Прямая и обратная задачи в расчетах светооптических систем световых приборов - компьютерная реализация тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.09.07, доктор технических наук Кущ, Олег Константинович

• Кущ, Олег Константинович
• доктор технических наук
• 1999

Оглавление диссертации доктор технических наук Кущ, Олег Константинович

Введение.5-31.

Глава 1. Расчет светораспределения светооптических систем

СП в приближении точечного источника света (ТИС).32-70.

1.1. Трассировка лучей в оптической системе.32-44.

1.2. Расчет светораспределения от зеркального отражателя с ТИС.44-67.

1.3. Программирование прямой задачи с ТИС.67-70.

Выводы.70.

Глава 2. Решение обратной задачи для СС с ТИС и ее программная реализация.71 -102.

2.1 Дифференциальные уравнения профильной кривой отражателя.71 -77.

2.2. Методы численного решения уравнений.77-78.

2.3.Программная реализация расчета СС с ТИС.78-80.

2.4. Описание пакета программ SHAPE.81-84.

2.5. Примеры применения программы SHAPE.85-93.

Выводы.102.

Глава 3. Расчет светораспределения СС с протяженными ИС.103-142. 3.1.Функционалы светораспределения.103-105.

3.2. Алгоритм «обратного луча». .105-107.

3.3 Метод обратного луча в аналитической интерпретации.107-122.

3.4. Метод обратного луча - компьютерная реализация.122-125.

3.5.Моделирование угловых аберраций и рассеяния.125-130.

3.6.Предсказание поля в дальней зоне по измеренному телу яркости в ближней зоне.131-132.

3.7. Область применения лучевых формул, или концепции точечного ИС (системный подход).132-136.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Прямая и обратная задачи в расчетах светооптических систем световых приборов - компьютерная реализация»

Обзор литературы: прямая и обратная задачи в расчетах СС СП

Пусть S - некоторая структура описания источника света (ИС): форма, размеры, прозрачность, распределение яркости по поверхности, индикатриса яркости, кривая силы света (КСС), интегральный поток, положение и ориентация ИС в пространстве S = { si, s2,.,sm }

Пусть R - структура описания отражателя: тип симметрии, геометрия профильной кривой , размеры, коэффициент отражения, индикатриса рассеяния материала, положение центра и ориентация отражателя в пространстве R= { гьг2,.,гп }

Эти структуры определяют описание светооптической системы (СС) светового прибора (СП):

G=G(S,R).

Пусть также имеется некоторая структура, описывающая энергетические характеристики СС: кривая сил света (КСС), описывающая светораспределение СС в дальней зоне ( английский эквивалент- LID- liminous intensity distribution ), кривая освещенности (КО), описывающая светораспределение на рабочей плоскости (РП) в ближней зоне (или соответственно- ID- intensity distribution), зональное распределение потоков, коэффициент использования, кпд. Это можно записать в виде

I = { .ДР>

Расчет энергетических характеристик при заданных характеристиках источника света (ИС) и отражателя, т.е. отображение Г; в —> I есть прямая задача расчета СС для СП. Эта проблема является традиционной в теории расчета СП в светотехнике [1,2].

Определение формы, размеров совокупности отражающих или преломляющих поверхностей, преобразующих заданное поле ИС - в заданное поле в дальней или ближней зоне мы определяем как обратную задачу [2]. Иными словами -это проблема существования обратного оператора Р"1:1—

Привлекательность способов решения прямой задачи - сравнительная простота используемого математического аппарата. Таковы известные аналитические решения для освещенности , полученные для зеркальной поверхности в форме параболоида вращения и ТИС с равномерной силой света. Недостатки этого способа - ограниченность возможности получения новых решений, удовлетворяющих разнообразным требованиям. Привлекательность решения обратной задачи - поиск решения осуществляется, исходя из желаемых свойств, а также то, что эти способы дают возможность получения множества новых решений.

Недостатки этого способа - приходится использовать сложный аппарат - решать дифференциальные и интегральные уравнения, что связано с громоздкими вычислениями.

Основные предположения, принятые в работе:

1) применимость понятий геометрической оптики

2) среда, в которой распространяется излучение- однородная, без поглощения и рассеяния

3) некогерентность лучей, приходящих в одну точку

4) СС считается обладающей вращательной (ВС) (или осевой ) или трансляционной (ТС) симметрией

5) отражатель, применяемый в СС, является идеально зеркальным

Из условия 1) следует что поток излучения распространяется вдоль лучей. Из 1) и 2) следует что лучи образуют световые трубки, в которых поток излучения через любое ее сечение остается постоянным. Отсюда следует инвариантность яркости по лучу, т.е. яркость луча одинакова в его начале ( вблизи ИС ) и его конце (вблизи приемника).

Условие 3) позволяет суммировать интенсивности. Это условие как показано в [3,4] не требует некоррелированности различных ИС, а лишь некоррелированности пучков в области сформировавшейся фотометрической картины.

Условия 4) и 5) означают, что говоря о решении обратной задачи, мы будем всегда в виду иметь расчет профильной кривой зеркального отражателя или преломлятеля по заданному закону светораспределения.

Считая справедливость теории геометрооптических систем, мы считаем также справедливым принцип Максвелла.

Выводы, полученные в работе, применимы как к отражательным так и линзовым СС.

Мы будем употреблять иногда для краткости термин интенсивность, подразумевая под этим освещенность, силу света или энергетические характеристики ( облученность, энергетическая сила света и т.п. ) Прямая задача и ее решение. Протяженный ИС.

Широко известен метод решения прямой задачи с протяженным ИС - метод элементарных отображений (ЭО), эффективно применявшийся в течение многих лет в инженерной практике [1,2]

За исключением частных случаев метод ЭО был связан с большим числом графических построений и подсчетом числа ячеек ,попадающих в фигуру отображения светлых точек(ФСТ) [2].

Из немногих случаев аналитического рассмотрения интересной представляется малоизвестная работа Н.Г. Болдырева по расчету светораспределения параболоида со сферическим ИС [5]. Н.Г. Болдырев получил выражение для осевой силы света в виде асимптотического ряда, введя «малый параметр» 1/х 0, где х о - расстояние точки наблюдения от оптической оси.

С введением в инженерную практику расчетов СП ЭВМ графоаналитическая форма представления метода ЭО оказалась непригодной и должна была быть, очевидно, отброшена.

В то же время понятийный аппарат анализа светлой области, оказавшийся столь плодотворным при исследовании СС различного назначения должен быть сохранен и переведен на язык уравнений, доступных ЭВМ

Переводу графоаналитических операций на аналитическую основу, или их «арифметизации», были посвящены статьи автора и его диссертация 60 г.г. [6-9]

В большом обзоре [10] В. Weis группирует методы расчета зеркальных отражателей по признаку 1) точечные ИС и 2) конечно- протяженные ИС. Основное внимание уделено анализу работ 2-й группы методов, особенно работам российских авторов ( в т.ч. Н. Н. Ермолинского , В. Д. Комиссарова, В.В. Трембача )

Прогресс в развитии этих методов, связанных с большой трудоемкостью вычислений и возможностью их упрощения с применением ЭВМ, был достигнут, как отмечалось В. Weis, благодаря работам [7,8]

В работе [11] метод ЭО используется в аналитической форме при вычислении границ светлой части, определяющих интеграл освещенности от зеркального параболоидного отражателя со сферическим равноярким ИС, центр которого расположен в фокусе параболы. Очевидно, последнее предположение, при котором оси ЭО параллельны оптической оси СС, значительно упрощает задачу аналитического определения границ светлой части (изображения ). Расчет параболоидного отражателя с соосно расположенным ИС -сферическим или цилиндрическим -оставался практически важным, но частным случаем аналитического расчета.

Но уже для ламп-фар светящим телом является моно-или биспиральное тело накала в виде цилиндра или совокупности цилиндров, ориентированных определенным образом по отношению к фокусу и оптической оси отражателя. Вписать же старые методы в новый контекст - отнюдь нетривиальная задача! Так, непреодолимой задачей для метода ЭО осталась проблема «краевого эффекта» - получение расчетных формул для коэффициента заполнения в случае частичного вхождения ФСТ в область осевых лучей (см .[9]).

Принцип анализа объектов в обратном ходе лучей известен со времен наивных воззрений древних на глаз, как источник светоносных лучей, ощупывающих рассматриваемый предмет, и давно применяется в оптике при исследовании СС [12,13].

В 1976 г. автор независимо от работ [13] изложил метод в обратном ходе лучей, или метод обратного луча, в векторном виде применительно к машинным расчетам светораспределения зеркальных отражателей с протяженными ИС [14]. Принципиально важным было изменение точки зрения на расчеты светлой части СС- вместо операций с ЭО на сетке полярных координат для определения светлых точек предлагалась простая - даже для ручного счета-операция решения квадратных уравнений.

Простота составления алгоритма расчета СС даже со сложными светящими телами ИС , потенциально высокая точность, доступность его для инженера, овладевшего лишь элементами векторной (и линейной) алгебры , возможность получения значения освещенности или силы света в любой заранее выбранной точке рабочей плоскости(РП) или выбранном направлении пространства сделали метод популярным, после чего последовал ряд работ в этой области [ 14 -22].

Обнаружилось, что такие эффекты как затенение отражателя лампой или заслонение светлой области краем отражателя, не «вписывающиеся» в традиционную методику, достаточно просто, в тех же расчетных циклах обхода луча по выходному растру, могут быть учтены новым методом.

Со временем метод обратного луча получил «права гражданства» и был включен как метод компьютерного расчета СП в вузовский курс «Световые приборы», читаемый в МЭИ [2].

Он был использован как рабочий метод в диссертации, выполненной в МЭИ [19], для расчета КСС прожекторов заливающего света с лампами HID. Зеркальные отражатели этих прожекторов имеют параболоцилиндрическую форму , на которую нанесен рельеф из выпукло-вогнутых ячеек. Неравномерность яркости ламп HID ( МГЛ) учитывается -согласно принятой в работе яркостной модели Н,НЧ Софронова [18].

В основу алгоритма прямого расчета автоматизированного проектирования СС, созданного на кафедре физики МЭИ, был положен «модифицированный метод обратного луча» [20]. Выбранная методика проектирования была использована при разработке СС отражателей 2-х типов:

1) для создания определенной концентрации потока в заданном угле, т.е. создания заданной КСС,

2) для равномерной подсветки жидкокристаллического экрана. ИС, очевидно, предполагался равномерно ярким.

Применение выбранной методики позволило провести широкое исследование влияния разнообразных факторов на светораспределение СС: формы основного отражателя ,наличия и формы рифлений , коэффициента зеркального отражения, размеров лампы и ее положения (расфокусировки), наличия торцов и дна и т.п.

Достоверность методики подтверждена сравнением с различными методиками, а также сравнением с результатами эксперимента. При этом отмечена высокая эффективность метода диалоговых программ с использованием принятой методики обратного луча.

В работе [23] изложены основные этапы проектирования по методу обратного луча - описание яркостной модели ИС, описание поверхности отражателя и ее конечно-элементное представление, формирование обратного луча и трассирование луча в направлении к ИС, считывание значения яркости элемента поверхности ИС- применительно к расчету отражателей с лампами высокого давления (НТО). Яркостное тело этих ламп аппроксимировалось рядом вложенных друг в друга цилиндров, а искомое значение яркости точки в направлении обратного луча принималось равным яркости соответствующего цилиндра, касательного к этому лучу.

Метод обратного луча позволяет произвести качественный анализ проектируемого прибора, исходя из вида изображения ИС, выводимого на экран компьютера. Если требуется «большая наглядность», связываемая по традиции с методами ЭО [2], параметры ЭО можно уточнить, прибегая к зондированию внутреннего пространства СП «обратным лучем». При этом уравнение светящего тела ИС ,очевидно, удобно задать в локальной системе координат, связанной с центром тела и осями его симметрии [24].

К 80-м годам - с интенсивным введением персональных компьютеров-метод обратной трассировки лучей (ray- tracing) стал наиболее перспективным в области компьютерной графики, позволившим получить реалистические изображения зондируемых трехмерных объектов (см., например, [25,26]). Родство методов обратного луча -для получения распределения яркости по светлой области («изображению») на поверхности отражателя и способа обратного трассирования «ray- tracing» для получения «синтетического» изображения трехмерных объектов - в машинной графике, отмечается P. Muigg в [18]. Следует отметить, что метод обратного луча не является единственным методом, с помощью которого можно учесть реальную форму, размеры и яркост-ные характеристики ИС.

Одними из наиболее мощных современных методов расчета СС СП являются методы Монте - Карло[21-3\], причем их применение особенно эффективно и достаточно просто для расчетов СС, где необходимо учитывать многократные отражения и рассеяние света, например, для расчета осветительных устройств с щелевыми световодами.

В этих работах применяется статистическое разыгрывание хода лучей в прямом ходе, причем рассматриваются акты многократного отражения рассеяния и поглощения, которые претерпевает луч на пути от ИС к точке РП.

Вес лучей, идущих от ИС, выбирается в соответствии с принятой моделью [28]. Например, для ламп ДРЛ в [30] яркость колбы лампы представляется в виде суммы зеркальной и диффузной (ламбертовской) составляющей. Заслуживает внимания спектральный метод расчета СС [29], который позволяет существенно уменьшить трудоемкость обычного численно- лучевого метода с использованием схемы Монте-Карло. Однако, как указано в [29], метод целесообразно использовать для расчета СС, светораспределение которых является «всюду гладкой функцией». Таким образом уже для «прямоугольной волны», которой является КСС прожектора- этот метод не подходит: требуется базис из полиномов все большей размерности и выигрыш в трудоемкости пропадает.

Очевидно, это связано с фурье- разложением почти прямоугольных функций -известно, что требуются специальные методы, чтобы подавить возникающие при этом осцилляции.

Для решения задач расчета СП при отсутствии многократных отражений и рассеяния применение прямых методов Монте - Карло, т.е. придание вероятностной трактовки детерминированной природе задачи, едва имеет какие-то преимущества перед более точным и наглядным методом обратного луча .

Здесь следует согласиться с тем утверждением, что появление новых, более сложных методов анализа не всегда является шагом вперед. Увеличивая количество лучей в методе Монте - Карло, мы все с большей точностью выводим закон Бугера [32] или известную КСС для прожектора со сферическим ИС.

Учет направленного рассеяния материала отражателя при методе обратного луча не составляет труда [22], для этого следует принять во внимание, что рассеяние эквивалентно увеличению размеров ИС [33].

Число интересующих нас точек (при расчете КО) или интересующих направлений (при расчете КСС), как правило, невелико (20-100), а высокая точность необходима при проектировании и изготовлении прецизионных СС и последующей оценке технологической погрешности.

В этих условиях по рекомендации Марчука [34] расчеты в обратном ходе лучей ( метод «сопряженных блужданий») более предпочтительны, чем в прямом.

Для ускорения сходимости метода обратного луча можно использовать априорную аналитическую информацию о характере изображений для простых оболочек ИС Точечный ИС

Использование сложных методов расчета светораспределения СС с протяженными ИС отнюдь не исключает применение - при некоторых допущениях - более простой модели точечного ИС (ТИС). Приближение ИС в виде светящейся точки для вычисления сил света при заданном отражателе отмечено ранними работами советских светотехников, хотя уже , например, в [35] . подчеркивается что, «замена в рефлекторе точечного источника реальной лампой. иногда вносит в фотометрическое тело .существенные деформации». Однако там же отмечается важность аналитических расчетов с принятой гипотезой ТИС при исследовании таких важных в теории расчета зеркальных поверхностей вопросов, как влияние положения ИС, выяснение реально достижимых усилений.

Однако уже в более поздних работах эта несомненно полезная модель остается за рамками расчетных методик и не входит в курс СП [1,2]. В какой-то мере это объясняется тем, что модель ТИС не могла объяснить ход КСС для параболоида с ИС, расположенным в фокусе параболы . Формальное применение формул при площади ИС, равной нулю, дает бесконечности для сил света параболоида по направлениям, близким к оси [36,37].

Ф. Бенфорд [36], применяя последовательно для расчета КСС параболоидных отражателей метод ЭО, предпочитает проводить анализ слабо концентрирующих или рассеивающих СС (например, гиперболоидных отражателей ) в приближении ТИС. Для таких отражателей интенсивность луча в любом сечении почти всецело зависит от малой окрестности точки отражателя, посылающей луч.

При малых размерах ИС и небольших расстояниях РП от отражателя распределение освещенности может быть вполне удовлетворительно описано в пренебрежении размерами ИС. Именно, такое совпадение результатов, получаемое для ТИС и ИС конечных размеров, достигается в области, свободной от краевого эффекта [38].

Концепция ТИС, как удобная и простая модель ИС, занимает большое место в такой настольной книге для светотехников на Западе как книга Elmer [39]. Привлекательность методов ТИС объясняется следующими чертами:

1) небольшое количество основных посылок геометрической оптики, таких как вариационный принцип Ферма и теорема Малюса

2) наглядность и простота анализа различных СС, явный вид получаемых решений

3) возможность предсказания точек «сгущения», или каустических точек

4) объемные поверхностные и линейные ИС всегда можно рассматривать как совокупность ТИС, а световое поле этих ИС - как композицию световых полей этих источников [40].

Задача определения интенсивности отраженной волны при любой форме волны, упавшей на поверхность рассеивателя, решалась В.А. Фоком [41]. Подобные уравнения для расчета облученности от зеркальных СС приведены в [42].

Расчеты с ТИС широко используются для расчета интенсивности в различных областях техники. Например, в [43] представлена математическая модель для расчета теплового потока в установках имитации солнечного света для КА . Подробно рассматриваются концентрирующие свойства отражателей в форме конических сечений (эллипс, гипербола, парабола) с ТИС. В программе расчета учитывается поляризация излучения отражателем (формулы Френеля)

Полученные в [43] результаты, разумеется, плохо описывают распределение облученности вблизи точек фокусировки.

Обратная задача и ее решение.

Точечный ИС

Количество работ по прямым методам расчета СС СП довольно велико, в то время как число работ по решению обратной задачи - сравнительно невелико. Это объясняется, как отмечалось, трудностью их решения. Кроме того, решение обратной задачи требует, как известно, решения вопросов существования, однозначности и устойчивости решения. Существенную роль для определения единственности и устойчивости решения может сыграть здесь априорная информация о характере решения обратной задачи, например, профиль отражателя не должен быть чрезмерно гнутым или глубоким и т.д.

Определение формы отражателя по заданной КСС или КО представляет корректно заданную задачу только в случае, если можно принять гипотезу ТИС.

Решение задачи расчета формы зеркального отражателя по заданному све-тораспределению для ТИС впервые в общем виде было сформулировано в 30-х г.г. Н. .Г. Болдыревым и В. Д. Комиссаровым как решение уравнения эллиптического типа Монжа -Ампера [44,45],(см. также более поздние работы БсИшЬеп [46,47]).

Для симметричных СС определение формы отражателя с желаемыми свойствами- существенно проще и может быть получено как решение системы дифференциальных уравнений 1-го порядка с начальными условиями ( задача Копш)[18].

Решение этой системы можно найти с помощью известных численных методов, например, методов Рунге- Кутты.

Однако почти всегда задача не формулируется в общем виде, и ее решение для дальней зоны представляется в виде функции хода осевых лучей, или трассировочной функции (ТФ) отражателя , полученной из уравнения баланса потоков [48-52].

Именно, если известна ТФ а = Дф ),то профильная кривая отражателя опф ределяется выражением 1п(г/г0) = ]^((ф - ос) / 2)скр.

Фо

В работе [37] приведена методика расчета профиля отражателя ИСИ по равномерной эпюре освещенности в РП Дифференциальное уравнение, определяющее искомый профиль решается методом последовательных приближений, причем для вычисления очередной точки принимается, что ТФ заданном интервале имеет линейный вид: а= к (ф - ф0).

Протяженный ИС. Уже в [9] показана некорректность решения задачи воспроизведения заданной КСС при ИС конечных размеров и предложено отыскивать параметрически заданную профильную кривую из условия минимума некоторого функционала (см. также [53]).

Ввиду сложности решения обратной задачи для такой СС ее часто сводят к решению ряда прямых задач, где в полной мере могут быть учтены размеры, форма и яркость ИС [22].

Построение профиля или решение обратной задачи по В. В. Трембачу -"сводится к отысканию функции необходимого хода лучей "[51].

Как было показано В. Д. Комиссаровым [54], система осевых лучей теряет свою роль при переходе к построению профиля отражателя с источником конечных размеров.

Главную роль играет система лучей одного направления (;изогональных лучей), которым соответствует полное изображение протяженного ИС. В общем случае эти лучи пересекаются по некоторой кривой, называемой каустикой. В этом смысле можно говорить о взаимно-однозначном соответствии между профильной кривой и каустикой. В частном случае каустика вырождается в точку, и получается набор профильной кривой из внеосевых парабол . Однако В. Д. Комиссаров не определил явно условия перехода от построенной нулевой зоны к последующим зонам, добирающим дефицит значений сил света по заданным направлениям. Эта задача была решена в [55] и затем в [56].

В [55] на примере расчета профиля отражателя ТС было показано, что обратную задачу можно свести к задаче с начальными условиям. Альтернатива -дифференциальное уравнение или вариационный принцип- часто возникает в математической физике и технике. Уо§1 и другие [57] поставили задачу проектирования СП как задачу оптимизации. Поверхность отражателя разбивается на элементы, каждому из которых ставят в соответствие диафрагму. Распределение освещенности на РП вычисляется как результат прохождения потока через диафрагму.

Процесс оптимизации заключается в том чтобы с помощью перемещения световых пятен добиться их перекрытия так, чтобы получить требуемое распределение. Величина и направление смещения каждого светового пятна определяют наклон соответствующего элемента.

Это -так называемое решение проблемы «в лоб»: если решение не устраивает нас, то мы не знаем: По какой причине? и : Можно ли получить лучшее решение ?.

Суммируя сказанное , отметим следующие недостатки существующих распространенных методов теории расчетов СП:

1) нет четкого и ясного разделения задач расчета СС СП по признаку : «прямая задача- обратная задача»;

2) нет единых методов решения задачи «оптического расчета» ;

3) не найдено простой, наглядной формы теории лучевых методов, основанных на понятии ТИС, применительно к расчету СС СП,;

4) не рассматривается взаимосвязь теории расчета СС СП -с ТИС- с одной стороны и протяженным ИС- с другой, что поможет определить области применимости теории ТИС, более простой и удобной для анализа;

4) отсутствует общая математическая постановка обратной задачи для ТИС как задачи с начальными или краевыми условиями;

5) отсутствует аналитическая форма метода обратного луча или описание уравнений изображения ИС в СС ;

6) отсутствует общая математическая формулировка уравнений, описывающих синтез формы зеркального отражателя с протяженными ИС и неравномерным распределением яркости;

7) не получили должного места в общей методологии расчетов СС СП упрощенные алгоритмы предварительного анализа СП, основанные на ламбертовой модели протяженного ИС [58] ;

8) отсутствует постановка задачи по использованию методов восстановления локальных характеристик излучения ИС по их интегральным характеристикам.

Резюмируя изложенное, можно сделать вывод: имеющиеся работы решают лишь отдельные задачи компьютерного проектирования СС СП - отсутствует полный набор решений прямой и обратной задач, который есть основа системы автоматизированного проектирования СС СП или системы CAD, позволяющей осуществлять проектирование на новом, более высоком уровне. Требования, которые предъявляются к разрабатываемым современным CAD-системам - это так называемое . проектирование end-to-end, т. е. осуществление всех расчетных операций на экране дисплея. Эти требования связаны прежде всего с тем, что 1 час работы инженера, проектирующего прибор, стоит дорого.

Можно привести для иллюстрации ряд пакетов, которые решают отдельные задачи компьютерного проектирования, например, пакет ELPASO [59], в котором решается прямая задача- расчет трассировочной функции рефлектора и расчет КСС. Форма рефлектора предполагается как имеющая вид конического сечения. Оптимизация заключается в вариациях заданной формы и получении требуемой КСС.

Примерно такого же уровня программа, названная CADJLITE, описана в

60]. Она предназначена для анализа систем рефлекторов и рефракторов с выводом на экран компьютера трассировочных функций названных систем (ray tracing) и графики соответствующих КСС. Протяженность ИС и -не говоря об учете сложной функции яркости современных МГЛ - как в пакете ELPASO, так и в CADLITE игнорируется.

Очевидно, учет характера яркости современных ламп предъявляет большие требования к измерительной технике. Одной из первых известных работ, в которой были опубликованы тщательно измеренные индикатрисы яркости поверхности ламп ДРЛ, используемые при расчете СП- работа В. Д. Комиссарова

61]

Ряд пакетов использует яркостные измерения новых МГЛ , это прежде всего японские работы, среди которых есть пакеты полного моделирования СС [30,62].

В этих условиях при очевидной сложности измерения локальных характеристик представляет интерес восстановление их с помощью надежно и просто измеряемых интегральных характеристиках ИС, таких как КСС . Задача восстановления локальных (например, яркости) характеристик ИС по его интегральной характеристике, например, КСС, принадлежит к задачам обратного типа [63].

Цель, которая ставится в работе

Реализация системы автоматизированного проектирования предполагает наличие законченной системы моделей анализа и синтеза проектируемой СС СП и разработки соответствующего интерфейса для обмена информацией между отдельными программами и взаимодействия с пользователем .

Цель настоящей работы-разработка совокупности методов решения прямой и обратной задачи СС СП как основы автоматизированного проектирования СП.

Проблемы, решаемые в данной работе:

1) эффективные алгоритмы решения задачи «оптического расчета»;

2) методы и алгоритмы решения прямой задачи, использующие понятие ТИС;

3) формулирование обратной задачи для СС с ТИС и методы ее решения;

4) аналитическая форма метода обратного луча и вывод уравнений изображения , создаваемого СС с протяженным ИС;

5) выявление связи теории изображений протяженного ИС и теории расчета систем с ТИС

6) уравнения синтеза формы зеркальной поверхности для СС с протяженными ИС на основе анализа геометрии изображений с учетом распределения яркости ИС;

7) интегрированная концепция решения прямой и обратной задачи на компьютерах.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Метод обратного луча - один из наиболее простых в программировании, высокоточных и быстродействующих методов решения прямой задачи расчета СС с протяженными ИС, где учитываются в полном объеме яркостные свойства современных ИС, их размеры и форма.

2. Обратная задача для отражателя с протяженным ИС есть задача с начальными или краевыми условиями системы 2-х дифференциальных уравнений 1-го порядка.

3. Система уравнений для обратной задачи с протяженным ИС содержит функцию трансформации изображения (ФТИ), которая дает возможность получения множества решений.

4. Обратная задача для отражателя с точечным ИС есть задача с начальными или краевыми условиями (задача Коши) системы 2-х дифференциальных уравнений 1-го порядка, решение которой может быть найдено обычными численными методами.

5. Для любой усложненной системы с ТИС - отражательной или преломля-тельной -характеристики ее светораспределения находятся путем вычисления коэффициентов усиления отдельных элементов системы и их последующего перемножения. При этом коэффициенты усиления зеркала определяются заданием трассировочной функции зеркала (ТФ) и ее 1-й производной (ПТФ)

6. Единый подход к решению прямой и обратной задач оптического расчета -формулировка этих задач как решение системы 2-х нелинейных уравнений с заданной областью определения переменных (параметров зеркала).

7. Система пакетов прикладных программ - SIMULAR, SHAPE, ROTREF, CILREF, CONCENTR - основа системы автоматизированного проектирования СС с зеркальной оптикой, включающая взаимный контроль вычислений и взаимный обмен файлов в пределах пакета.

Научная новизна

Ее определяют представленные в работе следующие положения: 1. Предложенный математический аппарат решения прямой задачи расчета СС с протяженными ИС на основе метода обратного луча и уравнений изображения , позволяющий учитывать свойства ИС- размеры, форму и распределение яркости светящих тел , а также свойства оптической поверхности СП (функцию рассеяния, аберрационную кривую).

2 . Впервые полученная (совместно с A.A. Коробко) система дифференциальных уравнений, описывающая при заданных начальных условиях профильную кривую для отражателей с протяженными ИС и с произвольным распределением яркости по светящему телу ИС.

3. Выяснение геометрического смысла коэффициентов усиления зеркальных отражателей как коэффициентов растяжения изображения ИС в 2-х главных плоскостях.

4. Предложенный метод расчета характеристики светораспределения - силы света или освещенности - для любого числа отражателей или преломлятелей с точечным ИС по их трассировочным функциям (ТФ) и их 1-м производным (ПТФ).

5. Формулировка обратной задачи для симметричных отражателей с точечным ИС как задачи с начальными или краевыми условиями и разработка программы ее решения по заданному светораспределению с учетом собственной КСС.

6. Возможность прогнозировать характеристику светораспределения в дальней зоне (КСС) на основе измерений тела яркости в ближней зоне СС по схеме "Прибор + Компьютер". ИС.

7. Расчетные уравнения для определения КПД и коэффициента использования потока ИС в СП при допущении модели ламбертовского равнояркого ИС (эллипсоид, диск, нить).

8. Постановка обратной задачи моделирования ИС: отыскание "точечной" характеристики светящегося тела ИС (индикатрисы силы света или яркости) по его интегральной характеристике (КСС) ; расчетные формулы и программы.

Практическая значимость работы и реализация результатов работы

С помощью программ, разработанных автором, спроектирован ряд СП, в том числе:

1) для освещения промышленных помещений с ЛН и МГЛ;

2) имитации солнечного излучения в термовакуумных камерах;

3) для космического освещения стыковочных узлов ( приборы СМИ-3 и СМИ

4);

4) как вводное устройство для щелевых световодов;

5) облучения и освещения растительного ценоза (установки ФОТОС); 4) для установок лучевого нагрева и сварки с ксеноновыми лампами Кроме того

• на основе полученных уравнений симметризации светового пучка, создаваемого зеркальной поверхностью с протяженным ИС, и получено свидетельство (совместно с рядом авторов) на изобретение N 1227908 на изобретение облу-чательной установки повышения концентрации лучистой энергии

• выпущены (в соаторстве с Ю.Б. Айзенбергом и с Н .Н. Софроновым) руководящие технические материалы(РТМ) РД 16.113-84: «Отражатели круглосимметричные для светильников» , где приведены координаты профилей отражателей, КСС которых отвечает российскому стандарту

• на основе теоретических расчетов световых трубок поля облученности газоразрядной зеркальной лампы выявлены зоны концентрации потока этих ламп подана заявка и получено (совместно с Н .Н. Софроновым) свидетельство N 1069032 на изобретение зеркальной лампы с дополнительным элементом

• книги автора используются в качестве учебного пособия в курсе«Световые приборы» в МЭИ.

В Приложении 5 приведены акты о внедрении результатов диссертационной работы в разработки СП различного назначения.

Методы и программы, разработанные автором (совместно с Д.Ю. Чепелев-ским), прошли также многолетнюю и всестороннюю проверку на фирмах Австрии и Германии. По отзывам Технического университета (Ильменау, Германия),фирм Bartenbach Light Labor(№íc6pyK, Австрия) и LID (Виллинген-Швеннинген, Германия), приложенных к диссертации, разработанные программы SIMULAR, SHAPE,CILREF,ROTREF,LUMELL с успехом используются для разработки

• светильников с отражающей оптикой

• специальных прожекторов

• световодов с JIJI

• сложных светооптических систем со многими ИС и отражателями

• вторичных отражателей, когда КСС светильника есть новый ИС

• как составная часть С АО-систем для быстрого получения КСС светильников и для программ визуализации.

Достоверность результатов работы Она подтверждается

• эффективностью СП, созданных на основе теоретических разработок

• сравнением с результатами лабораторных экспериментов

• сравнением результатов машинных расчетов с теоретическими светораспре-делениями известных СС

• «внутренней непротиворечивостью» разработанных программ -сходством результатов, полученных с помощью аналитического метода точечного ИС и результатов, полученных с помощью методов с протяженным ИС .

Апробация работы и публикации Результаты работы докладывались 1) на 7-9 Всесоюзных научно-технических конференциях по осветительным приборам (Тернополь ,ок. 1979, Саранск, окт. 1981, Кирова-кан,окт. 1988,Тернополь, сент. 1991);

2) на международных семинарах -по обратным задачам радиационного теплообмена ( Суздаль,сент.1985) - по светотехнике- (МЭИ СВЕТОТЕХНИКА, янв.1992,С.-Петербург,нояб.1993, Суздаль, май 1993, Нью-Дели, нояб. 1995, Ильменау, сент. 1997), по программному обеспечению светотехнических задач (Вена 1992).

По материалам диссертации опубликовано 9 статей, а также 2 книги:

1) Оптический расчет световых и облучательных приборов на ЭВМ (1991)

2) Computer - Aided Optical Design of Illuminating and Irradiating Devices Оптический компьютерный расчет световых и облучательных приборов) (1993)(англ.)

Последняя книга представляет в значительной степени расширенное издание русскоязычной книги по оптическому расчету СП. Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, 6 глав, выводов , списка литературы (97 наименований), иллюстраций(51 наим.) и приложения (всего 242 е.).

Заключение диссертации по теме «Светотехника», Кущ, Олег Константинович

Основные результаты и выводы

1. Направление компьютеризации расчета СС световых приборов, начатое автором в 60-х г.г., поставлено на прочную теоретическую основу методов решения прямой и обратной задачи расчета СС СП и реализовано в виде пакета прикладных программ, позволяющих осуществлять автоматизированное проектирование СП .

2. Теоретические результаты, полученные автором и лежащие в основе методов

1) исследована и описана геометрическая оптика изображений, определяющих характеристики светораспределения отражающих или преломляющих поверхностей как в ближней, так и дальней зоне

3) найдены дифференциальные уравнения, описывающие построение отражателя с протяженным неравноярким ИС по заданной КСС или по заданной эпюре освещенности.

4) введено понятия функции трансформации изображения (ФТИ), позволяющей сжимать изображение для фиксированных углов наблюдения и получать множество решений.

5) множество решений относится к классу профильных кривых, имеющих при выбранных начальных условиях единственную сопряженную ей фокальную линию на источнике. Фокальная линия источника является обобщением понятия фокуса параболы.

5) показано что, характеристики светораспределения для многоэлементных СС с ТИС вычисляются через произведение коэффициентов усиления отдельных элементов.

6) решение обратной задачи с точечным ИС для всех случаев симметричных СС - решение задачи с начальными или краевыми условиями системы 2-х дифференциальных уравнений.

7) задача восстановления локальных характеристик ИС, необходимых для точного расчета СС по его интегральной характеристике ( КСС ) сводится к решению уравнения Абеля.

3. Разработанные программы обеспечивают:

1) расчет светораспределения - КСС или кривой освещенности СП с отражательной оптикой для всех практически существующих форм светящих тел современных ИС (ГЛН,ЛН, МГЛ,ДКсТ )

2) расчет геометрии оптической системы с осевой симметрией по любому заданному светораспределению;

3) моделирование СП с отражательной оптикой с учетом характеристик аберраций и рассеяния;

4) расчет сложных систем, состоящих из нескольких ИС и нескольких отражателей.

4. Точность и достоверность методов и программ обеспечивается

1) сочетанием аналитики и численных методов;

2) возможностью обращения уравнений прямого расчета;

220

3) наличием в пакете программ прямого и обратного расчета точечного ИС;

4) тестированием программ и согласием результатов с известными аналитиче скими решениями, полученными для простых случаев.

5) согласием с экспериментальными результатами и созданием эффективных СП с помощью разработанного пакета программ.

Список литературы диссертационного исследования доктор технических наук Кущ, Олег Константинович, 1999 год

1.Карякин H. А. Световые приборы прожекторного и проекторного типов (теория и расчет). М.: Высшая школа, 1966. - 408 с.

2. Трембач В.В. Световые приборы. М. : Высшая школа, 1990.

3. JI. А. Апресян, Ю. А. Кравцов. Теория переноса излучения .:Наука,1983.

4. Г.В. Розенберг. Луч света // УФН.т.121,вып.1,1977,с.97-138.

5. Н.Г. Болдырев Об оформлении светового пучка параболического прожектора при источнике света сферической формы // Светотехника,-1936.-N5.-с.69-70.

6. Трембач В.В., Кущ О. К. Численные методы автоматического заполнения заданной КСС при расчете зеркальных светильников на ЭВМ. // Светотехника.-1963.-N12.-c.8-13.

7. Кущ О. К. Уравнение фигур светлых точек и изображение источника света // Светотехника.-1966.-N3 .-с.24-26.

8. Кущ О. К. Аналитические методы расчета коэффициента заполнения // Светотехника. -1967.-N 12.-е. 10-13.

9. Кущ О. К. Аналитические методы зеркальных симметричных светильников. Автореф.дис.канд. техн. наук. М., 1969 -17 с.

10. В. Weis. Berechnung von Spiegelreflektoren // Optik 50 (1978) No.5, 371-390.

11. К Petry, B. Weis, A. Willing. Beleuchtungsstarkeberechnung fur ausgedehnte Lichtquellen und ideale Spiegelreflektoren. // Licht-Forschung 3 No. 2, 1981, 89-95.

12. Волосов Д.С., Цивкин M.B. Теория и расчет светотехнических систем. М:Искусство,1960.

13. Медведев В. Е., Парицкая Г. Г. Расчет освещенности в изображении //Оптика и спектроскопия .1966, t.XXI, Вып.5, с.638-642 ;1967 т.ХХП, с.819-823.

14. Кущ O.K., Митин А.И. Расчет светораспределения зеркальных симметричных поверхностей с протяженными источниками света на ЭВМ // Светотехника.-1976.-N 3.-С.5-8.

15. Гавриленков В. А., Смолянский М. Ф., Трембач В. В. Расчет на ЭВМ кривых силы света параболоидного отражателя с цилиндрическим светящим телом . // Светотехника.- 1982.-N 3.-с. 15-16.

16. Mazur J., Zagan W. Oblicanie odblisnikow zwierciadlany samochodnowych proektorow oswietleniowych metoda odbie elementarnych // Arch.Elektrotechniki, 1983, Vol. XXXII, p. 684-696.

17. Кущ О. К., Рохлина H.B. Аналитический расчет зеркальных симметричных светильников методом обратного луча. // Светотехника.-1984.-N 3.-С.7-10.

18. P.Muigg. Computeruht^rstuetze Reflektorberechnung // Licht. N 7,1985.s. 475478 .

19. Фам Тхи Кам Бинь. Разработка методик светотехнического расчета световых приборов с унифицированными зеркальными отражателями//Автореф. дис. канд. техн. наук. М.,1992.

20. Софронов H.H. О яркости горелок металлогалогенных ламп// Светотехника. 1988. №12. С. 4-7.

21. Jw. Mazur, RRosk. Automotiveheadlamps: Calculation of light distribution.,Light.Res.Technol.,27(2),65-69 (1995).

22. E .Ф. Ищенко, H.B. Жиленкова, A.B. Буров. Автоматизированное проектирование светооптических систем

23. Светотехника.-1992.-N 7-8.-c.5-8.

24. М. Yonenaga and К. Sato. Innovative Design of Reflector Considering Luminance Distribution of Lamp // J. of the Ilium. Eng. Soc., Vol.22, N1, W.1993.

25. Смолянский M Ф Построение следов элементарных отображений с помощью ЭВМ// Светотехника.-1983.-N 11.-С.5-6.

26. Фолч Дж,А. ван Дэм Основы интерактивной машинной графики. М.,Мир,1985.

27. Т. Whitted. An Improved Illumination Model for Shaded Display. Commun. of the ACM, J.1980,Vol.23, N6.

28. Коробко А.А., Кущ O.K. Расчет фотометрических характеристик щелевого световода методом Монте -Карло на ЭВМ //Светотехника.- 1979.-N 3.-С.9-11.

29. КоробкоА.А.Пути повышения эффективности светотехнических расчетов, выполняемых методом Монте-Карло//Светотехника. 1993 .-N9-c. 1 -7.

30. Барцев А.А. Разработка методов математического моделирования оптических систем как элемента автоматизации проектирования световых приборов. Автореф.дис.канд. техн. наук. М. 1994, -20с.

31. Kinameri К. The Monte Carlo method in the predetermination of a luminous intensity distribution // J. Light Visual Environ.(1986).10.-N2.-pp.25-34.

32. Tregenza P. R. The Monte Carlo method in lighting calculations. Ltg. Res. & Tech., N15 (1983) p.p. 163- 170.

33. Ананьев Ю. А. О применении методов Монте-Карло в расчетах осветительных устройств.//Оптика и спектроскопия. Т.58, вып. 1. 1985, с.188-189.

34. Смолянский М Ф. Моделирование яркостных характеристик тел накала в оптических системах с направленно- рассеянным отражением и пропусканием.// Светотехника.-199l.-N 5.-С.8-10.

35. Метод Монте Карло в атмосферной оптике, под ред.Марчука, Наука, Новосибирск, 1976.

36. Н.Н. Ермолинский и В.Д .Комиссаров . Расчет зеркальных светильников. // Бюллетень ВЭИ, 1934, N 22-26.

37. Ф. Бенфорд. Теория прожектора. ОНТИ.- М.-Л.Д935.

38. Карякин Н.А. Прожекторы(теория и расчет).-ГЭИ, М.: ,1944.

39. Рымов А.И., Скоблова В.И. Методика расчета профиля отражателя для имитаторов солнечного излучения неосевого типа.

40. Светотехника.-1978.- N 3.-c.3-5.

41. W.B. Elmer. The Optical Design of Reflectors. Wiley, N.Y., 1980

42. H. Г. Болдырев Теоретическая фотометрия. ЛИОТ.- JI., 1938.

43. Фок В.А. Обобщение отражательных формул на случай отраженияпроизвольной волны от поверхности произвольной формы //ЖЭТФ.-1 950,t.20.-N1 1 -с.961.

44. А.В. Арендарчук. Распределение лучистого потока отраженного от зеркальной поверхности произвольной формы. //Сб.научн.тр. МЭИ, М., 1986,стр. 142- 149.

45. Р. Пфаль. Передача тепла излучением В кн.Теплообмен и тепловой режим космических аппаратов,под ред. Дж. Лукаса. М:. Мир, 1974.

46. Болдырев Н.Г. О расчете несимметричных зеркальных арматур (кососветов)//Светотехника.-1932.-N 7.-С.7-8.

47. В.Д. Комиссаров. Основы расчета зеркальных и призматических арматур Тр. ВЭИ, вып. 43. ГЭИД941.

48. Schruben J.S. Formulation f Reflector Design Problem for a Lighting Fixture // J. Opt. Soc. Am. 1972,Vol.62, N12, p. 1498-1501.

49. Schruben J.S. Analysis of Rotationally Symmetric Reflectors for Illuminating Systems. // J. Opt. Soc. Am. 1974,Vol.64, N1, p. 55-58.

50. Keller J.B. The Inverse Scattering Problem in Geometrical Optics and the Design of Reflectors.- IRE Transactions on Antennas and Propagation. Ap. 1959,N2 p.p. 146-149.

51. Б.Е. Кинбер. Решение обратной задачи геометрической акустики.//Акустический журнал,т. 1.-1955,вып. 3- с. 221-225.

52. Wolber. Berechnung von Reflectoren fuer beliebige Lichtverteilung.//Lichttechnik, 22.- 1970.-N 12.- s.597-598.

53. B.B. Трембач. Физическое и математическое моделирование световых приборов. Энергия,М., 1975.

54. Л.Д. Бахрах, Г.К. Галимов. Зеркальные сканирующие антенны. М.:Наука,1981.

55. Анисимов И.Н. Решение обратной задачи при проектировании отражателей//Светотехника. 1991. N4.-c. 4-6.

56. В.Д. Комиссаров.К расчету цилиндрических зеркальных отражателей для ламп с накаливания с йодно-вольфрамовым циклом //Материалы 4-й научно-техн.конфер.по осветит.приборам, г.Тернополь, 1969.

57. Коробко A.A., Кущ O.K. Принципы расчета профиля зеркального цилиндрического отражателя по заданной кривой силы света//Светотехника. 1997. №4. С. 23-29.

58. Зайцев И. А., Мельников Г.А., Савенков В. И. Новый метод расчета светового прибора на заданное светораспределение// Тр. Моск. Энерг. ин-та. 1983.12.-С.75-80.

59. Vogl Т., Lintner L. С., Pegis R.,J., et al. Semiautomatic Design of Illuminating Systems//Applied Optics, 1972, Vol. 11,N5,p. 1007- 1009.

60. Уткин B.H. Расчет облученности отражателя от равнояркой эллипсоидной поверхности // Светотехника.-1989.-N8.-С.12-13.

61. К. Hoppe. Reflectorentwicklung am Bildschirm.// Licht, N 3-4, 1990, s. 302304.

62. Lewin. Integrating new Technologies into the Lighting Industry.// Lichting in Australia, April 1990, p.p. 62-68.61 . Комиссаров В.Д. К расчету зеркальных светильников с лампами ДРЛ. // Светотехника.-1966.-N5.-с. 11-17.

63. Myodo О, Karino М. A new method for computer aided design of luminaire reflectors. J. IES (Jpn. 1982), 98-105.

64. И.Ф. Подливаев, O.M. Шумакова. Аппроксимация излучения спирали накала излучением с цилиндрической поверхности.//ОМП. 1986.N З.с.7-10.

65. М. Борн, Э. Вольф. Основы оптики,"Наука",М.,1970.

66. Кравцов. Ю., Орлов Ю. Геометрическая оптика нелинейных сред. М.,Наука,1981.

67. С. А. Родионов. Автоматизация проектирования оптических систем.- Л Машиностроение, 1982,-269 с.

68. Kusch О. Computer-aided optical design of illuminating and irradiating devices, "ASLAN", Moscow, 1993.

69. Дж. Форсайт, M. Малькольм, К. Моулер. Машинные методы математических вычислений " Мир ",М.,1980.

70. Дешамп. Г. Лучевые методы в теории электромагнетизма. ТИИЭР.-1972,т.60, N9.-c.5-20.

71. А.А. Амосов, Ю.А. Дубинский, Н.В. Копченова. Вычислительные методы для инженеров.- М.: Высшая школа, 1994.

72. Д. Химмельблау. Прикладное нелинейное программирование. М.: Мир, 1975, 534 с.

73. Б Банди. Методы оптимизации. М., Радио и связь, 1988, 125 с.

74. Кущ O.K., Чепелевский Д.Ю. Интегрированная концепция расчета и проектирования зеркальных отражателей на ЭВМ //Светотехника.-Ыб.-1995 .-с.25-28.

75. Г.Г. Слюсарев. Расчет оптических систем; Л.,Машиностроение,1975

76. С. Корнблит. СВЧ оптика. Оптические принципы в приложении к конструированию СВЧ антенн.М.: Связь, 1989.

77. А.А. Гершун. Избранные труды по фотометрии и светотехнике, ГИФМЛ. ,М.: 195 8.

78. Н.А. Карякин. Световые приборы.- М.,Высшая школа, 1975.-409 с.

79. А. В. Гитин. Методы радиометрических расчетов основаннные на принципах теории оптических приборов/ Автореф.дис.канд. техн. наук. Л., 1991 -15 с.

80. Л. В. Козлов. Моделирование солнечного излучения. -В сб.: Проблемы механики и теплообмена в космической технике,М.,1982, М, Машиностроение,с.219-264.

81. А .Е. Мудров. Численные методы для ПЭВМ на языках БЕЙСИК, ФОРТРАН и ПАСКАЛЬ. Томск, МП «РАСКО» : 1991. -270 с.

82. Кущ O.K. Оптический расчет световых и облучательных приборов на ЭВМ. М., Энергоатомиздат, 1991.

83. А. Исимару. Распространение и рассеяние волн в случайно-неоднородных средах. М.: Мир, 1981.

84. И. Фишбах, Р. Пошманн, М. Риман, Ф. Шмидт. Определение формы фотометрических тел светильников на приборе с зарядовой связью //Светотехника.-1995.-N3 .-с.2-7.

85. Н.Г. Болдырев. Расчет симметричных осветительных арматур.//Светотехника.-1932.-N3 .-с.8-13.

86. Болдырев Н.Г. О расчете несимметричных зеркальных колпаков.-JI.: ЛИОТ, 193 5 .-с. 179-186.

87. Р.П. Федоренко. Приближенное решение задач оптимального управления. М.: Наука, 1978.

88. Гуревич М.М. Введение в фотометрию.,Л.: Энергия,1968.

89. P. Moon, D.E. Spencer. Theory of the Photic Field. Jour.Franklin Inst.,Vol.255,p.33,1953.

90. П.И. Исаев. Эффективность осветительных систем для проекции М,Искусство:. 1988,-203 с.

91. В.Н. Уткин. Исследование и разработка математической модели теплового режима светильников с высокотемпературными источниками свта.//Автореф.дис.канд.техн. наук.М.: 1995 -26 с.

92. Hermann R.A. A Treatise on Geometrical Optics. Cambridge, 1900.

93. Фок B.A. Освещенность от поверхностей произвольной формы.//Тр.ГОИ, 1924,8.230

94. Справочник по специальным функциям (под ред М.Абрамовича и И. Стиган). М.,Наука, 1979.

95. Янке Е., Эмде Ф., .Леш Ф. Специальные функции.М.,Наука,1968.

96. Краснов М.Л. Интегральные уравнения., М.: Наука, 1975- 304 с.

97. А. Ф. Верлань, В. С. Сизиков. Интегральные уравнения. Методы, алгоритмы, программы. Киев, Наукова Думка: 1986. -542 с.

98. А.Н. Тихонов, В.Я. Арсенин. Методы решения некорректных задач М.,Наука,1979.