Развитие и модификация метода Зейделя приближенного решения операторных уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Кириллова, Людмила Николаевна

• Кириллова, Людмила Николаевна
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кириллова, Людмила Николаевна

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. Метод Зейделя и его развитие.

§1. Сравнительный анализ метода Зейделя с методом последовательных приближений.

1.1. Метод Зейделя для решения систем линейных алгебраических уравнений.

1.2. Норма оператора как одна из возможных характеристик скорости сходимости метода последовательных приближений.

1.3. Точные значения и оценки матричных норм.

1.4. Спектральный радиус и его оценки.

1.5. О возможности эквивалентной перенормировке пространства, при которой норма неотрицательной матрицы будет сколь угодно близкой к значению ее спектрального радиуса.

1.6. Операторная форма записи метода Зейделя. Обобщение метода Зейделя.

§2. Достаточное условие, гарантирующее более высокую скорость сходимости метода Зейделя по сравнению с методом последовательных приближений.

§3. Ускорение сходимости метода Зейделя решения систем линейных алгебраических уравнений.

§4. Некоторые варианты модификации метода Зейделя.

4.1. Связь скорости сходимости метода Зейделя с его порядком.

4.2. Синтез метода Зейделя с методом однопараметрического 69 итеративного агрегирования.

ГЛАВА 2. Развитие метода Зейделя на случай интегральных уравнений и операторных уравнений произвольной природы.

§1. Метода Зейделя для приближенного решения интегральных уравнений.

1.1. Распространение метода Зейделя на класс интегральных уравнений.

1.2. Вспомогательные факты теории конусов.

1.3. Сравнение спектральных радиусов г(А) и r(D) интегральных операторов А и D = (I - А{ )-1 А2, где А = А{ + Аг.

1.4. Ускорение сходимости метода Зейделя.

§2. Метод Зейделя для уравнений с абстрактным оператором в банаховом пространстве с телесным и нормальным конусом.

2.1. Полуупорядоченное пространство.

2.2. Реализация метода Зейделя в случае абстрактного оператора.

2.3. Достаточное условие более быстрой сходимости метода Зейделя по сравнению с методом последовательных приближений.

2.4. Ускорение сходимости метода Зейделя.

§3. Развитие метода Зейделя на случай пространств с нетелесным конусом.

ГЛАВА 3. Оценки спектрального радиуса линейного оператора.

§ 1. Двусторонние оценки спектрального радиуса линейных операторов.

1.1. Оценки спектрального радиуса интегрального оператора.

1.2. Оценки спектрального радиуса абстрактного оператора.

1.3.Уточнение оценок спектрального радиуса.

§2. Новые оценки сверху спектрального радиуса интегрального оператора.

§3. Двусторонние оценки решения операторного уравнения.

§4. Алгоритм определения скорости сходимости метода Зейделя для уравнений в гильбертовом пространстве.

§5. Метод построения приближений по недостатку и по избытку к положительному собственному вектору лс*, отвечающему ведущему собственному значению.

5.1. Случай линейного положительного оператора.

5.2. Случай нелинейного оператора.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Развитие и модификация метода Зейделя приближенного решения операторных уравнений»

Многие математические модели экономических, физических, инженерных задач могут быть реализованы с помощью операторных уравнений. К операторным уравнениям приводится также широкий класс задач анализа, алгебры, теории интегральных и дифференциальных уравнений. При этом в большинстве случаев соответствующие уравнения приходится рассматривать в полуупорядоченных пространствах. Это объясняется тем, что, как правило, в постановке задачи практического содержания существенную роль играют соображения, связанные с положительностью решения или монотонной зависимостью решения от некоторых входящих в уравнение элементов.

Решение операторных уравнений при достаточно большом количестве неизвестных только в исключительных случаях удается найти в явном виде, например, в виде ряда. Поэтому для их решения приходиться использовать итерационные методы, которые позволяют найти приближенное решение с определенной степенью точности.

В последнее время с развитием электронно-вычислительной техники и увеличением ее быстродействия значительно повысился интерес к различным численным методам и алгоритмам. Это связано с тем, что численные методы являются важнейшим связующим звеном между постановкой задачи и ее реализацией на ЭВМ.

Актуальность темы. Актуальной задачей большого теоретического и практического значения является указание способа выбора наиболее рационального метода приближенного решения операторного уравнения. При этом важно знать не только то, что выбираемый метод имеет более высокую скорость сходимости, но и иметь возможность провести сравнительный анализ эффективности применения того или иного численного метода, уметь оценить точность найденного приближения, а также уметь оценить «зазор» скорости сходимости применяемых методов (т.е. сравнить выгоду, которую дает скорость сходимости, с трудоемкостью метода).

Исследованию этих вопросов и посвящена данная диссертация, которая продолжает исследования в области теории операторных уравнений и применение к их приближенному решению численных методов, проведенные М.Г. Крейном, О.И. Прозоровской, М.А. Красносельским, В.Я. Стеценко и их учениками.

Объектом диссертационных исследований являются приближенные методы решения различных классов операторных уравнений, а предметом -сравнительный анализ скорости сходимости метода последовательных приближений и метода Зейделя, различные модификации последнего.

Цель и задачи диссертационной работы. Целью диссертационного исследования является указание способа выбора наиболее эффективного метода приближенного решения операторных уравнений посредством сравнения спектральных радиусов двух положительных операторов, разработка новых приемов ускорения сходимости итераций к решению операторных уравнений и их применение, уточнение оценок спектрального радиуса линейного оператора и априорных оценок решения операторного уравнения.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи.

1. Провести сравнительный анализ скорости сходимости метода Зейделя и метода последовательных приближений (МПП) к точному решению линейных систем алгебраических уравнений, интегральных уравнений, уравнений с абстрактным оператором, действующим в банаховом пространстве с телесным и нормальным конусом, интегральных уравнений в пространстве функций с нетелесным конусом, с целью указания наиболее рационального метода.

2. Разработать варианты модификации метода Зейделя по ускорению сходимости к точному решению различных классов операторных уравнений.

3. Уточнить двусторонние оценки значений спектрального радиуса линейного оператора.

4. Применить разработанные методы к нахождениям приближенных решений операторных уравнений.

5. Создать программное обеспечение, позволяющее реализовать предложенные методы.

Научная новизна выполненной диссертации заключается в следующем:

1. При сравнении метода Зейделя с МПП, получены достаточные условия, гарантирующие более высокую скорость сходимости метода Зейделя. Приведены формулы, характеризующие величину зазора между приближениями, полученными по методу Зейделя и по МПП при решении различных классов операторных уравнений.

2. Разработаны приемы ускорения сходимости метода Зейделя.

3. Получены более точные оценки, по сравнению с ранее известными, снизу и сверху спектрального радиуса линейного оператора.

4. Выведен алгоритм определения скорости сходимости метода Зейделя для уравнений в гильбертовом пространстве.

5. Предложен метод построения приближений по недостатку и по избытку к положительному собственному вектору х*, отвечающему ведущему собственному значению.

6. Разработаны программы на языке программирования С++, позволяющие реализовывать некоторые из полученных в данной работе методов и алгоритмов.

Методы исследований. Решение поставленных научных задач основывается на использовании численных методов, математического моделирования, функционального анализа, теории положительных операторов, действующих в полуупорядоченных пространствах.

Достоверность и обоснованность полученных в диссертационной работе результатов обеспечивается строгостью постановки задач и производимых математических выкладок, базирующихся на теории операторных уравнений в полуупорядоченных банаховых пространствах и классического функционального анализа.

Эффективность предложенных методов подтверждается результатами вычислительных экспериментов.

Практическая значимость работы. Практическая ценность представляется разработанными алгоритмами монотонных быстросходящихся приближений к искомому решению операторных уравнений, рассматриваемых в различных пространствах, а также в возможности применения результатов исследования при анализе и решении конкретных задач математики (системы линейных алгебраических уравнений, интегральных уравнений), задач математической экономики, математической физики, механики, и других задач, сводящихся к операторным уравнениям. Отдельные результаты могут быть использованы при чтении специальных курсов и подготовке учебных пособий по численным методам.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Достаточные условия, обеспечивающие более высокую сходимость метода Зейделя по сравнению с МПП для различных классов операторных уравнений.

2. Варианты модификации метода Зейделя по ускорению сходимости к точному решению различных классов операторных уравнений.

3. Уточненные оценки спектрального радиуса линейного оператора.

4. Метод построения приближений по недостатку и по избытку к точному решению линейных и нелинейных операторов.

Реализация результатов. Теоретические и практические результаты работы использованы в учебном процессе СГУ в рамках дисциплин специализации.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н.В.Ефимова (Абрау-Дюрсо, 2002г.), на зимней математической школе «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (Воронеж, 2003г.). На 49-й, 50-й научно-методических конференциях преподавателей и студентов «Университетская наука - региону» (Ставрополь, 2004г., 2005г.). На 1У,У-й региональных научно-практических конференциях «Совершенствование методов управления социально-экономическими процессами и их правовое регулирование» (Ставрополь, 2004г., 2005г.), на XXXIV научно-технической конф. по результатам работы профес.-препод. состава, аспирантов и студентов Сев.-Кав. ГТУ за 2004 г. (Ставрополь, 2005 г.)

Диссертация состоит из введения, трех глав и приложений. В ней принята нумерация параграфов по главам, для утверждений и формул введена двойная нумерация, включающая номер главы и порядковый номер утверждения или формулы.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Кириллова, Людмила Николаевна

Основные результаты диссертационной работы состоят в следующем:

1. Проведен сравнительный анализ скорости сходимости метода Зейделя с методом последовательных приближений. Получены достаточные условия, гарантирующие более высокую скорость сходимости метода Зейделя. Приведены формулы, характеризующие величину зазора между приближениями, полученными по методу Зейделя и по методу последовательных приближений при решении различных классов операторных уравнений.

2. Разработаны приемы ускорения сходимости метода Зейделя, позволяющие строить двусторонние приближения к точному решению уравнения вида х = Ах + /.

3. Разработан и апробирован на большом количестве примеров алгоритм ускорения сходимости метода Зейделя в зависимости от «порядка» метода.

4. Предложен синтез методов Зейделя и однопараметрического итеративного агрегирования ускорения сходимости монотонных приближений к решению систем линейных алгебраических уравнений.

5. Получены, более точные по сравнению с ранее известными, двусторонние оценки спектрального радиуса линейного оператора.

6. Предложен метод построения приближений по недостатку и по избытку к положительному собственному вектору х*, отвечающему ведущему собственному значению.

7. Разработано программное обеспечение для ряда методов и алгоритмов, полученных в данной работе.

Таким образом, результаты диссертации позволяют провести сравнение скорости сходимости различных вариантов метода Зейделя к приближенному решению операторных уравнений с целью выбора наиболее выгодного, т.е. такого варианта, который гарантирует наиболее высокую скорость сходимости метода Зейделя по сравнению с имеющимися. Более того, в тех случаях, когда соответствующая скорость сходимости окажется не достаточно высокой на основе изложенных результатов можно рассматривать вопрос о конструировании новых приближений, обеспечивающих более быструю сходимость.

140

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Результаты диссертации представляют собой развитие теории операторных уравнений и численных методов, в частности метода Зейделя для нахождения приближенного решения различных классов операторных уравнений, действующих в полуупорядоченных пространствах.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кириллова, Людмила Николаевна, 2005 год

1. Ando Т. On fundamental properties of a Banach space with a cone //Pacific T. Math. 12. - 1962. - №4. - S. 1-12.

2. Albrecht J. Numerische Math. 1962. V. 4. №3. P. 196-208.

3. Асимова Д.М. Об абстрактном методе Зейделя //ДАН Тадж. ССР. -1981. Т.24. № 10. - С. 587-591.

4. Бахвалов Н., Жидков Н., Кобельков Г. Численные методы. М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2000. - 624 с.

5. Бахтин И.А. Исследование уравнений с положительными операторами: Дис. . д-ра физ.-мат. наук. Ленинград, 1967. - 320с.

6. Бахтин И.А., Красносельский М.А. Метод последовательных приближений в теории уравнений с вогнутыми операторами // Сибирский математический журнал. 1961.- Т.2, №3. - С.313-330.

7. Бахтин И.А., Красносельский М.А., Стеценко В.Я. О непрерывности положительных операторов //Сибирский математический журнал. -1962. Т.З, №1. - С.8-17.

8. Беллман Р., Калаба Р. Квазилинеаризация и нелинейные краевые задачи. М.: Мир, 1968. - 270с.

9. Вен В.Л., Эрлих А.И. Некоторые вопросы агрегирования линейных моделей //Известия АН СССР. Сер.техническая кибернетика. 1970.-№5. - С.3-8.

10. Вержбицкий В.М. Численные методы (линейная алгебра и нелинейные уравнения): Учеб. пособие для вузов. М.: Высш. шк., 2000. - 266с.

11. Вулих Б.З. Введение в теорию полуупорядоченных пространств. М.: Наука, 1961.-407с.

12. Вулих Б.З. Введение в функциональный анализ. М.: Физматгиз, 1967. -415 с.

13. Вулих Б.З. Специальные вопросы геометрии конусов в нормированных пространствах: Учебное пособие. Калинин: Издательство калининского университета, 1978. - 84с.

14. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М: Наука, 2000. - 576с.

15. Гробова Т.А. Об одном новом варианте метода Зейделя //Материалы 46 научно-методической конференции преподавателей и студентов «XXI век век образования». - Ставрополь, 2001. - С.4-9.

16. Гробова Т.А., Стеценко В.Я. Об одной новой схеме реализации вариантов метода Зейделя //Вестник молодых учёных. Санкт-Петербург, 2001. - С.34-39.

17. Дзядыка В.К. О приближении функции линейными положительными операторами и сингулярными интегралами //Матем. сборник, 1966, т.70, №4.- с.508-517.

18. Есаян А.Р., Стеценко В.Я. Локализация спектра линейного оператора // Междунар. Конгресс математиков (1966; Москва). Тезисы кр. науч. сообщений Междунар. Конгресса математиков. Секция 5. М., 1966 — С.45-47.

19. Есаян А.Р., Стеценко В.Я Оценки спектра интегральных операторов и бесконечных матриц //Докл. АН СССР. 1964. - Т. 157, №2. - С. 12-19.21.3абрейко П.П., Кошелев А.И., Красносельский М.А. и др. Интегральные уравнения. М.: Наука, 1968.- 448 с.

20. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ в нормированных пространствах. М.: Наука, 1977. - 496с.

21. Канторович Л.В., Вулих Б.З., Пинскер А.Г. Функциональный анализ в полуупорядоченных пространствах. М.: Физматгиз, 1959. - 684с.

22. Канторович JI.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. M.-JL: Физматгиз, 1962. - 708с.

23. Кириллова JI.H. Об одном алгоритме определения скорости сходимости метода Зейделя //«Современные методы теории функций и смежные проблемы», конф. (2003; Воронеж). Материалы конф-Воронеж, 2003.-С. 121-122.

24. Коровкин П.П. Линейные операторы и теория приближений. М.: Физматгиз, 1959.

25. Костенко Т.А. О разрешимости операторных уравнений второго рода линейными и нелинейными операторами // Материалы XLIII научно-методической конференции «Университетская наука региону».-Ставрополь: Изд.СГУ, 1998.- CI 11-122.

26. Коршунова Н., Плясунов В. Математика в экономике. М.: Издательство «Вита-Пресс», 1996. -368с.

27. Красносельский М.А. Положительные решения операторных уравнений. М.: Физматгиз, 1962. - 394с.

28. Красносельский М.А. Правильные и вполне правильные конусы //Докл. АН СССР. 1960. - Т. 135. - №2. - С.241-255.

29. Красносельский М.Л., Вайникко Г.М., Забрейко П.П. и др. Приближенное решение операторных уравнений. М.: Наука, 1969. -456с.

30. Красносельский М.А., Забрейко П.П. и др. Геометрические методы нелинейного анализа. М.: Наука, 1965. - 624с.

31. Красносельский М.А., Лифшиц Е.А., Соболев В.И. Позитивные линейные системы: метод положительных операторов. М.: Наука, 1985.-256с.

32. Красносельский М.А. Лифшиц, Е.А., Покорный В.В., Стеценко В.Я. Положительно обратимые линейные операторы и разрешимость линейных уравнений //Докл. АН Таджикской ССР. 1974. - T.XVII, №1. - С. 12-15.

33. Красносельский М.А. Островский А.Ю., Соболев А.В. О сходимости метода однопараметрического агрегирования //Автоматика и телемеханика. 1978. - №9. - С. 102-109.

34. Красносельский М.А., Стеценко В.Я. Замечания о методе Зейделя // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1969. -Т.9, №1. - С.177-182.

35. Крейн М.Г., Рутман М.А. Линейные операторы, оставляющие инвариантным конус в пространстве Банаха //Успехи математических наук. 1948. - Т. 1, №3. - С.3-95.

36. Крейн С.Г., Прозоровская О.И. Аналоги метода Зейделя для операторных уравнений //Труды семинара по функциональному анализу, вып.5. 1957. - С. 117-124.

37. Кириллова JI.H. Модификация метода Зейделя //Совершенствование методов управления социально-экономическими процессами и их правовое регулирование. Сборник материалов V региональной научно-практической конференции. — Ставрополь, 2005. С. 117-121.

38. Кубекова Б.С., Стеценко В.Я., Гробова Т.А. О методе однопараметрического итеративного агрегирования // «Математика. Компьютер. Образование». Тезисы докладов восьмой междунар. конф. (31янв. 5 февр., 2001г.).- Пущино, 2001. - С.230-232.

39. Кузнецов Ю.А. К теории итерационных процессов //Докл. АН СССР. -1969. Т. 184, №4, - С.863-866.

40. Леонтьев В.В., Форд Д. Экономика и математические методы. М.: Наука, 1972.-242с.

41. Лифшиц Е.А. К теории полуупорядоченных банаховых пространств // Функциональный анализ и его приложения, 1969. Т.З, №1. - С.91-92.

42. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. -М.: Наука, 1965.-520с.

43. Моришима М. Равновесие устойчивость рост. М.: Наука, 1972. -179с.

44. Никайдо X. Выпуклые структуры и математическая экономика. М.: Мир, 1972.-518с.

45. Ортега Дж., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. М.: Мир, 1975. - 327с.

46. Павлова М.Н., Стеценко В.Я., Кубекова Б.С. Об одном методе построения двусторонних приближений к решению операторногоуравнения с монотонно разложимым оператором.- Журнал вычислительной математики и математической физики, 2001.- Т.41, №6.- С.846-854.

47. Павлова М.Н. Развитие второго метода Островского для интегральных операторов //Сборник научных трудов. IV Всероссийский симпозиум «Математическое моделирование и компьютерные технологии». Т.2, 4.II. - Кисловодск, 2000. - С.53-54.

48. Петровский И.Г. Лекции по теории интегральных уравнений. М.: «Наука», 1965.- 127с.

49. Плюта А.И. Об одном варианте метода Зейделя //Журнал «Математическое моделирование».- 2003.- т.15, №12.- С.79-85.

50. Стеценко В.Я. Критерий неразложимости линейных операторов // УМН.- 1966.-Т. 21. Вып.5 (131).- С. 265-666.

51. Стеценко В.Я. Об одном спектральном свойстве неразложимого оператора//УМН.- 1967. Т. 22. Вып. 3 (135). С. 242-244.

52. Стеценко В.Я. Исследования по теории положительных операторов впространствах с конусом: Дисс.д-ра физ.-мат. наук. Воронеж,1968.-307с.

53. Стеценко В.Я. Об одном методе сходимости итерационных процессов //Докл. АН СССР. 1968. - Т. 178, №3. - С. 1021 -1024.

54. Стеценко В.Я., Галкина В.А. Элементы теории полуупорядоченных пространств. Приближенное решение операторных уравнений: Учеб. пособие. Ставрополь: Изд-во СГУ, 1998. - 168с.

55. Стеценко В.Я., Костенко Т.А. Квалифицированные двусторонние оценки спектрального радиуса линейного положительного оператора //

56. Ставропольский государственный университет, Ставрополь. 1997. -1 Зс. Деп. в ВИНИТИ 14.11.97. №3321 - В97.

57. Стеценко В.Я., Костенко Т.А. Метод ускорения сходимости приближений к спектральному радиусу линейного положительного оператора и к решению линейного операторного уравнения //Вестник СГУ. 1999. - Вып.20. - С.З - 13.

58. Стеценко В.Я., Кириллова Л.Н., Плюта А.И. Новые оценки сверху спектрального радиуса матричных и интегральных операторов //Труды участников «Междунар. школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова». Ростов-на-Дону, 2002.-С.160-161.

59. Стеценко В.Я., Кириллова Л.Н. Метод построения приближений по недостатку и по избытку к положительному собственному вектору х* линейных и нелинейных операторов //Вестник Ставропольского государственного университета. Ставрополь, 2004.- №38. - С. 5-13.

60. Стеценко В.Я. Об одном итерационном методе отыскания спектрального радиуса линейных положительных операторов //Матем. сб.- 1965. Т. 67 (109): №2. С. 210-219.

61. Стеценко В.Я., Плюта А.И. О некоторых методах построения монотонных приближений к решению линейных операторных уравнений //Материал региональной науч. конф. «Теоретические и прикладные проблемы современной физики». Ставрополь, 2002. -С.281-284.

62. Фадеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. М:. Наука, 1964.-304с.

63. Фадеев Д.К., Фадеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М:. Физматгиз, I960. - 656с.

64. Форсайт Дж., Молер К. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений. М.:. Мир, 1969. - 354с.

65. Функциональный анализ /Под ред. С.Г. Крейна. М.: Наука, 1972. -544с.

66. Шаабан М. Обобщенная норма интегральных операторов и матриц // Изв. АН Таджикской ССР. 1998. - Т.108, №2. - С.3-12.

67. Щенников Б.А. Применение метода итеративного агрегирования для решения систем линейных уравнений //Экономика и математические методы. 1966. Т.2, №5. - С.723-731.