Применение вариационного принципа к расчёту электродинамических характеристик волноводных антенн с импедансным фланцем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, кандидат физико-математических наук Щербинин, Всеволод Владиславович

• Щербинин, Всеволод Владиславович
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Щербинин, Всеволод Владиславович

Введение

I Характеристики согласования и взаимной связи элементов волноводной антенной решетки с импедансным фланцем

1.1 Постановка задачи.

1.2 Получение интегральных уравнений.

1.3 Построение стационарного функционала задачи.

1.4 Расчётные формулы.

1.4.1 Плоский волновод.

1.4.2 Коаксиальный волновод.

1.4.3 Круглый волновод.

1.4.4 Прямоугольный волновод.

1.5 Оценка применимости предложенного метода.

1.5.1 Сравнение с опубликованными данными.

1.5.2 Экспериментальная проверка.

1.6 Влияние импеданса фланца на характеристики согласования и взаимной связи

1.6.1 Характеристики согласования и взаимной связи решётки плоских волноводов

1.6.2 Характеристики согласования и взаимной связи решётки круглых волноводов.

1.6.3 Характеристики согласования и взаимной связи решётки прямоугольных волноводов.

1.7 Выводы к главе I.

II Диаграмма направленности и мощность излучения волновода с импедансным фланцем

2.1 Постановка задачи.

2.2 Нахождение плотности потока энергии в дальней зоне

2.3 Интегральное уравнение и стационарный функционал для вспомогательной задачи.

2.4 Вариационный принцип.

2.5 Расчётные формулы.

2.5.1 Плоский волновод.

2.5.2 Коаксиальный волновод.

2.5.3 Круглый волновод.

2.5.4 Прямоугольный волновод.

2.6 Численные результаты.

2.6.1 Сравнение с опубликованными данными.

2.6.2 Диаграмма направленности и мощность излучения коаксиального волновода.

2.6.3 Диаграмма направленности и мощность излучения круглого волновода.

2.6.4 Диаграмма направленности и мощность излучения прямоугольного волновода

2.7 Выводы к главе II.

III Возбуждение поверхностных волн волноводной апертурой вдоль импедансного фланца

3.1 Постановка задачи.

3.2 Вывод формул для компонент потенциалов.

3.3 Расчётные формулы.

3.3.1 Коаксиальный волновод.

3.3.2 Круглый волновод.

3.3.3 Прямоугольный волновод.

3.4 Численные результаты.

3.4.1 Коаксиальный волновод.

3.4.2 Круглый волновод.

3.4.3 Прямоугольный волновод.

3.4.4 Проверка физической непротиворечивости развитого метода.

3.5 Выводы к главе III.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Применение вариационного принципа к расчёту электродинамических характеристик волноводных антенн с импедансным фланцем»

Невыступающие антенны в виде открытого конца волновода с фланцем получили широкое практическое применение в радиотехнике СВЧ - как в качестве самостоятельных излучателей, так и в составе много-элементых решёток [1-5], — что определяет интерес к разработке теоретических методов нахождения различных электродинамических характеристик таких антенн.

Электродинамические характеристики антенн могут быть найдены в том случае, если известны амплитуды компонент электромагнитного поля в различных точках пространства либо соотношение между этими амплитудами. Для расчёта амплитуд поля необходимо использовать математический аппарат теории дифракции.

Математические проблемы, возникающие при описании дифракционных явлений, относятся к наиболее сложным в теории электромагнитных волн и их редко удается решить строго. Граничные задачи дифракции имеют точное решение лишь для ограниченного круга простых постановок (в основном двумерных). В большинстве практически интересных случаев обычно прибегают к приближенным методам [6], например, основанным на использовании принципа физической оптики. Кроме того, при исследовании рассеяния электромагнитных волн граничные поверхности обычно полагают идеально проводящими [7-10].

Электродинамические характеристики невыступающих волноводных антенн могут быть найдены в результате решения соответствующих граничных задач. Наиболее часто такие задачи решаются методом интегральных уравнений [11,12]. В этом случае с использованием граничных условий сшивания касательных составляющих электрического и магнитного поля на раскрывах волноводов, входящих в рассматриваемую антенну, строится система неоднородных интегральных уравнений относительно касательной составляющей электрического поля в плоскости металлического фланца. Точное аналитическое решение полученной системы уравнений в замкнутой форме не найдено, в связи с чем используются различные приближённые методы. Наибольшее распространение получили метод моментов [13,14] и вариационный метод [15].

Основная идея метода моментов состоит в разложении искомой функции в бесконечный абсолютно сходящийся ряд по некоторому базису. Разлагая затем правую (известную) часть системы интегральных уравнений в ряд по базису пробных функций, удаётся получить бесконечную систему линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов разложения. При решении граничных задач дифракции в качестве набора пробных функций обычно выбирают базис, по которому осуществлялось разложение искомой функции — такой вариант метода моментов получил название метода Галёркина [13].

Сходимость ряда позволяет ограничить порядок системы линейных уравнений, после чего она может быть решена любым известным способом - например, методом Гаусса. Чем выше порядок рассматриваемой системы линейных уравнений, тем меньше методическая погрешность, причём для оценки последней существуют специальные формулы. Возможность оценки погрешности решения является основным достоинством метода моментов.

Ещё одним достоинством метода моментов является то, что по найденному распределению касательной составляющей электрического поля в плоскости фланца удаётся найти характеристики согласования антенны и распределение поля в пространстве с использованием принципа Гюйгенса-Кирхгофа [16].

Недостатками метода являются, во-первых, достаточно громоздкие математические выкладки, необходимые для получения расчётных выражений; во-вторых, большой объём компьютерных вычислений, необходимых для нахождения компонент поля, зависящий от скорости сходимости рядов, и, т. о., от выбора базиса пробных функций. Чаще всего в качестве пробных функций используют собственные функции соответствующей граничной задачи, либо, если получить их аналитическое представление не представляется возможным, полиномы Лежанд-ра, Якоби или Гегенбауэра, — использование этих полиномиальных базисов позволяет выполнить граничные условия на ребре в каждом члене разложения. Никаких рекомендаций общего характера по выбору какого-либо из этих базисов для решения конкретной задачи не существует.

Также определённым неудобством метода моментов является то, что общее решение для излучателей произвольной геометрии не может быть получено, что заставляет в каждом конкретном случае выводить расчётные формулы заново.

Сущность вариационного метода состоит в замене неизвестной функции, относительно которой построено интегральное уравнение, известной, которая приближённо ей соответствует [15,17]. В этом случае можно получить приближённые значения физических характеристик антенной системы, несколько отличные от точных. Применение вариационного принципа возможно в тех случаях, когда обеспечивается устойчивость функционала, связанного с искомой электродинамической характеристикой относительно первой вариации неизвестной функции, т. е. относительная погрешность решения меньше относительной погрешности задания функции.

Достоинством вариационного метода является то, что, в случае его применения к решению системы уравнений несколько упрощаются расчётные формулы и существенно экономится время на выполнение численных расчётов. Ещё одно достоинство метода состоит в том, что зачастую удаётся получить достаточно универсальные представления решений.

Основным недостатком вариационного метода является то, что погрешность полученного решения не допускает априорной оценки: на практике, как правило, приходится проводить экспериментальную проверку. Второй недостаток вариационного метода заключается в том, что при нахождении распределения полей в пространстве значение функционала необходимо вычислять заново для каждой точки, что в некоторых случаях может сделать его менее выгодным по сравнению с методом моментов с точки зрения затрат машинного времени на проведение численных расчётов.

Следует отметить, что несмотря на различие в подходах, между методом моментов и вариационным методом имеется и определённое сходство: одномодовое приближение вариационного принципа можно рассматривать как метод моментов, при котором в качестве пробных используются собственные функции, а порядок системы уравнений ограничен единицей. Специально вопрос сходства методов рассмотрен, например, в работе [18].

Помимо вариационного принципа и метода моментов определённое распространение в теории волноводных антенн получили метод частичных областей (метод сшивания) [19] и метод Винера-Хопфа [20,21], который широко применяется для решения задач дифракции на волноводах без фланцев.

Работы по изучению волноводных антенн начались в 1940-е гг. и продолжаются до настоящего времени. Наиболее активно работы по исследованию электродинамических характеристик волноводных антенн и антенных решёток с фланцем велись в 1960-70-х гг. Это определялось, в первую очередь, интенсивным развитием реактивной авиации и освоением космического пространства в этот период.

Как правило, фланцы волноводных антенн изготавливаются из металла с высокой проводимостью [5,22]. Это позволяет использовать при решении граничной электродинамической задачи приближение идеально проводящего фланца. Ещё в 1940-50-е гг. с использованием метода эквивалентных схем было проведено решение задачи о нахождении электродинамических характеристик одиночного волновода с идеально проводящим фланцем, излучающего в свободное пространство [22].

Решение более сложной задачи расчёта электродинамических характеристик одиночного волновода, излучающего в однородное диэлектрическое полупространство либо в свободное пространство через слой диэлектрика, было осуществлено несколько позднее с использованием более универсальных методов: метода моментов [23-28] и вариационного метода [29]. Также с использованием метода моментов активно исследовались вопросы излучения из волновода в плазму [30-33].

Развитие теории одиночных волноводов с идеально проводящим фланцем продолжается до настоящего времени. Большинство авторов по-прежнему склоняется к использованию различных модификаций метода моментов [34-40], однако в некоторых случаях применяются другие методы, например метод корреляционных матриц [41], метод частичных областей [42], метод Винера-Хопфа [43] и метод последовательных дифракций [44]. Два последних метода могут применяться и для случая фланца, состоящего из полуплоскостей, расположенных под разными углами.

Одновременно с теорией одиночных волноводов активно развивалась теория волноводных антенных решёток с идеально проводящим фланцем. Первоначально были решены задачи для бесконечных решёток, поскольку в этом случае все элементы равноправны, краевые эффекты отсутствуют и можно воспользоваться некоторыми упрощающими предположениями - например, теоремой Флоке. Приближение бесконечной антенной решётки является практически пригодным для нахождения характеристик излучения и взаимной связи между элементами, если волноводная антенная решётка состоит из десятков и сотен элементов. Для дальнейшего решения поставленной задачи использовался метод моментов. В работах [45,46] были рассмотрены бесконечные решётки, состоящие из расположенных вплотную друг к другу прямоугольных волноводов, излучающих в свободное пространство; в [47] получено решение для аналогичной решётки с диэлектрическими заглушками. В работе [48] рассмотрена решётка, состоящая из круглых волноводов с идеально проводящим фланцем.

Несмотря на успешное развитие методов анализа бесконечных антенных решёток, велись работы по изучению взаимного влияния излучателей в антенных системах с конечным числом элементов. Интерес к этому направлению исследований диктовался необходимостью учёта краевых эффектов в реальных антенных решётках. В конце 1960-х гг. был опубликован ряд работ, в которых на примере двух щелевых антенн [49] или раскрывов прямоугольных волноводов [50] исследовалось взаимное влияние волноводных апертур друг на друга.

Достигнутые к 1970 г. результаты позволили применить метод моментов к расчёту электродинамических характеристик решётки, состоящей из конечного числа элементов. Принципиально задача была решена в работах [51,52] для антенной системы, состоящей из плоских волноводов. В этом случае задача является двумерной, что делает выкладки относительно простыми.

Применение метода моментов к нахождению характеристик решёток, состоящих из конечного числа волноводов используемых на практике конфигураций - прямоугольных [53,54] и коаксиальных [55], - осуществлялось другими авторами вплоть до настоящего времени. Следует отметить, что в работах [45-48,52-55] рассматривались регулярные антенные решётки, расположение элементов которых образует регулярную структуру. Успешные попытки применения метода моментов для описания нерегулярных решёток весьма редки, что можно объяснить чрезвычайной сложностью выбора базисных функций и плохой сходимостью получающихся рядов. К числу немногих опубликованных работ такого рода относятся [56,57], где рассматривается конечная антенная система, состоящая из коаксиальных волноводов различных размеров.

Интерес к созданию теоретических методов расчёта электродинамических характеристих нерегулярных антенных решёток может определяться необходимостью миниатюризации антенных систем, получением диаграмм направленности специальной формы и увеличением диапазона углов сканирования [5]. Поскольку применение метода моментов для решения этой задачи в общем случае невозможно, потребовалось разработать другие методы. Из описанных в литературе следует отметить подход, использованный авторами работы [58]: для нахождения компонентов матрицы собственных и взаимных адмитансов антенной системы ими был применён метод стационарной фазы, а также применение метода частичных областей в работе [59] для анализа электродинамических характеристик конечной антенной решётки, состоящей из наклонных плоских волноводов (причём наклон элементов может быть и различным).

Для анализа нерегулярных антенных решёток может быть применён метод функций Грина, однако значительная аналитическая сложность этого метода применительно к волноводным задачам привела к тому, что случаи его использования крайне редки [60].

Несмотря на недостаточно развитые подходы к анализу нерегулярных решёток, в целом можно сдетать вывод, что к настоящему времени теория волноводных антенн и антенных решёток с идеально проводящим фланцем разработана достаточно хорошо.

Применяемые на практике антенные системы могут иметь металлический фланец с диэлектрическим покрытием. Наличие слоя диэлектрика приводит к тому, что модель идеально проводящего фланца становится неприменимой. В этом случае при постановке граничной задачи помимо условий сшивания касательных составляющих электрического и магнитного полей на раскрывах волноводов целесообразно использовать граничные условия импедансного типа на поверхности фланца вне раскрыва [61]. Классическим вариантом таких условий являются граничные условия Щукина-Леонтовича, формулировка которых была осуществлена в работах [62,63]. Некоторые альтернативные варианты граничных условий на не идеально проводящих поверхностях - в работе [64]. В данной диссертационной работе используются граничные условия Щукина-Леонтовича.

До середины 1970-х гг. задача анализа волноводных антенн с импедансным фланцем не была решена, поскольку широко применяемые в те годы на практике материалы имели низкий поверхностный импеданс и приближение идеально проводящего фланца позволяло получить решение с приемлемой для инженерных расчётов точностью.

С 1960-х годов в судо- и авиастроении стали широко применяться различные искусственные материалы. Их внедрение происходило либо в целях снижения массы конструкций при сохранении прочности (стекло- и углепластики), либо для снижения радиолокационной замет-ности (различные радиопоглощающие покрытия). Поверхностные импедансы фланцев, покрытых этими материалами, достаточно велики, что делает приближение идеально проводящего фланца непригодным. Поскольку поверхностный импеданс фланца представляет собой свободный параметр, способный оказать влияние на электродинамические характеристики волноводной антенны, возник интерес к разработке методов, позволяющих учитывать влияние импеданса фланца на электродинамические характеристики волноводных антенн и антенных решёток. Этот интерес возрос в последние годы, что связано с активно ведущимися работами по созданию т. н. метаматериалов, представляющими собой искуственные среды с практически произвольным поверхностным импедансом [65-67]. В качестве возможных эффектов, ожидаемых от внедрения высокоимпедансных покрытий, можно назвать улучшение развязки между антеннами [68,69] или изменение формы диаграммы направленности [70,71].

Построение интегрального уравнения в случае импедансного фланца затруднено тем, что касательная составляющая электрического поля в плоскости фланца описывается функцией, не являющейся финитной, что существенно осложняет построение относительно неё интегрального уравнения задачи.

В качестве финитной функции можно использовать линейную комбинацию граничных условий сшивания касательных составляющих поля и условий импедансного типа. Такой способ задания граничных условий впервые был предложен в работе [33], в которой с использованием метода моментов исследовалось излучение из плоского волновода с импедансным фланцем. В дальнейшем этот подход был развит в работах [34] (расчёт характеристик круглого волновода методом моментов) и [72] (расчёт характеристик плоского волновода с использованием вариационного принципа). Значительно позднее сходный способ записи граничных условий был использован для расчёта методом моментов характеристик излучения одиночного прямоугольного волновода с импедансным фланцем [73] и ряде других работ [74-76].

Антенные решётки с импедансным фланцем практически не изучены. Единственной известной автору работой на эту тему является [77]. Методы анализа конечных антенных решёток с импедансным фланцем не разработаны совершенно.

Таким образом можно сделать вывод, что методы расчёта электродинамических характеристик волноводных антенн и антенных решёток с импедансным фланцем к настоящему времени развиты достаточно слабо.

В данной работе рассматривается применение вариационного метода к решению задач расчёта электродинамических харакеристик волноводных антенн и антенных решёток с импедансным фланцем. Выбор вариационного метода определяется возможностью получения решений, пригодных для описания нерегулярных антенных решёток.

Цели работы

1. Развитие вариационного метода применительно к задаче нахождения электродинамических характеристик невыступающих конечных антенных решёток, состоящих из раскрывов цилиндрических полубесконечных волноводов произвольного поперечного сечения с импедансным фланцем.

2. Получение теоретических решений для волноводных антенн, построенных на основе коаксиальных, круглых и прямоугольных волноводов.

3. Расчёт электродинамических характеристик антенн и антенных решёток, анализ и физическая интерпретация полученных результатов.

4. Выявление новых и слабоизученных явлений и закономерностей в волновых процессах, происходящих в волноводных антенных решётках с импедансным фланцем, связанных с существованием поверхностных волн в такой системе.

Положения, выносимые на защиту

1. Характеристики согласования и взаимной связи элементов невы-ступающей антенной решётки, состоящей из конечного числа идентичных полубесконечных волноводов произвольного поперечного сечения с импедансным фланцем, выражаются через функционалы, стационарные относительно вариации финитных функций на раскрывах.

2. Резко осциллирующий характер зависимостям характеристик взаимной связи элементов волноводной антенной решётки от расстояния между ними и от рабочей частоты при ненулевой мнимой части поверхностного импеданса фланца придают поверхностные волны.

3. Характеристики поля излучения и поверхностной волны одиночного волновода с импедансным фланцем выражаются через функционалы, стационарные относительно вариации финитной функции на раскрыве.

4. Мощность излучения одиночного волновода с импедансным фланцем зависит от абсолютной величины и типа поверхностного импеданса фланца, геометрии волновода и частоты. При этом наличие ненулевой вещественной составляющей импеданса фланца уменьшает мощность излучения во всём диапазоне частот для обеих поляризаций. При ненулевой мнимой части поверхностного импеданса наблюдается перераспределение энергии между излучением вертикальной и горизонтальной поляризации.

5. Зависимость эффективности возбуждения поверхностной волны от частоты в пределах диапазона одномодового режима имеет немонотонный характер с максимумом, положение и величина которого зависит от геометрии волновода и поверхностного импеданса фланца.

Достоверность результатов

Достоверность первого и третьего защищаемых положений подтверждается логической и математической непротиворечивостью развитого теоретического метода.

Достоверность второго защищаемого положения подтверждается сравнением результатов расчётов для случаев существования поверхностной волны и её отсутствия. Корректность предлагаемой методики расчётов подтверждается согласием в частных случаях с теоретическими и экспериментальными результатами других авторов [25,26,40,58,73]. Полученная система интегральных уравнений задачи в частном случае решётки плоских волноводов с идеально проводящим фланцем непрерывно сходится к системе интегральных уравнений, ранее описанной By [52].

Достоверность четвёртого защищаемого положения подтверждается сравнением результатов расчётов характеристик поля излучения при различных значениях импеданса фланца. Корректность предлагаемой методики расчётов подтверждается согласием полученных результатов в частных случаях с теоретическими и экспериментальными результатами, полученными другими авторами [37,40,73].

В целом достоверность результатов подтверждается выполнением закона сохранения энергии.

Научная новизна работы

В ходе выполнения работы получило дальнейшее развитие применение вариационного принципа к решению задачи нахождения электродинамических характеристик невыступающих волноводных антенн для ненулевого стороннего импеданса фланца.

Представление граничных условий сшивания касательных составляющих полей на раскрывах волноводов и граничных условий импеданс-ного типа вне раскрывов в виде линейной комбинации электрического и магнитного полей позволило впервые построить систему интегральных уравнений для задачи излучения из конечной волиоводной антенной решётки с импедансным фланцем.

Полученная система уравнений была записана в операторной форме, что позволило обобщить метод, развитый ранее для случая одиночного волновода с импедансным фланцем [72] на случай конечной волноводной решётки. С использованием вариационного принципа в одномо-довом приближении удалось выразить характеристики согласования и взаимной связи элементов конечной волноводной антенной решётки с импедансным фланцем через построенный стационарный функционал.

На основе результатов численных расчётов установлен факт наличия взаимного влияния элементов волноводной антенной решётки с импедансным фланцем по поверхностной волне. Установлено также, что вещественный импеданс фланца улучшает развязку между элементами волноводной решётки любой геометрии.

Предложено использовать принцип взаимности для построения стационарного функционала поля излучения одиночного волновода с импедансным фланцем.

На основе результатов численных расчётов впервые исследованы энергетические характеристики поверхностных волн, существующих вдоль импедансной плоскости, возбуждаемой волноводной апертурой.

Заключение диссертации по теме «Радиофизика», Щербинин, Всеволод Владиславович

6. Результаты работы целесообразно использовать при разработке волноводных антенн и антенных решёток.

Заключение

В ходе выполнения работы получены следующие основные результаты:

1. Развит и обоснован метод расчёта характеристик согласования и взаимной связи элементов конечной антенной решётки, состоящей из идентичных полубесконечных волноводов с общим импедансным фланцем, излучающей в поглощающую плоскослоистую среДУ

2. Численно исследовано влияние поверхностного импеданса на характеристики согласования и взаимной связи элементов волноводной антенной решётки.

3. Развит и обоснован метод расчёта характеристик поля излучения одиночного полубесконечного волновода с импедансным фланцем в однородный идеальный диэлектрик.

4. Численно исследовано влияние поверхностного импеданса фланца на поле излучения.

5. Развит метод расчёта энергетических характеристик поверхностных волн, возбуждаемых волноводной апертурой вдоль фланца с реактивным импедансом.

6. Численно исследована зависимость эффективности возбуждения поверхностных волн от абсолютного значения и типа поверхностного импеданса фланца.

Полученные результаты позволяют сформулировать следующие выводы:

1. Разработанные в работе методы расчёта характеристик согласования, поля излучения и поверхностных волн пригодны для волноводов различного поперечного сечения и обеспечивают точность, достаточную для инженерных расчётов.

2. Поверхностный импеданс фланца существенно влияет на характеристики согласования и взаимной связи элементов конечной волноводной антенной решётки.

3. Существенный вклад в обеспечение взаимного влияния вносит поверхностная волна, возникающая вдоль фланца с реактивным импедансом.

4. Влияние импеданса на диаграмму направленности излучения одиночного волновода является несущественным. Мощность излучения существенно зависит от абсолютного значения и типа поверхностного импеданса.

5. Зависимость эффективности возбуждения поверхностных волн от частоты в пределах частотного диапазона одномодового режима имеет немонотонный характер.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Щербинин, Всеволод Владиславович, 2006 год

1. Левин Л. Современная теория волноводов. — М.: Иностранная литература, 1954. — 213 с.

2. Амитей Н., Галиндо В., By Ч. Теория и анализ фазированных антенных решеток. — М.: Мир, 1974. — 456 с.

3. Марков Г. Т., Сазонов Д. М. Антенны. Учебник для студентов радиотехнических специальностей вузов. — 2 изд. — М.: Энергия, 1975. 528 с.

4. Сазонов Д. М. Антенны и устройства СВЧ: Учеб. для радиотехн. спец. вузов. — М.: Высшая школа, 1988. — 432 с.

5. Антенны и устройства СВЧ. Проектирование фазированных антенных решёток: Учеб. пособие для вузов / В. С. Филиппов, JI. И. Пономарёв, А. Ю. Гринев и др.; Под ред. Воскресенского Д. И. — 2-е, доп. и перераб. изд. — М.: Радио и связь, 1994. — 592 с.

6. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Электродинамика сплошных сред. — 4 изд. — М.: Физматлит, 2001. — 656 с.

7. Зоммерфельд А. Электродинамика: Пер. с нем. / Под ред. С. А. Элькинда. — М.: Иностранная литература, 1958. — 505 с.

8. Вайнштейн Л. А. Электромагнитные волны. — 2 изд. — М.: Радио и связь, 1990. — 440 с.

9. Хёнл XМауэ А., Вестпфалъ К. Теория дифракции. — М.: Мир, 1964. 428 с.

10. Фелсен Л., Маркувиц Н. Излучение и рассеяние волн. Том 1. — М.: Мир, 1978. 547 с.

11. Фок В. А. Проблемы дифракции и распространения радиоволн. — М.: Советское радио, 1970. — 520 с.

12. Ильинский А. С., Кравцов В. ВСвешников А. Г. Математические модели электродинамики. — М.: Высшая школа, 1991. — 224 с.

13. Harrington R. F. Field Computation by Moment Methods. — N.-Y.: Macmillan, 1968.

14. Никольский В. В., Никольская Т. И. Электродинамика и распространение радиоволн: Учебное пособие для вузов. — 3 изд. — М.: Наука, 1989. 544 с.

15. Ваганов Р. Б., Каценеленбаум Б. 3. Основы теории дифракции. — М.: Наука, 1982. 272 с.

16. Ворн М., Вольф Э. Основы оптики. — М.: Наука, 1973. — 720 с.

17. Richmond J. H. On the variational aspects of the moment method // IEEE Transaction on Antennas and Propagation. — April 1991. — Vol. 39, no. 4. Pp. 473-479.

18. Mummpa P., Ли С. Аналитические методы в теории волноводов. — М.: Мир, 1974. 324 с.

19. Нобл Б. Метод Винера-Хопфа для решения дифференциальных уравнений в частных производных. — М.: Советское радио, 1962.- 280 с.

20. Вайни/тейн JI. А. Теория диффракции и метод факторизации. — М.: Советское радио, 1966. — 432 с.

21. Справочник по волноводам. Пер. с англ. / Под ред. Я. Н. Фельда.

22. М.: Советское Радио, 1952. — 432 с.

23. Compton R. Т. The admittance of aperture antennas radiating into lossy media: Technical report 1691-5: Antenna Lab., Ohio State University Research Foundation, Columbus, Ohio, March 15 1964.

24. Мишустип Б. А. Излучение из раскрыва круглого волновода с бесконечным фланцем // Изв. вузов. Радиофизика. — 1965. — Т. 8, № 6. С. 1178-1186.

25. Croswell W. Т., Rudduck R. СHatcher D. М. The admittance of a rectangular waveguide radiating into a dielectric slab j j IEEE Transaction on Antennas and Propagation. — September 1967. — Vol. 15, no. 5. Pp. 627-633.

26. Bailey M. C., Swift С. T. Input admittance of a circular waveguide aperture covered by a dielectric slab // IEEE Transaction on Antennas and Propagation. — July 1968. — Vol. 16, no. 4. — Pp. 386-391.

27. Wu C. P. Integral equation solution for the radiation from a wavewguide through a dielectric slab // IEEE Transaction on Antennas and Propagation. — November 1969. — Vol. 17, no. 6. — Pp. 733-739.

28. Hongo K. Diffraction by a flanged parallel-plate waveguide // Radio Science. 1972. - Vol. 7, no. 10. - Pp. 955-963.

29. Bodnar D. G., Paris D. T. New variational principle in electromagnetics // IEEE Transaction on Antennas and, Propagation.- March 1970. Vol. 18, no. 2. - Pp. 216-223.

30. Galejs J. Admittance of a waveguide radiating into stratified plasma // IEEE Transaction on Antennas and Propagation. — January 1965. — Vol. 13, no. 1. Pp. 64-70.

31. The input admittance of a rectangular waveguide-fed aperture under an inhomogeneous plasma: Theory and experiment / W. Croswell,

32. W. Taylor, С. Swift, С. Cockrell j j IEEE Transaction on Antennas and Propagation. — July 1968. — Vol. 16, no. 4. — Pp. 475-487.

33. Ogawa Y., Hongo K. Radiation into anisotropic plasma from flanged parallel-plate waveguide // Journal of Applied Physics. — 1974. — Vol. 45, no. 6. Pp. 2493-2496.

34. Комаров С. А. Излучение из полубесконечного волновода с импедансным фланцем // Изв. вузов. Радиоэлектроника. — 1976. — Т. 19, № 2. С. 94-99.

35. Комаров С. А. Излучение несимметричных волн из круглого волновода с импедансным фланцем // Изв. вузов. Радиоэлектроника,. 1977. - Т. 20, № 8. - С. 22-30.

36. Gajda G. В., Stuchly S. S. Numerical analysis of open-ended coaxial lines // IEEE Transaction on Mictowave Theory and Technique. — May 1983. Vol. 83, no. 5. - Pp. 380-384.

37. Baudrand H., Tao J.-W., Atechian J. Study of radiating properties of open-ended rectangular waveguides // IEEE Transaction on Antennas and Propagation. August 1988. - Vol. 36, no. 8. - Pp. 1071-1077.

38. Tsalamengas J. L., Uzunoglu N. K. Radiation properties of a flanged parallel-plate waveguide loaded with an ё—Д general anisotropic slab // IEEE Transaction on Antennas and Propagation. — March 1990. — Vol. 38, no. 3. Pp. 369-379.

39. Mongiardo M., Rozzi T. Singular integral equation analysis of flange-mounted rectangular waveguide radiators // IEEE Transaction on

40. Antennas and Propagation. — May 1993. — Vol. 41, no. 5. — Pp. 556565.

41. Serizawa H., Hongo K. Radiation from a flanged rectangular waveguide // IEEE Transaction on Antennas and Propagation. — December 2005. Vol. 53, no. 12. - Pp. 3953-3962.

42. MacPhie R. H., Zaghloul A. I. Radiation from a rectangular waveguide with infinite flange: Exact solution by correlation matrix method // IEEE Transaction on Antennas and Propagation. — July 1980. — Vol. 28, no. 4. Pp. 497-503.

43. Itoh Т., Mittra R. A new method of solution for radiation from a flanged waveguide // Proceedings of the IEEE. — July 1971. — Vol. 59, no. 7.- Pp. 1131-1133.

44. Боровиков В. А. Диффракция на открытом конце волновода с фланцем // ДАН СССР. 1974. - Т. 217, № 4. - С. 788-791.

45. Хестанов P. X. Метод последовательных дифракций в задаче об излучении из открытого конца волновода // ДАН СССР. — 1974.- Т. 219, № 3. С. 574-577.

46. Galindo V., Wu С. P. Numerical solution for an infinite phased array of rectangular waveguides with thick walls // IEEE Transaction on Antennas and Propagation. — March 1966. — Vol. 14, no. 2. — Pp. 149158.

47. Wu C. P., Galindo V. Properties of a phased array of rectangular waveguides with thin walls // IEEE Transaction on Antennas and Propagation. March 1966. - Vol. 14, no. 2. - Pp. 163-173.

48. Lee S., Mittra R. Radiation from dielectric-loaded arrays of parallel-plate waveguides // IEEE Transaction on Antennas and Propagation.- September 1968. Vol. 16, no. 5. - Pp. 513-519.

49. Amitay N., Galindo V. Characteristics of dielectric loaded and covered circular waveguide phased arrays // IEEE Transaction on Antennas and, Propagation. — November 1969. — Vol. 17, no. 6. — Pp. 722-729.

50. Borgiotti G. A novel expression for the mutual admittance of planar radiating elements // IEEE Transaction on Antennas and Propagation.- May 1968. Vol. 16, no. 3. - Pp. 329-333.

51. Mailloux R. J. Radiation and near field coupling between two collinear open ended waveguides // IEEE Transaction on Antennas and Propagation. — January 1969. — Vol. 17, no. 1. — Pp. 49-55.

52. Wu C. Characteristics of coupling between parallel-plate waveguides with and without dielectric plugs // IEEE Transaction on Antennas and Propagation. March 1970. - Vol. 18, no. 2. - Pp. 188-194.

53. Wu C. P. Analysis of finite parallel-plate waveguide arrays // IEEE Transaction on Antennas and Propagation. — May 1970. — Vol. 18, no. 3. Pp. 328-334.

54. Luzwick J., Harrington R. A reactively loaded aperture antenna array // IEEE Transaction on Antennas and Propagation. — July 1978.- Vol. 26, no. 4. Pp. 543-547.

55. Fenn A., Thiele G., Munk B. Moment method analysis of finite rectangular waveguide phased arrays // IEEE Transaction on Antennas and Propagation. — July 1982. — Vol. 30, no. 4. — Pp. 554-564.

56. Park Y. ВEom H. J., Hwang К. C. Analysis of coupling between array of open-ended coaxial lines in an infinite ground plane // IEEE Transaction on Antennas and Propagation. — August 2005. — Vol. 53, no. 8. Pp. 2768-2772.

57. Bird T. S. Mutual coupling in arrays of coaxial waveguides and horns // IEEE Transaction on Antennas and Propagation. — March 2004. — Vol. 52, no. 3. Pp. 821-829.

58. Bird Т. S. Correction to "mutual coupling in arrays of coaxial waveguides and horns" // IEEE Transaction on Antennas and Propagation. September 2005. - Vol. 53, no. 9. - Pp. 3114-3114.

59. Sharma M. G., Sanyal G. S. Admittance analysis of nonuniformly spaced phased arrays of waveguide apertures in a ground plane // IEEE Transaction on Antennas and Propagation. — May 1982. — Vol. AP-30, no. 3. — Pp. 432-437.

60. Kwon J. Y., Eom H. I. Electromagnetic transmission of an oblique waveguide array j j IEEE Transaction on Antennas and Propagation.- October 2004. Vol. 52, no. 10. - Pp. 2596-2602.

61. Bird T. S. Analysis of mutual coupling in finite arrays of different-sized rectangular waveguides // IEEE Transaction on Antennas and Propagation. February 1990. - Vol. 38, no. 2. - Pp. 166-172.

62. Марков Г. Т., Чаплин А. Ф. Возбуждение электромагнитных волн.- М.-Л.: Энергия, 1967. 376 с.

63. Мандельштам Л. И. Поли. Собр. Трудов. — М.: Издательство АН СССР, 1947. Т. 2. - 316 с.

64. Леонтович М. А. Исследования по распространению радиоволн. Сборник II. М., 1948. - С. 5.

65. Халиуллин Д. Я., Третьяков С. А. Обобщённые граничные условия импедансного типа для тонких плоских слоёв различных сред // Радиотехника и электроника. — 1998. — Т. 43, № 1. — С. 16-29.

66. Ziolkowski R. W., Engheta N. Metamaterial special issue introduction // IEEE Transaction on Antennas a,nd Propagation.- October 2003. Vol. 51, no. 10. - Pp. 2546-2547.

67. Кюркчан А. Г. Связь между антеннами в присутствии ребристых структур // Радиотехника, и электроника. — 1977. — Т. 22, № 7. — С. 1362-1373.

68. Кюркчан А. Г., Зимнов М. X. Связь между антеннами на цилиндре в присутствии ребристых структур // Радиотехника и электропика. 1985. - Т. 30, № 12. - С. 2308-2315.

69. Hansen R. С. Effects of a high-impedance screen on a dipole antenna // IEEE Antennas and Wireless Propagation Letters. — 2002. — Vol. 1, no. 1. Pp. 46-49.

70. Two-dimensional beam steering using an electrically tunable impedance surface / D. F. Sievenpiper, J. H. Schaffner, H. J. Long et al. // IEEE Transaction on Antennas and Propagation. — October 2003. — Vol. 51, no. 10. Pp. 2713-2722.

71. Комаров С. А. Вариационный принцип в задачах излучения из полубесконечного волновода с импедансным фланцем // Изв. вузов. Радиоэлектроника. 1985. — Т. 28, № 3. — С. 30-35.

72. Yoshitomi К., Sharobim Н. R. Radiation from a rectangular waveguide with a lossy flange // IEEE Transaction on Antennas and Propagation. October 1994. - Vol. 42, no. 10. - Pp. 1398-1402.

73. Yoshitomi К. Equivalent currents for an aperture in an impedance surface // IEEE Transaction on Antennas and Propagation. — November 1994. Vol. 42, no. 11. - Pp. 1554-1556.

74. Yoshitomi K. Polarization characteristics of the radiation field from an aperture in an impedance surface // IEEE Transaction on Antennas and, Propagation. — November 1996. — Vol. 44, no. 11. — Pp. 14641466.

75. Yoshitomi K. Radiation from a slot in an impedance surface // IEEE Transaction on Antennas and Propagation. — October 2001. — Vol. 49, no. 10. Pp. 1370-1376.

76. Stalzesu H. J., Shmoys J., Hessel A. Surface impedance method for the analysis of phased arrays with a lossy ground plane // Radio Science.- 1987. Vol. 22, no. 3. - Pp. 323-333.

77. Сушкевич В. И. Нерегулярные линейные волновые системы. — М.: Советское радио, 1967. — 295 с.

78. Бреховских Л. М. Волны в слоистых средах. — М.: Наука, 1973. — 342 с.

79. Комаров С. А., Щербинин В. В. Характеристики согласования конечной волноводной решетки с импедансным фланцем при излучении в слоистую среду // Известия Алтайского государственного университета,. — 2003. — № 1. — С. 78-81.

80. Komarov S. A.,- Scherbinin V. V. A flange impedance influence on finite waveguides array mutual coupling // 2005 IEEE Antennas and

81. Propagation Society International Symposium (July 3-8, Washington, DC, USA) Proceedings. Vol. ЗА. - 2005. - Pp. 741-744.

82. Фуско В. СВЧ Цепи. Анализ и автоматизированное проектирование.- М.: Радио и связь, 1990. 288 с.

83. Справочник по специальным функциям / Под ред. М. Абрамовича, И. Стиган. М.: Наука, 1979. - 832 с.

84. Завьялов А. С., Бабина М. Н., Дунаевский Г. Е. Измерение параметров элементов СВЧ трактов. — Томск: Издательство ТГУ, 1983.- 133 с.

85. Электрические свойства полимеров / Под ред. Б. И. Сажина. — JL: Химия, 1986. 224 с.

86. Комаров С. А., Щербинин В. В. Входной адмитанс волновода с импедансным фланцем при излучении в плоскослоистую среду // Известия Алтайского государственного университета. — 1997. — № 1. С. 47-50.

87. Комаров С. А., Щербинин В. В. Излучение из круглого полубесконечного волновода с импедансным фланцем // Известия Алтайского государственного университета,. — 1999. — № 1. — С. 68-70.

88. Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф. Специальные функции. Формулы, графики, таблицы. — М.: Наука, 1977. — 344 с.

89. Федорюк М. В. Метод перевала. — М.: Наука, 1977. — 368 с.

90. Айзенберг Г. 3. Антенны ультракоротких волн. — М.: Радио и связь, 1957. 698 с.

91. Современные проблемы антенно-волноводной техники / Под ред. А. А. Пистолькорса. — М.: Наука, 1967. — 215 с.

92. Комаров С. А., Щербинин В. В. Вариационный принцип в задаче возбуждения поверхностных волн волноводом с импедансным фланцем // Ползуновский вестник (г. Барнаул). — 2005. — № 2. -С. 194-196.

93. Зоммерфелъд А. Дифференциальные уравнения в частных производных физики. — М.: Иностранная литература, 1950. — 456 с.

94. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. Специальные функции. — М.: Наука, 1983. — 752 с.