Анализ излучения антенн в диэлектрических структурах методом поверхностных интегральных уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.12.07, кандидат технических наук Комаров, Алексей Александрович

• Комаров, Алексей Александрович
• кандидат технических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат технических наук Комаров, Алексей Александрович

Содержание

Введение

В.1 Краткий обзор проблемы

В.2 Общая характеристика работы

1 Тензорная функция Грина в обобщённых цилиндрических координатах

1.1 Введение

1.2 Вывод основных соотношений

1.3 Вычисление составляющих тензорной функции Грина в обобщённых цилиндрических координатах

1.4 Применение тензорной функции Грина для составления интегральных уравнений

1.5 Расчёт вторичного поля

1.5.1 Расчёт вторичного поля на конечном расстоянии

1.5.2 Расчёт вторичного поля в дальней зоне

1.6 Выводы к главе 1

2 Применение метода поверхностных интегральных уравнений к решению задач дифракции плоских электромагнитных волн на двумерных диэлектрических структурах

2.1 Дифракция плоской электромагнитной волны на прямоугольном диэлектрическом клине. Анализ численных результатов

2.1.1 Краткий обзор решений задачи дифракции плоской электромагнитной волны на диэлектрическом клине

2.1.2 Особенности реализации метода ПИУ в задаче дифракции электромагнитных волн на диэлектрическом клине

2.1.3 Вычисление первичных токов

2.1.4 Вычисление дополнительных членов в правых частях интегральных уравнений

2.1.5 Численное решение системы интегральных уравнений

2.1.6 Анализ численных результатов для нормального падения плоской волны на ребро клина

2.1.7 Сравнение с импедансным клином

2.2 Дифракция плоской электромагнитной волны на диэлектрической ступеньке. Анализ численных результатов

2.2.1 Введение

2.2.2 Методика численного решения

2.2.3 Анализ результатов расчётов для нормального падения плоской электромагнитной волны на диэлектрическую ступеньку

2.3 Выводы к главе 2

3 Расчёт поля излучения и взаимной связи щелевых антенн на идеально проводящем цилиндре, расположенном в диэлектрической области сложной формы

3.1 Постановка задачи и вывод интегральных уравнений

4

3.2 Численное решение системы интегральных уравнений

3.3 Расчёт поля излучения, коэффициентов отражения и передачи

3.4 Результаты расчётов

3.4.1 Верификация разработанной методики

3.4.2 Расчёт поля излучения и взаимной связи для прямоугольной области

3.5 Выводы к главе 3

Заключение

Список использованных источников

Приложение А Сравнение результатов расчётов поверхностного импеданса

Приложение Б Вычисление равномерных составляющих поверхностного тока для прямоугольного диэлектрического клина

Акт о внедрении результатов диссертационной работы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Анализ излучения антенн в диэлектрических структурах методом поверхностных интегральных уравнений»

Введение

В.1 Краткий обзор проблемы

В настоящее время всё более широкое применение в научной и инженерной деятельности находят универсальные программы электродинамического моделирования. На наш взгляд это вызвано несколькими причинами.

Во-первых, бурное развитие радиоэлектроники с конца 40-х гг. XX века, а в последнее время мобильной связи, навигационных систем (GPS, ГЛОНАСС), спутникового телевидения, систем специального назначения и др. поставило перед учёными и инженерами задачи, которые невозможно решить, используя только строгие аналитические методы теории электромагнитного поля Максвелла. Действительно, большинство научно-технических задач в области радиотехники и радиофизики при теоретическом рассмотрении сводятся к граничным задачам электродинамики. Решение последних наиболее трудно в резонансной области, когда размеры объектов соизмеримы с длиной волны. Методом собственных функций удалось решить задачи для ограниченного числа объектов типа идеально проводящих сферы, цилиндра и клина. Поэтому стали развиваться новые, в основном численные методы.

Во-вторых, широкое внедрение универсальных программ электродинамического моделирования стимулировалось развитием вычислительной техники. Действительно, достижения в микроэлектронике позволили создать достаточно мощные персональные компьютеры. Как результат, стало возможным решение научно-технических задач численными методами за приемлемое время (от нескольких минут до часов).

В-третьих, к моменту создания универсальных программ электродинамического моделирования имелся существенный теоретический задел в виде разработанных численных методов решения соответствующих задач.

Среди разнообразных численных методов стоит особо выделить три, получивших наибольшее распространение в вычислительной электродинамике: метод поверхностных интегральных уравнений (ПИУ), метод конечных элементов (МКЭ) и метод конечных разностей во временной области (МКРВО).

Метод ПИУ является представителем класса непрямых методов решения задач электродинамики. Суть его заключается в том, что граничная задача сводится к интегральному уравнению. Этот приём уже давно используется в математике для доказательства теорем существования решений граничных задач. Его применение к практическим проблемам стало развиваться позже. Оно позволяет уменьшить размерность области, в которой проводится решение, и свести трёхмерную задачу в бесконечной области к двумерной, в частности на ограниченной поверхности.

Если иметь в виду тела с малыми ограничениями на форму поверхности, то впервые задача прикладного характера рассматривалась выдающимся советским учёным В. А. Фоком. Он составил интегральное уравнение для задачи дифракции электромагнитной волны на идеально проводящем теле произвольной формы [1], которое решил приближённо в предположении, что размеры тела велики по сравнению с длиной волны.

Что касается частных задач, которые решались с привлечением интегральных уравнений, то одна из первых и наиболее интересных задач этого плана - возбуждение тонкого вибратора, которой посвящена известная работа Халлена [2].

Дальнейшее развитие метода ПИУ опирается на вычислительную технику. Дело в том, что для интегральных уравнений хорошо разработана методика численного решения и, таким образом, возникает естественный путь: сведение граничных задач к интегральным уравнениям, которые затем решаются численно.

Применение метода ПИУ к решению конкретных задач развивалось в СССР с 50-х гг. XX века. Нельзя не отметить, что первая работа [3], посвященная применению интегральных уравнений для решения задач возбуждения, относится к 1958-1959 гг.; аналогичные статьи за рубежом появились с заметным опозданием [4].

Значительную роль в развитии метода ПИУ в нашей стране сыграли работы профессора E.H. Васильева с соавторами. Можно выделить два основных направления. Во-первых, в связи с развитием бортовой антенной техники возникла необходимость в создании антенн, расположенных вблизи металлических, диэлектрических и слоистых тел вращения. В монографии [5] представлены результаты почти 30-летней работы научной школы профессора E.H. Васильева по решению задач возбуждения тел вращения. Там же дан обширный библиографический список статей по этому направлению.

Другое направление исследований связано с проблемой управления величиной поля рассеяния радиолокационных объектов. В этих задачах характерные размеры объектов значительно больше длины волны, поэтому в качестве моделей рассматриваются идеально проводящие, «черные», диэлектрические структуры с бесконечными или полубесконечными границами [6,7] . Численное решение задач электродинамики для полубесконечных структур весьма актуально в связи с разработкой диэлектрических излучающих систем миллиметрового и терагерцового диапазонов волн

[8-11]. Развитый Е.Н.Васильевым и Солодуховым В.В. с соавторами подход [12-21] к решению подобных задач электродинамики не потерял своего значения и в настоящее время.

Дальнейшее развитие этот вопрос получил в работах А.И. Федоренко и В.Н. Киселя. С помощью комбинированного использования метода ПИУ и метода объёмных интегральных уравнений были решены задачи дифракции электромагнитных волн на идеально проводящем цилиндре и клине с неоднородными магнитоди-электрическими покрытиями [22, 23]. Проанализировано рассеяние электромагнитной волны на однородном киральном цилиндре [24]. Разработана оригинальная методика учёта полубесконечных границ в задачах дифракции на клиновидных структурах [25]. На основе совместного использования численного решения задач дифракции на канонических структурах и метода краевых волн П.Я. Уфимцева [26] разработана комбинированная методика расчёта полей рассеяния сложных цилиндрических объектов [27].

Существенный вклад в развитие метода ПИУ применительно к решению двумерных задач дифракции электромагнитных волн на цилиндрических телах внесли работы A.C. Ильинского с соавторами. В монографии [28] изложено применение метода и представлены основные результаты авторов в этом направлении. Там же приведена обширная библиография по этому вопросу.

Метод ПИУ применялся и другими отечественными специалистами. В работах А.Г. Давыдова с соавторами решена задача дифракции на тонких незамкнутых экранах [29, 30]. В.И. Дмитриевым с соавторами на основе метода ПИУ предложен способ решения основной задачи теории индукционного каротажа [31]. Не менее важны труды разных авторов, носящие научно-методический и обучающий характер, где метод ПИУ рассматри-

вается как эффективный инструмент решения прикладных задач электродинамики [32-36].

Следует отметить также работы А.Б. Самохина с соавторами по развитию метода объемных интегральных уравнений [37]. Последний метод имеет область перекрытия с методом ПИУ, но наибольшие преимущества по сравнению с методом ПИУ имеет при решении задач электродинамики для неоднородных объектов.

За рубежом благодаря известной работе Harrington R.F. [38] метод интегральных уравнений известен под названием метода моментов (method of moments). Среди зарубежных учёных, разрабатывавших метод ПИУ в своих работах, можно отметить таких специалистов как Richmond I.H., Peterson А., Ray S., Mittra R. [39] и другие.

К настоящему времени метод интегральных уравнений получил самое широкое распространение в вычислительной электродинамике. На его основе разработан ряд программ электродинамического моделирования, среди которых наиболее известны программа А.Г. Давыдова ЭДЭМ (Электродинамика экранов из металла) [40], и система автоматизированного проектирования (САПР) СВЧ устройств FEKO компании EMSS [41, 42].

Нельзя не отметить ещё одно крайне интересное направление развития метода интегральных уравнений. С работ по быстрому мультипольному методу (Fast Multipole Method, FMM) [43-45] и методам на основе быстрого преобразования Фурье (FFT methods) [46, 47] началось бурное развитие так называемых быстрых методов решения интегральных уравнений вычислительной электродинамики [48]. Использование быстрых методов позволяет уменьшить вычислительные затраты по порядку величины с 0(N ) до О(N) или 0(N\ogN), где N - число неизвестных. Программная реа-

лизация этих методов на основе графических процессоров (видеоплат) позволяет в настоящее время на стандартных персональных компьютерах проводить расчёты, которые раньше были возможны только на суперкомпьютерах [49]. С применением одного из быстрых методов - многоуровневого быстрого мультипольного алгоритма (Multilevel Fast Multipole Algorithm, MLFMA) [50] - создана универсальная программа электродинамического моделирования Wave3D компанией CEMWorks [51].

МКЭ (Finite Element Method, FEM) представляет собой разновидность проекционных методов [52], основанную на специальном выборе базисных функций. Впервые МКЭ был предложен Р. Курантом в 1943 г., но тогда его важная работа [53] опередила потребности практики и фактически осталась незамеченной. Затем в начале 50-х годов XX в. инженерами - специалистами по строительной механике был разработан новый подход к решению задач упругости. В тех случаях, когда расчётная область имела сложную геометрию, она разбивалась на подобласти простой геометрии, в каждой из которых решение могло быть найдено аналитически. Эти подобласти были названы конечными элементами, а сам подход - методом конечных элементов. На протяжении 60-х и 70-х годов шло бурное развитие теории метода, он завоевывал все более широкие области применения [54-58]. К настоящему времени МКЭ получил широкое распространение в вычислительной практике. На его основе разработана популярная в нашей стране САПР СВЧ устройств HFSS компании Ansoft [59]. С основами проектирования СВЧ устройств с использованием HFSS можно ознакомиться по пособиям [60-62].

МКРВО (Finite-Difference Time-Domain Method, FDTD) относится к классу прямых методов решения граничных задач электро-

динамики. При численной реализации МКРВО сводится не к системе линейных алгебраических уравнений, а к задаче Коши. История метода началась со статьи Kane Yee в 1966 г. [63]. Бурное развитие метода началось с конца 80-х годов XX века и продолжается до сих пор. К настоящему моменту МКРВО завоевал значительное положение в вычислительной электродинамике [64, 65]. На его основе разработана мощная САПР СВЧ устройств CST Microwave Studio [66]. Использование CST Microwave Studio для проектирования СВЧ устройств изложено в [67].

Итак, к настоящему времени универсальные программы электродинамического моделирования находят широкое применение в научной и инженерной деятельности. Возникает естественный вопрос, является ли наличие таких программ достаточным, чтобы удовлетворить все потребности практики. С точки зрения автора диссертации, ответ на этот вопрос является отрицательным. Аргументируем свою позицию.

Во-первых, существуют практические задачи, в которых время работы программы является критическим моментом. В этих случаях использование универсальных программ неэффективно, поскольку при их разработке использовались самые общие численные алгоритмы. Как следствие, их время работы может быть недопустимо велико. В таких случаях необходимо разрабатывать специализированные программы, в которых на уровне численных алгоритмов могут быть учтены все особенности решаемых задач. В итоге это позволит создать эффективный в вычислительном плане программный продукт.

Во-вторых, есть прикладные задачи, в которых характерные размеры исследуемых объектов существенно больше длины волны. В этих случаях адекватными электродинамическими моделями вы-

ступают тела с полубесконечными или бесконечными границами, возбуждаемые сосредоточенными источниками. При решении подобных задач, как правило, прибегают к использованию эвристических высокочастотных методов (геометрическая оптика, физическая оптика, геометрическая теория дифракции, физическая теория дифракции и другие). Однако границы их применимости в сложных электродинамических задачах часто остаются неясными. Альтернативой эвристическим методам выступают специализированные численные методы, сошлемся на уже упоминавшиеся выше работы [12, 13].

В-третьих, оборотной стороной универсальных коммерческих программ электродинамического моделирования является следующий существенный для пользователя недостаток. Эти программы используют закрытые коды, а алгоритмы их реализации излагаются недостаточно для того, чтобы иметь полную информацию о погрешности численного решения. Сошлемся на пример, обсуждавшийся в монографии [68]. В американской программе АЫ8У8 для расчета конструкций используется МКЭ, сводящий исходную задачу к численному решению СЛАУ. Зададимся вопросом, к какому значению сходятся численные результаты при измельчении сетки элементов. При ответе на этот вопрос обычно ссылаются на теорему, доказывающую сходимость численного результата к точному решению краевой задачи. Однако, как отмечено в [68], «доказательство этой теоремы... выполнено без учета того, что с измельчением сетки неизбежно растет спектральное число обусловленности матриц. Это значит, что компьютерные результаты совсем и не сходятся к точному решению краевой задачи». Более того, можно высказать убеждение, что вследствие универсальности программы такого уровня не могут быть верифици-

рованы на все случаи жизни. Выходом из сложившейся ситуации авторы [68] видят в использовании численно - аналитических методов, позволяющих контролировать результаты численного решения в терминах величин, понятных с инженерной точки зрения.

Поэтому в рамках данной диссертации основное внимание уделено развитию методики расчёта излучения электромагнитных волн сосредоточенными источниками вблизи двумерных диэлектрических структур на основе строгой постановки и разработке эффективных компьютерных программ их расчёта методом ПИУ.

В.2 Общая характеристика работы

Цели работы:

1. Развитие методики и создание компьютерных программ для расчёта излучения электромагнитных волн сосредоточенными источниками вблизи двумерных диэлектрических структур на основе метода поверхностных интегральных уравнений и интегрального преобразования Фурье.

2. Анализ процессов дифракции плоской электромагнитной волны на двумерных диэлектрических структурах на основе разработанной методики. Выявление закономерностей в поведении амплитудных и фазовых характеристик полных токов, неравномерных частей токов, поверхностных импедансов, дифракционных полей при различных углах падения плоской волны.

3. Анализ поля излучения и взаимной связи щелевых антенн, расположенных на идеально проводящем цилиндре, находящемся в диэлектрической области сложной конфигурации с помощью метода поверхностных интегральных уравнений.

Решаемые задачи:

1. Построение тензорной функции Грина в обобщённых цилиндрических координатах на основе принципа эквивалентности. Получение выражений для компонент тензорной функции Грина, удобных для вычислений. С применением тензорной функции Грина вывод выражений, позволяющих вычислять электромагнитное поле, как на конечном расстоянии, так и в дальней зоне.

2. Разработка компьютерной программы расчёта дифракции плоской волны на диэлектрическом клине по методике и алгоритму, предложенным ранее E.H. Васильевым и В.В. Солодуховым. Численное исследование закономерностей дифракции плоской волны на двумерных диэлектрических структурах (прямоугольный диэлектрический клин, диэлектрическая ступенька).

3. Разработка методики, алгоритма и компьютерной программы для расчёта поля излучения и взаимной связи щелевых антенн, расположенных на идеально проводящем цилиндре, находящемся в диэлектрической области сложной конфигурации. Численные исследования взаимной связи щелевых антенн, расположенных в диэлектрической области, и сравнение полученных результатов с экспериментом. Расчёт диаграмм направленности щелевой антенны, расположенной на идеально проводящем круговом цилиндре и окружённой диэлектрическим цилиндром произвольного поперечного сечения.

Методы исследования

Для решения поставленных задач использовались методы векторного анализа, функции Грина, поверхностных интегральных уравнений Фредгольма, линейной алгебры, программирования и численные методы.

Новые научные результаты:

1. Детально исследованы амплитудно-фазовые характеристики поверхностных токов, импедансов и рассеянного поля при дифракции плоской электромагнитной волны на прямоугольном диэлектрическом клине с параметрами, характерными для строительных материалов (бетон, кирпич). Фазовые характеристики поверхностных токов и рассеянного поля исследованы впервые.

2. Сравнением результатов расчётов рассеянного поля для импедансного и диэлектрического клиньев показано, что диэлектрический клин может быть заменён импедансным, когда падающей плоской волной освещены обе грани клина. В случае освещения только одной грани диэлектрический клин не может быть заменён импедансным. Вызвано это тем, что на теневой грани диэлектрического клина поверхностный импеданс имеет ярко выраженный колебательный характер на расстояниях от ребра, много больших длины волны. Поэтому описание теневой грани диэлектрического клина постоянным поверхностным импедансом при аппроксимации диэлектрического клина импедансным оказывается некорректным.

3. Выявлены особенности обратного рассеяния электромагнитных волн на модели края льдины в виде диэлектрической ступеньки. Обнаружена сильная зависимость величины поля обратного рассеяния от формы края льдины.

4. Исследовано влияние формы и геометрических размеров внешней диэлектрической оболочки на взаимную связь продольных щелевых антенн, расположенных на идеально проводящем круговом цилиндре.

Практическая значимость:

1. Развитая методика расчёта излучения электромагнитных волн сосредоточенными источниками вблизи двумерных диэлектрических структур на основе метода поверхностных интегральных уравнений и итерационной процедуры решения СЛАУ позволила создать эффективные и быстродействующие компьютерные программы, которые уже нашли применение при выполнении НИР.

2. Алгоритмы расчёта амплитудно-фазовых характеристик рассеянного поля на диэлектрическом клине и диэлектрической ступеньке могут быть использованы в программных продуктах, предназначенных для расчёта рассеяния электромагнитных волн ледовыми полями, фрагментами зданий, нерегулярностями диэлектрических волноводов.

3. Методика и программы расчёта полей излучения, входной проводимости и взаимной связи щелевых антенн, могут быть использованы для анализа характеристик антенн, размещённых на летательных аппаратах с диэлектрическим покрытием.

Достоверность

Подтверждается использованием хорошо известных и апробированных методов векторного анализа, интегральных уравнений, линейной алгебры в сочетании с численными методами решения интегральных уравнений. Результаты проведённых расчётов согласуются с экспериментальными данными и в частном случае -с расчётами по методу собственных функций.

Апробация результатов

Основные положения и результаты работы были представлены и обсуждались на ежегодных международных научно-технических конференциях студентов и аспирантов «РАДИОЭЛЕКТРОНИКА, ЭЛЕКТРОТЕХНИКА И ЭНЕРГЕТИКА», Национального исследовательского университета «МЭИ» в 2010 - 2012 гг., на XXIII всероссийской научной конференции «Распространение Радиоволн», 22 - 25 мая 2011г., Йошкар-Ола, на III всероссийской конференции «Радиолокация и радиосвязь», 26 — 30 октября 2009 г., Москва, на VI всероссийской конференции «Радиолокация и радиосвязь», 19-22 ноября 2012 г., Москва, на Московском электродинамическом семинаре им. Я.Н.Фельда, Москва, 2 апреля 2013 г.

Использование результатов

Результаты диссертационной работы были использованы при выполнении НИР «Лорнет» в интересах ФГКУ «в/ч 68240».

Внедрение результатов исследования подтверждено актом, полученным в ЗАО «РАДИЙ ТН».

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Развиты методика и алгоритмы расчёта излучения электромагнитных волн сосредоточенными источниками вблизи двумерных диэлектрических структур на основе метода поверхностных интегральных уравнений, позволившие создать эффективные и быстродействующие компьютерные программы.

2. Исследованы амплитудно-фазовые характеристики (фазовые впервые) поверхностных токов, импедансов и дифракционных полей при падении плоской волны на диэлектрический клин

с малыми потерями. Поверхностные импедансы граней клина являются осциллирующими функциями координаты в тех же пределах, что и неравномерные части токов. Особенно заметные колебания исследуемых величин наблюдаются при несимметричном облучении клина на его неосвещённой грани. С этой гранью связаны заметные отличия дифракционных полей двух поляризаций в дальней зоне, на этой грани значительно сильнее по сравнению с другой гранью осциллируют токи и импедансы.

3. Установлено, что замена диэлектрического клина с относительной диэлектрической проницаемостью больше единицы и малыми потерями клином с постоянным поверхностным импедансом обоснована с качественной и количественной точек зрения только в случае облучения плоской волной обеих граней диэлектрического клина. Возникновение значительных осцилляций поверхностного импеданса диэлектрического клина при освещении падающей волной только одной грани клина приводит к принципиальным отличиям процесса дифракции от клина с постоянным поверхностным импедансом.

1 Тензорная функция Грина в обобщённых цилиндрических координатах

Первая глава носит в основном научно-методический характер. В ней на основе принципа эквивалентности с помощью использования преобразования Фурье построена тензорная функция Грина в обобщённых цилиндрических координатах.

Получены выражения для компонентов тензорной функции Грина, удобные для вычислений. Приведён пример использования тензорной функции Грина для составления уравнений при решении электродинамических задач методом поверхностных интегральных уравнений. С применением тензорной функции Грина выведены выражения, позволяющие определять электромагнитное поле, как на конечном расстоянии, так и в дальней зоне.

Здесь и везде далее временная зависимость задана в виде егш'.

1.1 Введение

Для численного решения задач электродинамики довольно широкое применение получил метод ПИУ. При использовании этого метода граничная задача сводится к интегральному уравнению относительно поверхностных электрических и магнитных токов, которое затем решается численно. Все численные методы сводят интегральное уравнение к СЛАУ. В общем случае интегральное уравнение содержит поверхностные интегралы, и его численное решение требует больших вычислительных мощностей.

В случае тел вращения и цилиндрических тел удаётся получить уравнения с линейными интегралами, что позволяет создать эффективные алгоритмы. Тела вращения подробно исследованы

ранее в работе [69]. Здесь будут рассмотрены только цилиндрические тела.

Интегральные уравнения для задач электродинамики составляются по одному стилю, а именно: на истокообразное представление поля, удовлетворяющее уравнениям Максвелла и условию излучения, накладывается граничное условие - и получается интегральное уравнение. Истокообразное представление поля выберем в виде, следующим из принципа эквивалентности [70], записанным для внешней области Кг, ограниченной изнутри поверхностью Е (рис.1.1):

П

Уг

Е

Рис.1.1 К истокообразному представлению поля

е

-Наг'

Г

(1.1)

е~1кг 1 Г ¿а>ЕаМ(д)--1- --gradpdiVp М(^)

е

—Ькг'

+

Г

2

Здесь ,1, М — поверхностные плотности эквивалентных электрических и магнитных токов на поверхности Е; р - точка наблюдения;

21

д - точка интегрирования; г - расстояние между точками интегрирования и наблюдения; операции дифференцирования берутся по координатам точки р; ва, |ха - абсолютные диэлектрическая и магнитная проницаемости области

Далее возможны два варианта развития событий. Можно составить уравнение для тела произвольной формы, а затем перейти к обобщённым цилиндрическим координатам (ОЦК). Второй вариант основывается на построении формул, аналогичных (1.1), но для обобщённых координат. Нам представляется, что второй вариант более предпочтителен. Во-первых, с методической точки зрения при составлении уравнений для конкретной задачи отпадает необходимость каждый раз проделывать громоздкие рутинные преобразования от декартовых координат к обобщённым цилиндрическим. Во-вторых, как будет показано далее, ядра интегральных уравнений суть линейные комбинации элементов тензорной функции Грина в ОЦК, то есть можно заранее проанализировать свойства составляемых уравнений.

Поэтому задачей данного раздела является построение в ОЦК представления, аналогичного (1.1). Если в формулах (1.1) основой являются поля электрического и магнитного диполей, то в цилиндрических координатах основой должны являться поля нитей токов, составленных из диполей. Основной отличительной чертой цилиндрических координат является возможность разложения полей в интегралы Фурье по продольной координате и рассмотрения полей отдельных спектральных составляющих, которые ортогональны друг другу. Именно с этим обстоятельством связана возможность перехода к одномерным интегральным уравнениям.

Формально истокообразное представление поля наиболее удобно получить из (1.1), разлагая токи и функцию Грина в инте-

22

гралы Фурье. Этому представлению будет придана тензорная форма, которая компактна и в наибольшей степени пригодна для составления уравнений [71-73].

1.2 Вывод основных соотношений

В качестве основы для вывода искомого интегрального представления берём (1.1). Это обеспечит удовлетворение волновому уравнению и условию излучения. В целях большей симметрии окончательных выражений все расстояния и линейные размеры умножим на волновое число свободного пространства ко, а вместо векторов Е и М вводим

ства. Кроме того, преобразуем члены с операторами grad, div и rot по формулам векторного анализа [74]

Е ~ М

волновое сопротивление свободного простран-

divp[A(qr)i|j(p,qf)] = ф(р, qr)divpA(qO + (д(д), gradpi|j(p, <?))

gradp (A(q), gradpi|j(p, qr)) = (A(q),gradp)gradpi|j(p,q)J

rotp[A(q)v|;(p, q)] = ф(р, q)rotpA(q) - [A(q), gradpij/(p, q)] =

= -[A(q),gradpi|/(p,q)].

Если ещё учесть, что

о>ца = соц0Ц = k0W0\i, к0

(jOEa = О)£0Е = —Е,

то формулы (1.1) примут вид

I

(1.2)

е~£хг"П

+ M(q),gradp—— ydcqi

1 Г ( _ e~ixr i _ e"i;

H(P) = 4^J НеМ(<?) — --(M^)'8radp)gradp —

s

e~lxr

(1.3)

е~'хгЛ - Kq), gradp -y- >doq,

где - относительная магнитная проницаемость пространства; е -относительная диэлектрическая проницаемость пространства. В общем случае эти величины комплексные; х — В выражениях (1.2), (1.3) под г необходимо понимать величину к0г.

Введем теперь цилиндрические координаты и, v, z (рис. 1.2), связанные с декартовыми координатами следующими соотношениями

Через Ьи, Ьу и Ь2 обозначим коэффициенты Ламе, которые в этой системе координат и, V, г определяются выражениями

х = F(u,v); у = Ф(u,v); z = z.

(1.4)

и не зависят от координаты z.

Рис.1.2 Обобщённая цилиндрическая система координат

Из ортогональности линий и и v следуют соотношения

dF(u,v) дФ (u,v) дФ(и,у) dF(u,v) cos 9 = . „—=——;-; sin 0 = —-——— =--;———, (1.6)

Ludu

Lvdv

Ludu

Lvdv

где 0 - угол между касательной к линии и в некоторой точке (и, v) и осью Ох (рис. 1.2). Записанные соотношения избавляют от необходимости в явном виде выписывать функции F и Ф, определяющие обобщённые цилиндрические координаты (1.4).

Потребуем, чтобы одна из поверхностей и = const координатной системы (1.4) совпадала с поверхностью D, а единичный вектор и0, касательный к координатной линии и, совпадал по направлению с вектором внешней нормали п к поверхности S (рис. 1.2).

Поля, поверхностные токи и функцию Грина в (1.2), (1.3)

представим в виде интегралов Фурье по продольной координате z:

25

Щи^ = I Ш^е-'^г, Ё(и,^)= ¡ё^.У^Чу, (1.7)

оо оо

Ки^)= ¡Ки^е-'УЧу, й(«,г.,) = /ш(и,,,у)е-^у, (1.

8)

си

I д(г,р)е-^2-2,)ау> (1.9)

где

<7(У, Р) = ¿Я® (л/х^У^р)- (1-Ю)

В (1.10) р - умноженное на ко расстояние между проекциями точек р и ^ на плоскость, перпендикулярную оси г цилиндрической системы координат.

После подстановки (1.7) - (1.9) в (1.2), (1.3) ввиду явной и простой зависимости подынтегральной функции от координаты г появляется возможность провести интегрирование по этой координате. При этом необходимо учесть векторный характер подынтегрального выражения. Часть векторов в (1.2), (1.3) задана в точке р и, следовательно, отнесена к ортам в этой точке, часть векторов задана в точке д и соответственно разложена по ортам в этой точке. Для упрощения интегрирования удобно все векторы отнести к ортам точки р, неподвижной при интегрировании. Это осуществляется путём параллельного переноса векторов J и М в точку р. Последовательность операций при переносе следующая: вначале в точке д вектор преобразуется к декартовым координатам, в декартовых координатах переносится в точку р (составляющие при этом остаются неизменными), далее вектор вновь преобразуется к цилиндрическим координатам уже в точке р. Переход от составляю-

26

щих в цилиндрических координатах к декартовым в точке q и обратный переход в точке р может быть осуществлён исходя из геометрических соображений. Можно это сделать иначе, рассматривая вектор как тензор первого ранга и используя формулы преобразования тензоров [75]. В результате имеем следующие формулы параллельного переноса произвольного вектора Ь в цилиндрических координатах:

Здесь и везде далее в тексте штрих в формулах относится к точке интегрирования ц.

Теперь мы располагаем всем необходимым для вывода искомых соотношений. Из (1.2), (1.3) видно, что каждая из формул состоит из трёх членов. Преобразуем каждый из них отдельно, начав с простейшего:

Перенесём ток |(д) из точки д в точку р, воспользовавшись формулами параллельного переноса (1.11). При этом необходимо учесть, что в точке д поверхностный ток записывается в виде

то есть в точке истока поверхностный ток имеет только составляющие, касательные к поверхности тела. Как следует из (1.11), при переносе вектора тока из точки д в точку р появляется состав-

bu = cos(6 - Q')b'u + sin(0 - Q')b'v, > bv = - sin(0 - Q')b'u + cos(0 - Q')b'v, -bz = b'z.

V >

(1.11)

J(£?) =JvV о +J'ZZ0)

ляющая, перпендикулярная к поверхности тела. В результате имеем

Fin = ^ Ц [sin(6 - 0')/; dz'L'vdv',

v' z'

Flv JJ [cos(0 - ЮЛ dz'L'vdv',

v' z'

Il [fz^Pt dz'L'vdv'.

4n

r )

(1.12)

Подставляя в (1.12) выражения (1.8) и (1.9), имеем

Fin ~

Fiv ~

4тг 4тт

sin(0-0') I tie-^'dy j \dz'L'vdv',

— 00 00

— 00 00

JJJcos(e-e') J tie-^'dy J д(у)е-^~2'^у

v' z' —oo —00

dz'L'vdv',

Fiz =

4ti

* UJ oo

Il I Ле-ф,ау I g(y)e-^z-^dy

dz'L'vdv'.

Меняя местами порядок интегрирования, находим

( 00

Fiu -

■щ

4тт

I sin(0 — 0') ЦуЫу)

hv=^\cos(e "0,) IИЛд(у)(

iyz l e-i(Y-Y)z'dz> dydy ■L'vdv',

.z' p >

iyz J e-i(Y-Y)z' dz> dydy ■ L'vdv',

J У >

Flz =

4тс

4AJ

I ■ Il j'z9(y>-iyz I e-W-r)z'dz'

dydy > L'vdv'.

В этих формулах выражение в квадратных скобках равно

| е-Иу-у^'йг' = 2тгб(у - у).

г'

Интегрируя по спектральной переменной у и представляя левые части в виде

UU

u,v,z = J flu,v,z е ^ dy,

получаем следующие выражения

ки = -\щ I {since - Q')tig(y)}L'vdv',

fiv = ~\w J(cos(0 - g(y)}L'vdv', (i.i3)

v'

fiz = j{jzg(y)Wvdv' ■

То есть, нами получены выражения спектральных плотностей компонентов вектора Рь То же проделываем для второго слагаемого в (1.2)

1 Г I

Р2(Р) = ~^8га(^р)ёга(^р¿Од. (1.13)

Здесь можно избежать параллельного переноса векторов. Для этого первый градиент берём не по точке наблюдения р, а по точке истока д. Значение градиента от функции Грина в силу симметрии последней лишь изменит при этом знак, что легко проверяется непосредственным интегрированием. Тогда скалярное перемножение векторов Л(д) и §гас! можно произвести в репере точки д

'V

(1.14)

Второй градиент, определяющий векторный характер всего выражения, записан в репере точки р и переноса не требует. С учётом сказанного подставляем в (1.13) выражения (1.8) и (1.9) и проводим действия, аналогичные предыдущему случаю.

В результате для составляющих спектральной плотности вектора Р2 имеем формулы

(1.15)

Ггг ~ 2 ¿£

1 1

С дд 9 )

V

При получении (1.15) учтено, что

— 00

— 00

Аналогично

00

— 00

и, следовательно

со

Рассмотрим последнее слагаемое в (1.2)

е~£хг1

М(д), gradp

(1.16)

Осуществим вначале векторное умножение в (1.16), предполагая, что вектор М(<?) уже перенесён в точку р\

дв _ дв „ — М„ -——М,

.дг " Ьуду +

и° +

дв „ дв _

1иди 2 дг и

у° +

Г дв _ дв _

М„ - —Мг.

.Ь-^ду и Ьиди

Далее подставляем соответствующие выражения для составляющих векторов. После этого, принимая во внимание (1.8) и (1.9), проводим необходимые преобразования. В результате имеем

ки=\ I {-¿усо5(е - в')дт„ --^^т'^Ь'^у',

V' 17

/зи = 2 I [¿УвтСе - +

V' и и

к, = \\ {[зт(е - е-) ^ - со3(е - во ч} м V'

(1.17)

Объединив (1.13), (1.15) и (1.17), можем записать выражения, аналогичные (1.2) и (1.3)

V

Нр.У) = I{М6&\1,Р,Я.УЖЧ>У) + .

(1.18)

Выражения (1.18) удовлетворяют волновому уравнению, записанному для спектральной плотности, и условию излучения. Поэтому эти выражения пригодны для составления интегральных уравнений в обобщённых цилиндрических координатах. Интеграл в (1.18) одномерный, но вместо одной пары формул (1.2), (1.3) мы получаем бесконечный набор формул (1.18) для всех значений спектрального параметра у от -сю до сю. Однако имеется широкий круг задач, в которых спектральная плотность быстро спадает до нуля, поэтому переход к пространственным гармоникам полей даёт очень существенные выгоды.

Формулы (1.18) дают возможность составить интегральные уравнения для задач возбуждения цилиндрических тел (примеры будут даны ниже), а также найти поле в любой точке пространства, если известны поверхностные токи.

Тензорные функции Грина 6е, £т, Ле и 0-Ст являются прямоугольными матрицами с шестью элементами каждая, например:

(1.19)

Аналогично (1.19) могут быть записаны и другие тензорные функции Грина.

Такой сложный характер функции Грина является особенностью векторных задач. Действительно, по отношению к любому дифференциальному уравнению функция Грина - это решение его с 5-функцией в правой части [76]. В скалярных задачах эта функция скалярна. В рассматриваемой векторной задаче в общем случае имеется три составляющих поля, которые могут возбуждаться

8е =

се v °и

£е

е v

се v °z

се z си се z

v се z cz

двумя составляющими элемента тока, то есть появляется шесть возможных комбинаций, что и отражено в матрицах порядка 3x2.

Таким образом, компоненты тензорной функции Грина имеют простой физический смысл: это составляющие электрического или магнитного поля в точке р, порождённые всеми составляющими электрического или магнитного тока единичной амплитуды, расположенного в точке q. Нижний индекс у элементов матрицы (1.19) означает составляющую поля; верхние индексы - тип возбуждающего тока - электрический или магнитный - и его направление.

Умножение вектора на тензорную функцию Грина понимается здесь как умножение матрицы на вектор-столбец, поэтому любая из компонент электрического или магнитного поля, для примера ? может быть выражена через тензорную функцию Грина следующим образом:

^ (Р, У) = J№ " И' Р> Я> У)Ь (<?. У) + 2 (£, И, Р> Ч. У)]г (Л> У) +

V

±,р, у) + £™2(е, |д,р, ц,

В дальнейшем обозначения аргументов в круглых скобках могут опускаться, если это не будет вызывать неправильной трактовки приведённых выражений. Вместо точек р ид могут также употребляться их обобщённые цилиндрические координаты V и V1.

Выпишем теперь элементы тензорных функций Грина. При этом необходимо учесть соотношения, вытекающие из принципа перестановочной двойственности уравнений Максвелла [77], которые также непосредственно видны из (1.2), (1.3):

= -£т(е, У), £

Кт(е, ц, р, ч, у) = - £е (е, |1, р, q, у).

(1.20)

Соотношения (1.20) позволяют в два раза сократить число выписываемых составляющих тензоров Грина и записать вместо 24 всего 12 компонент:

се V _ _ Ьи "2

се V _ _ ^ "2

-¿цапсе-еоя-т--

з2^

¿е Ь'уду' Ьиди

соз(0 - в')д~— у;

¿£ ИудуЧуду

1г1 5о 1

реи _ _ _у-

2 2 [е Ь'уду'.

ее г _

С-]

Заключение диссертации по теме «Антенны, СВЧ устройства и их технологии», Комаров, Алексей Александрович

3.5 Выводы к главе 3

В главе с помощью метода ПИУ совместно с использованием преобразования Фурье решена задача о расчёте взаимной связи двух продольных щелей на идеально проводящем цилиндре, находящемся в диэлектрической области сложной формы. Работоспособность и точность развитого расчётного аппарата проверена сравнением его результатов с расчётными данными, полученными другим методом и результатами измерений.

По распределению спектральной плотности токауои(т) в точке расположения щели проанализирована эффективность излучения щели.

Проведен анализ полей излучения и взаимной связи щелевых антенн, расположенных на идеально проводящем цилиндре, для разных типов внешней диэлектрической области.

Следует отметить, что разработанная методика расчета взаимной связи щелей легко обобщается на случай наклонного расположения щелей, а также на случай, когда щелевые антенны расположены на цилиндре произвольного поперечного сечения.

Заключение

В работе развита методика расчёта возбуждения электромагнитных волн в двумерных металлодиэлектрических структурах сосредоточенными источниками на основе метода поверхностных интегральных уравнений, которая позволила создать эффективные и быстродействующие компьютерные программы, применявшиеся при выполнении НИР.

Исследованы амплитудно-фазовые характеристики (фазовые впервые) поверхностных токов, импедансов и дифракционных полей при падении плоской волны на диэлектрический клин с малыми потерями. Поверхностные импедансы граней клина являются осциллирующими функциями координаты в тех же пределах, что и неравномерные части токов. Особенно заметные колебания исследуемых величин наблюдаются при несимметричном облучении клина на его неосвещённой грани. С этой гранью связаны заметные отличия дифракционных полей двух поляризаций в дальней зоне, на этой грани значительно сильнее по сравнению с другой гранью осциллируют токи и импедансы. Возникновение значительных осцилляций поверхностного импеданса диэлектрического клина при освещении падающей волной только одной грани клина приводит к принципиальным отличиям процесса дифракции от клина с постоянным поверхностным импедансом.

Установлено, что замена диэлектрического клина с относительной диэлектрической проницаемостью больше единицы и малыми потерями клином с постоянным поверхностным импедансом обоснована с качественной и количественной точек зрения только в случае облучения плоской волной обеих граней диэлектрического клина.

Выявлены особенности обратного рассеяния электромагнитных волн на модели края льдины в виде диэлектрической ступеньки. Обнаружена сильная зависимость величины поля обратного рассеяния от формы края льдины.

Исследовано влияние формы и геометрических размеров внешней диэлектрической области поле излучения и взаимную связь продольных щелевых антенн, расположенных на идеально проводящем круговом цилиндре.

Данная работа может иметь дальнейшее развитие. Во-первых, развитую методику можно распространить на случай возбуждения двумерных структур более сложными типами источников, например, антенными решётками. Другое направление развития может быть связано с задачами подповерхностной радиолокации и мониторинга ледовой обстановки. Адекватной электродинамической моделью таких задач является двумерная диэлектрическая структура, возбуждаемая сложным источником. Поэтому дальнейшее обобщение рассмотренной методики и создание эффективных и быстродействующих компьютерных программ на её основе может иметь важное прикладное значение.

За рамками диссертации осталось рассмотрение двумерных структур, поддерживающих распространение электромагнитных волн. Логичным продолжением работы является рассмотрение возбуждения двумерных волноведущих металлодиэлектрических структур (плоских диэлектрических волноводов и диэлектричеких антенн), сосредоточенными источниками.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Комаров, Алексей Александрович, 2013 год

Список использованных источников

1. Фок, В.А. Дифракция на выпуклом теле / В.А. Фок // ЖЭТФ. -1945.- т.15, №12. - с.693-698.

2. Hallen Е., Nova Acta Regiae Soc. Sei. Upsaliensis, Ser. 4.11, 1(1938)

3. Васильев, E.H. Возбуждение гладкого идеально проводящего тела вращения / E.H. Васильев // Известия ВУЗов, Радиофизика.

- 1959. - т.2, №4. - с.588-601.

4. Richmond, I.H. Scattering by a dielectric cylinder of arbitrary cross section shape / I.H. Richmond // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. - 1965. - vol.13. - No.3. - pp.334-339.

5. Васильев, E.H. Возбуждение тел вращения / E.H. Васильев. -М.: Радио и связь, 1987.

6. Уфимцев, П.Я. Теория дифракционных краевых волн в электродинамике / П.Я. Уфимцев; Пер. с англ. - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний,2007.

7. Захарьев, Л.Н. Рассеяние волн чёрными телами / JI.H. Захарьев, A.A. Леманский. - М.: Советское радио, 1972.

8. Взятышев, В.Ф. Диэлектрические волноводы / В.Ф. Взятышев.

- М.: Советское радио, 1970.

9. Взятышев, В.Ф. КВЧ и СВЧ устройства на базе диэлектрических структур: роль дифракционных волновых процессов / В.Ф. Взятышев, Ю.И. Орехов, С.М. Смольский // XI МНТК «Физика и технические приложения волновых процессов», 26-28 сентября, 2012, Екатеринбург, УрФу.

10. Дифракционные явления в планарных и в одномерно широких диэлектрических структурах / A.C. Андреев, В.Ф. Взятышев, А.Ю. Гурьянов, В.В. Крутских и др. // XI МНТК «Физика и тех-

128

нические приложения волновых процессов», 26-28 сентября, 2012, Екатеринбург, УрФу.

11. Многоплечие диэлектрические соединения: принципы действия и закономерности дифракции высших типов волн / И.Ф. Бу-дагян, В.Ф. Взятышев, В.Ф. Дубровин, М.С.М. Минкара // XI МНТК «Физика и технические приложения волновых процессов», 26-28 сентября, 2012, Екатеринбург, УрФу.

12. Васильев, E.H. Метод интегральных уравнений в задачах дифракции на полубесконечных диэлектрических структурах / E.H. Васильев, В.В. Солодухов // Препринт № 25(397) . - М.: ИРЭ АН СССР, 1984 .

13. Vasil'ev, E.N. The integral equation method in the problem of electromagnetic waves diffraction by complex bodies / E.N. Vasil'ev, V.V. Solodukhov, A.I. Fedorenko // Electromagnetics. -1991. - vol.11, No.2. - pp. 161-182.

14. Васильев, E.H. Дифракция поверхностной электромагнитной волны на торце плоского полубесконечного диэлектрического волновода / E.H. Васильев, A.B. Полынкин, В.В. Солодухов // Радиотехника и электроника. - 1980. - т.25, №9. - с.1862-1872.

15. Васильев, E.H. Возбуждение полубесконечной диэлектрической пластины открытым концом плоского диэлектрического волновода / E.H. Васильев, A.B. Полынкин, В.В. Солодухов // Изв. ВУЗов, Радиоэлектроника. - 1981. - т.24, №2. - с.60-65.

16. Васильев, E.H. Вычислительные аспекты расчёта устройств на диэлектрических волноводах сложного сечения / E.H. Васильев, В.В. Малов, В.В. Солодухов // Труды МЭИ. - М.: МЭИ, 1981. -вып.553. - с.60-65.

17. Васильев, E.H. Рассеяние поверхностной волны на стыке двух диэлектрических волноводов / E.H. Васильев, A.B. Полын-

кин, B.B. Солодухов // Изв. ВУЗов, Радиоэлектроника. - 1983. -т.26, №2. - с.72-76.

18. Васильев, E.H. Рассеяние поверхностной волны на разветвлении плоских диэлектрических волноводов / E.H. Васильев, A.B. Полынкин, В.В. Солодухов // Антенны. - М.: Радио и связь, 1984. - вып.31. - с.184-189.

19. Малов, В.В. Расчёт собственных волн диэлектрических волноводов произвольного поперечного сечения методом интегральных уравнений / В.В. Малов, В.В. Солодухов, A.A. Чурилин // Антенны. - М.: Радио и связь, 1984. - вып.31. - с.189-195.

20. Дифракция поверхностной волны на открытом конце прямоугольного диэлектрического волновода / E.H. Васильев, И.В. Козулицына, В.В. Малов, В.В. Солодухов // Проектирование и применение радиоэлектронных устройств на диэлектрических волноводах и резонаторах. - Саратов: Изд-во СГУ, 1983. - тезисы докладов. - с.311.

21. Васильев, E.H. Дифракция поверхностной волны на открытом конце круглого полубесконечного диэлектрического волновода / E.H. Васильев, В.В. Малов, В.В. Солодухов // Радиотехника и электроника. - 1985. - т.30, №5. - с.925-933.

22. Кисель, В.Н. Дифракция электромагнитной волны на идеально проводящем цилиндре с неоднородным магнитодиэлектриче-ским покрытием / В.Н. Кисель, А.И. Федоренко // Известия ВУЗов, Радиофизика. - 1991. - т.34, №5. - с.590-594.

23. Кисель, В.Н. Дифракция электромагнитной волны на идеально проводящем клине с неоднородной магнитодиэлектрической насадкой / В.Н. Кисель, А.И. Федоренко // Радиотехника и электроника. - 1991. - т.36, №5. - с.876-883.

24. Федоренко, А.И. Решение задачи рассеяния электромагнитной волны на однородном киральном цилиндре методом поверхностных интегральных уравнений / А.И. Федоренко // Радиотехника и электроника. - 1995. - т.40, №3. - с.381-393.

25. Кисель, В.Н. Способ учёта полубесконечных границ в модельных задачах дифракции на клиновидных структурах / В.Н. Кисель, А.И. Федоренко // Радиотехника. - 1994. - №11. - с.44-48.

26. Уфимцев, П.Я. Метод краевых волн в физической теории дифракции / П.Я Уфимцев. - М.: Советское Радио, 1962.

27. Кисель, В.Н. Комбинированная методика расчёта полей рассеяния сложных цилиндрических объектов / В.Н. Кисель, А.И. Федоренко // Радиотехника и электроника. - 1995. - т.40, №2. -с.182-191.

28. Галишникова, Т.Н. Численные методы в задачах дифракции / Т.Н. Галишникова, A.C. Ильинский. - М.: Изд-во МГУ, 1987.

29. Давыдов, А.Г. Метод численного решения задач дифракции электромагнитных волн на незамкнутых поверхностях вращения / А.Г. Давыдов, Е.В. Захаров, Ю.В. Пименов // ДАН СССР. - 1983. -Т.269, №2. - с.329-333.

30. Давыдов, А.Г. Метод численного решения задач дифракции электромагнитных волн на незамкнутых поверхностях произвольной формы / А.Г, Давыдов, Е.В. Захаров, Ю.В. Пименов // ДАН СССР. - 1984. - т.276, №1. - с.96-100.

31. Дмитриев, В.И. Метод решения основной задачи теории индукционного каротажа / В.И. Дмитриев, Е.В. Захаров, E.H. Ильин // Вычислительные методы и программирование. - М.: Изд-во МГУ, 1971. - вып.XVI. - с.72-83.

32. Кравцов, В.В. Интегральные уравнения в задачах дифракции /

B.В. Кравцов // Вычислительные методы и программирование. -М.: Изд-во МГУ, 1966. - вып.У. - с.260-293.

33. Ильинский, А.С. Математические модели электродинамики / А.С. Ильинский, В.В. Кравцов, А.Г. Свешников. - М.: Высшая школа, 1991.

34. Дмитриев, В.И. Метод интегральных уравнений в вычислительной электродинамике / В.И. Дмитриев, Е.В. Захаров. - М.: МАКС-Пресс, 2008.

35. Дорошенко, В.А. Дифракция электромагнитных волн на незамкнутых конических структурах / В.А. Дорошенко, В.Ф. Кравченко. - М.: Физматлит, 2009.

36. Гринев, Ю.А. Численные методы решения прикладных задач электродинамики / Ю.А. Гринев. - М.: Радиотехника, 2012.

37. Самохин, А.Б. Интегральные уравнения и итерационные методы в электромагнитном рассеянии / А.Б. Самохин. - М.: Радио и связь, 1998.

38. Harrington, R.F. Field computation by moment methods / R.F. Harrington. - New York: Macmillan, 1968.

39. Peterson, A. Computational methods for electromagnetics / A. Peterson, S. Ray, R. Mittra. - New York: IEEE Press, 1998.

40. www.edem3d.ru (программа EDEM)

41. www.emss.de - сайт компании-разработчика комплекса программ FEKO

42. Банков, С.Е. Расчёт излучаемых структур с помощью FEKO /

C.Е. Банков, А.А. Курушин. - М.: ЗАО «НПП «Родник», 2008.

43. Greengard, L. A Fast Algorithm for Particle Simulations / L. Greengard, V. Rokhlin // Journal of Computational Physics. -1987. - vol.73, No.2. - pp.325-348.

52. Флетчер, К. Численные методы на основе метода Галёркина / К. Флетчер; пер. с англ. - М.: Мир, 1988.

53. Courant, R. Variational methods for the solution of problems of equilibrium and vibrations / R. Courant // Amer. Math. Soc. Bull. -1943. - 49. - pp.1-23.

54. Никольский, B.B. Вариационные методы для внутренних задач электродинамики / В.В. Никольский. - М.: Наука, 1967.

55. Зенкевич, О. Метод конечных элементов в технике / О. Зенкевич. - М.: Мир, 1975.

56. Деклу, Ж. Метод конечных элементов / Ж. Деклу. - М.: Мир, 1976.

57. Стренг, Г. Теория метода конечных элементов / Г. Стренг, Дж.. - М.: Мир, 1977.

58. Сегерлинд, JI. Применение метода конечных элементов / JI. Сегерлинд. - М.: Мир, 1979.

59. HFSS - High Frequency Structure Simulation. Manuals, Ansoft, 2010. www.ansoft.com - сайт компании Ansoft-ANSYS - разработчика программы HFSS.

60. Банков, С.Е. Анализ и оптимизация трёхмерных СВЧ структур с помощью HFSS / С.Е. Банков, A.A. Курушин, В.Д. Разе-виг; ред. д.т.н. С.Е. Банков. - М.: СОЛОН-Пресс, 2004.

61. Банков, С.Е. Расчёт антенн и СВЧ структур с помощью HFSS Ansoft / С.Е. Банков, A.A. Курушин. - М.: ЗАО «НПП РОДНИК», 2009.

62. Банков, С.Е. Решение оптических и СВЧ задач с помощью HFSS / С.Е. Банков, Э.М. Гутцайт, A.A. Курушин. - М.: ООО «Оркада», 2012.

63. Yee, К.S. Numerical Solution of Initial Boundary Value Problems Involving Maxwell's Equations in Isotropic Media / K. S. Yee //

IEEE Transactions on Antennas and Propagation. - 1966. - vol.14. - No.3. - pp.302-307.

64. Taflove, A. Computational Electrodynamics: The Finite-Difference Time-Domain Method / A. Taflove, S.C. Hagness. -Boston-London: Artech House Books, second edition, 2000.

65. Электродинамическое моделирование методом конечных разностей во временной области / А.А. Данилин, В.Н. Малышев, В.И. Егурнов, М.В. Малюхов и др. - СПб: Изд. СПбГЭТУ (ЛЭ-ТИ), 1999.

66. www.microwavestudio.com - сайт компании-разработчика программы Microwave Studio CST.

67. Курушин, А.А. Проектирование СВЧ устройств в среде CST Microwave Studio: учебное пособие / А.А. Курушин, А.Н. Пластиков. - М.: Издательский дом МЭИ, 2012.

68. Гладкий, С.Л. Интеллектуальное моделирование физических проблем / С.Л. Гладкий, Н.А. Степанов, Л.Н. Ясницкий. -Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2006.

69. Васильев, Е.Н. Тензорная функция Грина в координатах вращения / Е.Н. Васильев, А.И. Гореликов, А.А. Фалунин // Сб. научно-методических статей по прикладной электродинамике. -М.: Высшая школа, 1980. - вып.З. - с.3-24.

70. Марков, Г.Т. Возбуждение электромагнитных волн / Г.Т. Марков, А.Ф. Чаплин. - М.-Л.: Энергия, 1967.

71. Марков, Г.Т. Тензорные функции Грина прямоугольных волноводов и резонаторов / Г.Т. Марков, Б.А. Панченко // Известия ВУЗов, Радиотехника. - 1964. - т.7, №1. - с.34 - 41.

72. Панченко, Б.А. Рассеяние и поглощение электромагнитных волн неоднородными сферическими телами / Б.А Панченко. -М.: Радиотехника, 2013.

73. Tai, С.Т. Dyadic Green's Functions in Electromagnetic Theory / C.T. Tai. - Scranton, PA: Jntext Educational Publishers, 1972.

74. Борисенко, А.И. Векторный анализ и начала тензорного исчисления / А.И. Борисенко, И.Е. Тарапов. - М.: Высшая школа, изд. 3-е, 1966.

75. Рашевский, П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ / П.К. Рашевский. - М.: Наука, изд. 4-е, 2003.

76. Морс, Ф.М. Методы теоретической физики / Ф.М. Морс, Г. Фешбах. - М.: ИЛ, 1958, т.1.

77. Марков, Г.Т. Электродинамика и распространение радиоволн / Г.Т. Марков, Б.М. Петров, Г.П. Грудинская. - М.: Советское Радио, 1979.

78. Muller, С. Grundprobleme der matematischen Theorie elektromagnetischer Schwingungen / C. Muller. - B.-G.-H.: Springer, 1957.

79. Градштейн, И.С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / И.С. Градштейн, И.Н. Рыжик. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 1962.

80. Копсон, Э.Т. Асимптотические разложения / Э.Т. Копсон. -М.: Мир, 1966.

81. Балабуха, Н.П. Компактные полигоны для измерения характеристик рассеяния объектов / Н.П. Балабуха, А.С. Зубов, B.C. Солосин. - М.: Наука, 2007.

82. CINDOOR: An Engineering Tool for Planning and Design of Wireless System in Enclosed Spaces / R.P. Torres, L. Valle, M. Domingo, S. Loredo a.o. // Antennas and Propagation Magazine. -1999.- vol.41. - No.4. - pp.11-21.

83. Пермяков, В.А. Методы расчета распространения радиоволн в городе (обзор) / В.А. Пермяков, М.А. Жексенов // Излучение и

рассеяние электромагнитных волн. ИРЭМВ-2009. Труды международной научной конференции. - Таганрог-Дивноморское, Россия. - июнь 27- июль 1 2009. - с.48-52

84. Черенкова, Е.Л. Распространение радиоволн / E.JI. Черенкова, О.В. Чернышев. - М.: Радио и связь, 1984.

85. Боровиков, В.А. Геометрическая теория дифракции / В.А. Боровиков, Б.Е. Кинбер. - М.: Связь, 1978.

86. Kouyoumjian, R.G. A Uniform Geometrical Theory of Diffraction for an Edge in an Perfectly Conducting Surface / R.G. Kouyoumjian, P.H. Pathak // Proc. IEEE. - 1974. - vol.62. -No.11. - pp.1448- 1461

87. Jones, D.S. Impedance of a lossy wedge / D.S. Jones // IMA Journal of Applied Mathematics . - 2001. - 66. - pp.411-422.

88. Хижняк, H.A. Интегральные уравнения макроскопической электродинамики / H.A. Хижняк. - Киев: Наукова думка, 1986.

89. Крячко, А.Ф. Теория рассеяния электромагнитных волн в угловых струтурах / А.Ф. Крячко, В.М. Лихачев, С.Н. Смирнов, А.И. Сташкевич. - СПб.: Наука, 2009.

90. Daniele, V. The Wiener-Hopf Solution of the Isotropic Penetrable Wedge Problem: Diffraction and Total Field / Vito Daniele, Guido Lombardi // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. - 2011. - vol.59. - No.10. - pp. 3797-3818.

91. Бабич, В.М. Задача рассеяния плоской волны прозрачным клином. Вычислительный подход / В.М. Бабич, Н.В. Мокеева, Б.А. Самокиш // Радиотехника и электроника. - 2012. - т.57. -№9. - с.978-986.

92. Luebbers, R.J. Finite Conductivity Uniform GTD Versus Knife Edge Diffraction in Prediction of Propagation Path Loss / R.J.

Luebbers // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. -1984. - vol. AP-32. - No. 1. - pp.70-76.

93. Holm, P.D. A New Heuristic UTD Diffraction Coefficient for Nonperfectly Conducting Wedges / P.D. Holm // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. - 2000. - vol.48. - No.8. - pp.12111219.

94. Gennarelli, G. A Uniform Asymptotic Solution for the Diffraction by a Right-Angled Dielectric Wedge / Gianluca Gennarelli, Giovanni Riccio // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. -2011. - vol.59. - No.3. - pp.898-903.

95. Малюжинец, Г.Д. Возбуждение, отражение и излучение поверхностных волн на клине с заданными импедансами граней / Г.Д. Малюжинец // ДАН СССР. - 1958. - 121. - №3.

96. Norris, A.N. The Malyuzhinets theory for scattering from wedge boundaries: a review / A.N. Norris, A.V. Osipov // Wave motion. -1999. - 29. - pp.313-340.

97. Norris, A.N. Far-field analysis of the Malyuzhinets solution for plane and surface waves diffraction by an imedance wedge / A.N. Norris, A.V. Osipov // Wave motion. - 2000. - 30. - pp.69-89.

98. Ахияров, В.В. Решение задачи дифракции на импедансном клине / В.В. Ахияров // Электромагнитные волны и электронные системы. - 2008. - т.13, №11. - с.19-26.

99. Васильев, Е.Н. О дифракционных коэффициентах для диэлектрического клина / Е.Н. Васильев, В.В. Солодухов // сб. Теория дифракции и распространения волн. VI Всесоюзный симпозиум по дифракции и распространению волн. - 1973. - т.1. - с.238-242.

100. Васильев, Е.Н. Дифракция электромагнитных волн на диэлектрическом клине / Е.Н. Васильев, В.В. Солодухов // Известия ВУЗов, Радиофизика. - 1974. - т.17, №10. - с.1518-1528.

101. P.F. Combes Diffraction by a Lossy Dielectric Wedges Using Both Heuristic UTD Formulation and FDTD / P.F. Combes, N. Douchin, J.F. Rouviere // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. - 1999. - vol.47. - No.11. - pp.1702- 1708.

102. Васильев, Е.Н. Гибридные геометрическая и физическая теории дифракции / Е.Н. Васильев, В.В. Солодухов // Труды 11-й всероссийской школы-конференции по дифракции и распространению волн. - М.: МГУ, 1998. - с.5-17.

103. Vasil'ev, E.N. Hybrid Geometrical Theory of Diffraction / E.N. Vasil'ev, V.V. Solodukhov // Journal of Communication Technology and Electronics. - 2000. - vol.45. - Suppl. 2. - pp.184-195.

104. Пермяков, В.A. Сравнение дифракционных полей от диэлектрического клина, полученных методом интегральных уравнений и в приближении равномерной геометрической теории дифракции / В.А. Пермяков, М.А. Жексенов, А.А. Комаров // Электронное издание 3-й Всероссийской конференции «Радиолокация и радиосвязь», Москва, 2009. - т.1. - с.682-686.

105. Пермяков, В.А. О применении равномерной геометрической теории дифракции к анализу дифракционных полей от диэлектрического клина / В.А. Пермяков, М.А. Жексенов, А.А. Комаров // Космическая радиолокация (электронный ресурс). Всероссийские радиофизические чтения-конференции памяти Н.А.Арманда. Сб. докладов научно-практической конференции (Муром, 28 июня-1 июля 2010 г). - Муром, изд. полиграфический центр МИВЛГУ, 2010, - 307 е., - 1 электронно-оптический диск. № гос. регистрации 0321001174, с. 264-269.

106. Комаров, A.A. Дифракция плоской электромагнитной волны на прямоугольном диэлектрическом клине. Анализ численных результатов / A.A. Комаров, В.А. Пермяков // Журнал радиоэлектроники [электронный журнал]. - 2011. - №9. Режим доступа: jre.cplire.ru/jre/sepl l/8/text.html.

107. Солодухов В.В. Дифракция электромагнитных волн на однородных и многослойных телах клиновидной формы. Диссертация на соискание учёной степени кандидата технических наук. - М.: МЭИ, 1973.

108. Нефёдов, Е.И. К задаче дифракции на бесконечном однородном диэлектрическом клине / Е.И. Нефёдов, А.Н. Сивов // Препринт № 80. - М.: ИРЭ АН СССР, 1971.

109. Нефёдов, Е.И. Геометрооптическое решение задачи о диэлектрическом клине / Е.И. Нефёдов, А.Н. Сивов // РиЭ. - 1974. -т.19. - №4. - с.824-827.

110. Нефёдов, Е.И. Дифракция электромагнитных волн на диэлектрических структурах / Е.И. Нефёдов. - М.: Наука, 1979.

111. Васильев, E.H. Рассеяние электромагнитной волны на щели в диэлектрическом слое на идеально проводящей плоскости / E.H. Васильев, А.И. Федоренко // Известия ВУЗов, Радиоэлектроника. - 1982. - т.25, №2. - с.66-70.

112. Васильев, E.H. Дифракция на идеально проводящем клине с диэлектрическим покрытием на одной грани / E.H. Васильев, А.И. Федоренко // Известия ВУЗов, Радиофизика. - 1983. - т. 26, №3. - с.351-356.

113. Васильев, E.H. Рассеяние электромагнитных волн на крае полубесконечного диэлектрического слоя, заглубленного в идеально проводящее полупространство / E.H. Васильев, А.И. Фе-

Доренко // Известия ВУЗов, Радиофизика. - 1983. - т.26, №7. -с.860-866.

114. Burnside, W.D. A Technique to Combine the Geometrical Theory of Diffraction and the Moment Method / W. D. Burnside, R. J. Marhefka, C. L. Yu // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. - 1975. - vol.23. - No.4. - pp.551-558.

115. Newman, E.H. TM Scattering by a Dielectric Cylinder in the Presence of a Half-Plane / E.H. Newman // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. - 1985. - vol.33. - No.7. - pp.773-782.

116. Jin, J.-M. A Numerical Technique for Computing TM Scattering by a Coated Wedges and Half-Planes / J.-M. Jin, V. V. Liepa // Electromagnetics. - 1989. - vol.9. - No.2. - pp.201-213.

117. Morita, N. Diffraction by Arbitrary Cross-Sectional Semiinfinitive Conductor / N. Morita // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. - 1971. - vol.19. - No.2. - pp.358-364.

118. Федоренко, А.И. Вычисление интегралов в задачах дифракции на полубесконечных телах / А.И. Федоренко, В.Н. Кисель // Рассеяние электромагнитных волн. - Таганрог: Радиотехнический институт, 1987. - вып.6. - с.71-76.

119. Кисель, В.Н. Электродинамические модели сложных электрофизических объектов и эффективные методы расчёта их полей рассеяния. Диссертация на соискание учёной степени доктора физико-математических наук. - М.: ИТПЭ ОИВТ РАН, 2004.

120. Васильев, Е.Н. Дифракция наклонно падающей электромагнитной волны на диэлектрическом цилиндре произвольного поперечного сечения / Е.Н. Васильев, В.В. Солодухов // Вычислительные методы и программирование. - М.: Изд-во МГУ, 1973. - вып.20.

121. Лещанский, Ю.И. Электрические параметры кирпича, цемента и древесины в диапазоне метровых-сантиметровых радиоволн / Ю.И. Лещанский, Г.Н. Лебедева, Н.В. Ульянычев // Известия ВУЗов, Радиофизика. - 1982. - Деп. ВИНИТИ № 477282.

122. Морская радиолокация / В.И. Винокуров, В.А. Генкин, С.П. Калиниченко и др.; ред. д.т.н., проф. В.И. Винокуров. - Л.: Судостроение, 1986.

123. Remote sensing of sea ice and icebergs / S.S. Haykin, E.O. Lewis, R.K. Raney, J.R. Rossister. - John Wiley & Sons Inc., 1994.

124. Комаров, A.A. Дифракция плоской электромагнитной волны на диэлектрической ступеньке / А.А. Комаров, В.А. Пермяков // МарГТУ, XXIII Всероссийская научная конференция «Распространение радиоволн», Йошкар-Ола, 23-26 мая 2011, тезисы докладов, т. 3, с. 368-371.

125. Баскаков, А.И. Локационные методы исследования объектов и сред: учебник для студ. учреждений высш. проф. Образования / А.И. Баскаков, Т.С. Жутяева, Ю.И. Лукашенко. - М.: Издательский центр «Академия», 2011.

126. Потехин, А.И. Некоторые задачи дифракции электромагнитных волн / А.И. Потехин. - М.: Советское радио, 1948.

127. Peterson, A.F. Mutual admittance between slots in cylinders of arbitrary shape / A.F. Peterson, R. Mittra // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. - 1989. - vol.37. - No.7. - pp.858-864.

128. Васильев, E.H. Дифракция плоской электромагнитной волны на диэлектрическом цилиндре с произвольной формой поперечного сечения / Е.Н. Васильев, В.В. Солодухов // ЖТФ. - 1970. -т.40, №1. - с.47-53.

129. Бахвалов, Н.С. Численные методы / Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 6-е изд., 2008.

130. Амосов, A.A. Вычислительные методы: учебное пособие / A.A. Амосов, Ю.А. Дубинский, Н.В. Копчёнова. - М.: Издательский дом МЭИ, 3-е изд., перераб. и доп., 2008.

131.Коллатц, Л. Функциональный анализ и вычислительная математика / Л. Коллатц. - М.: Мир, 1969.

132. Васильев, E.H. Возбуждение идеально проводящего тела, покрытого слоем диэлектрика / E.H. Васильев, Л.В. Материкова // Известия ВУЗов, Радиофизика. - 1971. - т.14, №8. - с.1250-1259.

133. Хёнл, X. Теория дифракции / X. Хёнл, А. Мауэ, К. Вестпфаль. - М.: Мир, 1964.

134. Schwarzschild К. Math. Annalen, 55, №2, 177 (1902).

135. Баскаков, С.И. Радиотехнические цепи и сигналы: Учеб. для вузов, по спец. «Радиотехника» / С.И. Баскаков. - М.: Высшая школа, 2000.

136. Васильев, E.H. О численном решении внешней электродинамической задачи для идеально проводящего тела / E.H. Васильев, В.Г. Каменев // Известия ВУЗов, Радиофизика. - 1970. - т. 13, №5. - с.732-738.

137. Сазонов, Д.М. Антенны и устройства СВЧ / Д.М. Сазонов. -М.: Высшая школа, 1988.

138. Бунин, A.B. Излучение щелевых антенн на цилиндрических телах, покрытых слоем ионизированного газа / A.B. Бунин, П.А. Фролов // Оптимизация антенн, СВЧ устройств и радиолиний. Труды МЭИ. - М.: МЭИ, 1983. - вып.610. - с.57-61