So-множества и их приложения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат наук Аль Баяти Джелал Хатем Хуссейн

• Аль Баяти Джелал Хатем Хуссейн
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Аль Баяти Джелал Хатем Хуссейн

Оглавление

Введение

Глава 1. БО-множества

§1. Свойства 80-множеств

§2. Соотношения между 80- множествами и другими обобщениями

открытых множеств

§3 Топологическое удвоение 80-множеств

§4. Топология, порожденная 80-множествами

Глава 2. Приложения 80-множеств

§1. С-компактные и С80-компактные пространства

§2. 80-паракомпактные пространства

§3. С80-паракомпактные пространства

Глава 3. Слабые и сильные формы БО-непрерывных отображений

§1. Просто-непрерывные отображения

§2. Продолжение зс-отображений

Список литературы

Работы автора, опубликованные по теме диссертации

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «So-множества и их приложения»

ВВЕДЕНИЕ

В работе изучается понятие просто-открытого множества и основанные на нем обобщения основных классов топологических пространств и непрерывных отображений.

Подмножество А пространства X называется просто-открытым (или Бо-множеством), если А = о и N, где О открыто, а N нигде не плотно (гшс1). При этом не исключается, что любое из множеств О, или N может быть пустым. Напомним, что множество N называется нигде не плотным, если внутренность замыкания этого множества пусто: . (Всюду в

данной работе замыкание множества обозначается квадратными скобками).

Следует заметить, что подмножество пространства X является просто-открытым тогда и только тогда, когда его граница нигде не плотна в X.

Отображение /: x у топологического пространства X в топологическое пространство У называется просто-непрерывным, если прообраз /"'(К) любого открытого множества v е у просто-открыт в x.

Понятие просто-открытого множества и основанное на нем понятие просто-непрерывного отображения ввел Ы^БЛУаз в [24]. Просто-непрерывные отображения будем называть также эс-отображениями.

Ранее Н.Левин (Ы.Ьеуте) в [43] ввел понятия полуоткрытого множества и полунепрерывного отображения.

Подмножество а пространства x называется полуоткрытым, если существует такое открытое множество О, что о с а с [о]. Полузамкнутое множество определяется как дополнение к полуоткрытому.

Отображение называется полунепрерывным, если прообраз всякого открытого множества есть полуоткрытое множество.

Целью работы является систематическое изучение просто-открытых и в частности, полуоткрытых множеств, а также основанных на них обобщений основных классов топологических пространств и непрерывных отображений.

Диссертация состоит из введения и трех глав.

Первая глава состоит из четырех параграфов

В первом параграфе изучаются и систематизируются свойства просто-открытых множеств и операций над ними. В частности, те свойства, совокупность которых позволяет утверждать, что семейство всех просто-открытых множеств является полем. Упомянем также следующие утверждения.

Предложение 1.1.11. Произведение двух so-множеств есть so-множество.

ТЕОРЕМА 1.1.18. Пусть S - подмножество пространства (Х,Т). Тогда следующие условия эквивалентны:

(a) S есть просто-открытое множество

(b) Int[S] c[int(S)].

ТЕОРЕМА 1.1.22. Каждое просто-открытое множество обладает свойством Бэра.

О. Njastad в [57] ввел понятие а-множества. Подмножество S пространства (Х,Т) называется а-множеством если Sc int [int S] . Семейства а-множеств в (Х,Т), будут обозначаться через Та . Njastad [57] показал, что Та есть топология на X со следующими свойствами: Т еТ° , (Та)а = Та и S б Та тогда и только тогда, когда всякое nwd-множество в (Х,Т) замкнуто.

Andrijevic заметил, что SO(X,T)=SO(X,T°) и что NcX есть nwd в (Х,Т") тогда и только тогда, когда N есть nwd в (Х,Т). Таким образом, мы имеем следующее предложение:

Если S есть просто-открытое подмножество пространства (Х,Т), то S является просто-открытым в пространстве (Х,Т°).

Доказательство основано на упомянутом выше результате Andrijevic.

Во втором параграфе исследуются соотношения между so-множествами и другими обобщениями открытых множеств. Установлены связи просто-открытых множеств с регулярно-открытыми, локально-замкнутыми, полуоткрытыми множествами, ß-множествами и др.

Подмножество А пространства (Х,Т) называется ß-открытым если Ас [int [А]].

Очевидно, что что всякое полуоткрытое множество является so-множеством. Следующее утверждение отвечает на вопрос, при каких условиях so-множество есть полуоткрытое множество.

Для подмножества А пространства (Х,Т), следующие условия эквивалентны:

(1) А so-множество и ß-открытое множество.

(2) А полуоткрыто.

Предложение 1.2.5. Для пространства ( Х,Т) и точки х Е X следующие условия эквивалентны:

(a) [r}F.™<%7),

(b) (х) или открыто, или nwd,

(c) [хj или полуоткрыто, или полузамкнуто.

Отметим еще следующее утверждение второго параграфа, доказанное непосредственно:

Множество S является so-множеством тогда и только тогда, когда оно есть 5-множество.

В разное время в литературе появлялось много различных обобщений открытых и замкнутых множеств - обобщений, основанных на различных комбинациях замыканий, внутренностей и дополнений. В связи с этим появлялись и новые термины для этих множеств. Результаты второго параграфа первой главы позволяют исключить из употребления некоторые

из этих терминов (в частности, КБВ-множества, р-множества, полулокально замкнутые множества), так как классы множеств, обозначаемые этими терминами совпадают с классом просто-открытых множеств.

В параграфе третьем первой главы рассматриваются топологические удвоения Бо-множеств.

Хорошо известен пример бикомпактного топологического пространства «двойная окружность Александрова». В разное время разные авторы (прежде всего Р. Энгелькинг) рассматривали всевозможные обобщения этого примера.

Здесь мы рассматриваем удвоение топологических пространств по методу П.С.Александрова и изучаем поведение Бо-множеств при этой операции. Доказано, что свойство множества быть просто-открытым множеством не только сохраняется, но, более того, усиливается.

Предложение 1.3.2. Дубликат зо-множества есть ззо-множество.

Предложение 1.3.4. Дубликат полуоткрытого множества есть полуоткрытое множество.

В четвертом параграфе первой главы мы выясняем, при каких условиях семейство всех просто-открытых множеств образует топологию, и как эта топология связана с исходной.

Семейство всех просто-открытых множеств (го-множеств) пространства (х,т) обозначается через тю.

Доказано следующее утверждение

ТЕОРЕМА 1.4.1. Если тю локально конечно, то тю есть топология наХ.

Доказательство этой теоремы основано на том, что объединение локально конечного семейства Бо-множеств есть го-множество.

Подмножество а топологического пространства x называется а-открытым, или а-множеством (см. 1^аз1ас1 О. [57]), если ЛстфпМ]. Доказано следующее утверждение

ТЕОРЕМА 1.4.9. Для всякого топологического пространства (Х,Т) мы имеем ТсгТ" сТда.

Вторая глава состоит из трех параграфов

В первом параграфе рассматриваются С-компактные и СБО-компактные пространства.

Пространство X называется С-компактным, если для всякого его замкнутого подпространства и всякого открытого покрытия этого подпространства существует такая подсистема элементов этого покрытия, что замыкания элементов этой подсистемы покрывают X. Справедливо утверждение:

Уплотнение С-компактного пространства в хаусдорфово пространство есть гомеоморфизм.

Центральное место в Главе 2 занимают эо-паракомпактные пространства и их различные модификации: 8-паракомпактные, Бво-паракомпактные, почти паракомпактные пространства.

эо-паракомпактные пространства исследуются во втором параграфе.

Пространство X называется просто-паракомпактным, или зо-паракомпактным, если во всякое открытое покрытие X можно вписать локально конечное покрытие просто-открытыми множествами.

Очевидно, в классе регулярных пространств просто-паракомпактные пространства совпадают (в силу известного результата Э.Майкла) с паракомпактами. Поэтому все результаты, полученные для просто-паракомпактных пространств, представляют интерес только для нерегулярных пространств.

Дан пример просто-паракомпактного пространства, не являющегося паракомпактным.

Доказаны следующие утверждения

Предложение 2.2.8. Всякое замкнутое подпространство во-паракомпактного пространства эо-паракомпактно.

ТЕОРЕМА 2.2.16. Полурегулярное пространство го-паракомпактно тогда и только тогда, когда во всякое его открытое покрытие можно вписать локально конечное покрытие (состоящее из любых множеств).

ТЕОРЕМА 2.2.22. Всякое секвенциально компактное зо-паракомпактное пространство бикомпактно.

Аналогичное утверждение верно и для счетно компактных бо-паракомпактных пространств:

Предложение. Всякое просто-паракомпактное счетно-компактное пространство X бикомпактно.

Усилением понятия Бо-паракомпактного пространства является понятие эз-паракомпактного пространства.

Пространство называется зз-паракомпактным, если во всякое его покрытие можно вписать локально-конечное покрытие, состоящее из вво-множеств.

ТЕОРЕМА 2.2.26. Дубликат А(Х) просто-паракомпактного пространства является зз-паракомпактным пространством.

Этот результат является одним из центральных во второй главе.

М.К.8и^а1 и Б.Р.Агуа в [61] ввели понятие почти паракомпактного пространства. Пространство X называется почти паракомпактным, если

во всякое его открытое покрытие можно вписать такую локально конечную систему открытых множеств, что семейство их замыканий является покрытием пространства X. Доказана

ТЕОРЕМА 2.2.28. Всякое ээ-паракомпактное пространство почти паракомпактно.

К.У.А1-2оиЫ в [18] ввел понятие 8-паракомпактного пространства. Пространство называется Б-паракомпактным, если во всякое его открытое покрытие можно вписать локально конечное покрытие, состоящее из полуоткрытых множеств. Нами доказана

ТЕОРЕМА 2.2.33. Дубликат 8-паракомпактного пространства есть 8-паракомпактное пространство.

Даны следующие примеры:

Пример почти паракомпактного не 8-паракомпактного пространства.

Пример Бо-паракомпактного не 8-паракомпактного пространства.

Примеры счетно компактных не эо-паракомпактных пространств.

Пример секвенциально компактного псевдо-паракомпактного не бо-паракомпактного пространства.

Рассмотрены топологические произведения, где одним из сомножителей является эо-паракомпактное пространство. Показано, что не только произведение двух эо-паракомпактных пространств может не быть эо-паракомпактным, но даже произведение двух паракомпактов может не быть эо-паракомпактным.

Отметим еще следующий результат в §2 главы 2.

ТЕОРЕМА 2.2.39. Если X есть зо-паракомпактное пространство, а У бикомпактно, то произведение ХхУ есть Бо-паракомпактное пространство.

В третьем параграфе главы 2 рассматриваются сэо-паракомпактные пространства, являющиеся обобщениями счетно паракомпактных

пространств. Пространство называется сго-паракомпактным, если во всякое его счетное открытое покрытие можно вписать счетное локально конечное покрытие, состоящее из просто-открытых множеств.

Получена следующая характеристика сго-паракомпактного пространства

ТЕОРЕМА 2.3.2. Топологическое пространство X сго-паракомпактно тогда и только тогда, когда во всякое его открытое покрытие можно вписать локально конечное покрытие, состоящее из дизъюнктных просто-открытых множеств.

Третья глава состоит из двух параграфов

В первом параграфе изучаются го-непрерывные отображения.

Понятие просто-непрерывного, или го-непрерывного отображения, основанное на понятии просто-открытого множества ввел также 1чГ.В1г'\¥аг в упомянутой ранее работе [24].

Отображение /: x у топологического пространства x в топологическое пространство у называется просто-непрерывным, или зс-отображением, если прообраз всякого открытого в У множества есть го-множество. Отображение называется сильно просто-непрерывным, или ггс-отображением, если прообраз всякого го-множества есть го-множество.

Справедливы следующие простые утверждения

Пусть X и У - два топологических пространства. Функция £ X —»У просто-непрерывна тогда и только тогда, когда для всякого замкнутого в у подмножества В его прообраз £ 1 (У) есть го-множество в X.

Пусть отображение /: x -> у просто-непрерывно и и открыто в x. Тогда сужение //и просто- непрерывно.

Отображение /: x у называется полунепрерывным (ТЧХеуше [43]), если прообраз всякого открытого множества полуоткрыт.

Существуют простые примеры просто-непрерывных отображений (т.е., эс-отображений), не являющихся полунепрерывными. Один из таких примеров (пример 3.1.3) приводится в §1 главы 3. Приводится также пример псевдо-непрерывного отображения, не являющегося бс-отображением.

Задолго до понятия полунепрерывного отображения 8.Кетр1з1у в [42] ввел понятие квазинепрерывного отображения

Отображение /: X -> 7называется квазинепрерывным в точке хеХ, если для любых таких открытых множеств и и V, что хеи, /(х)е v существует непустое открытое множество о с и,

удовлетворяющее условию /(с) с V.

А.ЫеиЬгиппоуа [53] доказала, что отображение является полунепрерывным тогда и только тогда, когда оно квазинепрерывно. Поэтому из двух упомянутых выше эквивалентных терминов естественно выбрать один - «квазинепрерывное отображение».

Рассматриваются также множества точек разрыва зс-отображений и, в частности, квазинепрерывных отображений.

Нестрого говоря, в общей топологии нигде не плотные множества и множества первой категории играют роль множеств меры нуль.

Справедлива

ТЕОРЕМА 3.1.8. Если действительная функция,

определенная на отрезке, являющаяся эс-отображениемдо в предположении СН множество точек разрыва функции эквивалентно множеству меры нуль.

Эта теорема не является нашим результатом, она следует из рассуждений К.Ьеуте, ТМ-ЕНэшаг и их предшественников, но нам не удалось найти ее сформулированной в явном виде.

Следует заметить, что эта теорема и теорема А.Нойбрунновой о поточечной сходимости трансфинитной последовательности гс-функций к Бс-функции побудили нас заняться го-множествами и основанными на них отображениями. (Теорема А.Нойбрунновой цитируется нами в тексте диссертации. Это - теорема 3.1.4.).

В §2 рассматриваются квазинепрерывные (»-отображения и продолжения гс-отображений.

Полуокрестностью точки называется любое полуоткрытое множество, содержащее эту точку.

Система множеств называется з-локально конечной (см.К.У.А1^оиЫ [18]), если для каждой точки существует полуокрестность этой точки, пересекающаяся не более чем с конечным числом элементов этой системы. Системы, являющиеся г-локально конечными, связаны с квазинепрерывными ю-отображениями.

В §2 главы 3 доказано следующее утверждение

ТЕОРЕМА 3.2.4. Экстремально несвязное пространство X паракомпактно тогда и только тогда, когда для всякого его открытого покрытия со существует квазинепрерывное со-отображение /: x у пространства X на некоторое метрическое пространство У.

В §2 главы 3 рассматриваются также усиления и ослабления понятия гс-отображения и продолжения отображений на дубликаты пространств.

Напомним, что го-множество, содержащее непустое открытое множество, называется гго-множеством.

Отображение называется ггс-отображением, если прообраз всякого открытого множества есть гго-множество.

Всякое отображение /: x у естественно продолжается на дубликат л(х) пространства X. Доказано следующее утверждение

ТЕОРЕМА 3.2.9. Если пространство У есть образ бикомпактного (линделефова, паракомпактного, 8-паракомпактного Бо-паракомпактного) пространства при эс-отображении, то У есть образ бикомпактного (линделефова, паракомпактного, 8-паракомпактного, эзо-паракомпактного пространства при ззс-отображении.

Автор искренне благодарит научного руководителя профессора Владимира Леонидовича Клюшина за помощь в выборе темы исследования и постоянное внимание к работе.

ГЛАВА 1.

SO-множества

§1. Свойства просто-открытых множеств

Пусть (Х,Т) - топологическое пространство. Для подмножества S с X

замыкание, внутренность и дополнение множества S по отношению к

р

(Х,Т) будем обозначать через [S], int S и S соответственно. Иногда, чтобы не возникло недоразумений, мы будем также обозначать замыкание множества S через cl(S).

Напомним понятие просто-открытого множества.

Определение 1.1.1. (N. Biswas [24]). Подмножество S пространства (Х,Т) называется просто-открытым (simply-open), если S=Ou N, где О открыто а N нигде не плотно (=nwd, int[N]=0). (Любое из множеств О или N может быть, в частности, пустым).

Некоторые авторы называют дополнение к просто-открытому множеству просто-замкнутым, но в этом термине нет необходимости так как нетрудно доказать, что дополнение к просто-открытому множеству есть просто-открытое множество.

Просто-открытые множества мы будем называть для краткости so-множествами.

Примерами просто-открытых множеств могут быть любые открытые множества, любые нигде не плотные множества. Приведем пример, когда все подмножества пространства являются просто-открытыми.

Пример 1.1.2. Пусть X = N, то-есть X есть множество всех натуральных чисел, и пусть F - ультрафильтр на этом множестве, не содержащий конечных множеств. Зададим на X топологию Т следующим

образом: Г = Нетрудно убедиться в том, что все подмножества

пространства (х,т) являются просто-открытыми множествами.

Множество первой категории может не быть го-множеством.

Пример 1.1.3. Множество всех рациональных точек отрезка [0;1], очевидно, не является го-множеством.

Определение 1.1.4. (Ы.Ьеуте [43]). Множество а в топологическом пространстве X называется полуоткрытым, если существует такое открытое множество о, что о с а с [о]. Дополнение к полуоткрытому множеству называется полузамкнутым.

Промежуточное положение между просто-открытыми и полуоткрытыми множествами занимают множества, которые мы здесь назовем гго-множествами.

Определение 1.1.5. Просто-открытое множество А в топологическом пространстве X называется гго-множеством, если оно содержит непустое открытое множество.

М. Оаг^ег, 1.Ь.ЫеШу и М.К.УашапшийЬу в [38] показали, что подмножество Б пространства (Х,Т) является просто-открытым тогда и только тогда, когда оно есть пересечение полуоткрытого и полузамкнутого множеств пространства (Х,Т).

Разные авторы называли также просто-открытые множества полулокально замкнутыми и ИОВ-множествами.

Некоторые авторы (в частности, Т.Иоиг) называют канонические открытые (канонические замкнутые) множества регулярно-открытыми (соотв.,регулярно-замкнутыми), то-есть подмножество 8 пространства (Х,Т) называется регулярно-открытым (соотв., регулярно-замкнутым ), если 8=т1:[8] (соотв., 8=[1Щ 8]. По этой причине подмножество 8 пространства (Х,Т) называется полурегулярным, если существует такое каноническое открытое множество и, что 11с 8 с [II].

Согласно [38] подмножество S пространства (Х,Т) называется локально замкнутым, если S=OnF, где О есть открытое, а F - замкнутое подмножества пространства (Х,Т)

Определение 1.1.6. Подмножество S пространства X называется квазиоткрытым, если Sc [int S],

а-множеством [57], если Scint[int S], предоткрытым, если Sc int [S], полу-предоткрытым, если Sc [int [S]],

S-предоткрытым, если S предоткрыто и S=OnB, где О есть открытое множество и int B=int [int В].

Дополнение полуоткрытого (соотв., локально замкнутого) множества S называется полузамкнутым (соотв., ко-локально замкнутым) множеством.

Иначе говоря, S полузамкнуто (соотв., ко-локально замкнуто), если int (cl S)cS (соотв., S=OuF, где О открыто, а F замкнуто и nwd).

Семейства полуоткрытых, полузамкнутых, локально замкнутых множеств и а-множеств в (Х,Т) , будут обозначаться соответственно через SO(X,T), SC(XT), LC(XT), и Та. Njasted [53] показал, что Та есть топология на X со следующими свойствами: Тс Та, и S е Та тогда и только тогда, когда всякое nwd-множество в (Х,Т) замкнуто.

Мы не упоминаем здесь некоторые другие обобщения открытых множеств, встречающиеся в литературе. Это, в частности, полу-локально замкнутые множества, NDB-множества. Оказалось, что эти множества совпадают с просто-открытыми.

В основном мы будем рассматривать три следующих класса обобщенно-открытых множеств:

- so-множества, или просто-открытые множества;

- гго-множества;

- полуоткрытые множества.

Перейдем к рассмотрению класса просто-открытых множеств.

Предложение 1.1.7. Каждое открытое множество есть го-мно -жество.

Очевидно.

Предложение 1.1.8. Каждое замкнутое множество Б есть го-множество.

Действительно, Р=1п1(Т) и Рг(Р) и Рг(Б) нигде не плотно.

Предложение 1.1.9. Множество Б есть го-множество тогда и только тогда, когда Рг(8) нигде не плотно.

См., например, Я. [24].

Предложение 1.1.10. Множество 8 является го-множеством тогда и только тогда, когда оно является разностью замкнутого и нигде не плотного множества.

Предложение 1.1.11. Произведение двух го-множеств есть го-множество.

Доказательство. Пусть 8, и 82- два го-множества, 81=0,иЫ1, 8 2 =0 2 и N 2, где О,, 02 - открытые множества, аЫ,, нигде не плотны. Тогда, очевидно,

5, х52 = (0, иЛГ )х(02 иЛГ2) = (0, х02)и(<9, х 02)и (ЛГ, х Ы2).

В правой части первое из произведений есть открытое множество, а остальные три нигде не плотны, так как произведение двух множеств, одно из которых нигде не плотно, есть нигде не плотное множество.

I

Лемма 1.1.12. (М.ОагЫег, РЯеНу, М.К.УашапашийЬу [38]) Пусть (Х,Т) - пространство и 8сХ. Тогда 8 есть просто-открытое множество,

если 8 есть пересечение полуоткрытого и полузамкнутого помножеств в пространстве X.

Предложение 1.1.13. Пусть 8 - просто-открытое, а О - открытое множество в пространстве (Х,Т). Тогда 8 п О есть просто-открытое множество.

Доказательство. Согласно Лемме 1.1.12, 8=ОпР, где в есть полуоткрытое, а Б - полузамкнутое подпространство пространства (Х,Т). Тогда 8пО=(ОпО)пР, но мы знаем, что пересечение открытого и полуоткрытого множеств полуоткрыто, из чего и следует справедливость данного утверждения.

Предложение 1.1.14. Пусть 8 - просто-открытое, а О, - открытое множество в (Х,Т). Тогда 8иО, есть просто-открытое множество.

Доказательство. Согласно определению 1.1.2, 8=0где 02-открытое множество, а N есть гт^-множество. Следовательно, 8 и О 2 =(0, и О 2) иЫ, что и доказывает наше утверждение.

Тем же путем, каким было доказано Предложение 1.1.13, можно доказать следующее утверждение

Предложение 1.1.15. Пусть 8 - просто-открытое подмножество пространства (Х,Т). Тогда существует такое нетривиальное открытое подмножество О, что 8с=с1 О.

Доказательство. Согласно Лемме 1.1.12, 8=0 пР, где в -полуоткрыто, а Р - полузамкнуто в (Х,Т). Тогда 8 с в, но так как в есть полуоткрытое множество, то существует такое открытое множество О, что 0с=0сс1 О. Следовательно, 8<=с1 О.

Ясно, что всякое открытое (соотв., п\¥с1) подмножество пространства (Х,Т) является полуоткрытым (соотв., полузамкнутым), и это доказывает следующее утверждение

Предложение 1.1.16. Если S - просто-открытое подмножество пространства (Х,Т), то S есть объединение полуоткрытого и полузамкнутого подмножеств пространства (Х,Т).

Andrijevic [20] заметил, что SO(X,T)=SO(X,Ta) и что NcX есть nwd в (X, Та) тогда и только тогда, когда N есть nwd в (Х,Т). Таким образом, мы имеем следующее предложение

Предложение 1.1.17. Если S есть просто-открытое подмножество пространства (Х,Т), то X является просто-открытым в пространстве (X, Г).

ТЕОРЕМА 1.1.18. Пусть S - подмножество пространства (Х,Т) Тогда следующие условия эквивалентны:

(a) S есть so-множество;

(b) Int [S] с [int (S)].

Доказательство, (а) => (Ь) По лемме 1.1.12 S = GnF где G -полуоткрытое, а F- полузамкнутое множества. Тогда int [S] с int [F] с F , следовательно int [S] с int F .Так как Sc G с [int G] то [S] с [int G] следовательно, int [S] c[S] с [int G] .Поэтому из int [S] с int F и int cl [S] с cl [int G] мы имеем int [S] с ([int G] n int F) с [int G n int F] = [int (GnF)] = [int S],

(b)->(a) Имеем int [S] с [int S]. Докажем, что S есть просто-открытое множество. Пусть S =0 U N, где 0= int S и N=S\int S. Очевидно, О есть открытое множество, нам надо доказать, что N нигде не плотно. Так как NcS, то int[N]c int[S] с [int S], но (int Sn[N])c[NnintS]=[0]=0. Тогда int Sn[N]=0. Следовательно, int Snint[N]=0 и int[N] n [intS]=0. Ho int[N]<=[intS], поэтому int[N]=0. Теорема доказана.

ТЕОРЕМА 1.1.19. Дополнение к просто-открытому множеству есть просто-открытое множество.

Доказательство. Пусть A =OuN .Тогда Ас = Ос п № for Nc . Тогда N есть нигде не плотное множество. Тогда дополнение к этому нигде не плотному множеству имеет плотную внутренность, тогда cl int ( N) =Х, тогда мы имеем Int cl Nc с X = cl int (N)c , тогда Int cl (N)c с cl int (N)c ,

тогда по Теореме 1.1.12 мы получаем, что № есть просто-открытое

р

множество. Очевидно, О замкнуто, следовательно, полузамкнуто.

р

Положим О = В. Для каждого подмножества В пространства X мы имеем В= В n X но В полузамкнуто и X открыто и, следовательно, полуоткрыто. Итак, мы можем представить В как пересечение полуоткрытого и полузамкнутого множеств. Тогда В = 0е есть просто-

с с

открытое множество согласно [34]. Итак, оба множества О и N являются просто-открытыми. Но пересечение двух просто-открытых множеств есть просто-открытое множество. Следовательно, Ас = 0е п № просто-открыто. Итак, дополнение к просто-открытому множеству просто-открыто.

Следствие 1.1.20. Множество S есть so-множество тогда и только тогда, когда оно является разностью замкнутого и нигде не плотного множеств.

Доказательство. X \ S есть so-множество. Пусть X \ S=OuN, где О открыто, N нигде не плотно. Тогда S= X \ (OuN)=(X \ О) \ N.

Предложение 1.1.21. Разность Si\S2 двух so-множеств S, и £2есть so-множество.

Доказательство. Нетрудно доказать данное утверждение представив множества 5, и S2 в виде S, = О, u TV, и S2 = 02 u N2, где 0] и 02 - открытые,

а ¿V, и ■ нигде не плотные множества и убедившись в том, что разность двух открытых множеств, разность двух нигде не плотных и разность открытого и нигде не плотного множеств являются во-множествами. Однако, проще воспользоваться тем, что пересечение двух эо-множеств есть во-множество: 5, \ 52 = 5, п (X \ 52).

ТЕОРЕМА 1.1.22. Каждое Бо-множество обладает свойством Бэра.

Доказательство. Пусть А - просто-открытое множество, А=ОиМ Тогда А А О = (А-О)и (О-А) = ( п Ос) и (О п (Ои1Ч)с) = ( (Ои1Ч)

Г) 0е) и (О п (0е= [(О п 0е ) и (N п 0е) ] и [ (О п Ос)п№)] = [ 0 и ( N п 0е) ] и [ 0 о № ] = (И п 0е) и ( 0 ) = N п Ос. Теперь мы имеем АДО = N00 с Ы, но N нигде не плотно, а всякое подмножество нигде не плотного множества нигде не плотно. Тогда А А О есть нигде не плотное множество, следовательно, множество первой категории. Таким образом, для каждого просто-открытого множества А существует текое открытое множество О, что АДО есть множество первой категории. Следовательно, А обладает свойством Бэра.

(Отметим, что утверждения 1.1.19 и 1.1.22 известны в других формулировках. Мы их приводим здесь для полноты изложения)

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Аль Баяти Джелал Хатем Хуссейн, 2013 год

ЛИТЕРАТУРА

[1] Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. -М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009.

[2] Александров П.С. О некоторых результатах в теории топологических пространств, полученных за последние 25 лет. УМН 15, вып. 2 (1960), 25-95.

[ 3 ] Александров П.С., Федорчук В.В. Основные моменты в развитии теоретико-множественной топологии. Успехи математических наук, 1968, 33, №3, 3-48.

[4] Александрян P.A., Мирзаханян Э.А. Общая топология. - М.: Высшая школа, 1979.

[ 5 ] Архангельский A.B. Об одном классе пространств, содержащем все метрические и все локально бикомпактные пространства. Матем. сб., 67(109), №1,1965, 55-85.

[6] Архангельский A.B. Отображения и пространства. УМН 21, вып. 4(130), (1966), 133-184.

[7] Архангельский A.B., Пономарев В.И. Основы общей топологии в задачах и упражнениях. М.: Наука, 1974.

[8] Архангельский A.B. Пространства функций в топологии поточечной сходимости и компакты. Успехи математических наук, т 39, вып. 5(239), 1984, 11-50.

[9] Архангельский A.B. Некоторые последние достижения и открытые проблемы в общей топологии. УМН 52, вып.5(317), (1997), 47-70.

[ 10 ] Клюшин В.Л. Паракомпактность и счетная паракомпактность. Вестн. МГУ, сер. Матем. 1(1963), 35-38.

[ 11 ] Клюшин В.Л. О совершенных отображениях паракомпактных пространств. ДАН СССР, 1964, 159, №4, 734-737.

[12] Куратовский К. Топология. М.: МИР, 1966.

[ 13 ] Малыхин В.И., Пономарев В.И. Общая топология - Итоги науки, т. 13, М.: ВИНИТИ, 1975, 149-229.

[14] Федорчук В.В., Филиппов В.В. Общая топология. Основные структуры. М.: ФИЗМАТ ЛИТ, 2006.

[15 ] Федорчук В.В. Об ©-отображениях паракомпактных пространств. Вестн. МГУ, сер. Матем. 2(1963), 20-24.

[16] Abd-El-Monsef М.Е., El-Deeb S.N., Mahmoud R.A. р-open and p-continuous mappings. Bull. Fac. Sci. Assiut. Univ., 12(1983), 70-90.

[ 17 ] Al-Zoubi K.Y. s-expandable spaces. Acta Math. Hungar., 102(2004), 203-212.

[18] Al-Zoubi K.Y. S-paracompact spaces. Acta Math. Hungar. 110(1-2) (2006), 165-174.

[19] Andrijevic D. Semi-preopen sets. Mat. Vesnik, Vol. 38, No. 1(1986), Pp.24-32.

[20] Andrijevic D. Some properties of the topology of a-sets. Mat. Vol. 36 (1984), 1-10.

[21] Arya S.P., Bhamini M.P. On some sub-classes of the class of semy-continuous functions. Nat. Acad. Sci. Letters 10 (1982), 341-343.

[22] Arya S.P., Nour T.M. Characterisations of s-normal spaces. Indian J. Pure Appl. Math., 21 (1990), 717-719.

[23] Bhattacharya P. and Lahiri Lahiri B.K. Semi-generalized closed sets in topology. Indian J. Math., 29(1987), 375-382.

[24] Biswas N. On some mappings in topological spaces. Bull. Cal. Math. Soc. 61(1969), 127-135.

[25] Bledsoe W.W. Neighbourly functions. Proc. Amer. Math. Soc. 3 (1972), 114-115.

[26] Borsic J. Products of simply continuous and quasicontinuous functions. Mathematica slovaca, Vol. 45 (1995), No 4, 445-452.

[27 ] Chattopadhyay C., Bandyopadhyay C. On structure of 5-sets. Bulletin of Calcutta Mathematical Society, 83 (1991), 281-290.

[28 ] Chattopadhyay C. On strongly pre-open sets and a decomposition of continuity. Matematichki Vesnik, 57, 3-4 (2005), 121-125.

[29] Crossley S.G., Hildebrand S.K. Semi-closure. Texas J. Sci., 22 (1971), 99-112.

[30] Crossley S.G., Hildebrand S.K. Semi-topological properties. Fund. Math. 74 (1972), 233-254.

[31] Di Maio G., Noiri T. On s-closed spaces. Indian J. Pure Appl. Math., 18 (1987), 226-233.

[32] Dlaska K., Ergun N. and Ganster M. Countably S-closed spaces. Math. Slovaca, 44(1994),337-348.

[33] Dobos J. Simple continuity and cliquishness. Casopis pro pestovani matematiky, Vol. 112 (1987), No.4, 355-358.

[34] Dowker C.H. On countably paracompact spaces. Canad. J. Math. 1 (1951), 219-224.

[35] Engelking R. General Topology,revised and completed edition. Heldermann Verlag (1989).

[36] Ewert J. Weak forms of continuity, quasi-continuity and cliquishness with respect to two topologies. Glasnik Matematicki 21 (1986), 179-180.

[37] Fort M.K. Points of continuity of semicontinuous functions. Public. Math. Debrecen 2 (1951), 100-102.

[38] Ganster M., Reilly I., Vamanamurthy M.K. Remarks on locally closed sets. Mathematica Pannonica, 3(2), (1992), 107-113.

[39] Ganster M. Pre-open sets and resolvable spaces. Kyungpook Math. J.. 27(1987), 135-143.

[40] Gentry K.R., Hoyle H.B. Somewhat continuous functions. Czech. Math. J. 21 (1971), 5-12.

[41] Jankovic D.S. A note on mappings of extremally disconnected spaces. Acta Math. Hungar., 46(1985), 83-92.

[42] Kempisty S. Sur les fonctions quasicontinues. Fund. Math. 19 (1932), 184-197.

[43] Levine N. Semi-open sets and semi-continuity in topological spaces. Amer. Math. Monthly. 70 (1963), 36-41.

[44] Levine N. A decomposition of continuity in topological spaces. Amer. Math. Monthly. 68 (1961), 44-46.

[45] Lee J., Piotrowski Z. On Kempisty's generalized continuity. Rendiconti del circolo Matematico di Palermo. Seria 11. 34(1985), 2-7.

[46] Li P.-Y., Song Y.-K. Some remarks on S-paracompact spaces. Acta Math. Hungar., 118 (4) (2008), 345-355.

[47] Marcus S. Sur les fonctions quasicontinues au sens de S.Kempisty. Col. Math. 8 (1961), 47-53.

[48] Mashour A.S., Abd-El-Monsef M.E. and El-Deeb. On precontinuous and weak precontinuous mappings. Proc. Math, and Phys. Soc. Egypt, 51(1981).

[49] Michael E. A note on paracompact spaces. Proc. Amer. Math. Soc. 4 (1953), 831-838.

[50] Michael E. Another note on paracompact spaces. Proc. Amer. Math. Soc. 8 (1957), 822-828.

[51] Neubrunn T. Quasi-continuity. Real Analysis Exchange. Vol.14 (1988-1989).

[52] Neubrunn T. A generalized continuity and product spaces. Math. Slovaca 26 (1976), 97-99.

[53] Neubrunnova A. On certain generalizations of the notion of continuity. Matematicky Casopis, vol.23 (1973), №4, 374-380.

[54] Neubrunnova A. On quasi-continuous and cliquish functions. Cas. Pëst. Mat. 99 (1974), 109-114.

[55] Neubrunnova A. On transfinite sequences of certain types of functions. Acta F.R.N. Univ. Comen. - Mathtmatica XXX, 1975.

[56] Neubrunnova A. On transfinite convergence and generalized continuity. Math. Slovaca 30 (1980), 51-56.

[57] Njastad O. On some classes of nearly open sets. Pacific J. Math. 15 (1965), 961-970.

[58] Oxtoby J.C., Ulam S.M. On the equivalence of any set of first category to a set of measure zero. Fund. Math., 31 (1938).

[59] Reilly I.L., Vamanamurthy M.K. On a-continuity in topological spaces/ Acta Math. Hungar., 45(1985), 27-32.

[60] Sierpinski W. Sur la dualité entre la première catégorie et la mesure nulle. Fund. Math., 22 (1934).

[61] Singal M.K., Arya S.P. On M-paracompact spaces. Math. Ann. 181 (1969), 129-133.

[62] Sorgenfrey R.H. On the topological product of paracompact spaces. Bull. Amer. Math. Soc. 53 (1947), 631-632.

[63] Steen L.A., Seebach J.A. Counterexamples in Topology. SpringerVerlag (Berlin, 1978).

[64 ] Stone A.H. Paracompactness and product spaces. Bull. Amer. Math. Soc. 54(1948), 977-982.

[65] Szpilrajn-Marczewski E. On the equivalence of some classes of sets. Fund. Math., 30 (1938).

[66] Velicko N.V. H-closed topological spaces. Amer. Math. Soc. Transi., 78(1968), 103-118.

[67] Viglino Giovanni. C-compact spaces. Wesleyan University.

[68] Xun Ge. Mappings on S-paracompact spaces. Acta Universitatis Apulensis. No 19(2009), 197-202.

Работы автора, опубликованные по теме диссертации

[69] Jalal Hatem Hussein. On SO-continuous function. Proceedings of 3-rd Scientific conference of college of science. University of Baghdad, 24-26, March 2009.

[70] Джелал Хатем Хуссейн Аль-Баяти. Некоторые результаты о просто-непрерывных функциях. Вестник РУДН. Серия Математика, Информатика, Физика. 1(2012), 9-13.

[71] Клюшин B.JL, Джелал Хатем Хуссейн Аль-Баяти. О просто-открытых множествах. Вестник РУДН. Серия Математика, Информатика, Физика. 3(2011), 34-38.

[72] AI Bayati Jalal Hatem Hussein. On simply paracompact spaces. Alexandroff Readings International Topological Conference Moscow (Russia) May 21-25, 2012. Сборник тезисов Alexandroff Readings, c.9

[73] Weak and strong forms of so-continuous functions. Special volume under the title: Сборник тезисов «Selected papers of the International Conference on Topology and its Applications». Technological Education Institute of Messolonghi. 2010, 86-91.

[74] В.Л.Клюшин, Аль Баяти Джелал Хатем Хуссейн. Топологическое удвоение so-множеств и продолжение отображений. Тезисы Международной конференции, посвященной 90-летию со дня рождения Л.Д.Кудрявцева. Москва, 2013.