К теории операторных уравнений с линейными и нелинейными неразложимыми операторами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Семилетов, Владимир Андреевич

• Семилетов, Владимир Андреевич
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Семилетов, Владимир Андреевич

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. Неразложимые операторы.

§ 1. Неразложимые матрицы и неразложимые интегральные операторы.

§2. и0-неразложимые операторы.

§3. Неразложимые нелинейные интегральные операторы.

§4. Неразложимые абстрактные нелинейные операторы.

• ГЛАВА II. Новые оценки спектрального радиуса линейного неразложимого оператора.

§5. Сравнение спектральных радиусов двух положительных операторов.

§6. Оценки спектрального радиуса линейного положительного оператора.

§7. Оценка позитивного спектра неразложимого положительного опера

• тора.

§8. Оценка собственных значений оператора, не являющегося положительным.

ГЛАВА III. Приближенное решение операторных уравнений второго рода.

§9. О решении операторных уравнений второго рода вида х = Ах+/ в случае, когда спектральный радиус оператора а больше 1.

• §10. Об одном итерационном методе решения операторного уравнения видах = Лх+/.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «К теории операторных уравнений с линейными и нелинейными неразложимыми операторами»

Значительное число задач анализа, алгебры, теории интегральных уравнений можно представить с единых позиций с помощью линейного или нелинейного операторного уравнения вида х = А(х) + / (0.1) с оператором л(х), действующим в том или ином банаховом пространстве Е. При этом для таких уравнений возникают весьма специфические задачи. Одной из них является довольно распространенная задача о существовании у уравнения (0.1) решения х=х*, обладающего свойством неотрицательности: х>в. Такого рода задачи, вообще говоря, присущи задачам экономики, для которых экономический смысл имеют лишь неотрицательные решения. Поэтому при рассмотрении подобных задач предполагается наличие в пространстве дополнительной структуры - конуса AT, с помощью которого в пространстве Е вводится полуупорядоченность: для некоторых пар векторов х,уеЕ определено отношение х>у, если являющееся аналогом обычного скалярного неравенства: х>у. От свойств конуса в пространстве Е и от вида оператора А, действующего в этом пространстве, зависит существование решения х* у уравнения (0.1), а также способы, с помощью которых можно построить приближения к этому решению.

Основной интерес в работе приобретают уравнения с так называемыми неразложимыми операторами. Отметим, что неразложимые операторы впервые были введены в работах В.Я. Стеценко ([83], [77], [75], [71]) в плане развития и обобщения результатов М.А. Красносельского, посвященных уравнениям с и0 -положительными операторами [44]. Уравнения с и0-положительными операторами обладают рядом важных свойств, в частности, для них было установлено существование и единственность положительного решения, сходимость метода последовательных приближений к этому решению и т.д. Впоследствии в работах В.Я. Стеценко было замечено, что многие свойства и0 -положительных операторов имеют место и для существенно более широкого класса операторов, получивших название неразложимых. Поводом для выделения неразложимых операторов также послужила теория неразложимых матриц, построенная в работах Фробениуса, которую развил М.А. Красносельского на случай абстрактных уравнений.

После построения теории неразложимых операторов, естественным представляется следующий шаг — попытка распространения основных свойств неразложимых операторов на более широкий класс операторов, который в данной диссертации получил название и0 -неразложимых операторов. Класс и0 -неразложимых операторов содержит, в качестве правильной части, неразложимые операторы и обладает основными свойствами таких операторов.

Исходя из ранних работ П.С. Урысона [89] по нелинейным интегральным операторам и теории линейных щ -положительных операторов, М.А.

Красносельский и его ученики (JI.A. Ладыженский, И.А. Бахтин и другие) построили содержательную теорию для некоторых классов нелинейных положительных операторов, действующих в полуупорядоченном банаховом пространстве. Особенно глубоко была развита теория и0 -вогнутых операторов ([2], [44], [45]). Вместе с тем существуют достаточно широкие классы операторов, которые не относятся к классу нелинейных и0 -вогнутых операторов, но которые тем не менее обладают основными свойствами этих операторов.

В осмыслении и решении ряда задач общей теории систем, теории управления, механики, прикладной математики и т. д. важную роль играет монотонность соответствий между данными и результатами, позитивность и монотонность линейных и нелинейных отображений. Математические модели подобных объектов во многих ситуациях приводят к уравнениям с операторами в пространствах, полуупорядоченных некоторым конусом. Это, в частности, объясняет широкое применение теории операторов и конусов.

Основными вопросами, на которые призвана отвечать теория операторов, являются, во-первых, вопросы качественного характера и, во-вторых, вопросы, касающиеся приближенных методов решения операторных уравнений. В настоящей работе исследуется лишь некоторая их часть. Например, такие вопросы, как: обобщение известного понятия неразложимости на более широкий класс операторов (м0-неразложимые, неразложимые нелинейные операторы), оценки позитивного спектра линейного неразложимого оператора, сравнение спектральных радиусов двух положительных операторов, построение приближений к решению операторного уравнения (0.1) в случае, когда спектральный радиус оператора А не обязательно меньше единицы, и др.

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка использованной литературы. Для утверждений и формул введена двойная нумерация, включающая номер параграфа и порядковый номер утверждения или формулы в нем. В диссертации для целостности изложения приведен ряд известных результатов, которые сопровождаются ссылками.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Семилетов, Владимир Андреевич, 2004 год

1. Бахвалов Н., Жидков Н, Кобельков Г. Численные методы. М.: Лаборатория базовых знаний. - 2000 - 624с.

2. Бахтин И.А. Исследование уравнений с положительными операторами: Дис. д-ра физ.-мат. наук. Ленинград, 1967. 320с.

3. Бахтин И.А., Есаян А.Р. Об оценке точечного спектра// Доклады АН Тадж. ССР.- 1965 -т.8. №5.

4. Бахтин И.А., Красносельский М.А. К теории уравнений с вогнутыми операторами// Доклады АН СССР. 1958. - т.123. №1.

5. Бахтин И.А., Красносельский М.А. Метод последовательных приближений в теории уравнений с вогнутыми операторами// Сиб. мат. журн. — 1961. — т.2. №3.

6. Бахтин И.А., Красносельский М.А., Стеценко В.Я. О непрерывности линейных положительных операторов// Сиб. мат. журн. 1962. - Т.З. №1. -С. 157-160.

7. Беллман Р., Калаба Р. Квазилинеаризация и нелинейные краевые задачи. -М.: Мир, 1968.-270с.

8. Боголюбов Н.Н., Крейн С.Г. О позитивных вполне непрерывных операторах// Труды института математики АН СССР. — 1948 — Т.9, №1 -С.3-95.

9. Вержбицкий В.М. Численные методы (линейная алгебра и нелинейные уравнения): Учеб. пособие для вузов. М.: Высш. шк., 2000. - 266с.Ю.Вулих Б.З. Введение в теорию полуупорядоченных пространств. М.: Физматгиз, 1961. - 399с.

10. Вулих Б.З. Введение в функциональный анализ. М.: Наука, 1967 — 415с.

11. Вулих Б.З. Специальные вопросы геометрии конусов в нормированных пространствах: Учебное пособие. Калинин: Издательство калининского университета, 1978. - 84с.

12. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М: Наука, 1966. - 576с.Н.Гантмахер Ф.Р., Крейн М.Г. Осцилляционные матрицы и ядра и малые колебания механических систем. М: Гостехиздат, М. 1950.

13. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Общая теория. М.: И.Л., 1962.-895с.

14. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Спектральная теория. Самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве. — М.: И.Л., 1966.- 1064с.

15. Денисенко Т.И., Стеценко В.Я. Элементы математической экономики. -Ставрополь, СГУ, 2000. 170с.

16. Дудкин Л.М., Ершов Э.Б. Межотраслевой баланс и материальные балансы отдельных продуктов// Плановое хозяйство. 1965. - №5. - С. 59-63.

17. Есаян А.Р. Применение теории конусов к оценке спектра неположительных операторов: Дис. канд. физ.-мат. наук. Воронеж, 1964.- 104с.

18. Есаян А.Р., Мухтаров С.Н., Стеценко В.Я. О положительных решениях уравнений второго рода с подлинейным оператором// Доклады АН Тадж. ССР.-1965.- т.8, №1.

19. Есаян А.Р., Сабиров Т. О несовместности некоторых соотношений полуупорядоченности// Доклады АН Тадж. ССР. 1963. - Т.6, №4. - С.8-12.

20. Есаян А.Р., Сабиров Т. Об ограниченных сверху и ограниченных снизу линейных положительных операторах// Труды семинара по функциональному анализу. Воронеж, 1963. - Вып.7.

21. Есаян А.Р., Стеценко В.Я. Оценки спектра интегральных операторов и бесконечных матриц// Доклады АН СССР. 1964. - т. 157, №2.

22. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977. - 742с.

23. Канторович Л.В., Вулих Б.З. Пинскер А.Г. Функциональный анализ в полуупорядоченных пространствах. М.: Физматгиз, 1959. - 684с.

24. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. — М.-Л.: Гостехиздат, 1949, -708с.

25. Колатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика. М.: Мир, 1969.-447с.

26. Коллатц Л. Задачи на собственные значения с техническими приложениями. М.: Наука, 1968. - 503с.

27. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1981. - 543с.

28. Костенко Т.А. Несовместные неравенства/ Ставропольский государственный университет, Ставрополь, 1998. 19с. -Деп. в ВИНИТИ 23.01.98 №166-В98.

29. Костенко Т.А. О разрешимости операторных уравнений второго рода с линейными и нелинейными операторами// «Университетская наука -региону». Материалы XLIII научно-методической конференции. -Ставрополь: СГУ, 1998. С.111-122.

30. Костенко Т.А. Об одном новом способе оценки спектрального радиуса линейного положительного оператора АН «Университетская наука -региону». Материалы XLII научно-методической конференции. — Ставрополь: СГУ, 1997. -С.52-54.

31. Костенко Т.А. Оценки спектрального радиуса линейного положительного оператора// Понтрягинские чтения -IX. Тезисы докладов. Воронеж: ВГУ, 1998.-С. 107.

32. Костенко Т.А. Стеценко В.Я. Априорные оценки решения операторного уравнения второго рода по известной невязке// «Университетская наука -региону». Материалы XLIII научно-методической конференции — Ставрополь: СГУ, 1998. С. 111-134.

33. Костенко Т.А., Стеценко В.Я. Новые оценки спектрального радиуса линейного положительного оператора// Понтрягинские чтения -VIII. Тезисы докладов. Воронеж: ВГУ, 1997. - С.78.

34. Костенко Т.А., Стеценко В.Я. Об одном новом способе оценки спектрального радиуса линейного положительного оператора А / Ставропольский государственный университет, Ставрополь — 1997. — 24с. — Деп. в ВИНИТИ 21.03.97 №854-В97.

35. Костенко Т.А., Стеценко В.Я. Приближенное решение операторных уравнений второго рода// Журнал вычислительной математики и математической физики. 2002. - т.42, №6. - С.780-783.

36. Красносельский М.А. Положительные решения операторных уравнений. -М.: Физматгиз, 1962. 394с.

37. Красносельский М.А. Топологические методы в теории нелинейныхинтегральных уравнений. М.: Гостехиздат, 1956.-372с.

38. Красносельский М.А., Вайникко Г.М., Забрейко П.П., Рутицкий Я.Б., Стеценко В.Я. Приближенное решение операторных уравнений. М.: Наука, 1969.-456 с.

39. Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа. — М.: Наука, 1975. 511с.

40. Красносельский М.А., Лифшиц Е.А., Соболев А.В. Позитивные нелинейные системы: Метод положительных операторов. — М.: Наука, 1985.-256 с.

41. Красносельский М.А., Стеценко В.Я. Замечания о методе Зейделя// Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1969. — т.9, № 1. — С.177-182.

42. Крейн М.Г., Рутман М.А. Линейные операторы, оставляющие инвариантным конус в пространстве Банаха// УМН. 1948. - №3. Вып.1. -С.3-95.

43. Куркалова Л.А. Неразложимые модели Неймана и Леонтьева: Дис. канд. физ.-мат. наук. Душанбе, 1990. - 131с.

44. Лифшиц Е.А. К теории полуупорядоченных банаховых пространств// Функциональный анализ и его приложения. 1969. - Т.З, №1. — С.91-92.

45. Лифшиц Е.А. Об использовании спектрального радиуса// Динамика неоднородных систем. Материалы семинара. М.: Всесоюзный научно-исследовательский институт системных исследований, 1983. - С.252-254.

46. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М: Наука, 1965.-520с.

47. Михлин С.Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям. М.: Физматгиз, 1959. 232с.

48. Моришима М. Равновесие, устойчивость, рост. М.: Наука, 1972. — 179с.

49. Мухтаров С.Н., Стеценко В.Я. О некоторых свойствах уравнений с неразложимыми линейными операторами// Доклады АН Тадж. ССР. — 1965. — т.8, №2.

50. Мухтаров С.Н., Стеценко В.Я. О несовместности некоторых соотношений полуупорядоченности// Доклады АН Тадж. ССР. 1963. - Т.6, №4. - С.8-12.

51. Никайдо X. Выпуклые структуры и математическая экономика. — М.: Мир, 1972.-518с.

52. Пароди М. Локализация характеристических чисел матриц и ее применение. -М.: И.Л., 1960. 170с.

53. Романовский В.И. Дискретные цепи Маркова. — М.: Гостехиздат, 1948.

54. Семилетов В.А. и0-неразложимые операторы// Современные методы теории функций и смежные проблемы. Материалы конференции. -Воронеж: ВГУ, 2003. С.225-226.

55. Семилетов В.А. Новые оценки спектрального радиуса положительного оператора// Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова. Труды участников. Ростов-на-Дону. 5-11.09.2002.С.154-155.

56. Семилетов В.А. О некоторых методах решения уравнения второго рода вида x = Ax+f с оператором А, у которого собственные значения по модулю больше, чем 1// Вестник Ставропольского института им. Чурсина.- 2002. вып. 1. - С. 144-151.

57. Семилетов В.А. О неразложимых матрицах и неразложимых интегральных операторах// Теоретические и прикладные проблемы современной физики. Материалы региональной научной конференции. Ставрополь, 2002. -С.273-280.

58. Стеценко В.Я. Исследования по теории положительных операторов в пространствах с конусом: Дис. д-ра физ.-мат. наук. Воронеж, 1968. -307с.

59. Стеценко В.Я. О щ положительности линейного оператора// Доклады АН Тадж. ССР. -т.5, №4. - 1962.

60. Стеценко В.Я. О банаховых пространствах с двумя конусами: Дисс. канд. физ.-мат. наук. Ленинград, 1962. - 109с.

61. Стеценко В.Я. О свойстве избирательной монотонности решения модели Леонтьева-Форда// Известия АН Тадж. ССР, №3. 1990. - С.3-8.

62. Стеценко В.Я. О спектральных свойствах неразложимых операторов// Доклады АН СССР, 1968. Т. 178, №3. - С.552 -554.

63. Стеценко В.Я. Об одном методе ускорения сходимости итерационных процессов// Доклады АН СССР. 1968. - Т. 178, №3. - С. 1021-1024.

64. Стеценко В.Я. Об одном спектральном свойстве неразложимого оператора// УМН. 1967. - Т.22, Вып.3(135). - С.242-244.

65. Стеценко В.Я. Об одном способе оценки спектра линейного оператора// УМН. 1964. - Т. 19, Вып.2, С. 199-200.

66. Стеценко В.Я. Об оценке спектра некоторых классов линейных операторов// Доклады АН СССР. 1964. -Т.157, №5. - С.1054-1057.

67. Стеценко В.Я., Галкина В.А. Элементы теории полуупорядоченных пространств. Приближенное решение операторных уравнений. — Ставрополь: Изд-во СГУ, 1998. 168с.

68. Стеценко В.Я., Костенко Т.А. Квалифицированные двусторонние оценки для спектрального радиуса линейного положительного оператора/ Ставропольский государственный университет, Ставрополь. 1997. — 13с. -Деп. в ВИНИТИ 14.11.97 №3321 -В97.

69. Стеценко В.Я., Мухтаров С.Н. Несовместные неравенства для неразложимых операторов// Доклады АН. Тадж. ССР. 1965. - т.8, №4.

70. Стеценко В.Я., Семилетов В.А. Неразложимые нелинейные операторы// Вестник Ставропольского государственного университета. Ставрополь, 2003. -№34. - С. 12-16

71. Стеценко В.Я., Семилетов В.А. Сравнение спектральных радиусов двух положительных операторов// Ученые записки физико-математическогофакультета Ставропольского государственного университета. — Ставрополь: СГУ, 2002. С.90-96.

72. Стеценко В.Я., Срожиддинов Х.М., Есаян А.Р. Сравнение спектральных радиусов двух операторов// Доклады АН Тадж. ССР. 1976. - т. XIX, №11. -С.10-13.

73. Уилкинсон. Алгебраическая проблема собственных значений. — М.: Наука, 1970.-564с.

74. Урысон П.С. Об одном типе нелинейных интегральных уравнений// Труды по топологии и другим областям математики. — M.-JL: Гостехиздат, 1951.т.1. — С.45-77.

75. Фадцеев Д.К., Фадцеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры.- М.: Физматгиз, 1960. 656с.

76. Хатсон В.К., Пим Дж.С. Приложения функционального анализа и теории операторов. -М: Мир, 1983.-431с.