О четырехлистных полиномиальных отображениях С2 тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Домрина, Александра Владимировна

• Домрина, Александра Владимировна
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Домрина, Александра Владимировна

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

Глава I. Предварительные сведения

§1. Двойственные графы и сплайс-диаграммы 7 §2. Разветвленные аналитические накрытия и отображения

алгебраических поверхностей

Глава II. Отображения с одной дикритической компонентой

§3. Свойства дикритической компоненты и ее разрещения на

бесконечности

§4. Структура графа Loo : ■ .д.'.4'

§5. Запрет диаграмм рис. 7(в)-(е)

§6. Запрет диаграмм рис. 7(а), (б)

Глава III. Отображения с двумя дикритическими компонентами

§7. Свойства дикритических компонент и их разрешения на

бесконечности

§8. Вспомогательные утверждения

§9. Структура графа Ь^,

§10. Запрет диаграмм 2а),б) рис. 20

§11. Запрет диаграмм 1а)-1г) рис. 20

§12. Запрет диаграмм За),б) рис. 20

§13. Запрет диаграмм 4а),б) рис. 20

Глава IV. Пример строго псевдовыпуклой гомеоморф-ной шару области, к которой снаружи подклеивается комплексный диск

§14. Формулировка результата

§15. Построение области

§16. Подклейка диска

Литература

Typeset Ьу Дд^З-ТеХ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О четырехлистных полиномиальных отображениях С2»

ВВЕДЕНИЕ

В 1939 г Келлером [15] была сформулирована гипотеза, которую стали называть гипотезой о якобиане. Она состоит в том, что полиномиальное отображение / : С2 С2 якобиан которого равен ненулевой константе, то есть

(0.1) det /' = const ф 0,

обратимо, причем обратное отображение также полиномиально. Здесь С2 и С2 — два экземпляра комплексной плоскости. Заметим также, что так как det f — многочлен, то условие (0.1) эквивалентно локальной обратимости / в каждой точке С2.

Гипотеза о якобиане до сих пор не доказана и не опровергнута. Известные подходы к этой проблеме используют самые разнообразные методы от алгебры и комплексного анализа до комбинаторики и применения вычислительной техники. Обзоры частичных результатов имеются в [24], [12].

Число прообразов общей точки называется топологической степенью отображения. Отображения степени п называют также п-листными. Отображение /, удовлетворяющее условию (0.1), является полиномиально обратимым тогда и только тогда, когда общая точка из С2 имеет один прообраз. Известно, что полиномиальных отображений топологической степени два или три, удовлетворяющих условию (0.1), не существует. Случай степени два элементарен (см. [12, теорема (2.1)]), а для случая степени три это утверждение было доказано С.Ю. Оревковым в [8]. В настоящей диссертации разобран случай степени четыре.

ТЕОРЕМА 1. Не существует локально обратимого полиномиального отображения f : С2 —У С2 топологической степени 4.

Таким образом, если существует отображение, доставляющее контрпример к гипотезе о якобиане, то топологическая степень этого отображения не меньше пяти.

Для доказательства теоремы 1 мы используем геометрический подход. Он заключается в следующем. С помощью конечного числа сг-процессов на бесконечности можно продолжить / до регулярного рационального отображения F : X —У X неособых компактных комплексных многообразий X и X, содержащих соответственно пространства С2 и С2 в качестве открытых подмножеств, а дополнения к этим пространствам L := X \ С2 и L := X \ С2 являются кривыми, состоящими из конечного числа неособых рациональных компонент, пересекающихся трансверсально и не более чем попарно. При этом образ при

Typeset by Лл^-ТеХ

отображении 2*1 каждой неприводимой компоненты кривой Ь либо содержится в Ь, либо является точкой из С2, либо представляет собой кривую, лежащую целиком в С2 за исключением одной точки (см., например, [8, лемма 2.1]). В последнем случае неприводимая компонента называется кривой ветвления или дикритической компонентой отображения Р. Таким образом, мы называем неприводимую компоненту д кривой Ь дикритической, если Р(д) (£_ Ь и 2*1 непостоянно на д. Отметим, что если отображение 2*1 не имеет дикритических компонент, то 2Г'_1(С2) = С2, т.е. отображение / собственно. Но собственное локально обратимое полиномиальное отображение С2 —У С2 глобально обратимо (см. [12, теор. (2.1)]), то есть имеет степень 1. Таким образом, если имеется отображение /, являющееся контрпримером к гипотезе о якобиане, то отвечающее ему отображение 2^ должно иметь по крайней мере одну дикритическую компоненту.

Так как по условию теоремы 1 топологическая степень отображения / равна четырем, то число дикритических компонент отображения ¥ не больше двух (см. ниже §7).

Глава II посвящена доказательству следующего частного случая теоремы 1.

ТЕОРЕМА 2. Не существует четырехлистного локально обратимого полиномиального отображения / : С2 —У С2, имеющего одну дикритическую компоненту.

В главе III доказано, что не существует четырехлистных отображений 2^ с двумя дикритическими компонентами. Таким образом, главы II и III содержат полное доказательство теоремы 1.

Приведем схему доказательства теоремы 1. Раздувая многообразия X и X, можно добиться того, что образ каждой дикритической компоненты трансвер-сально пересекает кривую Ь. Нас будет интересовать поведение отображения 2*1 в окрестности "бесконечности", т.е. в окрестности кривой Ь.

Сопоставим каждой из кривых Ь, Ь ее двойственный граф, вершины которого отвечают неприводимым компонентам кривой, а ребра —■ точкам пересечения неприводимых компонент. Вес вершины — индекс самопересечения соответствующей компоненты. Определитель двойственного графа — это определитель взятой со знаком минус матрицы пересечения соответствующей кривой. Мы будем изучать поведение отображения 2*1 в окрестности "бесконечности" в терминах двойственных графов кривых Ь, Ь. Нужные нам сведения о графах и отображениях алгебраических поверхностей в терминах графов составляют содержание главы I, носящей вспомогательный характер.

Оказывается, что определители ветвей двойственного графа кривой Ь, выходящих из нодальных (т.е. валентность которых > 3) вершин, выражаются через порядки ветвления отображения 2*1 в этих вершинах (см. определение (2.3)) и через определители ветвей графа выходящих из нодальных вершин (см. предложение (2.11) и лемму (2.20)). Назовем эти данные комбинаторной структурой отображения 2<\ Так как топологическая степень 2^ ограничена, то могло бы быть только конечное число комбинаторных структур отображения 271. Мы доказываем невозможность каждой из них по отдельности.

Поскольку Ь и Ь получены раздутиями из бесконечной прямой, то опреде-

лители отвечающих им двойственных графов равны -1. Это тоже накладывает серьезные ограничения на комбинаторную структуру отображения F. Совмещая эти ограничения с условием постоянства якобиана F*(dx A dy) = const dx A dy, записанным в терминах канонических дивизоров многообразий X и X (см. леммы (6.1), (8.1)), мы в каждом из случаев приходим к противоречию. (Коэффициенты разложения К£ = ХлсЕ fyl также выражаются в терминах сп лай с- диаграмм, см. лемму (1.9)).

Пример, построенный в работе С.Ю. Оревкова [7] (см. также [21]), показывает, что без дополнительных ограничений этот подход не работает для случаев большой топологической степени. Топологическая степень отображения, построенного в [7], равна 36. Как сообщил автору С.Ю. Оревков, меняя числовые данные, можно понизить топологическую степень до 9 и это — минимальная возможная степень для примеров такого рода. Поэтому представляется весьма правдоподобным, что с помощью методов, приведенных здесь, можно доказать, что топологическая степень возможного контрпримера к гипотезе о якобиане больше или равна 9.

В связи с гипотезой о якобиане А.Г.Витушкиным был поставлен следующий вопрос.

Существуют ли разветвленное аналитическое накрытие т : У —>■ У (где У - некоторое комплексное многообразие, a Y - область в С2) , биголоморфная шару область ft С Y и комплексный диск D С Y такие, что

1) ft содержится в регулярной части накрывающей У;

2) 8D С dft, int D С У \ ft.

Мотивировка этого вопроса такова. Допустим, что существует полиномиальное отображение / : С2 -> С2, которое является контрпримером к гипотезе о якобиане. Отвечающее ему отображение F : X —> X, как отмечено выше, должно иметь по крайней мере одну дикритическую компоненту д. Выберем точку р Eg так, что F(p) Е С2, и возьмем локальные голоморфные координаты (х,у) с центром в точке р, в которых д задается уравнением х = 0. Пусть с — кривая, определенная в окрестности точки р и задаваемая уравнением у = 0. Тогда для достаточно большого шара ft С С2 С X компонента связности D множества с \ П, содержащая р, является комплексным диском, образ которого при отображении F лежит в С2. Так как F непрерывно, то для области У, состоящей из П и маленькой окрестности диска Р, область Y := F(Y) целиком содержится в С2. Поэтому ограничение г = F\y : Y —> Y является разветвленным аналитическим накрытием, удовлетворяющим свойствам 1) и 2), сформулированным выше.

Этот вопрос А.Г. Витушкина до сих пор остается открытым. В главе IV диссертации мы даем утвердительный ответ на вопрос, аналогичный предыдущему, но сформулированный при более слабых ограничениях на область ft, а именно:

Существуют ли разветвленное аналитическое накрытие т : Y —> Y , строго псевдовыпуклая гомеоморфная шару область ft С Y и комплексный диск D С Y такие, что

1) ft содержится в регулярной части накрывающей У;

2) 3D С ЭП, int D С У \ ft•

Приведем теперь точную формулировку нашего результата, доказательству которого посвящена глава IV.

ТЕОРЕМА 3. Существуют комплексное многообразие Y, разветвленное аналитическое накрытие / : У —> В4 (где В4 - единичный шар в С2), строго псевдовыпуклая гомеоморфная четырехмерному шару область П С Y и комплексный диск D С Y такие, что

1)0, содержится в регулярной части накрывающей Y;

2) 3D С dSl, int D С Y \ И.

Результаты диссертации докладывались на семинаре по комплексному анализу кафедры теории функций и функционального анализа механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова (руководители семинара академик А.Г. Витушкин и профессор А.Г. Сергеев) и на Международных конференциях: "Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы", Уфа, 28-30 мая 1996 г., "Complex analysis and applications", Варшава, 14-25 июля 1997 г.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [3], [4], [5]. Работа [3] выполнена совместно с С.Ю. Оревковым, которым была предложена общая схема доказательства теоремы 2. Однако, прямолинейное применение этой схемы привело бы к рассмотрению очень большого количества частных случаев. Автором диссертации были предложены дополнительные соображения, позволившие существенно сократить перебор случаев.

Автор приносит глубокую благодарность своему научному руководителю академику А.Г. Витушкину за постановку задачи и неизменное внимание к работе.

Автор искренне признателен С.Ю. Оревкову за многочисленные полезные обсуждения и плодотворное сотрудничество.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Домрина, Александра Владимировна, 1998 год

Список литературы

[1] Г. Грауэрт, Т. Петернел, Р. Реммерт (ред), Комплексный анализ — многие переменные

— 7, Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления, т.74, ВИНИТИ, Москва, 1996.

[2] Ф. Гриффите, Дж. Харрис, Принципы алгебраической геометрии, Мир, Москва, 1982.

[3] А.В. Домрина, С.Ю. Оревков, О четырехлистных полиномиальных отображениях С2. /.

Случай неприводимой кривой ветвления, Матем.заметки 64 (1998), вып. 6

[4] А.В. Домрина, О четырехлистных полиномиальных отображениях С2 . Общий случай,

Современные проблемы теории функций и их приложения. Тезисы докладов 9-й Саратовской зимней школы (26 января - 1 февраля 1998 года), Издательство Саратовского университета, Саратов, 1997, стр. 57

[5] А.В. Домрина, Пример строго псевдовыпуклой гомеоморфной шару области, к которой

снаружи подклеивается комплексный диск, Матем. заметки 60 (1996), вып. 6, 919-924.

[6] С.Ю. Оревков, Диаграммы Рудольфа и аналитическая реализация примера Витушкина,

Матем. заметки 60 (1996), вып. 2, 206-224.

[7] С.Ю. Оревков, Один пример в связи с гипотезой о якобиане, Матем. заметки 47 (1990),

вып. 1, 127-136.

[8] С.Ю. Оревков, О трехлистных полиномиальных отображениях С2, Известия АН СССР,

сер. матем. 50 (1986), 1231-1241.

[9] Б.В. Шабат, Введение в комплексный анализ, часть 2, Наука, Москва, 1976.

[10] S.S. Abhyankar, Expansion techniques in algebraic geometry, Tata Inst. Fund. Res., Bombay, 1977.

[11] S.S. Abhyankar, T.-T. Moh, Newton-Puiseux expansions and generalised Tschirnhausen transformation I, J. Reine und Angew. Math. 260 (1973), 47-83; II, J. Reine und Angew. Math. 261 (1973), 29-54.

[12] H. Bass, E.H. Connell, D. Wright, The Jacobian Conjecture: reduction of degree and formal expansion of the inverse, Bull. AMS 7 (1982), no. 2, 287-330.

[13] W. Barth, C. Peters, A. Van de Ven, Compact complex surfaces, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 1984.

[14] D. Eisenbud, W.D. Neumann, Three dimensional link theory and invariants of plane curve singularities, Ann. Math. Studies, vol. 110, Princeton Univ. Press, Princeton, 1985.

[15] O.H. Keller, Ganze Cremona-Transformationen, Monatsh. Math, und Phys. 47 (1939), 299306.

[16] K. Lamotke, The topology of complex projective varieties after S.Lefshetz, Topology 20 (1981), no. 1, 15 - 51.

[17] W.D. Neumann, Complex algebraic plane curves via their links at infinity, Inv. Math. 89 (1989), 445-489.

[18] W.D. Neumann, On bilinear forms represented by trees, Bull. Austral. Math. Soc. 40 (1989), 303-321.

[19] S.Yu. Orevkov, Acyclic algebraic surfaces bounded by Seifert spheres, to appear, Osaka J. Math.

[20] S.Yu. Orevkov, Coverings of Eisenbud-Neumann splice diagrams, Preprint.

[21] S.Yu. Orevkov, On the Jacobian Conjecture at infinity, Preprint.

[22] H.L. Royden, On extension of regular holomorphic maps, Proc. AMS 43 (1974), 306 - 310.

[23] A. Sathaye, J. Stenerson, Plane polynomial curves, In: Algebraic Geometry and its applications (C.L.Bajaj, ed.), collection of papers from S.S. Abhyankar's 60th birthday conference, Springer-Verlag, Berlin a.o., 1994, 121-142.

[24] A.G. Vitushkin, On polynomial transformation o/C™, In: Manifolds, Tokio, 1973. Tokio Univ. Press (1975), 415-417.

Typeset by Дд^-Т^Х