Топология плоских вещественных и комплексных алгебраических кривых тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, доктор наук Оревков Степан Юрьевич

• Оревков Степан Юрьевич
• доктор наук
• 2023

Оглавление диссертации доктор наук Оревков Степан Юрьевич

Оглавление

Введение

Список литературы

Приложение 1. Статья "Link theory and oval arrangements of real algebraic curves"

Приложение 2. Статья "Classification of flexible M-curves of degree 8 up to isotopy"

Приложение 3. Статья "Flexible, algebraically unrealizable curves: rehabilitation of

Hilbert-Rohn-Gudkov approach"

Приложение 4. Статья "On rational cuspidal curves I. Sharp estimate for the degree

via multiplicities"

Приложение 5. Статья "Riemann existence theorem and construction of real algebraic

curves"

Приложение 6. Статья "Pseudoholomorphic algebraically unrealizable curves"

Приложение 7. Статья "Algorithmic recognition of quasipositive braids of

algebraic length two"

Приложение 8. Статья "Remark on Tono's theorem about cuspidal curves"

Приложение 9. Статья "Corrigendum to «A flexible affine M-sextic which is

algebraically unrealizable»"

Приложение 10. Статья "Algebraically unrealizable complex orientations of plane

real pseudoholomorphic curves"

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Топология плоских вещественных и комплексных алгебраических кривых»

Введение

Настоящая диссертация посвящена изучению топологических свойств плоских алгебраических кривых. Большая часть результатов касается вещественных кривых. Ссылки вида [П1], [П2], ..., [П10] относятся к статьям, включенным в диссертацию в качестве ее составных частей (приложения 1-10).

1. Краткий исторический обзор

Топологическое изучение плоских проективных вещественных алгебраических кривых восходит по крайней мере к работам А. Харнака [18] и Ф. Клейна [20]. Для любой фиксрованной степени й, с точностью до гомеоморфизма, имеется только конечное число пар (ЕР2, К А), где МА - гладкая алгебраическая кривая степени й. Они называются топологическими расположениями вещественных алгебраических кривых (или вещественными схемами кривой в соответствии с терминологией, принятой в школе В. А. Рохлина), и возникает естественный вопрос о том, как их все перечислить. Эта задача была популяризированна Гильбертом, и в наше время она известна как 16-я проблема Гильберта (точнее, ее первая часть). Она остается одной их немногих нерешенных проблем из его знаменитого списка. Как показано в [18], плоская вещественная алгебраическая кривая степени й может иметь до 2 (й — 1)(й — 2) + 1 компонент. Кривые, у которых ровно | (й — 1)(й — 2) + 1 компонент, называются М-кривыми. (Заметим, что д = 1 (й — 1)(й — 2) есть род гладкой комплексной кривой степени й на проективной плоскости.)

Полная топологическая классификация гладких плоских вещественных алгебраических кривых степени 5 немедленно вытекает из неравенства Харнака и из того, что никакая прямая не может пересекать кривую степени й более, чем в й точках. Случай кривых степени 6 - это первый нетривиальный случай, и он был отдельно отмечен Гильбертом в его 16-й проблеме. Первый результат о кривых 6-й степени был получен И. Г. Петровским [31]: такая кривая не может иметь 11 овалов, расположенных вне друг друга. Этот результат есть частный случай неравенства Петровского, справедливого для кривых любой четной степени й:

— 3 й2 + 4 й < р — п < § й2 — 4 й +1,

где р (соотв. п) есть число четных (соотв. нечетных) овалов, т. е. овалов, охватываемых четным (соотв. нечетным) количеством других овалов.

В дальнейшем Д. А. Гудков [17] завершил классификацию кривых 6-й степени. Любая классификация такого рода естественным образом разбивается на две части: построения и ограничения (запреты). Для запретов Гудков применил подход, предложенный Гильбертом и развитый Рооном и им самим (метод Гильберта - Роона -Гудкова). В общих чертах он заключается в следующем. Предположим от противного, что некое расположение овалов реализуемо кривой 6-й степени, заданной уравнением ^ = 0. Рассмотрим непрерывное семейство кривых Ft = 0, где Ft = F + Ю2, deg О =3. Тогда область Ft > 0 растет, следовательно, при некотором £ должна

появиться особенность. Тогда заменим G другим кубическим многочленом, обращающимся в нуль в образовавшейся особой точке, и продолжим этот процесс. В результате мы придем к кривой с 10 двойными точками. После этого продолжим деформацию уже в некотором нелинейном одномерном семействе кривых. На каждом шаге имеется несколько априори возможных мест, где могла бы возникнуть новая особенность. Это приводит к довольно большому дереву возможных вырождений. Для всех ветвей этого дерева либо находится противоречие с теоремой Безу для вспомогательных прямых или коник, либо (и в этом заключается основной вклад Гудкова) данное вырождение исключается с использованием того факта, что какую-то часть особенностей всегда можно поместить в точки общего положения, а это запрещает многие случаи распадения кривых на неприводимые компоненты. Для построений Гудков возмущал особые кривые, полученные квадратичными преобразованиями Кремоны из кривых меньших степеней.

Анализируя доступную информацию, Гудков выдвинул гипотезу, что

p — n = k2 mod 8

для любой M-кривой степени 2k. Эта гипотеза стимулировала существенный прогресс в данной области. Ее доказал В. И. Арнольд [2] по модулю 4, а затем В. А. Рохлин [32] по модулю 8. При этом были привлечены принципиально новые подходы, основанные на изучении методами четырехмерной топологии накрытия над CP , разветвленного вдоль комплексификации кривой.

Сравнение Гудкова - Рохлина и аналогичное сравнение для (M — 1)-кривых немедленно дают все запреты для кривых 6-й степени. Вскоре после этого О. Я. Виро существенно упростил построения, найдя очень мощный метод - метод склеивания карт (впоследствии по-английски получивший название patchworking), который стал одним из истоков тропической геометрии. В частности, этим методом Виро завершил «построительную» часть классификации для степени 7 (см. [40]). Он же завершил в [38] и «запретительную» часть для степени 7, применив формулу комплексных ори-ентаций Рохлина [33] в сочетании с теоремой Т. Фидлера о чередовании комплексных ориентаций в пучке прямых. С использованием этих и некоторых других методов Ви-ро также существенно продвинулся в классификации кривых 8-й степени, которая была в дальнейшем продолжена в работах Е. И. Шустина, А. Б. Корчагина и Б. Шевалье более или менее теми же методами. К тому времени, когда я начал работать в данной области, оставалось 9 открытых случаев для M-кривых степени 8.

На этом я заканчиваю свой краткий исторический экскурс, так как это не обзор всей вещественной геометрии, а всего лишь введение к моей диссертации. При этом я не затронул множество интересных и важных результатов, которые получили А. И. Дегтярев, И. В. Итенберг, В. В. Никулин, В. М. Харламов, Г. Б. Михалкин, Г. М. Полотовский, Ж.-И. Вельшенже, В. И. Звонилов и многие другие авторы.

2. Вещественные алгебраические и вещественные

ПСЕВДОГОЛОМОРФНЫЕ КРИВЫЕ

2.1. Квазиположительные косы и псевдоголоморфные кривые. В [П1] я предложил новый подход (и потом развил его в [10], [П2], [П3], [П6]) для изучения топологии плоских вещественных алгебраических кривых. Этот подход основан на том

очевидном наблюдении, что граничная коса многозначной алгебраической функции в диске, не имеющей полюсов, является квазиположительной косой, т. е. произведением кос, сопряженных стандартным образующим группы кос. Любую алгебраическую кривую можно рассматривать как график многозначной алгебраической функции, коль скоро фиксирован пучок прямых, играющий роль пучка вертикальных прямых, когда речь идет о графиках многозначных функций. С другой стороны, если алгебраическая функция вещественна и при этом диск содержится в верхней полуплоскости, а его граница достаточно близка к вещественной оси (в том смысле, что диск содержит все точки ветвления, лежащие в верхней полуплоскости), то иногда коса полностью определяется изотопическим типом вложения веществественной кривой, возможно, с точностью до некоторых неизвестных параметров. Точнее, если рассматриваемая й-значная функция имеет не менее й — 2 вещественных значений (с учетом кратностей) в каждой вещественной точке, то коса однозначно задается послойным расположением кривой относительно пучка вертикальных прямых. Это так, например, когда центр пучка выбран внутри гнезда из (й — 2)/2 вложенных овалов. Если центр пучка выбран внутри (й — 4)/2 вложенных овалов, то коса задана с точностью до к неизвестных целочисленных параметров, где к - это число отрезков пучка с четырьмя невещественными пересечениями с кривой.

Поэтому в таких случаях (когда коса полностью определяется топологией кривой) вопрос о реализуемости послойного расположения вещественной кривой относительно некоторого пучка прямых частично сводится к вопросу о квазиположительности некоторого набора кос. «Частично», так как квазиположительность является необходимым, но не достаточным условием алгебраической реализуемости. Однако это условие является необходимым и достаточным для псевдоголоморфной реализуемости, обсуждению которой посвящена оставшаяся часть данного раздела.

Пусть X - компактное четырехмерное многообразие, снабженное почти комплексной структурой 3, подчиненной симплектической форме ш, т. е. ш^, 3^>) > 0 для любого ненулевого касательного вектора V. Гладкая вложенная поверхность называется 3-голоморфной кривой (или псевдоголоморфной кривой, когда 3 не указана), если все ее касательные плоскости 3-инвариантны. Согласно знаменитой теории псевдоголоморфных кривых, созданной М. Л. Громовым в [15], такие кривые имеют много существенных свойств общих с алгебраическими кривыми.

Предположим теперь, что X = СР2, ш есть симплектическая форма Фубини-Штуди, а 3 антиинвариантна относительно комплексного сопряжения: еоц]* о3 = 3-1о ооп^ Будем говорить, что 3-голоморфная кривая А вещественна, если еоп^А) = А. В этом случае обозначим К А = А П ЕР2. Тогда К А является несвязным объединением вложенных окружностей. В силу теории Громова вещественные псевдоголоморфные кривые во многих отношениях очень похожи на вещественные алгебраические кривые. В частности, они являются гибкими кривыми в смысле Виро (см. [39]), из чего следует, что большинство общих ограничений топологической природы для них выполяется. Виро в [39] формально определил топологические ограничения как ограничения, верные для гибких кривых. Длинный список таких ограничений приведен в [40]. В частности, он включает в себя сравнение Гудкова - Рохлина (как

и его аналог для (М — 1)-кривых), неравенства Петровского, неравенства Арнольда, формулы комплексных ориентаций Рохлина и Рохлина - Мишачева, а также все ограничения, основанные на построении двумерных циклов на двулистном накрытии.

Практически все нетопологические ограничения, приведенные в обзоре [40], основаны либо на теореме Безу, примененной к вспомогательным прямым или коникам, либо на рассмотрении вспомогательных пучков прямых, возможно, после преобразования Кремоны. В любом случае, только такие ограничения использовались в классификации вплоть до степени 9 (а только для этих степеней классификация была получена или, хотя бы начата). Простое, но важное наблюдение, сделанное в [П2], состоит в том, что все эти ограничения автоматически распространяются на вещественные псевдоголоморфные кривые.

Таким образом, одна из причин, по которой изучение псевдоголоморфных кривых крайне полезно в контексте 16-й проблемы Гильберта, - то, что это позволяет очертить границы применимости стандартных методов, обычно используемых в данной области. А именно, если некая конфигурация овалов реализована псевдоголоморф-на, никто больше не будет тратить время на попытки запретить ее стандартными методами.

Однако техника псевдоголоморфных кривых иногда также позволяет продвинуться в классификационных задачах, причем в обоих направлениях: и в запретах и в построениях. Причина в обоих случаях в том, что часто гипотетически существующую гладкую кривую можно выродить в особую псевдоголоморфную кривую. Эта идея применялась в [П2] для запретов и в [27], [28] для построений. Следует, впрочем, пояснить, в каком смысле псевдоголоморфные кривые применялись для построений. Формально говоря, они не использовались в [27] и [28]. Даже слово «псевдоголоморфная» не встречается в этих статьях. Тем не менее, вряд ли было бы возможно угадать, какую особую кривую надо возмущать, без знания того, что это одно из очень малого числа псевдоголоморфно реализуемых глубоких вырождений.

2.2. Классификация М-кривых степени 8. Когда я занялся исследованием плоских алгебраических кривых, оставалось 9 открытых случаев реализуемости конфигураций овалов вещественной алгебраической М-кривой степени 8 (см. рис. 1-3, на которых число п означает п попарно невложенных овалов в соответствующей области). Я реализовал алгебраически одно из них в [28]1 и запретил два в [П2]. Все остальные 6 случаев я реализовал в [П1], [П2] псевдоголоморфно, завершив тем самым классификацию вещественных псевдоголоморфных кривых степени 8 с точностью до изотопии.

Теорема 2.1. (Теорема 1.2 в [П2].) Изотопические типы, изображенные на рис. 2, не реализуемы вещественными псевдоголоморфными кривыми степени 8. Изотопические типы, изображенные на рис. 3, реализуемы вещественными псевдоголоморфными кривыми степени 8.

1Этот результат не влючен в диссертацию по формальным причинам.

Рис. 1. Алгебраическая кривая, построенная в [28]

Рис. 2. Псевдоголоморфно нереализуемые конфигурации [П2]

2 14

2 4

Рис. 3. Псевдоголоморфные кривые, построенные в [П1], [П2] Таблица 1. Изотопические типы псевлоголоморфных М-кривых степени 8

р=19, п=3 р=15, п=7 р=11, п=11 р=7, п=15 р=3, п=19

(18и1(3»На <14Ш<7))С <10U1<11))V <6U1<15))V <2U1<19))V

(17и1(1)и1(2) )На <13Ш<1)Ш<6)^ <9U1<1)U1<10))K <5U1<1)U1<14))V <1Ш<1)Ш<18))0 *

<13U1<2)U1<5))G <9U1<2)U1<9))V <5U1<2)U1<13))V <1U1<2)U1<17))V

<13U1<3)U1<4))V <9U1<3)U1<8))V <5Ш<3)Ш<12)^

<9U1<4)U1<7))V <5U1<4)U1<11))V <1U1<4)U1<15))0 *

<9U1<5)U1<6))V <5U1<5)U1<10))V <1Ш<5)Ш<14)^

<5U1<6)U1<9))V

<5U1<7)U1<8))V <1U1<7)U1<12))0 *

<1U1<8)U1<11))V

<1U1<9)U1<10))O *

<17Ш<1))№ <12U2<1)U1<5))V <8U1<1)U1<1)U1<9))V <1<1)Ш<1)Ш<17))3

<8U1<1)U1<3)U1<7))V <4U1<1)U1<3)U1<11))S <1<1)U1<7)U1<11))S

<8U1<1)U1<5)U1<5))V <4U1<1)U1<5)U1<9))V <1<5)U1<7)U1<7))S

<8Ш<3)Ш<3)Ш<5)^ <4U1<1)U1<7)U1<7))S

<4U1<3)U1<5)U1<7))V

<1U1<2U1<17)) Ш <1U1<6U1<13)))V <1U1<10U1<9)))V <1U1<14U1<5)))Hi <1U1<18U1<1)))V

<2U1<2U1<16)) С <2U1<6U1<12)))K <2U1<10U1<8)))K <2U1<14U1<4)))K

<3U1<2U1<15)) К <3U1<6U1<11)))K <3U1<10U1<7)))V <3U1<14U1<3)))V

<4U1<2U1<14)) О * <4U1<6U1<10)))K <4U1<10U1<6)))K <4U1<14U1<2)))K

<5U1<2U1<13)) С <5Ш<6Ш<9))^ <5Ш<10Ш<5))^ <5Ш<14Ш<1)))ш

<6U1<2U1<12)) К <6U1<6U1<8)))K <6U1<10U1<4)))K

<7U1<2U1<11)) О <7U1<6U1<7)))V <7U1<10U1<3)))V

<8U1<2U1<10)) К <8U1<6U1<6)))K <8U1<10U1<2)))K

<9U1<2U1<9))) V <9U1<6U1<5)))V <9U1<10U1<1)))V Ha=Haгnack [18]

<10U1<2U1<8)) К Hi=Hilbeгt [19]

<11U1<2U1<7)) V <11U1<6U1<3)))V W=Wiman [43]

<12U1<2U1<6)) К <12U1<6U1<2)))K G=Gudkov [16]

<13U1<2U1<5)) С <13U1<6U1<1)))V K=Koгchagin [21, 22]

<14U1<2U1<4)) О * V=Viгo [37, 40]

<15U1<2U1<3)) К S=Shustin [34, 35]

<16U1<2U1<2)) С C=Chevallieг [5]

<17U1<2U1<1)) V O=Oгevkov [П1,П2],[28]

1

1

7

1

Полный список изотопических типов, реализуемых псевдоголоморфными М-кри-выми степени 8, приведен в таблице 1. Кодировка изотопических типов описана в [39], [40]. Изотопические типы, вопрос об алгебраической реализуемости которых остается открытым, помечены звездочкой. Возле кажной вещественной схемы указан автор ее первой реализации.

2.3. Новые формулы комплексных ориентаций. Вещественная псевдоголоморфная (в частности, вещественная алгебраическая) кривая А называется разбивающей или типа I, если дополнение А \ МА несвязно. В этом случае А \ МА имеет две компоненты связности А+ и А-, переводящиеся друг в друга комплексным сопряжением, и тогда комплексная ориентация кривой МА определяется как граничная ориентация, индуцированная с А+ или с А-. Эти ориентации получаются друг из друга одновременным обращением ориентации всех компонент связности множества

ЕА.

Рис. 4. Положительная и отрицательная инъективные пары

Рохлин [33] доказал следующую формулу для комплексных ориентаций разбивающей кривой четной степени 2к в МР2:

2(П+ — П-) = к2 — /,

где I - число овалов и П+ (соотв. П-) - число положительных (соотв. отрицательных) инъективных пар овалов, т. е. таких пар овалов, что один из них лежит внутри другого и комплексные ориентации такие, как на рис. 4.

Мишачев в [26] обобщил эту формулу на кривые нечетной степени 2к + 1:

2(П+ — П-) + Л+ — Л- = к2 + к — /,

где Л+ (соотв. Л-) - число положительных (соотв. отрицательных) овалов; овал О называется положительным (соотв. отрицательным), если [О] = — 2[7] (соотв. [О] = 2[/|) в Н1(М), где М - неориентируемая компонента дополнения МР2 \ О и / - нестягиваемая компонента множества МА (называемая псевдопрямой); см. рис. 5.

positive negative

Рис. 5. Положительный и отрицательный овалы

Формулы комплексных ориентаций играют одну из ключевых ролей в «запретительной» части классификации вещественных кривых степени 7 и 8 (см. [38], [П2]).

В [П1] найдена новая формула комплексных ориентаций для кривых с глубоким гнездом, т. е. для кривых с гнездом глубины |_т/2|, где т - степень кривой. Сформулируем ее.

Когда овалы О и О' образуют инъективную пару, положим [О : О'] = 1, если пара положительна, и [О : О'] = — 1, если она отрицательна. Пусть А - псевдоголоморфная кривая степени т. В случае, когда т положительно и овал О не внешний, назовем О положительным, если [О : О'] = 1, где О' - внешний овал, охватывающий О. В противном случае назовем О отрицательным. При четном т мы будем также считать, что каждый внешний овал отрицателен по определению.

Предположим, что МА имеет гнездо (О1;... , О^-1) глубины к — 1, где к = [т/2]. Это значит, что О j охватывает О к при ] < к. Тогда из теоремы Безу следует, что все остальные овалы пустые.

Теорема 2.2. (Теорема 1.5А в [П1].) Пусть к+ (соотв. к-) - число положительных (соотв. отрицательных) непустых овалов, А+ (соотв. А_) - число положительных (соотв. отрицательных) пустых овалов, и пусть , € {+, —} - число инъек-тивных пар (О, о), где о - пустой овал внутри О и (5, з) - знаки овалов (О, о). Тогда

(к+)2, п_ — п_ = (к_)2 (т четно);

(к+)2, п_ — п_ + (А+ — А_)/2=(к_)2 + к_ (т нечетно).

Эти формулы, как и их непосредственные обобщения, полученные в [42] и в [30], нашли многочисленные применения, см., например, [8], [9], [29], [П1], [П2].

2.4. Тригональные кривые. На вопрос о реализуемости любого данного изотопического типа (необязательно гладкого) вещественной алгебраической тригональной кривой (т. е. кривой, заданной уравнением ^(ж, у) = 0, degy ^ = 3) дан полный ответ в [П5]. На подобный вопрос о вещественных псевдоголоморфных кривых ответ дан в [П7, §6] (см. §4 ниже). Под послойным изотопическим типом мы понимаем класс эквивалентности гладких кривых на плоскости с конечным числом особых точек (в окрестности которых кривые предполагаются аналитическими), причем две такие кривые эквивалентны, если они связаны гладкой изотопией плоскости, которая вертикальные прямые отображает на вертикальные прямые.

Плоской тригональной кривой А, заданной уравнением ^(ж, у) = 0, мы сопоставляем плоский граф Г = ^'_1(МР1) С СР1, где ^(ж) есть ]-инвариант Вейерштрасса эллиптической кривой

{(у,г) | ^(ж,у) = г2}.

Тогда послойный изотопический тип множества МА определяет комбинаторный тип графа Г в окрестности МР1, и вопрос о реализуемости данного послойного изотопического типа сводится к вопросу о существовании продолжения графа с окрестности МР на всю СР1. Это алгоритмически разрешимая комбинаторная задача.

Результаты и идеи из статьи [П5] нашли многочисленные приложения (эта статья имеет 34 цитирования согласно базе данных МаЛБаЫе^.

п_ — = — =

2.5. Аффинные М-секстики. Гладкая аффинная неприводимая алгебраическая кривая А в М2 степени < называется аффинной М-кривой, если она имеет максимально возможное число компонент связности, равное д +1, где д = (1 — 1 )(< — 2)/2 -род комплексификации кривой А. Это условие эквивалентно тому, что проективное замыкание кривой А является М-кривой (т. е. у него д +1 компонент связности) и все пересечения с бесконечно удаленной прямой вещественны, трансверсальны и лежат на одной и той же компоненте замыкания кривой А.

Классификация аффинных М-секстик с точностью до изотопии была начата в [23] и завершена в [П1], [П3], [П6], [П9]. В [П1] была получена классификация вещественных псевдоголоморфных М-секстик. Эти классификации не совпадают. Приведем их.

Обозначения изотопических типов аффинных М-секстик, представленных в виде пар, состоящих из проективной секстики и прямой в МР2 (прямая на бесконечности) показаны на рис. 6, где а,Ь,с - числа попарно невложенных овалов в соответствующих областях.

А х(а,Ь)

А2(а,Ь,е) Ъ

А4(а,Ь,е) В 1(а,Ь)

Ъ

А3(а,Ь,е)

а

В 2(а,Ь,е)

Ъа

Ъ

В 3(а,Ь,е) ^-" С 1(а,Ь,е) С 2(а,Ь,е)

Рис. 6. Кодировка изотопических типов аффинных М-секстик

Ъ

Теорема 2.3. (а). (Теорема 1 и раздел 7.2 в [П1].) Изотопический тип реализуем аффинной алгебраической М-секстикой тогда и только тогда, когда он принадлежит следующему списку:

'А^а,Ь), (а, Ь) = (1, 8), (5, 4), А2(а, Ь, с), (а, Ь, с) = (1, 8,1), (8,1,1), (0, 5, 5), (1, 4, 5),

(4,1, 5), (5, 0, 5), (0,1,9), (1, 0, 9), Аз(а,Ь,с), (а, Ь, с) = (4, 5,1), (7, 2,1), (2, 3, 5), (4,1, 5), (0,1,9),

(0,5, 5),

А4(а, Ь, с), (а, Ь, с) = (1, 8,1), (5, 4,1), В1(а,Ь), (а, Ь) = (1, 8), (5, 4),

В2(а,Ь,с), (а, Ь, с) = (1, 8,1), (0, 5, 5), (5, 0, 5), (0,1, 9), (1, 0,9), Вз(а, Ь, с), (а, Ь, с) = (3, 6,1), (1, 4, 5), (2, 3, 5), С1 (а, Ь, с), (а, Ь, с) = (0, 9,1), (7, 2,1), (0, 5, 5), (3, 2, 5), (0,1,9), 1С2(а, Ь, с), (а, Ь, с) = (1, 7, 2), (5, 3, 2)

(Ь) (Теорема 5 в [П3], теорема 1 в [П9] и теорема 1.1 в [П6] соответственно.) Следующие изотопические типы реализуемы псевдоголоморфно, но не алгебраически:

А4(1, 4,5), В2(1, 4,5), С2(1, 3,6) . (1)

3. Об алгебраической нереализуемости изотопических типов, реализуемых вещественными псевдоголоморфными кривыми

Как сказано выше, вещественные псевдоголоморфные кривые обладают многими топологическими свойствами вещественных алгебраических кривых. Поэтому в случаях, когда изотопический тип реализуем псевдоголоморфно, нужны существенно новые методы для того, чтобы доказать его алгебраическую нереализуемость. В этом разделе мы представим некоторые методы, разработанные и/или примененные автором для этой цели.

3.1. Метод Гильберта — Роона — Гудкова (совместно с Е. И. Шустиным). В

разделе 1 мы уже вкратце изложили этот метод. Он был развит и успешно применен Гудковым для классификации вещественных алгебраических кривых степени 6. В последствии появились топологические методы, и результаты Гудкова о вещественных алгебраических секстиках стали частным случаем более общих топологических фактов, касающихся кривых любой четной степени. Поэтому появилось впечатление, что метод Гильберта - Роона - Гудкова больше ни для чего не нужен. Однако обнаружение алгебраически не реализуемых псевдоголоморфных кривых дало ему новую жизнь.

В серии совместных статей с Е. И. Шустиным, начатой с [П3], [П6], этот метод применен для запрета трех аффинных алгебраических секстик, упомянутых в теореме 2.3(Ь), а также для доказательства алгебраической нереализуемости некоторых кривых на квадратичном конусе. Для применимости метода Гильберта - Роона - Гудкова в наших задачах мы нашли и доказали новые достаточные условия для существо-ваня однопараметрических эквисингулярных деформаций кривых с особенностями

типа Ап, проходящих через некоторые фиксированные точки, и таких, что некоторая величина монотонно убывает. Последнее условие гарантирует, что данное семейство кривых сходится к некоторой более вырожденной кривой.

3.2. Тригональные кривые. Результаты работы [П5] (см. раздел 2.4) дают алгоритм, чтобы установить, реализуемо ли данное послойное расположение алгебраической тригональной кривой данной бистепени. Например, послойное расположение на рис. 7 не реализуемо вещественной алгебраической кривой бистепени (3,15) на поверхности Хирцебруха Е5. Множество вещественных точек КЕ5 - бутылка Клейна, изображенная на рис. 7 в виде прямоугольника с отождествленными протвополож-ными сторонами. Горизонтальные стороны представляют исключительное сечение (индекс самопересечения которого равен —5), а вертикальные стороны представляют слой проекции Е5 ^ Р1.

Рис. 7. Послойное расположение, не реализуемое вещественной алгебраической кривой бистепени (3,15) на поверхности Хирцебруха Е5, но реализуемое вещественной псевдоголоморфной кривой из того же гомологического класса

Алгебраическая нереализуемость кривой на рис. 7 используется на заключительном шаге доказательства в [П9] алгебраической нереализуемости аффинной секстики В2(1, 4, 5) (см. (1) в разделе 2.5 выше). Заметим, что это расположение реализуемо псевдоголоморфно. Чтобы в этом убедиться, достаточно проверить, что квазиполо-жительна коса

Ь := с- 4 с 1^2 1 с 1 4 С2С- 1 с- 4 С1С- 1 А3 (здесь А - элемент Гарсайда с1с2с1). В самом деле, легко проверить, что

Ь = (с- 3С1Сг)(сГ 2&2С2 )(с-1сГ 3С2С3С2).

3.3. Кубическая резольвента квадригональной кривой. Пусть А - вещественная алгебраическая квадригональная кривая, т. е. кривая, задаваемая уравнением Р(ж, у) = 0, degy Р = 4. Бирациональной заменой переменных вопрос о реализуемости некоторого данного расположения такой кривой сводится к вопросу о реализуемости некоторого другого расположения кривой вида

у4 + а2(ж)у2 + а1(ж)у + а0(ж) = 0.

Послойный изотопический тип такой кривой определяет послойный изотопический тип ее кубической резольвенты Д(ж,у) = 0 относительно переменной у, а также ее расположение относительно прямой у = 0. Напомним, что кубическая резольвента многочлена

У4 + а2у2 + а1У + а0 = (У — У1)(У — У2 )(У — У3)(У — У4)

- это многочлен (у — г1)(у — ¿2)(у — г3), где

¿1 = (у1 + у2)(у3 + у4), ¿2 = (у1 + у3)(у2 + у4), ¿3 = (у1 + у4)(у2 + у3)-

Поскольку Я =0 - это тригональная кривая, задача о ее алгебраической реализуемости алгоритмически разрешима (см. раздел 2.4). Более того, даже если требуемый послойный изотопичекий тип кривой Я (ж, у) = 0 алгебраически реализуем, иногда удается доказать, что послойный изотопичекий тип кривой уЯ(ж,у) не реализуем даже псевдоголоморфно, что влечет алгебраическую нереализуемость исходного послойного расположения квадригональной кривой.

Этот метод был успешно применен в работах [П6], [П9] для доказательства алгебраической нереализуемости аффинных секстик (1) (см. раздел 2.5).

3.4. Разбивающие морфизмы и теорема Абеля. Напомним, что под невырожденной вещественной алгебраической кривой в КР2 мы понимаем невырожденную алгебраическую кривую в СР2, инвариантную относительно комплексного сопряжения (ж : у : г) М- (ж : у : г). Если такая кривая обозначена через А, то множество ее вещественных точек мы будем обозначать через КА. Кривая А называется разбивающей (или типа I), если А \ КА несвязно. В этом случае А \ КА имеет две компоненты связности и граничная ориентация, индуцированная комплексной ориентацией любой из этих компонент, называется комплексной ориентацией на КА. Она определена с точностью до одновременного обращения ориентации каждой компоненты связности множества КА.

Основным результатом работы [П10] является некоторое неравенство для изотопического типа плоской неособой вещественной алгебраической кривой, снабженного комплексными ориентациями (т. е. для ее комплексной схемы согласно терминологии, введенной Рохлиным в [33]), из которого, в частности, следует, что ориентированный изотописеский тип, изображенный на рис. 8, т. е. комплексная схема

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Оревков Степан Юрьевич, 2023 год

Список литературы

S.S. Abhyankar and A. Sathaye, Uniqueness of plane embeddings of special curves, Proc. Amer. Math. Soc. 124 (1996), 1061-1069.

B. И. Арнольд, О 'расположении овалов вещественных плоских алгебраических кривых, инволюциях четырехмерных гладких многообразий и арифметике целочисленных квадратичных форм, Функц. анализ и его прил., 5:3 (1971), 1-9.

J. Birman, K.-H. Ko, S.-J. Lee, A new approach to the word and conjugacy problems in the braid groups, Adv. Math. 139 (1998), 322-353.

M. Borodzik and H. Zoladek, Number of singular points of an annulus in C2, Ann. Inst. Fourier 61 (2011), 1539-1555.

Б. Шевалье, Четыре M-кривые степени 8, Функц. анализ и его прил., 36:1 (2002), 90-93. P. Dehornoy, Groupes de Garside, Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. 35 (2002),267-306 P. Dehornoy, L. Paris Gaussian groups and Garside groups, two generalizations of Artin Groups, Proc. London Math. Soc. (3) 79 (1999),569-604

S. Fiedler-LeTouze, Cubics as tools to study the topology of M-curves of degree 9 in RP2, J. London Math. Soc. (2) 66 (2002), 86-100.

S. Fiedler-LeTouze, Pencils of cubics and algebraic curves in the real projective plane, CRC Press, Boca Raton, FL, 2019.

S. Fiedler-LeTouze, S. Yu. Orevkov, A flexible affine M-sextic which is algebraically unrealizable, J. of Algebraic Geometry 11 (2002) 293-310.

A. Gabard, Sur la représentation conforme des surfaces de Riemann a bord et une caracérisation

des courbes séparantes, Comment. Math. Helv. 81 (2006), 945-964.

F. A. Garside, The braid group and other groups, Quart. J. Math. 20 (1969), 235-254.

V. Gebhardt, A new approach to the conjugacy problem in Garside groups, J. of Algebra 292 (2005),

282-302,

V. Gebhardt, J. Gonzalez-Meneses, The cyclic sliding operation in Garside groups, Math. Z. 265 (2010), 85-114.

M. Gromov, Pseudoholomorphic curves in symplectic manifolds, Invent. Math. 82 (1985), 307-347. Д. А. Гудков, Построение новой серии М-кривых, ДАН 200:6 (1971), 1289-1272. Д. А. Гудков, Г. А. Уткин, Топология кривых 6-го порядка и поверхностей 4-го порядка, Уч. зап. Горьк. ун-та, вып. 87 (1969), 3-213.

A. Harnack, Uber die Vielfaltigkeit der ebenen algebraischen Kurven, Math. Ann. 10 (1876), 189-199 D. Hilbert, Uber die reellen ZUge der algebraischen Kurven, Math. Ann. 38 (1891), 115-137. F. Klein, Uber eine neue Art von Riemann'schen Flachen, Math. Ann. 10 (1876), 398-416. А. Б. Корчагин, Новые возможности в способах Брюзотти для построения M-кривых порядков > 8, в сб.: Методы качественной теории дифференциальных уравнений, изд. ГГУ, Горький, 1978, 149-159.

А. Б. Корчагин, Новые M-кривые степеней 8 и 9, Докл. АН СССР, 306:5 (1989), 1038-1041. А. Б. Корчагин, Е. И. Шустин, Аффинные кривые степени 6 и устранения невырожденной шестикратной особой точки, Изв. АН СССР. Сер. матем., 52:6 (1988), 1181-1199. V. Ya. Lin and M. G. Zaidenberg, On the number of singular points of a plane affine algebraic curve, in: Linear and complex analysis problem book, Lect. Notes Math. 1043, Springer, 1984, 662-663. V. Ya. Lin and M. G. Zaidenberg, On the number of singular points of a plane affine algebraic curve, in: Linear and complex analysis problem book, Lect. Notes Math. 1574, Springer, 1994, p. 479. Н. М. Мишачёв, Комплексные ориентации плоских M-кривых нечетной степени, Функц. анализ и его прил., 9:4 (1975), 77-78.

C.Ю. Оревков, Новая аффинная M-секстика, Функц. анализ и его прил., 32:2 (1998), 91-94. С.Ю. Оревков, Новая M-кривая степени 8, Функц. анализ и его прил., 36:3 (2002), 90-93.

S. Yu. Orevkov, Plane real algebraic curves of odd degree with a deep nest, J. of Knot Theory and Ramifications 14 (2005), 497-522 .

[30] S. Yu. Orevkov, Complex orientation formulas for M-curves of degree 4d + 1 with 4 nests, Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse. Mathématiques, (6) 19 (2010), 13-26.

[31] I.G. Petrovsky, On the topology of real plane algebraic curves, Ann. Math. 39 (1938), 187-209.

[32] В. А. Рохлин, Сравнения по модулю 16 в шестнадцатой проблеме Гильберта. II, Функц. анализ и его прил., 7:2 (1973), 91-92.

[33] В. А. Рохлин, Комплексные ориентации вещественных алгебраических кривых, Функц. анализ и его прил., 8:4 (1974), 71-75.

[34] Е. И. Шустин, Новая M-кривая 8-й степени, Матем. заметки, 42:2 (1987), 180-186.

[35] E. Shustin, New M - and (M — 1)-curves of degree 8. In: Rokhlin seminar/ O. Viro et al, eds., Lecture Notes in Math. vol 1346, Springer Verlag, 1988, 487-493.

[36] K. Tono, On the number of the cusps of cuspidal plane curves, Math. Nachr. 278 (2005), 216-221

[37] О. Я. Виро, Кривые степени 7, кривые степени 8 и гипотеза Рэгсдейл, Докл. АН СССР 254:6 (1980), 1306-1310.

[38] О. Я. Виро, Плоские вещественные кривые степеней 7 и 8: новые запреты, Изв. АН СССР. Сер. матем., 47:5 (1983), 1135-1150.

[39] О. Я. Виро, Успехи в топологии вещественных алгебраических многообразий за последние шесть лет, УМН 41:3 (1986), 45-67.

[40] О. Я. Виро, Плоские вещественные алгебраические кривые: построения с контролируемой топологией, Алгебра и анализ, 1:5 (1989), 1-73.

[41] I. Wakabayashi, On the logarithmic Kodaira dimension of the complement of a curve in P2, Proc. Japan Acad. Ser A, 54 (1978), 157-162

[42] J.-Y. Welschinger, J-courbes réelles a nids profonds sur les surfaces réglées, Записки научных семинаров ПОМИ, 267 (2000), 88-118.

[43] A. Wiman, Uber die reellen Zuge der ebenen algebraischen Kurven, Math. Ann., 90 (1923), 222-228.

[44] M. Zaidenberg, in: Open problems on open algebraic varieties, arXiv:alg-geom/9506006

[45] М.Г. Зайденберг, В. Я. Лин, Неприводимая односвязная алгебраическая кривая в C2 эквивалентна квазиоднородной, Докл. АН СССР, 271:5 (1983), 1048-1052.

[46] С.Ю. Оревков, М.Г. Зайденберг, О жестких 'рациональных каспидальных плоских кривых, УМН, 51:1 (1996), 149-150.

Приложение 1. Статья "Link theory and oval arrangements of real

algebraic curves".

S.Yu. Orevkov, "Link theory and oval arrangements of real algebraic curves", Topology 38 (1999), 779-810.

DOI https://doi.org/10.1016/S0040-9383(98)00021-4

Pergamon

Topology Vol. 38, No. 4, pp. 779-810, 1999 © 1999 Elsevier Science Ltd. All rights reserved Printed in Great Britain 0040-9383/99 $19.00 + 0.00

PII: S0040-9383(98)00021-4

LINK THEORY AND OVAL ARRANGEMENTS OF REAL

ALGEBRAIC CURVES

S. Yu. Ürevkovt

(Received 27 October 1997; in revised form 6 April 1998)

0. INTRODUCTION

How can a real algebraic curve of a given degree be deposed on the plane up to an ambient isotopy? This is one of the questions posed by Hilbert in the 16th problem almost 100 yr ago. There are few chances of obtaining a complete answer to this question in the near future. However, a lot of partial results in this direction are obtained (see surveys [9, 21, 31, 30, 25]). All the activity around this question can by roughly divided into two more or less independent parts: Constructions (how to realize isotopy types which exist) and prohibitions (how to prove that some isotopy types do not exist). In this paper we discuss only the prohibitions.

Let Y be the double covering of CP2 ramified along the complexification CA of a real curve RA. Almost all of the most powerful modern methods to obtain restrictions on the topology of plane real curves are based on the construction of 2-cycles in Y and the computation of their intersections. On one hand, Y is a standard complex object whose topology is well studied and, on the other hand, a lot of 2-cycles are "visible" on the real plane. This idea appeared in the remarkable paper of Arnold [1] and then it was exploited and developed by different authors. In particular, Ya. Viro [30, (4.12); 12, eqs (5.1) and (5.2)] suggested a method to construct 2-cycles which are not visible on the real plane but which are visible on the 3-manifold CLP consisting of all complex points of the real lines of some pencil LP. This method was further developed in [23, 24]. (First, the idea to consider CLP was proposed by Fiedler [6] as a tool to obtain topological restrictions from the Rokhlin's complex orientations formula [20].)

In this paper we propose a method of prohibitions based on the consideration of CLP as the boundary of one of the two parts into which it cuts CP2. If we push CLP a little into the interior of this 4-manifold then the singularities of CLP n CA will be smoothed in a controlled way and we obtain a link L in a 3-sphere S3 bounding an embedded surface N l B4 (N is a piece of CA; see Sections 3 and 4 for details). The topological type of N can be found by Riemann-Hurwitz formula. Thus, we reduce the problem to a classical problem of link theory, that is, what surfaces in B4 can be bounded by a given link in S3. A rather strong necessary condition for N in terms of the Seifert form of L is provided by the Murasugi-Tristram inequality [13, 26] (see Section 2.2 below). Most of the results of this

t Partially supported by Grants RFFI-96-01-01218 and DGICYT SAB95-0502.

paper are obtained using this inequality. However, even elementary arguments based on the linking numbers of components of L sometimes enables to obtain some new restrictions (see Sections 4.3, 4.4, 5.3.5).

In fact, the method based on the Murasugi-Tristram inequality is very close to those based on 2-cycles on the double covering. For instance, it is shown in [27] that the signature of the double covering of B4 branched along N is equal to the signature of the Seifert form. However, the construction of the cycles in our approach is hidden in the proof of this fact. Thus, the art of cycles construction is replaced with a well algorithmized computation of a Seifert matrix.

The Murasugi-Tristram inequality was already used in the context of real curves (in a different way) by Gilmer [8].

1. STATEMENTS OF THE RESULTS 1.1. Classification of flexible affine M-sextics

Let Ci be the infinite line RP2\R2 and Cm l RP2 a curve of degree m. We shall say that the affine curve Cm\Ci is an affine M-curve if it has the maximal possible number (m2 — m + 2)/2 of connected components. This is equivalent to the fact that Cm is a projective M-curve, i.e. it has the maximal possible number of connected components 1 + (m — 1) (m — 2)/2 and it cuts Ci transversally at m distinct real points which all lie on the same connected component of Cm. This definition differs from that given in [12, 23] but it seems to be more natural.

According to Gudkov's [9] isotopy classification of real projective sextics, a projective M-sextic has 11 ovals 10 of which are empty1 and one surrounds 1, 5, or 9 others. Choosing in different ways a line passing through 2 empty ovals and using the fact that it cuts C6 at most in 6 points, one can easily check that each affine M-sextic belongs to one of the isotopy types depicted in Fig. 1 where a priori a, ft, at, ft; are arbitrary integers providing one of the three possible isotopy types of C6 (cutting Rp2 along Ci one obtain a disk; these disks are depicted in Fig. 1).

Theorem 1. All the isotopy types not listed in the tables in Fig. 1 are not realizable by affine M-sextics.

The 33 isotopy types corresponding to the lines not marked by "(f)" are realized in [12]. Other constructions (exposed with more details) of these 33 curves can be found in [11]. It is also announced in [12] that only 19 of the remaining isotopy types may exist. Later, it was announced in [23] that 10 more cases of these 19 ones were also prohibited. However, the proofs of at least 3 of these prohibitions (namely, A3(0, 5, 5), A4(1, 4, 5), C2(1, 3, 6)) are wrong because these isotopy types in principle cannot be prohibited by methods used in [12, 23] (see Section 7.2).

Moreover, the configuration A3(0, 5, 5) is realizable by a suitable smoothing of the real rational sextic that has 5 singular points of types A8, E6, A2, Ai, Ai, the line through E6 and A2 being tangent to the curve at A2. There exists a unique (up to SL3(R)) real sextic with this configuration of singularities. Similarly (see [15]), a curve realizing B2(1, 8,1) can be constructed by smoothing of a rational sextic with Ai6, A2, Ai. The realizability of

1 An oval is said to be empty if its interiority does not contain other ovals (it is not 0!)

Fig. 1.

A4(1, 4, 5), B2(1, 4, 5), and C2(1, 3, 6) is still unknown, but we construct in Section 7.2 flexible curves (see the definition in [28] or in Section 3.1 below) realizing these three isotopy types as well as all the others marked by "(f)" in Fig. 1. Theorem 1.1 is proved in Section 5.

1.2. Reducible curves of degree 7

As another illustration of applicability of the link-theoretical methods to the study of the topology of reducible curves we prove in Section 6 the following two results.

Theorem 1.2A. There does not exist M-quintic C5 whose odd component is deposed with respect to a conic C2 as it is depicted in Fig. 2.

It is easy to derive from Bezout theorem that the ovals of C5 must be distributed between the regions marked by , <a2>, . The complex orientation formulas allow only 13 possible distributions (see Section 6.1). Using some other methods it is possible to prohibit 3 of them (see [19, eq. (2.1.2)]). The realizability of the other 10 cases was unknown.

Now let us consider mutual arrangements of a quartic and a cubic. Suppose that an oval O4 of an M-quartic C4 is deposed with respect to an M-cubic C3 as it is shown in Fig. 3. Denote by k<a> (ka = 1, 2, 3) the arrangement where the kth outer (with respect to O4) digon contains a ovals of C4 and the other 3 — a ovals are deposed in the non-bounded component of RP2\(C3 u C4). Let 0 <0> be the arrangement where all the 3 free ovals of C4 are outside. It follows from Bezout theorem that all the other distributions of free ovals of C4 are impossible (or can be reduced to these 10 by reversing the order of digons).

Theorem 1.2B. All the arrangements k <a> except 0 <0> and 2 <1> are not realizable.

These two arrangements are realizable by flexible curves (see Section 7.3).

Some open questions in the classification of reducible 7th degree curves (in particular, those answered in Theorems 1.2A and 1.2B) were kindly communicated to me by

Fig. 3.

G. M. Polotovskii. Using the methods of this paper we have obtained with him [17] an isotopy classification of all mutual arrangements of an M-cubic and an M-quartic such that two ovals intersect in 12 points.

1.3. Curves of degree 8 with a 5-fold point

(Compare with [18, 3]).

Theorem 1.3. There do not exist curves of degree 8 shown in Fig. 4 with a + ft = 11.

Originally, this theorem was proved in the same way as Theorem 1.1 (using the pencil of lines through the 5-fold point). However, it follows from the results of [16] (see also Section 4.1). So, we do not present the proof here.

1.4. A singularity without M-perturbations

Let C0 e R2 be a real analytic curve which has three analytic branches at the origin, each branch having an ordinary cusp A2. Let U be a small disk with the center in the origin and let C be a perturbation of C0. A local version of the Harnack inequality implies that C n U has not more than 16 components: three components with the boundaries on dU and 13 ovals. Such a perturbation is called an M-perturbation. In the case when C0 is arranged as in Fig. 5(left), an M-perturbation exists (simplify the singularity into an ordinary 6-fold point and then perturb it gluing any affine M-sextic of the series A). However, if C0 is like in Fig. 5(middle), all the attempts to construct it fail.

V. Kharlamov and E. Shustin have prohibited all the possible arrangements of ovals for the perturbation in the latter case except two very particular arrangements shown in Fig. 5(right). Using the local version of the method 4.2, the author proved that the last possibility also is not realizable. An outline of the proof is presented in 8.1. The details are planned to be published in the joint paper [10].

1.5. A new formula for complex orientations for a projective M-curve with a deep nest

Let RA d RP2 be a real projective M-curve of degree m. Recall (see [20, 21], or [30, Section 2]) that CA\RA = A+uA~ and the complex orientation of RA is the boundary orientation coming from A + . Two ovals O, O' bounding an annulus form a positive (resp. negative) injective pair if their complex orientations do (resp. do not) coincide with the boundary orientation of the annulus; we write this as [O: O'] = 1 (resp. [O: O'] = — 1).

In the case when m is odd, an oval O is called positive (resp. negative) if [O] = — 2[N] e Hi(Rp2\Int O) (resp. [O] = 2[N]) where N is the odd component of RA. In the case when m is even and O is not outer, O is said to be positive if [O: O'] = 1 (or, equivalently, [O] = — [O'] eHi(Rp2\Int O)) where O' is the outer oval surrounding O.

Otherwise O is called negative. If m is even, we assume also (this is not so in [21, 30]) that any outer non-empty oval is negative by definition.

Suppose RA has a nest (O1, ..., Ok-1) of depth k — 1 where k = [m/2]. This means that the oval Oj is surrounded by Ok for j > k. It follows from Bezout theorem that all the other ovals are empty. In Section 4.4 we prove the following

Theorem 1.4A. Let k+ (resp. k~) be the number of positive (resp. negative) non-empty ovals, A+ (resp. the number of positive (resp. negative) empty ovals, and let nf, S, s e { +, — } be the number of pairs (O, o) where o is an empty oval surrounded by O and (S, s) are the signs of (O, o). Then

n! — nX = (k+)2, ni — n! = (k~)2 (m is even) nX — nX = (k+)2, n- — n! + (A+ — A_)/2 = (k~)2 + k~ (m is odd).

Corollary 1.5. f a real schemef of an M- curve of degree 7 is <Ju^u1 <a>> with a > 0, and the non-empty oval is positive then

(a) a and ^ are odd,

(b) the complex scheme is <Ju(i)+u(£-1)_u1 + <(^X1)-».

Corollary 1.6. If a real scheme of an M curve of degree 8 is <y u 1 <^u 1 <a>>> with a > 0, and the non-empty ovals form a positive injective pair then

(a) a and y are odd,

(b) the complex scheme is <yu1 <(2 + 1)+u(2 — 1)_ u1+ u(^^)_>>>.

Corollary 1.7. If a real scheme of an M-curve of degree 8 is <yu1 <2u1 <a>>> where a and y are even and a > 0 then the complex scheme is

<yu1 <1Xu1_u1_<( 2 + 1)Xu( 2 — 1)->>>.

Corollary 1.8. There do not exist M-curves of degree 9 with the following 9 real schemes: <Ju2u 1 <1u1 <23>>>, <Ju3u 1 <1u1 <22>>>, and <Juyu1 <1<a>>> where a + y = 26, ye {2,3,4,5,6,8,10}.

Proof. None of the corresponding complex schemes satisfy Theorem 1.4A, Corollary 1.9, and Lemma 1.9, overleaf. □

1 See the definition and notation of real and complex schemes in [30].

Lemma 1.9. In the complex 9th degree M-scheme <Juyu1 <ft+uft_ui<a + ua_»> with y > 0, one has a+ )a- +ft- + 1 and a- )a+ +ft+ + 1.

Proof. Consider the pencil of lines through one of <y>. It follows from Bezout theorem that the ovals <a> cannot be separated by a line of the pencil through another one of <y>. So, the lemma follows from [6]. □

Remarks 1.10. 1. Two independent formulas for complex orientations are known for smoothings of singularities (see [25, 10]).

2. We listed in Corollary 1.8 only the prohibitions which were not known according to [11].

3. Some of the complex 7 degree schemes prohibited in Corollary 1.8 were earlier prohibited in [5] by another method as well as some other complex schemes not covered by Corollary 1.5.

1.6. A flexible realization of the scheme <1u1 <1> u1 <18 >> of degree 8

This is one of the 9 real M-schemes of degree 8 whose realizability is still unknown (1997; see [4]). In Section 8.2 we realize it by a flexible curve (see [30]). This curve is compatible with the pencil of lines through the nest 1 <1> (see Section 3.1). Moreover, all the known methods of constructions 2-cycles on the double covering work for this curve.

We also prove some topological properties of such curves and possibilities for their degenerations.

2. PRELIMINARIES. LINKS AND BRAIDS

In this section we recall some definitions and known facts (mostly, to fix the notation) and perform some elementary calculations with Seifert matrices.

2.1. Seifert matrix

Recall some definitions. Let L be a link in the 3-sphere S3, i.e. several disjoint circles smoothly embedded into S3. A Seifert surface of a link L is a connectedf oriented 2-manifold X smoothly embedded into S3 such that dX = L (taking into account the orientations). A Seifert form of a link L is the bilinear (non-symmetric) form on Hi(X; Z) whose value on x, y equals the linking number of the cycles x+ and y where x+ is the result of a small shift of x along a positive normal vector field to X. A Seifert matrix is the Gramm matrix of a Seifert form with respect to some base of Hi(X; Z).

Let A be an Hermitian matrix and B = QAQ* its diagonalization. The signature a (A) is the sum of the signs of the diagonal entries of B and the nullity n(A) is the number of zeros on the diagonal of B.

Let V be a Seifert matrix of a link L and £ e C, |£ | = 1. The higher signature and nullity of L are said to be ac(L):= a(») and nc(L):= n(Fc) # 1 where Fc = (1 — £) F + (1 — £) V*. For £ = — 1 they are called the signature and the nullity of L. The Alexander polynomial of L is defined as det(F — tF*) and det L as its value at — 1. Though the Seifert matrix is not unique, a;(L), nc(L) and |detL| are link invariants. The Alexander polynomial is invariant up to multiplication by $ tk.

1 Sometimes the connectedness is not claimed, but this condition is important for the definition of the nullity given below.

Lemma 2.1. If the Alexander polynomial of a link L has a simple root t0, |t0| = 1 then for a prime p and a primitive p-root of unity C one has n^(L) = 1 and O(L) | > 0.

Proof. When C passes t0 moving along the unit circle, changes by $2. □

2.2. Murasugi—Tristram inequality

Let L be a link in S3 regarded as the boundary of the 4-ball B4. Let N be a surface of genus g smoothly embedded into B4 such that dN = L. If N is not connected then its genus by definition is equal to the sum of the genera of the connected components. Following [26], denote by ^(•) the number of connected components. Then for each prime p and for each primitive p-root of unity C one has [13, 26]

2g * n(N) — n(L) + | (L) | + | n(L) — ^(N) |. (1)

2.3. Braids

As usual, we call a braid on m strings the graph of a smooth m-valued function F: [0, 1]pC whose values are pairwise disjoint at each point and the real parts of its values are pairwise disjoint at 0 as well as at 1. The projection used for picturing braids (and for definition of the standard generators of the braid group) is supposed to be (t, z) > (t, Re z).

By oi, ..., am-1 we shall denote the standard generators of the braid group Bm and by A (or Am) the Garside element (see Fig. 6)

A = Am = (oio-2 2 om-1) • 2 • (oio-2o-3)• (oio-2)• oi.

The directions of the twists are defined by the convention that o1 e B2 is the function w = jz along the path z = e2rat.

The closure of a braid b is defined as the link b which is the image of b under the standard embedding of the solid torus ([0,1] x C)/(0> z)~(1> z) into S3. The orientation of b is induced by the projection [0, 1] x C p [0,1].

2.4. Quasipositive braids

A braid b is called quasipositive if b = ^w^w-i.

Rudolph [22] showed that a braid b e Bm is quasipositive if and only if it is the boundary braid of an m-valued algebraic function on a disk w = F(z) implicitly defined by wn + a1(z) wn -i + ... + a„(z) = 0 where a,(z) are polynomials in z. Perturbing, if necessary, the coefficients, we may assume that all the singularities of F are ordinary ramifications. Then the number of the branching points is equal to e(b) where e: Bm p Z is the homomor-phism "exponent sum'': e (o,) = 1 for all i.

Hence, by the Riemann—Hurwitz formula, the Euler characteristic of N := graph(F) equals

m — e (b) = x (N) = 2^ (N) — 2g (N) — ^ (bb). (2)

Combining this with (1), we obtain immediately the following necessary condition for the quasipositivity of a braid b e Bm

Mb)* Mb) |+m —e (b). (3)

Corollary 2.2. If a braid b e Bm is quasipositive and e(b) < m — 1 then the Alexander polynomial oft) is identically equal to zero, in particular, det b = 0.

Fig. 6.

2.5. Seifert matrix of a closed braid

Fix a presentation of a braid b 3 Bm

b = o\la*... a*, Bj = ±1. (4)

To construct a Seifert surface of b, one can take m parallel, equally oriented disks and connect them with n once-twisted ribbons as it is shown in Fig. 7. This surface (denote it by X) is connected if and only if

All the indices 1, ...,m — 1 appear among i1, ..., in. (5)

Multiplying if necessary the right-hand side of (4) by expressions of the form ak a^1, we can always assume that (5) is satisfied.

As a base of H1 (X; Z) let us choose the s = n — m + 1 cycles , ... , xs which correspond to circuits in the positive direction around the bounded regions of the projection of the braid onto the plane (see Fig. 7).

This construction leads to the following algorithm for computing a Seifert matrix starting with a braid. Denote by I the set {1, ... , n}. The multi-index i = (ix, ..., in) defines the partition I = I1 uI2 u ... uIm-\ where Ih = {j | ij = h}. Let Sh be the set of pairs of successive (in ascending order) elements of Ih, and put Si = S1 u ... uSm-±.

Let Si = {(a1, bi), ..., (as, bs)} where (av, bv) corresponds to xv (see Fig. 7). Denote hv = = iav = ibv, v = 1, ... , s. Then the Seifert matrix V= || v^v || ^ v = 1 and its symmetrization V# V* = || v^ ||®s v = 1 can be computed as follows.

— 8, if ^ = v and 8a^ = 8^ = 8 1, if hM = hv, bM = av, 8bfi = 1 or hv = h^ + 1, av < aM <bv < bM

— 1, if hM = hv, aM = bv, 8a=— 1 or hv = hll + 1, a^< av <b^< bv 0, otherwise

8^, if ^ = v

if hM = hv and aA = bK = j

if hA = hK + 8 and ax< aK<bx<bK for 8 =± 1 0, otherwise

where (A, k) denotes some permutation of (v). All the mutual positions of xM and xv which provide v^v O 0 are shown schematically in Fig. 8.

Examples 2.3. (Trefoil). m = 2, b = a1a1a1, S = {(1, 2), (2, 3)},

— 1 1N

- y -

Fig. 7.

Fig. 8.

2. (Braid in Fig. 7). b = G2Gi V = I 0

v + v* =

-2 1 1 1 -2 0 1 0 0

2.6. Signature of a braid as a function of generator exponents

Now let us fix m > 1, a multi-index i = (i1, ..., i„) satisfying (5) and consider the family {of} c= Bm of braids

Gi = 2 Gil,

e = (e1

e )eZ".

(6)

To avoid a misunderstanding with the notation of braid generators, we denote in this section the signature and the nullity of a matrix and those of a link by Sign and Null.

Define S = Si = {aV}V = 1s _s and hV's the same way as in Section 2.5. If all ej O 0, put U = Ui(e) = || u^ ||® s V = 1 where (compare it with the formula for v^ in Section 2.5):

( - ei1 - ei1, if ju = v I e/1, if = hV and aÀ = bK = j

if hx = hK + s and ax< aK<bx<bK for s =± 1 otherwise

as above, (A, k) denotes some permutation of (v).

Denote by V= Vi (e) the Seifert matrix of b (where b = oe) constructed in Section 2.5 starting with the presentation of b in the form (4) obtained from (6) by replacing each Gij with the product of | ej | copies of o-lgn ej. Denote by s the dimension of V (clearly,

s = 1 -m + X | ej I).

Proposition 2.4. Let e 3 (Z\0)l V = Vi(e), V = V+V*. Then there exists Q 3 SL(s, Q) such that QVQ* = Uy(e) 0 Dv where Dv is a diagonal matrix with Sign(D^) = - X(ej - sign ej) and | det Dv | = 0! ej I.

Proof. Denote by S the set which was denoted by S in the construction of ». Let of be one of the factors in the right-hand side of (6) and e = sign e. Let a, a + 1, ..., a + e — 1 be the indices of the corresponding part in the developing of (6) into the form (4). Denote the 1-cycles corresponding to (a, a + 1), ..., (a + e — 2, a + e — 1) e S by , ... , xe—\ and those corresponding to (a0, a) and (a + e — 1, ao) (if they exist) by x0 and xe. We shall write the symmetrized Seifert form as x • y. According to the computations of Section 2.5 we have

x • x: = — 2e if k = j, xk • x: = e if I k — j | = 1, xk • x: = 0 if I k — j |

1,

and xk • x = 0 for x e S\{x0, ... , xe}, k = 1, ..., e — 1. Put yk = £ )=1 jxjk for k = 1, 2 , e and y0 = £^=o(e — j) x7/e. This is an easy exercise to check that for k > 0 one has yk • yk = xk • xk + e — (e/e), (k = 0, e); y0 • ye = e/e; yk • yk = — (k + 1)e/k (k = 1, 2 , e — 1), yk• yt = 0 (k = 1, ..., e — 1; l O k), and yk• x = xk• x for any x e S\{x0, 2 , xe} and k = 0, ..., e. Thus, if we change the base S of Ho(X, Q) replacing xk with yk (k = 0, ..., e) then yo, ..., ye-o generate a diagonal direct summand and e is replaced with e/e in the four entries of the Seifert matrix corresponding to y0 and ye.

We write this change of the base in the matrix form for e = 5, e = — 1:

Q

+ 1

—1

1 2 1

1

2

—1

Q* =

where

—1 2 —1

0 —1 2 —1

—1 + 1/

+ 1/5 0 0 0 0 1/5

1 2 —1 0 0 0

1/2 0 3/2 —1 0 0

1/3 0 0 4/3 —1 0

1/4 0 0 0 5/4 —1

1/5 0 0 0 0 2 +1/5/

+ 1/5 0 0 0 0 — 1/5

0 2 0 0 0 0

0 0 3/2 0 0 0,

0 0 0 4/3 0 0,

0 0 0 0 5/4 0

1/5 0 0 0 0 .. +1/5/

1 0 0 0 0 0

4/5 1 1/2 1/3 1/4 1/5

3/5 0 1 2/3 2/4 2/5

2/5 0 0 1 3/4 3/5

1/5 0 0 0 1 4/5

0 0 0 0 0 1

Q*

Repeating this procedure for each factor of (6) we obtain the desired result. Example 2.5. (Trefoil). b = o3. U is the empty matrix;

□

— 2 0 0 —3/2

0

2. (Braid in Fig. 7). b = o^oi^o"!^.

Now we are going to modify the above matrices to avoid the denominators and hence, to have a possibility to use the same formulas in the case when some of the exponents ej vanish.

Recall that we have fixed a multi-index i = (i1, ..., in) satisfying (5). Given any e e Z", we define the matrix Wi(e) as follows. Let S = Si = {(a1, b1), ... , (as, bs)} and hv be as in Section 2.5. Consider a vector space over Q with a base y1, ..., ys, z1, ... , zn endowed with the symmetric bilinear form defined by

zj ■ zj = ef, zj ■ y„ = 1 if bfl=j; zj ■ yv = - 1 if av = j;

■ yv = e if hx = hK + e and a^< aK<b^<bK for e =± 1

where (1, k) is some permutation of (a, v) and the value of the form on any other pair of the base elements is zero.

Wi(e) is defined as the Gramm matrix of the base {y1, ..., yn, z1, ..., zn}. Note, that n of diagonal entries of Wi(e) are e1..., en but the size of the matrix and all the other entries depend only on i and do not depend on e.

Proposition 2.6. Let ee Z", »=» (e), » =V+V*. Then there exists Qe SL(s + 2n, Q) such that Q( V 0 Ze) Q* = W{(e) 0 Dw where Ze = @"=1Zej,

Ze = (0 _°i;e) for e O 0,

and Dw is a diagonal matrix with Sign(Dw) = _ Y,ej and |detDw| = 1.

Proof.

Step 1. If all ej O 0 then ^(e) is congruent to Ui (e) 0 De where De is the diagonal matrix with e1, 2, en on the diagonal. Perform for each j the following change of the base:

y, zf, yv) P (yp - zj/ej, zf, yv # zj/ej) where bp=j = av

a 1 0 \ /a - e"1 0 e"1 \ 1 e -1 p 0 e 0 , e = ef. 0 -1 0 ) \ e-1 0 P-e-1)

Step 2. ^(e) is congruent to (©ej = 0Z0) 0 (e') where i' and e' are obtained from i and e by removing all ij and ej such that ej = 0. The latter matrix can be obtained from the former one by the following sequence of elementary transformations performed for each j with ej = 0

* A* ° ° * * A* ° A* * * ° ° A* *

A a i ° ° A a i a ° ° ° i ° °

° i ° !i ° p ° i ° ° ° p ° i ° ° °

° ° !i P B A a ° a + P B A ° ° a + P B

* ° ° B* * * ° ° B* * * ° ° B* *

where the three central rows and columns correspond to yp, z,, yv (bp =j = av) and the first (resp. last) row and column correspond to all the base elements which are "to the left (resp. right) of y/', this means the elements zk with k < j (resp. > j) and yA with aA < ap (resp. bv < bA). □

Corollary 2.7. For any b = of, e e Z" one has Sign(b) = Sign(W(e)) — £e,, Null(b) = 1 # Null( W (e)), det(b) = ± det W(e).

Example 2.8. If m = 2, b = oO then W = (e) and Sign(b) = — e + sign e.

For the needs of practical computation it is convenient to use a "mixture" of U and W. Namely, let Jc/ = {1, ..., n} be some subset of indices such that {ej}jej are really indeterminate for which it is not known a priori if they are zeros or not, and {e,},$ j are some fixed non-zero constants.

Then we define Wj as the Gramm matrix of the symmetric bilinear form on yO, ..., ys and {zj}jej whose all non-zero values on the base elements are (7) and

^ = f — e_ 1X (a/) — e_ 1X (b/), if M = V y^ yv \ ef1, if hp = hv and aA = bK = j $J

where x is the characteristic function of I\ J, that means x (j) = 1 if j $ J and x (j) = 0 if j e J (in this formula we assume that 0_1 • 0 = 0). As above, (k, 1) is some permutation of (a, v). Clearly, Wf(e) =Wi(e) and W+(e) = °(e).

Proposition 2.9. Let e e Z" be such that e, O 0 for j $ J. Let »= »(e), » =»+»*. Then there exists Q e SL(s # 21J |, Q) such that Q(» 0 Zj)Q* = Wj(e) 0 Dj where Zj = © jeJZej (Ze are like in Proposition 2.6), and Djw is a diagonal matrix with Sign(DW) =— £e, + £ , $ j sign e, and det Dj = $ n, $ jej.

Example 2.10. m = 3, b = o?o|o?ofi. S = {(1, 3), (2, 4)},

/1—1 —1 0\ W!2}= — 2 1 —1

\ 0 —1 7

Corollary 2.11. Let b = oe be such that e,O0 for j $ J. Put W = Wj(e). Then Sign b = Sign W — Xe, # £ , $ j sign e,; Null b = 1 # Null W; det b =± det Wn , $ j e,.

2.7. Double covering of S3 branched along a string of a braid

Let b e Bm and L = b. Suppose that the kth string is a fixed point of the image of b in the symmetric group, i.e. its closure Lk is a component of L. Consider the double covering p: X p S3 branched along Lk. Clearly, Lk is unknoted, hence, X = S3. We give here an algorithm for writing down a braid whose closure is p _1(L).

Step 1. Construct a braid b' of the form (b'1o2e-i1) (b'2o2f O)... where bj e Bm_1 and e, = + 1 such that L is isotopic to b and Lk corresponds to the mth string of b'. We omit the formal description of this procedure. Note only that geometrically this means that we move Lk in the direction Im z (see Section 2.3) pulling the strings which are linked with it and then do the same in the direction Re z (see Fig. 9).

Step 2. Let r be the homomorphism Bm_O p B2m_1 defined by rok = o2m_k_O. The required braid is (b'1rb'1oimtoimt_1oim) (b'2rb'2om2oe„2_1om2) 2 (see Fig. 9).

Fig. 9.

3. BRAIDS CORRESPONDING TO REAL ALGEBRAIC CURVES

3.1. Flexible curves compatible with a pencil of lines

All the prohibitions of this paper are valid for the following topological objects generalizing real algebraic curves. For a point p e RP2 we denote by np the projection CP2\{p} p CP1 from p and by Lp = {lt \1 e CP1} the pencil of lines lt = ^;1(t).

Let A be a compact oriented 2-submanifold of CP2 and RA := A n RP2. We shall say that A is a flexible irreducible curve of degree m compatible with Lp (we shall use also the shorter version of this term: Lp-flexible irreducible curve of degree m) if

(i) A is invariant under the complex conjugation.

(ii) I a is an orientation preserving ramified covering of degree m.

(iii) All the ramifications are positive. This means that for each ramification point q there exists an orientation preserving diffeomorphism of some neighborhood of q to C2 which defines local coordinates (z, w) near q such that Lt and A take form z = const and z = w2 (but not z = w2).

It can be easily shown that an Lp-flexible curve of degree m in the sense of this definition is a flexible curve in the sense of [30], in particular, the genus of A is g = (m - 1) (m - 2) /2, the number c of connected components of RA is ^ g + 1 and if A is an Lp-flexible M-curve (i.e. c = g + 1) then the genus of A\RA is zero. We shall always suppose also that the following conditions of general position hold.

(iv) Projections of ramification points of n\A are distinct (i.e. no line of Lp is bitangent to A).

(v) If a point q e A is not a ramification point of n\A then A is a transversal to ^~1(RP1) at q.

We shall call reducible Lp-flexible curve a union of several Lp-flexible irreducible curves, all whose intersections are transversal and positive. Its degree is the sum of degrees of the irreducible components. As we pointed out above, an irreducible Lp-flexible curve A of degree m is a flexible curve in the sense of [30], in particular, (ii) implies [A] = m[CP1] e H2(CP2, Z) , hence, the Bezout theorem is valid for irreducible components of a reducible Lp-flexible curve. The generality condition for a reducible curve A of degree m is

(vi) Each line lt e Lp has at least m - 1 distinct intersection points with A.

3.2. Definition of the link L (A, p) and its cobordism N (A, p)

Fix a point p e RP2 and let A l CP2 be an Lp-flexible curve generic with respect to p (all the conditions (i) - (vi) of Section 3.1 are satisfied). Fix an orientation on RP1 and let H+ be the half of CP1\RP1 that induces the chosen orientation of RP1

Since ftp1(H+) is fibered over H+ with the fiber C, it can be mapped diffeomorphically onto R4. Fix such a diffeomorphism and denote by Br the preimage of the ball of radius

r and by Sr the boundary of Br. For r < 1 the link Sr n A and the surface Br n A do not depend on r up to an isotopy, and we denote them by L = L (A, p) and N = N (A, p) (assuming that Br and Sr are identified with standard ball B4 and sphere S3). N is oriented as a part of A (recall that A is oriented by definition of a flexible curve). Orient L as the boundary of N.

3.3. Link L(A, p) as a perturbation of Anrep1(Rp1)

Let A be as above. Clearly, A nre__1(Rp1) is the union of RA and a closed one-dimensional manifold S (A, p) which meets RA at the points where A is tangent to the lines of Lp. It is clear also that L(A, p) is obtained from A n^_1(Rp1) by smoothing of the double points according to Fig. 10. Near S(A, p) n RA, the smoothing looks like replacing a cross by a hyperbola and near the double points of RA, like replacing a cross by a pair of skew lines.

Orientation rule. Let q be a double point of A 1(Rp1) and (t, w), w = u + iv be the local coordinates on re_1(Rp1) near q where t is a coordinate on Rp1 with d/dt defining the chosen orientation, and w compatible with the real structure on the fibers.

(a) Let q e S (A, p) n RA. Then the branch of RA at q in the direction of d/du is joined after the smoothing with the branch of S(A, p) at q in the direction of d/dv (resp. — d/dv) if 1has a minimum (resp. maximum) at q.

(b) Let q be a double point of RA and Ba, Bh the branches of RA at q with tangents respectively u = at, u = bt, a < b. Then, after the smoothing, Bb passes higher (with respect to the v-coordinate) than Ba.

Remark 3.1. (a) yields one more proof of the Fiedler's theorem [6] (see also [28, Section 1.4]).

Recall (see Section 2.2) that a (•) is the number of connected components and g(•) is the sum of their genera. A non-singular real projective curve A is said to be of the type I if A\RA is not connected (denote in this case the connected components by A$). In particular, all M-curves are of the type I.

Proposition 3.2. If A is a real non-singular projective curve of the type I then 2g(N) ) 2g (A+) = (m — 1)(m — 2)/2 # 1 — a (RA) where m = deg A.

Proof. Let Cp1\Rp1 = H+ \H_. Put A^ = AS1 m_1(HS2), si e {#, —}. Clearly, conj(A^) = A_^2 and AS\S(A, p) = As+\As_. Hence, g(N) = g(A+uA_) = g(A+ uA+) ) g (A+). □

3.4. Link L(A, p) as a closed braid

Let p and A be as above. Choose an affine coordinates (z, w) on C2 e Cp2 so that p is the infinite point of the axes z = 0 and the infinite line lx is transversal to A. We shall suppose also that

All the intersections of lx and A are real. (8)

If necessary, all the constructions below can be modified to avoid the condition (8) but in all the applications considered in this paper such a line exists, so we shall suppose for simplicity that (8) is satisfied.

Fig. 10.

In the coordinates (z, w), the projection np takes form (z, w) > z and H+ is the upper half-plane Im z > 0. Denote by D1 the intersection of a disk | z | ^ R1 and a half-plane Im z ^ 8. Choose R1 < 1 and 8 ^ 1 so that each line z = z0 with z0 e H+\D1 has m distinct intersections with A. Denote by D2 the ball | w | ) R2 where R2 is so big that ^~1(D1) n A a B4 where B4 : = D1 x D2. Put S3 : = B

Let w = F(z) be the multi-valued function whose graph is A. Let y: [0, 1] p H+ be the parametrization of dD1 and let b = p be the braid F° y (see Section 2.3). Thus, L(A, p) = b. Denote by yR the part of the path y which is a segment of a line and by y f that which is an arc of a circle. Let b = bR bf be the corresponding decomposition of b. Clearly bf = Am (see Section 2.3) and bR in some cases can be reconstructed from the topology of RA.

According to Section 3.2, the link L(A, p) is defined by the set RA u S(A, p). Clearly, S(A, p) is determined up to an isotopy by RA when the condition

(Ht) Each line lt e Lp has at least m — i intersections with RA

holds with i = 2. If (H4) holds but (H2) does not then the isotopy type of S(A, p) is determined by RA only up to some unknown integer parameters ej, one parameter for each interval of the pencil where (H2) does not hold. These parameters are the numbers of twists which have two branches of S (A, p) with Im w > 0. More precisely, put

(0-+20k+1) 2 (tffVz-J, if l>k (tfi-^/T1) (tfV-Vfc-O--. (tffVz + O, if l <k (9)

1 if l = k.

Clearly tk, i " k. Suppose that A satisfies (8) and (H4). Choose a point qj e R2\RA in each interval of the pencil Lp where (H2) does not hold. Join the points qj and the critical points of Re z (the points of RA with vertical tangent) by non-intersecting paths cp 1, cp2, 2 so that each generic vertical line cuts RA + in m points (this notation means that the points of cpi are counted twice; see Fig. 11, left). To construct the braid (see Fig. 11, right), one has to move a vertical rule from the left to the right and to write

a— if the rule meets a double point of RA or if the rule is tangent to RA at

a point where Re z has maximum on RA; t$1+1 (see the sign in Fig. 11) if the rule meets an intersection of some p with

RA;

a-+110-eJ0kJ+2ak + 1 if the rule meets qj.

In all the cases k — 1 equals the number of intersections of the rule with RA + which are strictly beneath the critical point.

Remark 3.3. If A satisfies (Hj) with i > 4 then pairs of symmetric unknown braids on i/2 strings appear instead of 0-eJ 0^+2.

Fig. 11.

Proposition 3.4. Let A be an L flexible curve (maybe, reducible) of degree m satisfying (i)-(vi) of 3.1. Denote by dR the number of real double points and by cR the number of points where the tangent belongs to Lp. Then

2e (bA p) = m (m — 1) — 2dR — cR.

Proof. e (bR) = — dR — cR/2 because the unknown parts of bR corresponding to SAt p are symmetric with respect to the complex conjugation and their contributions to e(b) cancel each other. Clearly, e (bœ) = m (m — 1)/2. □

3.5. Arrangements of real schemes with respect to a pencil of lines

Following [30], we say that a real scheme is the isotopy class of smooth real curve (maybe with self-intersections) on RP2. A scheme is realizable by an algebraic (resp. flexible) curve if there exists a real algebraic (resp. flexible) curve whose set of real points belongs to the given scheme. By analogy, we define an Lp-scheme as a smooth curve on Rp2\{p} up to an isotopy pps which commutes with np, i.e. cps(lt) is a line of Lp for all s, t. An affine Lp-scheme is an Lp-scheme with some fixed line lœ e Lp.

We shall consider only Lp-schemes in general position. Namely, each line lt has at most one non-generic intersection point with the curve, and this point is either an ordinary tangency or a transversal intersection of two branches, non-tangent to lt. We shall use the following code to describe Lp-schemes.

First, we define the code for affine Lp-schemes. Let (x, y) be coordinates on R2 such that p is the infinite point of the line x = 0. Let pi = (x^ yi), ..., pn = (xn, yn), x1 < ... < xn be all the points where a curve B is not transversal to the pencil. The Lp-scheme of B will be described by a pair [mœ; w] where mœ := #(lœ nB) and w is a word si... sn where

Îx k if pt is a double point of B

c=k if the x-coordinate has a minimum at pj

Mk if the x-coordinate has a maximum at pj.

In all the three cases k = 1 + # {y | (xj? y) e B and y < yj}. Projective Lp-schemes are coded by the same words considered up to cyclic permutation followed by the change of mœ and reversing the indices. The subword c=kMk will be abbreviated to ok (oval). If a curve is denoted by a word w without mœ, this means that mœ = m.

Examples 3.5. 1. The affine curve (x2 + y2 — 4) ( y — 1) = 0 is coded by [1; Œ i x2 x2 m i]. The projectivization provides [1; c= i x2 x2 m i] & [ m 2 c i x2 x2] ^ [ x i ^ix2]- ^

2. The projection of a braid (6) on the plane is coded by [ x N ••• x[enl]

Fig. 12.

Proposition 3.6. Suppose that an Lp-scheme B is obtained from B by one of the following elementary substitutions:

Xj=j±1P xj± = j xjLj±iP xj±iLj Xukpukxj (W)

LjMj±1pQ (11)

where \k — j \ ' 1 and "u" stands for one of the symbols "x", " <='', or " ='.

If B is realizable by a Lflexible curve then B' is also realizable.

Proof. The only non-trivial case is ^j=j±1p 0. By means of an equivariant diffeomor-phism we can choose complex coordinates (z, w) such that the above (x, y) are (Re z, Re w) and the piece of B corresponding to <= j =d j±1 is locally defined by z = w3 — ew (0 < 8 ; 1). Replace it with z = w3 + ew and glue it together with the rest of the curve by a partition of unity. □

Remark 3.7. Similar statements were used in [6, 12, 28].

The construction of the braid in (3.4) can be reformulated now as the following replacing rules.

Proposition 3.8. If an Lp-flexible curve A of degree m satisfies (H2) and (8) then L (A, p) = b where b = bRAm and the braid bR can be obtained from the RA = [s1 2 sn] by the following procedure (see Fig. 12):

replace each symbol xt which appears between ak and = with o(,

replace each subword [ = kxii2 xirLl] with o-1u1 ••• urTktx where

1 if ij <k — 1 uj = < °ik+2 if ij ' k — 1

l^k, k+1^k-1Tk+1, k ifij"k—1.

Similar replacing rules can be formulated also in the (H4)-case.

4. THE METHODS OF PROHIBITIONS

The considerations of Section 3 show that there are certain necessary conditions for a given Lp-scheme B to be realizable by an Lp-flexible curve A of a given degree m.

4.1. Quasipositivity

It follows from [22] (see Section 2.4) that the braid b = bA< p is quasipositive. This is a very restrictive condition on b. Unfortunately, I do not know if for any m there exists an algorithm to decide if a given braid is quasipositive or not.

However, for m = 3 this problem is easily resolvable using the Garside normal form [7] (see also [2] ) which is very elementary in this case. The results obtained by this method will be exposed in [16]. As an example, we formulate without a proof one of them. Let Tk be the triangle with vertices (0, 0), (3k, 0), (0, 3). An M-curve on Tk is said to be a real (3k — 1)-component curve with Newton polygon Tk. An Lp-isotopy class is a connected component of the space of all Lp-flexible curves.

Theorem 4.1. There exist exactly 2^1 Lp-isotopy classes of M-curves on Tk; each class contains an algebraic curve glued by Viro [29] from k projective M-cubics.

4.2. Application of Murasugi—Tristram inequality

Though necessary and sufficient conditions are unknown, Murasugi—Tristram inequality provides a test for the quasipositivity (see Section 2.4). Most of new results here are obtained in this way.

If one can choose a point p such that (H2) holds then the braid is determined by the real Lp-scheme and one can compute all the ingredients of (3). Since the computations are rather messy, I have written a computer program whose input is a real Lp-scheme B encoded by 3.5 and the output is the number h = h(B), equal to the difference between the right- and left-hand sides of (3). If h > 0 then B is not realizable. The program implements the algorithms of Sections 2.5, 3.4, and Proposition 3.8.

Now, suppose (H4) does hold and (H2) does not. Let e1, e2, ... be the numbers of twists (see Section 3.4). Each possible distribution of connected components of L between those of N provides a system of simultaneous linear equations (inequalities) for the e;'s (see Section 4.3 below). If each system has a unique solution then we have a finite number of explicit braids and we can apply the same arguments (and the same programs) as in the (H2)-case (see Section 8.2). Otherwise one can compute det L in terms of the els (see Section 2.6) and apply Corollary 2.4. (see Section 8.1).

Remark 4.2. Analyzing the cases when (3) gave prohibitions, I have found that most of them could be obtained ignoring the signature, using only Corollary 2.4.

4.3. Rokhlin's formula for complex orientations and its generalization

The methods based on the Seifert matrix require a lot of computations. However, some necessary conditions can be extracted from the braid bA> p without them. In the rest of the section we suppose that all the double points are real.

According to (2), the number of the connected components of N is

a(N) = g(N) # (a(L) # m — e(b))/2 (12)

(in the M-case g(N) = 0). Let N = N1 u... uNk be some partition of N. It is known that the intersection number Nt ■ Nj is equal to the linking number of dNt and dNj. Thus, if we know how the components of L are distributed between the links dNt (for instance, one can try all the possibilities) then a simple test for realizability of a real Lp-scheme is to check that the linking numbers are zero.

Let A1, ..., Ar be the irreducible components of A. Since each At is an M-curve, A;\RA; consists of two connected components, denote them by A + and A- (of course, the pluses and minuses may be arbitrarily swapped). Put A± = (JA±, N± =N n A±,and L± = 8N±. Sometimes one can find the distribution of connected components of L between L± using the following simple observation.

Proposition 4.3. Let lt e Lp be tangent to RA at q and L1, L2 be the two branches of L which pass near q (see Fig. 10). If L1 lL + then L2 lL — □

The fact that the linking number of L+ and L- is zero, yields nothing new because it is equivalent to the Rokhlin's formula for complex orientations [20, 21] (compare with [8]). However, dividing N into more than 2 parts, one can obtain additional information (see Lemma 5.11).

When a link L is presented in the form of a closed braid, the linking number of two components Lt • Lj, i O j is the half-sum of the exponents of the braid group generators corresponding to the twists involving Li and Lj. Forgetting the condition i O j, we get something like "self-linking number'' (of course, it is not a link invariant). In the next subsection we show that it can serve also as a source of restrictions.

4.4. Proof of Theorem 1.5A

We consider in details the case of even degree m = 2k. Odd degree can be treated similarly. Let the notation be as in Section 1.5. We shall say the ovals O1, ..., Ok-1 are big and all the other ovals are small (the last big oval is empty). Denote by K$ the number of positive/negative big ovals and by nf the number of injective pairs (O, o) of the signs (S, s) where O is big and o is small. Choose a point p inside the most inner big oval Ok-1 and let L, N, L$, N$ be as in Section 4.3. Let b± e B1+2K± be the braid corresponding to L±.

By Proposition 3.8 we may suppose the big ovals have no vertical tangents (i.e., tangents belonging to Lp) and each small oval has only two vertical tangents. Then we have ^(L±) = 1 + K± and L±=L^ uLf u... uL|± where Lf (i * 1) is a perturbation of a big oval of the same sign and L+ uL- is a perturbation of the union of S(A, p) (see Section 3.3) and all the small ovals. np \ L± is one-to-one for i = 0 and a double covering for i * 1.

Lemma 4.4. e(b+) = 2n+ — 2n + # K+(1 # 2K+); e(b~) = 2n-— 2n-# K~(1 # 2K~).

Proof. If all the small ovals are outside O1 then all nf are zero and e (b±) = e (b *) = e (A1 + 2K±) = K±(1 + 2K±). Hence, the required equality holds. If we move a small oval through one big oval then both sides are changed by the same quantity (consider 8 cases: 4 combinations of the signs x 2 branches of the big oval). □

Since A is an M-curve, we have (m — 1) (m — 2) /2 — k + 2 small ovals. Hence, by Proposition 3.4 we have e(b) = 3k — 3 and by (12), ^(N) = 2. Therefore, ^(N± ) = 1. Each N ± has only positive ramifications, hence, (12) is applicable. Putting ^(N ± ) = 1, p.(L ± ) = 1 + K ± , m ± = 1 + 2K ± , and e(b ± ) from the Lemma into (12), we obtain

n- — n+ = K+(K+ — 1), n- — n- = K(K- — 1).

It remains to note that K = k # 1, K-s = k-\ nf = nf — ks, ns-s = ns-s, S e { + , —} where s is the sign of the empty big oval Ok-1.

5. PROHIBITIONS OF AFFINE M-SEXTICS

In this section we prove Theorem 1.1. We consider separately several groups of possible arrangements but almost all the proofs follow the same scheme:

(i) choose the base point of the pencil (the point p) so that (H2) holds;

(ii) write down a set of words such that all the other words coding Lp-schemes can be reduced to them using Proposition 3.6;

(iii) select the words which do not contradict the Bezout theorem and orientations formula.

Then for each word:

(iv) compute the braid b according to Proposition 3.8;

(v) compute e (b) to ensure that Corollary 2.4 is applicable;

(vi) compute det b O 0; if det b = 0 then compute a(b) and n(b);

(vii) if (4) holds then check if the Alexander polynomial is zero.

The only exceptions is the curve B1(9, 0) (see Section 5.5) where we use Lemma 2.1. Also, we apply to the series A3 the generalization of the complex orientation formulas to prohibit some real schemes and to reduce the number of words to be checked for the others. The steps (iv) — (vii) (and partially (iii)) were performed with a computer. In Section 5.8 we show how sometimes the step (vii) can be replaced by the considering of the double covering of S3 ramified along the infinite line.

5.1. Common preliminaries

C6 and C1 will denote the set of real points of an M-sextic and the infinite line; RA = C6 u C1 will be the curve whose arrangements we study in this section; the non-empty oval of C6 will be denoted by 011. The pencil Lp on all the pictures will be the pencil of vertical lines.

the possible the complex

Lemma 5.1. No inner oval of C6 can be inside a triangle with vertices on three other inner ovals.

We say that inner ovals 01, O2 of C6 are separated by a line l if l does not intersect them and they lie in different components of RP2\(O11 u l).

Lemma 5.2. (Korchagin and Shustin [12]). A line through two outer ovals cannot separate two inner ovals.

Lemma 5.3. Let points p, p1, p2 lie inside 3 different inner ovals of C6. Then any two outer ovals lie in the same connected component of RP2\((pp1) u (pp2)).

Proof of Lemmas 5.1—5.3. Otherwise the conic passing through the 4 given ovals and one more empty oval (resp. through the 5 given ovals in 5.3) meets C6 in 14 points (see the elegant proof of [28, Lemma 3.3]). □

The schemes A1(1, 8), A1(5, 4) are realized and A1(9, 0) is prohibited by complex orientations [12]. Therefore, we shall not consider the series A1.

5.2. The series A2(a^ a2, ft) and Bv(ab a2, ft), v = 2, 3

Here we consider only the case a2 O 0 because the curves A2(1, 0, 9), A2(5, 0, 5), B2(1, 0, 9), B2(5, 0, 5) exist, A2(9, 0, 1) can be prohibited by the complex orientations formula [12], and B3(a, 0, ft) = B2(0, a, ft). The case B2(9, 0,1) will be considered in Section 5.5. In the series B3 we assume that a2 * a1 > 0 because B3(0, a, ft) = B2(0, a, ft) and B3(a1, a2, ft) = B3(a2, a1, ft) .

Choose the point p inside the oval O10, the furthest from C1 among the ovals <a2> if we look from an empty digon (for the series B from the empty digon which has only one common point with the region containing <a2>).

Using Proposition 3.6, all possible Lp-schemes can be reduced to the schemes coded by a word w = [m3 w1x2 w2 <=3x2x3x3x3x3] in the case A2, w = [ m4w1 x2 w2 x2x2 c2 x3x3x4] in the case B2, and w = [m4w1 x2x2x2w2 <=2x3x3x4] in the case B3 where w1 = oil... oti, w2 = oid + 1... o^, 0 ) d ) 9, 2 ) ij ) 4 and a1 = #( j > d, ij = 3), a2 = 1 + #(ij = 2), ft1 = #(iy = 4), ft2 = #( j ) d, iy = 3), ft = ft1 # ft2 (see Fig. 13). By (10) we may assume also that either d = 0 or id = 3. The fact that all ij O 5 is provided by the extremal choice of O10. Denote the empty ovals by O1, ..., O9 where Oj matches oij.

Lemma 5.4. (a) The word w2 cannot contain ...o3...o2...o3...;

(b) ifj<k<l, d < k, ik = 3, ii = 2 then Oj is above C1 (i.e. either ij = 4 or j > d and

ij = 3).

(c) f a1 > 0 then each oval of <ft1> is to the right of each oval of <ft2>.

(d) The sequence O1,..., O9 can be divided into 3 or less intervals, each interval containing either only inner ovals or only outer ones.

Proof. (a) Follows from Lemma 5.1. (b) Suppose that a conic passing through Ok, Oh p and the point q (see Fig 13) meets O11 in not more than 4 points (by Bezout theorem this is the case if it passes through Oj). There are only two possibilities for the order of its intersections with the given objects: O11, Ok, C1, O;, p, O11, O11, q, O11 and O11, Ok, O11, O11, p, Oi, C1, q, O11. In both cases the piece of the conic to the left of Ok is above C1. (c) Apply Lemma 5.2. to the line through these ovals, O10, and one of <a1>. (d) See Lemma 5.3. □

It follows from the Fiedler's orientations alternating rule [6] that if Oj is an inner oval then O: O11] = ( — 1) j (see Section 1.5).

Put e10 = [O10:O11], ¿a1 = Xj>i,¡j = 3( — 1)j, ¿a2 = e10 # £ij=2( — 1)j, ¿ft1 = £*¡j=3 ( —1) j, ¿ft2 = £. =4( — 1) j, and ¿a = ¿a1 # ¿a2, ¿ft = ¿ft1 # ¿ft2.

Lemma 5.5. (a) ¿a + ¿ft = e10 — 1; (b) ¿a = 1; (c) ¿ft1 — ¿ft2 + 25a 1 = e where e = — 1 for the series A2 and e = 1 for the series B2, B3.

Proof. (a) is trivial, (b) is the complex orientations formula (see [20] ) for C6, and (c) is that for a perturbation of C6 u C1 (see [28] ) combined with (b). □

Corollary 5.6. (Combine Lemmas 5.4(d), 5.5(a) and 5.5(b). e10 = 1.)

Restrictions of Lemmas 5.4—5.6 are satisfied for 296 pairs of sequences [i1...ii][ii + 1...i9] in the series A2 (resp. 272 and 34 in B2 and B3). 227 of them (resp. 196 and 28) correspond to the 6 (resp. 2 and 3) real schemes realized in [12]. Let b be the braid corresponding to the

Fig. 13.

reducible 7th degree curve C6 u C1. In all the cases we have e (b) = 5, hence, we can apply Corollary 2.2. The computation shows that det b = 0 only in 27 (resp. 11 and 3) cases. This prohibits the schemes A2(0, 9, 1), A2(3, 6, 1), A2(5, 4, 1), A2(7, 2, 1), A2(3, 2, 5), B2(29 3 , 5), B2(4, 1, 5), B3(1, 8, 1), B3(2, 7, 1), B3(4, 5, 1), and B2(a, 9 - a, 1) with a O 1, 7. The Alexander polynomial is zero only for

a2(1, 8, 1): [2222223] [23] [3][22222223] A2(1,4, 5): [2233333] [23] [33333][2223] b2(1,8, 1): [] [432222222] b2(1,4, 5): [] [432224444] b3(3, 6, 1): [] [222223433]

a2 (8, 1, 1): [] [333333433] * [][433333333] * a2 (4, 1, 5): [] [334444433] *

[][444443333] b2 (0, 5, 5): [443] [422224] *

[443][442222] b3(1, 4, 5): [223] [444433] *

a2(0, 5, 5): [433] [422224] *

[433] [442222] a2(0, 1, 9): [433333333] []

[433] [444444] * b2(0,1,9): [443333333] []

[443] [444444] * b3 (2, 3, 5): [223] [444433] *

This prohibits A2(2, 7, 1), A2(4, 5, 1), A2(6, 3, 1), A2(0, 5, 5), A2(2, 3, 5), B2(7, 2, 1), and B2(3, 2, 5). One can check that the constructions [12, 11] realize the cases marked by *. The sequences marked by ** are realizable by L^-flexible curves.

For the schemes, not covered by [12] we needed to compute the determinant in the cases: [] [222222234], [] [432222222] for B2(1, 8, 1), [] [o2o3"2ko4o2k], [] [o2ko4o3"2ko2] for B2(7, 2, 1), [o2ko3][o4"2ko4] for B3(4, 5, 1) and in the 2ollowing 22 (resp. 6,9,11) cases:

a2(2, 3, 5): [223333] [433] [33][2233444] [33][4223344] [][422334444] [][444223344] [][444442233]

[2233][44433] [][332244444] [33][4422334] [][433224444] [][444332244] [][444443322]