Граничные наклоны трехмерных многообразий тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат физико-математических наук Сбродова, Елена Александровна

• Сбродова, Елена Александровна
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Сбродова, Елена Александровна

Введение

1 Наклон

1.1 Метод нормальных поверхностей Хакена в многообразиях с граничными узорами.

1.2 Существенные поверхности в многообразиях с граничными узорами.

1.3 Наклон и специальная триангуляция.

2 Плоские поверхности

2.1 Алгоритмическое нахождения плоской поверхности с заданным наклоном края.

2.2 Типы наклонов.

2.3 Оценка средней длины кривых наклона

2.4 Алгоритмическое нахождение плоской поверхности.

3 Поверхности произвольного рода

3.1 Алгоритмическое нахождение граничного наклона ограниченного ориентируемого рода

3.2 Алгоритмическое нахождение граничного инъективного наклона ограниченного рода.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Граничные наклоны трехмерных многообразий»

Напомним, что n-мерным многообразием называется хаусдорфово топологическое пространство, каждая точка которого имеет окрестность, гомеоморфную ??,-мерному диску или n-мерному полудиску. Множество точек n-мерного многообразия М, не имеющих окрестности, гомеоморф-ной n-мерному диску, называется краем и обозначается через дМ. В настоящей работе мы будем рассматривать только компактные, ориентируемые, трехмерные многообразия и вложенные в них поверхности (2-мерные подмногообразия).

Хорошо известно, что любое замкнутое ориентируемое трехмерное многообразие можно получить перестройкой по зацеплению. Опишем эту процедуру. В сфере S3 рассмотрим зацепление L С S:i. Вырежем из сферы S3 открытую трубчатую окрестность зацепления L. Получим компактное многообразие С i, называемое дополнительным пространством зацепления L, край которого состоит из набора торов. Приклеим к каждой компоненте края дСь полноторие D2 х S1 по гомеоморфизму края на край. В результате получим замкнутое трехмерное многообразие М. Будем говорить, что М получено перестройкой по зацеплению L. Заметим, что результат вклеивания полнотория определяется указанием образа края его меридионального диска. Таким образом, чтобы задать перестройку по зацеплению L, достаточно указать набор простых замкнутых нетривиальных кривых (образы краев меридиональных дисков приклеиваемых полноторий) по одной для каждой торической компоненты края 0 С с.

На каждой торической компоненте Г» С дСь выберем систему координат {/j;, А;} (гомологический базис для H\(Ti)). Любая нетривиальная простая замкнутая кривая а С ГД может быть представлена в виде а = р[м -I- q\i, где р и q — целые взаимно простые числа. Геометрический смысл чисел р и q заключается в том, что | равно тангенсу угла наклона геодезической кривой, изотопной се, от параллели А; (смотри рисунок 1). Заметим, что существует взаимно однозначное соответствие между классами изотопных нетривиальных кривых на торе и множеа =2ц+ЗХ

Рис. 1: Кривой а соответствует наклон, равный |. ством QU наклонов. В дальнейшем, под наклоном на торе мы будем понимать нетривиальную кривую на этом торе, определенную с точностью до изотопии (смотри, например, [9, 14, 17]). Таким образом, чтобы задать перестройку по зацеплению, достаточно указать наклон на каждой торической компоненте края дСь

Следующее определение обобщает понятие торического наклона на случай произвольной поверхности.

Определение 1.6. Наклоном на замкнутой поверхности S называется набор а = {a\,Cf2,., ап} нетривиальных простых замкнутых кривых на S, которые попарно не пересекаются и не изотопны. Два наклона а = {«1,., ап} и Р = {Pi,., Рп} на S считаются равными, если существует изотопия поверхности S, переводящая набор кривых {«i,., ап} в набор {Ри,., Pin}, где Р{. € Р.

Объектами исследования в данной работе являются наклоны на крае произвольного трехмерного многообразия.

В трехмерном многообразии М рассмотрим собственную вложенную поверхность F С М и наклон a ={o;i, ссг, • • •, &п} на дМ. Напомним, что вложенная поверхность F в трехмерном многообразии М называется собственной, если FOdM = dF. Будем говорить, что край 8F поверхности F имеет наклон а, если dF = k\a.\ U U • • • U knan, т. e. dF состоит из ki копий кривой ai, /С2 копий кривой а.2 и т. д., где числа принимают натуральные значения. Обозначим наклон края поверхности F через dF],

Среди всех наклонов на крае трехмерного многообразия М выделяют, так называемые, граничные наклоны, т. е. наклоны краев вложенных в многообразие собственных поверхностей. Задача нахождения граничных наклонов весьма интересна с точки зрения классификации трехмерных многообразий, так как вложенные поверхности, а с ними и граничные наклоны, несут информацию о структуре трехмерного многообразия. Однако, не все собственные поверхности интересны, например такие, которые есть в любом многообразии с краем. На рисунке 2 представлены некоторые "неинтересные" поверхности в кренделе рода 2. Все они либо являются тривиальными сферами или тривиальными дисками, либо сжимаются до тривиальных сфер и дисков (т. е. содержат тривиальные трубки или тривиальные тоннели, сжимающие данную поверхность).

Рис. 2: "Неинтересные" поверхности F\, F3 в кренделе рода 2.

Наибольший интерес представляют так называемые существенные поверхности, которые не содержат нетривиальных трубок и тоннелей, т. е. являются несжимаемыми и гранично несжимаемыми поверхностями (смотри параграф 1.2).

Определение 3.1. Наклон а на крае трехмерного многообразия М называется граничным, если в М найдется такая собственная существенная поверхность F, что наклон края dF равен а (смотри, например, [17]).

Знание граничных наклонов в данном трехмерном многообразии М интересно не только для изучения многообразия М, но и для многообразий его содержащих. Например, рассмотрим произвольное компактное ориентируемое многообразие М с торическим краем. Приклеим к нему полноторие по гомеоморфизму края на край, заданному наклоном а, получим новое многообразие М(а), называемое заполнением Дена многообразия М. Известно, что если исходное многообразие М было гиперболическим, то М(а) будет гиперболическим почти для всех наклонов а за исключением конечного числа (исключительные наклоны) (смотри, например, [19]). В последнее время именно исключительные наклоны вызывают большой интерес [5, 7, 17, 18]. В частности, если М(а) является приводимым (содержит существенную сферу), тороидальным (содержит существенный тор), то а — исключительный наклон. В первом случае, в многообразии М найдется собственный существенный проколотый диск, граничные кривые которого лежат в классе а, во втором — существенный проколотый тор.

В настоящей диссертации решается задача алгоритмического нахождения граничных наклонов на крае произвольного трехмерного многообразия. Более точно, строится алгоритм, выясняющий, содержит ли данное трехмерное многообразие М граничный наклон, род которого не превосходит данного числа N. Если ответ на этот вопрос положительный, то алгоритм строит один из таких граничных наклонов и существенную поверхность, натянутую на этот наклон. Решение задачи разбито на два основных шага. Во-первых, строится алгоритм для нахождения так называемых плоских наклонов, другими словами, для нахождения существенных поверхностей рода 0 с краем в данном многообразии. Напомним, что родом ориентируемой поверхности F с краем называется род (число ручек) замкнутой поверхности, которая получается из F заклеиванием дисками всех компонент края. Связные поверхности рода О с непустым краем называют плоскими, подчеркивая возможность вложения их в плоскость. Примеры плоских поверхностей вы видите на рисунке 3.

Диск Кольцо Диск с двумя дырками

Рис. 3: Плоские поверхности.

Хорошо известно, что наличие или отсутствие существенных плоских поверхностей может много сказать о многообразии. Поэтому задача их алгоритмического нахождения весьма актуальна. Приведем несколько примеров.

Пример 1. Узел К в трехмерной сфере является тривиальным тогда и только тогда, когда его дополнительное пространство С к содержит существенный диск. Объяснение здесь простое, край этого диска является одной из параллелей узла, которая, конечно, изотопна узлу. Этот факт позволил построить алгоритм распознавания тривиальности узла [8].

Пример 2. Напомним, что трехмерное гиперболическое многообразие не может содержать существенных колец. Поэтому информация о наличии существенных колец весьма важна: если многообразие содержит существенные кольца, то оно не является гиперболическим. Задача алгоритмического нахождения существенных колец также решена (смотри, например, [2]).

Пример 3. Информация о том, содержит ли данное трехмерное многообразие существенные кольца весьма важна для наличия на нем структуры Зейферта (расслоения на непересекающиеся простые замкнутые кривые — слои), поскольку все гранично неприводимые многообразия

Зейферта с краем содержат существенные кольца.

Пример 4. Обобщая пример неприводимых заполнений Дена, рассмотрим два неприводимых многообразия Mi и Мг с общим краем. Если объединение М\ \JV М2 по гомеоморфизму ip : дМ\ —>■ дМ^ края <9 Mi на край дМ'2. является приводимым многообразием, то одно из многообразий Mij М2 является гранично приводимым, а другое содержит существенную плоскую поверхность.

Как уже отмечалось выше, задача алгоритмического нахождения существенного диска и существенного кольца в данном трехмерном многообразии уже решена (смотри, например, [2, 8]). Решение строится по методу нормальных поверхностей Хакена. Следующий большой результат в этом направлении принадлежит У. Джейко, Э. Седжвику и X. Рубинштейну (смотри [13, 14]). Они построили алгоритм, выясняющий, содержит ли данное многообразие с торическим краем (затем с краем, состоящим из нескольких торов) существенную плоскую поверхность. Важность результата состоит в том, что искомая поверхность может иметь произвольное число граничных кривых. Алгоритм использует теорию нормальных поверхностей Хакена, однако не следует из прямого его применения. Ключевым моментом при построении алгоритма служит оценка средней длины граничных кривых любой существенной плоской поверхности в данном триангулированном многообразии. Эта оценка строится алгоритмически и зависит только от многообразия и выбранной триангуляции (смотри параграф 2.3).

Первым основным результатом диссертации служит следующая теорема.

Теорема 2.4. Существует алгоритм, выясняющий, содержит ли данное ориентируемое компактное неприводимое трехмерное многообразие М существенную плоскую поверхность. В случае положительного ответа алгоритм строит существенную в М плоскую поверхность.

Доказательство теоремы опирается на результаты У. Джейко и др., однако имеет принципиальные отличия. Во-первых, в доказательстве У. Джейко и др. существенно использовалось, что край многообразия состоит из одного (смотри [14]) или многих (смотри [13]) торов. Для многообразий с произвольным краем их методов недостаточно. Отличительным моментом в настоящей диссертации является использование так' называемых граничных узоров. Суть заключается в том, что мы фиксируем на крае многообразия некоторый граф (граничный узор) и рассматриваем только чистые поверхности, не пересекающие наш граф. Понятие граничного узора было введено К. Йоганнсоном в конце 70-х (смотри [15])! Отметим, что теория нормальных поверхностей для многообразий с граничным узором (рассматриваются только чистые поверхности) в идейном смысле мало отличается от теории Хакена. Практически все основные результаты теории Хакена допускают обобщения на случай многообразий с граничными узорами (смотри, например, [2]).

Нужно отметить, что наш метод позволил не только доказать теорему об алгоритмическом нахождении плоских поверхностей в многообразиях с произвольными краями, но и предложить намного более простое доказательство аналогичной теоремы У. Джейко и др. (смотри [13]) для случая многообразий, краями которых являются наборы торов.

Решение задачи алгоритмического нахождения плоских наклонов позволило перейти к вопросу об алгоритмическом нахождении граничных наклонов ограниченного рода. Переформулировать этот вопрос можно так: существует ли алгоритм, выясняющий, содержит ли данное многообразие существенную поверхность, род которых не превосходит данного числа. Наряду с плоскими поверхностями, существенные поверхности более высокого рода также интересны как для самого трехмерного многообразия, так и для его заполнений. Например, большие многообразия Зейферта, многообразия Хакена содержат существенные поверхности, род которых больше нуля.

Второй основной результат настоящей диссертации можно сформулировать в виде следующей теоремы.

Теорема 3.2. Существует алгоритм, который по данному компактному ориентируемому неприводимому гранично неприводимому трехмерному многообразию М и данному числу N > 0 выясняет, содержит ли М существенную ориентируемую поверхность, род которой не превосходит N. В случае положительного ответа алгоритм строит такую существенную ориентируемую поверхность F, что g(F) < N.

Однако, предложенный алгоритм имеет недостаток — в результате его работы мы можем получить замкнутую поверхность. Хотелось бы уметь алгоритмически находить только поверхности с краем, возможно неориентируемые. Заметим, что род неориентируемой поверхности, которая есть связная сумма т проективных поверхностей, равен При решении этой задачи возникла проблема, мы не умеем алгоритмически проверять существенность неориентирумой поверхности (точнее ее несжимаемость). Поэтому рассматриваем более узкий класс поверхностей, инъек-тивные существенные поверхности. Напомним, что связная поверхность F с М называется инъактивной, если гомоморфизм г* : 7Ti(F) —> 7Ti(M), индуцированный вложением г : F М, является инъективным (смотри [2, 12]). Заметим, что инъективная поверхность является несжимаемой.

Теорема 3.6. Существует алгоритм, выясняющий для данного целого числа N, содержит ли данное ориентируемое компактное неприводимое гранично неприводимое трехмерное многообразие М такую связную инъективную существенную проколотую поверхность F, что g(F) < N. В случае положительного ответа алгоритм строит такую существенную инъективную поверхность F, что g(F) < N.

В диссертации получены следующие основные результаты:

- Построен алгоритм, выясняющий, содержит ли данное ориентируемое компактное многообразие существенную плоскую поверхность (плоский наклон). В случае положительного ответа, алгоритм строит существенную плоскую поверхность (теорема 2.4).

- Построен алгоритм, выясняющий, содержит ли данное ориентируемое компактное многообразие существенную ориентируемую поверхность рода не выше N, где N задано (граничный ориентируе

• мый наклон ограниченного рода). В случае положительного ответа, алгоритм строит такую поверхность (теорема 3.2).

- Построен алгоритм, выясняющий, содержит ли данное ориентируемое компактное многообразие существенную инъективную поверхность рода не выше N, где N задано (граничный инъективный наклон ограниченного рода). В случае положительного ответа, алгоритм строит такую поверхность (теорема 3.6). Этот алгоритм является модификацией предыдущего и нужен для того, чтобы находить неориентируемые существенные поверхности.

Перейдем к изложению содержания диссертации по главам.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Сбродова, Елена Александровна, 2008 год

1. Jaco, W., Letscher, D., Rubinstein, J. H. Algorithm for essential surfaces in 3-manifolds. // Contemporary Mathematics. 2002. V. 314. P. 107-124.

2. Jaco, W., Oertel, U. An algorithm to decide if a 3-manifold is a Haken manifold. // Topology. 1984. V. 23. № 2. P. 195-209.

3. Jaco, W., Rubinstein, J. H., Sedgwick, E. Finding planar surfaces in knot- and link-manifolds. // arXiv:math.GT/0608700.

4. Jaco, W., Sedgwick, E. Decision problems in the space of Dehn fillings. // Topology. 2003. V 42. P. 845-906.

5. Johannson, K. Homotopy equivalences of 3-manifolds with boundaries. // Lecture Notes in Mathematics, V. 761. Springer. Berlin. 1979.

6. Kneser, H. Geschlossene Flachen in dreidimensionalen Mannigfaltigkeiten. // Jahresber. Dent. Math. Ver. 1929. V. 38. P. 248-260.

7. Mattman, T. Boundary slopes (nearly) bound cyclic slopes. // Algebraic к Geometric Topology. 2005. V. 5. P. 741-750.

8. Motegi, K., Song, H. J. All integral slopes can be Seifert fibered slopes for hyperbolic knots. // Algebraic and Geometric Topology. 2005. V. 5. P. 369-378.

9. Thurston, W. P. Three dimensional manifolds, Kleinian groups and hyperbolic geometry. // Bull. Amer. Math. Soc. 1982. V. 6. P. 357-381.Работы автора по теме диссертации

10. Сбродова, Е. А. Алгоритм нахождения плоских поверхностей в трёхмерных многообразиях. // Фундаментальная и прикладная математика. 2005. Т. 11. № 4. С. 197-202.

11. Sbrodova, Е. An algorithm of finding planar surfaces in three-manifolds. /I Siberian Electronic Mathematical Reports. 2005. T. 2. P. 192-193.

12. Сбродова, E. А. Плоские поверхности в трехмерных многообразиях. // Сибирские электронные математические известия. 2006. Т. 3. С. 451-463.

13. Сбродова, Е. А. Собственные существенные поверхности ограниченной характеристики в трехмерных многообразиях. // Труды 38-й per. молодежной школы-конф. «Проблемы теоретической и прикладной математики». Екатеринбург: ИММ УрО РАН. 2007. С. 94-95.

14. Сбродова, Е. А. Граничные наклоны трехмерных многообразий. // Тез. докл. конф. «Математика в современном мире», посвященной 50-летию Ин-та математики им. С. Л. Соболева СО РАН. Новосибирск: Ин-т математики им. С. Л. Соболева СО РАН. 2007. С. 94-95.

15. Сбродова, Е. А. Алгоритмическое нахождение собственных существенных поверхностей в трехмерных многообразиях. // Математические заметки. 2007. Т. 82. № 4. С. 593-597.