Применение метода осреднения к материалам с физически нелинейными свойствами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Савенкова, Маргарита Ивановна

• Савенкова, Маргарита Ивановна
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Савенкова, Маргарита Ивановна

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1. ЭФФЕКТИВНЫЕ СВОЙСТВА СПЛАВОВ

1.1. Процесс диффузии в двухфазных сплавах

1.2. Зависимость эффективных модулей сплава от изменения микроструктуры

1.3. Зависимость эффективных модулей от типа микроструктуры

2. ВАРИАНТ АСИМПТОТИЧЕСКОГО МЕТОДА ОСРЕДНЕНИЯ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ

2.1. Постановка задачи

2.2. Линеаризация и дискретизация по параметру нагружения

2.3. Развитие метода осреднения для квазипериодических структур

2.4. Вариант метода осреднения для макроскопически однородных непериодических структур

3. УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИЙ ИЗГИБ ПЛАСТИН ИЗ КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ

3.1. Уравнения теории пластин

3.2. Осреднение уравнений теории пластин, периодических в плане

3.3. Применение асимптотического метода осреднения для численного анализа изгиба многослойной пластины

3.4. Применение асимптотического метода осреднения для численного анализа изгиба пластины из функционально градиентного материала

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Применение метода осреднения к материалам с физически нелинейными свойствами»

Введение

На сегодняшний день композиционные материалы используются повсеместно во всех областях человеческой деятельности: в машиностроении, строительстве, авиа- и космической технике, электронике, медицине, бытовой технике, производстве одежды и обуви, спорте, искусстве и многих других. Композитами могут быть и товары широкого потребления, например, лодки из стеклопластика и весла, автомобильные покрышки, лыжное оборудование, хоккейные клюшки, коньки и пр. Композиты используются в авиации и космонавтике для создания силовых конструкций летательных аппаратов, искусственных спутников, космических зондов, теплоизолирующих покрытий шаттлов, а также в военной технике при производстве бронежилетов. Особое место занимают декоративные композиционные материалы, служащие решением архитектурных и дизайнерских задач, например, искусственный мрамор, активно использующийся при производстве сантехнических изделий, облицовочных плит для отделки офисных и административных помещений и т.д. Композиционные материалы на основе полимеров и всевозможные пластмассы все чаще в повседневной жизни заменяют металл. Низкая теплопроводность, высокая коррозионная и химическая стойкость, хорошие электроизоляционные свойства позволяют композитам занимать прочное положение в ряду разнообразных конструкционных материалов.

Однако экспериментальное определение всех, в особенности нелинейных, свойств композитов с различными схемами армирования требует достаточно сложных экспериментов. Поэтому наряду с экспериментальными исследованиями важны также вычислительные методы нахождения средних (эффективных) нелинейных свойств композиционных материалов. Также существует потребность развития нелинейных математических моделей и методов, которые позволили бы определять не только общие (глобальные или осредненные) характеристики таких материалов, но и локально (на уровне компонентов) описывать происходящие в них процессы деформирования. В данной работе описание с помощью осредненных характери-

стик будем называть описанием на макроуровне, а локальное описание на уровне компонентов композита - описанием на мезо уровне1.

Моделирование локальных свойств деформирования ведет к возникновению дифференциальных уравнений с быстро осциллирующими коэффициентами, которые характеризуют свойства отдельных конструкционных компонентов материала. Решение таких уравнений приводит к настолько большому объему вычислений, что их проведение на обычных компьютерах вызывает затруднение. В связи с этим существует проблема разработки эффективного метода решения таких уравнений на параллельных компьютерах (кластерах). Эта задача на сегодняшний день является актуальной в механике твердого тела.

Наиболее строгим, с математической точки зрения, подходом для этого является асимптотический метод осреднения или метод двух (многих) масштабов, представленный прежде всего работами Бахвалова Н.С. [1], а в механике деформируемого твердого тела - работами Победри Б.Е. [2], [3], [4]. Среди иностранных авторов следует отметить Sanchez-Palencia Е. [5], который одним из первых в Европе наряду с теоретическими основами рассмотрел метод осреднения применительно к решению проблем теории упругости и гидродинамики в перфорированных средах, а также Bensoussan A., Lions J.L., Papanicolaou G., которые в 1978 году опубликовали книгу [6], посвященную основам асимптотического метода осреднения.

В дальнейшем этот метод развивался очень многими авторами, как отечественными, так и зарубежными. Отметим здесь работы, непосредственно связанные с механико-математическим факультетом МГУ им. М.В. Ломоносова. Это работы Эглит М.Э. [7], [8], посвященные осреднению уравнений теории пластического течения, или [9], [10], где получены осредненные свойства различных сред, Панасен-ко Г.П. [11], [12], где на основе метода осреднения были рассмотрены математические модели задач теории упругости, теплопередачи, переноса энергии излучением и распространения волн в микронеоднородных материалах, диффузии и фильтра-

1 Полагается, что микро уровень описания свойств материала соответствует описанию на уровне атомов и молекул

4

ции в пористых средах, а также Горбачева В.И. [13], где метод применяется для построения функционалов концентраций напряжений, и [14], [15], [16], где метод развит для непериодических структур. Также это работы Молькова В.А. (см., например, [17]), где метод эффективно применяется для однонаправленных волокнистых композитов; Шешенина C.B. [18], [19], в которых метод развивается для осреднения пластин, и [20], где вычислены эффективные модули упругости композита в виде шахматной доски. Кроме того, Каралюнасом Р.И. [21] исследованы нелинейные свойства упругопластического поведения композитов.

Развитием метода осреднения в совместном применении с вариационными принципами механики жидкости и газа, а также твердого деформируемого тела с периодической и случайно микронеоднородной структурой занимался Бердичев-ский В .Л. [22], [23].

Также близкие к осреднению процессов в композитах вопросы асимптотического исследования уравнений в областях с мелкозернистой границы изучались Марченко В.А. и Хрусловым Е.Я. в [24].

Еще до развития метода осреднения метод многомасштабных разложений применялся для решения нелинейных задач колебаний в прикладной математике или механике и не был широко распространен. В качестве примера можно привести метод усреднения в теории нелинейных колебаний Крылова-Боголюбова, предложенный в 1943 году [25], и развитый в монографии Боголюбова H.H. и Митропольско-го Ю.А. [26] 1963 года.

В целом, асимптотический метод осреднения активно развивался благодаря большому количеству работ со всего мира. Для изучения поведения упругих пластин он применялся Резцовым М.В. [27], [28], [29], LewinskiT. [30] и LewihskiT. совместно с Telega J.J. [31], Димитриенко Ю.И. [32], а также Болотиным В.В. для многослойных конструкций [33]. С его помощью решением разнообразных задач теории упругости занимались Григорян С.С. [34], Маневич Л.И., Павленко A.B. [35], [36], [37], Каламка-ровА.Л., Кудрявцев Б.А., Партон В.З. [38], Образцов И.Ф. [39], Большаков В.И., Ан-

дрианов И.В., Данишевский В.В. [40], а так же Вильдеман В.Э., Соколкин Ю.В., Таш-кинов A.A. [41] для сред со случайной структурой (метод статистического осреднения). Некоторым современным приложениям метода осреднения посвящены работы Kalamkarov A.L. [42] совместно с Meguid S.A. [43] и Kolpakov A.G. [44], [45], где, как и в [46] авторами Димитриенко Ю.И., Морозовым А.Н., Соколовым А.П. и Ничегов-ским Е.С., рассмотрено моделирование пьезоэлектроупругих композитов, а также Guinovart-Díaz R., Rodríguez-Ramos R., Sabina F.J., Bravo-Castillero J. [47], Manevitch L.I., Andrianov I.V., Oshmyan V.G. [48], Miehe C., Schröder J., Bayreuther C. [49], Andrianov I.V., Bolshakov V.l., Danishevs'kyy V.V., Weichert D. [50], где с помощью метода осреднения изучается распространение волн в периодических композитах, [51] - поведение материалов с включениями квадратной формы, [52], [53] - свойства трехфазных композитов, [54] - рассматривается неидеальный контакт компонентов композита, Вои-tin С. [55], [56]; Шешенина С.В. и Демидовича П.Н. [57], Шешенина С.В. и ХодосО.А. [58], где вычислены эффективные свойства гофрированных пластин, а также Муравлевой Л.В. [59], [60] совместно с Шешениным С.В. [61], где с помощью метода осреднения изучаются эффективные свойства физически нелинейных материалов.

Разработкой автоматизированной системы вычисления эффективных модулей композитов с различной структурой на основе асимптотического метода осреднения занимается Димитриенко Ю.И. совместно с Кашкаровым А.И. и Макашовым A.A. [62], а также Соколовым А.П. [63], [64], [65], кроме того авторами Димитриенко Ю.И., Дубровина А.Ю. и Соколов А.П. в [66] предложен метод расчета усталостных характеристик композитов, основанный на методе осреднения и методе конечных элементов.

Приведенное короткое обозрение истории развития метода осреднения не претендует на полноту. Основные концепции этого подхода подробно изложены в [67], [38], [68], [69].

Однако в большинстве работ метод осреднения используется только для определения эффективных свойств материалов. Исследование распределения напряжений

и деформаций в компонентах их структуры проводится крайне редко. Для случая упругих композитов с периодической структурой асимптотические решения более высокого порядка рассматривались в [2], [13], причем в последней работе рассмотрен также вариант упругопластической среды. А также в работах Gambin В., Kröner Е. [70], Boutin С. [71], Шамровского А.Д. [72], Маневича Л.И. и Павленко A.B. [36] совместно с Кобликом С.Г. [35]. В последних трех работах показано, что в случае изотропного материала ошибка нулевого приближения метода осреднения мала. Ше-шенинымС.В. в [18] и Димитриенко Ю.И. в [32] метод применялся для линейно упругих слоистых пластин.

Математическому обоснованию метода осреднения, его сходимости и точности посвящены работы Бахвалова Н.С. и Панасенко Г.П. [11], [12], где в последней статье также рассматривается метод осреднения с двумя малыми параметрами, Kamotski V., Matthies К., Smyshlyaev V.P. [73], Митропольского Ю.А. и Мосеенкого Б.И. [74], Zhikov V.V., KozlovS.M., OleTnik O.A. [75], а также Smyshlyaev V.Р. и Cherednichenko K.D. [76], [77]. В них приближения высших порядков найдены в терминах осреднения эллиптических операторов типа дивергенции второго порядка с быстро осциллирующими периодическими коэффициентами. В [29] также получена оценка точности для композитных пластин, армированных волокнами.

Таким образом, асимптотический метод осреднения является строгим и широко используемым эффективным математическим подходом для описания задач деформирования конструкций из композиционных материалов, он дает асимптотически правильное представление их решения. Сложность этого метода оправдывается возможностью получения более точного приближения искомого решения по сравнению с теорией, использующей только эффективные свойства (теория эффективного модуля [2]) [38].

Идея асимптотического метода осреднения основывается на комбинировании решения локальных задач, определенных на уровне структурной неоднородности материала (мезо уровень), с решением глобальной (осредненной) задачи (макро

уровень) для эквивалентной однородной среды, что делает возможным его применение в случае сложных форм мезо структуры.

Наибольшее распространение он получил для линейных задач, описывающих периодически неоднородную среду [11], [б], [5]. Представительной областью2 такой среды служит ячейка периодичности. Условия на ее границе в локальных задачах определяются условиями периодичности структуры. В этом случае эффективность метода основывается на том, что локальные задачи достаточно решать только на одной ячейке [78]. В [79] этот факт отмечается как ограничение метода осреднения. В [40] авторы приводят приближенные аналитические решения задач на ячейке с помощью некоторых упрощений.

Однако периодичность присуща далеко не каждому материалу. В [2] метод осреднения развивался для нахождения свойств составной трубы с круглым сечением, площадь которого непостоянна, в [16] - для нахождения эффективных свойств слоистых композитов. В [14] - совместно с функцией Грина на примере гармонических колебаний в стержне, а в [15] тот же подход использовался для изучения произвольных процессов в материале. В данной работе представлен другой вариант асимптотического метода осреднения в случае непериодической среды, основанный на метод перехлеста областей типа Дирихле-Дирихле [80].

В случае нелинейной задачи средние по представительным областям свойства зависят от глобального решения и, следовательно, от глобальных координат [11], [77], [81]. Однако, если напряженно-деформированное состояние в глобальной задаче является однородным, локальные задачи не зависят от медленных координат и, как в линейном случае, достаточно решить их для одной представительной области [61], [59]. Так можно вычислить осредненные нелинейные свойства. В общем же случае локальные задачи зависят от глобального решения как от параметра [2], [21], [13], [77], [76], [82]. При численной реализации это влечет за собой значительные сложности.

2 Определение понятия представительной области материала можно найти в [68], [234], [103], [2], [170], [225].

8

В [11] в пределах теории эффективного модуля обсуждалась возможность развития асимптотического метода осреднения для решения нелинейных задач. В [77] получены все приближения асимптотического решения нелинейной системы уравнений типа дивергенции в ¿/-мерном пространстве. В [2] и [13] формально выписаны все приближения метода осреднения для физически нелинейных сред на примере теории пластичности. Однако в этих работах сложность осреднения состоит в зависимости осредненных свойств композита от неизвестных значений осредненного тензора деформаций как от параметра, что значительно усложняет применение метода осреднения на практике, особенно при численной реализации.

Таким образом, основной целью данной работы является разработка эффективного подхода для решения нелинейных квазистатических задач и задач для макроскопически однородных непериодических сред на основе асимптотического метода осреднения и линеаризации по параметру нагружения при использовании распараллеливания вычислений. Бурное развитие параллельных, в том числе кластерных, вычислительных систем делает этот подход реалистичным. Также целесообразно отметить, что развиваемый здесь метод является частным случаем более общего физически много масштабного (многоуровневого) подхода, в котором используются три масштаба: макро, мезо (уровень компонентов) и микро масштаб, на котором рассматривается молекулярная структура. Такой подход формулируется, например, в [83], [84], [85] для изучения термомеханических свойств твердых тел. Естественно, что на микро уровне уже не используются уравнения механики сплошной среды. В нашем же случае, двух масштабный метод является асимптотическим методом решения нелинейных уравнений механики деформируемого твердого тела для дифференциально-линейных определяющих соотношений.

Структура представленной работы включает введение, три главы, заключение и список используемой литературы. Глава 1 посвящена применению метода осреднения для изучения процесса диффузии в сплавах. Этот процесс обсуждается в §1. В §2 исследуется его влияние на поведение эффективных свойств сплавов. В §3 на при-

мере модельных материалов изучается зависимость эффективных модулей и размера представительной области от типа микроструктуры, ее регулярности и концентрации конструкционных материалов. Здесь везде подразумевается, что рассматриваемые материалы являются статистически однородными, но не обладают периодической структурой. Для подобных структур в следующей главе дано развитие методики осреднения, основанное на перекрытии представительных областей (перекрытие позволяет компенсировать отсутствие условий периодичности). Но прежде в §1 главы 2 представлена методика асимптотического осреднения для материалов с физически нелинейными свойствами, периодическими по всем направлениям, на примере деформационной теории пластичности. В §2 возникшая нелинейная задача линеаризуется и дискретизируется по параметру нагружения, после чего в §3 проводится ее осреднение. В §4, наконец, приводится вариант обобщения методики осреднения на случай макроскопически однородных непериодических сред. В Главе 3 асимптотический метод осреднения развивается на случай упругопластического изгиба композиционных пластин, периодических в плане. В §1 приводятся основные уравнения равновесия сил и моментов для описания изгиба пластины. В §2 на основе метода осреднения получены разрешающие уравнения для периодических в плане пластин и их решение. На «выходе» в нулевом приближении получаются осредненные двумерные уравнения, соответствующие теории Кирхгофа-Лява, и локальные, вообще говоря, трехмерные краевые задачи. Для слоистых пластин и пластин из функционально градиентных материалов, рассматриваемых в следующих параграфах данной главы, эти задачи являются одномерными. Далее §§3-4 посвящены численным примерам реализации представленной методики осреднения на примере решения задачи об упругопластическом цилиндрическом изгибе многослойной пластины и пластины из функционально градиентного материала. В заключении приводятся основные результаты и выводы данной работы.

В диссертации используется методология, изложенная в [86] для постановки и решения задач.

1. Эффективные свойства сплавов

1.1. Процесс диффузии в двухфазных сплавах

В современной микроэлектронике при монтаже печатных плат используются припои - сплавы, температура плавления которых значительно ниже температуры плавления их компонентов. Припой - это связка между платой и чипами, обеспечивающая их механическое и электрическое взаимодействие. В качестве материалов для создания припоя используются различные металлы, например, олово и свинец или медь и серебро.

В настоящее время широко распространена технология установки микросхем и пассивных элементов на печатную плату без использования монтажа сквозных отверстий. Эта технология носит название SMT3. С тех пор как ее начали применять, первостепенно важным вопросом микроэлектроники оказался вопрос о надежности и времени существования припоя. Сплавы, используемые в качестве припоев, с течением времени изменяют свою структуру и свойства. Подобные процессы возникают в них после затвердевания и являются следствием механического воздействия на плату или ее периодического нагрева и охлаждения в процессе работы. Основной причиной их возникновения является несоответствие термомеханических характеристик материалов платы, припоев, чипов и т.д.

В припое возникает два типа процессов изменения структуры. Первым является процесс формирования интерметаллических соединений, вызывающих появление шероховатостей на его поверхности при взаимодействии с материалами платы и чипов. Второй - процесс разделения фаз внутри сплава. Он аналогичен процессу образования осадка в минералах и проистекает в условиях определенной температуры.

Процессу разделения фаз в сплаве предшествует образование областей, в которых увеличивается концентрация того или иного его компонента за счет образова-

3 SMT (Surface Mount Technology) - технология, в основе которой лежит процесс нанесения пасты припоя на поверхность платы через трафарет, который является точной копией рисунка этой поверхности. Затем с помощью специального ножа, медленно перемещаемого по трафарету, паста продавливается сквозь его отверстия на контактные площадки платы. После чего трафарет снимается и на плату устанавливаются требуемые компоненты, например, BGA (Ball Grid Array), CSP (Chip Scale Package) или FC (Flip Chips).

ния новых кристаллов. В определенный момент времени накопление концентрации прекращается. Так первоначально однородный сплав превращается в многофазный композит, структура которого, однако, продолжает меняться, но уже без образования кристаллов новых веществ. Этот процесс (разделения фаз) носит в литературе название Оствальдового эффекта или процесса огрубления [87], [88]. Он происходит равномерно по всему объему и является следствием диффузии [89]. Однако для его описания неприменимо уравнение диффузии Фика, так как оно не учитывает разделение материала на фазы, обладающие различными упругими свойствами ввиду различной кристаллической решетки. Поэтому для изучения этого процесса используется расширенное уравнение Кана-Хиллиарда [90], [91], схема вывода которого представлена в [88], [92]. Оно позволяет учитывать механические воздействия между кристаллами образованных материалов. С математической точки зрения главным его отличием от классического уравнения диффузии является наличие добавочного члена, включающего сумму энергий упругих деформаций и поверхностных натяжений, возникающих на границах разделов фаз и определяющих их количество, форму и ориентацию.

Изменение структуры сплава может приводить к изменению его материальных свойств, что влечет за собой нарушение функционирования платы и сбой в работе электронного устройства. Поэтому изучение данного процесса для современной микроэлектроники является важным аспектом исследований.

Основными конструкционными материалами припоя являются олово и свинец ввиду низкой температуры плавления и малой теплопроводности. Однако, свинец, в свою очередь, является токсичным материалом, в связи с чем появилась очевидная потребность его замены.

С учетом современной тенденции к минимизации размеров и повышению функциональности электронных чипов и плат, требуется точное понимание и знание свойств припоя. Для этого необходимо моделирование процесса изменения его структуры, а также изучение последствий этого процесса.

На Рис. 1.1 [89] представлены экспериментальные SEM4 фотографии процесса изменения структуры оловянно свинцового сплава. На них областям повышенной концентрации свинца соответствует черный цвет, а олова - белый. Изображения верхнего ряда иллюстрируют изменения, происходящие в структуре припоя при комнатной температуре после затвердевания в течение (а) 2х часов, (Ь) 17ти дней и (с) бЗх дней. Нижнему ряду изображений соответствует процесс изменения структуры (а) в момент затвердевания сплава при 125°С, (Ь) через 3 часа после затвердевания и (с) через 300 часов.

Рис. 1.1 Процесс огрубления оловянно свинцового сплава На Рис. 1.2 [88] такие фотографии приведены для структуры сплава меди и серебра, находящегося при температуре 1000К после затвердевания в течение 2х (Рис. 1.2(а)), 20ти (Рис. 1.2(6)) и 40 часов (Рис. 1.2(в)).

(а) (б) (в)

Рис. 1.2 Процесс огрубления в сплаве меди (темный) и серебра (светлый) В [88], [93] описаны экспериментальные исследования процесса изменения

4 SEM - Scanning Electron Microscope

структуры сплавов, а также способы получения указанных изображений.

Для изучения изменения структуры сплавов профессорами DreyerW. и Müller W.H. совместно с ассистентами Böhme! и Brandmair А. была создана численная модель развития этого процесса, основанная на решении расширенного уравнения Кана-Хиллиарда [88], [90], [91], [93], [94].

На Рис. 1.3, Рис. 1.4 и Рис. 1.5, Рис. 1.6 представлены результаты численного моделирования процесса огрубления микроструктуры в представительной области оло-вянно свинцового сплава [90], [91]. Эти изображения были предоставлены профессором Müller W.H. и являются иллюстрацией процесса изменения структуры, возникающего в сплаве после охлаждения от 183°С до 150°С (Рис. 1.3) или от 183°С до 20°С (Рис. 1.4) с последующим нагревом от 20°С до 150°С (Рис. 1.5). Так, Рис. 1.4 и Рис. 1.5 изображают последовательное изменение структуры сплава (один и тот же процесс). Белый цвет соответствует олову, а черный - свинцу.

1 2 3 4 5 6 7

Рис. 1.3 Первоначальное охлаждение сплава от 183°С до 150°С

Рис. 1.4 Первоначальное охлаждение сплава от 183°С до 20°С

1 2 3 4 5 6 7

Рис. 1.5 Первоначальный нагрев сплава от 20°С до 150°С

На Рис. 1.3, Рис. 1.4 и Рис. 1.5 изображена модельная структура сплава, близкая к слоистой. В зависимости от начальных данных можно получить другие модельные структуры сплава, например, указанную на Рис. 1.6 [90].

1 2 3 4 5 6 7

Рис. 1.6 Первоначальное охлаждение сплава от 183°С до 20°С Свинец и олово - хорошо изученные материалы, они легко доступны и дешевы, поэтому их удобно использовать для проверки построенной модели, которая, в общем может, применяться к любым двухфазным сплавам [88], [92]. Например, на Рис. 1.7 изображен смоделированный процесс изменения структуры сплава меди (черный) и серебра (белый). Реальный процесс изменения структуры такого сплава

представлен на Рис. 1.2.

£¡6

1 2 3 4 5 6

Рис. 1.7 Изменение структуры в сплаве серебра и меди В следующем параграфе данной работы с помощью асимптотического метода осреднения (в нулевом приближении) получены зависимости эффективных свойств припоя от изменений его структуры, указанных на Рис. 1.3, Рис. 1.4, Рис. 1.5, Рис. 1.6 и Рис. 1.7.

1.2. Зависимость эффективных модулей сплава от изменения микроструктуры

В текущем параграфе проводится исследование поведения эффективных упругих модулей оловянно свинцового сплава в течение процесса изменения его структуры. Цель состоит в том, чтобы понять, каким образом этот процесс влияет на упругие ха-

рактеристики припоя.

Для сплавов, изображенных на Рис. 1.3, Рис. 1.4, Рис. 1.5 и Рис. 1.6, размер представительной области составляет приблизительно 1.5 микрона, при этом размер самого образца - приблизительно 0.5 см, что есть около 5000 микрон [90]. Из представленных рисунков видно, что фазы олова со временем становятся шире, при этом его концентрация в сплаве не меняется. С помощью авторской компьютерной программы, оценивающей концентрацию материалов, было получено, что концентрация олова составляет около 42%.

Эффективные модули сплава вычисляются с помощью асимптотического метода осреднения, для реализации которого была написана компьютерная программа. Структура сплава (Рис. 1.3), (Рис. 1.4), (Рис. 1.5) приближена к слоистой (Рис. 1.8), поэтому было проведено сравнение эффективных модулей, полученных с помощью аналитических формул [2] с результатами работы вычислительной программы.

6 6 (а) (б)

Рис. 1.8 (а) модель слоистой структуры; (б) структура оловянно свинцового припоя Обозначим представительную область [RV - Representative Volume) материала (сплава) за VRV, а его границу - за dVRV. Обозначим декартовы системы координат: глобальную х — определяющую свойства композита в целом, и локальную

характеризующую изменение мезо структуры композита (локальные осцилляции). Согласно положениям метода осреднения, они связаны друг с другом соотношением

£=-, (1.D

е

где е -безразмерный малый параметр, соответствующий размеру масштаба неоднородности и равный отношению

г4 (1-2>

где / -характерный размер неоднородности материала на уровне мезо структуры, ¿-макроскопический размер задачи, и I но / значительно больше межатомных расстояний. Диапазон возможных значений параметра / приведен в [40]. В данном случае порядок е составляет Ю-4.

Для получения эффективных модулей сплава требуется решить линейную задачу теории упругости в представительной области Уку

(*)«*,/= 0,

и = 8°Х ,

1Шцу 4 3

где - компоненты симметричного тензора-константы. Граничные условия ставятся

в силу макроскопической однородности материала5 и напряженно деформированного состояния [2], [86], [95], [96].

Здесь и далее в работе полагается, что (а) индексы, обозначенные малыми латинскими буквами, пробегают значения 1, 2, 3, а большими - значения 1, 2; (б) взаимодействие между компонентами композита по границам разделов идеально и, следовательно, выполняются условия идеального контакта [97], означающие непрерывность компонент вектора перемещений и вектора напряжений, соответственно,

[и,] = и;-и;= 0, (1.4)

[<т,й^ = <т>,+<х;/1,= О, (1.5)

где квадратными скобками обозначен скачок заключенной в них функции, при переходе через границу разделов фаз в направлении внешней нормали п. В [54] рас-

5 Среда, у которой физические и геометрические величины, описывающие ее свойства, считаются статистически однородными, в частности, полагается, что плотность распределения включений одинакова по всему объему материала (изотропность материала), и это означает, что его характеристический размер (размер включений) значительно меньше, чем расстояние, в пределах которого его средние характеристики не меняются [100], [101]

сматривается применение метода осреднения в случае упругого периодически неоднородного композита с условиями неидеального контакта на границе разделов фаз и показывается, что его эффективные модули в этом случае значительно меньше, чем в случае идеального контакта.

Задача (1.3) поставлена в представительной области ¥яу, однако, она может быть сформулирована так же и в любой другой области, ее превышающей, например, для всего материала в целом.

Полагается, что сплав в процессе изменения структуры сохраняет макро однородность, поэтому эффективные модули С^ являются постоянными во всем объеме материала. Они определяются из соотношений [2], [11], [98]

ы„„=<«(«,>„„ («)

и связывают между собой средние по представительной области напряжения и деформации. Для нахождения эффективных модулей решение (1.3), согласно методу осреднения, представляется в виде

щ (х, I) = V, (х) + еМ^ (I(х), (1.7)

где у(3с) — глобальные перемещения, а -локальные (на уровне мезо струк-

туры материала), а затем подставляется в уравнения равновесия, после чего приводятся члены при одинаковых степенях малого параметра. В результате имеем локальные задачи вида

(С^ (1)^(1)+ ^(1)^=0, (1.8)

где знак «|» означает дифференцирование по локальным координатам. Из них определяются функции -Л^Д*!) и глобальные уравнения равновесия, полученные в результате осреднения (1.3) по представительной области

Выражения для деформаций

и напряжении

еи =\{v4j+vr) + \(Nw\j+NjPq

°Ч ~ Ci)MNkpq\l + C,jpq

(1.10)

(1.11)

получаются подстановкой (1.7) в соотношения Коши и закон Гука.

Таким образом, выражения для глобальных перемещений вида V, = e^xJ дают

точное решение для осредненных уравнений равновесия (1.9) и удовлетворяют граничным условиям в (1.3), а деформации и напряжения для задачи (1.3) определяются формулами (1.10) и (1.11), соответственно. В этом случае средние деформации определяются как

RV Ут

V-.

S У г

где V- представительная область материала в локальных координатах, а сред-

(1.13)

ние напряжения

{av)v- ~ {Cuk'Nkpq\i)y +{сиря)у. {epq)v. ' { \ $ s J (

тогда, исходя из определения эффективных модулей (1.6),

Cfpq ~ {CVklNkpq\l)^ + (CVpq)Vc ■

Приведенные формулы использовались в компьютерной программе.

В Табл. 1 приведены значения жесткостей свинца С^ и олова СОни были предоставлены профессором Müller W.H.

(1.14)

,-,РЬ tjkl 11 22 12 у kl 11 22 12

11 49.66 42.31 0 42.31 49.66 0 0 0 14.98 11 75.29 44.00 0 44.00 95.52 0 0 0 21.93

22 22

12 12

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Савенкова, Маргарита Ивановна

Заключение

Работа содержит следующие основные результаты и выводы:

1. Предложен новый вариант асимптотического метода осреднения для нелинейных задач и эффективный параллельный алгоритм его реализации. Предложенный вариант асимптотического метода осреднения развит для случая периодических в плане пластин из физически нелинейных композиционных материалов и проиллюстрирован на примере упругопластического изгиба многослойных пластин и пластин из функционально градиентных материалов.

2. На примере численной реализации предложенного метода показана его хорошая степень параллелизма.

3. Предложенный вариант асимптотического метода осреднения обобщен на случай макроскопически неоднородных непериодических материалов. Обобщение основано на методе перехлеста областей.

4. При содействии профессора Технического Университета Берлина TU Berlin Müller W.H. и его коллег проведено практическое исследование упругих модулей сплавов. В результате проведенной работы сделан вывод о слабой зависимости свойств сплавов от диффузии их компонентов.

5. Для модельных материалов исследована зависимость размера их представительной области от структуры.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Савенкова, Маргарита Ивановна, 2013 год

Список литературы

1. Бахвалов Н.С. Осреднение дифференциальных уравнений с частными производными с быстро осциллирующими коэффициентами // Доклады АН СССР. — 1975. — Т. 221, №3. — С. 516-519.

2. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. — Москва : Издательство Московского университета, 1984. — 336 с.

3. Победря Б.Е. Метод осреднения в механике композитов // Приложение механики к задачам технологии. — 1988. — Т. 4. — С. 212.

4. Pobedrya В.Е. Elastic composites // Mechanics of Composite Materials. — 1983. — Vol. 19, №2. — P. 149-154.

5. Sanchez-Palencia E. Non-homogeneous media and vibration theory // Lecture Notes in Physics. — Berlin : Springer-Verlag, 1980. — Vol. 127. — P. 129-157.

6. Bensousson A., Lions J.L., Papanicolaou G. Asymptotic analysis for periodic structures. — Amsterdam : North-Holland, 1978.

7. Бахвалов H.C., Эглит М.Э. Процессы в периодических средах, не описываемые в терминах средних характеристик // Доклады АН СССР. — 1983. — Т. 268, №4. — С. 836-840.

8. Эглит М.Э. Об усредненном описании процессов в периодических упруго-пластических средах // Механика композиционных материалов. — 1984. — №5. — С. 825-831.

9. Эглит М.Э., Якубенко Т.А. Об эффективных модулях неоднородных сред, характеризующихся несколькими малыми параметрами // Известия РАН. Механика твердого тела. — 2011. — №1. — С. 103113.

10. Бахвалов Н.С., Эглит М.Э. Эффективные модули композитов, армированных системой пластин и стержней Ц Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1998. — Т. 38, №5. — С. 813-834.

11. Бахвалов Н.С., Панасенко Г.П. Осреднение процессов в периодических средах: математические задачи механики композиционных материалов. — Москва : Наука, 1984. — 352 с.

12. Бахвалов Н.С., Панасенко Г.П., Штарас А.Л. Метод осреднения для уравнений с частными производными и его применения // Дифференциальные уравнения с частными производными - 5. Итоги науки и технники. Серия: Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. — 1988. -Т. 34. - С. 215-241.

13. Победря Б.Е., Горбачев В.И. Концентрация напряжений и деформаций в композитах // Механика композиционных материалов. — 1984. — №2. — С. 207-214.

14. Горбачев В.И. Осреднение линейных задач механики композитов при непериодической неоднородности I/ Известия РАН. Механика твердого тела. — 2001. — №1. — С. 31.

15. Горбачев В.И. О представлении решений линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами // Вестник Московского Университета. Серия 1: Математика. Механика. — 2000. — №6. — С. 68-71.

16. Gorbachev V.I., Pobedrya В.Е. The effective characteristics of inhomogeneous media // Journal of Applied Mathematics and Mechanics. — 1997. — Vol. 61, №1. — P. 145-151.

17. Мольков B.A., Победря Б.Е. Эффективные характеристики однонаправленного волокнистого композита с периодической структурой // Известия АН СССР. Механика твердого тела. — 1985. — №2. - С. 119-130.

18. Шешенин С.В. Асимптотический анализ периодических в плане пластин // Известия РАН. Механика

твердого тела. — 2006. — №6. — С. 71-79.

19. Шешенин C.B. Применение метода осреднения к пластинам, периодическим в плане // Вестник Московского университета. Серия 1: Математика. Механика. — 2006. — №1. — С. 47-51.

20. Шешенин C.B. Осредненные модули одного композита // Вестник Московского университета. Серия 1: Математика. Механика. — 1980. — №6. — С. 78-83.

21. Побдеря Б.Е., Каралюнас Р.И. Упругопластическое поведение слоистых композитов // Научно-технический прогресс в машиностроении: композиционные материалы. — Москва : Институт машиноведения АН СССР, 1987. — №1. — С. 98-117.

22. Бердичевский В.Л. Пространственное осреднение периодических структур // Доклады АН СССР. — 1975. - Т. 222, №3. - С. 565-567.

23. Бердичевский В.Л. Вариационные принципы механики сплошной среды. — Москва : Наука, 1983. — 448 с.

24. Марченко В.А., Хруслов Е.Я. Краевые задачи в областях с мелкозернистой границей. — Киев : Наукова думка, 1974. — 278 с.

25. Крылов Н.М., Боголюбов H.H. Приложение методов нелинейной механики к теории стационарных колебаний. — Киев : Издательство АН УССР, 1934. — 108 с.

26. Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. — Москва : Государственное издательство физико-математической литературы, 1963. — 3 :407 с.

27. Панасенко Т.П., Резцов М.В. Осреднение трехмерной задачи теории упругости в неоднородной пластине // Доклады Академии Наук СССР. — 1987. — Т. 294, №5. — С. 1061-1065.

28. Резцов М.В. Осреднение системы уравнений теории упругости в неоднородном тонком слое толщины h с периодом неоднородностей s // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1989. — Т. 29, №9. — С. 1433-1434.

29. Резцов М.В. Композиционные пластины, армированные высокомодульными волокнами // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1990. — Т. 30, №9. — С. 1394-1404.

30. Lewiñski Т. Homogenizing stiffnesses of plates with periodic structure // International Journal of Solids and Structures. — 1992. — Vol. 29, №3. — P. 309-326.

31. Lewiñski T., Telega J.J. Plates, laminates and shells. Asymptotic analysis and homogenization. — Singapore : World Scientific Publishing, 2000. — 739 p.

32. Димитриенко Ю.И. Асимптотическая теория многослойных тонких пластин // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Естественные науки. — 2012. — №3. — С. 86-99.

33. Болотин В.В., Новичков Ю.Н. Механика многослойных конструкций. — Москва : Машиностроение, 1980. - 376 с.

34. Григорян С.С. Об осреднении физических величин // Доклады АН СССР. — 1980. — Т. 254, №4. — С. 1081-1085.

35. Маневич Л.И., Павленко A.B., Коблик С.Г. Асимптотические методы в теории упругости ортотропного тела. — Киев : Вища школа, 1982. — 153 с.

36. Маневич Л.И., Павленко A.B. Асимптотический метод в микромеханике композиционных материалов. — Киев : Вища школа, 1991. — 131 с.

37. Павленко A.B. Применение асимптотического метода к пространственной задаче теории упругости для композитных материалов // Известия АН СССР. Механика твердого тела. — 1980. — Т. 3.

- С. 50-61.

38. Каламкаров А.Л., Кудрявцев Б.А., Партон В.З. Асимптотический метод осреднения в механике композитов регулярной структуры // Итоги науки и техники. Механика деформируемого твердого тела. - 1987. - Т. 19. - С. 78-147.

39. Образцов И.Ф., Нерубайло Б.В., Андрианов И.В. Асимптотические методы в строительной механике тонкостенных конструкций. — Москва : Машиностроение, 1991. — 429 с.

40. Большаков В.И., Андрианов И.В., Данишевский В.В. Асимптотические методы расчета композитных материалов с учетом внутрненней структуры. — Днепропетровск : Пороги, 2008. — 197 с.

41. Вильдеман В.Э., Соколкин Ю.В., Ташкинов A.A. Механика неупругого деформирования и разрушения композиционных материалов. — Москва : Наука. Физматлит., 1997. — 288 с.

42. Kalamkarov A.L. Composite and reinforced elements of construction. — Chichester: John Wiley & Sons, 1992. - 286 p.

43. Meguid S.A., Kalamkarov A.L. Asymptotic homogenization of elastic composite materials with a regular structure // International Journal of Solids and Structures. — 1994. — Vol. 31, №3. — P. 303-316.

44. Kalamkarov A.L., Kolpakov A.G. Analysis, design and optimization of composite structures. — New York : J.Wiley &Sons,1997.

45. Kalamkarov A.L., Kolpakov A.G. A new asymptotic model for a composite piezoelastic plate // International Journal of Solids and Structures. — 2001. — Vol. 38, №34. — P. 6027-6044.

46. Димитриенко Ю.И., Морозов A.H., Соколов А.П., Ничеговский Е.С. Моделирование эффективных пьезоэлектроупругих композитов // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Естественные науки. — 2010. — №3. - С. 86-96.

47. Guinovart-Díaz R., Bravo-Castillero J., Rodríguez-Ramos R., Sabina F.J. Closed-form expressions for the effective coejficients of fibre-reinforced composite with transversely isotropic constituents. I. Elastic and square symmetry I/ Journal of the Mechanics and Physics of Solids. — 2001. — Vol. 49, №7. — P. 1445-1462.

48. Manevitch L.I., Andrianov I.V., Oshmyan V.G. Mechanics of periodically heterogeneous structures. — Berlin : Springer, 2002. — 255 p.

49. Miehe С., SchröderJ., Bayreuther С. On the homogenization analysis of composite materials based on discretizedfluctuations on the micro-structure // Acta Mechanica. — 2002. — Vol. 155, №1-2. — P. 1-16.

50. Andrianov I.V., Bolshakov V.l., Danishevs'kyy V.V., Weichert D. Higher order asymptotic homogenization and wave propagation in periodic composite materials // Proceedings of the Royal Society A. — 2008. — Vol. 464, №2093. - P. 1181-1201.

51. Andrianov I.V., Danishevs'kyy V.V., Weichert D. Asymptotic determination of effective elastic properties of composite materials with fibrous square-shaped inclusions // European Journal of Mechanics-A/Solids. — 2002. — Vol. 21, №6. — P. 1019-1036.

52. Andrianov I.V., Danishevs'kyy V.V., Kalamkarov A.L. Micromechanical analysis of fiber-reinforced composites on account of influence of fiber coatings I I Composites Part B: Engineering. — 2008. — Vol. 39, №5. — P. 874881.

53. Andrianov I.V., Danishevs'kyy V.V., Kalamkarov A.L. Asymptotic justification of the three-phase composite model// Composite Structures. — 2007. — Vol. 77, №3. — P. 395^04.

54. Andrianov I.V., Danishevs'kyy V.V., Weichert D. Asymtotic Study of Imperfect Interfacial Bonding in Periodic Composite Materials // Mechanics of the 21st Century. Proceedings of the 21st International Congress of

Theoretical and Applied Mechanics. — Warsaw, Poland, 2004. — P. 15-21.

55. Boutin C. Study of permeability by periodic and self-consistent homogenisation I I European Journal of Mechanics-A/Solids. - 2000. - Vol. 19, №4. - P. 603-632.

56. Boutin C., Hans S. Homogenisation of periodic discrete medium: Application to dynamics of framed structures // Computers and Geotechnics. — 2003. — Vol. 30, №4. — P. 303-320.

57. Шешенин C.B., Демидович П.Н. Упругость и неупругость: материалы Международного научного симпозиума по проблемам механики деформируемых тел, посвященного 95-летию со дня рождения А.А. Ильюшина // Применение метода осреднения для построения слоистого конечного элемента. — Москва : Едиториал УРСС, 2006. — С. 432-437.

58. Шешенин С.В., Ходос О.А. Эффективные жесткости гофрированной пластины // Вычислительная механика сплошных сред. — 2011. — Т. 4, №2. — С. 128-139.

59. Муравлева Л.В. Эффективные свойства ортотропных композитов при упругопластических деформациях // Упругость и неупругость: материалы Международного научного симпозиума по проблемам механики деформируемых тел, посвященного 95-летию со дня рождения А.А. Ильюшина. — Москва : Едиториал УРСС, 2006. — С. 371-378.

60. Муравлева Л.В. О некоторых критериях разрушения композитов на основе метода осреднения // Известия РАН. Механика твердого тела. — 2007. — №3. — С. 166-176.

61. Муравлева Л.В., Шешенин С.В. Эффективные свойства железобетонных плит при упругопластических деформациях // Вестник Московского Университета. Серия 1: Математика. Механика. — 2004. — №3. — С. 62-65.

62. Димитриенко Ю.И., Кашкаров А.И., Макашов А.А. Конечно-элементный расчет эффективных упругопластических характеристик композитов на основе метода асимптотического осреднения // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Естественные науки. — 2007. — №1. — С. 26-46.

63. Димитриенко Ю.И., Соколов А.П. Об упругих свойствах композиционных материалов // Математическое моделирование. — 2009. — Т. 21, №4. — С. 96-110.

64. Димитриенко Ю.И., Соколов А.П. Разработка численного метода расчета эффективных упругих характеристик композиционных материалов // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Естественные науки. — 2008. - №2. - С. 56-67.

65. Димитриенко Ю.И., Соколов А.П. Система автоматизированного прогнозирования свойств композиционных материалов I/ Информационные технологии. — 2008. — N28. — С. 31-38.

66. Димитриенко Ю.И., Дубровина А.Ю., Соколов А.П. Моделирование усталостных характеристик композиционных материалов на основе метода асимптотического осреднения и "химического" критерия длительной прочности // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Естественные науки. — 2011. — №SPEC. - С. 34-49.

67. Маневич Л.И. От теории возмущений к асимптотологии // Соросовский образовательный журнал.

— 1996. — Т. 2, №9. — С. 113-121.

68. Zohdi T.I. Homogenization methods and multiscale modeling // Encyclopedia of Computational Mechanics.

— John Wiley & Sons, 2004.

69. Andrianov I.V., Awrejcewicz J., Barantsev R.G. Asymptotic approaches in mechanics: new parameters and procedures //Applied Mechanics Reviews. — 2003. — Vol. 56, №1. — P. 87-109.

70. Gambin В., Kroner E. Higher-order terms in the homogenized stress-strain relation of periodic elastic media Ц Physica Status Solidi (B). - 1989. - Vol. 151, №2. - P. 513-519.

71. Boutin С. Microstructural effects in elastic composites // International Journal of Solids and Structures. — 1996. - Vol. 33, №7. - P. 1023-1051.

72. Шамровский А.Д. Асимптотико-групповой анализ дифференциальных уравнений теории упругости. — Запорожье : ЗГИА, 1997. — 169 с.

73. Kamotski V., Matthies К., Smyshlyaev V.P. Exponential homogenization of linear second order elliptic pdes with periodic coefficients I ISIAM Journal on Mathematical Analysis. — 2007. — Vol. 38, №5. — P. 1565-1587.

74. Митропольский Ю.А., Мосеенков Б.И. Асимптотическое решение уравнений в частных производных. — Киев : Вища школа, 1976. — 589 с.

75-Zhikov V.V., Kozlov S.M., Oleinik О.А. Homogenization of differential operators and integral functionals. — Berlin : Springer Verlag, 1994. — 570 p.

76. Smyshlyaev V.P., Cherednichenko K.D. On rigorous derivation of strain gradient effects in the overall behaviour of periodic heterogeneous media // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. — 2000. — Vol. 48, №6. - P. 1325-1357.

77. Cherednichenko K.D., Smyshlyaev V.P. On Full Two-Scale Expansion of the Solutions of Nonlinear Periodic Rapidly Oscillating Problems and Higher-Order Homogenised Variational Problems I I Archive for Rational Mechanics and Analysis. — 2004. — Vol. 174, №3. — P. 385^42.

78. Shabana Y.M., Noda N. Numerical evaluation of the thermomechanical effective properties of a functionally graded material using the homogenization method // International Journal of Solids and Structures. — 2008. — Vol. 45, №11. — P. 3494-3506.

79.Takano N.( Zako M. Integrated design of graded microstructures of heterogeneous materials I I Archive of Applied Mechanics. — 2000. — Vol. 70, №8-9. — P. 585-596.

80. Barrett R., Berry M., Chan Т., Demmel J., Donato J., Dongarra J., Eijkhout V., Pozo R., Romine Ch., Vorst H. Templates for the solution of linear systems: building blocks for iterative methods. — Philadelphia : SIAM, 1994. -113 p.

81. Шешенин C.B., Фу M., Ивлева Е.А. Об осреднении периодических в плане пластин // Третья международная конференция "Теория и практика расчета зданий, сооружений и элементов конструкций. Аналитические и численные метода". — Москва : МГСУ, 2008. — С. 148-158.

82. Каралюнас Р.И. О малых упруго-пластических деформациях композитов // Механика деформируемых сред. — Москва : Издательство Московского университета, 1985.

83. Wagner G.J., Jones R.E., Templeton J.A., Parks M.L. An atomistic-to-continuum coupling method for heat transfer in solids // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. — 2008. — Vol. 197, №41. — P. 3351-3365.

84.Xiang M.Z., Cui J.Z., Li B.W., Tian X. Atom-continuum coupled model for thermo-mechanical behavior of materials in micro-nano scales I I Science China Physics, Mechanics and Astronomy. — 2012. — Vol. 55, №6. — P. 1125-1137.

85. Chockalingam K., Wellford L.C. Multi-scale homogenization procedure for continuum-atomistic, thermomechanical problems // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. — 2011. — Vol. 200, №1-4.

- P. 356-371.

86. Pobedrya B.E. Principles of computational mechanics of composites I I Mechanics of Composite Materials. — 1996. — Vol. 32, №6. — P. 504-515.

87. Kuhl E., Schmid D.W. Computational modeling of mineral unmixing and growth // Computational Mechanics.

- 2007. - Vol. 39, №4. - P. 439-451.

88. Müller W.H., Böhme T. Quantitative description of micro-structural changes in lead-free solder alloys // Electronics Packaging Technology Conference. — Singapore, 2006. — P. 390-397.

89. Harris P.G., Chaggar K.S., Whitmore M.A. The effect of ageing on the microstructure of60:40 tin-lead solders //Soldering & Surface Mount Technology. — 1991. — Vol. 3, №1. — P. 20-33.

90. Dreyer W., Müller W.H. A study of the coarsening in tin/lead solders I I International Journal of Solids and Structures. - 2000. - Vol. 37, №28. - P. 3841-3871.

91. Dreyer W., Müller W.H. Modeling diffusional coarsening in eutectic tin/lead solders: a quantitative approach II International Journal of Solids and Structures. — 2001. — Vol. 38, №8. — P. 1433-1458.

92. Böhme T., Dreyer W., Müller W.H. Determination of stiffness and higher gradient coefficients by means of the embedded-atom method// Continuum Mechanics and Thermodynamics. — 2007. — Vol. 18, №7-8. — P. 411441.

93. Müller W.H. Morphology changes In solder joints - experimental evidence and physical understanding // Microelectronics Reliability. — 2004. — Vol. 44, №12. — P. 1901-1914.

94. Li L., Müller W.H. Computer modeling of the coarsening process in tin-lead solders I/ Computational Materials Science. — 2001. — Vol. 21, №2. — P. 159-184.

95. Pan'kov A.A., Sokolkin Yu.V., Tashkinov A.A. Singular approximation of the method of periodic components in statistical mechanics of composite materials // Mechanics of Composite Materials. — 1997. — Vol. 33, №4. — P. 322-331.

96. Pobedrya B.E. Accuracy of effective characteristics in the mechanics of composites // Mechanics of Composite Materials. — 1990. — Vol. 26, №3. — P. 293-298.

97. Бардзокас Д.И., Зобнин А.И. Математическое моделирование физических процессов в композиционных материалах периодической структуры. — Москва : Едиториал УРСС, 2003. — 376 с.

98. Hill R. Theory of mechanical properties of fibre-strengthened materials: I. Elastic behaviour // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. — 1964. — Vol. 12, №4. — P. 199-212.

99. Pobedrya B.E., Kholmatov T. Deformation of laminar composites // Mechanics of Composite Materials. — 1982. - Vol. 17, №5. - P. 516-519.

100. Иванов Д.С., Ташкинов A.A. Физические поля в компонентах композитов с псевдослучайной структурой // Физическая мезомеханика. — 2001. — Т. 4, №2. — С. 29-36.

101. Sokolkin Yu.V., Tashkinov A.A. Statistical models of deformation and failure of composites // Mechanics of Composite Materials. — 1985. — Vol. 20, №5. — P. 585-590.

102.Stroeven M., Stroeven P. Computer-simulated internal structure of materials // Acta Stereologica. — 1996. - Vol. 15, №3. — P. 247-252.

103. Зайцев A.B., Лукин A.B., Ташкинов A.A., Трефилов H.B. Случайные структуры двухфазных композитов: синтез, закономерности, новая оценка характерных размеров представительных объемов// Вестник ПНИПУ. Механика. — 2004. — №12. — С. 30-44.

104. Anoshkin A.N., Sokolkin Yu.V., Tashkinov A.A. Microstress fields and the mechanical properties of disordered fiber composites// Mechanics of Composite Materials. — 1991. — T. 26, N95. — C. 628-633.

105. Ломакин B.A., Кукса Л .В., Бахтин Ю.Н. Масштабный эффект упругих свойств поликристаллических материалов // Прикладная механика. — 1982. — Т. 18, №9. — С. 10-15.

106. Stroeven M., Askes H., Sluys L.G. Numerical determination of representative volumes for granular materials II Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. — 2004. — Vol. 193, №30. — P. 3221-3238.

107. Крисгенсен Р. Введение в механику композитов. — Москва : МИР, 1982. — 336 с.

108. Hashin Z. Viscoelastic fiber reinforced materials // American Institute of Aeronautics and Astronautics. — 1966. — Vol. 4, №8. — P. 1411-1417.

109. Christensen R.M., Lo K.H. Solutions for effectiveshearproperties in three phase sphere and cylinder models. // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. — 1979. — T. 27, №4. — C. 315-330.

110. Шешенин C.B., Савенкова М.И. Упругость и неупругость: дополнительные материалы Международного научного симпозиума по проблемам механики деформируемых тел, посвященного 100-летию со дня рождения А.А. Ильюшина // Об осреднении композитов при наличии нелинейности.

— Москва : Издательство Московского университета, 2012. — С. 260-269.

111. Роговой А.А. Конечные деформации в материалах со структурными изменениями // Ученые записки Казанского университета. Серия: физико-математические науки. — 2010. — Т. 152, №4. — С. 210224.

112. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. — Москва : Наука, 1988. — 2 : 552 с.

113. Hill R. A self-consistent mechanics of composite materials // Journal of the Mechanics and Physics of Solids.

— 1965. - Vol. 13, №4. - P. 213-222.

114. Tandon G.P., Weng GJ. A theory of particle-reinforced plasticity // Journal of Applied Mechanics . — 1988.

— Vol. 55, №1. — P. 126-135.

115. Ponte Castañeda P. Exact second-order estimates for the effective mechanical properties of nonlinear composite materials // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. — 1996. — Vol. 44, №6. — P. 827-862.

116. Ponte Castañeda P. Nonlinear Composites //Advances in Applied Mechanics. — 1997. — Vol. 34. — P. 171302.

117. Suquet P.M. Effective properties of nonlinear composites // Continuum Micromechanics. CISM, Courses and Lectures. — New York : Springer-Verlag, 1997.

118. Ponte Castañeda P., Suquet P. Nonlinear composites and microstructure evolution I I Mechanics for a New Mellennium. Proceedings of the 20th International Congress of Theoretical and Applied Mechanics. — Chicago, Illinois, USA: Springer Netherlands, 2002. — P. 253-274.

119. Doghri I. Fully implicit integration and consistent tangent modulus in elasto-plasticity // International Journal for Numerical Methods in Engineering. — 1993. — Vol. 36, N922. — P. 3915-3932.

120. Doghri I., Ouaar A. Homogenization of two-phase elasto-plastic composite materials and structures: study of tangent operators, cyclic plasticity and numerical algorithms // International Journal of Solids and Structures. — 2003. - Vol. 40, №7. - P. 1681-1712.

121. Pettermann H.E., Plankensteiner A.F., Bohm H.J., Rammerstorfer F.G. A thermo-elasto-plastic constitutive law for inhomogeneous materials based on an incremental Mori-Tanaka approach // Computers & Structures.

— 1999. — Vol. 71, №2. — P. 197-214.

122. Miehe C. Strain-driven homogenization of inelastic microstructures and composites based on an incremental variational formulation // International Journal for Numerical Methods in Engineering. — 2002. — Vol. 55, №11.

— P. 1285-1322.

123. González С., LLorca J. A self-consistent approach to the elasto-plastic behaviour of two-phase materials including damage //Journal of the Mechanics and Physics of Solids. — 2000. — Vol. 48, №4. — P. 675-692.

124. De Borst R., Crisfield M., Remmers J., Verhoosel C. Nonlinear Finite Element Analysis of Solids and Structures.

— Chichester, United Kingdom : John Wiley & Sons, 2012. — 509 p.

125. Chou P.C., McNamee B.M., Chou D.K. The yield criterion of laminated media // Journal of Composite Materials. - 1973. - Vol. 7, №1. - P. 22-35.

126. Каралюнас Р.И. К определению эффективных определяющих соотношений физически нелинейных композитов // Вестник Московского университета. Серия 1: Математика. Механика. — 1984. — №2. — С. 77-80.

127. Каралюнас Р.И. Эффективные определяющие соотношения упругопластических композитов // Функциональный анализ и его приложения в механике и теории вероятностей. — Москва : Издательство Московского Университета, 1984.

128. Kafka V. Elastic-plastic deformation of a periodically non-homogeneous medium // Acta technica CSAV. — 1965. - Vol. 10, №4. - P. 404-451.

129. Vil'deman V.E., Sokolkin Yu.V., Tashkinov A.A. Predicting inelastic deformation and failure of laminated composites // Mechanics of Composite Materials. — 1992. — Vol. 28, №3. — P. 214-221.

130. Евлампиева H.B., Ташкинов A.A. Исследование полей деформаций и напряжений упругопластического композита // Труды Второй Всероссийской научной конференции. Часть 1. Математические модели механики, прочность и надежность конструкций. Математическое моделирование и краевые задачи. — Самара, 2005. — Т. 1. — С. 99-102.

131. Лурье С.А., Шахрам Ю. Об определении эффективных характеристик неоднородных материалов II Механика композиционных материалов и конструкций. — 1997. — Т. 3, №4. — С. 76-92.

132. Ильюшин А.А. Пластичность. Часть I. Упруго-пластические деформации. — Москва : ОГИЗ, 1948. -378 с.

133. Ильюшин А.А. Пластичность: Основы общей математической теории. — Москва : Издательство АН СССР, 1963. - 272 с.

134. Победря Б.Е. Деформационная теория пластичности анизотропных сред // Прикладная математика и механика. — 1981. — Т. 45, №2. — С. 205-214.

135. Ленский B.C. Введение в теорию пластичности. — Москва : Издательство Московского университета, 1968. — 109 с.

136. Ильюшин А.А., Ленский B.C. Сопротивление материалов. — Москва : Физматтиз, 1959. — 371 с.

137. Клюшников В.Д. Математическая теория пластичности. — Москва : Издательство Московского университета, 1979. — 208 с.

138. Самарский А.А. Введение в численные методы. — Санкт-Петербург: Лань, 2009. — 288 с.

139. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. — Москва : Наука, 1989. — 432 с.

140. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. — Москва : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2004. — 636 с.

141. Самарский А.А. Теория разностных схем. — Москва : Наука, 1977. — 656 с.

142. Fried richs К.О. The edge effect in the bending of plates I I Reissner Anniversary Volume. — 1949. — №0. — P. 197-210.

143. Friedrichs K.O., Dressier R.F. A boundary-layer theory for elastic plates I I Communications on Pure and Applied Mathematics. — 1961. — Vol. 14, №1. — P. 1-33.

144. Gol'denveizer A.L. Derivation of an approximate theory of bending of a plate by the method of asymptotic integration of the equations of the theory of elasticity /I Journal of Applied Mathematics and Mechanics. — 1962. — Vol. 26, №4. — P. 1000-1025.

145. Ляв А. Математическая теория упругости. — Москва, Ленинград : Объединенное научно-техническое издательство НКТП СССР, 1935. — 675 с.

146. Caillerie D., Nedelec J.C. Thin elastic and periodic plates // Mathematical Methods in the Applied Sciences.

- 1984. - Vol. 6, №1. - P. 159-191.

147. Kohn R.V., Vogelius M. A new model of thin plates with rapidly varying thickness // International Journal of Solids and Structures. - 1984. - Vol. 20, №4. - P. 333-350.

148. Резцов M.В. О свойствах эффективных модулей композиционных пластин // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1990. — Т. 30, №11. — С. 1741-1743.

149. Jones R.M. Mechanics of composite materials. — Philadelphia : Taylor & Francis, 1999. — 519 p.

150. Andrianov I.V., Diskovsky A.A., Kholod E.G. Homogenization method in the theory of corrugated plates // Technishe Mechanik. - 1998. - Vol. 18, №2. - P. 123-133.

151. Dauge M., Djurdjevic I., Faou E., Rôssle A. Eigenmodes asymptotic in thin elastic plates // Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. — 1999. — №78. — P. 925-964.

152. Dauge M., Faou E., Yosibash Z. Plates and Shells: Asymptotic Expansions and Hierarchic Models // Encyclopedia of Computational Mechanics. — Wiley, 2004.

153. Bahei-EI-Din Y.A., Dvorak G.J. Plasticity analysis of laminated composite plates // Journal of Applied Mechanics. — 1982. — Vol. 49, №4. — P. 740-746.

154. Sawicki A. Engineering mechanics of elasto-plastic composites // Mechanics of Materials. — 1983. — Vol. 2, №3. - P. 217-231.

155. Sawicki A. Yield conditions for layered composites // International Journal of Solids and Structures. — 1981.

- Vol. 17, №10. — P. 969-979.

156. Chou P.C., Chou D.K. Plastic flow rule of laminated composites // Journal of Composites Materials. — 1976.

- Vol. 10, №1. - P. 55-68.

157. Горшков А.Г., Старовойтов Э.И., Яровая A.B. Механика слоистых вязкоупругопластических элементов конструкций. — Москва : Физматлит, 2005. — 576 с.

158. Pagano N J. Exact solution for composite laminates in cylindrical bending // Journal of Composite Materials.

- 1969. — Vol. 3, №3. — P. 398-411.

159. Reddy J.N. Mechanics of laminated composite plates: theory and analysis. — Florida : Boca Raton: CRC Press, 1997.

160. Антонов A.C. Параллельное программирование с использованием технологии MPI: Учебное пособие. — Москва : Издательство Московского университета, 2004. — 71 с.

161. Jin Z.H., Paulino G.H., Dodds R.H. Cohesive fracture modeling of elastic-plastic crack growth in functionally graded materials// Engineering Fracture Mechanics. — 2003. — Vol. 70, №14. — P. 1885-1912.

162. Finot M., Suresh S. Small and large deformation of thick and thin-film multi-layers: effects of layer geometry, plasticity and compositional gradients // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. — 1996. — Vol. 44, №5.

- P. 683-721.

163. Shen H.S. Functionally graded materials: nonlinear analysis of plates and shells. — London : Boca Raton: CRC Press, 2009. — 280 p.

164. Vel S.S., Batra R.C. Three-dimensional exact solution for the vibration of functionally graded rectangular plates// Journal of Sound and Vibration. — 2004. — Vol. 272, №3. — P. 703-730.

165. Gibson R.E. Some results concerning displacements and stresses in a nonhomogeneous elastic half space //

Geotechnique. - 1967. - Vol. 17; №1. - P. 58-67.

166. Delale F., Erdogan F. The crack problem for a nonhomogeneous plane // Journal of Applied Mechanics. — 1983. — Vol. 50, №3. — P. 609-614.

167. Giannakopoulos A.E., Suresh S., Finot M., Olsson M. Elastoplastic analysis of thermal cycling: layered materials with compositional gradients // Acta Metallurgica et Materialia. — 1995. — Vol. 43, №4. — P. 13351354.

168. Nakamura T., Wang T., Sampath S. Determination of properties of graded materials by inverse analysis and instrumented indentation // Acta Materialia. — 2000. — Vol. 48, №17. — P. 4293^306.

169.Goupee AJ., Vel S.S. Multi-objective optimization of functionally graded materials with temperature-dependent material properties // Materials & Design. — 2007. — Vol. 28, №6. — P. 1861-1879.

170.Aboudi J., Pindera M.-J., Arnold S.M. Microstructural optimization of functionally graded composites subjected to a thermal gradient via the coupled higher-order theory II Composites Part B: Engineering. — 1997. - Vol. 28, №1. - P. 93-108.

171. Jin Z.H. An asymptotic solution of temperature field in a strip of a functionally graded material // International Communications in Heat and Mass Transfer. — 2002. — Vol. 29, №7. — P. 887-895.

172. Bahr H.-A., Balke H., Fett T., Hofinger I., Kirchhoff G., Munz D., Neubrand A., Semenov A.S., Wess H.-J., Yang Y.Y. Cracks in functionally graded materials // Materials Science and Engineering: A. — 2003. — Vol. 362, №1. — P. 2-16.

173. Birman V. Stability of functionally graded shape memory alloy sandwich panels // Smart Materials and Structures. — 1997. — Vol. 6, №3. — P. 278-286.

174. Lee J.M., Toi Y. Elasto-plastic damage analysis of functionally graded materials subjected to thermal shock and thermal cycle H JSME International Journal. Series A. Solid Mechanics and Material Engineering. — 2002. — Vol. 45, №3. - P. 331-338.

175. Liew K.M., Kitipornchai S., Zhang X.Z., Lim C.W. Analysis of the thermal stress behaviour of functionally graded hollow circular cylinders // International Journal of Solids and Structures. — 2003. — Vol. 40, №10. — P. 2355-2380.

176. Tarn J.Q. Exact solutions for functionally graded anisotropic cylinders subjected to thermal and mechanical loads H International Journal of Solids and Structures. — 2001. — Vol. 38, №46. — P. 8189-8206.

177. Jin Z.H., Paulino G.H. Transient thermal stress analysis of an edge crack in a functionally graded material // International Journal of Fracture. — 2001. — Vol. 107, №1. — P. 73-98.

178.Tohgo K., Hadano A. Characterization of fracture process in ceramic-metal functionally graded material under three-point-bending //JSME International Journal. Series A. Solid Mechanics and Material Engineering. — 2006. — Vol. 49, №3. — P. 321-330.

179. Wang Z., Nakamura T. Simulations of crack propagation in elastic-plastic graded materials // Mechanics of Materials. — 2004. — Vol. 36, №7. — P. 601-622.

180. Jin Z.H., Noda N. Transient thermal stress intensity factors for a crack in a semi-infinite plate of a functionaly gradient material/1 International Journal of Solids and Structures. — 1994. — Vol. 31, N92. — P. 203-218.

181. Noda N., Jin Z.H. Thermal stress intensity factors for a crack in a strip of a functionally gradient material // International Journal of Solids and Structures. — 1993. — Vol. 30, №8. — P. 1039-1056.

182. Fujimoto T., Noda N. Crack propagation in a functionally graded plate under thermal shock // Archive of Applied Mechanics. — 2000. — Vol. 70, №6. — P. 377-386.

183. Jin Z.H., Batra R.C. Stress intensity relaxation at the tip of an edge crack in a functionally graded material

128

subjected to a thermal shock// Journal of Thermal Stresses. — 1996. — Vol. 19, №4. — P. 317-339.

184. Paulino G.H., Yin H.M., Sun L.Z. Micromechanics-based interfacial debonding model for damage of functionally graded materials with particle interactions // International Journal of Damage Mechanics. — 2006.

- Vol. 15, №3. - P. 267-288.

185.Grujicic M., Zhang Y. Determination of effective elastic properties of functionally graded materials using Voronoi cell cell finite element method// Materials Science and Engineering: A. — 1998. — Vol. 251, №1. — P. 64-76.

186. Reiter T., Dvorak G., Tvergaaed V. Micromechanical models for graded composite materials // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. - 1997. - Vol. 45, №8. - P. 1281-1302.

187. Bao G., Cai H. Delamination cracking in functionally graded coating/metal substrate systems // Acta Materialia. — 1997. — Vol. 45, №3. — P. 1055-1066.

188. Moon R.J., Tilbrook M., Hoffman M., Neubrand A. AI-AI203 composites with interpenetrating network structures: composite modulus estimation // Journal of the American Ceramic Society. — 2005. — Vol. 88, №3.

- P. 666-674.

189. Muliana A. A micromechanical model for predicting thermal properties and thermo-viscoelastic responses of functionally graded materials // International Journal of Solids and Structures. — 2009. — Vol. 46, N99. — P. 1911-1924.

190. Zuiker J.R. Functionally graded materials: choice of micromechanical model and limitations in property variation // Composites Engineering. — 1995. — Vol. 5, №7. — P. 807-819.

191. Gasik M. Micromechanical modelling of functionally graded materials // Computational Materials Science.

- 1998. - Vol. 13, №1. - P. 42-55.

192. Pitakthapanaphong S., Busso E.P. Self-consistent elastoplastic stress solutions for functionally graded material systems subjected to thermal transients // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. — 2002. — Vol. 50, №4. — P. 695-716.

193. Ma L.S., Wang T.J. Nonlinear bendimg and post-buckling of a functionally graded circular plate under mechanical and thermal loadings // International Journal of Solids and Structures. — 2003. — Vol. 40, №13. — P. 3311-3330.

194. Woo J., Meguid S.A. Nonlinear analysis of functionally graded plates and shallow shells // International Journal of Solids and Structures. — 2001. — Vol. 38, №42. — P. 7409-7421.

195. Aboudi J., Pindera M.-J., Arnold S. A coupled higher-order theory for functionally graded composites with partialhomogenization // Composites Engineering. — 1995. — Vol. 5, №7. — P. 771-792.

196. Pindera M J., Aboudi J., Arnold S.M. Limitations of the uncoupled, RVE-based micromechanical approach in the analysis of functionally graded composites// Mechanics of Materials. — 1995. — Vol. 20, №1. — P. 77-94.

197. Yin H.M., Sun L.Z., Paulino G.H. Micromechanics-based elastic model for functionally graded materials with particle interactions //Acta Materialia. — 2004. — Vol. 52, №12. — P. 3535-3543.

198. Hashin Z., Shtrikman S. A variational approach to the theory of the elastic behaviour of multiphase materials //Journal of the Mechanics and Physics of Solids. — 1963. — Vol. 11, №2. — P. 127-140.

199. Tamuro I., Tomota Y., Ozura H. Strength and ductility ofFe-Ni-C alloys composed ofaustenite and martensite with various strengths // Proceedings of the Conference on Microstructure and Design of Alloys. — London, 1973. - Vol. 129. - P. 611-615.

200. Williamson R.L., Rabin B.H., Drake J.T. Finite element analysis of thermal residual stresses at graded ceramic-metal interfaces. Part I. Model description and geometrical effects // Journal of Applied Physics. — 1993. — Vol.

74, №2. — P. 1310-1320.

201. Weissenbek E., Pettermann H.E., Suresh S. Elasto-plastic deformation of compositionally graded metal-ceramic composites // Acta Materialia. — 1997. — Vol. 45, №8. — P. 3401-3417.

202. Bocciarelli M., Bolzon G.; Maier G. A constitutive model of metal-ceramic functionally graded material behavior: formulation and parameter identification // Computational Materials Science. — 2008. — Vol. 43, №1.

- P. 16-26.

203. Eshelby J.D. The determination of the elastic field of an ellipsoidal inclusion, and related problems I I Proceedings of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Science. — 1957. — Vol. 241, №1226. — P. 376-396.

204. Лурье C.A., Соляев Ю.О. Модифицированный метод Эшелби в задаче определения эффективных свойств со сферическими микро- и нановключениями // Вестник ПГТУ. Серия: Механика. Выпуск "Математическое моделирование физико-механических процессов". — 2010. — №1. — С. 80-90.

205. Lurie S., Tuchkova N., Volkov-Bogorodsky D.D. A generalized solution of Eshelby and Eshelby self-consistent method for gradient models in mechanics of composites // AIP Conference Proceedings. — Rhodes, Greece, 2010. — Vol. 1281. — P. 833.

206. Mori Т., Tanaka K. Average stress in matrix and average elastic energy of material with misfitting inclusions //Acta Metallurgica. - 1973. - Vol. 21, №5. - P. 571-574.

207. Cheng Z.-Q., Batra R.C. Three-dimensional thermoelastic deformations of a functionally graded elliptic plate // Composites Part B: Engineering. — 2000. — Vol. 31, №2. — P. 97-106.

208. Reddy J.N., Cheng Z.Q. Three-dimensional thermomechanical deformations of functionally graded rectangular plates II European Journal of Mechanics-A/Solids. — 2001. — Vol. 20, №5. — P. 841-855.

209. Benveniste Y. A new approach to the application of Mori-Tanaka's theory in composite materials // Mechanics of Materials. — 1987. — Vol. 6, №2. — P. 147-157.

210. Zuiker J.R., Dvorak G. The effective properties of functionally graded composites -1. Extension of the Mori-Tanaka method to linearly varying fields 11 Composites Engineering. — 1994. — Vol. 4, №1. — P. 19-35.

211. Rahman S., Chakraborty A. A stochastic micromechanical model for elastic properties of functionally graded materials II Mechanics of Materials. — 2007. — Vol. 39, №6. — P. 548-563.

212. Eraslan A.N., Akis T. Elastoplastic response of a long functionally graded tube subjected to internal pressure //Turkish Journal of Engineering and Environmental Sciences. — 2005. — Vol. 29. — P. 361-368.

213. Xiao H.T., Yue Z.Q. Stresses and displacements in functionally graded materials of semi-infinite extent induced by rectangular loadings I/ Materials. — 2012. — Vol. 5, №2. — P. 210-226.

214. Pan E. Exact solution for functionally graded anisotropic elastic composite laminates I I Journal of Composite Materials. — 2003. — Vol. 37, №21. — P. 1903-1920.

215.Sankar B.V. An elasticity solution for functionally graded beams // Composites Science and Technology. — 2001. - Vol. 61, №5. - P. 689-696.

216. Sankar B.V., TzengJ. Thermal stresses in functionally graded beams //AIAA Journal. — 2002. — Vol. 40, №6.

— P. 1228-1232.

217. Zenkour A.M. A comprehensive analysis of functionally graded sandwich plates: part 1 - deflection and stresses // International Journal of Solids and Structures. — 2005. — Vol. 42, №18. — P. 5224-5242.

218. Kumar J.S., Reddy B.S. Nonlinear bending analysis of functionally graded plates using higher order theory I I International Journal of Engineering Science and Technology. — 2011. — Vol. 3, №4. — P. 3010-3022.

219. Raßbach S., Lehnert W. Investigations of deformation ofFGM // Computational Materials Science. — 2000. - Vol. 19, №1. - P. 298-303.

220. Hill R. Elastic properties of reinforced solids: some theoretical principles // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. - 1963. - Vol. 11, №5. - P. 357-372.

221. Качанов Л.М. Основы теории пластичности. — Москва : Наука, 1969. — 420 с.

222. Новацкий В. Теория упругости. — Москва : Мир, 1975. — 872 с.

223. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. — Москва : Наука, 1988. — 712 с.

224. Саргсян А.Е. Сопротивление материалов, теории упругости и пластичности. — Москва : Высшая школа, 2000. — 268 с.

225. Соколовский В.В. Теория пластичности. — Москва : Высшая школа, 1969. — 608 с.

226. Алтуфов H.A., Зиновьев П.А., Попов Б.Г. Расчет многослойных пластин и оболочек из композиционных материалов. — Москва : Машиностроение, 1984. — 263 с.

227. Sendeckyj G.P. Mechanics of Composite Materials. — New York: Academic Press, 1974. — Vol. 2 :503 p.

228. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. — Москва : Издательство Московского Университета, 1995. — 2 :366 с.

229. Сьярле Ф. Математическая теория упругости. — Москва : Мир, 1979. — 470 с.

230. Черных К.Ф. Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчетах. — Ленинград : Машиностроение, Ленинградское отделение, 1986. — 336 с.

231. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. — Ленинград : Государственное союзное издательство судостроительной промышленности, 1961. — 430 с.

232. Донелл Л.Г. Балки, пластины и оболочки. — Москва : Наука, 1982. — 568 с.

233. Ильюшин A.A. Механика сплошной среды. Учебное пособие. — Москва : Издательство Московского университета, 1978. — 310 с.

234. Победря Б.Е. Лекции по тензорному анализу. — Москва : Издательство Московского университета, 1999. —264 с.