Пространственно-временной хаос в распределенных динамических системах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Дернов, Александр Владимирович

• Дернов, Александр Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Дернов, Александр Владимирович

Введение

1 Бифуркации в распределенных динамических системах

1.1 Некоторые общие сведения из теории бифуркаций.

1.2 Бифуркации положения равновесия конечной размерности в модели брюсселятора

1.3 Бесконечномерно-вырожденные бифуркации положения равновесия в экономической модели Магницкого.

1.4 Бифуркации рождения пространственно - неоднородных циклов

1.5 Бифуркации рождения торов.

1.6 Выводы.

2 Хаотическая динамика в распределенных системах

2.1 Методы диагностики пространственно - временного хаоса

2.2 Переход к хаосу в модели брюсселятора.

2.3 Переход к хаосу в уравнении Курамото-Цузуки

2.4 Переход к хаосу в распределенной экономическойстеме недиагональной матрицей диффузии.

2.5 Выводы.

3 Распределенная модель рыночной экономики Магницкого

3.1 Общее описание задачи.

3.2 Распределенная модель рыночной экономики.

3.3 Пространственно-однородные циклы и недиффузионный хаос

3.4 Волновые эффекты в распределенной системе.

3.5 Некоторые аспекты практического применения модели.

3.6 Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Пространственно-временной хаос в распределенных динамических системах»

Пространственно - временной хаос - явление, чрезвычайно распространенное в природе. Наиболее очевидными примерами являются непредсказуемо изменяющиеся водовороты в реках, дым от костра, погода. Хаос также присутствует в химических реакциях, динамике популяций, социально-экономических процессах. Если математическая модель природного процесса представляет собой нелинейную динамическую систему, то явлению хаоса может отвечать сложное пространственно-временное поведение решений, чувствительное к малым изменениям параметров и начальных условий. Накопленный к настоящему моменту опыт численного моделирования показал, что многие нелинейные системы дифференциальных уравнений имеют хаотическое поведение, причем оно не связано с ошибками вычислений. Таким образом, проблему пространственно - временного хаоса в природе представляется возможным свести к проблеме динамического хаоса в нелинейных системах уравнений в частных производных.

Динамический хаос, возникающий в распределенных нелинейных системах, уже ни один десяток лет вызывает все более нарастающий интерес. Однако, пока не существует какой-либо единой и последовательной теории его возникновения. Сейчас можно говорить лишь об отдельных подходах и результатах, полученных для распределенных динамических систем, возникающих в моделях химической кинетики, морфогенеза, экологии, социологии, экономики. С другой стороны, в связи с постоянным увеличением мощности компьютеров и быстрым развитием вычислительных методов появляются новые возможности, дающие предпосылки для возникновения теории. Поэтому наиболее важной задачей сейчас является определение пути, по которому должно пойти развитие теории пространственно - временного хаоса.

Исторически было несколько попыток дать математическое объяснение возникновения хаоса. В 1944 году Л. Д. Ландау был предложен сценарий, который объяснял механизм возникновения турбулентности в гидродинамических уравнениях, путем последовательного возбуждения все большего числа мод [24],[25]. Фазовым пространством динамической системы в данном случае является пространство скоростей движения вязкой жидкости. Параметром системы является число Рейнольдса отвечающее за интенсивность внешнего воздействия, способствующего движению. Было установлено, что при малых значениях числа R решением системы является устойчивая неподвижная точка в пространстве скоростей, соответствующая стационарному течению. При достижении числом Рейнольдса критического значения R > Rcri, в фазовом пространстве возникает предельный цикл, соответствующий периодически пульсирующему течению. Далее, при достижении следующего критического значения R > Rcr2 цикл становится неустойчивым и в системе возникает дополнительная частота, что приводит к возникновению в окрестности цикла устойчивого "цикла на цикле "или тора. Далее было предположено, что при дальнейшем увеличении R в системе будут возникать все новые и новые частоты. Геометрически это означает потерю устойчивости двумерного тора и возникновению в его окрестности трехмерного тора, затем ему на смену придет четырехмерный тор и т.д., причем интервалы между бифуркационными значениями параметра быстро падают, а появляющиеся движения имеют все меньшие масштабы. Движение, получающееся в пределе, было названо турбулентным. Независимо от Ландау, подобную теорию в 1948 году опубликовал немецкий математик Э. Хопф [61].

Другой подход был предложен в 1971г. французским физиком Д. Рюэлем [50],[41]. Совместно с Ф. Такенсом и С. Ньюхаусом было показано, что на трехмерном торе существует всюду плотное открытое множество систем с подковой Смейла - фрактальным объектом, имеющим дробную размерность. Таким образом, стал возможен еще один сценарий возникновения турбулентности. После образования трехмерного тора совсем не обязателен дальнейший каскад Ландау-Хопфа. В результате малых флукту-аций система сваливается во множество систем с подковой Смейла и таким образом в ней возникает хаотическая динамика.

Несколько позже физики и математики уделили внимание работе американского метеоролога Э. Лоренца, численно обнаружившего в 1963 году апериодические решения в нелинейной системе трех обыкновенных дифференциальных уравнений, широко известной сейчас как система Лоренца. С этого момента возникла новая парадигма, получившая имя - хаос. Было найдено множество других динамических систем конечной размерности, обладающих хаотическим поведением. Особо важное открытие в этом направлении было сделано в 1978 году американским физиком М. Фейгенбаумом [56]. В логистическом отображении xn+i = rxn( 1 - хп), х е [0,1], г G [0,4] он обнаружил каскад бифуркаций рождения устойчивых периодических орбит удвоенного по сравнению с предыдущим периода: 2,4,8,., возникающий при увеличении г. Также было обнаружено, что интервалы между бифуркационными значениями г убывали в пределе со скоростью геометрической прогрессии со знаменателем <5 = 4,66920., а в конце каскада образовывался сложный апериодический аттрактор. Замечательным фактом является то, что данный сценарий оказался универсальным для широчайшего класса одномерных отображений. Более того, оказалось, что постоянная 8, получившая название константы Фейгенбаума, не зависит от отображения. Еще ранее, в 1964 г., не менее замечательное открытие было сделано советским математиком А. Н. Шарковским [63], обосновавшим порядок, в котором происходит усложнение одномерных немонотонных отображений, началом которого является каскад Фейгенбаума. Значение этого результата для теории хаоса было осознано лишь в 1975 г. после известной работы Т. Ли и Дж. Йорке, независимо доказавших, что существование цикла периода три в непрерывном отображении отрезка в себя влечет существование циклов любого периода. Позже выяснилось, что данный результат является лишь частным результатом не известной им ранее теоремы Шарковского о сосуществовании циклов периоды которых можно упорядочить следующим образом:

1 .< 2 < 22 < 23 < . О 22 - 7 <.22 • 5 < 22 • 3 < . < 2 • 7 < 2 • 5 < 2 • 3 < . <9<7<5<13, где т <;п означает, что если в отображении существует цикл периода п, то существует цикл периода т.

Оказалось, что сценарий Фейгенбаума - Шарковского играет существенную роль и в теории хаоса для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. А именно, имеют место субгармонические каскады бифуркаций удвоения периода предельных циклов с универсальной постоянной Фейгенбаума и в соответствии спорядком Шарковского. Как было недавно показано Н. А. Магницким [35] , данные каскады определенным образом включаются в общий сценарий Фейгенбаума - Шарковского - Магницкого, имеющий место в огромном классе систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Связующим звеном между одномерными отображениями и дифференциальными уравнениями выступает открытая Магницким особая точка типа ротор двумерной неавтономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений с периодической матрицей главной линейной части.

Пространственно - временной хаос в химических реакциях начал изучаться уже в русле парадигмы динамического хаоса. Экспериментально колебания реакций были обнаружены значительно раньше [48], но хаос тогда воспринимался как неудавшийся эксперимент. В 60-е годы химики начали приходить к мнению, что некоторые химические процессы не объясняются развитой на тот момент теорией линейной неравновесной термодинамики. Ученые брюссельской научной школы под руководством И. При-гожина предложили для их объяснения содержательные нелинейные модели, в которых используются величины, характерные для термодинамики (концентрации, температуры и т.д.) [26]. Данный подход оказался очень плодотворным, с помощью него было объяснено существование устойчивых пространственно-неоднородных структур и периодических химических колебаний. На возможность существования турбулентности в химических реакциях в 1973 году обратил внимание Рюэль [51], после чего началось активное изучение этого феномена. Большой вклад в теорию нелинейных систем реакции диффузии внесли японские физики И. Курамото и Т. Цузуки. В своей работе 1978 года [22] Курамото писал "Важная, не решенная пока проблема, состоит в том, чтобы найти связь диффузионного хаоса с каким-либо известным видом хаоса, возникающего в системах с несколькими степенями свободы". Подобный вопрос ставился и ранее в работах Лоренца [28] и Рюэля - Такенса [50].

На наш взгляд, построение последовательной теории хаоса для распределенных динамических систем возможно. Более того, развитие данной теории может пойти по пути классификации бифуркаций и сценариев перехода к хаосу, только, несомненно, более сложных и разветвленных по сравнению со сценариями в конечномерных системах. Существенно иным должен являться выбор множества объектов исследования. В то время как в конечномерной теории хаоса объектом исследования может являться любая автономная система обыкновенных дифференциальных уравнений с гладкой правой частью, здесь к объектам исследования нужно подходить более избирательно. Очевидной причиной такого подхода является то, что абстрактное нелинейное уравнение в частных производных может не иметь решениий вообще, более того, нет никаких сколь - угодно универсальных теорем существования и/или единственности. На данный момент разумным кажется ограничение выбора объектов исследования прикладными задачами. В данной работе в качестве примеров для исследования хаоса были выбраны три объекта: модель брюсселятора, уравнение Курамото-Цузуки и распределенная модель рыночной экономики Н.А. Магницкого.

Основная цель данной работы - на примере трех качественно отличных друг от друга модельных систем показать, как в распределенных системах происходит переход от простых решений к более сложным, какие неизвестные ранее бифуркации возможны в распределенных системах, какие из них и каким образом приводят к возникновению хаоса. Оказывается, что бифуркации, сценарии перехода к хаосу и сами хаотические аттракторы в трех рассматриваемых системах имеют качественные различия. Тем не менее, прослеживаются и некоторые общие черты, что позволяет сделать вывод о возможности построения последовательной теории пространственно - временного хаоса, но достаточно сложной и разветвленной.

Помимо основной цели, данная работа имеет некоторую прикладную направленность. Поскольку все примеры, рассматриваемые в данной работе, были взяты из прикладных задач-, то, помимо изучения непосредственно явления пространственно - временного хаоса, интерес представляют и другие, нехаотические решения данных систем, такие как стационарные и периодические диссипативные структуры, волны, сложные пространственно -однородные циклы. Особое внимание уделено анализу решений распределенной модели рыночной экономики, представляющей собой систему реакции - диффузии с недиагональной матрицей.

Работа состоит из трех глав. Цель первой главы - показать, каким образом в распределенных системах могут рождаться более сложные решения из более простых. Самым простым устойчивым решением распределенной системы является пространственно - однородное равновесие. Оказывается, что в распределенных системах возможны две качественно различные бифуркационные картины: конечномерная и бесконечномерно - вырожденная. Первый тип может быть описан нормальной формой конечной размерности и порождает изменения фазового портрета на многообразии конечной размерности. Такие бифуркации присущи и системам обыкновенных дифференциальных уравнений, однако, в распределенной системе вследствие существующей симметрии может рождаться континуум диссипативных структур. Данное явление найдено и исследовано для периодической задачи модели брюсселятора. Второй случай - бесконечномерное вырождение, присущ уже только распределенным системам и требует более сложного анализа, не сводящегося к редукции на конечномерное многообразие. В данной главе исследована такая бифуркация, имеющая место в распределенной модели рыночной экономики, причем показано, что данный случай не является экзотическим, а имеет место для целого класса систем данного вида.

Следующим по сложности решением является устойчивый пространственно - однородный цикл, который может родиться в результате бифуркации положения равновесия и претерпевать бифуркацию при дальнейшем изменении праметров. В данной главе был проведен анализ бифуркации пространственно - однородного цикла в распределенной модели рыночной экономики. Показано, что в результате такой бифуркации рождается два симметричных пространственно - неоднородных цикла, вид которых найден асимптотически. Явление, когда из одного симметричного решения рождаются два или континуум, присуще распределенным системам, поскольку они обычно имеют симметрии.

Еще более сложными, но не хаотическими решениями, типичными для распределенных систем, являются двумерные торы, которые могут рождаться как в результате бифуркации устойчивых циклов, так и в результате бифуркации других двумерных торов, имеющих более простую пространственную конфигурацию. Различные ситуации рождения и разрушения торов были исследованы численно в первой главе для модели брюсселятора, уравнения Курамото-Цузуки и распределенной модели рыночной экономики. Во второй главе показывается, что именно бифуркации торов играют решающую роль в образовании хаотических аттракторов в распределенных системах.

Вторая глава посвящена исследованию собственно сценариев перехода к хаосу, то есть путей по которым происходит усложнение решений, приводящее к образованию хаотического аттрактора. Для каждой из трех рассматриваемых в работе систем показано, каким образом описанные в предыдущей главе бифуркации складываются в каскады и из регулярных аттракторов происходит рождение хаоса. Стоит отметить, что современное определение хаоса в распределенных системах пока еще не является полностью удовлетворительным. В современной литературе и статьях пространственно - временным хаосом называют динамику, при которой существует аттрактор, нетривиально зависящий от пространственной переменной, причем он не является предельным циклом или тором. Очевидно, что при таком подходе мы никак не можем качественно сравнить две системы, имеющие хаотическое поведение. Однако, если рассматривать виды хаоса без отрыва от сценария, то уже появляется возможность для их сравнения и классификации. Бифуркационные диаграммы, каждая из которых представляет собой область в пространстве параметров, разделенную на подобласти, соответствующие качественно различным решениям, являются объектами, вполне пригодными для сравнения в определенном смысле. Такие диаграммы построены в данной главе для модели брюсселятора, уравнения Курамото-Цузуки и распределенной модели рыночной экономики. Проведено качественное сравнение сценариев, выделены некоторые общие черты и различия. Отдельно уделено внимание явлению квазихаоса в распределнных системах. Оказалось, что для распределенных систем типичным является существование нескольких аттракторов с близко расположенными областями притяжения, что может вызвать хаотическое поведение вследствие малых случайных внешних возмущений.

Третья глава целиком посвящена анализу решений распределенной модели рыночной экономики Н. А. Магницкого. Помимо бифуркаций и сценария перехода к хаосу, рассмотренных в двух предыдущих главах, данная система обладает множеством других интересных свойств. Во-первых, система уравнений данной модели принципиально отлична от систем реакции - диффузии, моделирующих процессы в естественно - научных областях, а именно, имеет недиагональную матрицу диффузии. Во-вторых, оказалось, что данная система трех уравнений обладает пространственно - однородной хаотической динамикой. Наконец, подобный подход ранее не применялся в экономическом моделировании, поэтому, представляет интерес качественная верификация модели, а именно соответствие предельных циклов реальным циклам деловой активности, хаотизация экономики при уменьшении государственного регулирования и другие свойства. Специально для анализа решений данной модели в настоящей работе был разработан и использован метод стабилизации пространственно - однородных циклов и подход, разделяющий переменные на быстрые и медленные с целью анализа природы волновых эффектов.

Благодарности Автор искренне благодарен своему научному руководителю, доктору физико-математических наук, академику РАЕН Магницкому Николаю Александровичу за постановку задач, полезные замечания и постоянное внимание к работе, а также старшем/у научному сот,руднику ИСА РАН, тндидату технических наук Сидорову Сергею Васильевичу за обсуждения; и полезные советы.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Дернов, Александр Владимирович

3.6 Выводы

В данной главе были изучены некоторые свойства распределенной модели рыночной экономики Н.А. Магницкого, не имеющие аналогов в классических системах реакции - диффузии. Исследованы пространственно - однородные решения, имеющие сложное периодическое и хаотическое поведение во времени.

Специально для данной системы были предложены'некоторые методы анализа. Разработан метод, стабилизации пространственно - однородных циклов данной системы с использованием отображений Пуанкаре. Предложен метод, позволяющий разделить переменные на быстрые и медленные, что позволило аналитически объяснить природу волновых эффектов, найденных ранее в системе при численном эксперименте.

Освещены некоторые аспекты практического применения данной модели. в частности, показано, каким образом данная модель может быть применима для оценки состояния рыночной экономики для конкретных экономических, систем.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Дернов, Александр Владимирович, 2005 год

1. Андронов А.А Собрание трудов. М.: Изд-во АН СССР 1956, 538с.

2. Андронов А.А, Леонтович-Андропова Е.А. Некоторые случаи зависимости периодических движений от параметра. Уч. записки ГГУ 1939

3. Арнольд В. И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений.-Ижевск: Ижевская республиканская типография. 2000, 400 с.

4. Арнольд В.И., Афраймович B.C., Ильяшенко Ю.С., Шильни-ков Л.П. Теория бифуркаций. Итоги науки и техники. Серия Современные проблемы математики -5.М.'ВИНИТИ. 1986, с. 5-218.

5. Ахромевва Т.С., Курдюмов С.П., Малинвцкий Г.Г., Самарский А:А. Нестационарные структуры и диффузионный хаос.-М.:Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1992, 544 с.

6. Демидову,ч Б.П Лекции по математической теории- устойчивости: Учеб. пособие.-2-е изд.-М.: Изд-во Моск. ун-та, 1998,480 с.

7. Дернов А.В. Регулярная динамика и диффузионный хаос в модели Брюсселятор. // Дифф. ур-я, 2002, т. 37. N 11, с. 1554-1556

8. Дернов А.В. Диффузия капитала и спроса в модели саморазвивающейся рыночной экономики, Сб. Нелинейная динамика и управление. Вып. 2: под ред. С.В. Емельянова, С.К. Коровина. М.Физматлит, 2002, с. 233-242

9. Дернов А.В. Стабилизация неустойчивых периодических орбит одномерных хаотических отображений, Сб. Нелинейная динамика и управление. Вып. 1: под ред. С.В. Емельянова, С.К. Коровина. М.Физматлит, 2001, с. 247-252.

10. Дернов А.В. О новых подходах к проблеме управления хаосом. //Сб. статей студентов и аспирантов. Ф-т ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова.Вып. I/ Под ред. проф. С.А. Ложкина. -М.:Изд. отдел ф-та ВМиК МГУ, 2002, с.31-37

11. Дернов А. В., Магницкий Н.А. О переходе к хаосу в одной неклассической системе, уравнений "реакция-диффузия". // Дифф. ур-я, 2005, т. 41, N 12 (в печати).

12. Дернов А.В. Использование принципа подчинения Хакена для анализа волновых процессов в нелинейной системе с диффузией, Сб. Нелинейная динамика и управление. Вып. 5: под ред. С.В. Емельянова. С.К. Коровина. М.Физматлит, 2005 (в печати)

13. Занг В.-Б. Синергетическая экономика. Время и перемены в нелинейной теории: Пер. с англ. М.: Мир, 1999,335 с.

14. Колесов А.Ю. Структура однородного цикла в среде с диффузией // Изв. АН СССР. Сер. матем. -1989. Т. 53, N 2, с. 345-362.

15. Колесов А.Ю., Куликов А.Н. Инвариантные торы нелиней' ных эволюционных уравнений: Учебное пособие /' Яросл. гос.ун-т. Ярославль 2003,108 стр.

16. Куликов А.Н. О бифуркациях рождения инвариантных торов // Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль: ЯрГу, 1983. с.112-117.

17. Kuramoto Y. Chemical oscillations, waves and turbulence. -Berlin: Springer, 1984, 156p.

18. Kuramoto Y. Diffusion induced chaos in reaction systems. Suppl. Progr. Theor. Phys., 1978, 64, 346-367.

19. Kuramoto Y. Тsuzuki Т. Oil the formation of dissipative structures in reaction diffusion systems. Progr. Theor. Phys., 1975, 54, N3, 687-699.

20. Ландау Л. Д. Т. О проблеме турбулентности, Докл. Акад. Наук СССР, 44, N8, 1944, с. 339-342.

21. Li T.Y., Yorke J.F. Period three implies chaos Amer. Math. Mounthly, 1975, v. 82, N 10, p. 982-985.

22. Lorenz E. N. Deterministic Nonperiodic Flow J. Atmos. Sci., 1963, v. 20, p. 130-141

23. Лоскутов А.Ю., Михайлов А. С. Введение в синергетику. -М.:Наука, 1990, 272 с.

24. Магницкий Н.А. Математическая модель саморазвивающейся рыночной экономики // Труды ВНИИСИ.- 1991. с. 16-22

25. Магницкий Н.А., Сидоров С.В'. Распределенная модель саморазвивающейся рыночной экономики, Сб. Нелинейная динамика и управление. Вып. 2: под ред. С.В. Емельянова, С.К. Коровина. М.Физматлит, 2002, с.243-262

26. Магницкий Н. /1., Сидоров С. Б. О переходе к диффузионному хаосу через субгармонический каскад двумерных торов. // Дифф. ур-я, 2005, т. 41, N 11, с. 1550-1558.

27. Магницкий Н.А., Сидоров С. В. Новые методы хаотической динамики. М.: Едиториал УРСС, 2004, 320 с.

28. Магницкий Н.А., Сидоров С. В. О переходе к хаосу в нелинейных динамических системах через субгармонический каскад бифуркаций двумерных торов. // Дифф. ур-я, "2002, т. 38, N 12, с. 1606-1610

29. Магницкий Н.А., Сидоров С.В. Особые точки типа ротор неавтономных систем и.их роль в образовании сингулярных аттракторов нелинейных автономных систем // Дифф. ур-я, 2004, т. 40, N 11, с. 1579-1593

30. Магницкий Н.А., Сидоров С.В. Управление хаосом в нелинейных динамических системах. // Дифф. ур-я, 1998, т. 34, N 11, с. 1501-1509

31. Магницкий Н.А., Сидоров С.В. Новый взгляд на аттрактор Лоренца. // Дифф. ур-я, 2001, т. 37, N 11, с. 1494-1506

32. Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения: Пер. с англ. М.: Мир, 1980, 368 с.

33. Митропольский Ю.А., Самойленко A.M. Некоторые вопросы теории многочастотных колебаний. // Препринт Института математики АН УССР. 77-14. К., 1977. 46 с.

34. Мищенко Е.Ф., Садовничий В.А., Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Автоволновые процессы в нелинейных средах с диффузией. М.: Физматлит, 2005, 432 с.

35. Newhouse S., Ruelle D. Tokens F. Occurence of strange Axiom A attractors near quasi-periodic flows on Tm, m > 3 // Commun. Math. Phys. 64, p. 35-40, 1978

36. Никол,uc Г. Пригож/an И. Самоорганизация в неравновесных системах. М. Мир, 1979, 512 с.

37. Ott Е., Grebogi С., Yorke J.A. Controlling chaos // Phys. Rev. Lett., 1990, v.4, p. 1196-1199.

38. Петере Э. Хаос и порядок на рынках капитала. Новый аналитический взгляд на циклы, цены и изменчивость рынка. -М.: Мир. 2000, 333 с.

39. Poincare Н. Les Methodes Nouvelles de la Mechanique Celeste/ Vol. 1, Paris (1892)

40. Poincare H. Sur le courbes define par une equation differentielle, J. Math. Pures Appl. (4), 1, 1885, p. 167-244

41. Пуу Т. Нелинейные экономические системы.-М.:Мир, 1999, 198 с.

42. Руе К., Chance D. Sustained sinusoidal oscillations of reduced pyridine nucleotide in a cell-free extract of Saccharomyces carlsbrergenesis, Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. 55, 1966, p. 888894

43. Pyragas K. Continious control of chaos by self-controling feedback // Phys. Lett. A., 1992, v. 170, p. 421-428.

44. Р'ЮэльД., Такепс Ф. О природе турбулентности // Странные аттракторы. М.: Мир, 1981, с. 117-151

45. Ruelle D. Some comments on chemical oscillations. Trans N.Y. Acad. Sci. Ser. II 35, 1973, p. 66-71

46. Самойленко A.M. Элементы математической теории многочастотных колебаний. М.: Наука 1987, 304 с.

47. Тихонов А.Н. О зависимости решений дифференциальных уравнений от малого параметра, Математич. сборник 1948, т. 22(64), вып 2.,с. 193-204.

48. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики.-М.:Наука, 1972, 735с.1. Параграф 3.61. ВЫВОДЫ

49. Turing А-.М. The chemical basis of morphogenesis // Phil. Trans. Roy. Soc.' Lond. 1952. B. 273, 37. p. 37-72

50. Фейгенбаум M. Универсальность в поведении нелинейных систем // УФН, 1983, т. 141, в. 2, с. 343-374

51. Хакен Г. Синергетика.-М.:Мир,1980, 404 с.

52. Хакен Г. Синергетика. Иерархия неустойчивостей в самоорганизующихся'системах и устройствах.-М.:Мир,1985,419с.

53. Хэссард Б., Каза,ринов Н., Вэн Я. Теория и приложения бифуркации рождения цикла. -М. Мир, 1985, 280 с.

54. Hirsch М, Smale S. Differential Equations. Dynamical Systems and Linear Algebra. A., P., New-York 1974

55. Hopf E. A mathematical example, displaying the features of turbulence. Cominun. Pure Appl. Math. 1, 1948, p. 303-322.

56. Hopf E. Abzweigung einer periodischen Losung von einer stationaren Losung. eines Differentialsystems. -Ber. Verh. Sachs. Akad. Wiss. Leipzig, Math.-Nat., 1942, 94, S. 3-22.

57. Шарковский A.H. Сосуществование циклов непрерывного преобразования прямой в себя // Укр. мат. журн., 1964, т. 26 N 1 с. 61-71

58. ShiVnikov L.P. Chua's circuit: rigorous results and future problems // Int. J. Bifurcation and Chaos, 1994 Vol. 4, N 3 P. 489-519

59. Шоиптай'швили A.H. Бифуркация топологического типа векторного поля вблизи особой точки. Труды семинара им. И.Г. Петровского 1г1975, стр. 279-309