Применение нормированной матрицы Якоби в теории пространственных отображений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Егоров, Владислав Валерьевич

• Егоров, Владислав Валерьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Егоров, Владислав Валерьевич

Введение

1 МАТРИЧНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ОТОБРАЖЕНИЙ

1.1 Основные определения, обозначения, сведения.

1.2 Некоторые системы дифференциальных уравнений, связанные с нормированной матрицей Якоби.

2 ВОССТАНОВЛЕНИЕ ОТОБРАЖЕНИЙ ПО НОРМИРОВАННОЙ МАТРИЦЕ ЯКОБИ (ГЛАДКИЙ СЛУЧАЙ)

2.1 Необходимые условия восстановления отображения. Некоторые следствия

2.2 Достаточные условия восстановления отображения

3 ВОССТАНОВЛЕНИЕ ОТОБРАЖЕНИЙ ПО НОРМИРОВАННОЙ МАТРИЦЕ ЯКОБИ (СОБОЛЕВСКИЕ КЛАССЫ ФУНКЦИЙ)

3.1 Вспомогательные определения, утверждения, оценки

3.2 Достаточные условия восстановления отображения

3.3 Необходимые условия восстановления отображения

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Применение нормированной матрицы Якоби в теории пространственных отображений»

Диссертационная работа посвящена исследованию систем дифференциальных уравнений специального вида, возникающих в теории отображений с ограниченным искажением.

Теория квазиконформных отображений, основы которой были заложены в работах Г. Греча [47] и М.А. Лаврентьева [24] в конце 20-х - начале 30-х годов XX века, в настоящее время представляют собой активно развивающийся раздел математического анализа и ее результаты находят многочисленные приложения в различных областях теоретической и прикладной математики. Примерами здесь служат задачи устойчивости [5] в дифференциальной геометрии и вариационном исчислении, задачи плоского дозвукового установившегося движения идеального газа [25] и др.

В 1938 г. для построения математических моделей ряда явлений гидродинамики и газовой динамики М.А. Лаврентьевым была начата разработка теории пространственных квазиконформных отображений. Наиболее важные результаты в этой теории были получены в работах Л. Альфорса, П.П. Белинского, Ю. Вяйсяля, Ф. Геринга, В.А. Зорича, Ю.Г. Решетняка и других математиков (перечислим лишь некоторые их работы [1], [2], [51], [45], [46], [20], [32]).

Развитие теории пространственных квазиконформных отображений привело к созданию в середине 1960-х годов в работах Ю.Г. Решетняка теории пространственных отображений с ограниченным искажением. Значительный вклад в эти исследования внесли С.К. Водопьянов, М. Вуоринен, В.М. Гольдштейн, Т. Иванец, А. П. Копылов, C.JI. Крушкаль, Т.Г. Латфуллин, О. Мартио, В.М. Миклюков, С. Рикман, А.В. Сычев и многие другие (см., например, [6], [52], [7], [22], [23], [28], [30], [41]).

Ряд методов исследования в этой области связан с использованием аппарата дифференциальных уравнений. В частности, квазиконформные отображения на плоскости можно рассматривать как го-меоморфные решения дифференциального (комплексного) уравнения Бельтрами [5] с заданной функцией fi(z) ш = ц{г)Ш. (1)

Пространственным аналогом этого уравнения (дающим уравнение Бельтрами при п=2) занимались, в частности, Г. Вейль, И.А. Схо-утен, рассматривая следующую нелинейную переопределенную систему дифференциальных уравнений с частными производными (см. [53], [40]) f'T(x)f(x) = \detf(x)\2'nG(x) (2)

Здесь /: D-+W1 (D — область в En, f'(x) — матрица Якоби отображения f(x), Т — транспонирование, G(x) — матрица размерности пхп, заданная в D).

Однако, в пространственном случае системы указанного типа имеют сложный характер интегрирования, а теоремы существования их решений доказаны лишь для достаточно узкого (с точки зрения теории квазиконформных отображений) класса функций. В связи с этим возникает задача изучения нелинейной переопределенной системы дифференциальных уравнений f'(x) = \detf,(x)\1/nM(x) (3) где М(х) — матрица размерности пхп, заданная в области DcW1.

В 1930-х гг. для описания локального поведения отображений М.А. Лаврентьев [24] ввел следующее определение. Характеристиками квазиконформности отображения /: определенного в области DсМп и дифференцируемого почти всюду в D, назваются числовые параметры, заданные в D и определяющие почти в каждой точке х из D эллипсоид (или параллелепипед) из Мп, который под действием дифференциала dxf переходит в сферу (или в куб со сторонами, сонаправленными векторам ортонормированного базиса пространства R").

Характеристики квазиконформности, одной из которых является матрица |det/^i1/"' оказались удобным средством для исследования и решения множества задач теории отображений с ограниченным искажением. И.В.Журавлевым ([17], [18]) были найдены необходимые и достаточные условия существования решения системы (3) и посредством матрицы | det/^r)!1/» были описаны свойства этих решений. .

Теория пространственных отображений и ее приложения диктуют необходимость постановки и решения как новых задач, так и получения обобщений результатов исследований, сделанных ранее. Представленное диссертационное исследование относится к указанному направлению анализа и очерченному кругу проблем, что обосновывает его актуальность.

Целью работы является исследование классов отображений и систем дифференциальных уравнений, связанных с нормированной матрицей Якоби. Изучается вопрос о возможности восстановления отображения по его обобщенной нормированной матрице Якоби. Это обобщение связано с видом нормирующего матрицу Якоби множителя и с пространством функций, где производился поиск решений исследуемых задач. Все результаты диссертации являются новыми. Перечислим основные из них.

1. Найдены необходимые и достаточные условия существования решений переопределенных систем дифференциальных уравнений, связанных с нормированной матрицей Якоби, в гладком случае.

2. Описаны необходимые и достаточные условия существования решений таких систем дифференциальных уравнений для отображений соболевских классов.

3. Получены некоторые интегральные представления, позволяющие восстановить отображение по обобщенной нормированной матрице Якоби.

4. Описаны свойства пространственных отображений в терминах свойств обобщенной нормированной- матрицы Якоби.

5. Найдены условия, при которых изучаемые отображения являются отображениями с ограниченным искажением.

Диссертация носит теоретический характер. Результаты могут быть использованы в развитии теории отображений с ограниченным искажением, могут найти применение в теории уравнений с частными производными, в вариационном исчислении, в математической физике (например, в механике сплошной среды, в гидродинамике, в газовой динамике).

Работа основана на результатах теории пространственных отображений с ограниченным искажением. В ней широко применяется аппарат внешних дифференциальных форм с суммируемыми коэффициентами, теория соболевских пространств.

Диссертация изложена на 107 страницах, состоит из введения, трех глав, заключения и библиографического списка. В работе использована подчиненная нумерация глав, формул, утверждений. Библиография содержит 53 наименований научных работ. Основные результаты содержатся в работах [9]-[16].

Заключение диссертации по теме «Математический анализ», Егоров, Владислав Валерьевич

Заключение

Проведенное в настоящей работе исследование (структура которого представлена во введении) системы дифференциальных уравнений (1.1) носит завершенный характер. Это проявляется в том, что и в гладком случае и в случае соболевских функциональных пространств при использовании выбранной автором методики (базирующейся, в основном, на методах теории функций и применении в рамках этого аппарата дифференциальных форм) были получены как необходимые (теорема 2.1, следствие 2.1.1, теорема 3.3), так и, при дополнительных ограничениях на входящую в систему (1.1) функцию Ф, достаточные (теорема 2.2, следствие 2.2.1, теорема 3.2, следствие 3.2.2) условия существования решений указанной системы. Кроме того, показано (следствие 3.2.3), в каких случаях решение системы (1.1) является отображением с ограниченным искажением.

Следует заметить, что утверждения, подобные представленным в работе теоремам 2.2 и 3.2, следствиям 3.2.1, 3.2.2 и 3.2.3 доказаны автором не только для положительно однородной функции Ф, но и для простой однородной, и для1 слабо положительно однородной функции.

Перечисленные в заключении результаты являются основными в представленной диссертации и могут найти применение в научных коллективах, занимающихся исследованием отображений с ограниченным искажением, их приложениями и изучением свойств решений систем дифференциальных уравнений с частными производными.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Егоров, Владислав Валерьевич, 2008 год

1. Альфорс, Л. Преобразования Мебиуса в многомерном пространстве / Л. Альфорс. — М.: Мир, 1986.

2. Белинский, П.П. Общие свойства квазиконформных отображений / П.П. Белинский. — Новосибирск: Наука, 1974.

3. Бесов, О.В. Интегральные представления функций и теоремы вложения / О.В. Бесов, В.П. Ильин, С.М. Никольский. — М.: Наука, 1975.

4. Буренков, В.И. Интегральные представления Соболева и формула Тейлора / В.И. Буренков // Тр. МИАН СССР. 1974. -Т. 131. - С. 33-38.

5. Векуа, И.Н. Обобщенные аналитические функции / И.Н. Ве-куа. М.: Наука, 1988.

6. Водопьянов, С.К. Квазиконформные отображения и пространства функций с обобщенными производными / С.К. Водопьянов,

7. B.М. Гольдштейн // Сиб. мат. журн. — 1976. — Т. 17, № 3. —1. C. 515-531.

8. Гольдштейн, В.М. Дифференциальные формы на липшецевом многообразии / В.М. Гольдштейн, В.И. Кузьминов, И.А. Шведов // Сиб. мат. журн. 1982. Т. 23, № 2. - С. 16-30.

9. Гольдштейн, В.М. Введение в теорию функций с обобщенными производными и квазиконформные отображения / В.М. Гольдштейн, Ю.Г. Решетняк. — М.: Наука, 1983.

10. Егоров, В.В. О системах дифференциальных уравнений, возникающих в теории квазиконформных отображений / В.В. Егоров // Деп. в ВИНИТИ № 2777 В97, 29.08.97, 16 с.

11. Егоров, В.В. Об интегрируемости одной системы дифференциальных уравнений с частными производными, возникающей в теории квазиконформных отображений / В.В. Егоров // Деп. в ВИНИТИ № 1816 В98, 17.06.98, 15 с.

12. Егоров, В.В. О системе дифференциальных уравнений, описывающей отображения, близкие к растяжению / В.В. Егоров // Вестник ВолГУ, Серия 1 (Математика), Вып.8, 2003-2004, Волгоград: Изд. ВолГУ, 2004. С. 18-27.

13. Егоров, В.В. Восстановление отображения по матрице Якоби, нормированной однородной функцией / В.В. Егоров // Известия Саратовского университета. 2007. Т. 7. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып. 2. — С. 14-20.

14. Егоров, В.В. О необходимых условиях восстановления отображений соболевского класса / В.В. Егоров // Тез. докл. 14-й Саратовской зимней школы "Современные проблемы теории функций и их приложения". — Саратов: Изд. Саратовского ун-та, 2008. С. 71-72.

15. Журавлев, И.В. О восстановлении отображения по нормированной матрице Якоби / И.В. Журавлев // Сиб. мат. журн. — 1992. Т. 33, № 5. - С. 53-61.

16. Журавлев, И. В. К задаче о восстановлении отображения по нормированной матрице Якоби / И.В. Журавлев // Сиб. мат. журн. 1993. - Т. 34, № 2. - С. 77-87.

17. Журавлев, И.В. Sufficient conditions for local quasiconformality mapping with bounded-distortion / I.V. Zhuravlev // Russian Acad. Sci. Sb. Math. Vol. 78 (1994), No. 2.

18. Зорич, В.А. Теорема Лаврентьева о квазиконформных отображениях пространства / В.А. Зорич // Мат. сб. — 1967. — Т. 74 (116), № 3. С. 417-433.

19. Зорич, В.А. Математический анализ. Том II / В.А. Зорич. — М.: Наука, 1984.

20. Копылов, А.П. Устойчивость в С-норме классов отображений / А.П. Копылов. — Новосибирск: Наука, 1990.

21. Крушкаль, С.JI. Квазиконформные отображения новые методы и применения / С.Л. Крушкаль, Д. Кюнау. — Новосибирск: Наука, 1984.

22. Лаврентьев, М.А. Sur une classe de representations continues / M.A. Lavrentiev // Мат. сб., 1935, - Т. 42, № 4, - С. 407424.

23. Лаврентьев, М.А. Об одном классе квазиконформных отображений в газовых струях / М.А. Лаврентьев // Докл. АН СССР. — 1938. Т. 20, № 5. - С. 343-345.

24. Лаврентьев, М.А. Квазиконформные отображения и их производные системы / М.А. Лаврентьев // Докл. АН СССР. — 1946. Т. 52, № 4. - С. 287-289.

25. Лаврентьев, М.А. Вариационный метод в краевых задачах для систем уравнений эллиптического типа / М.А. Лаврентьев. — М.: Изд. АН СССР, 1962.

26. Латфуллин, Т.Г. Критерий квазигиперболичности отображений / Т.Г. Латфуллин // Сиб. мат. журн. — 1996. — Т. 37, № 3. — С. 610-615.

27. Мазья, В.Г. Пространства С.Л. Соболева / В.Г. Мазья. — Ленинград: Изд-во Ленингр. ун-та, 1985.

28. Миклюков, В.М. Асимптотические свойства субрешений квазилинейных уравнений эллиптического типа и отображения с ограниченным искажением / В.М. Миклюков // Мат. сб. — 1981. — Т. 39, № 1. С. 37-59.

29. Де Рам, Ж. Дифференцируемые многообразия / Ж. Де Рам. — М.: ИЛ, 1956.

30. Решетняк, Ю.Г. О квазиконформных отображениях в пространстве / Ю.Г. Решетняк, Б.В. Шабат // Труды 4-го Всесоюз. мат. съезда. Л.: Наука, 1964. С. 672-679.

31. Решетняк, Ю.Г. Пространственные отображения с ограниченным искажением / Ю.Г. Решетняк. — Новосибирск: Наука, 1982.

32. Решетняк, Ю.Г. Теоремы устойчивости в геометрии и анализе / Ю.Г. Решетняк. — Новосибирск: Наука, 1982.

33. Рурк, К. Введение в кусочно линейную топологию / К. Рурк, Б. Сандерсон. — М.: Мир, 1974.

34. Садовничий, В.А. Теория операторов / В.А. Садовничий. — М.: Изд. Московского университета, 1986.

35. Смирнов, В.И. Курс высшей математики. Том 5 / В.И.tСмирнов. — М.: Физматлит, 1959.

36. Соболев, С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике / С.Л. Соболев. — Л.: Изд. ЛГУ, 1950.

37. Стейн, И.М. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций^/-И. М. Стейн. — М.: Мир, 1972:

38. Схоутен, И.А. Введение в новые методы диференциальной геометрии. Т. II / И.А. Схоутен, Д.Я. Стройк. М.: ИЛ, 1948, 348 с.

39. Сычев, А.В. Модули и пространственные квазиконформные отображения / А.В. Сычев. — Новосибирск: Наука, 1983.

40. Уитни, X. Геометрическая теория интегрирования / X. Уитни. М.: ИЛ, 1948.

41. Шушков, Д.В. Восстановление отображения по характеристике f'(x)/\f(x)\ / Д.В. Шушков // Труды по геометрии и анализу. — Новосибирск: Изд. Института математики, 2003. С. 453-462.

42. Bojarski, B.V. Analitical foundations of the theory of quasiconformal mappings in Mn / B.V. Bojarski, T. Iwaniec // Ann. Acad. Sci. Fenn., Ser. A. I. v. 8. P. 257-324.

43. Gehring, F.W. Rings and quasiconformal mappings in space / F.W. Gehring // Trans. Amer. Math. Soc. 1962. V. 103. P. 353393.

44. Gehring, F.W. The Lp-integrability of the partial derevatives of quasiconformal mappings / F.W. Gehring // Acta Math. 1973. V. 130. P. 265-277.

45. Grotzsch, H. Uber die Verzerrung bei schlichten nichtkonformen Abbildungen und uber eine damit zusammenhangende Erweiterung des Picardschen Satzes / H. Grotzsch // Ber. U. Verh. Sachs. Acad. Wiss. 1928. Bd. 80. S. 503-507.

46. Martio, O. Topological and metric properties of quasiregular mappings / O. Martio, S. Rickman, J. Vaisala // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. AI". - 197Г. № 488: - P. 1-31-

47. Monge, G. Application de l'analye a la geometrie / G. Monge // 5 ed., P., 1850, p. 609-616.r

48. Slebodzinski, W. Exterior forms and their applications / W. Slebodzinski. Warszawa: PWN, 1970.

49. Vaisala, J. Lectures on п-dimensional quasiconformal mappings / J. Vaisala. — Berlin, a.o. Springer Verlag, 1971.

50. Vuorinen, M. Conformal Geometry and Quasiregular Mappings / M. Vuorinen. — Berlin: Springer, 1988.

51. Weyl, H. Reine Infinitesimal geometrie / H. Weyl // Math. Zeitschr. 1918. - Bd. 2. - S. 384-411.