Диффузионный хаос в системах уравнений реакция-диффузия тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Карамышева, Таисия Владимировна

• Карамышева, Таисия Владимировна
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Карамышева, Таисия Владимировна

Введение

1 Универсальный сценарий перехода к хаосу в нелинейных системах дифференциальных уравнений.

1.1 Хаотическая динамика в одномерных унимодальных отображениях.

1.2 Динамический хаос в двумерных неавтономных диссипативных системах обыкновенных дифференциальных уравнений.

1.3 Динамический хаос в трехмерных автономных диссипативных системах обыкновенных дифференциальных уравнений.

1.4 Динамический хаос в многомерных диссипативных системах обыкновенных дифференциальных уравнений.

1.5 Динамический хаос в гамильтоновых и консервативных системах

1.6 Выводы к главе

2 Спиральные волны и диффузионный хаос в автоколебательных средах.

2.1 Системы уравнений типа реакция-диффузия.

2.2 Уравнение Курамото-Цузуки.

2.3 Спиральиые волны и соответствующие им решения в фазовом пространстве

2.3.1 Область параметров, соответствующая плоским волнам

2.3.2 Область параметров, соответствующая спиральным волнам

2.3.3 Область параметров, соответствующая диффузионному хаосу

2.4 Выводы к главе 2.

3 Бегущие волны, импульсы и диффузионный хаос в возбудимых средах.

3.1 Система уравнений типа ФитцХыо-Нагумо и автомодельная замена переменных.

3.2 Модельный пример возбудимой среды.

3.3 Система, описывающая реакцию окисления молекул СО на поверхности платины Pt(l 10).

3.3.1 Сведение к системе обыкновенных дифференциальных уравнений.

3.3.2 Особые точки и сценарий перехода к хаосу.

3.4 Выводы к главе 3.

4 Переход к диффузионному хаосу в моделях экологических систем.

4.1 Уравнения реакция-диффузия в экологических моделях.

4.2 Экологическая модель трофической цепи длины два.

4.2.1 Рождение цикла в сосредоточенной системе.

4.2.2 Рождение цикла в распределенной системе.

4.2.3 Диффузионный хаос в экологической модели на отрезке.

4.3 Выводы к главе 4.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Диффузионный хаос в системах уравнений реакция-диффузия»

Актуальность темы

Множество различных научных, технических и социально-экономических процессов и явлений могут быть описаны системами нелинейных дифференциальных уравнений. Решения таких систем могут быть представлены в фазовом пространстве различными топологическими структурами, такими как особые точки, предельные циклы, инвариантные торы, а также значительно более сложные нерегулярные притягивающие множества, названные нерегулярными аттракторами. Особым точкам в фазовом пространстве соответствуют стационарные, не меняющиеся со временем структуры, предельным циклам и инвариантным торам — различные периодические и квазипериодические волновые режимы, а нерегулярным аттракторам — сложные нерегулярные решения, названные динамическим хаосом. Нерегулярные во времени и неоднородные по пространственным переменным решения нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными называют пространственно-временным и, в частности, диффузионным хаосом.

Исследование перехода к диффузионному хаосу в нелинейных системах дифференциальных уравнений с частными производными является актуальной проблемой в связи с широким распространением таких систем при моделировании процессов и явлений в физике, химии, экологии, экономике и других областях. Также эта проблема имеет большое значение для развития теории пространственно-временного хаоса в бесконечномерных нелинейных системах дифференциальных уравнений, которая на данный момент практически не разработана.

Огромный класс физических, химических и биологических сред, широко изучающихся нелинейной хаотической динамикой, описывается системой уравнений в частных производных реакция-диффузия. Для описания конкретных систем в экологии, химической кинетике, физике плазмы и многих других областях было предложено множество таких моделей. Особый интерес представляют задачи типа реакция-диффузия, поведение которых таково, что при всех значениях скалярного системного параметра меньше некоторого бифуркационного значения система реакция-диффузия имеет устойчивое стационарное и однородное по пространству решение, называемое термодинамической ветвью. При значениях скалярного системного параметра больше этого бифуркационного значения термодинамическая ветвь теряет устойчивость, а поведение решений усложняется. Это могут быть стационарные диссипативные структуры, периодические колебания или нерегулярные непериодические нестационарные структуры, называемые диффузионным хаосом, а также биологической (или химической) турбулентностью.

В диссертации рассматриваются системы типа реакция-диффузия с таким поведением, а именно: автоколебательные среды, описываемые уравнением Курамото-Цузуки, возбудимые среды, и экологические системы. Уравнение Курамото-Цузуки описывает поведение решений системы уравнений реакция-диффузия в окрестности ее стационарного однородного состояния и представляет собой сложный математический объект, оно может иметь стационарные, периодические и более сложные хаотические решения. Уравнение Курамото

Цузуки играет важную роль в изучении и понимании процессов, происходящих в нелинейных диссипативных средах диффузионного типа, представляет большой интерес при моделировании ветровых волн на воде [1] и ионно-звуковых волн в плазме [28]. Системы уравнений типа ФитцХыо-Нагумо описывают нелинейные процессы, происходящие в так называемых возбудимых средах. Это — распространение импульсов в нервном волокне и сердечной мышце [29, 40, 41, 51], а также различные виды автокаталитических химических реакций [46, 52]. Частным случаем систем уравнений реакция-диффузия также являются различные экологические модели, попадающие в класс динамических систем, обладающих диффузионным хаосом, в частности, рассматривается замкнутая трофическая цепь длины два.

В работе проводится исследование перехода к диффузионному хаосу в описанных выше видах систем реакция-диффузия и устанавливаются соответствия сценариев перехода к хаосу универсальной бифуркационной теории Фейгеибаума-Шарковского-Магницкого. Согласно этой теории переход к пространственно-временному (диффузионному) хаосу в нелинейных системах дифференциальных уравнений с частными производными типа реакция-диффузия происходит в соответствии с универсальным сценарием Фейгенбаума-Шарковского-Магницкого через каскад бифуркаций устойчивых циклов и двумерных или многомерных торов: каскад бифуркаций Фейгенба-ума удвоения периода исходного цикла (тора), затем через субгармонический каскад бифуркаций Шарковского рождения циклов (торов) любого периода вплоть до периода три, затем через гомоклинический (гетероклинический) каскад бифуркаций Магницкого рождения циклов (торов) в соответствии с гомоклиническим или гетероклиническим порядком.

Цели диссертационной работы.

Целью диссертационной работы является исследование перехода к пространственно-временному (диффузионному) хаосу в нелинейных системах дифференциальных уравнений с частными производными типа реакция-диффузия, а также выяснение того, соответствует ли этот переход универсальному сценарию Фейгенбаума-Шарковского-Магницкого. Для этого поставлены следующие задачи:

• Провести численное исследование уравнения Курам ото-Цузуки, описывающего автоколебательные среды в двумерном случае, и установить связи между возникающими в нем структурами — спиральными волнами и видом решений в фазовом пространстве. Выяснить, соответствует ли сценарий перехода к диффузионному хаосу в уравнении Курамото-Цузуки в двумерном случае универсальной бифуркационной теории Фейгенбаума-Шарковского-Магницкого.

• Провести анализ решений системы уравнений типа ФитцХыо-Нагумо, описывающей возбудимые среды, сведением ее к трехмерной системе обыкновенных дифференциальных уравнений при помощи автомодельной замены переменных. Показать, что диффузионный хаос в системе уравнений типа ФитцХью-Нагумо описывается сингулярными аттракторами системы обыкновенных дифференциальных уравнений, в которую переходит система уравнений типа ФитцХыо-Нагумо при соответствующей автомодельной замене переменных, и выяснить, соответствует ли переход к диффузионному хаосу в этой системе универсальной бифуркационной теории Фейгенбаума-Шарковского-Магницкого.

• Найти условия рождения периодических решений системы уравнений, описывающей модель экологической системы — трофическую цепь длины два, а также провести численное исследование решений этой системы. Выяснить, соответствует ли переход к диффузионному хаосу в рассматриваемой модели экологической системы универсальной бифуркационной теории Фейгенбаума-Шарковского-Магницкого.

Научная новизна работы

Основные результаты диссертации являются новыми и заключаются в следующем:

• Найдены области значений параметров, при которых уравнение Курамото-Цузуки, описывающее автоколебательные активные среды в двумерном случае, имеет плоские волны, спиральные волны или режимы диффузионного хаоса. Установлено, что спиральным волнам соответствуют двумерные и трехмерные торы в разных подпространствах фазового пространства решений. Установлено также, что при приближении значений параметров к области диффузионного хаоса, уравнение Курамото-Цузуки в двумерном случае имеет устойчивые трехмерные торы и более сложные решения, соответствующие развитию и образованию пространственно-временного хаоса. Показано, что сценарий перехода к диффузионному хаосу в автоколебательных активных средах в двумерном случае происходит в соответствии с универсальной бифуркационной теорией Фейгенбаума-Шарковского-Магницкого.

• Показано, что система дифференциальных уравнений с частными производными типа ФитцХью-Нагумо, описывающая возбудимые среды, при фиксированных значениях параметров имеет бесконечное число различ9 ных устойчивых волновых решений, бегущих вдоль пространственной оси с произвольными скоростями, а также бесконечное число различных режимов диффузионного хаоса. Эти решения порождаются каскадами бифуркаций циклов и сингулярных аттракторов в соответствии с теорией Фейгенбаума-Шарковского-Магницкого в трехмерной системе обыкновенных дифференциальных уравнений, в которую переходит система уравнений типа ФитцХыо-Нагумо при соответствующей автомодельной замене переменных.

• Найдены условия рождения периодических пространственно неоднородных решений системы нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными, описывающей модель экологической системы - трофическую цепь длины два. Показано, что переход к диффузионному хаосу в рассматриваемой модели экологической системы осуществляется в полном соответствии с универсальной бифуркационной теорией Фейгенбаума-Шарковского-Магницкого через субгармонический каскад бифуркаций устойчивых предельных циклов.

Теоретическая и практическая значимость

Разработанные в диссертации подходы и методы анализа решений нелинейных систем дифференциальных уравнений с частными производными диффузионного типа имеют как теоретическую, так и практическую значимость для исследования и управления хаотическими режимами широкого класса автоколебательных и возбудимых сред, подходящих для описания многочисленных сложных физических, химических и биологических систем. Так, впервые доказана и подтверждена численными расчетами на основе разработанного в диссертации программного продукта универсальность ФШМ-сценария перехода к хаосу во всех системах рассмотренного класса. Впервые теоретически доказана возможность одновременного существования в системах уравнений с частными производными диффузионного типа бесконечного числа как периодических, так и хаотических решений. Результаты, полученные в диссертации, могут быть использованы на практике при анализе хаотических режимов поведения и подавлении диффузионного хаоса, а также химической и биологической турбулентности в таких практически важных задачах, как управляемый термоядерный синтез и синтез новых элементов в ускорителях заряженных частиц, создание новых веществ в автокаталитических химических реакциях и поддержание численности и требуемых характеристик различных сосуществующих биологических видов и экосистем.

Основные методы исследования

В работе использованы методы качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными, теории бифуркаций, хаотической динамики, а также численные методы решения нелинейных систем дифференциальных уравнений.

Основные результаты и положения диссертации, выносимые на защиту:

• Метод фазового пространства анализа решений нелинейных систем дифференциальных уравнений типа реакция-диффузия, описывающих двумерные автоколебательные активные среды.

• Результаты численного моделирования, подтверждающие наличие в уравнении Курамото-Цузуки в двумерном случае устойчивых трехмерных торов, а также каскадов бифуркаций устойчивых двумерных торов в соответствии с универсальной бифуркационной теорией Фейгенбаума-Шарковского-Магницкого (ФШМ).

Метод анализа решений нелинейных систем дифференциальных уравнений типа реакция-диффузия, описывающих возбудимые активные среды, путем их сведения к системам обыкновенных дифференциальных уравнений.

Результаты численного моделирования, подтверждающие наличие в уравнениях типа ФитцХью-Нагумо бесконечного числа различных устойчивых волновых решений, а также бесконечного числа различных режимов диффузионного хаоса, порожденных каскадами бифуркаций устойчивых циклов в соответствии с универсальной бифуркационной теорией ФШМ.

Метод обнаружения скрытых бифуркационных параметров в нелинейных системах дифференциальных уравнений типа реакция-диффузия.

Бифуркационный анализ конкретной возбудимой среды, являющейся химической реакцией окисления молекул оксида углерода на поверхности платины.

Метод бифуркационного анализа моделей распределенных экологических систем типа «хищник-жертва».

Результаты численного моделирования, подтверждающие наличие в уравнениях, описывающих трофическую цепь длины два, сценария перехода к диффузионному хаосу в соответствии с универсальной бифуркационной теорией ФШМ через субгармонический каскад бифуркаций устойчивых предельных циклов.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались на следующих конференциях и научных семинарах:

• конференции «Тихоновские чтения 2010», 25-29 октября 2010 г., Москва;

• четвертой международной конференции «Системный анализ и информационные технологии», 17-23 августа 2011 г., Башкирия;

• конференции «Тихоновские чтения 2011», 14 июня 2011 г., Москва;

• конференции «Ломоносовские чтения 2011», 14-23 ноября 2011 г., Москва;

• девятнадцатой международной конференции «Математика. Компьютер. Образование», 30 января - 4 февраля 2012 г., Дубна;

• конференции «Ломоносовские чтения 2012», 16-19 апреля 2012 г., Москва;

• международной конференции «Динамические системы и их применение», 16-18 мая 2012 года, Киев;

• конференции «Тихоновские чтения 2012», 29 октября - 2 ноября 2012 г., Москва;

• научном семинаре «Нелинейная динамика: качественный анализ и управление» под руководством академика РАН C.B. Емельянова, 29 октября 2012 г., Москва.

Публикации

Основные результаты диссертации содержатся в 11 работах. Из них 5 опубликованы в изданиях, удовлетворяющих требованиям ВАК [13-17], 6 — в материалах конференций [18-23].

Личный вклад автора

Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Все представленные в диссертации результаты получены лично автором.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Главы разбиты на разделы и подразделы. Объем работы составляет 134 страницы текста, включая 51 рисунок. Библиография включает 52 наименования.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Карамышева, Таисия Владимировна

4.3 Выводы к главе 4

Проведено аналитическое и численное исследование модели экологической системы — трофической цепи длины два. Найдены условия рождения периодических пространственно неоднородных решений системы. Показано, что переход к диффузионному хаосу в рассматриваемой модели экологической системы осуществляется в полном соответствии с универсальной бифуркационной теорией Фейгенбаума-Шарковского-Магницкого через субгармонический каскад бифуркаций устойчивых предельных циклов.

Заключение

Отметим еще раз основные результаты, полученные в работе:

• Найдены области значений параметров, при которых уравнение Курамото-Цузуки, описывающее автоколебательные активные среды в двумерном случае, имеет плоские волны, спиральные волны или режимы диффузионного хаоса. Установлено, что спиральным волнам соответствуют двумерные и трехмерные торы в разных подпространствах фазового пространства решений для различных областей значений переменных (х,у). Установлено также, что при приближении значений параметров к области диффузионного хаоса, уравнение Курамото-Цузуки в двумерном случае имеет в фазовом пространстве решений устойчивые трехмерные торы и более сложные решения, соответствующие развитию и образованию пространственно-временного хаоса. Показано, что сценарий перехода к диффузионному хаосу в автоколебательных активных средах в двумерном случае происходит в соответствии с универсальной бифуркационной теорией Фейгенбаума-Шарковского-Магницкого.

• Показано, что система дифференциальных уравнений с частными производными типа ФитцХью-Нагумо, описывающая возбудимые среды, при фиксированных значениях параметров имеет бесконечное число различных устойчивых волновых решений, бегущих вдоль пространственной оси

127 с произвольными скоростями, а также бесконечное число различных режимов диффузионного хаоса. Эти решения порождаются каскадами бифуркаций циклов и сингулярных аттракторов в соответствии с теорией Фейгенбаума-Шарковского-Магницкого в трехмерной системе обыкновенных дифференциальных уравнений, в которую переходит система уравнений типа ФитцХью-Нагумо при соответствующей автомодельной замене переменных.

• Найдены условия рождения периодических пространственно неоднородных решений системы нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными, описывающей модель экологической системы — трофическую цепь длины два. Показано, что переход к диффузионному хаосу в рассматриваемой модели экологической системы осуществляется в полном соответствии с универсальной бифуркационной теорией Фейгснбаума-Шарковского-Магницкого через субгармонический каскад бифуркаций устойчивых предельных циклов.

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору Николаю Александровичу Магницкому за постановку задач и постоянное внимание к работе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Карамышева, Таисия Владимировна, 2013 год

1. Андронов A.A., Фабрикант А.Л. Затухание Ландау, ветровые волны и свисток // Нелинейные волны. — М.: Наука, 1979. С. 68-104.

2. Атауллаханов Ф.И., Зарницына В.И., Кондратович А.Ю., Лобанова Е.С., Сарбаш В.И. Особый класс автоволн (автоволны с остановкой) определяет пространственную динамику свертывания крови // Успехи физических наук. 2002. Т. 172. № 6. С. 671-690.

3. Ахромеева Т.С., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г., Самарский A.A. Нестационарные структуры и диффузионный хаос. -М.: Наука, 1992, 541 с.

4. Ахромеева Т.С., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г., Самарский A.A. Двух-компонентные диссипативные системы в окрестности точки бифуркации // Математическое моделирование. Процессы в нелинейных средах. — М.: Наука, 1986. С. 7-59.

5. Ахромеева Т.С., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г., Самарский A.A. Оклассификации двухкомпонентных систем в окрестности точки бифуркации // ДАН СССР, 1984. Т. 279. № 3. С. 591-595.

6. Ахромеева Т.С., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г., Самарский A.A. О диффузионном хаосе в нелинейных диссииативных системах // ДАН СССР, 1984. Т. 279. № 5. С. 1091-1096.

7. Братусь A.C., Новожилов A.C., Платонов А.П. Динамические системы и модели биологии. ФИЗМАТЛИТ, 2011. 401 с.10J Ванаг В.К. Диссипативные структуры в реакционно-диффузионных системах. -М. Ижевск, ИКИ, 2008, 300 с.

8. Карамышева Т.В., Никитина М.Ю. Об одном подходе к классификации хаотических аттракторов трехмерных автономных систем // Труды PICA РАН, 2009г. Т. 44. С. 59-64.

9. Карамышева Т.В. Спиральные волны и диффузионный хаос в уравнении Курамото-Цузуки // Труды ИСА РАН, 2010. Т. 53. С. 31-45.

10. Карамышева Т.В., Магницкий Н.А. Бегущие волны, импульсы и диффузионный хаос в возбудимых средах // Труды ИСА РАН, 2012. Т. 62. Вып. 1. С. 63-66.

11. Карамышева Т.В. Бегущие волны в возбудимых средах // Дифференц. уравнения. 2012. Т. 48. N 3. С. 439-441.

12. Карамышева Т.В., Магницкий Н.А. Переход к диффузионному хаосу в одной модели экологической системы // Дифференц. уравнения. 2012 г. Т. 48. N И. С. 1501-1506.

13. Karamysheva Т. Transition to diffusion chaos in an excitable reaction-diffusion model // Тезисы докладов XIX-ой международной конференции «Математика. Компьютер. Образование». М. Ижевск, 2012. С. 152.

14. Карамышева Т.В., Магницкий Н.А. Бегущие волны и диффузионный хаос в одной модели реакция-диффузия // Тезисы докладов научной конференции «Ломоносовские чтения 2011». М. 2011. С. 36.

15. Карамышева Т.В. Переход к диффузионному хаосу в уравнении Курамото-Цузуки в двумерном случае // Труды IV-ой международной конференции «Системный анализ и информационные технологии». Челябинск. 2011. Т. 1. С. 58-62.

16. Карамышева Т.В. Диффузионный хаос в модели реакция-диффузия для возбудимых сред // Тезисы докладов научной конференции «Тихоновские чтения 2011». М. 2011. С. 42.

17. Карамышева Т.В. Диффузионный хаос в возбудимых средах // Тезисы докладов международной конференции «Динамические системы и их приложения». Киев, 2012. С. 12.

18. Карамышева T.B. Переход к диффузионному хаосу в модели экологической системы // Тезисы докладов научной конференции «Тихоновские чтения 2012». М., 2012. С. 16.

19. Лоскутов А.Ю., Михайлов A.C. Введение в синергетику: Учеб. руководство. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990, 272 с.

20. Магницкий H.A. Теория динамического хаоса. — М.: ЛЕНАНД, 2011. 320с.

21. Магницкий H.A., Огинова Ю.В. Исследование сценария перехода к хаосу в модели экологической системы // Труды ИСА РАН., 2005. Т. 14. С. 190-197.

22. Магницкий H.A., Сидоров C.B. Новые методы хаотической динамики. М.: Едиториал УРСС, 2004. 320с. (Magnitskii N.A., Sidorov S.V. New methods for chaotic dynamics. Singapore, 2006.)

23. Рабинович M.И., Фабрикант А.Л. Стохастическая автомодуляция воли в неравновесных средах // ЖЭТФ. 1979. Т. 77, Вып. 2(8). С. 617-629.

24. Ризниченко Г.Ю. Математические модели в биофизике и экологии. — Ижевск: Институт компьют. исследований, 2006, 184 с.

25. Романовский Ю.М., Степанова Н.В., Чернавский Д.С. Математическое моделирование в биофизике. -М. -Ижевск: ИКИ, 2003. 402 с.

26. Самарский A.A. Введение в теорию разностных схем. -М.: Наука, 1971. 550с.

27. Свирежев Ю.М. Нелинейные волны, диссипативные структуры и катастрофы в экологии. — М., 1987.

28. Сидоров С.В. О хаотической динамике в решениях вида бегущей волны // Труды ИСА РАН, 2008. Т. 33. В. 12.

29. Сидоров С.В. Бегущие волны и динамический хаос в активных средах: численное исследование // Дифференц. уравнения, 2009. Т. 45. Л"2 2. С. 250-254.

30. Сидоров С.В. Диффузионный хаос в модели брюсселятора // Динамика неоднородных систем. Труды ИСА РАН, 2006. Т. 10. С. 91-97.

31. Хэссард Б., Казаринов Н., Вэн И. Теория и приложения бифуркации рождения цикла. — М., 1985.

32. Яненко Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. — Новосиб.: Наука, 1967. 197с.

33. Bar М., Gottschalk N., Eiswirth М. and Ertl G. Spiral waves in a surface reaction: Model calculations // J. Chem. Phys., 1994. 100. P. 1202-1214.

34. Blow K.J., Doran N.J. Global and local chaos in the pumped nonlinear Schrodinger equation // Phys. Rev. Lett., 1984. Vol. 52. N 7. P. 526-529.

35. FitzHugh R.A. Impulses and physiological states in theoretical model of nerve membrane // Biophys. J., 1961. 1. P. 445-466.

36. Hodgkin A.L., Huxley A.F. A quantitative description of membrane current and its application conduction and excitation in nerve //J. Physiol., 1952. 117. P. 500-504.

37. Krischer K., Eiswirth M. and Ertl G. Oscillatory CO oxidation on Pt(110): Modeling of temporal self-organization //J. Chem. Phys., 1992. 96. P. 91619172.

38. Kuramoto Y. Diffusion-induced chaos in reaction systems // Suppl. Progr. Theor. Phys., 1978. N. 64. P. 346-367.

39. Kuramoto Y., Tsuzuki T. On the formation of dissipative structures in reaction-diffusion systems // Progr. Theor. Phys., 1975. Vol. 54. N 3. P. 687699.

40. Mach J. Stability of Stationary States of The Gray-Scott model // HPC-Europa: Science and Supercomputing in Europe, report 2008, P. 484-487.

41. Merkin J.H., Petrov V., Scott S.K., Showalter K. Wave-Induced Chemical Chaos // Phys. Rev. Letters, 1996. Vol. 76. 3. P. 546-549.

42. Nagumo J., Arimoto S., and Yoshizawa S. An active pulse transmission line simulating nerve axon. Proc. IRE, 1962. Vol. 50. P. 2061-2070.

43. Petrovsky S.V., Malchow H. Wave of chaos: New mechanism of pattern formation in spatio-temporal population dynamics // Theor. Popul. Biol., 2001. Vol. 59. P. 157-174.

44. Stewartson K., Stuart J.T. A non-linear instability theory for a wave system in plane Poiseuille flow //J. Fluid Mech., 1971. Vol. 48. N 3. P. 529-545.

45. Ward M.J. Asymptotic methods for reaction-diffusion systems: past and present // Bull. Math. Biol., 2006. Vol. 68. P. 1151-1167.

46. Zeeman E.C. Differential equations for the heartbeat and nerve impulses. — Mathematical Institute, Univer. of Warvick, Coventry. 1972

47. Zimmermann M.G., Firle S. O., Natiello M. A., Hildebrand M., Eiswirth M., Bär M., Bangia A. und Kevrekidis I.G. Pulse bifurcation and transition to spatiotemporal chaos in an excitable reaction-diffusion model // Physica D, 1997. 110. P. 92-104.