Об итерационных методах решения операторных уравнений второго рода тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Плюта, Алексей Иванович

• Плюта, Алексей Иванович
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Плюта, Алексей Иванович

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. Обзор литературы.

§ 1. Метод последовательных приближений.

§2; Метод ускорения сходимости монотонных приближений к решению уравнения вида * = /& + /.

§3. Метод однопараметрического итеративного агрегирования решения линейных операторных уравнений вида х = Ах + /, где оператор А - матрица п- го порядка.

§4. Метод однопараметрического итеративного агрегирования решения нелинейных операторных уравнений вида д: = ^(х)+ /, где Р(х) - нелинейный оператор.

ГЛАВА 2. Построение приближений, сходящихся к спектральному радиусу и собственному вектору линейного оператора.

§5. Построение приближений, сходящихся к спектральному радиусу линейного оператора.

§6. Построение приближений, сходящихся к собственному вектору линейного оператора.

ГЛАВА 3. Развитие методов построения приближений, сходящихся к точному решению операторного уравнения вида Ах+ /.

§7. Об одном итерационном методе решения системы линейных алгебраических уравнений вида х = Ах+ / с квадратной матрицей А, в случае, когда спектральный радиус матрицы А, больше чем единица.

§8. Получение двусторонних оценок точного решения х' операторного уравнения вида х - Ах + /, в случае, когда спектральный радиус оператора А не обязательно меньше единицы.

§9. О некоторых подходах к уточнению, границ решения операторных уравнений вида х =• Ах + / в случае, когда спектральный радиус операто- 73 ра А не обязательно меньше единицы.

§10. "Гибрид" методов ускорения сходимости монотонных приближений к решению х' уравнения вида х = Ах + / и однопараметрического итеративного агрегирования.

§11. Об одном варианте метода ускорения сходимости монотонных приближений к решению уравнения вида х = Ах + /.

§ 12. Об одном варианте метода Зейделя.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Об итерационных методах решения операторных уравнений второго рода»

При решении широкого класса задач математического анализа, алгебры, экономики требуется находить решение операторных уравнений.В тех случаях, когда процесс отыскания точного решения является затруднительным, на помощь приходят итерационные методы, позволяющие найти приближенное решение с определенной степенью точности. Соответствующий' класс задач можно представить с помощью операторного уравнения вида х=Ах+/ (1) с линейным или нелинейным оператором Л, действующим в банаховом пространстве Е, и свободным членом / из этого пространства.

Большое практическое значение приобретает возможность строить приближения ип и, соответственно, у„ к решению лг* операторного уравнения вида (1), такие что и„ £ X* £ у„ п п

При этом, оказывается, параллельно решаются две важные задачи теории приближенных методов решения операторных уравнений — задача об оценке погрешности приближенного решения, а также задача об априорной оценке относительной погрешности приближенного решения.

Использование современных ЭВМ открывает широкие возможности для решения таких задач. Математическое моделирование стало активно внедряться в практику научных и прикладных разработок при исследовании сложных явлений и процессов, происходящих в экономике. Лишь с помощью современных ЭВМ удается проводить численное моделирование достаточно сложных экономических процессов.

Существенные прикладные преимущества, проведенные исследования практической скорости сходимости итерационных процессов к точному решению х* операторного уравнения вида (1), возможность контроля результатов в процессе решения и наличие математических обоснований, дают повод обратить серьезное внимание на итерационные методы не только как на объект интересных теоретических исследований, но и как на новые подходы к организации и проведению реальных расчетов плановых задач большой размерности и сложной структуры.

Актуальность проблемы. Балансовая модель производства является одной из наиболее простых математических моделей. Она записывается в виде системы уравнений, каждое из которых выражает требование равенства (баланса) между количеством продукции, производимой отдельным экономическим объектом, и совокупной потребности в этом продукте. Отсюда происходит название модели.

Впервые балансовые модели начали использоваться в СССР в 20-х годах. В более или менее законченном виде теория балансовых моделей была разработана американским ученым В.В. Леонтьевым в середине 30-х годов. Однако в те годы ни уровень развития математической науки, ни качество вычислительной техники не позволили широко распространить балансовый метод.

За разработку и внедрение в практику метода межотраслевого баланса группа советских экономистов под руководством академика А.Н. Ефимова в 1968 году была удостоена Государственной премии СССР. В настоящее время большое количество работ посвящается этой модели и ее применению для решения различных задач. Такой интерес к балансовой модели определяется тем, что, как оказалось, эта модель хорошо отображает многие существенные особенности современного производства и в то же время легко поддается расчету. Во многих странах мира балансовый метод используется для: экономического анализа, планирования и прогнозирования.

В связи с внедрением ЭВМ в научные разработки, значительно повысился интерес к различным численным методам и алгоритмам, реализация которых граничит с проведением вычислительного эксперимента. Потребность в таком подходе к решению задач математической экономики диктуется все усложняющимися запросами практики, а также связана с попыткой создания более рациональных и более общих теоретических моделей для изучения сложных экономических явлений.

Активное использование методов численного моделирования позволяет резко сократить сроки научных и конструкторских разработок.

Цели работы - приближенное решение операторных уравнений вида (I) в случаях, когда спектральный радиус р(л) оператора А не обязательно меньше единицы; построение итерационных последовательностей сходящихся к решению уравнения к собственным значениям и собственным векторам оператора а; разработка новых методов, повышающих скорость сходимости итераций к решению уравнения разработка соответствующего программного обеспечения, позволяющего реализовать предложенные методы.

Научная новизна результатов работы. Развитие теории линейных и нелинейных операторов, действующих в полуупорядоченных банаховых пространствах. Так, например, предложены развития методов решения операторных уравнений вида (1) в случаях, когда у оператора А спектральный радиус г(а) не обязательно меньше единицы. Предложен метод построения двусторонних оценок точного решения /операторного уравнения вида (1) в случае, когда спектральный радиус оператора А не обязательно меньше единицы. Предложены варианты методов, позволяющие строить приближения к решению уравнений вида (1), обладающие высокой скоростью сходимости. Разработано программное обеспечение на языке программирования TURBO PASCAL, реализующее предложенные итерационные методы.

Достоверность результатов работы вытекает из математической строгости постановки и решения исследуемых задач, а также из совпадения ряда полученных результатов в частных случаях с известными в литературе.

Практическая значимость работы заключается в возможности применения полученных методов решения уравнения (1) при решении конкретных задач математики и экономики. Отдельные результаты могут быть использованы при чтении специальных курсов и подготовке учебных пособий.

На защиту выносятся следующие положения:

- итерационный метод решения системы линейных алгебраических уравнений вида (1) с квадратной матрицей'Л, в случае, когда наибольшее по модулю собственное значение матрицы А, больше чем единица;

- методы получения двусторонних оценок точного решения л:* операторного уравнения вида (1), в случае, когда спектральный радиус оператора А не обязательно меньше единицы, а также подходы к уточнению полученных оценок;

- синтез методов ускорения сходимости монотонных приближений к решению х* уравнения вида (1) и однопараметрического итеративного агрегирования;

- метод ускорения сходимости монотонных приближений к решению уравнения вида (1), в случае выбора в качестве начальных приближений векторов, которые ограничивают точное решение х* уравнения вида (1) «сверху« и «снизу»;

- вариант метода Зейделя, позволяющий строить приближения, сходящиеся к точному решению ** уравнения (1) с помощью метода ускорения сходимости.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и трех глав, заключения, списка литературы и приложения. В ней принята сквозная нумерация параграфов, для утверждений и формул введена двойная нумерация, включающая номер параграфа и порядковый номер утверждения или формулы в нем. Диссертация изложена на 167 страницах, список использованной литературы содержит 82 наименования.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Плюта, Алексей Иванович

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ

Проведенные в диссертационной работе исследования направленные на разработку новых методов решения операторных уравнений, описывающих экономические модели (модель межотраслевого баланса). Получены следующие научные и практические результаты.

1. Разработан и апробирован на большом количестве примеров итерационный метод решения системы линейных алгебраических уравнений вида х = Ах + / с квадратной матрицей Л , в случае, когда наибольшее по модулю собственное значение матрицы А, больше чем единица.

2. Предложен метод получения двусторонних оценок точного решения /операторного уравнения вида х = + в случае, когда спектральный радиус не обязательно меньше единицы, а также подходы к уточнению полученных оценок. Метод проиллюстрирован соответствующими примерами.

3. Получен синтез методов ускорения сходимости монотонных приближений к решению х' уравнения вида х = Ах + / и однопараметрического итеративного агрегирования.

4. Предложен вариант метода ускорения сходимости монотонных приближений к решению уравнения вида х- Ax + f, в котором упрощена задача поиска начальных приближений.

5. Разработан и апробирован на большом количестве примеров вариант метода Зейделя, позволяющий строить двусторонние приближения к точному решению уравнения вида х = Ах + /.

6. Составлена библиотека программ на языке программирования TURBO PASCAL, которая позволяет реализовывать полученные в данной работе методы и алгоритмы.

Таким образом:

- Разработаны новые методы решения операторных уравнений, описывающих экономические модели (модель межотраслевого баланса), обладающих высокой скоростью сходимости последовательностей к точному решению данных уравнений, а также способностью сходится к точному решению даже в тех случаях, когда спектральный радиус оператора больше единицы.

- Разработан комплекс программ на языке программирования TURBO PASCAL, реализующих эти алгоритмы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Плюта, Алексей Иванович, 2004 год

1. Архангельский, Ю.С. Численные исследования методов итеративного агрегирования для решения задачи межпродуктового баланса /Ю.С. Архангельский, И.А. Вахутинский, J1.M. Дудкин и др. //Автоматика и телемеханика. - 1975. - №7. - G.75-82.

2. Ашманов, С.А. Введение в математическую экономику /С.А. Ашма-нов. М.:Наука, 1984. - 296с.

3. Бабаджанян, A.A. О скорости сходимости метода однопараметриче-ского итеративного агрегирования/А.А. Бабаджанян //Автоматика и телемеханика. 1982. - №11. - G. 171-173.

4. Бахвалов Н. Численные методы /Н. Бахвалов, Н. Жидков, Г. Кобельков М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2000. — 624 с.

5. Бахтин, И.А. Исследование уравнений с положительными операторами: Дис. . д-ра физ.-мат. наук /И;А. Бахтин. Ленинград, 1967. — 320с.

6. Бахтин, И.А. Метод последовательных приближений в теории уравнений с вогнутыми операторами /И.А. Бахтин, MIA. Красносельский // Сибирский математический журнал . 1961.- Т.2, № 3.- С.313-330.

7. Бахтин, И.А. О непрерывности положительных операторов /И.А. Бахтин, М.А. Красносельский, В.Я; Стеценко // Сибирский математический журнал . 1962.- Т.З; № 1.- С.8-17.

8. Белдман Р.' Квазилинеаризация и нелинейные краевые задачи /Р.1 Беллман, Р. Калаба. М.: Мир, 1968. - 270с.

9. Вен, В.Л. Некоторые вопросы агрегирования линейных моделей /В.Л: Вен, А.И. Эрлих //Известия АН СССР. Сер. техническая кибернетика. 1970.- №5. - С.3-8.

10. Ю.Вержбицкий, В.М. Численные методы (линейная алгебра и нелинейные уравнения): Учеб. Пособие для; вузов /В.М; Вержбицкий. -М.: Высш. шк., 2000. -266 с.

11. П.Вулих, Б.З. Введение в теорию полуупорядоченных пространств /Б.З. Вулих. М.: Наука, 1961. - 407 с.

12. Вулих, Б.З. Введение в функциональный анализ /Б.З. Вулих. М.: Физматгиз, 1967 - 415с.

13. П.Вулих, Б.З. Специальные вопросы геометрии конусов; в нормированных пространствах: Учебное пособие /Б.З. Вулих. — Калинин: Издательство калининского университета, 1978. 84 с.

14. М.Гантмахер, Ф.Р.г Теория матриц /Ф-PJ Гантмахер. М: Наука, 1966. -576с.

15. Гробова, Т.А. О методе однопараметрического итеративного агрегирования для решения систем линейных и нелинейных алгебраических уравнений, интегральных уравнений /Т.А. Гробова

16. Ставропольский государственный университет, Ставрополь, 2001. 24с. - Деп. в ВИНИТИ 19.11.01 №2392 - В2001.

17. Гробова, Т.А., Об одном аналоге метода однопараметрического итеративного агрегирования /Т.А. Гробова, В;Я. Стеценко //Вестник СГУ. -2001. Выпуск 28. - С.12-16.

18. Гробова, Т.А. Об одной новой схеме реализации вариантов метода Зейделя /Т.А. Гробова, В.Я. Стеценко // Вестник молодых ученых. -Санкт Петербург, 2001. - С.34-39.

19. Данфорд Н:, Шварц Дж. Линейные операторы. Общая теория /Н. Данфорд, Дж. Шварц. М.: Иностранная литература, 1962. - 895с.

20. Демиденко, H.A. Применение метода итеративного агрегирования к расширенной модели межотраслевого баланса /H.A. Демиденко //Экономика и математические методы. 1977. - Т.13, №3. - С.594-598.

21. Дудкин, JI.M. Межотраслевой баланс и материальные балансы отдельных продуктов /JI.M; Дудкин, Э.Б. Ершов // Плановое хозяйство. 1965. - №5. - С.59-63.

22. Есаян, А.Р; Локализация спектра линейного оператора /А.Р. Есаян, В.Я. Стеценко //Междунар. Конгресс математиков (1966; Москва). Тезисы кр. науч. сообщений Междунар. Конгресса математиков. Секция 5. М., 1966. - С.45-74.

23. Есаян, А.Р. О разрешимости уравнений второго рода /А.Р. Есаян, В:Я. Стеценко // Труды семинара по функциональному анализу. Воронежский гос. ун-т. Воронеж, 1963. - Вып. 7. - С.36-41.

24. Есаян, А.Р. Оценки спектра интегральных операторов и бесконечных матриц /А.Р. Есаян, В.Я. Стеценко // Докл. АН СССР. 1964. -Т. 157, №2.-С.12-19.

25. Итеративное агрегирование и его применение в планировании /Под ред. Л.М. Дудкина. М.: Экономика, 1979. - 328 с.

26. Канторович, Л.В. Функциональные анализ в нормированных пространствах /Л.В1 Канторович, Г.П. Акилов. М.: Наука, 1977. - 496 с.

27. Канторович, Л.В. Функциональный анализ в полуупорядоченных пространствах /Л.В. Канторович, Б.З. Вулих, А.Г. Пинскер. М.: Физматгиз, 1959. - 684 с.

28. Канторович, Л.В. Приближенные методы высшего анализа /Л.В. Канторович, В.И. Крылов. М.-Л.: Физматгиз, 1962. - 708с.

29. Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика /Л. Коллатц. М.: Мир, 1969. - 421с.

30. Колмогоров, А.Н. Элементы теории функций-и функционального анализа/А.Н. Колмогоров, С.В; Фомин. -М.: Наука, 1981. - 543с.31 .Коршунова Н. Математика в экономике /Н. Коршунова, В. Плясунов. М. ¡Издательство «Вита-Пресс», 1996. - 368с.

31. Красносельский, М:А. Положительные решения операторных уравнений /М.А. Красносельский. М.: Физматгиз, 1962. - 394с.

32. Красносельский, М.А. Правильные и вполне правильные конусы /М.А. Красносельский // Докл. АН СССР.-1960. Т.135. - № 2. -С.241-255.

33. Красносельский, М;А. Приближенное решение операторных уравнений /М:А. Красносельский, Г.М. Вайникко, П.П. Забрейко и др. — М: Наука, 1969.-456с.

34. Красносельский, М.А. Геометрические методы нелинейного анализа /М.А. Красносельский, П.П. Забрейко. М.: Наука, 1965. - 624с.

35. Красносельский, М.А. Позитивные линейные системы: метод положительных операторов* /М.А. Красносельский, Е.А. Лифшиц, В.И: Соболев. М: Наука, 1985. - 256с:

36. Красносельский, М.А. Положительно обратимые линейные-операторы и разрешимость линейных уравнений /М.А. Красносельский, Е.А. Лифшиц, В.В; Покорный, В;Я. Стеценко // Докл. АН Таджикской ССР. -1974. Т.ХУН, № 1. - С. 12-15.

37. Красносельский, М.А. О сходимости метода однопараметрического агрегирования /М.А. Красносельский, А.Ю. Островский, А.В; Соболев // Автоматика и телемеханика. 1978. - №9. - С. 102-109.

38. Красносельский, М.А. Замечания о методе Зейделя /М.А. Красносельский, В.Я. Стеценко // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1969. - Т.9, №1. - С. 177-182.

39. Крейн, М.Г. Линейные операторы, оставляющие инвариантным конус в пространстве Банаха /М:Г. Крейн, М.А. Рутман // Успехи математических наук. 1948. - Т.1, №3. - С.3-95.

40. Крукиер, Л.А. Численные методы решения задач конвекции-диффузии со смешанными производными /Л1А. Крукиер, Т.С. Мартынова. г. Ростов-на-Дону: Изд-во РГУ, 2003. -156с.

41. Кузнецов, Ю.А. К теории итерационных процессов /Ю.А. Кузнецов //Докл. АН СССР.- 1969. Т.184, №4, -С.863-866.

42. Леонтьев, В.В. Экономика и математические методы /В.В. Леонтьев, Д. Форд. М: Наука, 1972. - 242с.

43. Лифшиц, Е.А. К теории полуупорядоченных банаховых пространств /Е.А. Лифшиц// Функциональный анализ и его приложения, 1969. -Т.З, №1. С.91-92.

44. Люстерник, Л.А. Элементы функционального анализа /Л.А. Люс-терник, В.И. Соболев. М: Наука, 1965. - 520с.

45. Моришима М. Равновесие, устойчивость, рост /М. Моришима. М.: Наука, 1972. - 179с.

46. Никайдо X. Выпуклые структуры и математическая экономика /X. Никайдо. М.: Мир, 1972. - 518с.54.0ртега Дж. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными /Дж. Ортега, В. Рейнболдт. -М.: Мир, 1975. 327с.

47. Островский, А.Ю. О сходимости монотонных итерационных процессов /А.Ю. Островский //Журнал вычислительной математики и математической физики. 1977. - Т. 17, №1. - G.233-238.

48. Пароди М. Локализация характеристических чисел матриц и ее применения /М. Пародии. М.: Иностранная литература, 1960. -270с.

49. Плюта, А.И. Об одном варианте метода Зейделя /А.И. Плюта, В.Я. Стеценко //Математическое моделирование. — Москва. — 2003г. — Т. 15, №12! С.29-36

50. Радченко, В В. Применение метода Ньютона-Канторовича для расчета нелинейного межотраслевого баланса/В.В: Радченко, В.Я. Стеценко // Модели и методы экономических целенаправленных систем.» Новосибирск, 1977. С. 160-166.

51. Самарский, A.A. Численные методы /A.A. Самарский, A.B. Гулин -М.: Наука, 1989. 187с.

52. Стеценко, В.Я. Исследование сходимости метода многопараметрического итеративного агрегирования при решении линейных алгебраических систем и интегральных уравнений /В.Я. Стеценко

53. Теория и практика использования методов агрегирования в планировании и управлении», совещание (Киев). Материалы совещания «Теория и практика использования методов агрегирования в планировании и управлении». Киев, 1984. - С. 74-81.

54. Стеценко, В.Я. Исследования по теории положительных операторов в пространствах с конусом: Дисс. . д-ра физ.-мат. наук /В.Я. Стеценко.- Воронеж, 1968. 307с.

55. Стеценко, В.Я: Об одном методе ускорения сходимости итерационных процессов /В.Я; Стеценко //Докл. АН СССР. 1968. - Т.178, №3. - С. 1021-1024.

56. Стеценко, В.Я. Элементы теории полуупорядоченных пространств. Приближенное решение операторных уравнений: Учеб. пособие /В.Я. Стеценко, В:А. Галкина. Ставрополь: Изд-во СГУ, 1998. -168с.

57. Стеценко, В.Я. О методе однопараметрического итеративного агрегирования для нелинейных уравнений /В.Я. Стеценко, Т.А. Гробова // Воронежская зимняя математическая школа: Тезисы докладов. Воронеж, 2001.- С.254-256.

58. Стеценко, В.Я. Квалифицированные двусторонние оценки для спектрального радиуса линейного положительного оператора /В:Я. Стеценко, Т.А. Костенко //Ставропольский государственный университет, Ставрополь. 1997. - 13с. Деп. в ВИНИТИ 14.11.97 №3321 -В97.

59. Стеценко, В.Я. Метод ускорения сходимости приближений к спектральному радиусу линейного положительного оператора и к решению линейного операторного уравнения /В:Я: Стеценко, Т.А. Костенко //Вестник СГУ. -1999. Вып. 20. - С.3-13.

60. Стеценко, В.Я. Обзор и реализация на ЭВМ методов решения систем линейных и нелинейных уравнений: Учебное пособие /В.Я. Стеценко, А.И. Плюта. — Ставрополь: Изд-во СГУ, 2003 .-71с.

61. Фаддеев, Д.К. Сборник задач по высшей алгебре /Д.К. Фаддеев, И: С. Соминский. М.: Наука, 1964. - 304с.

62. Фаддеев, Д.К. Вычислительные методы линейной алгебры /Д.К. Фаддеев, В.Н. Фаддеева. М.: Физматгиз, 1960. - 656с.

63. Форсайт Дж. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений /Дж. Форсайт, К. Молер. М.: Мир, 1969. - 354с.

64. Функциональный анализ /Под ред. С.Г. Крейна. М.: Наука, 1972. -544с.

65. Хомяков, В.А. Обобщение одного доказательства сходимости процесса итеративного агрегирования для решения систем линейных уравнений /В.А. Хомяков // Автоматика и телемеханика. — 1973.-№7. — С.15-23.

66. Щенников, Б.А. Применение метода итеративного агрегирования для решения систем линейных уравнений /Б.А. Щенников // Экономика и математические методы. 1966. - Т.2, №5. - С.723-731.121