Распределение количества компонент связности дополнения к наборам замкнутых геодезических тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат физико-математических наук Шнурников, Игорь Николаевич

• Шнурников, Игорь Николаевич
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Шнурников, Игорь Николаевич

Содержание

Введение

1 Наборы псевдопрямых на проективной плоскости

1.1 Линейные неравенства на числа точек пересечения фиксированной кратности

1.2 Оценки числа областей для наборов псевдопрямых с ограниченными вырождениями

1.3 Множества чисел связных компонент дополнений к наборами псевдопрямых

2 Наборы замкнутых кривых на двумерных поверхностях

2.1 О числе связных компонент в неклеточных разбиениях сфер с ручками

2.2 Множества чисел областей в разбиениях торов и бутылок Клейна

2.3 Разбиения тетраэдров наборами замкнутых геодезических

2.4 Замкнутые геодезические на замкнутых гиперболических поверхностях

3 Наборы подмногообразий коразмерности один

3.1 Гомологическая оценка числа компонент связности

3.2 Применение функции Мёбиуса для наборов гиперплоскостей

3.3 Множества чисел областей в разбиениях проективных пространств

3.4 Разбиения плоских ¿-мерных торов и пространств Лобачевского

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Распределение количества компонент связности дополнения к наборам замкнутых геодезических»

Введение

Работа относится к теории конфигураций подмногообразий — активно развивающемуся направлению, связанному с комбинаторикой, алгебраической топологией, теорией узлов, алгебраической геометрией. Под теорией конфигураций подмногообразий мы имеем в виду в первую очередь результаты, касающиеся комбинаторики и топологии конечных наборов плоскостей и их дополнений в аффинных и проективных пространствах, а также обобщения на наборы подмногообразий в других многообразиях. Базовые факты теории см. в книге П. Орлика, X. Терао [31] 1992 г., а геометрические аспекты — в обзоре В. А. Васильева [3] 2001 г. Ряд обобщений для произвольных многообразий сделал П. Дешпанд [16] в 2011 г.

Обзор основных известных результатов.

Комбинаторика числа областей. Я. Штейнер [36] в 1826 г. рассматривал разбиения трехмерного евклидова пространства конечными наборами поверхностей, состоящими из семейств параллельных плоскостей и концентрических сфер, причем любые две поверхности из разных семейств пересекались и все семейства находились в общем положении относительно друг друга. Я. Штейнер нашел число областей пространства для таких разбиений с указанными числами поверхностей в семействах. Пусть евклидово пространство разбивается набором из п плоскостей коразмерности один (гиперплоскостей) в объединение многогранных областей. Р. Бак [12] в 1943 г. нашел числа всех к -мерных граней и числа всех ограниченных А;-мерных граней в разбиениях пространства М^ гиперплоскостями общего положения для к = 0,1,..., нашел аналогичные числа для разбиений вещественных проективных пространств МР^. Р. Шеннон [34] в 1976 г. доказал нетривиальные нижние точные оценки на числа к -мерных плоскостей пересечения и к -мерных клеток в разбиениях пространства МР^ конечными наборами гиперплоскостей, для которых пересечение всех гиперплоскостей является пустым множеством.

Формула Заславского. Т. Заславский [37] в 1975 г. определил характеристический многочлен набора гиперплоскостей аффинного или проективного пространства с помощью функции Мёбиуса частично упорядоченного множества пересечений; нашел линейные комбинации значений характеристи-

ческого многочлена в некоторых точках, задающие число всех областей и число ограниченных областей в разбиениях пространства гиперплоскостями (для ограниченных областей требуется, чтобы пересечение всех гиперплоскостей было точкой или пустым множеством). Р. Эренберг, М. Рэдди, М. Слоун [18] в 2009 г. определили характеристический многочлен и предъявили аналогичные формулы для клеточных разбиений многомерного плоского тора набором плоских подторов коразмерности один. П. Дешпанд [16] в 2011 г. обобщил формулы Заславского для наборов подмногообразий (в определении наборов подмногообразий требовалось, чтобы пересечение подмногообразий было локально гомеоморфно пересечению плоскостей).

Когомологии дополнения. П. Орлик и Л. Соломон [30] в 1980 г. выразили кольцо целочисленных когомологий дополнения к набору комплексных гиперплоскостей через ч. у. м. пересечений гиперплоскостей (построенная алгебра была названа в их честь). Они заметили, что характеристический многочлен для набора вещественных гиперплоскостей совпадает с многочленом Пуанкаре для комплексифицированного набора. Отсюда следует, что число областей разбиения вещественного пространства Мт набором гиперплоскостей равно сумме чисел Бетти дополнения вСт к объединению комплексифи-цированных гиперплоскостей. Обзор С. А. Юзвинского [10] 2001 г. посвящен свойствам алгебр Орлика-Соломона и некоторым их приложениям. М. Го-рески и Р. Макферсон [4] выразили целочисленные когомологии дополнения в вещественном пространстве к набору аффинных плоскостей произвольных размерностей в терминах порядкового комплекса этого набора и размерностей пересечений плоскостей.

Гомотопические свойства дополнений к наборам плоскостей. Г. М. Циг-лер [38] в 1993 г. построил примеры наборов вещественных плоскостей коразмерности два с четномерными пересечениями, имеющих одинаковые ч.у.м. пересечений, но у которых дополнения' к объединениям плоскостей имеют неизоморфные алгебры Ж-когомологий и неизоморфные фундаментальные группы. Г. Л. Рыбников [9, 33] нашел две комбинаторно эквивалентные конфигурации прямых на комплексной проективной плоскости, у которых фундаментальные группы дополнений не изоморфны.

Наборы псевдопрямых на проективной плоскости. Рассмотрим набор из п гладких замкнутых кривых без самопересечений (псевдопрямых1) на вещественной проективной плоскости, любые две из которых пересекаются транс-версально в единственной точке; при этом не существует точки, принадлежащей всем псевдопрямым. Обозначим через и число точек, принадлежащих ровно г псевдопрямым. Изучение возможных значений чисел и и соотношений между ними — довольно интересная задача, возникшая из гипотезы Дж. Сильвестра^ ^ 1, см. обзоры П. Брасса и др. [13] и Н. Нилакантана [29]. Гипотеза Г. А. Дирака [17] утверждает, что ¿2 ^ [§], известен также пример с ¿2 = \ для четных чисел п ^ 6. Дж. Сцима и Е.Т. Сойер [15] доказали неравенство ¿2 ^ ^^ при п ^ 8. Б. Грин и Т. Тао [20], использовав методы аддитивной комбинаторики, доказали гипотезу Дирака для достаточно больших п.

П. Эрдеш и Г.Б. Пурди [19] в 1978 г. доказали неравенство

тах{£2,£з} ^ п — 1 при п ^ 25;

доказали, что если ¿2 < п — 1, то £3 > сп2 для некоторой положительной константы с. Известны соотношения, касающиеся чисел ^ одновременно для нескольких значений г, например, линейные неравенства Э. Мельхиора [27] и Ф. Хирцебруха [24]. Неравенство Е. Мельхиора обращается в равенство для симплициальных разбиений вещественной проективной плоскости набором псевдопрямых. Ф. Хирцебрух изучал возможные значения отношения чисел Черна для двумерных комплексных многообразий, построенных по наборам комплексных прямых на плоскости С2, а неравенство на числа и получил как следствие неравенства Мияоки-Яо (с уточнениями Ф. Сакаи).

Связь наборов гиперплоскостей с многогранниками. Зоноэдром в называется выпуклый многогранник, все гиперграни которого центрально симметричны. А. Д. Александров [1] в 1933 г. заметил, что зоноэдр является центрально-симметричным многогранником. Имеется следующая связь конфигураций гиперплоскостей в проективных пространствах (т.е. наборов подпространств аффинных пространств коразмерности один) с зоноэдрами, (см. Б. Грюнбаум [21], 1967 г.). Для каждого подпространстваРг конечного набора подпространств в Мп+1 возьмем единичный отрезок, перпендикулярный

1 Пример неспрямляемого набора псевдопрямых можно построить с помощью теоремы Дезарга о кол-

линеарности трех точек пересечения соответствующих сторон двух перспективных треугольников.

рг, после чего возьмем сумму Минковского2 этих отрезков. Например, для конфигураций прямых на проективной плоскости прямые соответствуют пояскам зоноэдра, области плоскости МР2 — парам противоположных вершин зоноэдра, точки пересечения прямых — парам противоположных граней зо-ноэдра; трем не коллинеарным прямым на плоскости ЖР соответствует куб.

Множества чисел областей в разбиениях проективной плоскости. Б. Грюнбаум [22] в 1972 г. впервые поставил вопрос об описании множества возможных чисел / областей в разбиениях вещественной двумерной проективной плоскости наборами из п проективных прямых и доказал, что

/ ^ 3п — 6 при т ^ п — 2,

где т — максимальное число прямых, пересекающихся в одной точке. Тем самым, число областей не может принадлежать интервалу (2п — 2;3п — 6). Также Б. Грюнбаум предположил, что при п ^ 9 число областей не может находиться в интервале (3п — 5,4п — 12). Эту гипотезу независимо друг от друга доказали Р. Кордовил [14] в 1980 г., Дж. Б. Пурди [32] в 1980 г. дляп ^ 40 и Н. Мартинов [25] в 1990 г. Для доказательства гипотезы Б. Грюнбаума Дж. Б. Пурди потребовалось доказать, что если для некоторого целого числа к

т^п-к и п ^ 4/с2 + к + 1, то / > (к + 1)(п - к).

Позже Н. Мартинов [26] в 1993 г. полностью описал все числа отрезка

_ п(п — 1) ,

[2п — 2, ^ 2 ; +1],

которые могут реализоваться в качестве числа областей проективной плоскости, разделенной набором п различных псевдопрямых. В. И. Арнольд [2] в 2008 г., не зная о работе Н. Мартинова, поставил задачу об описании всех возможных чисел областей "с нуля". Он назвал лакунами интервалы (аг,Ьг), где

аг = г{п - г + 1) + Ьг = (г + 1)(п - г).

В. И. Арнольд доказал, что число областей не может принадлежать лакуне номер г для достаточно больших п (для п > г2), однако в его работе [2]

2напомним, что сумма Минковского двух тел А и В. расположенных в аффинном пространстве, состоит из всевозможных точек а + Ь, где а £ А и Ь 6 В.

остался невыясненным вопрос, есть ли в лакуне номер г реализуемые значения числа областей при ^-<п<г2иг^3.

Весьма любопытно сравнить множества пар чисел (п, /), реализуемых наборами прямых на проективной плоскости, с теми же множествами, реализуемыми наборами псевдопрямых. Априори было неизвестно, совпадают ли эти множества, поскольку существуют примеры неспрямляемых конфигураций псевдопрямых. Однако Н. Мартинов заметил, что множества совпадают, поскольку его рассуждения [26] для конфигураций прямых дословно переносятся на наборы псевдопрямых.

Замкнутые геодезические. Птицына [8] в 1994 г. изучала замкнутые локально минимальные сети на равногранных тетраэдрах (грани — равные остроугольные треугольники, авторский термин — квазиправильные).

В.Ю. Протасов [6, 7] в 2007-2008 гг. исследовал простые замкнутые геодезические на тетраэдрах (в основном, неравногранных); доказал, что для любой простой замкнутой геодезической на произвольном тетраэдре существует комбинаторно эквивалентная ей (т.е. пересекающая ребра в том же порядке) замкнутая геодезическая на правильном тетраэдре. Отнеся в один класс замкнутые геодезические, параллельные данной, В.Ю. Протасов доказал конечность числа классов замкнутых простых геодезических на неравногранных тетраэдрах и нашел верхние оценки; получил некоторые необходимые и некоторые достаточные условия того, чтобы на неравногранном тетраэдре существовала хотя бы одна замкнутая простая геодезическая; доказал, что единственные трехмерные многогранники, на поверхности которых есть бесконечное число классов замкнутых простых геодезических, суть равногранные тетраэдры.

Автор не претендует на достаточно полный обзор литературы, упомянуты только некоторые работы, наиболее связанные с темой и результатами диссертации.

Постановка задачи.

Пусть — связное замкнутое многообразие, А — объединение п связных замкнутых подмногообразий коразмерности один. Пусть / — число компонент связности дополнения Ма \ А. Требуется найти или описать множества Р(М(1,п) всех возможных чисел / для данных и п (тем самым, обобщить результаты Н. Мартинова). При этом естественно искать множе-

ства ^(М^п), накладывая некоторые условия на подмногообразия или на их наборы. Например, рассматривать наборы замкнутых геодезических на двумерных многообразиях с метрикой постоянной гауссовой кривизны, наборы плоскостей коразмерности один в аффинных или проективных пространствах. При этом, множества возможных при таких ограничениях чисел / мы будем по-прежнему обозначать через п), указывая, какие именно

наборы рассматриваются.

Для изучения множеств возможных значений чисел / оказывается крайне желательным получать нижние оценки числа /, зависящие от числа п и степени "вырождения" набора подмногообразий.

Результаты диссертации.

1. Для наборов псевдопрямых на вещественной проективной плоскости

су

ИР найдено и доказано неравенство

¿2 + 1, 5£з ^ 8 + ^ {2г — 7,5) и

при условии Ьп = £п_1 = ¿п_2 = 0, где это число точек, каждая из которых принадлежит ровно г псевдопрямым. На основе этого и других известных ранее линейных по ^ неравенств получены нижние оценки числа компонент

су

связности дополнения в МР к объединениям псевдопрямых. Подробнее см. теоремы 1.2 и 1.3 диссертации и работу автора [42].

2. Полностью вычислены множества ^(М, п) чисел компонент связности дополнений в поверхности М к объединениям п замкнутых геодезических для случаев, когда М:

• двумерный тор с любой3 локально евклидовой метрикой,

• двумерная бутылка Клейна с любой локально евклидовой метрикой,

• тетраэдр с равными гранями (любыми остроугольными треугольниками),

см. теоремы 2.3, 2.4 и 2.6 диссертации или работы автора [40, 41].

3. Для объединения А набора из п связных замкнутых подмногообразий коразмерности один в связном гладком компактном многообразии Мс1 без

3отметим, что плоская метрика на торе задается невырожденной двумерной решеткой на плоскости, а множества F(M, п) не зависят от выбора решетки

края, попарно трансверсально пересекающихся, найдена и доказана нижняя оценка числа связных компонент дополнения

|тг0 (М* \ А) | > п - сНт Н(1-1 (Ма, С) + 1,

где группа С = К, если Ма и А{ ориентируемы, и С = Ъ^ иначе. Эта оценка точна в ряде случаев, включающих наборы подторов плоских (¿-мерных торов, наборы гиперплоскостей проективных пространств, наборы замкнутых кривых на двумерных ориентируемых замкнутых многообразиях. Более подробно см. теорему 3.1 диссертации или работу автора [42].

4. Для неприводимых наборов из п плоскостей коразмерности один в семерном вещественном проективном пространстве ЕР^ вычислены первые 4 по возрастанию числа множества Р (МР^п) при п^2й + 5ис?^3, см. теорему 3.5 диссертации или работу автора [42].

5. Полностью найдены множества Р(Ьа,п) чисел компонент связности дополнений в (¿-мерных пространствах Лобачевского к объединениям п плоскостей коразмерности один. Для дополнений в плоских (¿-мерных торах Та к объединениям плоских подторов коразмерности один найдены бесконечные подмножества множеств Р{ТА,п). Выдвинута гипотеза, что эти подмножества совпадают с множествами на основании того, что для с1 = 2 совпадение имеется. Более подробно см. теоремы 3.9 и 3.8 диссертации или работы автора [41, 42].

Благодарности. Глубоко признателен своему научному руководителю, академику РАН А. Т. Фоменко за постановки задач и внимание к работе. Глубоко благодарен профессору Н.П. Долбилину, доценту Е.А. Кудрявцевой и профессору В. Ю. Протасову за неоднократные обсуждения задач и полезные ссылки на литературу. Благодарю всех сотрудников кафедры дифференциальной геометрии и приложений за творческую обстановку и внимание к работе.

Особенно поблагодарить хотелось бы академика РАН привлекшего внимание к задаче в открытой лекции в 2007

В. И. Арнольда, г.

1 Наборы псевдопрямых на проективной плоскости

Определение 1.1. Псевдопрямой^ называется С1 - гладкая регулярная замкнутая кривая без самопересечений на вещественной проективной плос-

Л

кости 1ШР , не гомотопная отображению окружности в точку. Набором псевдопрямыз? называется конечная совокупность А из п ^ 3 псевдопрямых, любые две из которых пересекаются в единственной точке и пересекаются трансе ер сально.

Набору псевдопрямых А соответствует разбиение плоскости КР в виде клеточного комплекса, (который будем обозначать так же, как и набор А) с у(А) вершинами, е{А) ребрами и /(А) двумерными клетками. Вершины комплекса — точки пересечения псевдопрямых, ребра — дуги псевдопрямых без внутренних точек пересечения, двумерные клетки (области) — компоненты связности дополнения в проективной плоскости к объединению псевдопрямых. Из формулы для эйлеровой характеристики (при п ^ 2) следует

у(А)-е(А) + /(А) = 1.

Набор псевдопрямых называется тривиальным, если у всех псевдопрямых существует общая точка. В дальнейшем наборы псевдопрямых предполагаются нетривиальными (если не сказано обратное). Псевдопрямые на плоскости МР находятся в общем положении, если никакие три из них не имеют общей точки. Нетривиальный набор псевдопрямых называется сим-плициальным, если каждая область примыкает по дугам ровно к трем псевдопрямым. Число областей / = /(А) оценивается по индукции по п:

п(п — 1) 2п-2</^1+ 1 2

причем правое неравенство обращается в равенство для наборов псевдопрямых общего положения, а левое — для наборов, в которых п—1 псевдопрямых

4перевод pseudoline

5термин arrangement of pseudolines здесь переводится как набор псевдопрямых. Есть схожий объект: configuration — конечное множество точек и прямых на плоскости с дополнительными требованиями на число инциденций между ними. В работе будут встречаться только наборы в смысле arrangement, и иногда во избежание повторов мы будем называть их также конфигурациями.

проходят через одну точку. Если п ^ 2, то каждая двумерная клетка примыкает к любой псевдопрямой набора по не более чем одной дуге и только с одной стороны, что можно доказать, используя нечетность числа точек пересечения двух замкнутых гомотопически нетривиальных простых контуров на проективной плоскости. Изоморфными считаются наборы, клеточные комплексы которых изоморфны, т.е. для которых существует взаимнооднозначное соответствие между вершинами, ребрами и двумерными клетками, сохраняющее все инциденции.

Теорема 1.1. Б. Грюнбаум, [21, рр. 401-402] Для нетривиальных наборов прямых

г> + 1^/^2г> — 2

причем неравенство слева обращается в равенство тогда и только тогда, когда прямые в общем положении, а неравенство справа обращается в равенство тогда и только тогда, когда набор прямых симплициальный.

Через и(А) обозначим число точек пересечения, принадлежащих г псевдопрямым из набора А, для 2 ^ г ^ п. Через Р3(А) обозначим число областей, примыкающих по ребрам к] псевдопрямым из набора Д, для 2 ^ у ^ п. Через т(А) обозначим максимальное число псевдопрямых набора А, имеющих общую точку (т.е. т(А) = тах{г | ¿г(Л) ^ 0}). Для двух изоморфных наборов числа Ьир3 и т совпадают. Как правило, далее мы будем опускать зависимость чисел £г,р^ и т от набора А.

1.1 Линейные неравенства на числа точек пересечения фиксированной кратности

Определение 1.2. Линейными по неравенствами будем называть неравенства вида

п

(1.1)

г=2

где коэффициенты аг зависят только от ъ и п, причем среди чисел аг не более половины нулеъР для достаточно больших п.

Требование того, чтобы не менее половины коэффициентов были отличны от нуля, можно до некоторой степени варьировать. К линейным неравенствам не относятся оценки чисел Ьг типа теоремы Сильвестра

К настоящему времени известно как минимум четыре (независимых) линейных по Ьг соотношения для наборов на проективных плоскостях (некоторые доказаны для комплексных прямых, некоторые для псевдопрямых). Самое простое из них справедливо как для наборов комплексных прямых, так и для наборов псевдопрямых, и получается подсчетом числа пар (псев-до)прямых:

т

п(п-1)=£\(г-1)*, (1.2)

1=2

А именно, каждой точке пересечения г (псевдо)прямых поставим в соответствие пар проходящих через нее (псевдо)прямых. Поскольку любые две

(псевдо)прямые пер_я в 0ДВ0Й ТОЧКе, то „ сумме £ ^ каждая

пара (псевдо)прямых учитывается ровно один раз.

Неравенство Мельхиора, [27]. Для нетривиальных наборов псевдопрямых

Г)

на плоскости МР

¿2 + (!-3)

4

Неравенство Мельхиора обращается в равенство тогда и только тогда, когда набор псевдопрямых симплициальный. Доказательство следует из леммы 1.2. Е. Мельхиор первым начал перечислять симплициальные наборы псевдопрямых. Б. Грюнбаум [23] в 2009 г. привел список симплициальных наборов, полный при п ^ 37 (помимо списка существуют бесконечные серии симплициальных наборов). Для наборов комплексных прямых, вообще говоря, неравенство Мельхиора не выполняется (контрпример можно построить, проведя прямые через точки некоторой кубической кривой).

Неравенство Хирцебруха, [24]. Для наборов комплексных прямых на комплексной проективной плоскости СР2 при т < п — 2:

¿2 + 0,75£з ^ п + ^(2г - 9)*г. (1.4)

При комплексификации набора вещественных прямых на проективной плос-

п

кости МР числа ¿г не меняются, тем самым, неравенство Хирцебруха также справедливо для наборов вещественных прямых на плоскости МР . Существуют наборы прямых, для которых в (1.4) достигается равенство (подробности см. в [24]), например,

• набор 6 вещественных прямых, являющихся сторонами и диагоналями некоторого четырехугольника, ¿2 = 3, £3 = 4, = О для г ^ 4, см. рис. 1.

• набор 9 прямых с £4 = 3, £3 = 4, £2 = 6, см. рис. 2 (три точки пересечения на бесконечности).

Доказательство неравенства Хирцебруха использует теорему Йо. Мияока 2

[28] о числах Черна ^ ^ | (с уточнениями Ф. Сакаи, а также некоторые идеи

дипломной работы К. Ивинскиса) для построенного по набору комплексных прямых алгебраического многообразия (полученного разрешением особенностей у разветвленного над набором прямых накрытия над пространством СР2). В [13, с. 315] был поставлен вопрос об элементарном доказательстве неравенства Хирцебруха. Этот вопрос по-прежнему открыт. Однако коэффициенты следующего неравенства довольно близки к коэффициентам (1.4), хотя они не выводятся друг из друга непосредственно.

Теорема 1.2. Комбинаторный аналог неравенства Хирцебруха. Для нетри-виалъных наборов псевдопрямых на плоскости Ж¥ при т < п — 2:

¿2 + 1, 5;£3 ^ 8 + (2г - 7, 5) V (1.5)

г^ 4

Равенство в (1.5) достигается для единственного с точностью до изоморфизма набора семи псевдопрямых. Этот набор задается двумя точками А и Б, через каждую из которых проходит по 4 псевдопрямые набора (одна из псевдопрямых проходит через обе точки А и В). Тогда ¿4 = 2, £2 = 9, ¿з = ¿г = 0 при г ^ 5. Для всех остальных наборов псевдопрямых имеем

Цель данного параграфа — доказать комбинаторный аналог (1.5) неравенства Ф. Хирцебруха, для чего нам потребуются следующие леммы.

Лемма 1.1. Для нетривиальных наборов псевдопрямых числау,е и / клеточного комплекса выражаются через Ьг:

У = е = ^ / = 1 + ^(г- 1%.

Доказательство. Число V выражается указанным способом по определению чисел Ьг. Из каждой точки пересечения i псевдопрямых выходит 2г ребер комплекса, поэтому сумма суть количество ребер, посчитанных дважды. Из эйлеровой характеристики проективной плоскости имеем V — е + / = 1, откуда следует формула для числа /. □

Лемма 1.2. Е. Мельхиор, [27]. Для нетривиальных наборов псевдопрямых

£>-*)*. = з + Х>'-зК (1.6)

Доказательство. Числа вершин V, ребер е и областей / комплекса равны

1^2 з^З з^З

Напомним, что для нетривиальных наборов Р2 — 0. По формуле Эйлера для проективной плоскости получаем

3 = 3/-(2е + е) + Зг; = 3]Гр,- ( + Х^Ч + 3$^ =

3^3 г>2

□

Далее удобнее рассматривать объединение псевдопрямых (нетривиального набора) как граф, вложенный в проективную плоскость. Вершинами и ребрами этого графа соответственно являются точки пересечения псевдопрямых и дуги псевдопрямых, не содержащие отличных от своих концов точек пересечения псевдопрямых. Степень любой вершины (т.е. число исходящих ребер) четна, так как точка пересечения г псевдопрямых является вершиной степени 2г. Следовательно, число вершин степени 2г рассматриваемого графа равно tl для г = 2,... ,п. Любое ребро графа для нетривиального набора псевдопрямых примыкает к двум различным областям на проективной плоскости. В графе нет петель и кратные ребра между парой вершин, если они есть, лежат на одной псевдопрямой.

Лемма 1.3. (Лемма о простом ребре). Пусть для набора п псевдопрямых верно т < п — 1. Пусть степени обоих концов некоторого ребра соответствующего графа равны, четырем. Тогда из двух примыкающих к этому ребру областей хотя бы одна ограничена не менее чем четырьмя ребрами графа.

Доказательство. Обозначим концы этого ребра через А я В, а псевдопрямые, проходящие через точки А и В и отличные от псевдопрямой АВ) через ¿1 и ¿2 соответственно. Обозначим точку пересечения псевдопрямых 1\ и /2 через С. Предположим, что обе примыкающие к ребру АВ области ограничены тремя ребрами. Одно из этих ребер — это АВ, а два других (для каждой области) находятся на псевдопрямых /1 и /2 и имеют общую точку.

Точка С — это единственная общая точка псевдопрямых 1\ и ¿2, поэтому каждая из двух примыкающих к ребру АВ областей ограничена ребром с концами в точках А и С, ребром с концами в точках В и С и самим ребром АВ. Следовательно, на псевдопрямой ¿1 есть ровно две точки пересечения с остальными псевдопрямыми набора, и это точки А и С. На проективной плоскости любые две различные псевдопрямые пересекаются в единственной точке, поэтому каждая псевдопрямая из набора, кроме ¿1, проходит или через точку А, или через точку С. Степень точки А равна четырем, т.е. через точку А проходит, не считая только псевдопрямая АВ. Тогда через точку С вместе с псевдопрямой 1\ проходит п—1 псевдопрямых, что противоречит условию ¿п_1 = 0. Следовательно, обе примыкающие к ребру АВ области не могут быть ограничены тремя ребрами графа каждая. □

Лемма 1.4. (Лемма об оценке ¿2 сверху). Для наборов п псевдопрямых с т < п — 2

Доказательство. Для соответствующего набору псевдопрямых графа обозначим через х число ребер, оба конца которых имеют степень 4, а через у — число ребер, оба конца которых имеют степень не менее чем 6.

Шаг 1. Всего в графе ребер, поэтому число ребер, один конец

которых имеет степень 4, а другой не меньшую чем 6, равно

Каждая вершина графа степени 4 является концом четырех ребер, хотя бы один конец каждого из которых имеет степень 4. Поэтому суммарное по всем ребрам число их концов степени 4 равно 4t2 и равно

Шаг 2. Предположим, что существуют две различные точки А я В, такие что любая псевдопрямая из набора проходит через хотя бы одну из них. Обозначим через а и Ъ число псевдопрямых набора, проходящих через точки А и В соответственно. Возможны два случая.

(1) В наборе нет псевдопрямой, проходящей через точки А и В. Тогда а + Ъ = п и из условия £п_2 = 0 следует, что а ^ 3 и 6 ^ 3. В этом случае

(1.7)

(1.8)

• ¿2 = аЬ, {г — 1, 5) и = а + Ь — 3,

• Ра = аЪ — а — Ь + 3, р1 — 0 при г ^ 5.

Теперь неравенство (1.7) проверяется непосредственно:

2а6< 1 + 3(а6-а-6 + 3) + а + 6-3 <£> (а - 2)(Ь - 2) + 3 ^ 0.

(и) В наборе есть псевдопрямая, проходящая через точки А я В. Тогда а + 6 = п + 1ииз условия ¿п_2 = 0 следует, что а ^ 4 и & > 4. В этом случае

• ¿2 — оЪ — а — 6+1, ^ (г — 1, 5) и = а + Ъ — 3,

• £>4 = аЬ — 2а — 26 + 4, Рг = 0 при г ^ 5.

Теперь неравенство (1.7) проверяется непосредственно:

2(аЪ — а — 6+1)^1 + 3(а6 -2а-26 + 4) + а + Ь- 3

^ (а-3)(Ь-3) - 1 > 0.

В дальнейшем доказательстве леммы (а именно, в шагах 5 и 6) будем считать, что не существует двух различных точек, таких что любая псевдопрямая набора проходит через хотя бы одну из них.

Шаг 3. Для данного графа рассмотрим множество Р областей (т.е. компонент связности дополнения к прямым), каждая из которых ограничена не менее чем четырьмя ребрами и граница которой содержит хотя бы одну вершину степени 4 (внутри областей точек графа нет). Для области Г 6 ^ обозначим через ж (Г) число ограничивающих Г ребер, оба конца которых имеют степень 4. Для области Г 6 ^ обозначим через й(Г) число ее вершин (т.е. вершин на границе Г) степени не менее чем 6. Положим

<5(Г) = [ °> если 5(г) ^

1 ] | 1, если ¿(Г) = 0. Докажем, что если область Г ограничена ] ребрами, то

КГКС7-1)-х(Г) + <5(Г). (1.9)

Рассмотрим три случая.

(i) х(Г) = 0. Тогда s(r) ^ j - 1, так как на границе Г есть вершина степени 4.

(и) х(Г) = J. Тогда s(Г) = 0 и 6{Г) = 1.

(iii) 0 < ж(Г) < j. Рассмотрим отдельно границу Г, состоящую из j ребер. Среди них выберем х{Г) ребер, оба конца которых имеют степень 4. Пусть эти х(Г) ребер образуют на границе Г ровно г(Г) компонент связности, каждая компонента — это несколько подряд идущих выбранных ребер. Из я(Г) > 0 следует, что г(Г) ^ 1, а из х(Г) < j следует, что каждая компонента не замкнута (т.е. гомеоморфна отрезку). В каждой компоненте число вершин степени 4 на единицу больше числа ребер этой компоненты. Все вершины и ребра различных компонент связности различны, поэтому граница области Г содержит не менее х(Г) +г(Г) вершин степени 4. Так как -г(Г) ^ 1, то

5(Г) ^J-l-x(V).

Обозначим через s сумму s = Суммируя (1.9) по всем областям

Г Е F, получим

s < Ей' -- 1>(г) + Ew- (1-ю)

TeF TeF

Шаг 4■ Покрасим в красный цвет ребра графа, оба конца которых имеют степень 4 и обе примыкающие области к которым ограничены не менее чем четырьмя ребрами каждая (т.е. обе примыкающие области из-F). Обозначим число красных ребер через а. Тогда по лемме 1.3 (о простом ребре) число х — а равно числу ребер, оба конца которых имеют степень 4 и ровно одна из двух примыкающих областей ограничена не менее чем четырьмя ребрами (т.е. одна примыкающая область из F). Следовательно,

+ (1-И)

г eF

Покрасим в синий цвет четырехугольные области, все вершины которых имеют степень 4. Докажем, что к каждой синей области примыкает не менее двух красных ребер. Для этого выведем из условия ¿n_2 = 0 аналогично лемме 1.3 (о простом ребре), что в каждой паре противоположных ребер любой синей области есть хотя бы одно красное ребро. Предположим противное, что оба ребра АВ и CD некоторой синей области ABCD не красные. Тогда

к ребрам АВ и СО примыкают треугольные области АВН и С-ОС, причем точка пересечения прямых ВС я АБ совпадает и с точкой Н, и с точкой С. Следовательно, через эту точку С = Н проходят п — 2 псевдопрямые набора (все псевдопрямые кроме АВ и СБ), что противоречит условию £„_2 = 0.

Обозначим число синих областей через р. Сумма Равна ко-

личеству областей, каждая из которых ограничена не менее чем четырьмя ребрами и все вершины которой имеют степень 4. Поэтому

£<*(Г + (1.12)

Г^ 3>Ь

Обозначим через (р число пар (С, к) синих областей С и красных ребер к на границе области С. Так как к любой из р синих областей примыкает не менее двух красных ребер, то ^ 2р. С другой стороны, каждое красное ребро примыкает к не более чем двум синим областям и поэтому 2а ^ (/?. Следовательно, а ^ р. Итак, из (1.10), (1.11), (1.12) и неравенства а ^ р следует, что

8 ^ Зр4 — X + ^ jpj. (1.13)

Шаг 5. Рассмотрим произвольную вершину V степени не менее 6 и удалим из графа все ребра, лежащие на проходящих через точку V псевдопрямых (соответственно изменятся степени оставшихся вершин, а некоторые вершины, возможно, исчезнут). Обозначим полученный граф через С(У), а исходный граф через С. После шага 2 достаточно рассматривать только те наборы псевдопрямых, для которых не существует двух точек, таких что любая псевдопрямая набора проходит через хотя бы одну из них. Для таких наборов псевдопрямых граф ОУ) имеет хотя бы две различные вершины и каждая область проективной плоскости, образованная графом С(У), ограничена не менее чем тремя ребрами графа (?(У). Значит, точка V находится внутри некоторой области, образованной графом С(У), граница которой есть (¿-угольник с вершинами А\).. ., А^ при б, ^ 3 (занумерованными в порядке следования). Докажем, что для любой вершины V £ С имеет место хотя бы одно из следующих утверждений.

1. Вершина V соединена ребрами графа С с не менее чем тремя вершинами из множества {А\,..., А¿}.

2. Вершина V соединена ребрами графа С с ровно двумя вершинами из множества {А\,..., А^} и является вершиной границы одной области из множества F.

3. Вершина V является вершиной границ не менее чем двух областей из множества Р.

Пусть для какого-то г, 1 ^ г ^ (1 отрезок VА^ не является ребром графа С. Тогда интервал VАг принадлежит образованной графом С? области, граница которой содержит вершины V и Аг, и состоит из не менее четырех ребер графа С. Если эта область не из множества Р, то ее граница есть многоугольник с вершинами

для некоторых чисел к и I, т.е. все вершины границы, кроме V, суть точки А^,..., А;, а отрезки VА^ и VА\ являются ребрами графа С*. Предположим, что для вершины V утверждение (1) не выполняется. Тогда возможны два случая.

(1) Вершина V соединена ребрами графа С ровно с двумя вершинами из множества {Ах,..., А

(И) Вершина V соединена ребрами графа С с не более одной вершиной из множества {А\,..., А^}.

В случае (1) обозначим эти две вершины через Ак и А\. Тогда среди остальных <1 — 2 ^ 1 вершин множества {А\,..., А^} найдется вершина Ад, такая что точка V содержится в треугольнике А^А^Аг (а треугольник лежит в замыкании области А\,..., Ап). Тогда отрезок VАч не является ребром графа С и интервал УАЧ содержится в области из множества Р. Следовательно, в случае (1) выполняется утверждение (2).

Случай (11). Предположим, что вершина V соединена ребром графа С с некоторой вершиной А^ из множества {Ах,..., А^}. Тогда псевдопрямая УАк разбивает множество вершин {А\,..., А^} \ {А/;} на два непустых подмножества, находящихся по разные стороны (в замыкании области А\ . .. А^) от псевдопрямой VАТогда по обе стороны от псевдопрямой УА^ найдется область из Р, граница которой содержит точку V. Следовательно, будет выполнено утверждение (3). Если вершина V не соединена ребром графа С ни

с какой вершиной из множества {А1,..., А^}, то вместо псевдопрямой VА^ возьмем любую псевдопрямую набора, проходящую через точку V. Аналогично получим, что для вершины V выполнено утверждение (3).

Шаг 6. Для произвольной вершины V (исходного) графа степени не менее чем 6 обозначим через сумму числа подходящих к вершине V ребер,

другой конец которых имеет степень не менее чем 6, и удвоенного числа примыкающих к V областей из множества F. Так как для любой вершины V степени не менее чем 6 выполняется хотя бы одно из утверждений (1) — (3) предыдущего шага, то ¿(У) ^ 3. Обозначим через в' сумму

¿ = £ ¿<у)

чисел в'(У) для всех вершин V степени не менее чем 6. Так как з'(1/) ^ 3, то

в' ^

г^З

С другой стороны, б1 = 2у + 2я. Следовательно,

у + 8> 1,5^*,. (1.14)

Из (1.8) и (1.13) получаем

Зр4 + ^ jpJ - Я ^ X = 2£2 + У - Иг 3^ 5 г^З

Зр4 + зр3 + ^аг - 2г2^у + в. Из последнего неравенства и (1.14) следует, что

3^5 г^З г^З

Э>5 г^З

Доказательство теоремы 1.2. По лемме Мельхиора 1.2 имеем

5^(9 - Зг)и = 9 + Зр4 + £(3, - 9)рГ

По лемме 1.4 получаем

J>5 г^З

Заметим, что 3j — 9 ^ ^ при j ^ 5. Следовательно, т.к. р3 ^ 0, справедливо -Зг)*»^ 9 +5) - 1

i2 + l,5t3^ 8 + ^(2^-7,5)^. □

г>4

Замечание 1.1. (А. Т. Фоменко). Перенесем все члены неравенств Мельхиора (1.3), Хирцебруха (1.4) и его комбинаторного аналога (1.5) в их большие части и составим из получившихся коэффициентов при t2,...,tn три вектора в пространстве Mn_1. А именно, координата номер г = 1,..., п — 1 векторов равна коэффициенту при tl+\ в соответствующем неравенстве:

1?! = (1;0;-1;...;3-п), А^ = (1;0,75;0;-1;...;9-2п), А$ = (1;1,5;-0,5;...;7,5-2п).

Асимптотика при п —> оо длин векторов Ai, Аг, Аз следующая:

л-^ofi)).

Докажем, что углы между векторами 1\\ и

а также между векторами

и A3 стремятся к нулю при п оо. Так как

Й-iV^l = (l + oQ^ и = (l + 0g))

при п —>■ оо, то по теореме косинусов для треугольника со сторонами iVi, А2 и треугольника со сторонами А2, A3 получаем:

cos Z (ivL А^ = 1 - О ^ и cos Z (N2, A3) =1-0 при п —> оо.

1.2 Оценки числа областей для наборов псевдопрямых с ограниченными вырождениями

Максимальное число га псевдопрямых, имеющих общую точку, выступает как некий показатель вырожденности наборов псевдопрямых. Наша цель — получить нижние оценки числа областей / для фиксированных чисел п и га. При этом каждая оценка требует дополнительных соотношений между п и га.

Метод построения нижних оценок числа / через линейные по t% неравенства. Зафиксируем число псевдопрямых п и максимальное число га псевдопрямых, имеющих общую точку. По лемме 1.1

771

г=2

Рассмотрим линейное по tt неравенство вида

Е^г^ао, (1.16)

где ао, с*2, ссз,..., ап — константы при фиксированном п. Например, для неравенства Хирцебруха (1.4) эти константы равны

q¡o = n, а.2 = 1, о;з = 0,75, с*4 = 0, аг = 9 — 2г при г ^ 5.

Подберем такие положительные коэффициенты С\ и Сч (постоянные при фиксированном га), что

C\i{i — 1) + С2Ссг для всех 2 ^ i < га. (1-17)

Умножим неравенство (1.17) для каждого г на í, и просуммируем по г = 2,... ,га. Поскольку числа £г неотрицательны, то получится неравенство

гтг т т

с^^Ф - l)ít + C2Y^aiU < _ **

1=2 г=2 г=2

т

С\п{п - 1) + С2 Е ^ / - 1-

г=2

Так как > 0, то из последнего неравенства, из (1.16) и того, что ^ = 0 при к > тп, следует

/ ^ С1п(п - 1) + с2о;о + 1 (1.18)

для положительных констант С\ и с2, удовлетворяющих системе неравенств (1.17).

Нижние оценки числа областей /

Теорема 1.3. Пусть для нетривиального набора п различных псевдопрямых на вещественной проективной плоскости максимальное число псевдопрямых, имеющих общую точку, равно т. Пусть Т ^ т. Тогда

/ > (1.19)

(3777 - 8, 5) (п2 - п) + (9тп2 - 21 т + 1)

тп2 + Зш-15 и;

при 12 ^ 777 < 77 — 2.

Для нетривиальных наборов п различных прямых на проективной плос-

с\

кости ШР при 5 ^ т < п — 2 справедливо неравенство Р (Згп - 10)П2 + (ТП2 - 6771 + 12)П

-Чт^-Т^-- + 1, (1-21)

777 + Зттг — 18

Замечание 1.2. Для наборов прямых выполняются все три неравенства теоремы. Неравенство (1.19) следует из (1.20) при 6 ^ т < п — 2.

Доказательство. Докажем первое неравенство. Запишем неравенство Мельхиора (1.3) в виде (1.16) с коэффициентами

ао = 3, а^ = 3 — г при г ^ 2.

Введем положительные множители

Заключение диссертации по теме «Геометрия и топология», Шнурников, Игорь Николаевич

Заключение.

Множества чисел / связных компонент дополнения описаны в работе в той или иной мере для ряда наборов подмногообразий. В тех случаях, когда множества Р удавалось найти явно или практически явно, алгоритм был следующий:

• ввести параметр т вырождения конфигурации п подмногообразий (например: максимальное число поверхностей, пересекающихся в одной точке, или максимальное число поверхностей, попарно не пересекающихся);

• перебрать все комбинаторные типы наборов с большой степенью вырождения (п — т порядка единицы);

• реализовать почти все возможные значения числа / конфигурациями со "средней" степенью вырождения;

• доказать, что число / не может принадлежать лакунам множества Р, если они есть. Для этого применять нижние оценки числа / через т и п.

Самым трудным и часто с необходимостью использующим различные результаты и теории является последний пункт, а именно, нижние оценки. Поэтому получение новых нижних оценок представляется более интересной и перспективной задачей, чем описание множеств чисел связных компонент. Имеет смысл строить нижние оценки для наборов с различными параметрами вырождения (помимо указанных), например, гомологического и гомотопического характеров.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Шнурников, Игорь Николаевич, 2012 год

Список литературы

1] А. Д. Александров, Одна теорема о выпуклых многогранниках, Тр. Физ.-матем. ип-та им. В. А. Стеклова, 4, с. 87. Л.: изд-во АН СССР, 1933.

В.И. Арнольд, На сколько частей делят плоскость п прямых? Матем. просвещение сер. 3 12 (2008), 95-104.

В. А. Васильев, Топология наборов плоскостей и их дополнений.Успехи математических наук 56:2(338), (2001), 167-203.

М. Горески, Р. Макферсон. Стратифицированная теория Морса. М.: Мир, 1991.

Б.А. Дубровин, С.П. Новиков, А.Т. Фоменко. Современная геометрия: методы и приложения. М.: Наука, 1986.

В.Ю. Протасов, Замкнутые геодезические на поверхности симплекса. Матем. сб. 198:2 (2007), 103-120.

В.Ю. Протасов, О числе замкнутых геодезических на многограннике. Усп. Матем. Н. 63:5 (2008), 197-198.

И. В. Птицына, Классификация замкнутых минимальных сетей на тетраэдрах. Матем. сб. 185:5 (1994), 119-138.

Г. Л. Рыбников, О фундаментальной группе дополнения к комплексной конфигурации гиперплоскостей. Функц. анализ и его прил., 45:2 (2011), 71-85.

[10

[И

[12

С. А. Юзвинский, Алгебры Орлика-Соломона в алгебре и топологии. Усп. Матем. Н. 56:2(338) (2001), 87-166.

J.G. Basterfield, L.M. Kelly, A characterization of sets of n points which determine n hyperplanes. Proc. Cambridge Philos. Soc. 64 (1968), 585-588.

R.C. Buck, Partition of space. Amer. Math. Monthly 50:9 (1943), 541-544.

[13] P. Brass, W. Mozer, J. Pach, Incidence and Arrangement Problems. In Research Problems in Discrete Geometry, Springer 2005. Chapter 7, pp. 289324.

[14] R. Cordovil, Sur l'évaluation t(M; 2,0) du polynôme de Tutte d'un matroide et une conjecture de B. Griinbaum rélative aux arrangements du droites du plan. European J. Combin. 1 (1980), 317-322.

[15] J. Csima, E.T. Sawyer, There exist ordinary points. Discrete Comput. Geom. 9 (1993), 187-202.

[16] P. Deshpande, Arrangements of Submanifolds and the Tangent Bundle Complement. Electronic Thesis and Dissertation Repository, Paper 154 (2011).

[17] G. A. Dirac, Collinearity properties of sets of points. Quart. J. Math., Oxford Ser. (2) 2 (1951), 221-227.

[18] R. Ehrenborg, M. Readdy, M. Slone, Affine and toric hyperplane arrangements. Discr. Comp. Geom. 41:4 (2009), 481-512.

[19] P. Erdos, G. B. Purdy, Some combinatorial problems in the plane. J. Combinatorial Theory Ser. A 25 (1978), 205-210.

[20] B. Green, T. Tao, On sets defining few ordinary lines. http://arxiv.org/abs/1208.4714, 2012.

[21] B. Griinbaum, Convex polytopes, Interscience, London, 1967.

[22] B. Griinbaum, Arrangements and Spreads. AMS, Providence, Rhode Island, 1972.

[23] B. Griinbaum, A catalogue of simplicial arrangements in the real projective plane. Ars Mathematica Contemporanea 2 (2009), 1-25.

[24] F. Hirzebruch, Singularities of algebraic surfaces and characteristic numbers. Contemporary Math. 58 (1986), 141-155.

[25] N. Martinov, On conjecture 2.4 of Grunbaum. Mathematics and Education in Mathematics (Proc. 19th Spring Conference of the Union of Bulgarian

Mathematicians, Sunny Beach, April 1990). Bulgarian Academy of Science, Sofia, 1990, pp. 112-117.

[26] N. Martinov, Classification of arrangements by the number of their cells. Discrete and Comput. Geometry 9:1 (1993), 39-46.

[27] E. Melchior, Uber Vielseite der Projektiven Ebene. Deutsche Mathematik 5 (1940), 461-475.

[28] Y. Miyaoka, The maximal number of quotient singularities on surfaces with given numerical invariants. Math. Ann. 268 (1984), 159-171.

[29] N. Nilakantan, Extremal Problems Related to the Sylvester-Gallai Theorem. In Combinatorial and Computational Geometry, ed. by J.E. Goodman, J.Pach, E. Welzl, Cambridge University Press, 2005. pp. 479-494.

[30] P. Orlic, L. Solomon, Combinatorics and topology of complements of hyperplanes. Inventiones Math. 56:2 (1980), 167-189.

[31] P. Orlic, H. Terao, Arrangements of Hyperplanes. Springer - Verlag, Berlin - Heidelberg, 1992. 329 pp.

[32] G.B. Purdy, On the number of regions determined by n lines in the projective plane. Geom. dedic. 9 (1980), 107-109.

[33] G.L. Rybnikov, On the fundamental group of the complement of a complex hyperplane arrangement. arXiv:math/9805056 (1998).

[34] R.W. Shannon, A lower bound on the number of cells in arrangements of hyperplanes. Jour, of combinatorial theory (A) 20 (1976), 327-335.

[35] R. P. Stanley, Enumerative combinatorics, 1. Vol. 49 of Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Cambridge Univ. Pr., Cambridge, 1997.

[36] J. Steiner, Einige Gesetze über die Theilung der Ebene und des Raumes. J. Reine Angew. Math. 1 (1826), 349-364.

[37] T. Zaslavsky, Facing up to arrangements: Face count formulas for partitions of space by hyperplanes. Mem. Amer. Math. Soc. 154:1 (1975).

[38] G.M. Ziegler, On the difference between real and complex arrangements. Math. Z. 212 (1993), 1-11.

Публикации автора по теме диссертации.

[39] И.H. Шнурников, На сколько областей делят плоскость п прямых, среди которых не более п — к коллинеарных? Вестник Моск. ун-та, сер. 1 (2010) 5, 32-36.

[40] И. Н. Шнурников, О числе областей, образованных наборами замкнутых геодезических на плоских поверхностях. Матем. Зам. 90:4 (2011), 636— 640.

[41] И. Н. Шнурников, Конфигурации подмногообразий коразмерности 1 .Матем. сб. 203:9 (2012), 133-160.

[42] Шнурников И.Н. О числе компонент связности дополнений к объединениям замкнутых подмногообразий. Деп. в ВИНИТИ, № 347 - В 2012, с. 1-28.

[43] Шнурников И.Н., Число областей в разбиениях плоскости прямыми не общего положения. Сборник тезисов международной конференции "Геометрия в «целом», топология и их приложения", Харьков, 2009 г., с. 47.

[44] Шнурников И.Н., Классификация конфигураций прямых на проективной плоскости по числу областей. Тезисы докладов Воронежской зимней математической школы С.Г. Крейна— 2010, Воронеж, 2010 г., с. 160-161.

[45] Шнурников И.Н., О числе областей проективного пространства, разделенного п плоскостями. Тезисы докладов международной конференции "Юбилейный симпозиум А.З. Петрова по общей теории относительности и гравитации", Казань, 2010 г., с. 125-126.

[46] Шнурников И.Н., О числе областей, образованных набором замкнутых геодезических на плоских поверхностях. Тезисы докладов международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященной 110-ой годовщине И.Г. Петровского, Москва, 2011 г., с. 396— 397.

[47] Шнурников И.Н., О числе областей дополнений в конфигурациях подмногообразий. Тезисы докладов международной конференции "Дискретная геометрия", посвященной 100-летию со дня рождения А.Д. Александрова, Ярославль, 2012 г., с. 85-86.