Распределение простых чисел в арифметической прогрессии, разность которой является степенью фиксированного простого числа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Шевцова, Мария Витальевна

• Шевцова, Мария Витальевна
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Шевцова, Мария Витальевна

ОГЛАВЛЕНИЕ

Обозначения

Введение

Глава 1. Вспомогательные утверждения

§1. Вспомогательные леммы

§2. Основные леммы

Глава 2. Доказательства теорем 1 и 2

Глава 3. Доказательство теоремы 3

Список литературы

Обозначения

с,С\.С2, - • • — положительные постоянные, в различных формулах, вообще говоря, различные;

£ — произвольно малое положительное постоянное число, £ < 1;

р, Р1,Р2,- ■ ■ — простые числа;

ро — фиксированное простое число, ро ^ 3;

2

ехр х = ех;

т~к(п) ~~ число решений уравнения х\ ■ • • х-к = п в натуральных числах Х\

<р(п) — функция Эйлера — число натуральных чисел, не превосходящих п и взаимно простых с п;

запись а = Ь (тос! то) означает, что то | (а — Ь);

ц(п) — функция Мебиуса — равна единице при п = 1, равна нулю, если р2\п и равна (—1)к , если п равно произведению к различных простых сомножителей;

Л(п) — функция Мангольдта — равна 1пр, если п — степень простого числа р} и равна 0 в противном случае;

Х(п) — характер Дирихле по модулю И;

если V - целое число,

ехр{2тп^}, если (п, Л) = 1; 0. если (те, Б) > 1.

V шс1 п

Ч>Ф)

Х(п) — комплексно-сопряженный характер Дирихле;

тт(х, И, I)— число простых чисел, не превосходящих числа х и сравнимых с I по модулю И, (7,12) = 1;

||£[| — расстояние от £ до ближайшего целого числа;

запись А <С В означает, что \А\ ^ сВ.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Распределение простых чисел в арифметической прогрессии, разность которой является степенью фиксированного простого числа»

Введение

В теории чисел важную роль играет распределение простых чисел в арифметических прогрессиях.

Пусть при (/,£>) = 1 7г(Х, Б Л) означает число простых чисел, не превосходящих X и сравнимых с I по модулю В. Не доказанная к настоящему времени расширенная гипотеза Римана привела бы к следующему асимптотическому закону |1]:

И ^ е> 0 — произвольно малое число.

Без допущения расширенной гипотезы Римана и наложения каких-либо ограничений на .О, асимптотическая формула для 7г(Х, О, I) получена при весьма «малых» Б. Например, при В ^ (1пХ)-4, где А > 0 — константа, с = с(А) > 0, справедлива формула:

7Г(х,дг) = ^.+о(хе-^), (1)

которая известна в литературе как формула Зигеля—Вальфиша [1|.

Но в случае, когда И = р™, ро ^ 3 — фиксированное простое число, можно получить асимптотическую формулу для 7г(Х, И, I) при гораздо больших I).

В 1955 году А. Г. Постников обнаружил |2|, что существует многочлен с целыми коэффициентами /(и) = и + й2и2 + • • • + ат_1?/т_1 степени т—1 такой, что для любого первообразного корня д по модулю р™ ПРИ любом целом и справедливо сравнение

-у----= А/(и) (то

р 0-1

где (А,ро) = 1 и А — корень сравнения

тф;(Ц-р0) _

р о-1

А/(1) (тоарГ1)-

Данное наблюдение позволило представить сумму значений неглавного характера по модулю И, равному степени нечетного простого числа, как сумму Вейля специального вида. Это открытие замечательно тем, что суммы Вейля, даже очень короткие (а вместе с ними и очень короткие суммы значений характера), допускают нетривиальные оценки.

Идея А. Г. Постникова позволила решить некоторые проблемы теории чисел, к которым в общем случае не было никаких подходов.

К таким задачам относится получение асимптотической формулы для 7г(Х, И, I) при возможно большем значении И.

В 1964 году Ю. В. Линник, М. Б. Барбан и Н. Г. Чудаков [3| доказали следующий асимптотический закон, справедливый при В = р™ ^ Х»~£ (е > 0 — произвольно малое число, М > 0 — произвольно большое число):

тг(ХД0 = ^(1 + О(1п-мХ)). (2)

Доказательство этой теоремы проводится на основе плотностной техники и поэтому требует информации о распределении нулей Ь функции Дирихле в критической полосе.

Используя идею Постникова, авторы получили оценку для суммы значений неглавного характера по модулю И = р™:

< а^ЬпО. (3)

Эта оценка дала возможность Линнику, Барбану и Чудакову вывести новую плотностную теорему:

Ща, Т, Х) < Г3^8/3*1-") 1п13 О, (4)

где М(а,Т,х) — число нулей х) в прямоугольнике а ^ ¡3 < 1, |7| ^ Т, р = ¡3 + ¿7 — нуль Ь(в, х) в полосе 0 < ¡3 < 1.

Используя оценку (4) авторы получили формулу (2) для больших И по сравнению с (1).

В монографии А. А. Карацубы |1| приводится следующая формула, справедливая при D = р™ ^ X1/9:

ib(X,D,l) = (l + О , (5)

X

W)

где с > 0 — константа.

Доказательство (5) осуществляется на основе плотностной техники. Отметим, что, хотя оценка остаточного члена точнее, чем в (2), граница изменения D гораздо меньше.

Другая задача, в которой исследования А. Г. Постникова нашли свое применение, — это проблема делителей Дирихле в арифметических прогрессиях.

Пусть Tfc(n) — число решений в целых положительных числах Щ,..•, щ уравнения

щ... пк = п.

Рассмотрим сумму

Е ■ (6)

п^Х n=l (mod D)

В работе А. Ф. Лаврика [4] получена асимптотическая формула для суммы (6) при к ^ 4 с произвольной разностью D:

п< А' n=l (mod D)

где

R «

ip{D)

С\, (>2 — константы, Рк-1(2) — многочлен степени к — 1 от переменной

сд

г. Эта формула нетривиальна при П ^ X к.

Если к < 4, последний результат существенно усилен.

Г. Иванец [5] на основе модулярной техники получил асимптотическую формулу в случае к = 2, справедливую при D ^ X з~е (е > 0 — произвольно мало), и совместно с Дж. Фридлендером |6| — для к = 3, справедливую при D ^

В 1979 году М. М. Петечук |7| усилил результат Лаврика и получил асимптотическую формулу для суммы (6) при фиксированном к ^ 2 и D = pf ^ х1-£:

^ X/WlnX) (х1~Л

5 (7)

n=Z (mod D)

где = 1, Рк-i(lnX) — многочлен степени к — 1с коэффициен-

f ^ /5 1

тами, зависящими от /г и ро, ^ =: min \ —"пт г > > 0 — константа,

I 16 к6 I

зависящая от Pq.

Формула остаточного члена (7) получена с применением оценки короткой суммы значений характера по модулю D = р™, основанной на работе А. Г. Постникова. Доказательство (7) проводится без применения средств комплексного анализа. Оно опирается на метод работы А. А. Карацубы |8|, позволяющий оценивать остаточный член асимптотической формулы по схеме решения тернарной аддитивной задачи.

С помощью этого метода 3. X. Рахмонов [9] решил задачу распределения чисел Харди — Литтлвуда в арифметических прогрессиях с растущей разностью. В его работе получена асимптотическая формула для числа решений сравнения

р + п2 = I (mod D), р^Х, п^ УЖ

где D — достаточно большое простое число, 1 ^ I D — 1, X ^ D3/2+e, и найдена следующая граница наименьшего числа Харди — Литтлвуда в арифметической прогрессии:

H(D,l) <L>3/2+£.

В настоящей диссертации решены три задачи, связанные с изложенной тематикой.

Первая глава содержит леммы, необходимые для доказательства утверждений диссертации. Основными результатами являются теоремы 1 — 3, которые доказываются во 2 и 3 главах.

Во второй главе элементарными методами доказана следующая теорема.

теорема 1. При (I.D) = 1 имеет место формула:

Е rk{n) = -^)Pk^{\nX) + R. (8)

п^Х n=l (mod D)

1. При к = 2 формула (8) справедлива для D ^ (е\ > 0 -сколь угодно малое число) .

4 ^

2. При к = 3 формула (8) справедлива для D ^ Х$~£'2 (бо > 0 — сколь угодно малое число).

В этой главе также рассматривается задача о равномерной оценке остаточного члена асимптотической формулы для суммы (б) при D =

Теорема 2. При (l,D) = 1, D = р™ ^ справедлива формула

^ -yPt-tpnX)

£ Тк{п) = <fi(D) + R' (9)

п^Х n=l (mod D)

где

R « ~ 1)7(к-2}е«к~2) (InX)2*"2 ,

Pk-i(z)— многочлен степени к — l от переменной z с коэффициентами, зависят/ими от к и ро, х = min j -, |. 7 > 0; с > 0 — константы.

( 1пХ \1/4

Данная формула нетривиальна при k ^ I

ЫпХ

Доказательство теоремы 2 проводится по схеме работы [7]. Для получения равномерной по к оценки мы используем теорему А. И. Виноградова и Ю. В. Линника [10]:

Е Мп)*С— In- 1--

Xi<n^X 4 4

n=l (mod D)

где С = ¿fM exp {f (k - l)e32/5}.

Кроме того, мы применяем неравенство К. К. Маржджанишвили [11]:

| i . ^(lnX+.fc-l)*-1

£/*(»)<*—(jferTjj—•

, что, поскольку главный член является величиной порядка X , 1

——— (In А")' , то формула (9) при данных ограничениях на D спра-

<p(D)

i (V/4

ведлива для к ^ -—:—77

\т In a J

Третья глава посвящена проблеме распределения простых чисел в арифметических прогрессиях. В этой главе доказывается асимптотическая формула для 7г(Х, D, I) при D = р™.

Теорема 3. При (l.D) = 1, D = ^ xie_(lnlnx)2 справедлива формула

где 0 < я < 1 — константа.

По сравнению с теоремой К). В. Линника, М. Б. Барбана и Н. Г. Чу-дакова получено незначительное уточнение остаточного члена и верхней границы изменения О. Наше доказательство существенно отличается тем, что не использует информации о распределении нулей Ь-функции Дирихле в критической полосе, а использует лишь теорему о

границе нулей, принадлежащую В. Н. Чубарикову [12|, доказательство которой элементарно.

Вывод асимптотической формулы осуществляется методами работ Петечука |7] и Карацубы [8]. Однако наряду с этими методами мы применяем метод контурного интегрирования, поскольку нам необходимо оценивать не только суммы значений характера, но и суммы значений характера по простым числам.

Опишем схему доказательства теоремы 3. Рассмотрим сумму

Используя свойство ортогональности характеров и выделяя слагаемое с Хо, имеем:

Первая сумма справа даст нам главный член асимптотической формулы, а вторая — остаток И.

Применим формулу типа малого решета и разобьем И наО((1пХ)2А:) сумм вида:

гКХ,Ю,1)= А(п)

п^Х п=1 (тос! В)

п=1 (тос! П)

(п,В)=1

Х¥=Х0 АТ1<П1^'2Ы1 ^r2A;<n2fe<2Д'2fc

где с^щ) — либо 1, либо либо ] — 1,..., 2к.

Если су(г^) = /х(те^), то щ < Хг!К, к = 1,..., К.

Заметим, что в этой сумме имеется условие:

Щ ■ • • П'2к ^ X.

(10)

Области суммирования такого рода называются криволинейными. Пользуясь известным приемом Линника, заменим суммирование по криволинейной области суммированием по области, в которой условие (10) отсутствует (такую область мы будем называть прямоугольной). Получим суммы вида:

Si

1

V ' хФхо N<n^2N

X

X X T'k(u)x(u) rfc-i('u)x(?

где c(n) = 1, либо In n, либо ß(n), UVN < X,

U = N2N± ■ ■ ■ N2k, V - N3Nb • • • N2k-1, 4(U) = ■■■ X С2(п2)С4(щ)---С2к{П2к),

N2<n2^2N2 Лг4<п4<2Л'4 N2k<n2k^'2N2k n2n4--n2k=u

4,-l(y)= ■■■ E C3(n-3)c5(n5)---C2fc_l(n2fc-i;

N3<7i:K2N3 Nb<n64:2Ns Ar2fc-i<n2fc-i<2iV2fc_i П3П5-П2к-i = v

Применим неравенство Копти. Тогда имеем:

2\ V2

Si <С max

хФхо

N<n^2N /

П

(

1

<p(D)

\

£

х (mod D)

£ T'k(UMU)

U<u<2kU

X

X

1

V

Заметим, что о\

ip(D)

1

Е

<p(D)

X (mod D)

Е

x(mod D)

E Tkiu)x{u)

U<u^2kU

1/2

равняется числу

решений сравнения

• • • %к = •' • (mod D),

N2 < X2,4 < 2 N2,..., N2k < X2k, х'2к < 2 Nu, U < X2 • • • Ж2Ь x'^2 • • • x'2k < 2kU. Оценивая число решений этого сравнения, получим:

U

о\ < -р= + VU.

л/Г)

Аналогично оценивается сумма

<p(D)

Таким образом:

R «С (In Х)ш шах

хФхо

с(п)х(р>)

N<n^2N

Е

\(mod D)

U

]Г Tk-iiv)x(v)

Vkv^-W

vd+vü){tb+vv)-

Далее, оценка суммы ^^ с(п)%(п) зависит от коэффициентов

N<n<2N

max

X^Xü

с(п).

Если с(п) = 1, либо Inn, то мы имеем сумму значений характера. Используя оценку (3), получим:

< VNDWQiiX)** + VÜV^ <С

« {\пХ)ш (x'^D-^ + X^D1^ « Х^О-1'\\пХ)АК.

Для более короткой суммы значений характера мы применим оценку, доказанную в работе [12]:

£ « Л/W'"2,

N<n^2N

где г = 0<7<1 — константа.

Тогда:

max

х¥=хо

N<n^2N

UV,

(lnX)4ii <

D 13

D

1

Отдельную задачу представляет оценка суммы ^^ с(п)х(п) в

случае, когда параметр N «очень маленький», то есть самая длинная сумма оказывается короткой. Тогда с(п) = /¿(п), и возникает сумма

Лт<п^2Лт

Пользуясь определением функции Мебиуса представим эту сумму в виде:

лг<п< 2Лг г=1

где = ^Г^ ^ ~ бесквадратное число, имеющее ровно I

простых делителей, Ьо ^ Лг].

Применяя решето Виноградова, мы сводим сумму 5'/ к сумме значений характера по простым числам

Эту сумму не удается нетривиально оценить, используя метод тригонометрических сумм И. М. Виноградова, в силу мультипликативности функции характера. Поэтому здесь мы применяем теорему Чубарико-ва о границе нулей Ь-функции Дирихле: для произвольного неглавного характера х п0 модулю И = р™ X) не имеет нулей в области

а- > 1__Ъ._ \ + \ < рЬ2(1п1п£>)2

(1п£>)2/3(1п1п I))2' 11

Ь[, Ь-> положительные константы.

На основе этой теоремы мы получаем оценку логарифмической производной Ь-функции в области

2(1п П)2/3(1п 1п Б)2' 11

!<'(*, X)

ь&х)

< (1п£>)5/3(1п1пР)2.

Далее, применяя формулу Перрона и метод контурного интегрирования, приходим к следующему неравенству:

Е *(Р) « А^е-С(1п1п13)2,

где 0 < с < 1 — константа. Таким образом, имеем:

тах

хФхо

]г ФЫп)

N<п^2N

и^У ,- шЛ ,

—)(1пХ)4А«

миу 0Лс(1ц1пХ)2 X 0.1с(1п1пХ)2

« ^ « ^е

Последний результат и определяет в конечном счете оценку остаточного члена асимптотической формулы.

Из полученной асимптотической формулы преобразованием Абеля приходим к утверждению теоремы.

Основные результаты, изложенные в диссертации, опубликованы в работах автора (1] - [6].

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Шевцова, Мария Витальевна, 2012 год

Список литературы

|1] Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел. —М.: Наука, 1983. - 239 с.

[2] Постников А. Г. О сумме характеров по модулю, равному степени простого числа//Изв. АН СССР, сер. Матем. —1955. —Т. 19, № 1. -С. 11-16.

[3] Линник К). В., Барбан М. В., Чудаков Н. Г. О простых числах в арифметической прогрессии с разностью, равной степени простого числа//Acta arithm. J. —1964. - vol.9, № 4. - P. 375-390.

[4] Лаврик А. Ф. Функциональное уравнение для L-функций Дирихле и задача делителей в арифметических прогрессиях//Изв. АН СССР, сер. Матем. -1966. - Т. 30. - С. 433-448.

[5] Iwaniec Н., Kowalsky Е. Analytic number theory. —American Mathematical Society, Colloquium Publications. — Volume 53, 2004. - 615 c.

[6] Friedlander J., Iwaniec H. Incomplete Kloosterrnan sums and divisor problem//Ann. Math. -1985. -121. - P. 319-350.

[7] Петечук M. M. Сумма значений функции делителей в арифметических прогрессиях с разностью, равной степени простого нечетного числа//Изв. АН СССР, сер. Матем. -1979. - Т. 43, № 4. -С. 892-908.

[8] Карацуба А. А. Распределение произведений сдвинутых простых чисел в арифметических прогрессиях//Докл. АН СССР. —1970. — Т. 192, №4. - С. 724-727.

[9] Рахмонов 3. X. Распределение чисел Харди — Литтлвуда в арифметических прогрессиях//Изв. АН СССР, сер. Матем. —1989. — Т. 53, КП. - С. 211-224.

[10] Виноградов А. И., Линник К). В. Оценка суммы числа делителей в коротком отрезке арифметической прогрессии//Успехи матем. наук. -1957. - Т. 12, вып. 4 (76). - С. 277-280.

[11] Марджанишвили К. К. Оценка одной арифметической суммы//Докл. АН СССР. - 1939. - Т. 22, №7. - С. 391-393.

[12] Чубариков В. Н. Уточнение границы нулей Ь-рядов Дирихле по модулю, равному степени простого числа//Вестник Московского университета. - 1973. - № 2. - С. 46-52.

|13] Виноградов А. И. О числах с малыми простыми делителя-ми//Докл. АН СССР. - 1956. -Т. 19, №4. - С. 683-686.

[14] Титчмарш Е. К. Теория дзета — функции Римана. —М.: ИЛ, 1953. - 408 с.

[15] Линник Ю. В. Теория чисел. Ь-функции и дисперсионный метод. —Ленинград: Наука, 1980. — 373 с.

¡16] Прахар К. Распределение простых чисел. —М.: Мир, 1967. — 511 с.

|17| Карацуба А. А. Тригонометрические суммы специального вида и их приложения//Изв. АН СССР, сер. Матем. —1964. — 28. — С. 237-248.

[18] Едгоров Ж. Задача делителей в специальных арифметических прогрессиях//Изв. АН УзССР. -1977. - № 2. - С. 9-13.

[19] Карацуба А. А. Оценки тригонометрических сумм методом И. М. Виноградова и их применения//Труды МИАН СССР. — 1971. - Т. 112. - С. 241-255.

[20] Карацуба А. А. Равномерная оценка остаточного члена в проблеме делителей Дирихле//Изв. АН СССР, сер. Матем. —1972. — 36. — С. 475-483.

[21] Розин С. М. О нулях Ь-рядов Дирихле//Изв. АН СССР, сер. Матем. -1959. - 23. - С. 503-508.

[22] Чудаков Н. Г. О нулях Ь-функции Дирихле для модулей, равных степеням нечетного простого//Вестник ЛГУ, сер. Матем. — 1966. - № 1. - С. 93-98.

123] Хооли К. Применение методов решета в теории чисел. —М.: Наука, 1987. - 135 с.

[24] Виноградов И.М. Основы теории чисел. —СПб-М: Лань, 2004. — 167 с.

[25] Виноградов И.М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. -М.: Наука, 1971. - 109 с.

[26] Линник Ю. В. Дисперсионный метод в бинарных аддитивных задачах. -Л.: Изд-во ЛГУ, 1961. - 208 с.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Шевцова М. В. О распределении простых чисел в арифметических прогрессиях с разностью специального вида / С. А. Гриценко, М. В. Шевцова // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Серия Математика. Физика. — 2011. — № 5 (100). — Вып. 22. — С. 17-38. — 1.38 п.л. (авторский вклад 50%)

2. Шевцова М. В. О распределении простых чисел в арифметической прогрессии, разность которой является степенью фиксированного простого числа / С. А. Гриценко, М. В. Шевцова // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Серия Математика. Физика. — 2011. — № 23 (118). — Вып. 25. — С. 54-59. — 0.38 п.л. (авторский вклад 50%)

3. Шевцова М. В. О суммировании функции делителей в арифметической прогрессии// Научные ведомости Белгородского государственного университета. Серия Математика. Физика. — 2011. — № 17 (112). — Вып. 24. — С. 172-178. — 0.44 п.л.

4. Шевцова М. В. О суммировании функции тк{п) по числам, лежащим в арифметической прогрессии// Научные ведомости Белгородского государственного университета. Серия Математика. Физика. — 2010. - № 5 (76). - Вып. 18. - С. 154-169. - 1.00 п.л.

5. Шевцова М. В. О распределении простых чисел в арифметической прогрессии, разность которой является степенью фиксированного простого числа / С. А. Гриценко, М. В. Шевцова // Тезисы докладов секции «Аналитическая теория чисел» Международной научной конференции «Комплексный анализ и его приложения к дифференциальным уравнениям и теории чисел». — Белгород, 2011. — С. 45-46. — 0.13 п.л.(авторский вклад 50%)

6. Шевцова М. В. О распределении простых чисел в арифметической прогрессии, разность которой является степенью фиксированного простого числа / С. А. Гриценко, М. В. Шевцова // Чебышевский сборник. — 2011. — Том 12. — Вып. 1. — С. 60-78. — 1.19 п.л. (авторский вклад 50%)

7. Шевцова М. В. Сумма значений функции делителей в арифметических прогрессиях с разностью, равной степени нечетного простого числа// Материалы Международного молодежного научного форума «Ломоносов - 2011»/ М.: МАКС Пресс. - 2011. - 0.13 пл.