Применение методов операторных уравнений в математических моделях экономических процессов и теории приближений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Бостанова, Фатима Ахмедовна

• Бостанова, Фатима Ахмедовна
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Бостанова, Фатима Ахмедовна

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ПРИЗНАКИ СУЩЕСТВОВАНИЯ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ.

1.1 Теоремы о существовании положительною решения для нелинейных операторных уравнений.

1.2 Существование решений уравнения х-Ах с нелинейным вогнутым оператором.

1.3 Обобщение некоторых результатов о существовании положительных решений нелинейных операторных уравнений.

ГЛАВА II. НЕНАКАПЛИВАЕМОСТЬ ПОГРЕШНОСТИ В МЕТОДЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ.

2.1 Ненакапливаемость погрешности в методе последовательных приближений для линейных уравнений.

2.2 Ненакапливаемость погрешности в методе последовательных приближений для нелинейных уравнений.

2.3 Оценка поведения ошибок округления в методе последовательных приближений.

ГЛАВА III. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ, ОСНОВАННЫХ НА ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЯХ, В ЗАДАЧАХ ЭКОНОМИКИ.

3.1 Применение теорем существования к доказательству разрешимости одной нелинейной двухточечной краевой задачи.

3.2 О разрешимости задачи построения оптимальной траектории в управляемых системах.

3.3 Задача оптимизации распределения капитальных вложений между отраслями.

3.4 Уравнения с неразложимыми операторами. Неразложимые модели Неймана.

3.5 Методики построения положительных решений некоторых математических моделей экономических процессов.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Применение методов операторных уравнений в математических моделях экономических процессов и теории приближений»

Многие задачи алгебры, дифференциальных и интегральных уравнений посвящены исследованию вопроса о существовании неотрицательных решений у некоторых классов алгебраических систем, интегральных уравнений, начально-граничных задач. Это в первую очередь связано с тем, что именно неотрицательные решения таких задач представляют экономический интерес. Поэтому в подобных исследованиях важно выяснить не только факт существования неотрицательного решения, но и разработать эффективные методики его построения аналитическими или численными методами. Поэтому тема диссертационной работы, в рамках которой изучаются аналогичные задачи, является актуальной.

Данная диссертационная работа направлена на решение важной научной задачи: развить математический аппарат построения неотрицательных решений линейных и нелинейных операторных уравнений и на его основе разработать вычислительные алгоритмы решения известных математических моделей экономических процессов.

Цели и задачи исследования заключаются: -в исследовании проблемы ненакапливаемости погрешности в решении операторного уравнения (линейного, нелинейного), получаемого методом последовательных приближений;

-в применении полученных результатов к исследованию экономических процессов.

Методы исследования. В диссертационной работе использованы понятия и методы теории функциональных и операторных уравнений, в том числе уравнений с операторами, действующими в линейных полуупорядоченных банаховых пространствах, численного анализа, теории оптимального управления, обыкновенных дифференциальных уравнений, матричной алгебры. Решение поставленных задач основывается на использовании результатов численных методов и пакета прикладных программ MathCad Professional.

Достоверность и обоснованность полученных в диссертационной работе теоретических результатов и формулируемых на их основе выводов обеспечивается математически строгой постановкой рассматриваемых задач, логически последовательной формой проведения доказательств рассматриваемых утверждений, сопоставимостью полученных результатов с результатами, известными из печатных источников.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту:

1. Результаты о ненакапливаемости погрешности в методе последовательных приближений решения линейных и нелинейных операторных уравнений.

2. Результаты о разрешимости обобщенной математической модели Неймана.

3. Методики построения численными методами неотрицательных решений математических моделей экономического роста (Солоу), динамики развития малого предприятия, роста выпуска дефицитной продукции.

Научная новизна. С помощью известных результатов теории линейных и нелинейных операторных уравнений с операторами, действующими в полуупорядоченных пространствах, построены оценки скорости сходимости метода последовательных приближений. Разработаны методики построения неотрицательных решений методом последовательных приближений некоторых моделей макро- и микроэкономики.

Практическая и теоретическая значимость. Результаты исследования вносят определенный вклад в развитие численных методов и могут быть использованы при исследовании математических моделей экономики, теории оптимального управления.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на XIII Международной научно-технической конференции «Математические методы и информационные технологии в экономике, социологии и образовании» (г. Пенза); VI Всероссийском симпозиуме «Математическое моделирование и компьютерные технологии» (г. Кисловодск); III Всероссийской научной конференции молодых ученых и студентов «Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах» (г. Анапа); научных конференциях, проводившихся в Карачаево-Черкесском государственном университете 2003-2006 г.г. научных семинарах кафедр математического анализа Ростовского государственного университета, математического анализа, информатики Карачаево-Черкесского государственного университета.

Публикации. Материалы диссертации подробно опубликованы в 9 научных работах: в 5 статьях и 4 тезисах докладов.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка использованной литературы, содержащего 73 наименования. Объем диссертации - 108 страниц машинописного текста.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Бостанова, Фатима Ахмедовна

Выводы.

Таким образом, в главе III рассмотрено применение методов решения операторных уравнений в задачах экономики. В частности, получены условия разрешимости двухточечной краевой задачи

-x = f(t,x,x), х(0) = *(1) = 0, где f{t,x,y), у = х непрерывная по совокупности переменных в области 0 < / < 1, -оо<дг<оо, -оо<^<оо функция, получен критерий разрешимости обобщенной модели Неймана, изучен вопрос о существовании и единственности оптимальной траектории для управляемого динамического объекта при заданном управлении, исследована задача оптимизации распределения капитальных вложений между отраслями, предложены методики численного решения динамической модели Солоу экономического роста, модели динамики развития малого предприятия с привлечением государственных инвестиций, модели роста выпуска дефицитной продукции.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе сделан подробный анализ (см. гл.1) известных результатов о разрешимости операторных уравнений, допускающих положительные решения, о методах численного решения таких уравнений. Сделан достаточно подробный обзор научных публикаций по этим проблемам. Все это позволяет сделать очевидными актуальность темы диссертационной работы, значимость (научную и практическую) полученных в ходе проведенных исследований и изложенных в диссертации результатов, направленных на решение научной задачи, сформулированной в диссертационной работе.

В ходе проводившихся исследований был получен ряд интересных результатов, изложенных в главе 2, позволяющих строить методом последовательных приближений положительные решения макроэкономических моделей, при описании которых используются операторные уравнения. Особое внимание при разработке этих методов было уделено вопросу о ненакапливаемости погрешностей в ходе проводимых вычислений. Предложены оценки сверху для нормы разности между приближенными и точными решениями операторного уравнения. В конечном счете, это позволило построить эффективные алгоритмы построения неотрицательных решений по методу последовательных приближений не только операторных уравнений, но и решений классических моделей экономики: Солоу, малого предприятия и других, рассмотренных в главе 3.

Анализ известных результатов и результатов, полученных в ходе проведенных исследований, позволил указать условия разрешимости задачи построения оптимальной траектории управляемых динамических систем, приведенных в главе 3.

В ходе проведенных исследований были обобщены модели Неймана на случай банаховых пространств. Найден критерий разрешимости такой модели.

Предложенные в главе 3 методики построения положительных решений динамических моделей экономического роста Солоу, малого предприятия, роста выпуска дефицитной продукции и реализованные с помощью пакетов прикладных программ Mathcad, могут быть использованы при анализе конкретных экономических объектов.

Отмеченные выше результаты позволяют констатировать, что поставленные научные задачи и цель диссертационного исследования приведенные во введении, полностью решены.

Полученные в диссертационной работе результаты можно использовать в научных исследованиях, проводимых Карачаево-Черкесском государственном университете, Карачаево-Черкесской технологической академии, Кабардино-Балкарском государственном университете, Кубанском и Ставропольском государственных университетах, Северо-Кавказском государственном технологическом университете и других вузах и научных центрах, где проводятся научные исследования по тем темам, которые затрагиваются в диссертационной работе.

Результаты проведенных исследований внедрены в учебный и производственные процессы, что подтверждается соответствующими актами (справками) о внедрении.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Бостанова, Фатима Ахмедовна, 2006 год

1. Ашманов С.А. Введение в математическую экономику. -М., 1984. -296 с.

2. Ахтямов A.M. Математика для социологов и экономистов. -М.: Физматгиз, 2004. -464 с.

3. Бахтин И.А. Исследование уравнений с положительными операторами // Дисс. доктора физ.-мат. наук. -Ленинград. 1967. -320 с.

4. Бахтин И.А. О нелинейных уравнениях с вогнутыми и равномерно вогнутыми операторами//ДАН СССР. 1959.-Т. 126. №1.

5. Бахтин И.А. О нелинейных уравнениях с равномерно вогнутыми операторами // Сибирский математический журнал. 1963. -Т.4, №2. -С. 268286.

6. Бахтин И.А., Красносельский М.А. К теории уравнений с вогнутыми операторами //ДАН СССР. 1958. -Т.123. №1.

7. Бахтин И.А., Красносельский М.А. Метод последовательных приближений в теории уравнений с вогнутыми операторами // Сибирский математический журнал. 1961, -Т.2, №3. -С313-330.

8. Бахтин И.А., Красносельский М.А., Стеценко В.Я. О непрерывности линейных положительных операторов // Сибирский математический журнал. 1962. -Т.З. №1. -С8-17.

9. Боташев Х.И. О построении квазипериодических решений сгарантированной точностью методом малого параметра // Журнал «Вычислительной математики и математической физики». 2006. Т. 46, № 1.

10. Ю.Боташев Х.И. О построении периодических решений с гарантированной точностью для квазилинейной математической модели методом малого параметра // Журнал «Вычислительной математики и математической физики». 2001. Т. 41, № 6. -С.938-946.

11. КБоташев Х.И. О построении периодических решений с заданной точностью методом малого параметра // Журнал «Вычислительной математики и математической физики». 1998. Т. 38, № 5. -С.729-733.

12. Вулих Б.З. Введение в теорию полуупорядоченных пространств.- М.: Наука, 1961.-407 с.

13. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. -М.: Наука, 1966. -576 с.

14. Данфорд Н., Дж. Шварц. Линейные операторы. Общая теория. -М.: Издательство иностранная литература, 1962. -895с.

15. Дементьев Н.П. Об одном обобщении модели Неймана. В кн.: Методы моделирования и обработка информации. -Новосибирск, 1976, -С. 93-95.

16. Денисенко Т.И., Стеценко В.Я. Элементы математической экономики. Учебное пособие. -Ставрополь. 2000. -176 с.

17. Есаян А.Р. Применение теории конусов к оценке спектра неположительных операторов // Кандидатская диссертация. -Воронеж. 1964.

18. Есаян А.Р., Стеценко В.Я. О разрешимости уравнений второго рода // Труды семинара по функциональному анализу. ВГУ. -1963. -Вып.7.

19. Имомназаров Б. О некоторых теоремах существования решения у нелинейного операторного уравнения // ДАН Таджикской ССР. -1966. -Т.9. №11.

20. Имомназаров Б. Об априорной оценке погрешности округления в методе последовательных приближений // ДАН Таджикской ССР. -1965. -Т.8. №11.

21. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. -М.: Госиздат физико-математической литературы. 1961.

22. Канторович JI.В. Функциональный анализ и вычислительная математика. УМН. 1948. -Т.З.

23. Канторович Л.В., Акимов Г.П. Функциональный анализ в нормированных пространствах. -М.: Физматгиз, 1959. -684 с.

24. Канторович Л.В., Вулих Б.З., Пинскер А.Г. Функциональный анализ в полуупорядоченных пространствах. -М.: Гостехиздат, 1956. -546 с.

25. Колемаев В.А. Математическая экономика. -М.: ЮНИТИ, 1998. -240 с.

26. Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика. -М.: Мир, 1969. -421 с.

27. Красносельский М.А. Положительные решения операторных уравнений. -М.: Физматгиз, 1962. -394 с.

28. Красносельский М.А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений. -М. 1956. -392 с.

29. Красносельский М.А., Вайникко Г.М., Забрейко П.П., Рутицкий Я.Б., Стеценко В.Я. Приближенное решение операторных уравнений. -М.: Наука, 1969. -456с.

30. Красносельский М.А., Лифшиц Е.А., Покорный В.В., Стеценко В.Я. Положительные обратимые линейные операторы и разрешимость линейных уравнений // ДАН Тадж. ССР, 1974. -T.XVII, № 1. -С.12-15.

31. Красносельский М.А., Лифшиц Е.А., Соболев А.В. Позитивные линейные системы: метод положительных операторов. -М.: Наука, 1985. -256 с.

32. Красносельский М.А., Перов А.И., Поволоцкий А.И., Забрейко П.П. Векторные поля на плоскости. -М.: Физматгиз. 1963.

33. Красносельский М.А., Стеценко В.Я. К теории уравнений с вогнутыми операторами // Сибирский математический журнал. 1969. Т. 10, № 3. -С. 565572.

34. Крейн М.Г., Рутман М.А. Линейные операторы, оставляющие инвариантным конус в пространстве Банаха // Успехи математических наук, -1948. №. 3, -Вып. 1.-С 3-95.

35. Кротов В.Ф., Лагоша Б.А., Лобанов С.М. и др. Под ред. В.Ф. Кротова. Основы теории оптимального управления. -М.: Высшая школа, 1990. -432с.

36. Куркалова Л.А. Неразложимые модели Неймана и Леонтьева: Дисс. канд. физ.-мат. наук. Душанбе, 1990.-131с.

37. Левин А.Ю., Бессемертных Г.А. О некоторых оценках дифференцируемых функций одной переменной // ДАН СССР. 1962. -Т. 144. №3.

38. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. -М.: Наука, 1965. -520 с.40.0стровский A. J. Res. Nat. Bur. Staudards. 1954. v. 52.41 .Пароди M. Локализация характеристических чисел матрицы. ИЛ. 1960.

39. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. -М.: Наука, 1976. -392с.

40. Стеценко В.Я. О спектральных свойствах неразложимых операторов // ДАН ССР. 1968. -Т. 178, №3, -С. 552-554.

41. Стеценко В.Я. Исследования по теории положительных операторов в пространствах с конусом: Дисс. д-ра физ.-мат. наук Воронеж, 1968. -307с.

42. Стеценко В.Я. Критерии неразложимости линейных операторов // Успехи математических наук. 1966. -Т. 21. -Вып. 5 (131).

43. Стеценко В.Я. Критерий неразложимости линейных операторов // Успехи математических наук. 1966. -Т. 21. №5. -С. 165-167.

44. Стеценко В.Я. Об одном итерационном методе отыскания спектрального радиуса линейных положительных операторов // Математический сборник. 1965. -Т.67 (109). №2.

45. Стеценко В.Я. Об одном методе ускорения сходимости итерационных процессов//ДАН СССР, 1968. Т.178,№5.С. 1021-1024.

46. Стеценко В.Я. Об одном спектральном свойстве неразложимого оператора // Успехи математических наук. 1967. -Т. 22. №3. -С. 242-244.

47. Стеценко В.Я., Галкина В.А. Элементы теории полуупорядоченных пространств. Приближенное решение операторных уравнений: Учебное пособие. -Ставрополь: Издательство СГУ, 1998. -168 с.

48. Стеценко В.Я., Есаян А.Р. К вопросу о разрешимости уравнений второго рода // Известия АН Таджикской ССР, 1964. -Т.2 (15). -С. 13-35.

49. Стеценко В.Я., Есаян А.Р. О сходимости последовательных приближений для уравнений второго рода // ДАН Таджикской ССР, 1964. -Т.7. №2.

50. Стеценко В.Я., Имомназаров Б. Об одном принципе неподвижной точки // ДАН Таджикской ССР, 1967. -Т. 10. №2. -С. 8-11.

51. Стеценко В.Я., Костенко Т.А. Новые оценки спектрального радиуса линейного положительного оператора // Сб. Современные методы в теории краевых задач. Понтрягиновские чтения VIII. -ВГУ, МГУ, 1977. - С. 78.

52. Урысон П. С. Об одном типе нелинейных интегральных уравнений // Труды по топологии и другим областям математики. M.-JL: ГИТТЛ. 1951. -Т.1. -320 с.

53. Хачатрян С.Р., Пинегина М.В., Буянов В.П. Методы и модели решения экономических задач. -М.: Экзамен, 2005. -384 с.

54. Стеценко В.Я., Бостанова Ф.А. Неразложимые модели Неймана // Известия ВУЗов. Сев.-Кав. регион. Ростов-на-Дону, 2004. №11.- С.27-35.

55. Бостанова Ф.А. Оценки спектрального радиуса неразложимого оператора // Вестник КЧГУ. Научно-методический журнал. Карачаевск, 2004. -С. 257263.

56. Бостанова Ф.А. Признаки существования положительного решения для нелинейных операторных уравнений и некоторые их применения // Кар.-Чер. гос.ун-т. -Карачаевск, 2004. -30 с. Деп. В ВИНИТИ. № 395-В2004.

57. Бостанова Ф.А., Стеценко В.Я. Признаки существования положительного решения у нелинейного интегрального и операторного уравнения // Вестник КЧГУ. Научно-методический журнал. Карачаевск., 2004. -С. 235-242.

58. Бостанова Ф.А. Ненакапливаемость погрешности в методе последовательных приближений для линейных уравнений // Вестник КЧГУ. Научно-методический журнал. Карачаевск , 2003. № 3. -С. 219-228.

59. Бостанова Ф.А. Ненакапливаемость погрешности в методе последовательных приближений для нелинейных уравнений // Алиевскиечтения: Материалы научной сессии преподавателей и аспирантов университета. Карачаевск, 2004. -С. 413-414.

60. Бостанова Ф.А. Операторные уравнения с вогнутыми операторами // Материалы XIII Международной научно-технической конференции «Математические методы и информационные технологии в экономике, социологии и образовании». Пенза, 2004. -С. 415-419.

61. Bohl Е. Die Theorie einer Klass linearer Operatoren und Existenzsatze fur Zosungen nichtlinearer Probleme in hallgeordneten Banach Raumen. Archive Ration Mech. And Analysis. 1964. № 4.

62. Collatz L. Eigenwertaufgateben mit technischen Anwendungen Leipzig. 1963.

63. Collatz L. Zur Fehlerrabschatzung bei linearen Gleichungsystemen Z. angew. Math. Mech, 34. 1954.

64. Karlin S. Positive Operators. J. Math. And Mech., 8, № 6. 1959.

65. Schaefer H. Neue existenzsatze in der theorie nichtlinearer inegrlleichungen. Berichte uber die Verhandlungen der sachsichen Akademie der Wissen zu Leipzig Math. Nat Klasse 101, H.7 (1955).

66. Schmidt J. Об оценке погрешности при приближенном решении уравнений в полуупорядоченном пространстве.

67. Schroder J. Anwendung von Fixpunktsatzen bei der numerischcn Behandlung nichtlinearer Cleichungen in halbgeordneten Raurneri. Arch. Rational Mech. Annal. 4,1959.

68. Thompson A.C. On certain centaction mappungs in a partially ordered vector space // Proc. Amer. Math. Soc. 14, № 3. -1963. -C. 438-443.