойствами 1,2.

Так как при разрезании по существенной поверхности построенная сложность строго уменьшается, то ее существование полезно при индуктивных доказательствах, когда удается установить, что справедливость нужного свойства сохраняется при таких разрезаниях.

Сложность В ал ьдхаузена.Впервые такой метод был применен Ф.Вальдхаузеном ( [20]). Он использовал ее для доказательства того, что любая гомотопическая эквивалентность достаточно больших многообразий деформируется (с помощью гомотопии) в гомеоморфизм. Этот результат весьма замечателен, поскольку он относится к чрезвычайно важному классу утверждений, устанавливающих связь между понятиями различных категорий (в данном случае, гомотопической и топологической). Например, недавно решенная трехмерная гипотеза Пуанкаре ( [19] ) относится именно к этому классу.

В процессе доказательства Вальдхаузен последовательно разрезал данное многообразие по собственным существенным поверхностям с краем (если начальное многообразие замкнуто, то первый разрез выполняется по замкнутой существенной поверхности, для этого и нужно условие, что многообразие является достаточно большим). Для доказательства того, что процесс таких разрезаний конечен (и закончится на наборе шаров) Вальдхаузен ввел свою сложность (х^О

Рассмотрим разбиение трехмерного многообразия на ручки ( [8,20]). Напомним, что ручки индексов 0, 1, 2 называют, соответственно, шарами, балками и плитками.

Рис. 1: Разбиение на ручки

Определим сложность разбиения ( [20|). Пусть В — некоторая балка разбиения и пусть 6 — число плиток, примыкающих к В. Обозначим 6" = тах{5 — 2,0), 5' = тах(5 — 1,0) и определим числа х и V как X — ^ б", ?? = £<*', где суммирование ведется по всем балкам разбиения. Пусть теперь е — число компонент пересечения некоторого шара разбиения с объединением балок и плиток разбиения. Тогда £ — £(е — 1), где сумма берется по всем шарам данного разбиения. Таким образом, каждому разбиению трехмерного многообразия на ручки можно поставить в соответствие тройку Г), С) неотрицательных чисел, которые, рассматриваемые в лексикографическом порядке, дают сложность Вальдхаузена данного разбиения.

Обозначим через Мр многообразие, полученное из многообразия Ы разрезанием вдоль собственной нормальной поверхности Р. Эта поверхность разбивает каждую ручку на несколько ручек того же индекса, поэтому Мр обладает естественным разбиением на ручки, сложность которого мы обозначим через (х'^'Х')- Вальдхаузеи доказал, что в любом многообразии с краем найдется собственная существенная поверхность, при разрезании по которой сложность строго уменьшается, т.е. (х'з 7?/) С) < (х^О- Нужно отметить следующее.

1. При разрезании по замкнутой существенной поверхности сложность Вальдхаузепа может увеличиться (за счет увеличения параметра 77 при сохранении параметра

2. Вальдхаузен доказал уменьшение сложности не для любой существенной поверхности с краем. Он доказал только существование поверхности, при разрезании по которой сложность уменьшается (на самом деле, все используемые им поверхности являются неразбивающими, т.е. после разрезания многообразие остается связным).

3. При исследовании многообразий часто приходится резать их как по замкнутым, так и по разбивающим существенным поверхностям. Поэтому поставленная задача (построение расширенной сложности со свойством строго монотонного убывания при разрезаниях) весьма актуальна.

Таким образом, свойство монотонности для сложности Вальдхаузепа выполнено только частично. Свойство конечности выполняется полностью.

Приведем другой пример такой характеристики. длина многообразия. Эта характеристика использовалась еще В. Хакеном. Мы будем следовать работе В. Джейко ( [14]). Пусть М — компактное трехмерное многообразие. Частичной иерархией для многообразия М называется конечная или бесконечная последовательность пар (Mb.Fi), • • •, (М„, .где М\ = М, и Еп есть двусторонняя, несжимаемая, не параллельная краю поверхность в МП1 и

Mn+1 — многообразие, полученное из многообразия Мп разрезанием по поверхности Fn. Если все поверхности Fn гранично несжимаемы и отличны от диска, то длина (число используемых поверхностей) любой частичной иерархии конечна. Поэтому можно определить длину v(M) многобразия М как максимально возможную длину таких иерархий. Справедливость свойства 1 (см. стр. 4 диссертации) для такой сложности сразу следует из определения, но только для случая, когда используемые поверхности отличны от диска (чтобы учесть разрезания по дискам, нужно вводить дополнительную характеристику, например, число д^2\дМ), см. стр. 15). Поэтому его можно использовать для индуктивных доказательств. Свойство 2 здесь не выполняется. Например, все многообразия Столлингса со слоем тор имеют длину 2, а их — бесконечное число.

Камерная сложность. Эта сложность, представляющая собой упорядоченную семерку чисел (смотри [4], с. 271, определение 6.5.1), была введена С.В.Матвеевым для доказательства теоремы классификации достаточно больших многообразий. Там же доказано (предложение 6.5.2), что эта сложность строго уменьшается при так называемых расширяющих преобразованиях, каждое из которых состоит во вставке существенной поверхности-перегородки в одну из камер. Вставка поверхности в камеру Q означает, что Q разбивается на две новые камеры Q' и Q", т.е. операция вставки перегородки в камеру очень близка к разрезанию камеры по этой перегородке. Таким образом, строгое уменьшение сложности было фактически достигнуто, но только для очень специальных поверхностей. Наличие общей теоремы о строгом уменьшении для произвольных существенных поверхностей позволило бы существенно упростить доказательство теоремы классификации. Поэтому решение задачи построения расширенной сложности в настоящей диссертации является весьма полезным результатом.

Приведем примеры некоторых других мер сложности, явно или неявно применявшихся различными авторами. сложность хегора. Напомним, что разбиением Хегора трехмерного многообразия М называется его представление в виде объединения двух лежащих в нем полных кренделей с общим краем (но без общих внутренних точек). Родом разбиения Хегора называется род кренделей разбиения. Известно, что любое замкнутое ориентируемое многообразие допускает разбиение Хегора некоторого рода ( [6,7]). Говорят, что род Хегора замкнутого ориентируемого трехмерного многообразия М равен д, если М допускает разбиение Хегора рода д и не допускает разбиений Хегора меньшего рода. Считается, что чем больше род, тем многообразие сложнее (в неформальном смысле этого слова). Во всяком случае, все многообразия рода 1 классифицированы (это линзовые пространства), а многообразия рода 2 — пока нет. Род Хегора аддитивен по отношению к связному суммированию трехмерных многообразий, но уже для д > 1 число различных многообразий рода Хегора д бесконечно. Поэтому свойства конечности здесь нет, а о свойстве монотонности говорить не приходится, поскольку при разрезании многообразия по поверхности оно перестает быть замкнутым (так как появляется край).

Диаграммная сложность Хегора. Пусть НиН' = М разбиение Хегора замкнутого многообразия М, F — дН — дН' — общая поверхность рода g кренделей, и = {и\,.,ид} система меридианов кренделя Н, и v = {г>1, .,vg} — система меридианов кренделя Н'. Тогда тройка (F,u,v) называется диаграммой Хегора многообразия М. Диаграммной сложностью Хегора с9(М) многообразия M называется минимальное число точек пересечения меридианов системы и с меридианами системы v, где минимум берется по всем возможным диаграммам Хегора заданного рода ( [5]). Так как с9(М) строится по разбиению Хегора определенного рода, сложность Хегора определяется только для замкнутых многообразий. Можно доказать, что для любого числа п > 0 число различных многообразий рода g со сложностью cg = п конечно. Поэтому свойство конечности выполнено.

Кристаллизационная сложность. Это понятие было введено итальянскими математиками ( [10,11]) на языке теории графов. Гелшой называется граф Г, все вершины которого имеют валентность четыре, а ребра раскрашены четырьмя цветами так, чтобы в каждой вершине сходились четыре ребра разных цветов. По каждой гемме можно построить двумерный полиэдр Р, который получается приклеиванием к этому графу 2-клеток по всем двуцветным циклам. Можно доказать, что Р всегда утолщается до трехмерного многообразия M с краем, причем любое многообразие с краем можно получить указанным способом. При выполнении некоторых дополнительных условий граф Г называется кристаллизацией многообразия М. Кристаллизационная сложность многообразия M по определению равна минимальному числу вершин задающих его кристаллизаций. Свойство конечности для такой сложности выполнено по очевидным причинам. Однако, поведение кристаллизационной сложности при разрезаниях по поверхностям достаточно сложно, причем свойства монотонности нет. сложность с(м). Эта сложность была введена c.b. Матвеевым на основе построенной им теории спайнов ( [1,7,17]).

Напомним, что полиэдр Р С М называется спайном многообразия М с краем, если М\ Р гомеоморфно дМ х (0,1]. Полиэдр Р называется спайном замкнутого многообразия М, если Р является спайном многообразия М\/пШ3, где /пШ3 — открытый трехмерный шар в М.

Простой двумерный полиэдр имеет особенности только двух типов: конус над полным графом с четырьмя вершинами и конус на окружностью с диаметром. В первом случае особая точка называется истинной вершиной, во втором — тройной точкой. Тройные точки организуются в тройные линии, соединяющие истинные вершины, и тройные окружности. Неособые точки организуются в 2-компоненты. Если спайн имеет хотя бы одну истинную вершину и все его 2-компоненты являются клетками, то полиэдр называется специальным. Почти простой полиэдр получается из простого добавлением графа, валентность вершин которого пе меньше двух, и приклеиванием к компонентам связности дуг по обоим концам.

Спайн Р трехмерного многообразия М называется специальным, простым или почти простым, если он является специальным, простым или почти простым полиэдром соответственно.

Сложность с(М) многообразия М определяется как число истинных вершин его минимального (в смысле числа вершин) почти простого спайпа. Как доказано в [1,4,17], сложность с(М) обладает свойствами монотонности и конечности следующего типа.

1. Свойство монотонности. При разрезании многообразия по существенной поверхности его сложность не увеличивается.

2. Свойство конечности. Для любого числа к существует только конечное число замкнутых ориентируемых неприводимых трехмерных многообразий, сложность которых не превосходит данного числа к. Аналогичный факт верен и для тех неприводимых гранично неприводимых многообразий с краем, которые не содержат существенных колец.

Более того, если многообразие замкнуто и не содержит проективных плоскостей, а поверхность отлична от сферы, то при разрезании по ней сложность многообразия строго уменьшается. Однако, она может сохраняться при разрезании по поверхностям с краем. Чтобы исправить этот недостаток, в работе [4] был предложен модифицированный вариант сложности. Расширенной сложностью с(М) многообразия М называется тройка чисел (с(М), с\{М), С2(М)), где с(М) — обычная сложность многообразия М, С\{М) — минимальное число тройных окружностей, взятое по всем почти простым спайнам многообразия М с с(М) вершинами, и Сг(М) — минимальное число 2-компонент, взятое по всем почти простым спайнам многообразия М, имеющим с(М) вершин и с\{М) тройных окружностей. Там же доказано, что если поверхность ^ с краем существенна и отлична от диска, то с(Мр) < с{М).

Условие дР ф 0 является существенным. В работе [21] мы показали, что при разрезании многообразия по замкнутой поверхности данная расширенная сложность может увеличиться, что ограничивает применение этого инварианта.

В настоящей диссертации решается задача построения расширенной сложности ориентируемых трехмерных многообразий, которая принимает значения в некотором вполне упорядоченном множестве и обладает следующим ключевым свойством: при разрезании многообразия М по несжимаемой гранично несжимаемой поверхности Е она строго уменьшается, т.е. с{Мр) < с(М). Исследуются свойства построенного расширения.

Пусть М —компактное ориентируемое трехмерное многообразие. Напомним, что с(М) и С\(М) обозначают, соответственно, число истинных вершин и число тройных окружностей минимального почти простого спайна многообразия М. Как показано в [4] , это пара чисел, рассматриваемая в лексикографическом порядке, неплохо отражает сложность многообразия в неформальном смысле этого термина. Однако, простые примеры показывают, что такая сложность при разрезании по существенной поверхности может сохраниться. Например, умножим тор с дырой прямо на окружность 5. Получим многообразие М, минимальным спайном которого будет прямое произведение тета-кривой на окружность, смотри рисунок 2.

Разрежем многообразие М по существенному тору. Получим многообразие, которое можно представить как прямое про

Тогда с(М) = 0, а(М) = 2.

Рис. 2: Многообразие М и его спайн изведение Л*"2 — диска с двумя дырами на окружность. Минимальный спайн полученного многообразия Л/"2 х в также представляет собой прямое произведение тета-кривой на окружность, смотри рисунок 3.

Т.е. и в этом случае с(ЛГ2 х 5) — 0, х 3) = 2. Таким образом, при разрезании по существенной поверхности данная сложность сохраняется.

Поэтому, в дополнение к этой паре чисел, мы введем еще три характеристики многообразия.

Пусть М — компактное ориентируемое трехмерное многообразие, Я(М) — его (5, £>)-коренъ, смотри [13]. Если поверхность Е лежит в дМ и ОЯ(М) одновременно, то Р будем называть свободной поверхностью многообразия М.

Многообразие ЩМ) в общем случае несвязно.

Определение 1.19.1-компонентой (5, £>)-кория ЩМ) многообразия М будем называть его компоненту связности вида Ох/ (прямое произведение поверхности на отрезок), где С — замкнутая ориентируемая поверхность либо вида (ориентируемое косое произведение поверхности на отрезок), где

Рис. 3: Многообразие И2 х 3 и его спайн

7 — замкнутая неориентируемая поверхность. Поверхность (7 в обоих случаях называется базой /-компоненты.

Первая характеристика, которую мы вводим, <Э/(М) равна числу свободных поверхностей края многообразия М, не лежащих в /-компонентах корня этого многообразия.

Вторая характеристика 1{М) зависит от числа и типов /компонент, которые можно выделить в соответствии с типом базы (7 и числом свободных поверхностей края /-компоненты. База /-компоненты может быть ориентируемой или неориенти-руемой поверхностью. В первом случае /-компонента может иметь две, одну или не иметь свободных поверхностей, во втором — одну свободную поверхность или ни одной.

Определение 1.20. I-числом ориентируемого трехмерного многообразия М будем называть число /(М) = 3/р~(М) + 1+{М) + 1}{М) + 4/о (М) + 2/1~(М), где

Ц(М) есть число /-компонент (5,/))-корня многообразия М, имеющих ориентируемую (при е = +) или неориентируе-мую (при е = —) базу и к свободных поверхностей края.

Коэффициенты в определении /-числа подобраны так, чтобы при разрезании /-компоненты по замкнутой существенной поверхности оно всегда уменьшалось.

Третьей введенной характеристикой многообразия является число, зависящее от рода компонент его края. д&\дМ) = Ег- д2(Р{), где — род компоненты Р{ С дМ, и суммирование ведется по всем компонентам края дМ.

Определим расширенную сложность трехмерных многообразий.

Определение 1.21. Расширенной сложностью компактного ориентируемого трехмерного многообразия М называется пятерка с(М) = {с{М),с1{М),-д1{М),1{М),д{-2\дМ)).

Наборы рассматриваются в лексикографическом порядке.

Например, 53 имеет расширенную сложность (0, 0,0, 0,0), а /-расслоения над замкнутой поверхностью Р — (0,0, 0, 2, (п — I)2), если Р — связная сумма п проективных плоскостей, и (0,0, 0,1, 2с/2), если Р — ориентируемая поверхность рода д.

Основной результат диссертации можно сформулировать в следующем виде.

Теорема 2.1. Пусть Р — связная существенная поверхность в ориентируемом неприводимом трехмерном многообразии М, каждая компонента связности которого отлична от проективного пространства Тогда с{Мр) < с(М).

Доказательство этой теоремы основано на использовании метода нормальных поверхностей Хакена ( [12]). Сначала мы доказываем, что утверждение верно для нормальной поверхности, а затем показываем, что процедура нормализации поверхности Р (смотри, например, [4]) не меняет первых двух компонент расширенной сложности и не уменьшает остальные. Отсюда следует, что с(Мр) < с(М).

Из этой теоремы следуют два важных результата. Первым результатом является

Терема 2.2. Процесс последовательного разрезания ориентируемого неприводимого трехмерного многообразия по существенным поверхностям конечен.

Заметим, что данная теорема не является принципиально новым результатом. Например, теорема конечности Кпезера-Хакена (смотри, например, [14, Теорема 111.20]) ограничивает число разрезаний компактного ориентируемого многообразия по попарно непересекающимся существенным поверхностям.

Джейко в работе ( [14, Теорема 111.24]) обобщил эту теорему для произвольного компактного многообразия и несжимаемых поверхностей. Там же он доказал (Теорема IV.7), что последовательность разрезаний компактного трехмерного многообразия по двусторонним существенным поверхностям конечна. В отличие от приведенных результатов, мы не требуем, чтобы разрезающие поверхности попарно не пересекались или были двусторонними, хотя и ограничиваемся рассмотрением только ориентируемых неприводимых многообразий. Автор выражает искреннюю благодарность Марине Файвушевне Прохоровой за обзор этих результатов.

Полученные результаты позволяют использовать построенную расширенную сложность в качестве параметра индукции в индуктивных доказательствах, поскольку согласно [6] (Предложение 7.2), при разрезании неприводимого многообразия по существенной поверхности мы опять получим неприводимое многообразие.

Далее мы исследовали некоторые свойства расширенной сложности. Было установлено, что, как и обычная сложность, расширенная обладает свойством конечности. Этот результат является вторым следствием основной теремы.

Теорема 2.3. Для каждого целого набора (&!, /гз, к4, к$) существует только конечное число различных компактных ориентируемых неприводимых трехмерных многообразий, которые имеют расширенную сложность (к\, /сз, к4, к$).

Таким образом в диссертации получены следующие результаты: построено расширение сложности трехмерных многообразий (определение 1.21), которое всегда уменьшается при разрезании ориентируемого неприводимого многообразия по существенной поверхности (теорема 2.1); доказано, что процесс последовательного разрезания ориентируемого неприводимого трехмерного многообразия по существенным поверхностям конечен (теорема 2.2); доказано, что построенная сложность обладает свойством конечности (теорема 2.3).

Теперь изложим содержание диссертации по главам.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Шатных, Олеся Николаевна, 2009 год

1. Матвеев, С. В. Сложность геометрических многообразий. // Сборник научных трудов "Некоторые вопросы анализа и дифференциальной топологии". Институт математики АН УССР. 1988. С. 48-55.

2. Матвеев, С. В. Алгоритм распознавания трехмерной сферы (по А. Томпсон). // Математический сборник. 1995. Т. 186. № 5. С. 69-84.

3. Матвеев, С. В. Распознавание и табулирование трехмерных многообразий. // Доклады Академии наук. 2005. Т. 400. № 1. С. 26-28.

4. Матвеев, С. В. Алгоритмическая топология и классификация трехмерных многообразий. М.: МЦНМО. 2007.

5. Матвеев, С. В., Таркаев, В. В. Компьютерная классификация расширенных диаграмм Хегора. // Вестник Челябинского госуниверситета. Серия "Математика. Механика. Информатика". Челябинск: Челяб. гос. ун-т, 2003. № 2. С. 146-152.

6. Matveev, S. Complexity theory of three-dimentional manifolds. // Acta Applicandae Math. 1990. V. 19. P. 101130.

7. Milnor, J. A unique decomposition theorem for 3-manifolds.// Amer. J. Math. 1962. V. 84. P. 1-7.

8. Morgan, J., Tian, G. Ricci flow and the Poincare conjecture.// Clay Math. Monographs. 2007. V. 3. P. 521.

9. Waldhausen, F. On irreducible 3-manifolds which are sufficiently large. // Ann. Math. 1968. V. 87, № 1. P. 56-88.Работы автора по теме диссертации

10. Shatnykh, О. The extended complexity of three-manifolds. // Siberian Electronic Mathematical Reports. 2005. V. 2. P. 194195.

11. Шатных, О. H. Расширенная сложность трехмерных многообразий. // Тез. докл. Всерос. науч. конф. «Математика. Механика. Информатика». Челябинск: Челяб. гос. ун-т. 2006. С. 152.

12. Шатных, О. Н. Расширение сложности трехмерных многообразий. // ПРОБЛЕМЫ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ И ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ: Труды 38-й Региональной молодежной конференции. Екатеринбург: УрО РАН, 2007. С. 80-84.

13. Шатиых, О. Н. Поведение расширенной сложности неприводимых трехмерных многообразий. // Сибирский математический журнал. 2008. Т. 49, № 3. С. 698-706.

14. Шатных, О. Н. Некоторые свойства расширенной сложности трехмерных многообразий. // Вестник Челябинского госуниверситета. Серия "Математика. Механика. Информатика". Челябинск: Челяб. гос. ун-т, 2008. № 6. С. 114— 120.