Применение ранговых кодов в системах связи с ортогональным частотным уплотнением тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.17, кандидат технических наук Сытник, Дмитрий Александрович

• Сытник, Дмитрий Александрович
• кандидат технических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат технических наук Сытник, Дмитрий Александрович

Введение

I 1 Необходимые сведения из теории кодирования

1.1 Основные понятия.

1.2 Коды Рида-Соломона.

1.2.1 Кодирование.

1.2.2 Декодирование.

1.3 Ранговые коды

1.3.1 Основные понятия и определения.

1.3.2 Линеаризованные многочлены.

1.3.3 Алгоритмы кодирования и декодирования.

1.3.4 Введение ранговых стираний.

2 Принципы построения систем связи с ортогональным частотным уплотнением

0 2.1 Особенности беспроводной передачи данных.

2.1.1 Ослабление сигнала.

2.1.2 Релеевское замирание.

2.1.3 Частотно-зависимые замирания

2.1.4 Задержка.

2.1.5 Доплеровский сдвиг.

2.2 Многоканальная передача данных.

2.3 Спектр OFDM сигнала.

2.4 Применение преобразования Фурье.

2.5 Защитный временной интервал и циклический префикс.

2.6 Фазовая и амплитудная модуляция.

3 Построение модели системы связи с ортогональным частотным уплотнением

3.1 Особенности канала передачи.

3.1.1 Модель канала с замираниями.

3.1.2 Использование пилотных сигналов.

3.1.3 Перемежение.

3.2 Построение модели системы передачи данных.

3.3 Основные блоки модели.

4 Сравнительная оценка эффективности ранговых и PC кодов

4.1 Влияние порога ненадежности символов при мягком декодировании

4.2 Декодирование при различных видах фазовой и амплитудной модуляции

4.2.1 Модуляция 2PSK

4.2.2 Модуляция 4PSK

4.2.3 Модуляция 16 QAM.

4.2.4 Модуляция 64 QAM.

4.2.5 Модуляция 256 QAM.

4.2.6 Сравнение по эффективности ранговых и PC кодов.

4.3 Эффективность декодирования при различных параметрах передачи

5 Симметричные ранговые коды в OFDM системе

5.1 Введение

5.2 Симметричные матрицы, представляющие конечное поле.

5.3 Коды в ранговой метрике на основе симметричных матриц.

5.4 Программная реализация.

5.5 Применение симметричных ранговых кодов.

5.5.1 Выбор параметров моделирования

5.5.2 Декодирование с принудительной симметризацией матрицы

5.5.3 Декодирование с симметризацией при отказе от декодирования

6 Программная реализация криптосистемы на основе приводимых ранговых кодов

6.1 Введение.

6.2 Криптосистема Габидулина, Парамонова и Третьякова.

6.3 Конструкции приводимых ранговых кодов.

6.4 Криптосистема на основе приводимых кодов.

6.5 Программная реализация криптосистемы

6.6 Применение криптосистемы.

6.6.1 Параметры моделирования.

6.6.2 Результаты моделирования.

6.7 Методика выбора параметров криптосистемы на основе приводимых ранговых кодов.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Применение ранговых кодов в системах связи с ортогональным частотным уплотнением»

Современные требования к беспроводной передаче данных предполагают высокие скорости передачи данных и возможности работы многих пользователей с такими системами.

Этим требованиям отвечает система многоканальной связи с ортогональным частотным уплотнением (OFDM). OFDM утверждена в качестве стандарта для беспроводных локальных сетей нового типа IEEE 802.11а, High Performance LAN type 2 (HIPERLAN/2) и мобильных систем связи одновременного доступа. В настоящее время OFDM также используется в европейских системах цифрового телерадиовещания [28].

Как известно, при передаче данных по каналам с шумами неизбежно возникают ошибки, для борьбы с которыми обычно используется избыточное кодирование. Основные направления исследований в этой области направлены на построение кодов в хемминговой метрике, и хорошие результаты в системах OFDM дает применение кодов Рида-Соломона, с использованием перемежения.

Однако, хэммингова метрика не всегда хорошо согласуется с реальным каналом связи. Использование кодов в других метриках часто позволяет более полно использовать пропускную способность конкретного канала. С многоканальной системой хорошо согласуется ранговая метрика, исследованная в работах Э.М. Габидулина [2],[3],[17].

Ранговые коды эффективны для исправления зависимых, группирующихся ошибок, а также двумерных ошибок сложной конфигурации.

Поскольку ранговый вес любого вектора не превосходит его хэммингова веса, то при одинаковых минимальных расстояниях коды в ранговой метрике обладают большей корректирующей способностью, чем коды в хемминговой метрике.

Поэтому исследование эффективности применения ранговых кодов в OFDM системах представляет собой актуальную научную задачу. Помимо задачи достоверной передачи информации, весьма актуальной является также задача обеспечения конфиденциальности передаваемой информации.

Ранговые коды позволяют строить систему шифрования высокой степени стойкости. Как показало данное исследование, применение криптосистемы, построенной на основе ранговых кодов в OFDM системе позволило обеспечить одновременно помехозащищенность и конфиденциальность передаваемой информации.

ЦЕЛЬЮ диссертационной работы является повышение помехозащищенности и обеспечение конфиденциальности передаваемых данных в системе с OFDM.

Для достижения поставленной цели в работе решены следующие ЗАДАЧИ.

1. Интеграция в систему связи с OFDM нового класса кодов, а именно ранговых кодов Габидулина.

2. Программная реализация методов рангового кодирования/декодирования. Использованы общие конструкции ранговых кодов, а также симметричные ранговые коды и приводимые ранговые коды.

3. Оценка эффективности ранговых кодов в OFDM системе и сравнение с существующими методами кодирования.

4. Метод повышения помехоустойчивости системы связи с ортогональным частотным уплотнением при использовании симметричных ранговых кодов.

5. Использование системы связи с ранговыми кодами для комбинированной защиты информации от ошибок в канале и несанкционированного доступа.

Для решения поставленной задачи в работе использовались МЕТОДЫ теории кодирования, линейной алгебры, теории вероятностей, теории алгоритмов, компьютерного моделирования.

Научная новизна результатов, полученных в диссертации, заключается в следующем:

1. Впервые реализованы программные методы рангового кодирования и декодирования.

2. Проведена оценка эффективности ранговых кодов в OFDM системе по сравнению с кодами Рида-Соломона в широком спектре параметров системы, параметров канала передачи данных, параметров кодирования.

3. Разработан метод повышения помехоустойчивости систем связи с OFDM за счет использования симметричных кодов.

4. Разработано программное обеспечение для системы передачи данных с комбинированной защитой от ошибок в канале и от несанкционированно доступа, позволяющее гибко изменять соотношение между криптостойкостью и помехоустойчивостью.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ.

На основе разработанной модели OFDM системы передачи данных и программной реализации методов рангового кодирования выполнено сравнение эффективности различных методов кодирования. Показано, что ранговые коды в широком диапазоне параметров системы передачи данных, канала передачи и параметров кодирования более эффективны по сравнению с кодами РидагСоломона. Дополнительное увеличение помехоустойчивости достигнуто при применении нового класса ранговых кодов - симметричных ранговых кодов. Программно реализованная криптосистема на основе приводимых ранговых кодов позволяет обеспечить помехозащищенность и конфиденциальность передаваемой информации.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты диссертации докладывались на российских и международных конференциях: the 9th International Workshop On Algebraic And Combinatorial Coding Theory — ACCT-IX, Kranevo, BULGARIA, 2004;

XLIV, XLV, XLVI ежегодных научных конференциях Московского физико-технического института, Москва-Долгопрудный, 2000-2003.

Результаты диссертации обсуждались на научных семинарах кафедры радиотехники МФТИ.

ПУБЛИКАЦИИ. По теме работы опубликовано 5 работ, из них 3 статьи в журналах и сборниках научных статей, 2 работы в виде тезисов докладов на научных конференциях МФТИ.

НАУЧНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ, выносимые на защиту

1. Программная реализация модели OFDM системы в среде Matlab с возможностью применения ранговых и PC кодов.

2. Программная реализация общих конструкций, а также симметричных ранговых кодов для повышения помехоустойчивости.

3. Впервые реализованная система OFDM с комбинированной защитой от ошибок канала и несанционированного доступа.

Работа построена следующим образом.

Первая глава является вводной и содержит основы теории кодирования, необходимые для понимания последующего материала. Описываются общие понятия теории кодирования. Подробно рассматриваются коды Рида-Соломона и ранговые коды, поскольку в дальнейшем будет производиться их сравнение. Основное внимание уделяется методам кодирования и декодирования ранговых кодов, в том числе понятие стираний для ранговых кодов и мягкого декодирования.

Вторая глава посвящена описанию систем связи с OFDM. Рассматриваются физические процессы, возникающие при беспроводной передаче данных, которые необходимо учитывать при построении систем связи. Описывается основной принцип многоканальной связи и принцип построения OFDM системы на базе многоканальной передачи данных. Указываются особенности реализации OFDM системы, которые позволяют использовать достоинства системы многоканальной связи и избежать характерных для таких систем недостатков.

Третья глава подробно описывает реализацию модели системы связи с ортогональным уплотнением с возможностью применения ранговых и PC кодов. Описывается модель канала передачи данных, а также понятие перемежения. Представлен принцип построения имитационной модели OFDM системы, позволяющей сравнивать эффективность кодирования при использовании различных блоковых кодов. Приведена блок-схема построенной модели системы связи и описание особенностей реализации отдельных блоков модели с учетом физических параметров системы. Дано описание программной реализации методов рангового кодирования и декодирования.

В четвертой главе произведено сравнение эффективности ранговых и PC кодов в OFDM системе. Сравнивались результаты прохождения сигнала через модель системы с OFDM при использовании ранговых кодов и кодов Рида-Соломона. Моделирование проводилось при различных параметрах канала передачи, параметрах кодирования и OFDM системы. Приведен анализ полученных результатов.

Полученные результаты моделирования разделены на несколько групп. В первой группе описывается эффективность мягкого декодирования в зависимости от порога ненадежности символов. Вторая группа результатов описывает эффективность ранговых и PC кодов при фиксированных параметрах кодирования и различных видах модуляции. Третья группа результатов показывает влияние соотношения между длиной кода и количеством несущих на конфигурацию ошибок передачи данных в различных условиях. По результатам сравнения эффективности выработаны рекомендации по выбору параметров кодирования в зависимости от параметров системы и параметров канала передачи данных.

Пятая глава посвящена применению симметричных ранговых кодов в OFDM системах. Дано общее описание симметричных ранговых кодов (/г, 1, п) над GF(qN), и приведены конструкции симметричных ранговых кодов. Приведена программная реализация симметричных ранговых кодов. Скорость реализованного алгоритма декодирования для симметричных ранговых кодов практически совпадает со скоростью алгоритма декодирования ранговых кодов.

Рекомендуется применять симметричные ранговые коды в OFDM системе. Поскольку кодовое слово симметричного рангового кода представляется в виде симметричной матрицы, информацию о симметрии можно использовать для исправления дополнительных ранговых ошибок.

Предлагаются два метода повышения помехоустойчивости систем связи с OFDM за счет применения симметричных ранговых кодов. Для проверки методов проведено моделирование и сравнение результатов. Первый метод, основанный на принудительной симметризации полученной матрицы, не позволяет добиться существенного увеличения помехоустойчивости. Второй метод основан на симметризации полученной матрицы в случае отказа от декодирования. По сравнению с применением обычного рангового кода применение данного метода позволяет повысить эффективность декодирования на 2-6 дБ. Скорость выполнения алгоритма незначительно падает при этом на 5% по сравнению с алгоритмом декодирования общих конструкций ранговых кодов.

В шестой главе предлагается программная реализация и методика применения криптосистемы на основе приводимых ранговых кодов в системе связи с OFDM.

Во введении этой главы описана общая классификация криптосистем, а также преимущества и недостатки криптосистем на основе линейных кодов. Рассмотрена система ГПТ на базе ранговых кодов. Дан краткий анализ системы ГПТ, преимущества и недостатки системы по сравнению с другими криптосистемами с открытым ключом.

Рассмотрено семейство приводимых кодов в ранговой метрике, алгоритмы кодирования и декодирования. Описано построение и анализ криптосистемы на основе приводимых ранговых кодов. Осуществлена программная реализация криптосистемы на основе приводимых ранговых кодов с использованием объектно-ориентированных технологий программирования на языке С++. Предложен метод применения криптосистемы в системе связи с OFDM. Приведен анализ помехоустойчивости криптосистем при заданной криптостойкости. На основе анализа дана методика выбора параметров криптосистемы для обеспечения требуемой стойкости и помехоустойчивости.

1 Необходимые сведения из теории кодирования

В данной главе приводятся сведения из теории кодирования, необходимые в работе для полноты изложения. Содержание главы основано на материалах [1],[4],[7], [2], [3], [17].

1.1 Основные понятия

При передаче информации источник сообщений генерирует последовательность символов (аь а2,. .)• Символы щ выбираются из конечного множества А, которое называется алфавит источника. Сообщение поступает на вход кодера, который преобразует входные символы. Функции кодера могут быть различными. Кодер может просто изменять форму преставления выходного сообщения, наиболее экономно представлять входные данные (кодирование источника). Также кодер может вводить избыточность для повышения помехоустойчивости приема. Эта операция называется кодированием для канала. Далее мы рассматриваем только кодирование для канала. После прохождения сигнала через дискретный канал передачи искаженный сигнал поступает на вход декодера. Функция декодера состоит в выдаче получателю предполагаемого сообщения. Для этого анализируется полученная последовательность и производится исправление ошибок.

Блоковое и неблоковое кодирование

Блоковое кодирование состоит в том, что последовательность символов источника сообщений (аь а2,.) разбивается на блоки, например по к символов в каждом: <21 = (аь о2,., ак), а2 — (ак+1,ак+2,., а2к). Кодер преобразует каждый входной к -блок в выходной п -блок хг = х(аг) = (х^сц),., хп(аг)) таким образом, чтобы различным входным блокам соответствовали различные выходные. Ясно, что п> к, так как иначе нашлись бы два различных блока, которым соответствует один и тот же выходной.

Блоковое кодирование можно интерпретировать следующим образом. Будем рассматривать входные к-блоки а = (а1,а2,.--,а0 как буквы укрупненного алфавита Ак. Мощность этого алфавита = дк. Аналогично выходные п-блоки х = (хг, х2, . ■ ■, хп) будем считать буквами укрупненного алфавита Ап. Мощность этого алфавита \Ап\ — г/п. Кодирование ставит в соответствие каждой входной букве а некоторую выходную букву х(а). Совокупность всех таких различных букв х(а) называется блоковым кодом длины п и мощности (или объема) М = дк. Скорость

R= [\ogqM] =к/п. (1.1.1)

Нормы, метрики и кодовые расстояния

Если в системе передачи используется кодирование, то на входе дискретного канала возможен не любой n-блок, а только кодовый. В то же время на выходе канала из-за ошибок может появиться любой n-блок из общего числа qn информационных блоков. Назначение декодера состоит в том, чтобы но принятому n-блоку указать, какой из блоков передавался. Не все коды одного объема М одинаково хороши. Необходимо ввести внутренний критерий качества кода. Такой характеристикой является кодовое расстояние.

Определим операции над буквами конечного алфавита А. Будем считать, что алфавит А наделен структурой конечного поля. Над буквами алфавита определены две операции: сложение и умножение.

Рассмотрим произвольный вектор х = ., хп). Нормой или весом Хемминга вектора х называется число его ненулевых координат. Норма вектора х обозначается |£|. Расстоянием Хемминга du(x, у) между векторами хну называется норма их разности: dH(x,y) = \x-y\ (1.1.2)

Рассмотрим код С с векторами жь х2,., хм- Кодовым расстоянием в метрике Хемминга «¿я(С) кода С называют минимальное из попарных расстояний между его векторами:

С1н{С) - min dN(xi, $j) = min \хг - yj\ (1.1.3)

Кодовое расстояние определяет способность кода исправлять ошибки. Пусть, например, d//(C) = d и пусть при передаче некоторого кодового слова х3 по каналу произошли ошибки точно в t позициях этого слова. Тогда существует декодер, который позволяет правильно определить переданное кодовое слово при условии, что

2t < d — 1. (1.1.4)

Для передачи по симметрично искажающему каналу желательно использовать тот из кодов, который при заданном объеме М имеет наибольшее кодовое расстояние. Для каждой метрики можно определить согласованный с нею класс каналов.

Линейные коды

Совокупность всех векторов длины п с координатами из конечного поля GF(q) называют векторным пространством V над GF(q), если определены операции суммирования любых двух векторов и умножение вектора на любой элемент из GF(q). В общем случае кодом называется любое подмножество векторов. Среди этих подмножеств важную роль играют линейные подпространства.

Любое линейное подпространство С можно задать с помощью базиса из к линейно независимых векторов (1 < к < п ):

9\ = (01ь • • -,9in),92 = (521, • • • ,52п), • • •, <7fc = (9къ ■ ■ ■ ,9кп)

Число к называется размерностью подпространства. Число различных векторов в fc-мерном подпространстве равно qk. Линейным (п, к)-кодом называют к-мерное линейное подпространство. Линейные коды играют важную роль, прежде всего потому, что для них проста процедура кодирования. Для нелинейного кода объемом М = qk необходимо помнить все qk кодовых последовательностей. Для линейного кода можно ограничиться хранением лишь к векторов g\,g-2, ■ ■ ■ ,9к или эквивалентной порождающей матрицы кода т \ / дп

921

G =

Зг \

92

9к)

9ы \

92п 9ki

1.1.5)

9кп /

Для кодирования достаточно задать блок информационных символов а — («х, ., ак). Тогда кодовый вектор получается путем умножения этого вектора на порождающую матрицу С д = аб (1.1.6)

Линейный код можно задать и по-другому. Пусть Я - матрица размера г х п с линейно независимыми строками, где г — п — к, такая, что

GHT = 0.

1.1.7)

Тогда любое кодовое слово удовлетворяет уравнению дЙт = 0.

1.1.8)

Матрица Н называется проверочной матрицей кода. Оба способа задания линейного кода - с помощью порождающей матрицы С и с помощью проверочной матрицы Я эквивалентны. Для любых (п, к) кодов <1 < п—к+1, а коды, для которых достигается равенство, называются разделимыми с максимальным расстоянием (МДР - кодами).

Заключение диссертации по теме «Теоретические основы информатики», Сытник, Дмитрий Александрович

Заключение

Работа посвящена исследованию повышения помехоустойчивости и обеспечения конфиденциальности передаваемых данных в системах связи с ортогональным частотным уплотнением. Широкий спектр практических применений таких систем требует построения кодов, позволяющих исправлять сложные конфигурации ошибок, и обеспечить возможность построения криптосистем на базе таких кодов. Для исследования эффективности методов кодирования была создана модель связи с ортогональным частотным уплотнением. Выполнена программная реализация методов рангового кодирования и декодирования, включая симметричные ранговые коды. Разработана и применена методика сравнения эффективности применения ранговых кодов и кодов Рида-Соломона. Предложен метод применения симметричных ранговых кодов в OFDM системе. На основе приводимых ранговых кодов была создана криптосистема с открытым ключом и интегрирована в систему передачи данных.

Сформулируем основные результаты, полученные в работе.

• Выполнена программная реализация методов рангового кодирования и декодирования. Для реализации использовалась объектно-ориентированна модель программирования, основной упор делался на оптимизации алгоритма для быстрого исполнения под существующие операционные системы и аппаратные платформы. Быстрота декодирования для ранговых кодов 0(п3) операций в GF(2") для кодов длины п.

• В программной среде Matlab была создана имитационная модель OFDM системы, позволяющая моделировать процесс передачи данных с учетом широкого диапазона физических параметров системы.

• Исследованы сравнительные способности ранговых кодов и кодов Рида-Соломона в OFDM системах. Выявлен широкий диапазон физических условий передачи данных и параметров системы, при которых ранговые коды показывают значительно лучшие характеристики. В частности, ранговые коды значительно эффективнее PC кодов при использовании модуляции 2PSK и 4PSK при наличии (даже достаточно редких) импульсных помех и частотно-зависимых замираний. На основе результатов сравнения даются рекомендации по применению таких кодов в OFDM системе.

• Выполнена программная реализация методов симметричного рангового кодирования. Предложен метод применения симметричных ранговых кодов в OFDM системе, позволяющий повысить эффективность декодирования на 2-6 дБ по сравнению с ранговыми кодами.

• Создана программная реализация криптосистемы с открытым ключом на основе приводимых ранговых кодов. Исследована эффективность исправления ошибок передачи данных при различной криптостойкости системы и различных параметрах канала передачи данных. Предложен метод выбора параметров криптосистемы для обеспечения необходимых значений криптостойкости и помехоустойчивости системы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Сытник, Дмитрий Александрович, 2005 год

1. Берлекэмп <9., Алгебраическая теория кодирования М.: Мир, 1971.

2. Габидулин Э.М., Теория кодов с максимальным ранговым расстоянием // Проблемы передачи информации, 1985. Т. XXI, вып.1, - С. 3-16.

3. Габидулин Э.М., Оптимальные коды, исправляющие ошибки решетчатой конфигурации // Проблемы передачи информации, 1985. Т. XXI, вып.2.

4. Габидулин Э.М., Афанасьев В.Б., Кодирование в радиоэлектронике. М.: Радио и связь, 1986.

5. Гантмахер Ф. Р., Теория матриц. М.: Наука, 1988.

6. Дж. Кларк, мл., Дж. Кейн, Кодирование с исправлением ошибок в системах цифровой связи.- М.: Радио и связь, 1987.

7. Прокис Дж., Цифровая связь. М.: Радио и связь, 2000.

8. Д.А. Ситник, Э.М. Габидулин, Ранговые коды в системе связи с ортогональным частотным уплотнением. // Электронный журнал "Исследовано в России", 155, стр. 1673-1690, 2004 г., // http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2004/155.pdf

9. Э.М. Габидулин, Д.А. Сытник, A.A. Вакуленко, В.Н. Тикменов, Повышение помехоустойчивости систем связи с ортогональным частотным уплотнением за счет применения рангового кодирования. // Радиотехника (журнал в журнале), 2004, 5.

10. Д.А. Сытник, Преимущества применения ранговых кодов в системах многоканальной связи с ортогональным частотным уплотнением. // XLVI научная конференция МФТИ (2003 год).

11. Д.А. Сытник, A.C. Дементьев, Н.И. Пилипчук, Ранговые коды в системе многоканальной связи с ортогональным частотным уплотнением. // XLIV научная конференция МФТИ (2001 год).

12. Уривский A.B., Система шифрования с открытым ключом на основе расширенных ранговых кодов // тезисы докладов XLII научной конференции МФТИ, Часть IL- Москва Долгопрудный, 1999. - С. 6.

13. Уривский A.B., Декодирование линейных кодов в ранговой метрике // Труды XLIV научной конференции МФТИ. Часть I. Москва - Долгопрудный, 2001. -С.4.

14. А. Barg, Complexity Issues In Coding Theory // Handbook of coding theory. Chapter 7, Amsterdam: Elsevier, 1998. P 649-754.

15. W. E. Diffie, M.E. Helman, New directions in Cryptography // IEEE Trans. Inform Theory, 1976. Vol. 22, еб.- P. 644-645.

16. E. M. Gabidulin, A Fast Matrix Decoding Algorithm for Rank-Error-Correcting Codes. In: Algebraic Coding / Ed. By G.Cohen, S. Litsyn, A. Lobstein, G. Zemor, LNCS 573, 1992. P. 126-133.

17. E. M. Gabidulin Public Key Cryptocsystem Based on Linear Codes Over Large Alphabets: Efficiency and Weakness.- In: Codes and Chipers: Cryptology and coding IV / Ed. By P.G. Farrell.- Formara Limited, Southend-on-Sea, Essex, 1995.- P. 17-32.

18. E.M. Gabidulin, A. Ourivski, V. Pablouchkov, On the Modified Niederreiter Cryptosystem. In: Proceedings of the Information Theory and Networking Workshop - Metsovo, Greece, 1999 - P. 50.

19. E.M. Gabidulin, A. Ourivski, Improved GPT Public Key Cryptosystems.- In: Proceedings of the 5th International Symposium on Communication Theory and Applications.- Ambleside, UK, 1999.- P. 232.

20. E.M. Gabidulin, A. Ourivski, Improved GPT Public Key Cryptosystems.- In: Coding, Communications and Broadcasting / Ed. By P. Farrell, M. Darnell, B. Honary. -London: Research Studies Press, England, 2000. P. 73-102.

21. E.M. Gabidulin, A. Ourivski, B. Honary, B. Ammar, Reducible Rank Codes and Application to Cryptography. In: Information, Coding and Mathematics / Ed. By M. Blaum, P.G. Farrell, H.C.A. van Tilborg. - Boston: Kluwer Academic Publishers, 2002.

22. E.M. Gabidulin, M. Bossert, P. Lusina, "Space-Time Codes Based on Rank Codes, "Proceedings of the 2000 IEEE International Symposium on Information Theory, 25 30 June, 2000, p. 283, Sorrento, Italy.

23. E.M. Gabidulin, N.I. Pilipchuk, Symmetric rank codes and applicatons, "Problems of Information Transmission, 2003.

24. J.K. Gibson, The Security of the Gabidulin Public Key Cryptosystem. In: Advances in Cryptology - EUROCRYPT' 96 / Ed. By U.M. Maurer, LNCS 1070,1996.- P. 212223.

25. E. P. LAWREY,Adaptive Techniques for Multiuser OFDM, Thesis for the degree of Doctor of Philosophy in Electrical and Computer Engineering School of Engineering, James Cook University

26. G. DesBrisay, Basics of Orthogonal Frequency Division Multiplexing (OFDM), 2000, Cisco.com,http: / / www.cisco.com/univercd/cc/td/doc / product / wireless /

27. R. J. McEliece, A public Key Cryptosystem Based on Algebraic Coding Theory // JPL DSL Progress Report 42-44, Jan-Feb. 1978. P. 114^116.

28. A. J. Menezes, Application Of Finite Fields. Boston: Kluwer Academic Publishers , 1993.

29. A. Ourivski, T. Johanson, Decoding Arbitrary Codes In Rank Metric. In: Proceedings of the 8th International Workshop on Algebraic and Combinatorial Coding Theory - ACCT - VIII. - St. Petersburg, Russia, 2002.

30. C.S. Park, Improving Code Rate of McEliece's Public Key Cryptosystem // Electronic Letters 25(21), October 1989.- P-1466-1467.

31. J.R. Riek, Observations on the Application of Error Correcting Codes to Public Key Encryption. In: Proceedings of IEEE International Carnahan Conference on Crime Countermeasures, 1990. - P. 15-18.

32. D.A. Sytnik, A.M. Bibikov, Applications of the cryptographic system based on reducible rank codes in OFDM. // The 9th International Workshop On Algebraic And Combinatorial Coding Theory — ACCT-IX, Kranevo, BULGARIA, 2004.

33. У. Этот сигнал используется при первой передаче для определения отклика У. канала; при этом передаваемый сигнал совпадает с пилотным initialpilotsignal=zeros(N,l); initialpilotsignal(:)=star(l);

34. У. вектор используемый для оценки отклика каналаfading.vectort=zeros(N,l);

35. У. вектор используемый для оценки отклика каналаtinputsignal=zeros(N,1); out=zeros(1,numpoints);outl=zeros(l»num.points); const3=l/(sqrt(2)); impulsecounter=0; •/,-----------------f or pointcoimter=pointco\mter 1: numpoints

36. У. выполняем кодирование, просто накладывая дополнительныеслучайные матрицыrankaddition=randint(n*dim,n-k);rsaddition=randint(m*dim,n-k);ранговое кодированиеrankcodedsignal(:,l:k)=ranksignal;rankcodedsignal(:,k+l:n)=rankaddition;

37. У. кодирование Рида-Соломонаrscodedsignal(:,l:k)=rssignal;rscodedsignal(:,k+l:n)=rsaddition;модуляция полученных кодированных сигналовstarrssignal=sigstar(rscodedsignal,s,0);starranksignal=sigstar(rankcodedsignal,s,0);

38. У, полученные матрицы передаем по строкам

39. У. из-за разного количества строк в rs и rank матрицах идем в два '/, этапа

40. У, аналогичный блок для кода Рида-Соломона У.end

41. Функция осуществляет модуляцию двоичного сигнала.

42. G1.entries.row*n+col.=G.entries.[row*n+col]; for(row = k; row < n-l; row++)for (col = 0; col < n; col++) {tpower=k-row-1;

43. Gl.entries.row*n+col.=(G.entries.[col]).xpower(tpower);gf.matrix res=Gl.solve(false);take first column, ~-k+l. and fill first rowfor (i=0;i<n;i++) {

44. H.entries.1.=res.entries.res.columns*i.;for (row = 1; row < n-k; row++) for (col = 0; col < n; col++)

45. H.entries.row * n + col. = H.entries.[(row i) * n + col]*H.entries.[(row - 1) 'int rank.codec::rowserasedecode(vector<gfelement> & code, vector<gfelement> & info, vector<int> & rows) { int t2 = static.cast<int>(rows.sizeO) ;int i,col,row;

46. Code vector contains error but we can't fix it. return 1;now lets solve key equationinitial conditions

47. F 0. . coef f [d 1] =one;1. F0.fixnorm();1. Fl. = syndrome;1. B 1. . coef f 0. =one;1. Bl.fixnorm();

48. E2 poly Gi; int m; int i = 0;while (1) {

49. F1.symbolicdiv(Fi + 1., Gi, F[i + 2]); B[i + 2] = Gi * B [i + 1] + B [i];if (F1.norm >= (<L 1) / 2 tt Fi + 1.norm. < (d - 1) / 2) {m = i; break;