Применение представлений Альманси в численном исследовании математических моделей, описываемых гармоническим и бигармоническим уравнениями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Антропова, Наталия Александровна

• Антропова, Наталия Александровна
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Антропова, Наталия Александровна

Оглавление

Введение

1 Представления Альманси аналитических функций

1.1 Ортонормированная система гармонических полиномов

1.2 Представления полигармонических функций

1.3 Представления аналитических функций

1.4 Представления типа Альманси для некоторых невырожденных операторов второго порядка

1.4.1 Нормированные системы функций для оператора Ад

1.4.2 Разложение типа Альманси для оператора Дд

1.4.3 Пример

2 Построение полиномиальных решений полигармонического уравнения и уравнения Гельмгольца

2.1 Полиномиальные решения уравнения Пуассона

2.2 Полиномиальные решения полигармонического уравнения

2.3 Построение решений уравнения Гельмгольца

2.4 Численно-аналитические решения полигармонического уравнения

3 Полиномиальные решения некоторых модельных задач

3.1 Исследование моделей, приводящихся к задаче Дирихле для

уравнения Пуассона

3.1.1 Построение полиномиальных решений однородных задач Дирихле для уравнения Пуассона

3.1.2 Построение полиномиальных решений неоднородных задач Дирихле для уравнения Лапласа

-33.1.3 Новая модель потенциала заряженной сферы, описываемая обобщенной третьей краевой задачей

3.1.4 Построение полиномиальных решений третьей краевой задачи

3.2 Исследование моделей, приводящихся к задаче Дирихле для

бигармонического уравнения

3.2.1 Построение решения однородной задачи Дирихле для неоднородного бигармонического уравнения

3.2.2 Построение решения неоднородной задачи Дирихле для однородного бигармонического уравнения

3.2.3 Построение решения задачи Дирихле для бигармонического уравнения

4 Программный комплекс для решения задачи Дирихле для гармонического и бигармонического уравнений

4.1 Структура программного комплекса

4.2 Программа отыскания решения задачи Дирихле для гармонического уравнения в шаре

4.3 Программа отыскания решения задачи Дирихле для бигармонического уравнения в шаре

4.4 Вычислительный эксперимент: численно-аналитические решения задачи Дирихле для гармонического и бигармонического уравнений

Заключение

Литература

134

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Применение представлений Альманси в численном исследовании математических моделей, описываемых гармоническим и бигармоническим уравнениями»

Введение

Актуальность темы. Уравнение Лапласа или гармоническое уравнение было рассмотрено П. Лапласом в 1782 году, в связи с его исследованиями по теории тяготения. Уравнение Лапласа возникает во многих физических задачах механики, теплопроводности, электростатики, гидравлики. К уравнению Лапласа приводят многие задачи физики и техники; ему удовлетворяют, например распределение температур в стационарном процессе, электрический потенциал и т.д. Различные математические модели теории упругости приводят к необходимости изучения бигармонических функций. Одной из важнейших задач для бигармонического и полигармонического уравнений является задача Дирихле. Эту задачу изучали С.Л. Соболев [35], И.Н. Векуа [10], С.М. Никольский [31], М. Николеску [58, 59] и др. Для приближенного решения различных краевых задач для полигармонического уравнения целесообразно использовать методы ортогональных проекций, Трефца, наименьших квадратов и др. Обоснование этих вычислительных методов можно найти в монографии С.Г. Михлина [29]. Для устойчивости вычислительного процесса в этих методах к координатным функциям предъявляются некоторые дополнительные требования. В качестве координатных функций в этих методах очень удобно использовать полигармонические полиномы. Как известно в случае двух переменных число гармонических полиномов не зависит от их степени и равно двум. Начиная с размерности три число линейно независимых однородных гармонических полиномов растет с их степенью, что затрудняет их построение. В качестве гармонических полиномов от трех переменных используются известные шаровые функции

cos

rnPn( cos (9), rnP™(cos<9) пир,

sin

где P™{t) - присоединенные полиномы Лежандра, которые после преобразования к декартовым координатам образуют 2n +1 линейно независимых однородных гармонических полиномов степени п от х, у, z.

Базисные системы полиномиальных решений строились и использовались и для многих других математических моделей, например, в задачах теории упругости [27], диффузии [45], оптики [71] и задачах вибрации [47]. Поэтому, построение приближенных полиномиальных решений для различных математических моделей является актуальной темой.

Степень разработанности темы. Для исследования математических моделей, описываемых краевыми задачами для бигармонического уравнения в единичном шаре необходимо раскладывать граничные функции в ряды по базисным бигармоническим полиномам, записанным в сферической системе координат. Преобразование шаровых функций к декартовой системе координат весьма трудоемко и получаемые в результате него гармонические полиномы имеют очень большой разброс значений коэффициентов. Поэтому построение полигармонических полиномов в декартовых координатах на базе шаровых функций при помощи формулы Альманси приводит к громоздким вычислениям. Удобный алгоритм разработан М.П. Барнеттом и A.B. Отисом [43, 62, 63]. Систему линейно независимых однородных гармонических полиномов от трех переменных построил П.П. Теодореску [68] и К. Цвайлинг. Систему линейно независимых однородных полигармонических полиномов построили также Б.А. Бондаренко [7] и Г. Герглотц [2]. В многомерном случае, т.е. при п > 3 ситуация еще более сложная. В работе [19] построена базисная система полиномиальных решений системы уравнений Ляме, которую можно использовать для численного решения краевых задач. Задачу Дирихле для полигармонического уравнения в круге изучал также Я. С. Бугров [8, 9].

В настоящей диссертационной работе исследованы математические модели, соответствующие гармоническому и бигармоническому уравнениям путем нахождения приближенных полиномиальных решений, когда граничные данные и возмущения модели аппроксимированы многочленами. Для любой размерности п > 2 приведены простые формулы представления полиномиальных решений однородного и неоднородного бигармоничекого

уравнения без преобразований из шаровых функций. Полученные формулы требуют лишь вычисления степеней оператора Лапласа от некоторых вспомогательных полиномов, зависящих от граничных данных и возмущений модели.

Цель и задачи исследования. Целью данной работы является исследование математических моделей, описываемых гармоническим и бигар-моническим уравнениями с помощью представлений Альманси. В качестве приближенных численно-аналитических решений рассматриваемых задач (задача Дирихле и обобщенная третья краевая задача) берутся точные полиномиальные решения этих же задач, краевые условия и правая часть которых приближены некоторыми полиномами. Для достижения этой цели необходимо решить следующие задачи:

1. Построить и исследовать новую неклассическую математическую модель, описываемую обобщенной третьей краевой задачей для уравнения Пуассона и исследовать приближенно (полиномиально) математические модели, описываемые задачей Дирихле для гармонического и бигармони-ческого уравнения в шаре;

2. Разработать эффективный численный метод символьного представления решения задачи Дирихле для гармонического и бигармонического уравнений в шаре, позволяющий исследовать математические модели потенциала полей, стационарного распределения тепла, прогиба пластинки и т.д.;

3. Спроектировать и реализовать комплекс проблемно-ориентированных программ, использующий разработанный численный метод. Провести вычислительный эксперимент для проверки эффективности предложенного подхода.

Методы исследования. В работе использованы методы теории краевых задач для гармонического и бигармонического уравнения, методы теории потенциалов, методы теории полигармонических функций, свойства гармонических полиномов и функций, методы символьного дифференцирования и символьного интегрирования.

Научная новизна работы состоит в новом подходе к исследованию математических моделей, описываемых гармоническим и бигармоническим

уравнениями, заключающемся в построении приближенных решений различных краевых задач для этих уравнений. С помощью найденного представления гармонических компонент в формуле Альманси удалось решить задачу Дирихле для уравнения Пуассона с полиномиальными начальными и граничными данными, получить полиномиальные решения обобщенной третьей краевой задачи для уравнения Пуассона в шаре, найти полиномиальное решение задачи Дирихле для неоднородного бигармонического уравнения в шаре. Построена новая модель потенциала заряженной сферы, описываемая обобщенной третьей краевой задачей. На основании представленного метода разработан комплекс программ в системе известного пакета "МаШета^са" для символьного представления решения задачи Дирихле для гармонического и бигармонического уравнений в единичном шаре размерности п > 2.

Теоретическая значимость работы заключается в приближенно аналитическом решении классических и неклассических краевых задач для гармонического и бигармонического уравнений в шаре, что создает основу для дальнейшего развития моделирования процессов, описываемых указанными задачами.

Полученные новые результаты развивают теорию построения точных полиномиальных решений различных краевых задач и могут быть использованы для численного исследования таких задач.

Практическая значимость заключается в применении созданного комплекса программ к численному и аналитическому исследованиям математических моделей термодинамики, теории упругости и физической химии. Работа выполнялась при поддержке гранта в рамках реализации федеральной целевой программы Научно-педагогические кадры инновационной России на 2009-2013г. (Соглашение №14.В37.21.0613)

Методы исследования. В работе использованы методы теории краевых задач для гармонического и бигармонического уравнения, методы теории потенциалов, методы теории полигармонических функций, свойства гармонических полиномов и функций, методы символьного дифференцирования и символьного интегрирования.

Положения, выносимые на защиту:

1. Новая неклассическая математическая модель ориентированных коллоидных мультиполей, описываемая обобщенной третьей краевой задачей для уравнения Пуассона;

2. Численный метод символьного представления решения задачи Дирихле для гармонического и бигармонического уравнений в шаре, позволяющий исследовать математические модели потенциала полей, стационарного распределения тепла, прогиба пластинки и т.д.;

3. Комплекс проблемно-ориентированных программ, использующий разработанный численный метод.

Полученные результаты соответствуют следующим областям исследования специальности:

1) разработка новых математических методов моделирования объектов и явлений (п.1);

2) развитие качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей (п.2);

3) реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительных экспериментов (п.4).

Степень достоверности и апробация результатов. Все результаты, выносимые на защиту являются новыми и получены автором лично. Обоснованность и достоверность научных положений и выводов, сформулированных в диссертации подкрепляется строгим математическим доказательством всех утверждений. Математическая строгость доказательств соответствует современному уровню. Основные положения диссертации докладывались автором на следующих международных и всероссийских конференциях:

на 3-й Международной конференции "Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования", посвященной 85-летию Л.Д. Кудрявцева (3-4 ноября 2008, Москва);

на Международной конференции "Алгоритмический анализ неустойчивых задач", посвященной 100-летию со дня рождения В.К. Иванова (1-6 сентября 2008, Екатеринбург);

на Международной конференции "Modern problems of applied mathematics and informational technologies" (18-21 September, 2009, Tashkent);

на XI международной научной конференции "Системы компьютерной математики и их приложения" (17-19 мая 2010, Смоленск);

на международной конференции "Дифференциальные уравнения и динамические системы" (2-7 июля 2010, Суздаль);

на 53-й научной конференции МФТИ "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук" (2010, Москва);

на международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (26-29 июня 2011, Самара);

на международной конференции "Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений" (12-17 сентября 2011., Минск);

на международной конференции "Алгоритмический анализ неустойчивых задач" (31 октября - 5 ноября 2011, Екатеринбург).

Краткое содержание работы

Настоящая диссертационная работа посвящена применению представлений Альманси в численном исследовании математических моделей, описываемых гармоническим и бигармоническим уравнениями и соответствующими краевыми условиями. Будут рассмотрены краевая задача типа Дирихле для бигармонического уравнения и обобщенная третья краевая задача для уравнения Пуассона (на границе задается значение полинома от нормальных производных Р(д/ди)). В качестве приближенного численно-аналитического решения рассматриваемых задач, а значит и соответствующей математической модели будем брать точное полиномиальное решение этой же задачи, краевые условия и правая часть которой приближены некоторыми полиномам.

Для построения решения конкретной задачи Дирихле в единичном шаре для бигармонического уравнения традиционным способом (см., например [11, с.200]) при полиномиальных граничных данных (/о и Д - следы полиномов степени к) поступают по следующей схеме. Берут полную систему ортонормальных на единичной сфере дО. С Мп однородных степени i < к гармонических полиномов GUx), j = 1,..., hi, где hi = (14- 2i/(n —

(например, систему из [53]) составляют бигармонические полиномы вида Glj{x) и \x\2Glj(x) и ищут решение задачи Дирихле в форме

¿=0 3=1

Неизвестные коэффициенты легко определяются из уравнений

q + D)= [ G){s)fQ(s)ds, iq + (i + 2)D)= [ Gj-(s)/i(s)ds, JdQ. Jdn

где j — 1,..., h{ и 0 < i < к. Определитель этой системы это определитель Вандермонда W[i, г + 2] с факториальными степенями. При большой размерности пространства п и степени полиномов к такая процедура довольно сложна, даже при простых полиномах /о и /i поскольку нужно вычислять много поверхостных интегралов и hk ~ 2кп~2/(п — 2)!, к —» оо. Например, при п = 3 и к = б (см. пример 4.4.11 на с. 127) нужно вычислять 84 поверхостных интеграла так как число базисных гармонических полиномов степени 6 равно hi = 1 + 3 Н-----h (2 ■ 6 + 1) = 42.

В диссертации предлагается иной способ построения полиномиального решения задачи Дирихле, требующий лишь нахождения степеней оператора Лапласа от некоторых вспомогательных полиномов.

В настоящей диссертационной работе для любой размерности п > 2 приводятся простые формулы представления полиномиальных решений однородного и неоднородного бигармоничекого уравнения без всяких преобразований из шаровых функций. Эти формулы требуют лишь вычисления степеней оператора Лапласа.

В первой главе диссертации исследуются бесконечные представления Альманси и представления Альманси для некоторых невырожденных дифференциальных операторов второго порядка. Прежде чем изложить основные результаты главы, нам необходимы некоторые предварительные сведения. Рассмотрим полиномы следующего вида [52]

[к/2] , k-2i 1 = MeN^NUiO}, (0.1)

%—0

где (a, b)k — а(а + Ь)... (а + kb — b) при к € N обобщенный символ Похгам-мера (Pochammer symbol), причем следует считать, что (а, 6)о = 1, im'! ~

факториальная степень Ьт'] = Ьт/т\ (ш бМ), а [а] обозначает целую часть числа а и х(п) = (жь ..., хп) € Мп.

Полиномы С?|(ж(п)) вида (0.1) называются (З-полиномами степени к, порядка в и рода п. Доказано [53], что произведение однородного гармонического полинома от п — 1 переменных Н8(х(п_х)) на С-полином СгКж^)) дает гармонический полином от п переменных и(х) = (?|.(ж(п))Н3(х(п~1)). Более того, всякий гармонический полином от п переменных может быть представлен в таком виде.

Такой подход к построению гармонических полиномов позволяет получать гармонические полиномы в виде произведения различных С-полиномов

см(*(П)) = о1\^2{х{п]) ■ ■ ■ (о-2)

где V е > ■ • • > уп и ь>п = 0,1.

При рассмотрении следов (2-полиномов на единичной сфере возникает понятие (^-функции.

Определение 0.0.1. Следующая функция

р-з)/2] ^к-3-_ ^2у+з/2

ОГ(0= Е (-^р^ГГТТгЩ

называется Сг-функцией степени к, порядка в и рода п.

В дальнейшем нам понадобятся также следующие утверждения:

Лемма 0.0.1. [53] Пусть функция / 6 С(с)5п) задана в виде /(ж) = </?(|ж|,хп)Рк(х), где Рк{х) однородный полином степени к от переменной х — (ж1,..., жп_х) и 9? е С(55г), тогда

[ /(Ж) (¿Ж = —[ <^(|ж|, жп) (1 - а£)*/2 ¿ж / ¿ж,

где и}п = |с?<9п| - площадь единичной сферы 6"п в Мп.

Теорема 0.0.1. /51] Нормированная в Ь2(—1,1; рп) с весом рп{,£) = (1 — ¿2^(п-з)/2 0-фуНКция удовлетворяет оценке

|<5£'в(*)| < 2ку/(к + (п-2)/2) 2П_3, к > в, п > 2.

Основываясь на свойствах гармонических полиномов G^(x), в теореме 1.1.1, известное утверждение Альманси [40], доказательство которого можно найти также в [36]: "для любого полинома Р(х) существуют гармонические полиномы Hq(x),..., Нк(х) такие, что

Р(х) = Н0(х) + N2#i(x) + • • • + \х\2кНк(х)," (0.3)

распространяется на аналитические функции действительных переменных. В [20] было дано лишь схематическое доказательство этого результата. В [46] детально исследован двумерный случай такого представления аналитических функций. В пункте 1.3, результат теоремы 1.1.1 будет уточнен в теоремах 1.2.1 и 1.3.1: будут даны формулы нахождения полиномов Hk(х) и функций Uk(x) = Hk(x), в случае когда Р{х) не полином. Следует заметить, что в [41] (Теорема 2.2) формула Альманси была уже распространена на голоморфные функции. Оказалось, что полученная ниже формула (1.25) несколько отличается от формулы (2.9), найденной в [41].

Интересные свойства полигармонических функций, опирающиеся на формулу Альманси, были получены A.B. Бицадзе в [4]. В работах [60, 66] исследовались разложения типа Альманси для политепловых и поливолновых функций.

В главе 2 рассматривается уравнение Пуассона

А и = f{x), х £ D,

где правая часть f(x) является аналитической в D С Ш.п функцией, a D - звездная область с центром в начале координат. Известно, что некоторое решение уравнения Пуассона может быть записано в виде потенциала объемных масс [3]

и(х) = V[f](x) ЕЕ -— / Е{х, £)№<%,

JD

где Е(х,£) = — х\2~п (при п > 2) элементарное решение уравнения

Лапласа, а сип площадь единичной сферы в R". Ясно, что при полиномиальной правой части f(x) решение и{х) может быть полиномом. Чтобы подсчитать это решение нужно вычислить n-кратный интеграл по -D, что довольно трудно сделать, хотя, в случае единичного шара, точное значения

потенциала известно [17]. В главе 2, сначала, в параграфе 2.1 приводятся формулы, которые упрощают нахождение решения уравнения Пуассона в i случае полиномиальной правой части, затем, в параграфе 2.2 приводятся

полиномиальные решения неоднородного полигармонического уравнения Ати = f(x), в случае полиномиальной правой части f{x), и наконец, в параграфе 2.3 выписаны формулы нахождения решение неоднородного уравнения Гельмгольца А и -f A« = f(x). Все они основаны на представлении аналитической функции f(x) гармоническими функциями полученными в параграфе 1.3.

В главе 3 строятся полиномиальные решения некоторых краевых задач для гармонического и бигармонического уравнений. В параграфе 3.1 представления Альманси сначала применяются для построения решения задачи Дирихле (пункт 3.1.1), а затем и для построения решения третьей краевой задачи для уравнения Пуассона в единичном шаре (пункт 3.1.3). Во второй главе уже была сделана попытка построения полиномиальных решений уравнения Пуассона Аи(х) = Q(x) и полигармонического уравнения Ати(х) = Q{x), где Q(x) - произвольный полином с помощью формулы Альманси. Найденные решения отличаются от полиномиальных решений дифференциальных уравнений в частных производных общего вида, полученных в [6, 55].

Хорошо известна функция Грина G(x,£) задачи Дирихле в шаре [3], а поэтому с теоретической точки зрения построение решения такой задачи не представляет интерес. Однако, при полиномиальной правой части Q(x) и полиномиальном граничном значении w^i = Р{х) решение и(х) задачи Дирихле оказывается полиномиальным, для нахождения которого при Р(х) = 0 необходимо вычислять сингулярный интеграл вида (аналогично формуле (2.2))

*(*) = -— [ G(x,OQ(Od(i, J\z\<i

где LOn - площадь единичной сферы в Мп, функция Грина имеет вид G{x, £) =

Z?(|a;|f,x/|a:|), а Е(х,£) = (п-2)~1\£-х\2~п (п > 2) - элементарное решение уравнения Лапласа [3]. В параграфе 3.1.1 с помощью исследования свойств представлений Альманси, описанных в леммах 3.1.2-3.1.4 и

теоремах 3.1.1, 3.1.2, в теореме 3.1.4 будет дана формула (3.37), позволяющая легко вычислять полиномиальное решение и(х), задаваемое формулой (3.14). В пункте 3.1.2, в теореме 3.1.6 получена общая формула (3.41) для представления полиномиального решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона с полиномиальными Q(x) и Р(х). К сожалению, полученные полиномиальные решения для записи их в обычном виде требуют вычисления степеней оператора Лапласа от некоторых многочленов. Этот недостаток легко устраняется с помощью применения пакета "Mathematica" (см. пример 4.4.1).

В пункте 3.1.3 рассматривается обобщенная третья краевая задача для уравнения Пуассона (3.60), когда на границе задается неклассическое условие Рт(д/dv)u\x\=i = с/?. Задачи подобного вида впервые были рассмотрены в [43, 34], однако при существенных ограничениях на вид полинома Pm(t). A.B. Бицадзе опубликовал в [5] исследования обобщенной задачи Неймана для уравнения Лапласа, когда на границе задается п-я нормальная производная, т.е. при Pm(t) = tm. В работе [14] были получены необходимые и достаточные условия существования решения обобщенных краевых задач для однородного полигармонического уравнения. В пункте 3.1.3 с помощью лемм 3.1.5-3.1.8 и теоремы 3.1.7 о исследовании свойств объемного потенциала V[P](x) (3.44), когда Р(х) - полином, в теореме 3.1.9 получены условия существования решения обобщенной третьей краевой задачи для уравнения Пуассона. В пункте 3.1.4 с помощью явного представления гармонических функций в формуле Альманси из главы 1, в теореме 3.1.10 получено полиномиальное решение в виде (3.61) третьей краевой задачи (3.60) для уравнения Пуассона с полиномиальной правой частью Q(x) и граничными данными Р(х). Все теоремы параграфа проиллюстрированы примерами, вынесенными в пункт 3.1.3.

Параграф 3.2 главы 3 является продолжением исследований параграфа 3.1 на задачу Дирихле для бигармонического уравнения. В нем представления Альманси сначала применяются для построения решения однородной задачи Дирихле для неоднородного бигармонического уравнения (пункт 3.2.1), а затем и для построения решения общей задачи Дирихле для неоднородного бигармонического уравнения в единичном шаре (пункт 3.2.2).

В главе 2 с помощью формулы Альманси были построены полиномиальные решения уравнения Пуассона Аи{х) = С}(х) и полигармонического уравнения Ати(х) = х), где (х) - произвольный полином. Найденные решения отличаются от полиномиальных решений дифференциальных уравнений в частных производных общего вида [6, 55]. В пункте 3.2.2, в теореме 3.2.7, на основании теорем 3.2.5 и 3.2.6 получена формула (3.100) для представления полиномиального решения общей задачи Дирихле для бигармонического уравнения с полиномиальными данными. К сожалению, полученные полиномиальные решения для записи их в обычном виде требуют вычисления степеней оператора Лапласа от некоторых многочленов, определяемых данными краевой задачи. Этот недостаток легко устраняется с помощью применения пакета "Ма^ета^са" (см. пример 4.4.11).

В четвертой главе диссертации создан программный комплекс, предназначенный для исследования математических моделей, приводящихся к решению задачи Дирихле для гармонического и бигармонического уравнений в шаре. Разработанные и описанные в диссертационной работе модели, методы и алгоритмы были реализованы в виде программного комплекса в пакете "МаШетаика". Данный программный комплекс может быть использован на персональных компьютерах для решения задачи Дирихле для гармонического и бигармонического уравнений с полиномиальными граничными данными. В этой главе описывается структура программного комплекса и результаты вычислительных экспериментов над рассматриваемыми задачами. В четвертом параграфе четвертой главы рассмотрены численно-аналитические примеры решений задач третьей главы. Эти решения полученны как с помощью пакета "МаШетаЫса" так и без него.

Программный комплекс включает в себя следующие программы:

- программа отыскания решения неоднородной задачи Дирихле для гармонического уравнения в шаре;

- программа отыскания решения неоднородной задачи Дирихле для бигармонического уравнения в шаре.

На программный комплекс получено свидетельство Роспатента об официальной регистрации программы для ЭВМ: "Символьное решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона в шаре" (№2012618853 от 28.09.2012г.).

Глава 1

Представления Альманси аналитических функций

В первом параграфе первой главы, основываясь на процитированных во введении свойствах гармонических полиномов О^(х), в теореме 1.1.1, известное утверждение Альманси [40] (0.3) распространяется на аналитические функции действительных переменных. В третьем пункте, результат теоремы 1.1.1 будет уточнен в теоремах 1.2.1 и 1.3.1: будут даны формулы нахождения полиномов Н^х) и функций щ(х) = Нк(х) из формулы (0.3), в случае когда Р{х) не полином.

Во втором параграфе первой главы основываясь на построенных в [51] 0-нормированных системах функций для оператора Лапласа, утверждение Альманси распространяется на функции, удовлетворяющие уравнению А™и = 0, где оператор Ад имеет вид

в ограниченной области П С 1". Нетрудно убедиться, что к такому виду с помощью невырожденной замены переменных приводится любое невырожденное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами вида

Таким образом, представление Альманси можно распространить и на дифференциальные операторы второго порядка общего вида. Проведем вспомогательные построения.

(1.1)

- 171.1 Ортонормированная система гармонических полиномов

Докажем следующее свойство гармонических полиномов (ж), определенных в (0.2).

Лемма 1.1.1. Для нормированного в Ь2(дЗп) гармонического полинома 0{у){х) верна формула

\r\vi ^ _ * г=1

где С-функция нормирована в 1,1;/оп) с весом рп(£) = (1 —

¿2)(п-3)/2^ х = а р. _ 810008(^/1^)1).

Доказательство. Докажем, сначала, что для (^-полиномов верна следующая формула

71—1

СИ(х{п)) = П (1.2)

г=1

Действительно, рассмотрим формулу (0.2). Преобразуем в ней два последних сомножителя. В силу определений (7-полиномов (формула (0.1)) и С-функций (определение 0.0.1) запишем

[(!/„_!-ип)/2] 21+ип*п-1-ип-2{,\ / \

О? Л_и (хт)х\п = У (-1)*? ,7-г = \хт\и^С^2

П_1 1 ^ (2,2^(1 + 25,2),- ( Л "-1

г=0

где использовалось равенство

X

(2)1/ '

2«+"« / Л \ г+^п/2 у 2 \ г+^/2

_ / х\

= 1-

X

2

\\х(2)\) \х\ + х1) V \х{2)\2)

Значит,

ем(«(»))=яг-Л'м) ■ • • ^-^.(«тЛздГ'огй (щ)

Далее, поскольку

Е (-1)'1 (2,2)г(2 + 25,2)1 -

где использовано

= ( х\ + х1 = / _ 4 у+"-'/2

\1*(з)|/ + + V Ы2/

получим

^2

.Из) 17 "-ЧЫУ' Продолжая этот процесс будем иметь

- (й) ■■ ■ ^ (й) (й) •

откуда сразу выводится (1.2).

Перепишем формулу (0.2) в виде

С{у){х{п)) = Gl\^V2{x(n))G(i/){xí<n_l)),

где V = (^2,..., ип). Поскольку можно записать = <р(|£|, хп), а

G(v)(x(n-1)) _ однородный гармонический полином степени ^ от переменной = ж, то к полиному ((^(^(а;^)))2 применима лемма 0.0.1. Тогда, после некоторых преобразований получим

[ Сих) <Ь = — [ {С%п(хп))2 йх [ Сих) Ах =

= /' (ег М)2 (1 - ¿2)("-3,/2 л [ с?ч(2) <Й,

./-1 15|=1

т.е.

Для двух последних сомножителей из (0.2) имеем

/ ¿хр) = / №,(*>))'<ьр> =

1^(2)1=1 |аг(;2)|=1

Поэтому,

Если теперь разделить (1.2) на ЦС^Ц^^п) и воспользоваться при этом полученным выше равенством, то получим утверждаемое в лемме. □

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Антропова, Наталия Александровна, 2013 год

Литература

[1] Баврин, И. И. Операторы для гармонических функций и их приложения / И. И. Баврин // Дифференциальные уравнения. - 1985. - 21:1. - С.9-15.

[2] Бейтмен, Г. Высшие трансцендентные функции. Т.2 / Г.Бейтмен , А.Эрдейи. - М.: Наука, 1966. - 296 с.

[3] Бицадзе, А. В. Уравнения математической физики / А. В.Бицадзе - М.: Наука, 1976.

[4] Бицадзе, А. В. О некоторых свойствах полигармонических функций /А. В.Бицадзе // Дифферециальные уравнения. - 1988. - Т.24, №5. - С.825-831.

[5] Бицадзе, А. В. К задаче Неймана для гармонических функций /А. В.Бицадзе // Докл. АН СССР. - 1990. - 311:1. - С.11-13.

[6] Бондаренко, Б. А. Операторные алгоритмы в дифференциальных уравнениях / Б. А.Бондаренко. - Ташкент: Фан, 1984.

[7] Бондаренко, Б. А. Полигармонические полиномы / Б. А.Бондаренко. - Ташкент: Фан, 1968.

[8] Бугров, Я. С. Свойства полигармонических функций / Я. С.Бугров // Изв. АНСССР. Серия математическая. - 1958. - Т. 22. - С.492-514.

[9] Бугров, Я. С. Задача Дирихле для круга / Я. С.Бугров // ДАН СССР. - 1957. -Т. 115, т. - С.639-642.

[10] Векуа, И.Н. Новые методы решения эллиптических уравнений / И.Н. Векуа. - М.-Л.: ОГИЗ, 1948.

[11] Владимиров, B.C. Сборник задач по уравнениям математической физики / Под ред. B.C. Владимирова. - 3-е изд., исправл. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001.

[12] Ильин, A.M. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач / A.M. Ильин. - М.: Наука, 1989. - 336с.

[13] Ильин, В.А. Формула среднего значения для присоединенных функций оператора Лапласа / В.А. Ильин, Е.И. Моисеев // Дифференциальные уравнения. - 1981. -Т. 17, JNH0. - С. 1908-1910.

[14] Карачик, В.В. Об одной задаче для полигармонического уравнения в шаре / В.В. Карачик // Сибирский математический журнал. - 1991. - 32:5. - С.51-58.

[15] Карачик, В.В. Обобщенная задача Неймана для гармонических функций в полупространстве / В.В. Карачик // Дифференциальные уравнения. - 1992. - Т.27, №3.

- С. 534-535.

[16] Карачик, В.В. О разрешимости краевой задачи для уравнения Гельмгольца с нормальными производными высокого порядка на границе / В.В. Карачик // Дифференциальные уравнения. - 1992. - Т.28, №5. - С. 907-909.

[17] Карачик, В.В. Об одной задаче для уравнения Пуассона с нормальными производными высокого порядка на границе / В.В. Карачик // Дифференциальные уравнения. - 1996. - Т.32, №3. - С. 1501-1503.

[18] Карачик, В.В. Обобщенная задача Неймана для гармонических функций в полупространстве / В.В. Карачик // Дифференциальные уравнения. - 1999. - Т.35, №7.

- С. 942-947.

[19] Карачик, В.В. О полиномиальных решениях уравнений Ляме / В.В. Карачик // Математические труды. - Новосибирск, Изд-во Института математики. - 2002. -Т.5, №2. - С. 155-169.

[20] Карачик, В.В. Об одном представлении аналитических функций / В.В. Карачик // Вопросы вычислительной и прикладной математики. - Ташкент. - 2003. - Вып. 112. - С. 139-148.

[21] Карачик, В.В. Об одном представлении аналитических функций гармоническими / В.В.Карачик // Математические труды. - 2007. - Т.10, №2. - С. 142-162.

[22] Карачик, В.В. Разложения типа Альманси для операторов второго порядка / В.В.Карачик // Известия Челябинского научного центра. - 2009. - 43:1. - С.16-21.

[23] Карачик, В.В. Построение полиномиальных решений некоторых задач для уравнения Пуассона / В.В. Карачик // ЖВМиМФ. - 2011. - 51:9. - С.1674-1694.

[24] Леднев, Н.Л. Новый метод решения дифференциальных уравнений в частных производных / Н.Л. Леднев // Мат. сборник. - 1948. - №22, Вып.2. - С.205-266.

[25] Ленг, С. Алгебра / С.Ленг. - М.: Мир, 1968. - 564 с.

[26] Логинов, Б. В. Теория ветвления решений нелинейных уравнений в условиях групповой инвариантности / Б.В. Логинов. - Ташкент: ФАН, 1985. - 184 с.

[27] Лурье, А.И. Полиномиальное представление решений уравнений теории упругости / А.И.Лурье // Проблемы механики твердого деформируемого тела. Л.: Судостроение, 1970. - С.251-256.

[28] Маслов, В.П. Операторные методы / В.П. Маслов. - М.: Наука, 1973. - 543 с.

[29] Михлин, С.Г. Вариационные методы в математической физике / С.Г. Михлин. -М.: Наука, 1970. - 512 с.

[30] Михлин, С.Г. Линейные уравнения в частных производных / С.Г. Михлин. - М.: Высшая школа, 1977. - 432 с.

[31] Никольский, С.М. К задаче Дирихле для круга и полупространства / С.М. Никольский // Математический сброник. - 1954. - Т.35. - С.247-266.

[32] Расулов, К.М. Краевые задачи для полианалитических функций и некоторые их приложения / К.М. Расулов. - Смоленск: Изд-во СГПУ, 1998.

[33] Рябухин, А.Г. Эффективные ионные радиусы. Энтальпия кристаллической решетки. Энтальпия гидратации ионов / А.Г. Рябухин. - Челябинск: Изд. ЮУрГУ, 2000. - 115 с.

[34] Соколовский, В.Б. Об одном обобщении задачи Неймана / В.Б. Соколовский // Дифференциальные уравнения. - 1988. - 24:4. - С.714-716.

[35] Соболев, С.Л. Некоторые применения функционального анализа к математической физике / С.Л. Соболев. - М.: Наука, 1988.

[36] Стейн, И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций / И. Стейн. - М.: Мир, 1973.

[37] Стейн, И. Введение в гармонический анализ / И. Стейн, Г. М. Вейс. - М.: Мир, 1972.

[38] Сухарев, Ю. И. Нелинейность гелевых оксигитратных систем / Ю.И. Сухарев, Б.А. Марков - Издат-во УрОРАН, Свердловское отделение. - 2005. - 468 с.

[39] Adomian, G. A review of the decomposition method in applied mathematics / G. Adomian // J. Math. Anal. Appl. - 1988. - Vol.135. - P. 501-544.

[40] Almansi, E. Sull'integrazione dell'equazione differenziale A2nu = 0 / E. Almansi // Ann. Mat. Рига Appl. - 1899. - 2 (3). - P.l-51.

[41] Aronszajn, N. Polyharmonic functions / N. Aronszajn , M. T. Creese , L. J. Lipkin. -New York: Oxford Univ. Press. - 1983.

[42] Baouendi, M.S. On the operator Ar2 + р,(д/дг)г + A / M.S. Baouendi , C. Goulaouic , L.J. Lipkin //J. DifF. Eqn. - 1974. - Vol.15. - P.499-509.

[43] Barnett, M.P. The Expansion and Integration of Products of Surface Harmonics and of Certain Related Quantities / M.P. Barnett. - USA Report WIS-ONR 31, Theoretical Chemistry Laboratory, University of Wisconsin, 1958.

[44] Bergman, S. Integral operators in the theory of linear partial equations / S. Bergman.

- Berlin: Springer-Verlag, 1961.

[45] Bondarenko, B.A. Normalized systems of functions and their applications to the solution of problems of diffusion equations / B.A. Bondarenko, P.M. Pirniyazova // Vopr. Vychisl. Prikl. Mat. - 2008. - 119. - P.39-49.

[46] Ciorànescu, N. Sur la représentation des fonctions analytiques de plusieurs variables réelles / N. Ciorànescu // Bull. Soc. Math. France 65. - 1937. - P. 41-52.

[47] Fernandez, D.L. Systèmes de base des solutions polynomiales concernant une classe d'équations polylineaires d'ordre supérieur aux operateurs différents, dont certains sont les operateurs polyvibrants. / D.L. Fernandez, P.T. Craciunas, B.A.Bondarenko // Rev. R. Acad. Cienc. Exactas Fis. Nat. Madr. - 1984. - No. 78. - P. 151-155.

[48] Grobner, W. Die Lie-Reihen und ihre Anwendungen / W. Grobner. - Berlin: Deutscher Verlag der Wissenschaften, 1960. - 112s.

[49] Grobner, W. Serie die Lie e loro aplicazioni / W. Grobner - Roma: Cremonese, 1973. -248s.

[50] Horvath, J. Basic sets of polynomial solutions for partial differetial equations / J. Horvath // Proc. Amer. Math. Soc. - 1958. - Vol.9, No. 4. - P. 569-575.

[51] Karachik, V.V. Normalized system of functions with respect to the Laplace operator and its applications / V.V. Karachik // Journal of Mathematical Analysis and Applications.

- 2003. - Vol. 287, No. 2. - P. 577-592.

[52] Karachik, V. V. On some special polynomials / V.V. Karachik // Proceedings of AMS.

- 2004. - Vol. 132, No. 4. - P. 1049-1058.

[53] Karachik, V. V. On one set of orthogonal harmonic polynomials / V.V. Karachik // Proceedings of AMS. - 1998. - Vol. 126, No. 12. - P. 3513-3519.

[54] Karachik, V. V. Harmonic polynomials and the divisibility problem / V.V. Karachik // Proceedings of AMS. - 1997. - Vol. 125, No. 11. - P. 3257-3258.

[55] Karachik, V. V. Polynomial solutions to the systems of partial differential equations with constant coefficients / V.V. Karachik // Yokohama Mathematical Journal. - 2000.

- Vol. 47, No. 2. - P. 121 142.

[56] Marshak, R.E. Theory of the slowing down of neutron by elastic collision with atomic nuclei / R.E. Marshak // Rev. Mod. Phys. - 1947. - Vol. 19. - P. 185-238.

[57] Miles, E.P. Basic sets of polynomials for the iterated Laplace and wave equations / E.P. Miles , E. Williams // Duke Math. Journ. - 1959. - Vol.26. - P. 35-40.

[58] Nicolesco, M. Sur le problème de Riquer / M. Nicolesco. - Comples Rendus. - t.CXCIV, 1932.

[59] Nicolesco, M. Les fonctions polyharmoniques / M. Nicolesco - Paris: Hermann ed, 1936.

[60] Nicolesco, M. Problème de l'analyticité par rapport â un opérateur linéaire / M. Nicolesco // Studia Math. - 1958. - Vol. 16. - P. 353-363.

[61] Oguztoreli, M.N., Easwaran, S.A. Goursat problem for a high order Mangeron equation / M.N. Oguztoreli, S.A. Easwaran // Rend. Acad. Naz. Lincei. - 1971. - T.L. - P. 322-325.

[62] Otis, A.B. Surface Harmonie Expantions of Products of Cartesian Coordinates / A.B. Otis, M.P. Barnett // Tehnical Notes, Cooperative Computing Laboratory, Massachusetts Institute of Technology, Cambridge, Mass., USA. - 1963. - No. 26.

[63] Otis, A.B. Surface Harmonie of Products of Cartesian Coordinates / A.B. Otis, M.P. Barnett // Mathematics of Computation, USA. - 1964. - Vol. 18, No. 88.

[64] Pedersen, P. A basis for polynomial solutions to the systems of linear constant coefficient PDE's / P. Pedersen // Advances Math. - 1996. - Vol. 117. - Article No. 0005. - P.157-163.

[65] Protter, M.H. Generalized spherical harmonics / M.H. Protter // Trans. Amer. Math. Soc. - 1948. - Vol.63, No. 2. - P.314-341.

[66] Ren, G.B. Almansi decompositions for polyharmonic, polyheat, and polywave functions / G.B. Ren, U. Kahler // Studia Math. - 2006. - Vol. 172, No. 1. - P. 91-100.

[67] Szego, G. Orthogonal polynomials, fourth edition / G. Szego // Amer. Math. Soc.: Colloquium publications. - 1978. - Vol.23. - 432p.

[68] Teodorescu, P.P. Asupra polinoamelor armonice si biarmonice / P.P. Teodorescu // Studia Oniv, Babes-Bolyai. Ser. Math. - 1963. - F.l. - P.821-832.

[69] Watzlawek, W. Warmpolynome-Model fur besondere Losungssyseme bei linearen partiellen DifFerentialgleichungen / W. Watzlawek // Berichte Math. -Statist. Sekt. Forschungszentrum Graz. - 1983. - No. 211. - P. 1-34.

[70] Widder, D.V. Expansions in series of homogeneous polynomial solytions of the general two-dimensional linear partial differential equation of the second order with constant coefficients / D.V. Widder // Duke Math. J. - 1959. - Vol.26. - P.599-604.

[71] Yakhno, V. A new method for computing a solution of the Cauchy problem with polynomial data for the system of crystal optics / V. Yakhno, M. Altunkaynak // Int. J. Comput. Math. - 2010. - Vol.87, No. 7. - P.1469-1484.

[72] Yuong, E.C. Basic sets of polynomials for a generalized heat equation and its iterates / E.C. Yuong // Riv. Math. Parma. - 1970. - Vol. 11, No. 2. - P.97-102.

[73] Zweiling, K. Grundlagen einer Theorie der biharmonischen polynome / K. Zweiling -Berlin: Verlag Technik, 1952. - 128s.

Список публикаций автора

[74] Антропова, H.A. О решении неоднородного полигармонического уравнения и неоднородного уравнения Гельмгольца / H.A. Антропова, В.В. Карачик // Дифференциальные уравнения. - 2010. - Т.46, №3. - С. 384-395.

[75] Антропова, H.A. О разложениях типа Альманси / H.A. Антропова, В.В. Карачик // Известия Челябинского научного центра. - 2007. - №1 (35). - С. 37-42.

[76] Антропова, H.A. Построение полиномиальных решений некоторых задач для уравнения Пуассона / H.A. Антропова, В.В. Карачик // Труды МФТИ. - 2011. - Т.З, Ш. - С. 60-73.

[77] Антропова, H.A. Об одном методе решения уравнения Пуассона / H.A. Антропова, В.В. Карачик// Вестник ЮУрГУ. Сер. Математика, физика, химия. - 2007. - Вып. 9, №19 (91). - С.22-29.

[78] Antropova, N.A. On the Solution of the inhomogeneous polyharmonic equation and the inhomogeneous Helmholtz equation / N.A. Antropova, V.V. Karachik // Differential Equations. - 2010. - Vol.46, №3. - P.387-399.

[79] Antropova, N.A. Almansi type decompositions for the second order partial differential operators / N.A. Antropova, V.V. Karachik // Modern problems of applied mathematics and informational technologies. Abstracts of the international scientific conference. -Tashkent, 18-21 September. - 2009. - P. 36.

[80] Антропова, H.A. Построение полиномиальных решений задачи Дирихле для би-гармонического уравнения в шаре / H.A. Антропова, В.В. Карачик // Вестник ЮУрГУ. Сер. Математика, механика, физика. - 2011. - вып.5, №32 (249). - С.39-50.

[81] Антропова, H.A. О полиномиальных решениях задачи Дирихле для бигармониче-ского уравнения в шаре / H.A. Антропова, В.В. Карачик // Сибирский журнал индустриальной математики. - 2012. - Т. 15, №2 (50). - С. 86-98.

[82] Антропова, H.A. О полиномиальных решениях задачи Дирихле для бигармониче-ского уравнения в шаре / H.A. Антропова, В.В. Карачик // Дифференциальные уравнения. - 2013. - Т.49, №2. - С. 250-254.

[83] Антропова, H.A. Построение полиномиальных решений задачи Дирихле с помощью формулы Альманси / H.A. Антропова // Тезисы докладов международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам в г. Суздаль. - М. - 2010. - С. 32-33.

[84] Антропова, H.A. Построение полиномиального решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона с помощью формулы Альманси / H.A. Антропова, В.В. Карачик // Системы компьютерной математики и их приложения: материалы XI международной научной конференции, посвященной 70-летию профессора В.П. Дьяконова.

- Смоленск: Изд-во СмолГУ. - 2010. - Вып. И. - С. 224-226.

[85] Антропова, H.A. Об аналитических решениях неоднородных уравнения Гельмголь-ца и полигармонического уравнения / H.A. Антропова, В.В. Карачик // Тезисы докладов 3-й международной конференции "Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования посвященной 85-летию Л.Д. Кудрявцева. М.: МФТИ. - 2008. - С. 269-271.

[86] Антропова, H.A. Разложения типа Альманси для некоторых операторов второго порядка / H.A. Антропова // Научный поиск: материалы первой научной конференции аспирантов и докторантов. Социально-гуманитарные и естественные науки.

- Челябинск: Издательский центр ЮУрГУ. - 2009. - С.3-7.

[87] Антропова, H.A. О некоторых разложениях Альманси / Н.А.Антропова, В.В.Карачик // Алгоритмический анализ неустойчивых задач: Тезисы докладов Международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения В.К. Иванова. Екатеринбург, 1-6 сентября 2008 г. - Екатеринбург: Изд-во Уральского университета. - 2008. - С. 211-212.

[88] Антропова, H.A. Об аналитических решениях неоднородного уравнения Гельмголь-ца в ограниченных областях / H.A. Антропова, В.В. Карачик // Наука ЮУрГУ: материалы 60-й юбилейной научной конференции. Секции естественно-научных и гуманитарных наук. - Челябинск: Изд-во ЮУрГУ. - 2008. - Т.2. - С. 126-130.

[89] Антропова, H.A. Построение полиномиальных решений некоторых задач для уравнения Пуассона / H.A. Антропова, В.В. Карачик // Труды 53-й научной конференция МФТИ "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук часть VII Управление и прикладная математика. Т.1 - М.: МФТИ. - 2010. - С.6-7.

[90] Антропова, H.A. Построение решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа с полиномиальными граничными данными и правой частью / H.A. Антропова, В.В. Карачик // Наука ЮУрГУ: материалы 62-й научной конференции. Секции естественных наук. - Челябинск: Издательский центр ЮУрГУ. - 2010. - С.35-38.

[91] Антропова, H.A. Полиномиальные решения задачи Дирихле для бигармонического уравнения в шаре / Н.А.Антропова, В.В.Карачик // Международная конференция,

посвященная памяти И.Г. Петровского. 23-е совместное заседание Московского математического общества и семинара им. И.Г.Петровского, Москва 29 мая-4июня. -Тезисы докладов. - 2011. - С. 204-205.

[92] Антропова, H.A. Построение полиномиальных решений задачи Дирихле для би-гармонического уравнения в шаре / Н.А.Антропова, В.В.Карачик// СамДиф-2011, конференция Дифференциальные уравнения и их приложения, Самара, 26-29 июня 2011. Тезисы докладов. - Самара: Из-во Универс групп. - 2011. - С. 57.

[93] Антропова, H.A. Полиномиальные решения задачи Дирихле для бигармоническо-го уравнения в шаре / Н.А.Антропова, В.В.Карачик // Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений. Тезисы докладов международной конференции 12-17 сентября 2011 года, Минск, Беларусь. - 2011. - С. 72-73.

[94] Антропова, H.A. Построение полиномиальных решений задачи Дирихле с помощью формулы Альманси / H.A. Антропова, В.В. Карачик // Проблемы математического анализа. - 2012. - Т.67. - С. 75-84.

[95] Антропова, H.A. Полиномиальные решения задачи Дирихле для бигармоническо-го уравнения в шаре / Н.А.Антропова, В.В.Карачик // Алгоритмический анализ неустойчивых задач. Тезисы докладов международной конференции, посвященной памяти В.К. Иванова, Екатеринбург, 31 октября - 5 ноября 2011 года. - С. 238-239.

[96] Antropova N.A. Construction of Polynomial Solutions to the Dirichlet Problem by Almansi Representation / N.A. Antropova, V.V. Karachik // Journal of Mathematical Sciences, Springer: New York. - 2013. - Vol. 188, Issue 3. - P. 256-267.

[97] Антропова, H.A. Свидетельство Роспатента о государственной регистрации программы для ЭВМ "Символьное решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона в шаре" №2012618853 от 28.09.2012г.