Математическое моделирование планетарных волн на основе уравнения Россби в ограниченной области тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Свидлов, Александр Анатольевич

• Свидлов, Александр Анатольевич
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Свидлов, Александр Анатольевич

Оглавление

Введение

1 Начально-краевые задачи для уравнения Россби в ограниченной области

1 Моделирование планетарных волн. Уравнение Россби (уравнение планетарных волн)

2 Первая и смешанная начально-краевые задачи

2.1 Постановка задачи

2.2 Существование и единственность решения

3 Вторая начально-краевая задача

3.1 Постановка задачи

3.2 Разрешимость задачи

4 /^-обобщенные решения начально-краевых задач для уравнения Россби

Выводы по главе 1

2 Численное решение начально-краевых задач для уравнения Россби

1 Приближенное решение

1.1 Приближенное решение первого порядка точности по £

1.2 Приближенное решение р-го порядка точности по £

1.3 Приближенное решение второй начально-краевой задачи

2 Численные эксперименты

2.1 Погрешность приближенного решения первого порядка точности

2.2 Погрешность приближенного решения р-го порядка точности

2.3 Расчеты в области сложной конфигурации

2.4 Расчеты в области, имитирующей Черноморскую акваторию

3 Программный комплекс «КоэвБу»

Выводы по главе 2

3 Численное решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона

методом точечных потенциалов(МТП)

1 Точечные потенциалы(ТП)

2 Множества единственности потенциала простого слоя

2.1 Потенциал простого слоя (ППС) и его свойства

2.2 Множества единственности ППС

2.3 Полнота в Ь2(дС2) системы точечных потенциалов

2.4 Признаки и примеры множеств единственности ППС

3 Задача Дирихле для уравнений Лапласа и Пуассона

3.1 Свойства объемного логарифмического потенциала

3.2 Сведение задачи Дирихле для уравнения Пуассона к задаче Дирихле для уравнения Лапласа

3.3 Задача Дирихле для уравнения Лапласа

3.4 Полнота расширенной системы точечных потенциалов в H\dQ)

3.5 Численное решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа

3.6 Численные эксперименты

4 Сравнение метода точечных потенциалов с конечно-разностными методами

4.1 Описание тестовой задачи

4.2 Результаты численного эксперимента

5 Задача Неймана для уравнения Лапласа

5.1 Потенциал двойного слоя и его свойства

5.2 Множества единственности ПДС

5.3 Сходимость МТП для задачи Неймана для уравнения Лапласа

5.4 Численные эксперименты

Выводы по главе 3

Заключение

Обозначения

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование планетарных волн на основе уравнения Россби в ограниченной области»

Введение

В геофизической гидродинамике изучаются планетарные волны, возникновение и распространение которых обуславливается вращением Земли. Эти волны могут оказывать существенное влияние на океанические, морские и атмосферные течения, поэтому их изучение имеет большую практическую значимость. Эволюция планетарных волн достаточно хорошо описывается уравнением Россби

A щ + иХ1 = /.

Уравнение Россби исследовалось в работах Успенского C.B., Демиден-ко Г.В., Ильина A.M., Петрушко И.М., Лежнева В.Г. Для ряда начально-краевых задач в областях простой геометрии в них изучено асимптотическое поведение решения уравнения Россби при больших временах.

Для практических нужд важно не только асимптотическое поведение планетарных волн, но и их поведение при конечных временах. Аналитическое исследование этого поведения весьма затруднительно, так как реальные водоемы (моря и океаны) имеют достаточно сложную геометрию. Современное развитие вычислительной техники открывает широкие возможности применения здесь численных методов.

Эффективность численных методов решения начально-краевых задач

существенно зависит от математических постановок этих задач, выбора функциональных пространств и т.п. Поэтому возникает необходимость в пересмотре имеющихся постановок начально-краевых задач для уравнения Росс-би и исследования новых постановок. Диссертация посвящена исследованию математических моделей планетарных волн, которые представляют собой начально-краевые задачи для уравнения Россби.

Актуальность темы исследования подчеркивается устойчивым интересом к изучению уравнения Россби [55, 37, 83, 77, 22, 23, 6, 104, 98, 52, 57, 35] и подтверждается крупномасштабными экспериментами в Северной Атлантике (программы «Полигон» и «Mode»), установившими существование медленно меняющихся течений, которые описываются линейной теорией планетарных волн (в частности, уравнением Россби).

Цель работы:

1. Создать математические модели, описывающие эволюцию планетарных волн, в виде обобщенных постановок начально-краевых задач для уравнения Россби, исследовать корректность этих моделей.

2. Построить эффективные численные алгоритмы решения начально-краевых

задач для уравнения Россби, разработать комплекс программ, реализующий эти алгоритмы.

3. Провести численные расчеты для областей различной конфигурации.

Научная новизна работы. В работе даны новые обобщенные постановки начально-краевых задач для уравнения Россби в ограниченной области. Для первой и смешанной начально-краевых задач доказана их однозначная раз-

решимость, для второй найдены необходимые и достаточные условия существования обобщенного решения. Разработаны алгоритмы численного решения начально-краевых задач для уравнения Россби, доказана их сходимость. В разработанных алгоритмах численного решения используется метод точечных потенциалов (метод фундаментальных решений для уравнения Лапласа) , для которого в работе исследована сходимость в норме и предложены новые, простые и легко проверяемые достаточные условия полноты системы точечных потенциалов.

Практическая значимость работы. Предложенные в диссертации обобщенные постановки начально-краевых задач для уравнения Россби, численные алгоритмы их решения могут быть использованы при исследовании динамики океана и атмосферы. Исследование варианта метода точеных потенциалов, обеспечивающего сходимость по норме пространства И^1, может быть использовано для решения таких актуальных задач, как задача Хеле-Шоу.

На защиту выносятся:

1. Математические модели планетарных волн, описываемые начально-краевыми задачами для уравнения Россби в ограниченной области. Обобщенные постановки начально-краевых задач для уравнения Россби, теоремы устанавливающие их корректность, (стр. 22-50)

2. Алгоритм численного решения начально-краевых задач для уравнения Россби, теорема о его сходимости, (стр. 51-60)

3. Результаты численных экспериментов по решению начально-краевых задач для уравнения Россби. (стр. 60-68)

4. Определение множества единственности потенциала простого слоя, признаки множеств единственности потенциала простого слоя, необходимое и достаточное условие полноты системы точечных потенциалов, (стр. 80-88)

5. Способ численного решения задачи Дирихле для уравнений Лапласа и

Пуассона методом точечных потенциалов, который гарантирует приближение решения задачи в норме W^. (стр. 98-111)

6. Программный комплекс «Rossby», реализующий разработанный в диссертации алгоритм численного решения начально-краевых задач для уравнения Россби. (стр. 68-75)

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на II и III всероссийских конференциях «Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах», 2005 и 2006; на четвертой международной конференции «Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования», посвященной 90-летию члена-корреспондента РАН, профессора Л.Д. Кудрявцева, 2013; на семинаре отдела механики пористых сред НИИММ им. Н.Г. Чеботарева КФУ, 2010; на семинаре Южно-Российского регионального центра информатизации (ЮГИНФО) ЮФУ, 2012; на семинарах кафедры численного анализа и кафедры теории функций Кубанского государственного университета, 2006-2013.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Она содержит 25 рисунков, 18 таблиц, 111 наименований литературных источников. Общий объем диссертации составляет 151

страницу.

Перейдем к краткому изложению содержания диссертации. Во введении сформулированы цели и задачи диссертационного исследования, приведено краткое изложение основных результатов диссертации. В главе 1, содержащей 4 раздела, приведены математические модели планетарных волн в виде обобщенных постановок начально-краевых задач (первой, второй и смешанной) для уравнения Россби в ограниченной области, исследуется корректность этих постановок.

Раздел 1.1 посвящен моделированию планетарных волн при помощи уравнения Россби. В данном разделе также приведены сведения о изученных другими авторами моделях планетарных волн на основе уравнения Россби.

В системе координат, связанной с вращающейся как целое с постоянной угловой скоростью О, жидкостью, на частицы, движущиеся со скоростью V, действует сила Кориолиса —2т0, XV (га - масса частицы). Эта сила нормальна к V, и ее воздействие на жидкую частицу аналогично действию силы Лоренца на электрон в магнитном поле. При этом возникает дополнительное движение частицы по окружности. В сплошной среде частицы жидкости не могут двигаться независимо. Взаимодействие между ними приводит к возникновению градиента давления в среде. Совместное действие силы Кориолиса и градиента давления и приводит к возникновению волновых движений жидкости.

Рассмотрим течение идеальной несжимаемой однородной жидкости на планете, вращающейся с постоянной угловой скоростью Г2. Это течение опи-

сывается уравнением Эйлера

ду , ч V» — + 0 • УЪ + — + 20 х у = О <9£ р0

и условием несжимаемости

(Нун - О,

где £ — время, — плотность жидкости. Дополнительно предположим, что скорость V и ее градиент Уг> достаточно малы. Тогда, отбросив слагаемое (у ■ У)г>, уравнение Эйлера можно линеаризовать

ду V»

— + — + 2Пхг; = 0. оЬ ро

Выберем систему координат с началом в некоторой точке на поверхности планеты следующим образом:

1. Ось Х\ направлена по параллели с востока на запад.

2. Ось Х2 направлена по меридиану с юга на восток.

3. Ось £3 направлена по внешней нормали к поверхности планеты.

Далее рассматривать течение будем в так называемом приближении /3-плоскостк [6], т.е. считаем, что течение происходит в достаточно небольшой окрестности начала координат выбранной системы отсчета, поэтому кривизной планеты можно пренебречь.

Кроме того, течение будем считать плоскопараллельным, вертикальную компоненту скорости равной нулю. Тогда из условия несжимаемости сле-

/ дф дф \ п

дует существование функции тока ф, такая что у — ——, —,0 . Легко

\дх2 ох 1 )

проверить, что (го^)Ужз = —Д^У^з.

Вычислим третью компоненту ротора от линеаризованного уравнения

Эйлера

получим

rot ^ + ^ + 20, х Vx3 = О,

дАф 2\П\ дф

cos ip — О,

dt R дх\ где R — радиус планеты, ср — широта места.

Используя приближение /3-плоскости будем считать, что ip « const. Таким образом, получим уравнение планетарных волн, которое также называется уравнением Россби

дАф дф=0

dt ^Рдхг '

где /3 = cos ip.

Известны решения уравнения Россби в виде гармонических плоских волн [6]

ф = b exp[i(kixi + к2Х2 — u)t)].

Непосредственная подстановка последнего выражения в уравнения Россби приводит к закону дисперсии волн:

ш = -ркг/к2,к2 = к\ + к22)

являющемся существенно анизотропным в горизонтальной плоскости. В частности, поскольку ш и к\ имеют разные знаки, гармонические волны Россби могут распространяться только в отрицательном направлении оси Х\ (на запад).

Отметим, что с помощью замены переменных и(х, t) — ф(х,^) уравнение Россби приводится к виду

Ащ + иХ1 = О,

далее будем исследовать уравнение Россби именно в таком виде.

Впервые планетарные волны (волны Россби) были рассмотрены в работе Rossby С.-G. On the dispersion of planetary waves in barotropic atmosphere [104] в 1949 году. Волнам Россби (Россби - Блиновой) отведено место в учебных курсах и монографиях по теории колебаний и волн [59], по механике сплошных сред [6], гидродинамики атмосферы и океана [52], [57], [35]. В этих книгах рассмотрена механика течения, дан вывод уравнений описывающих динамику течения с учётом различных факторов, рассмотрены волны простого вида.

Существует ряд работ [22, 23, 11, 58, 55, 37, 83, 77] в которых исследованы начально-краевые задачи для уравнения Россби в неограниченных областях. Основной целью этих работ является изучение поведения решений при больших значениях времени. Так, задача Коши для уравнения Россби во всем пространстве рассмотрена В.Г. Лежневым [37]. Планетарные волны в неограниченной области, граница которой напоминает берег океана или моря, исследованы Огородниковым И.Е. [55]. В области похожей на канал — A.A. Тикиляйненом [77] и С.А.Габовым.

При выводе уравнения Россби был сделан ряд предположений, анализируя которые, можно видеть, что уравнение Россби хорошо описывает эволюцию планетарных волн при малых временах в достаточно маленькой области. Поэтому большой интерес представляет исследование поведения решений уравнений Россби в ограниченных областях. Такие исследования проводились. Например, исследованиям начально-краевых задач для уравнения Россби в ограниченной области посвящены разделы работ В.Г. Лежнева

[37] и И.Е. Огородникова [55]. В.Г. Лежневым рассмотрена первая начально-краевая задача, а И.Е. Огородниковым смешанная начально-краевая задача в циллиндрической по одной из пространственных координат области. В первой главе настоящей работы восполнены пробелы в исследованих по начально-краевым задачам в ограниченной области.

В разделе 1.2 даны обобщенные постановки первой и смешанной начально-краевых задач для уравнения Россби, доказана их корректность.

Функцию и е С1 ([О, Т); ЯрДф)) назовем обобщенным решением смешанной начально-краевой задачи для уравнения Россби:

если она удовлетворяет равенству и(0) — щ и при любом £ Е (О, Т) интегральному тождеству

для любой функции Н е Я^Дф). Здесь и0 Е / € С([0, Т); Ь2(0))

(перечень обозначений приводится в разделе 1.1). Заметим, что приГ2 = 0 смешанная начально-краевая задача переходит в первую начально-краевую задачу, поэтому последняя не рассматривается отдельно.

В теореме 2 раздела 1.2 установлена однозначная разрешимость смешанной начально-краевой задачи для уравнения Россби в обобщенной постановке.

Ащ + иХ1 — /, при 0 < t <Т, х е и{ 0) = щ,

В разделе 1.3 дается обобщенная постановка второй начально-краевой задачи для уравнения Россби, исследуется ее корректность. Обозначим Ь^О) =

{у Е Ш) : (V, 1)ь2(д) = 0}, н\(0) = ьсМ) п Н1{0).

Обобщенным решением второй начально-краевой задачи:

А щ + иХ1 = 0, при 0 <t <Т, гс € (3, и{0) = и0,щ е - 0

будем называть функцию и Е С1([0, Т); удовлетворяющую равен-

ству и{0) = щ и для любого £ Е (0, Т) интегральному тождеству

/ (ущ(хЛ)ЧН{х) - иХ1(х,ЬЩх))ёх = 0 ¿Я

при любой функции Н Е Я

В разделе доказано (теорема 4): обобщенное решение второй начально-краевой задачи для уравнения Россби существует тогда и только тогда, когда ^о Е Н}(0) такова, что \ -^—щ. Н ) =0 для любой Н Е 1/2(0), зависящей

\дх1 Л2«Э)

только от переменной х\.

В разделе 1.4 рассмотрены обобщенные постановки начально-краевых задач для уравнения Россби с более слабыми требованиями на гладкость решения по времени.

Ь\-обобщенным решением смешанной начально-кравой задачи для уравнения Россби будем называть такую функцию и Е ([0, Т], Яр (С¡))), что для любой функции /г Е С1([0,Т], Яр (<3)), Ь{Т) = 0 справедливо тождество

[ \ {^u{x,t)Vht{x,t)+uXí(xyt)h(x,t))dxdt-\-

Л

+ [ Чщ(х)Ч11(х,0)<1х = [ [ /(х,гЩх,г)(1х(И. Зц Jo Зя

Обобщенное решение смешанной начально-кравой задачи для уравнения Россби является в то же время её /^-обобщенным решением (лемма 9), досточно гладкое /^-обобщенное решение является обобщенным решением (лемма 10).

Смешанная начально-краевая задача обладает ровно одним /^-обобщенш решением (теорема 5).

В разделе также исследуется /^-обобщенное решение второй начально-краевой задачи для уравнения Россби, для него доказана теорема, аналогичная теореме 5.

Глава 2, состоящая из трех разделов, посвящена численному решению начально краевых задач для уравнения Россби и программному комплексу «НовзЬу». В разделе 2.1 дается определение приближенных решений начально-краевых задач для уравнения Россби, доказывается их сходимость к обобщенным решениям. Для простоты для смешанной начально-краевой задачи для уравнения Россби выкладки проделаны при / = 0.

Как показано в первой главе, решение смешанной начально-краевой задачи имеет вид

и(Ь) = ехр(£А)ио,

д

где оператор А : Н1{С}) —> Нрх{0) определен равенством А = —Дд-1-—. Здесь Д31 : //2(ф) —> Ир ((£) — оператор, который ставит в соответствие правой части ф обобщенное решение </? смешанной краевой задачи для урав-

нения Пуассона:

А<р = ф в С}, Ч>\Г1 =

ду

= 0,

т.е. А3 1(р — ф тогда и только тогда, когда для любого К Е Н^ (О) выполняется интегральное тождество

/ У(р{х)1Ч}1(х)(1х — — / ф{х)1г{х)(1х.

Зо

г<э JQ

Пусть р, N Е М, г = Т/ЛГ, е > 0. (р. т,е)-приближенным решением смешанной начально-краевой задачи для уравнения Россби назовем последовательность функций {иг}^0, иг Е Н1 определенную следующим образом:

.о

и = и0,

иг = уг0 + + ^ + ... + — VI, г = 1, ДГ,

т}

2!

Р

I Р'

где уг0 = иг функции угк Е Н1(0) для всех к = 1,р удовлетворяют неравенству

Н-М-1\\НЧо)<£-

Сходимость приближенного решения к обобщенному решению смешанной начально-краевой задачи устанавливается теоремой 8. В разделе также дано определение приближенного решения второй начально-краевой задачи для уравнения Россби и установлена его сходимость к обобщенному решению.

В разделе 2.2 приведены результаты численных экспериментов. Численные

эксперименты проводились лишь для первой начально-краевой задачи для

уравнения Россби, так как алгоритм численного решения второй и смешанной начально-краевых задач аналогичен алгоритму решения первой. Наибольшую сложность при построении приближенного решения, особенно в областях сложной конфигурации, представляет нахождение функций угк, которое сводится к численному решению краевой задачи для уравнения Пуассона, причем погрешность решения должна быть мала в норме пространства

WKQ)-

Численные эксперименты подтвердили теоретические результаты о сходимости, изложенные в разделе 2.1. Кроме того, во всех проведенных численных экспериментах наблюдалось смещение вихревых пятен в западном направлении, а также образование и исчезновение вихревых пятен на восточной и западной границах соответственно.

В разделе 2.3 описан разработанный для проведения численных экспериментов программный комплекс «Rossby».

Программный компелкс написан на языке С++ в среде Microsoft Visual Studio 2010. Он включает в себя следующие блоки:

- управляющий блок, в нем содержится цикл по временной координате и вызываются все основные функции программного комплекса;

- блок выбора базисных точек. В зависимости от контура расстановки и количества базисных точек выбираются сами базисные точки;

- блок вычисления интегралов типа объемного потенциала. В этом блоке по заданной плотности вычисляются интегралы типа потенциала с помощью квадратурных формул пятого порядка точноти по х\ и второго по х2]

- блок решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа. Реализация методом

точечных потенциалов, описанного ниже в третьей главе; - блок вывода приближенного решения в файлы.

В главе 3, состоящей из пяти разделов, изучается сходимость в нормах пространств 1/2 (ф) и И/Л21(^) метода точечных потенциалов (метода фундаментальных решений) для задачи Дирихле для уравнения Пуассона, которая возникает при численном решении первой начально-краевой задачи для уравнения Россби. В случае, когда решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона приближается в норме пространства 1/2(Ф), метод точечных потенциалов достаточно хорошо изучен в работах Купрадзе В.Д., Алексидзе М.А., Лежнева В.Г., Дроботенко М.И. Но при решении первой начально-краевой задачи для уравнения Россби решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона необходимо приближать в норме пространства а в этом случае метод точеных потенциалов требует дополнительного исследования. В разделе 3.1 вводится понятие системы точечных потенциалов, расширенной системы точечных потенциалов и их базисных точек, приведены некоторые результаты Купрадзе В.Д. и Алексидзе М.А. о линейной независимости этих систем.

Система точечных потенциалов и расширенная система точечных потенциалов впервые были рассмотрены в работах Купрадзе В.Д., Алексидзе М.А., для них доказаны результаты о линейной независимости, даны достаточные условия полноты в пространстве Ь2(дС5) в случае п > 2, предложены способы использования этой системы при приближенном решении краевых задач для уравнений Лапласа и Пуассона. В работах Лежнева В.Г. и Дроботенко М.И. исследование полноты системы точечных потенциалов

получило дальнейшее развитие: было показано, что если множество базисных точек является множеством единственности гармонических функций, то система точечных потенциалов полна в Ь2{дС£).

В разделе 3.2 изучаются условия полноты в пространстве Ь2{д(^) системы точечных потенциалов. Ключевым при изучении полноты системы точечных потенциалов в 1/2(5(5) является понятие множества единственности потенциала простого слоя. На основе анализа геометрии множеств единственности потенциала простого слоя в разделе получены более тонкие, чем в работах Купрадзе В.Д., Алексидзе М.А., Лежнева В.Г. и Дроботенко М.И., признаки полноты системы точеных потенциалов в 1/2(<9ф). В частности, приводятся примеры множеств базисных точек, не являющихся множествами единственности гармонических функций, для которых система точечных потенциалов полна в Ь2(8(3). Дается необходимое и достаточное условие полноты системы точечных потенциалов в 1/2 (<9$), приводится ряд простых и удобных достаточных признаков полноты.

В разделе 3.3 рассмотрено применение метода точечных потенциалов к нахождению приближенного решения задачи Дирихле для уравнений Лапласа и Пуассона. Общая идея применения метода точечных потенциалов для численного решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона заключается в следующем: сначала при помощи объемного потенциала переносим неоднородность из правой части уравнения Пуассона в краевое условие; затем методом точечных потенциалов решаем получившуюся задачу Дирихле для уравнения Лапласа. В разделе 3.3 предлагается способ численного решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа с приближением граничного условия

в норме пространства Н1(дО), что дает приближение в норме И/21(<5) точного решения задачи. Для широкого класса областей доказывается полнота расширенной системы точечных потенциалов в норме пространства Н1 Приводятся результаты численных экспериментов по оценке степени влияния на погрешность численного решения в нормах и И^ф) таких факто-

ров, как количество базисных точек и их расположение. В разделе 3.4 метод точечных потенциалов сравнивался с сеточным метом решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа по точности приближенного решения и скорости работы методов. Численные эксперименты проводились при ф = (0,1) х (0,1). Сетка узлов в сеточном методе бралась равномерной, с равными шагами по обоим направлениям. Шаблон разностной схемы — пятиточечный крест. Система линейных уравнений решалась методом верхней релаксации.

Анализ результатов экспериментов показал:

1. Погрешность метода точечных потенциалов гораздо меньше для гладких граничных условий, чем для негладких.

2. Погрешность решения системы линейных уравнений в методе точечных потенциалов приводит к увеличению погрешности при количестве точечных потенциалов большем 120-150.

3. Для гладких граничных условий МТП при одинаковой точности работает гораздо быстрее, чем рассмотренный сеточный метод.

4. Для негладких граничных условий сеточный метод может обеспечить лучшую точность, чем метод точечных потенциалов.

В разделе 3.5 изучаются условия полноты в пространстве Ь^дС^) системы

нормальных производных точечных потенциалов. При решении задачи Неймана для уравнения Лапласа методом точечных потенциалов использован тот же подход, что и при решении задачи Дирихле для уравнения Лапласа:

1. Вводится и исследуется понятие множества единственности потенциала двойного слоя.

2. Устанавливается необходимое и достаточное условие полноты в Щ{дО) системы нормальных производных точечных потенциалов. А именно, система нормальных производных точечных потенциалов полна в пространстве Щ тогда и только тогда, когда базисные точки системы потенциалов предстваляют собой множество единственности потенциалов двойного слоя.

3. Из полноты в Ь2{дО) следует сходимость метода точечных потенциалов для задачи Неймана для уравнения Лапласа.

В разделе Обозначения содержится перечень обозначений, используемых далее на протяжении работы.

Глава 1

Начально-краевые задачи для уравнения Россби в ограниченной области.

В настоящей главе предлагаются математические модели планетарных волн в виде новых обобщенных постановок начально-краевых задач для уравнения Россби в ограниченной области, проводится исследование корректности этих постановок.

Ранее первая начально-краевая задача для уравнения Россби в ограниченной области была рассмотрена Лежневым В.Г. и Ильиным A.M. [22, 23, 37], частный случай смешанной начально-краевой задачи в ограниченной области был исследован Огородниковым И.Е. [55].

Первый раздел посвящен выводу уравнения планетарных волн и обзору научной литературы по исследованию начально-краевых задач для него.

Во втором разделе настоящей главы исследованы первая и смешанная начально-краевые задачи для уравнения Россби в ограниченной области. Постановка первой начально-краевой второго раздела отличается от постановок,

данных в работах [22, 23, 37], кроме того, эта постановка позволяет строить эффективные численные алгоритмы решения. Смешанная начально-краевая задача исследована без ограничений на область, используемых в работе [55].

В третьем разделе исследована вторая начально-краевая задача для уравнения Россби в ограниченной области, она существенно сложнее первой и смешанной начально-краевой задачи, исследуется впервые.

Четвертый раздел посвящен обобщенным постановкам с более слабыми, чем во втором и третьем разделах, требованиями на гладкость решений по времени.

1 Моделирование планетарных волн. Уравнение Россби (уравнение планетарных волн).

В системе координат, связанной с вращающейся как целое с постоянной угловой скоростью Г2 жидкостью, на частицы, движущиеся со скоростью у, действует сила Кориолиса —2тО, х у (га — масса частицы). Эта сила нормальна к у, и ее воздействие на жидкую частицу аналогично действию силы Лоренца на электрон в магнитном поле. При этом возникает дополнительное движение частицы по окружности. В сплошной среде частицы жидкости не могут двигаться независимо. Взаимодействие между ними приводит приводит к возникновению градиента давления в среде. Совместное действие силы Кориолиса и градиента давления и приводит к возникновению волновых движений.

Рассмотрим течение идеальной несжимаемой однородной жидкости на

планете, вращающейся с постоянной угловой скоростью Это течение описывается уравнением Эйлера

ду , ч V» — + (у ■ \7)У + — + 2Пх<и = 0 дг ро

и условием несжимаемости

сНу у — О,

где Ь — время, ро — плотность жидкости. Дополнительно предположим, что скорость г» и ее градиент \7у достаточно малы. Тогда, отбросив слагаемое (у • У)г>, уравнение Эйлера можно линеаризовать

ду Чх) ~ — + — + 2Г2 х <и = 0. оЬ ро

Выберем систему координат с началом в некоторой точке на поверхности планеты следующим образом:

1. Ось х\ направлена по параллели с востока на запад.

2. Ось Х2 направлена по меридиану с юга на восток.

3. Ось хз направлена по внешней нормали к поверхности планеты.

Далее рассматривать течение будем в так называемом приближении /3-плоскосте [6], т.е. считаем, что течение происходит в достаточно небольшой окрестности начала координат выбранной системы отсчета, поэтому кривизной планеты можно пренебречь.

Кроме того, течение будем считать плоскопараллельным, вертикальную компоненту скорости равной нулю. Тогда из условия несжимаемости сле-

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Свидлов, Александр Анатольевич, 2014 год

Литература

1. Алексидзе, М. А. Решение граничных задач методом разложения по неортогональным функциям : монография / М.А. Алексидзе. —М.: Наука, 1978. -352 с.

2. Алексидзе, М. А. Фундаментальные функции в приближенных решениях граничных задач. / М.А. Алексидзе. —М.: Наука, 1991. —353 с.

3. Бабенко, К.И. Основы численного анализа. / К.И. Бабаенко. -Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2002. —848 с.

4. Бахвалов, Н.С. Численные методы. / Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. - М.: Наука, 1987. -630 с.

5. Брело, М. Основы классической теории потенциала:монография / М. Брело. -М.: Мир, 1964. — 201 с.

6. Бреховских, JI. М. Введение в механику сплошных сред. / JI. М. Бре-ховских, В. В. Гончаров. — М.: Наука, 1982. —334 с.

7. Владимиров, B.C. Уравнения математической физики. / B.C. Владимиров. —М.: Наука, 1981. —512 с.

8. Габов, С.А. Введение в теорию нелинейных волн. / С.А. Габов. —М.: Из-во Московского университета, 1988. —176 с.

9. Габов, С.А. Задачи динамики стратифицированных жидкостей. /С.А. Габов, А.Г. Свешников. —М.: Наука, 1986. - 286 с.

10. Гаевский, X. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. / X. Гаевский, К. Грегер , К. Захариас. —М.: Мир, 1978. -334 с.

11. Гладской, И.Б. О поведении решения задачи Коши для уравнения Aut— их = 0. / И. Б. Гл адской / / Волновые движения жидкости: теория и эксперимент. Крснодар. —1984. —С. 42.

12. Годунов, С.К. Уравнения математической физики. / С.К. Годунов. — М.: Наука, 1979. -450 с.

13. Гущин, А.К. Дополнительные главы курса «Уравнения математической физики» / А.К. Гущин, В.П. Михайлов. —Лекционные курсы НОЦ, 7. МИАН РАН. М, 2007. -140 с.

14. Гюнтер, Н.М. Теория потенциала и её применение к основным задачам математической физики. / Н.М. Гюнтер. —М.: Государственное издательство технико - теоретической литературы, 1953. —415 с.

15. Данфорд, Н. Линейные операторы. Общая теория. / Н. Данфорд , Д.Т. Шварц. -3-е изд. M.: URSS, 2010. - 896 с.

16. Дроботенко, М.И. О восстановлении плотности объемного потенциала. /М.И. Дроботенко // Экологический вестник научных центров ЧЭС. -2004. -т. -С. 5.

17. Дроботенко, М. И. О решении уравнений Лапласа и Пуассона методом точечных потенциалов. / М.И. Дроботенко, П.В. Ветошкин // Сб.докладов конф. "Компьютеризация в научных исследованиях.". Краснодар. -2002. -С.179.

18. Дроботенко, М.И. О численном решении уравнения Фредшольма 1-го рода./М.И. Дроботенко, П.В. Ветошкин, А.А. Свидлов // Инновационные технологии в образовательном процессе.Т.2 - Применение математических метод в исследованиях систем и комплексов военного назначения. -2009. -С. 121.

19. Дроботенко, М.И. Метод точечных потенциалов для уравнения Лапласа./ М.И. Дроботенко, Д.В. Игнатьев //Экологический вестник научных центров ЧЭС. -2007. -№1. -С.5.

20. Зорич, В.А. Математический анализ. Т.1. / В.А. Зорич. —М.: издательство МЦНМО, 2007. -657 с.

21. Зорич, В.А. Математический анализ. Т.2. / В.А. Зорич. —М.: издательство МЦНМО, 2007. -781 с.

22. Ильин, A.M. Об асимптотике решения одной краевой задачи. / A.M. Ильин // Матем. заметки. —1970. -т. 8. 3. - С. 273.

23. Ильин, A.M. О поведении решения одной краевой задачи при t —> оо. / A.M. Ильин // Матем. сборник. —1972. -т.87. —Ж4. -С. 529.

24. Иосида, К. Функциональный анализ. / К. Иосида. —М.: Издательство ЛКИ/URSS, 2010. -624 с.

25. Калиткин, H.H. Численные методы. /H.H. Калиткин. —М.: Наука, 1978. - 523 с.

26. Калиткин, H.H. Вычисления на квазиравномерных сетках. / H.H. Калиткин, A.B. Альшин, Е.А. Алынина, В.Б. Рогов. —М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. -324 с.

27. Келдыш, М.В. О полноте собственных функциях некоторых классов несамосопряженных операторов. / М.В. Келдыш // ДАН СССР. —1971. -т.26. -т. -С. 15.

28. Келдыш, М.В. О собственных значениях и собственных функциях некоторых классов несамосопряженных уравнений. /М.В. Келдыш // ДАН СССР. -1951. -т. 77. -т.

29. Корпусов, М.О. Нелинейный функциональный анализ и математическое моделирование в физике. /М.О. Корпусов, А.Г. Свешников —М.: КРАСАНД, 2011. - 480 с.

30. Купрадзе, В. Д. Методы потенциала в теории упругости. / В.Д. Куп-радзе. -М.: ГИФМЛ, 1963. -472 с.

31. Купрадзе, В. Д. О приближенном решении задач математической физики. / В.Д. Купрадзе // УМН. -1967. -т. XXII. -2(134). -С. 59.

32. Купрадзе, В. Д.. Метод функциональных уравнений для приближенного решения некоторых граничных задач. /В.Д. Купрадзе, М.А. Алек-сидзе // ЖВМиМФ. -№. -1964. -С.683.

33. Ламб, Г. Гидродинамика. /Г. Ламб. —М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1947. —930 с.

34. Ландкоф, Н.С. Основы современной теории потенциала. / Н.С. Ланд-коф. —М.: Наука, 1966. -518 с.

35. Ле Блон, П. Волны в океане. /П. Ле Блон, Л. Мойсек —М.: Мир, 1981. -430 с.

36. Лежнев, A.B., Лежнёв В.Г. Метод базисных потенциалов в задачах математической физики и гидродинамики. / A.B. Лежнев, В.Г. Лежнёв. —Краснодар: Издательство КубГУ, 2009. —111 с.

37. Лежнёв, В.Г. Асимптотические задачи линейной гидродинамики. / В.Г. Лежнев. —Краснодар: Издательство КубГУ, 1993. — 92 с.

38. Лежнёв, В.Г. Задачи плоской гидродинамики. / В.Г. Лежнев, Е.А. Данилов. —Краснодар: Издательство КубГУ, 2000. —92 с.

39. Лежнев, В.Г. Асимптотика решения задачи Коши уравнения длинных волн./ В.Г. Лежнев, К.В. Малыхин //Вопросы волновых движений жидкости. Краснодар. —1987. —С.71.

40. Лежнев, В.Г. Проекционный алгоритм краевой задачи неоднородного уравнения Ламе. / В.Г. Лежнев, А.Н. Марковский // Вестник Самарского гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. —1(22). —2011. —С. 236.

41. Лежнев, В.Г.. Об одной задаче Мазура-Улама для выпуклых тел. / В.Г. Лежнев, A.A. Свидлов // Труды участников международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова. Абрау-Дюрсо. -2006. -С. 53.

42. Лежнев, В.Г. Плоское кориолисово течение в морской акватории. / В.Г. Лежнев, A.A. Свидлов // Тезисы междунар. конф. "Фундаментальные исследования важнейших проблем естественных наук на основе интеграционных процессов в образовании и науке". Морской гидрофизический институт, г. Севастополь. —2006.

43. Лежнев, В.Г. К проблемам анализа цифровых изображений. / В.Г. Лежнев, A.A. Свидлов, В.В. Василенко // Известия вузов СевероКавказский регион. Технические науки. —2005. —Приложение №3. — С.13.

44. Лежнев, В.Г. Вихревое течение в плоском русле. / В.Г. Лежнев, A.A. Свидлов, В.Д. Сидоренко // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. —Приложение №. — 2005. -С. 47.

45. Лионе, Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. / Ж.-Л. Лионе. -М.: Издательство ЛКИ/URSS, 2010. -586 с.

46. Люстерник, Л.А. Элементы функционального анализа. / Л.А. Люстер-ник, В.И. Соболев. —М., Наука, 1965. -520 с.

47. Марковский, А.Н. Одна обратная задача для уравнения Пуассона. /А.Н. Марковский //Труды Третьей Всероссийской научной конференции (29-31 мая 2006 г.). Часть 3, Дифференциальные уравнения и краевые задачи, Матем. моделирование и краев, задачи, СамГТУ, Самара, -2006. -С. 154.

48. Миранда, К. Уравнения с частными производными эллиптического типа. / К. Миранда. —М.: Издательство иностранной литературы, 1957. - 451 с.

49. Михайлов, В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. / В.П. Михайлов. —М.: Наука, 1983. — 420 с.

50. Михлин, С.Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям. / С.Г. Михлин. —М.: Физматлит, 1959. —233 с.

51. Михлин, С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. / С.Г. Михлин. М.: Высшая школа, 1977. —432 с.

52. Монин, A.C. Теоретические основы геофизической гидродинамики. / A.C. Монин. —Ленинград: Гидрометеоиздат, 1988. —424 с.

53. Морозов, В.А. Вариационная задача для бигармонического уравнения. / В.А. Морозов, В.Г. Лежнев, Н.М. Токарев // Вычислительные методы и программирование. —Т. 13. —2012. —С. 409.

54. Натансон, И.П. Теория функций вещественной переменной. / И.П. Натансон. —М.: Наука, 1974. —481 с.

55. Огородников, И.Е. Стабилизация решения уравнения планетарных волн в неограниченных по пространственным переменным областях: Дисс. ... к.ф.-м.н.: 0.13.18 / И.Е. Огородников. - М., 2000. -101 с.

56. Олейник, O.A. Уравнения в частных производных. / O.A. Олейник. -М.: Бином, 2005. -261 с.

57. Педлоски, Дж. Геофизическая гидродинамика. / Дж. Педлоски. —М.: Мир, 1984. -806 с.

58. Петрушко, И.М. О поведении по t решения задачи Коши для уравнения Аut — их = 0 при большом времени. / И.М. Петрушко //Исследования по уравнения математической физики: Труды/МЭИ. М., —1975. -№220.

59. Рабинович, М.И. Введение в теорию колебаний и волн. / М.И. Рабинович, Д.И. Трубецков. —М.: Наука, 1984. —564 с.

60. Рисс, Ф. Лекции по функциональному анализу. / Ф. Рисс, Б. Сёкефальви-Надь. —М.: Мир, 1979. —588 с.

61. Самарский, A.A. Численные методы. / A.A. Самарский, A.B. Гулин. -М.: Наука, 1989. -432 с.

62. Свешников, А. Г. Нелинейный функциональный анализ и его приложения к уравнениям в частных производных. / А. Г. Свешников, А. Б. Алынин, М.О Корпусов. —М.: Научный мир, 2008. —400 с.

63. Свешников, А. Г. Линейные и нелинейные уравнения Соболевского типа. / А. Г. Свешников, А. Б. Алыпин, М. О Корпусов, Ю.Д. Плетнер. -М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. —735 с.

64. Свидлов, A.A. О первой начально-краевой задаче для уравнения Росс-би. /A.A. Свидлов // Экологический вестник научных центров ЧЭС. -2008. -т. -С. 49.

65. Свидлов, A.A. О второй начально-краевой задаче для уравнения Росс-би в ограниченной области. / A.A. Свидлов // Экологический вестник научных центров ЧЭС. -2009. -№3. -С. 80.

66. Свидлов, A.A. Решение линейного уравнения Россби. / A.A. Свидлов //Тезисы докладов Четвертой международной конференции, посвященной 90-летию со дня рождения член корреспондента РАН Л.Д. Кудрявцева «Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования.». -2013. -С. 236.

67. Свидлов, A.A. Решение линейного уравнения Россби в ограниченной области./ A.A. Свидлов // Ученые записки Казанского университета. -2014.

68. Свидлов, A.A. Алгоритм сжатия цифровых изображений. / A.A. Свидлов // Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах. Труды II Всероссийской научной конференции молодых ученых и студентов, —т. 2. —2005. —С. 137.

69. Свидлов, A.A. Движение точечного вихря в вихревом потоке / A.A. Свидлов // Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах. Труды II Всероссийской научной конференции молодых ученых и студентов, —т. 2. —2005. —С. 138.

70. Свидлов, A.A. Течение жидкости в поле силы Кориолиса. / A.A. Свидлов // Инновационные технологии в образовательном процессе.Т.2 -Применение математических метод в исследованиях систем и комплексов военного назначения. —2006. —С. 92.

71. Свидлов, A.A. Алгоритм вычисления интегралов типа логарифмического потенциала и их частных производных / A.A. Свидлов // Инновационные технологии в образовательном процессе.Т.2 - Применение математических метод в исследованиях систем и комплексов военного назначения. —2007. —С. 140.

72. Свидлов, A.A., Негладкое решение уравнения Россби. /A.A. Свидлов, А.Э. Бирюк, М.И. Дроботенко // Экологический вестник научных центров ЧЭС. -2013. -т. -С. 89.

73. Соболев, C.JI. Избранные вопросы теории функциональных пространств и обобщенных функций. / C.JI. Соболев. —М.: Наука, 1989. -255 с.

74. Соболев, C.JI. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. / C.JI. Соболев. —М.: Наука, 1988. —334 с.

75. Сухинов, А.И. Повышение эффективности попеременно-треугольного метода на основе уточнённых спектральных оценок./ А.И. Сухинов, A.B. Шишеня // Матем. моделирование. —24:11. —2012, —С. 20.

76. Сухинов, А.И. Адаптивный модифицированный попеременно-треугольный итерационный метод для решения сеточных уравнений с несамосопряженным оператором. / А.И. Сухинов, А.Е. Чистяков // Матем. моделирование. —24:1. —2012. —С. 3.

77. Тикиляйнен, A.A. Об одной задаче, связанной с теорией планетарных волн. / A.A. Тикиляйнен // ЖВМ и МФ. -Т.28. -№4. -1988. -С. 534.

78. Тихонов, А.Н. Собрание научных трудов в десяти томах. Т. II. / А.Н. Тихонов. —М.: Наука, 2009. -588 с.

79. Тихонов, А.Н. Собрание научных трудов в десяти томах. Т. III. / А.Н. Тихонов. —М.: Наука, 2009. -630 с.

80. Треногин, В.А. Функциональный анализ. / В.А. Треногин. —М.: ФИЗ-МАТЛИТ, 2007. -488 с.

81. Треногин, В.А. Уравнения в частных производных. / В.А. Треногин, И.С. Недосекина. -М.: ФИЗМАТЛИТ, 2013. -228 с.

82. Трухчев, Д.И. Результаты исследования климата Черного моря с использованием данных гидрологических наблюдений. / Д.И. Трухчев, Ю.Л. Демин, Г.С. Дворянинов//Мор. гидрофиз. журн. — №5. —1993. -С. 51.

83. Успенский, С. В. О поведении при t —> оо решений некоторых задач гидродинамики./ С. В. Успенский, Г. В. Демиденко//ДАН СССР. —Т.280. -т. -1985. -С. 1072.

84. Фихтенгольц, Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления т.2. / Г.М. Фихтенгольц. -М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. -801 с.

85. Фихтенгольц, Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления т.З. / Г.М. Фихтенгольц. -М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. -656 с.

86. Adams, R.A. Sobolev spaces. / R.A. Adams. —New York: Academic Press, 1975. -286 p.

87. Alves, C. J. S. A new method of fundamental solutions applied to nonhomoge- neous elliptic problems. / C. J. S.Alves, C. S. Chen // Adv. Сотр. Math. -Volume 23. -2005. -P. 125.

88. Alves, C. J. S. Numerical comparison of two meshfree methods for acoustic wave scattering. / C. J. S. Alves, S. S. Valtchev // Eng. Analysis Boundary Elements. -Volume 29. -2005. -P. 371.

89. Biryuk, A.E. On invariant measures of the 2D Euler equation. / A.E. Biryuk // Journal of Statistical Physics. -Volume 122. -Issue 4.-2006. -P. 597.

90. Biryuk, A.E., Craig, W., Panferov, V. Strong solutions of the Boltzmann equation in one spatial dimension. / A.E. Biryuk, W. Craig, V. Panferov // Comptes Rendus Mathematique. —Volume 342. —Issue 11. —2006, —P. 843.

91. Biryuk, A.E. Lower bounds for derivatives of solution for nonlinear Schrodinger equations. / A.E. Biryuk // Proceedings of the Royal Society of Edinburgh: Section A Mathematics. —Volume 139. —Issue 02. —2009. -P. 237.

92. Biryuk, A.E. An optimal limiting 2D Sobolev inequality. / A.E. Biryuk // Proc. Amer. Math. Soc. -Volume 138. -2010. -P. 1461.

93. Biryuk, A.E. An introduction to the Aubry-Mather theory./ A.E. Biryuk, D.A. Gomes // The Sro Paulo Journal of Mathematical Sciences. —Volume 4. -№. -2010. -P. 17.

94. Biryuk, A.E. Bounds on Kolmogorov spectra for the Navier-Stokes equations. / A.E. Biryuk, W. Craig // Physica D: Nonlinear Phenomena. -Volume 241. -Issue 4. -2012. -P. 426.

95. Biryuk, A.E. Comparison theorems for p-elliptic equations with degenerating nonlinearities. / A.E. Biryuk, B.E. Levitskiy // Abstracts of the 8-th Congress of the International Society for Analysis, its Applications, and Computation (isaac-2011). —2011.

96. Bogomolny, A. Fundamental solutions method for elliptic boundary value problems. / A. Bogomolny //SIAM J. Numer. Anal. —22(4). -1985. -P. 644.

97. Debnath, L. On linear and nonlinear Rossby waves in an ocean. / L. Debnath // Journal of Mathematical Analysis and Applications. —Volume 333. -Issue 1. -2007. -P. 164.

98. Haurwitz, B. The perturbation equations in meteorology. / B. Haurwitz // of Compend. Meteorol. Amer. meteorol. Soc., Boston. —1951. —P. 417.

99. Ivanov, M.I. Nonaxisymmetric solutions of Laplace's tidal equation and Rossby waves. / M.I. Ivanov // Fluid Dynamics. —Volume 42. —Issue 4. -2007, -P. 644.

100. Karageorghis, A. The method of fundamental solutions for the numerical solution of the biharmonic equation. / A. Karageorghis, G. Fairweather // Computer physics. -Volume 69. -1987. -P.434.

101. Karageorghis, A. A survey of applications of the MFS to inverse problems. / A. Karageorghis, D. Lesnic, L. Marin //Inverse Problems in Science and Engineering. -Volume 19. -Issue 3. -2011. -P. 309.

102. Karageorghis, A. Steady-state nonlinear heat conduction in composite materials using the method of fundamental solutions. / A. Karageorghis, D. Lesnic // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering.— Volume 197. -Issues 33-40. -2008. -P. 3122.

103. Karageorghis, A. Detection of cavities using the method of fundamental solutions. / A. Karageorghis, D. Lesnic // Inverse Problems in Science and Engineering, Volume 17, Issue 6, 2009, p. 803-820.

104. Rossby, C.-G. On the dispersion of planetary waves in barotropic atmosphere. / C.-G. Rossby // Tellus. -1,1 -1949.

105. Smyrlis, Y.-S. Mathematical foundation of the MFS for certain elliptic systems in linear elasticity. / Y.-S. Smyrlis // Numerische Mathematik. -Volume 112. -Issue 2. -2009. -P. 319.

106. Smyrlis, Y.-S. The Method of Fundamental Solutions: A Weighted Least-Squares Approach. / Y.-S. Smyrlis // BIT Numerical Mathematics. — Volume 46. -Issue 1. -2006. -P 163.

107. Smyrlis, Y.-S. Applicability and applications of the method of fundamental solutions. / Y.-S. Smyrlis // Math. Comp. -№78. -2009. -P. 1399.

108. Sun, W.-Y. Numerical simulation of Rossby wave in shallow water. / W.-Y. Sun, O. M. Sun // Computers & Fluids. -Volume 76. -2013. -P. 116.

109. Tankelevich, R. Potential field based geometric modelling using the method of fundamental solutions. / R. Tankelevich, G. Fairweather, A. Karageorghis, Y.-S. Smyrlis //Numerical Methods in Engineering —Volume 68. -Issue 12. -2006. -P. 1257.

110. Taylor M.E. Partial Differential Equations I. Basic Theory. / M.E. Taylor. — New York: Springer. 1996. —563 p.

111. Xin Li. Convergence of the method of fundametnal solutions for solving the boundary value problem of modified Helmholtz equation. / Xin Li // ELSEVIER. Applied Mathematics and Computation. —Volume 159. —2004. -P. 113.