Рассеяние электромагнитных волн на импедансном экране с системой прямоугольных углублений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, кандидат физико-математических наук Баранчугов, Юрий Александрович

• Баранчугов, Юрий Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Баранчугов, Юрий Александрович

Введение

I Обзор методов решения задач рассеяния

II Дифракция электромагнитной волны на прямоугольном углублении в импедансном экране

2.1 Постановка задачи.

2.2 Выражения для электрического и магнитного полей.

2.2.1 Формулировка краевой задачи.

2.2.2 Поле в верхнем полупространстве.

2.2.3 Возбуждение плоского закороченного волновода с импедансными стенками

2.3 Интегральные уравнения задачи.

2.3.1 Введение вспомогательной финитной функции полей

2.3.2 Вывод интегральных уравнений.

2.3.3 Операторная запись интегральных уравнений.

2.4 Поле в дальней зоне излучения.

2.5 Вариационный метод

2.5.1 Получение стационарного функционала.

2.5.2 Вертикальная поляризация.

2.5.3 Горизонтальная поляризация.

2.6 Метод моментов.

2.6.1 Разложение вспомогательной функции.

2.6.2 Вертикальная поляризация.

2.6.3 Горизонтальная поляризация.

2.7 Сравнительный анализ решения.

2.7.1 Аналитические выражения.

2.7.2 Численные результаты

2.8 Анализ диаграмм направленности рассеянного поля в дальней зоне.

2.9 Выводы по Главе II

III Решение ИУ для задачи рассеяния на неограниченном ряде углублений

3.1 Постановка задачи.

3.2 Построение интегральных уравнений.

3.3 Построение бесконечной СЛАУ.

3.4 Моделирование поворотно-поляризационной поверхности и полосового фильтра.

3.4.1 Анализ численных результатов.

3.5 Выводы по Главе III.Ill

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Рассеяние электромагнитных волн на импедансном экране с системой прямоугольных углублений»

Актуальность. Решения электродинамических задач рассеяния электромагнитных волн на структурах в виде прямоугольных углублений в проводящих поверхностях могут обеспечить модельные представления в задачах волнового зондирования и проектирования антенн. При волновом зондировании искусственных объектов и природных сред некоторые исследуемые структуры имеют вид линейных углублений. Примерами могут служить дефекты в металлических поверхнповоротно поляризационной поверхностиостях, протяженные траншеи на поверхности земли. В виде углублений могут выполняться невыступающие антенны, используемые на летательных аппаратах, в подводной технике и сотовой связи. Такие антенны обычно изготовлены из металла и защищены диэлектрическим слоем. В вычислительной технике широко используются оптические носители информации, которая кодируется в виде последовательности углублений на металлическом диске, покрытом слоем пластика. Это определяет интерес к исследованиям дифракции электромагнитных волн на объектах, выполненных в виде углублений в проводящем экране с диэлектрическим заполнением. Задача рассеяния на одном углублении может быть обобщена на случай их периодического ряда. Решение задачи отражения волн от периодической структуры углублений дает возможность выбора конструктивных параметров-подобных систем при создании отражателей с заданным углом поворота поляризации и поглощением. Это актуально, например, при.конструировании трансрефлекторных антенн. Подобные структуры могут применятся в качестве полосовых фильтров в приборах Раман-спектроскопии.

В решенных ранее задачах рассеяния на структурах с подобной геометрией предполагалось, что поверхность является идеально проводящей. Вместе с тем идеально проводящая поверхность не всегда достаточна при моделировании таких систем, и в ряде случаев требуется учитывать конечную проводимость. Например, металл при достаточно высоких частотах обладает конечной частотно-зависимой проводимостью, которая оказывает влияние на фазовые и энергетические характеристики электромагнитного поля и может быть учтена сторонним поверхностным импедансом. Кроме того, неидеальная структура может быть задана конструктивно специальным образом. В литературе описываются искусственные метаповерхности, обладающие аномально высоким значением импеданса. Для управления его величиной возможно включение в структуру активных элементов. В связи с этим сторонний импеданс поверхности в задачах данного класса имеет смысл вводить в качестве дополнительного параметра, в зависимости от которого могут изменяться характеристики рассеянного (отраженного) поля. Одним из подходов, который используется при рассмотрении апертурных излучателей и ленточно-щелевых структур, является применение приближенных импедансных граничных условий типа Щукина—Леонтовича.

Таким образом, актуально развитие методов, позволяющих учитывать влияние поверхностного импеданса рассеивающей структуры на характеристики дифракционного поля, и эффективных численных схем решения получаемых соотношений.

Цель диссертационной работы — развитие строгих методов решения задач дифракции плоской электромагнитной волны на проводящем экране, имеющем ряд прямоугольных углублений с диэлектрическим заполнением, при выполнении'на поверхности структуры импедансных граничных условий смешаного типа.

Научно-методическая база. При построении решений рассмотренных задач были использованы метод интегральных уравнений, вариационный метод, метод моментов, теорема Флоке, методы вычислительной математики.

Положения, выносимые на защиту:

1. Устойчивый итерационный процесс расчета дисперсионных уравнений относительно дискретного спектра собственных значений плоского волновода для произвольных значений поверхностного импеданса стенок реализуется методом Ньютона, если начальное приближение определяется путем последовательного решения данных уравнений построенным процессом при меньших значениях импеданса, начиная от аналитического решения для идеально проводящих стенок волновода.

2. Решение задачи дифракции электромагнитной волны на системе углублений в проводящем экране в виде отрезков закороченных плоских волноводов при выполнении импедансных граничных условий Щукина—Леонтовича представимо интегральными уравнениями относительно финитной функции-комбинации касательных составляющих полей на раскрывах. Использование собственных функций плоского волновода с импедансными стенками в качестве базиса разложения обеспечивает сходимость решения при возникновении резонансов волноводных мод.

3. Угловое распределение поля, рассеянного на одиночном углублении в импедансном экране, в дальней зоне выражается функционалом, стационарным относительно вариации финитных функций на рас-крыве. Возникновение резонансов мод в углублении ограничивает вариационное решение задачи, применимость которого определяется критерием: ^ тгт, где (I — глубина; 7Р — продольное волновое число р-й моды, зависимое от ширины углубления и длины падающей волны; т — целое число.

Достоверность первого положения, выносимого на защиту, подтверждается контролем сходимости построенного численного решения, совпадением результатов с аналитическим решением в случае идеально проводящих стенок волновода (до 10 знака), сохранением дискретности и полноты набора решений при импедансе стенок, отличном от нуля, сравнением полученных выражений и численных результатов с данными работы [1] (совпадение более 90%).

Достоверность второго положения определяется сходимостью численного решения с контролируемой точностью (достигаемая погрешность <1%), совпадением полученных результатов в частных случаях как аналитически, так и численно с решениями, полученными другими методами (более 95%) и качественно с результатами работ [2,3].

Достоверность третьего защищаемого положения подтверждается математическим доказательством стационарности построенных функционалов, совпадением в частном случае аналитических выражений с ' другим независимым решением, полученным при помощи метода моментов. Ограничение вариационного решения определяется видом построенного функционала, имеющего неустранимую особенность в знаменателе выражения. Достоверность ограничения подтверждается проведенным сравнением результатов с полученными при помощи метода моментов (в указанных случаях расхождение более 90%). ' Кроме того, достоверность каждого из положений определяется логической непротиворечивостью-и математической строгостью разви тых теоретических методов.

Научная новизна работы. Предложен способ определения начального приближения для применения итерационного метода Ньютона к решению дисперсионных уравнений плоского волновода, стенки которого обладают произвольным поверхностным импедансом. Установлено, что приближенное аналитическое решение, справедливое в случае мая лого поверхностного импеданса стенок, в общем случае непригодно в качестве начального приближения для итерационного процесса.

Решены задачи дифракции плоской волны на системе прямоугольных углублений в экране с импедансной поверхностью, заполненном однородным диэлектриком, с применением метода интегральных уравнений. В задаче дифракции на одном углублении предложено использование вариационного метода и метода моментов для решения уравнений. В методе моментов в качестве базисных функций разложения искомого поля предложено использовать собственные функции плоского волновода с импедансными стенками. Вариационный метод позволяет построить стационарные функционалы, описывающие в данной задаче угловое распределение рассеянного поля в дальней зоне. Проведен сравнительный анализ диаграмм углового распределения дифрагированного поля, полученных с применением двух различных методов. Обнаружены ограничения применимости полученного вариационного решения. Для случая идеально проводящей структуры, получена аналитическая запись критерия ограничения.

На основе теоремы Флоке и развитой реализации метода моментов получено строгое решение интегральных уравнений задачи рассеяния плоской электромагнитной волны на неограниченном периодическом ряде прямоугольных углублений. Проведен численный анализ зависимостей сдвига фазы поля при отражении и- коэффициента отражения плоской волны по мощности от импедансных характеристик структуры. Построены модели частотной* зависимости реактивной части импеданса поверхности структуры, определяющие рабочий диапазон поворотно-поляризационного элемента трансрефлекторной антенны.

Научная ценность работы. Развито применение метода Ньютона для определения собственных значений плоского волновода с импедансными стенками, а также вариационного метода и метода моментов к решению задачи рассеяния плоской электромагнитной волны на системе прямоугольных углублений в импедансном экране. Показано, что вариационное решение совпадает аналитически с упрощенным вариантом метода моментов в одномодовом приближении. Рассмотренные в диссертационной работе задачи доведены до получения расчетных выражений и анализа численных результатов. Развитые методы позволяют усовершенствовать способы расчета электродинамических характеристик рассеянных полей. Результаты проведенных исследований интересны при проектировании направляющих структур волноводноготипа и совершенствовании методов обработки данных дистанционного, зондирования искусственных объектов и, природных сред, а также служат основанием, для дальнейшего развития методов решения подобных задач в теории антенн и дифракционной оптики.

Прикладное; значение работы; Обнаружены эффекты влияния поверхностного импеданса на электродинамические' характеристики- волноводного поля; и рассеянного» поля в, пространстве. Изменение величины и типа импеданса стенок плоского волновода может привести к затуханию распространяющихся мод, возбуждению новых или переходу их в поверхностные волны. Обнаружено, что при возникновении резонанса: волноводных мод построенное вариационное решение для расчета диаграммы рассеянного: поля дает значительные погрешности (в сравнений с.эталоным. решением,, полученным методом моментов, относительная погрешность, достигает 98%).

Внедрение* результатов работы. Результаты,, представленные в диссертации, используются в учебном процессе на физико-техническом факультете. Алтайского: государственного университета при выполнении; курсовых и: дипломных работ студентами-специальности "радиофизика" с 2008/09 учебного года; при разработке аппаратуры в ФГУП "БСКБ "Восток". .

Апробация результатов; работы. Результаты, полученные в ходе выполнения работы, докладывались . на Всероссийской научной конференции "Распространение радиоволн" (Йошкар-Ола, 2005), международных конференциях: "XIi/l International Conference on Mathematical Methods in Electromagnetic Theory (ММЕТ)" (Харьков, 2006), "Computational Technologies in Electrical and Electronics Engineering (SibirCon)" (Новосибирск, 2008), "Актуальные проблемы радиофизики" (Томск, 2006, 2008, 2010).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 11 печатных работ (в том числе в изданиях из реестра ВАК — 5 работ).

Заключение диссертации по теме «Радиофизика», Баранчугов, Юрий Александрович

Основные результаты работы можно сформулировать следующим образом.

1. Предложено применение метода Ньютона—-Раффсона к решению задачи возбуждения плоского волновода в случае ненулевого поверхностного импеданса стенок. На основе граничных условий смешанного типа построены трансцендентные дисперсионные уравнения относительно поперечных волновых чисел данного волновода. Разработано поэтапное определение начального приближения для применения итерационного метода. Установлено, что множество волновых чисел представляет собой дискретный спектр собственных значений, непрерывно зависящих от поверхностного импеданса.

2. Развиты строгие методы решения задач дифракции плоской волны на системе прямоугольных углублений в экране с импедансной поверхностью, заполненном однородным диэлектриком. Построены интегральные уравнения в операторной форме для вертикальной и горизонтальной поляризации поля. В задаче дифракции на одиночном углублении предложено использование вариационного метода и метода моментов. Вариационный метод позволяет построить стационарные функционалы, описывающие в данной задаче угловое распределение рассеянного поля в дальней зоне. Для определения этой характеристики при помощи метода моментов предложено в качестве базиса разложения искомого поля использовать собствен/ ные функции плоского волновода с импедансными стенками. Проведен сравнительный анализ диаграмм направленности дифрагированного поля, полученных с применением двух различных методов. Обнаружены ограничения применимости вариационного решения. Критерий ограничения для случая идеально проводящей структуры записан аналитически.

3. На основе теоремы Флоке и развитой реализации метода моментов получено строгое решение интегральных уравнений задачи рассеяния плоской электромагнитной волны на неограниченном периодическом ряде прямоугольных углублений. Проведен численный анализ зависимостей сдвига фазы поля при отражении и коэффициента отражения плоской волны по мощности от импедансных характеристик структуры. Построены модели частотной зависимости реактивной части импеданса поверхности структуры, определяющие рабочий диапазон поворотно-поляризационного элемента.

Полученные результаты позволяют сформулировать следующие выводы и рекомендации.

• Вариационное решение рассмотренной задачи имеет вид замкнутого алгебраического выражения, удобного для численных расчетов. Имеются ограничения применимости вариационного подхода при возникновении резонансных явлений внутри структуры. В предложенной реализации метод моментов позволяет избежать указанных ограничений. Разработанный способ построения решения рекомендуется использовать при расчете характеристик рассеивающей структуры, имеющей вид одиночного углубления или периодического ряда углублений в экране с произвольным сторонним импедансом.

• При наклонном падении волны на одиночное углубление величина и тип поверхностного импеданса оказывают влияние на направления и величину прямого и обратного лепестков диаграммы направленности рассеянного поля в дальней зоне. При изменении значения нормированного импеданса в пределах от — г0.1 до +г0.1 изменения углов направления лепестков достигают 20°. При нормальном падении волны величина реактивной части импеданса на направление максимума диаграммы влияния не оказывает. Варьирование значения поверхностного импеданса структуры в зависимости от рабочей частоты позволяет расширить спектральную рабочую полосу элемента.

• Автор рекомендует использовать результаты работы при исследовании влияния частотной зависимости поверхностного импеданса на электродинамические характеристики элементов СВЧ-приборов.

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Баранчугов, Юрий Александрович, 2010 год

1. Wait J. R. On the theory of shielded surface waves // IEEE Transaction on Microwave Theory and Techniques. — 1967. — Vol. 15, no. 7. — Pp. 410-414.

2. Вычислительные методы в электродинамике / Под ред. Р. Миттра.- М.: Мир, 1977. 486 с.

3. Марков Г. Т., Чаплин А. Ф. Возбуждение электромагнитных воли.- M.-JL: Энергия, 1967. 376 с.

4. Ильинский А. С., Слепли Г. Я. Колебания и волны в электродинамических системах с потерями. — М.: Издательство МГУ, 1983. — 232 с.

5. Галишникова Т. Н., Ильинский А. С. Численные методы в задачах дифракции. — М.: Издательство МГУ, 1986.

6. Park Т. J., Еот Н. J., Yoshitomi К. An analitical solution for transverse-magnetic scattering from a rectangular channel in a conducting plane // J.Appl.Phys. 1993. - Vol. 73, no. 7. - Pp. 35713573.

7. Morgan M. A., Schwering F. K. Mode expansion solution for scattering by a material filled rectangular groove // Journal of Electromagnetic Waves and Applications. — 1998. — Vol. 12. — Pp. 467-468.

8. Ismagilov F. M., Kravtsov Yu. A. Enhanced backscattering of waves reflected from a very rough surface formed by a system of open flat waveguides // Waves in Random Media. — 1992. — Vol. 2. — Pp. 203208.

9. Skigin D.C., Veremey V.V., Mittra R. Superdirective radiation from finite gratings of rectangular grooves // IEEE Transaction on Antennas and Propagation. — 1999. — Vol. 47, no. 2. — Pp. 376-383.

10. Scharstein R. W., Faircloth D. L., Keen J. M. Variational low frequency scattering by a rectangular trough in a hard ground plane // IEEE Transaction on Antennas and Propagation. — 2007. — Vol. 55, no. 12. Pp. 3656-3667.

11. Xu Y. Well-posedness of integral equations for modeling electromagnetic scattering from cavities // Radio Science. — 2008. — Vol. 43, no. RS5001. Pp. 321-327.

12. Backscattering from a two dimensional rectangular crack using fie / M. Bozorgi, A. Tavakoli, G. Monegato, et.al. // IEEE Transaction on Antennas and Propagation. — 2010. — Vol. 58, no. 2. — Pp. 552-564.

13. Вайнштейн JI.А. Электромагнитные волны. — 1 изд. — M.: Радио и связь, 1962. 440 с.

14. Миттра Р., Ли С. Аналитические методы в теории волноводов. — М.: Мир, 1974. 324 с.

15. Arora R. К., Vijayaraghavan S. Modes of propagation in a parallelplate waveguide with lossless reactive surfaces // Radio Science. — 1970. Vol. 5, no. 5. - Pp. 861-865.

16. Бичуцкая Т. И., Новиков В. В. Динамика собственных значений нормальных волн плоского волновода с импедансными стенками //

17. Известия высших учебных заведений: Радиофизика. — 1975. — Т. 18, № 1. С. 108-119.

18. Бичуцкая Т. И. О структуре поля в плоском импедансном волноводе // Известия высшего учебных заведений: Радиофизика. — 1976. Т. 19, № 3. - С. 430-447.

19. Комаров С. А., Баранчугов Ю. А., Зацепин П. М. Возбуждение плоского импедансного волновода // Известия АГУ. — 2006. — № 1. С. 121-125.

20. Баранчугов Ю. А., Щербинин В. В. Возбуждение плоского импедансного волновода с различными импедансами стенок // Изв. вузов. Физика. 2010. - № 9-2. - С. 29-32.

21. Dybdal R. В. Jr., Peters L., Peake W. H. Rectangular waveguides with impedance walls // IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques. — 1971. — Vol. 19, no. 1. Pp. 2-8.

22. Cicchetti R., Faraone A. Analysis of open-ended circular waveguides using physical optics and incomplete hankel functions formulation // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. — 2007. — Vol. 55, no. 6 Part 2. Pp. 1887-1892.

23. Борн M., Вольф Э. Основы оптики. — M.: Наука, 1973. — 720 с.

24. Богородский В. В., Козлов А. И., Тучков Л. Т. Радиотепловое излучение земных покровов. — Л.:Гидрометеоиздат, 1977. — 340 с.

25. Уфимцев П. Я. Метод краевых волн в физической теории дифракции. — М.: Советское радио, 1962. — 244 с.

26. Jlepep А. М. Дифракция коротких электромагнитных импульсов на отверстии в экране // Радиотехника и электроника. — 2000. '— Т. 45, № 4. С. 410-415.

27. Лерер А. М. Дифракция коротких электромагнитных импульсов на металлической полоске и полосковой решетке // Радиотехника и электроника. — 2001. — Т. 46, № 1. — С. 23-29.

28. Тихонов А. П., Самарский А. А. Уравнения математической физики. 5 изд. - М.:, 1977. - 742 с.

29. Silvester P. P., Chari М. V. К. Finite element solution of saturable magnetic field problems // IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems. 1970. - Vol. 89, no. 7. - Pp. 1642 - 1651.

30. Зенкевич О. Метод конечных элементов-в технике. — М.: Мир, 1975. 318 с.

31. Ferrari R. The finite-element method, part 2: P. p. silvester, an innovator in electromagnetic numerical modeling // Antennas and Propagation Magazine, IEEE. 2007. — Vol. 49, no. 3. — Pp. 216-234.

32. Комаров С.А., Якушев А. И. Рассеяние радиоволн на плоскослоистом-полупространстве с шероховатой границей // Радиотехника и электроника. — 1998. — Т. 43, № 6. — С. 650-656.

33. Зацепин П. M. Дифракция* электромагнитных волн на импеданс-ных структурах щелевого и ленточного типа: Дис. канд. ф.-м. наук: / Алтайский государственный университет. — 2002. — Научный руководитель — д.ф.-м.н., профессор С. А. Комаров.

34. Хёнл X., Мауэ А., Вестпфалъ К. Теория дифракции. — М.: Мир, 1964. 428 с.

35. Марков Г. Т., Васильев Е. Н. Математические методы прикладной электродинамики. — М.: Советское радио, 1969. — 120 с.

36. Верлань А. Ф., Сизиков В. С. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы. — Киев, 1986.

37. Колтон Д., Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния. — М.: Мир, 1987. — 182 с.

38. Васильев Е. Н. Возбуждение тел вращения. — М.: Радио и связь, 1987.

39. Ильинский А. С., Кравцов В. В., Свешников А. Г. Математические модели электродинамики. — М.: Высшая школа, 1991. — 224 с.

40. Васильева А. В., Тихонов Н. А. Интегральные уравнения. — 2 изд. — М.: Физматлит, 2002. — 160 с.

41. Зацепин П. М., Комаров С. А. Дифракция плоской волны на им-педансной ленте // Радиотехника и электроника. — 1996. — Т. 41, № 8. С. 906-910.

42. Комаров С. А., Зацепин П. М:, Машутин А. И. Дифракция электромагнитной волны на щели в импедансном экране на границе раздела // Радиотехника и электроника. — 1999. — Т. 44, № 2. — С. 173-177.

43. Комаров С.А., Зацепин П.М. Решение задачи дифракции плоской волны на импедансной ленте // Тезисы докладов на Всесо-1 юзной конференции «Распространение и дифракция радиоволн». Смоленск. — 1991.

44. Барапчугов Е. А., Зацепин П. М., Комаров С. А. Квазитрехмерная задача дифракции плоской электромагнитной волны на импеданс-ной ленте // Радиотехника и электроника. — 1998. — Т. 43, № 11.- С. 1291-1295.

45. Комаров С. А., Баранчугов Ю. А., Зацепин П. М. Дифракция плоской волны на углублении в импедансном экране // Изв. вузов. Физика. — 2006. — № 9. Приложение. — С. 40.

46. Комаров С. А., Баранчугов Ю. А., Зацепин П. М. Влияние поверхностного импеданса на характеристики излучения невыступающей антенны // Научно-технический вестник СПбГТУ. — 2008. — № 4.- С. 71-75.

47. Комаров С. А., Баранчугов Ю. А., Зацепин П. М. Рассеяние плоской волны на системе углублений в импедансном экране // Изв. вузов. Физика. 2008. - № 9-2. - С. 13-18.

48. Комаров С. А., Баранчугов Ю. А., Зацепин П. М. Вариационный метод и метод моментов в задаче рассеяния плоской волны на прямоугольном углублении в импедансном экране // Радиотехника и электроника. 2009. - Т. 54, № 7. - С. 806-815.

49. Электродинамика и распространение радиоволн / В. А. Неганов, О. В. Осипов, С. Б. Раевский, Г. П. Яровой. — М.: Радио и связь, 2005. 648 pp.

50. Леонтович М. А. Исследования по распространению радиоволн. Сборник И. М., 1948. - С. 5.

51. Байнштейн Л.А. Теория диффракции и метод факторизации. — М.: Советское радио, 1966. — 244 с.

52. Harrington R.F. Field computation by moment methods. — N.Y.: IEEE Press, 1993.

53. H.H. Калиткин. Численные методы. — М.: Наука, 1978. — 512 с.

54. Волков Е. А. Численные методы: Учеб. пособие для вузов. — 2-е изд. — М.: Наука, 1987. — 248 с.

55. Самарский A.A., Гулин A.B. Численные методы. — М.: Наука, 1989. 432 с.

56. Лифанов И. К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент (в математической физике, аэродинамике, теории упругости и дифракции волн). — М.: ТОО «Янус», 1995. — 520 с.

57. Полянин А. Д., Манжиров А. В. Справочник по интегральным уравнениям. — М.: Физматлит, 2003. — 608 с.

58. Еремин Ю. А., Свешников А. Г. Метод дискретных источников в задачах электромагнитной дифракции. — М.: Изд-во МГУ, 1992. — 182 с.

59. Кюркчан А. Г., Минаев С. А., Соловейчик А. Л. Модификация метода дискретных источников на основе априорной информации об особенностях дифракционного поля // Радиотехника и электроника. 2001. - Т. 46, № 6. - С. 666-672.

60. Кюркчан А. Г., Маненков С. А., Негорожина Е. С. Решение задачи дифракции электромагнитного поля на телах вращения при помощи модифицированного метода дискретных источников // Радиотехника и электроника. — 2006. — Т. 51, № 11. — С. 1285-1293.

61. Кюркчан А. Г., Маненков С. А., Негорожина Е. С. Моделирование рассеяния волн группой близко расположенных тел // Радиотехника и электроника. — 2008. — Т. 53, № 3. — С. 276-285.

62. Еремин Ю. А., Орлов Н. В., Свешников А. Г. Исследование дефектов силиконовых вафель методом дискретных источников // Мат. моделирование. 1997. - Т. 9, № 8. - С. 110-118.

63. Еремин Ю. А., Орлов Н. В., Свешников А. Г. Анализ математической модели загрязнений силиконовых вафель на основе метода дискретных источников // Мат. моделирование. — 1996. — Т. 8, № 10. С. 113-127.

64. Гришина Н. В., Еремин Ю. А. Анализ рассеяния света отверстием в пленке методом дискретных источников // Мат. моделирование.- 1998. Т. 10, № 5. - С. 81-90.

65. Чернокоэюин Е. В., Шестопалов Ю. В. Математические методы исследования рассеяния волн открытыми цилиндрическими структурами // Радиотехниками электроника. — 1997. — Т. 42, № 11. — С. 1299-1311.

66. Справочник по специальным функциям / Под ред. М. Абрамовица, И. Стиган. — М.: Наука, 1979. 832 с.

67. Ваганов Р. В., Каценеленбаум Б. 3. Основы теории дифракции. — М.: Наука, 1982. — 272 с.

68. Никольский В. В., Никольская Т. И. Электродинамика и распространение радиоволн: Учебное пособие для вузов. — 3 изд. — М.: Наука, 1989. 544 с.

69. Misra D. К. A quasi-static analysis of open-ended coaxial lines // IEEE Transaction on Antennas and Propagation. — 1987. — Vol. 35, no. 10.- Pp. 925-928.

70. Noninvasive electrical characterization of materials at microwave frequencies using an open-ended1 coaxial line: Test of an improved calibration technique / D. K. Misra, M. Chabbra, B. R. Epstein et al. //

71. EE Transaction on Antennas and Propagation. — 1990. — Vol. 38, no. 1. Pp. 8-14.

72. Давидович M. В. Коаксиальный зонд для контроля параметров многослойного магнитодиэлектрика: прямая и обратная задачи // Радиотехника и электроника. — 2006. — Т. 51, № 11. — С. 1308— 1315.

73. Волноводные зондовые структуры для многослойного магнитодиэлектрика: обратная задача / О. Ю. Алексеев, В. С. Борисов, М. В. Давыдович, Н. Ф. Попова // Радиотехника и электроника. — 2006.- Т. 51, № 11. С. 1316-1323.

74. Комаров С.А., Щербинин В.В. Характеристики согласования и взаимной связи элементов конечной волноводной решётки с импеданс-ным фланцем // Радиотехника и электроника. — 2007. — Т. 52, № 7. С. 773-780.

75. Комаров С. А., Баранчугов Ю. А., Зацепин П. М. Дифракция плоской волны на углублении в импедансном экране // Сборник докладов XXI Всероссийской научной конференции "Распространение радиоволн" (25-27 мая, 2005, Йошкар-Ола). 2005. - С. 214-218.

76. Карпов С. Ю., Столяров С. Н. Распространение и преобразование волн в средах с одномерной периодичностью // Успехи физических наук. 1993. - Т. 163, № 1. - С. 63-89.

77. Zinenko Т. L., Nosich A. I. Plane wave scattering and absorbtion by flat gratings of impedance strips // IEEE Transaction on Antennas and Propagation. 2006. - Vol. 54, no. 7. - Pp. 2088-2095.

78. Holzman E. L. Transreflector antenna design for millimeter-wave wireless links // IEEE Antennas and Propagation Magazine. — 2005.- Vol. 47, no. 5. Pp. 9-22.

79. Kaganovsky Y., Shavit R. Analysis of radiation from a line source in a grounded dielectric slab covered by a metal strip grating // IEEE Transaction on Antennas and Propagation. — 2009. — Vol. 57, no. 1.- Pp. 135-143.

80. Emmanouilidou Agapi, Reichl L. E. Floquet scattering and classical-quantum correspondence in strong time-periodic fields // Phys. Rev. A. Feb 2002. - Vol. 65, no. 3. - Pp. 391-405.

81. High-impedance electromagnetic surfaces with a forbidden frequency band / D. Sievenpiper, L. Zhang, R. F. Jimenez-Broas, et al. // IEEE Transaction on Microwave Theory and Techniques. — 1999. — Vol. 47, no. 11. Pp. 2059-2074.

82. Two-dimensional beam steering using an electrically tunable impedance surface / D. F. Sievenpiper, J. H. Schaffner, H. J. Long et al. // IEEE Transaction on Antennas and Propagation. — October 2003. — Vol. 51, no. 10. Pp. 2713-2722.

83. Ziolkowski R. W., Engheta N. Metamaterial special issue introduction // IEEE Transaction on Antennas and Propagation. — October 2003. Vol. 51, no. 10. - Pp. 2546-2547.

84. Silveirinha M. G., Fernandes C. A., Costa J. R. Electromagnetic characterization of textured surfaces formed by metalic pins // IEEE Transaction on Antennas and Propagation. — 2008. — Vol. 56, no. 2.- Pp. 405-415.

85. Габриэлъян Д. Д., Звездина М. Ю. Влияние импедансной поверхности кругового цилиндра на диаграмму направленности электрического диполя // Радиотехника и электроника. — 2000. — Т. 45, № 10. С. 1194-1198.

86. Каценеленбаум Б. 3. Радиолокационная защита тел с поверхностью сложной структуры // Радиотехника и электроника. — 2008. — Т. 53, № 6. С. 673-675.

87. Zatcepin P.M., Komarov S.A., Barantchugov E.A. Diffraction of a plane wave by impedance strip // International Symposium On Antennas and Propagation (ISAP'96) Proceedings (September, 1996, Chiba, Japan). 1996. - Pp. 449-452.

88. Zatcepin P.M., Komarov S.A. Diffraction of a plane wave by slit in impedance screen // International Symposium On Antennas and Propagation (ISAP'96) Proceedings (September, 1996, Chiba, Japan). 1996. - Pp. 453-455.

89. Федорюк М. В. Метод перевала. — М.: Наука, 1977. — 368 с.