Применение канонического нормального распределения для решения задач текстурного анализа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.16, кандидат физико-математических наук Иванова, Татьяна Михайловна

• Иванова, Татьяна Михайловна
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Иванова, Татьяна Михайловна

ВВЕДЕНИЕ

1 ГЛАВА 1.

Основная задача текстурного анализа

1.1 Описание структуры поликристаллических материалов.

1.2 Задача обращения. Некорректность.

1.3 Современные методы решения.

2 ГЛАВА 2 Ч -.-.^соа« Канонические нормальные распределения; .-11«; группе вращений трехмерного пространства

2.1 Обоснование возможности аппроксимации ФРО нормальными распределениями.

2.2 Определение нормального распределения на группе 50(3).

2.3 Свойства КНР.

2.4 Полюсные фигуры, порождаемые каноническим нормальным распределением.

2.5 Построение аналитических приближений КНР.

2.6 Нормировочная константа при малых значениях параметров рассеяния.

3 ГЛАВА

Возможности новой параметризации

3.1 Новые параметры вращения.

3.2 Связь между ФРО и ПФ.

3.3 Связь ПФ с решениями ультрагиперболических уравнений.

3.4 Получение аналитического приближения для ПФ

4 ГЛАВА

Решение задач текстурного анализа

4.1 Вычисление канонических нормальных распределений на группе вращений трехмерного пространства.

4.2 Вычисление полюсных фигур от канонических нормальных распределений

4.3 Решение модельной обратной задачи в случае кубической симметрии монокристалла.

4.4 Симметризация ФРО в случае кубической симметрии монокристалла.

5 ГЛАВА

Области зависимости полюсных фигур

5.1 Дифференциальное уравнение для полюсных фигур.

5.2 Следствие теоремы Асгейрссона.

5.3 Пример областей зависимости.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Применение канонического нормального распределения для решения задач текстурного анализа»

Вопросы, рассматриваемые в диссертационной работе связаны с решением задач текстурного анализа. Объектом текстурного анализа являются материалы, состоящие из кристаллитов различной ориентации. С математической точки зрения макроскопическое физическое свойство поликристаллического образца, измеряемое в некотором направлении, является усреднением соответствующего свойства отдельных кристаллитов по плотности распределения их ориентаций, традиционно называемой в текстурном анализе функцией распределения ориентаций (ФРО). Для изучения анизотропии физических свойств поликристаллических материалов необходимо знание ФРО. К сожалению, сама функция распределения ориентаций вряд ли может быть установлена экспериментально. Обычно в ходе дифракционных экспериментов получают одну или несколько полюсных фигур (ПФ), являющихся определенными интегральными проекциями ФРО.

В первой главе диссертационной работы формулируется основная задача количественного текстурного анализа — задача обращения полюсных фигур. Отмечено, что из-за специфики эксперимента (неразличимости прямого и обратного направления) невозможно восстановить некоторую часть функции распределения ориентаций, а именно, нечетную часть ее разложения по обобщенным шаровым функциям. Таким образом, задача восстановления ФРО по экспериментально полученным полюсным фигурам является некорректно поставленной. В главе содержится обзор методов решения данной задачи. Одна из возможностей получения ФРО основана на поиске решения в определенном классе (на компакте). На этом принципе основан метод, рассматривающий сложные текстурные образования как сумму взвешанных текстурных компонент. В рамках этого метода основной задачей является разумный выбор класса возможных решений. В данной работе предлагается считать функцию распределения ориентаций суммой канонических нормальных распределений (КНР) на группе вращений трехмерного пространства. КНР зависит от шести параметров, три из которых задают центр распределения в ориентационном пространстве, а остальные являются аналогами дисперсии.

В работе обоснована возможность аппроксимации функции распределения ориентаций суммой КНР. Среди прочих аналогов классического гауссовского распределения каноническое нормальное распределение на группе вращений выделяется благодаря своей связи с центральной предельной теоремой, приведенной во второй главе. Отмечено, что представление нормального распределения в виде ряда Фурье по обобщенным шаровым функциям связано с выбором базиса представлений группы вращений. На самом деле КНР является суммой следов определенного вида матриц, и может быть вычислено в любом подходящем базисе. На основе этого факта получены свойства КНР, являющиеся аналогами соответствующих свойств нормального распределения в евклидовом пространстве.

Необходимость получения аналитического приближения для канонического нормального распределения обусловлена тем, что вычисление последнего является сложной проблемой. Для решения задач текстурного анализа необходимы более простые в вычислительном плане функции. В главе построено распределение, аппроксимирующее КНР в широком диапазоне параметров рассеяния. Функциональная часть распределения имеет простой вид. Для получения нормировочного множителя не требуется проводить интегрирование по всему пространству вращений. Достаточно найти сумму следов трехдиагональных матриц, что соответствует вычислению КНР в точке максимума.

В третьей главе предлагается нетрадиционная параметризация группы вращений, полученная при переходе из пространства вращений в трехмерное проективное пространство. Приводится связь новых параметров хх. Х2, с углами Эйлера и вычисляется якобиан перехода. Предложенная параметризация позволяет получить связь полюсной плотности (ПФ) с функцией распределения ориентаций в виде интеграла по некоторым прямым. В заключение путем асимптотического интегрирования получены аналитические приближения полюсной плотности, порождаемой каноническим нормальным распределением.

Четвертая глава посвящена решению задач количественного текстурного анализа. Прямая задача состоит в вычислении полюсной фигуры для функции распределения ориентаций, являющейся каноническим нормальным рапределением. Вычисление самого КНР и ПФ для него сводится к трехкратному суммированию рядов по гармоническим полиномам на 50(3) и б'2 соответственно. Коэффициенты этих рядов могут быть получены только численно. Из-за неустойчивости суммирования таких рядов при рассчетах вводились регуляризирующие множители. Вычисления показали, что в диапазоне параметров, необходимом для решения задач текстурного анализа, канонические нормальные распределения на 50(3) и порождаемые ими полюсные фигуры хорошо аппроксимируются предложенными аналитическими функциями.

При решении модельной обратной задачи функция распределения ориентаций считается суммой текстурных компонент с некоторыми весами. Каждая текстурная компонента является каноническим нормальным распределением с неизвестным центром и рассеянием. Исходными данными являются полюсные фигуры, порожденные такой ФРО. Таким образом, задача сводится к отысканию относительного небольшого количества параметров. При кубической симметрии монокристалла и разделяющихся максимумах для решения достаточно одной полюсной фигуры. Сначала геометрическим методом устанавливаются центры текстурных компонент. Вычисление весов и параметров рассеяния осуществляется методом наименьших квадратов. При этом значения параметров находятся путем итераций. При решении возникающих в процессе итераций систем линейных уравнений контролируются числа обусловленности их матриц. Одновременно осуществляется регуляризация решений систем. Критерием окончания процесса итераций является значение параметра, характеризующего отклонение вычисленной полюсной плотности от заданной. По найденным значениям параметров вычисляется функция распределения ориентаций.

В пятой главе анализируется связь полюсной плотности с решением ультрагиперболического уравнения. Отмечено, что полюсные фигуры имеют области зависимости, т.е., что значения полюсной плотности в некоторых областях зависит от ее значения в других областях. Это свойство полюсных фигур можно использовать при проверке согласованности экспериментальных данных и для вычисления значений полюсной плотности для неполных ПФ. В главе приведено дифференциальное уравнение для полюсных фигур и осуществлен переход к ультрагиперболическому уравнению в декартовых координатах, через решение которого выражается ПФ. Далее сформулирована теорема Асгейрссона для решений ультрагиперболических уравнений. Из этой теоремы и следует наличие областей зависимости. В главе приведен небольшой пример существования областей зависимости для острых текстур с круговым распределением.

В заключении к работе сформулированы основные результаты исследований.

Актуальность работы

Разработка удобных численно-аналитических алгоритмов решения задачи восстановления функции распределения ориентаций определяет актуальность работы. 8

Цель работы

1. Вычисление и исследование КНР, имеющих некруговой характер рассеяния, и получение аналитических приближений для них.

2. Решение задачи восстановления ФРО по ПФ путем аппроксимации некруговыми КНР для кубической симметрии монокристалла.

3. Исследование связи ПФ с решениями ультрагиперболических уравнений и изучение областей зависимости полюсных фигур.

Научная новизна

Впервые рассмотрена функция распределения ориентаций, являющаяся суммой некруговых канонических нормальных распределений на группе вращений трехмерного пространства. В общем случае каноническое нормальное распределение представляется в виде ряда по обобщенным шаровым функциям. Поскольку вычисление некругового КНР крайне сложно, для решения задач количественного текстурного анализа необходимы аналитические приближения КНР. Для функции распределения ориентаций и полюсной плотности от КНР с некруговым рассеянием, предложены достаточно простые аналитические приближения, позволяющие решать задачу восстановления ФРО по измеренным полюсным фигурам.

На защиту выносятся

1. Метод получения аналитических приближений КНР на группе вращений трехмерного пространства

2. Применение новой параметризации группы вращений для

• получения связи между ПФ и ФРО в виде интеграла от функции полюсной плотности по некоторым прямым

• выяснения связи полюсных фигур с решениями ультрагиперболических уравнений

• получения классов функций, являющихся решениями ультрагиперболических уравнений, с целью их дальнейшего применения для аппроксимации ПФ.

3. Некоторые следствия связи ПФ с решениями ультрагиперболических уравнений.

Апробация и публикации

Основные результаты диссертации докладывались на Международном совещании по программированию и математическим методам решения физических задач (Дубна, 1993), 1С0Т0М-Ю (Clausthal, .1993), конференциях по обратным и некорректно поставленным задачам (Москва, 1996, 1998), конференциях Computational Modelling and Computing in Physics ( Дубна, 1996), Neutron Textures and Stress Analysis ( Дубна, 1997). Результаты проведенных исследований изложены в 11 работах (публикации б, 10-13, 25, 36, 44, 74, 75, 83 в списке литературы).

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, 5 глав, 2 приложений и заключения. Работа изложена на 133 страницах, из которых графический материал занимает 30 страниц. Библиография содержит 83 наименования.

Заключение диссертации по теме «Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (по отраслям наук)», Иванова, Татьяна Михайловна

7.1 Основные результаты диссертации

1. В работе получены аналитические приближения канонического нормального распределения, удобные для вычислений. Найденные приближения содержат три параметра рассеяния («и, а22, а33) и хорошо аппроксимируют нормальное распределение в области значений

2. Построены аналитические приближения полюсной плотности, порождаемой каноническим нормальным распределением. Исследования показали, что предложенные аналитические приближения аппроксимируют полюсную плотность от канонического нормального распределения в области, достаточной для решения задач текстурного анализа:

Решение задачи восстановления проиллюстрировано модельными примерами, использующими аналитические приближения канонического нормального распределения.

О < ап, а22, «зз <1-0 (0 < е < 1.0).

111)

0 < ап,а22,а33 < 0.5 (0 < г < 0.7).

112)

3. В работе получено выражение полюсной плотности через решение ультрагиперболического уравнения. Связь полюсной плотности с решением ультрагиперболического уравнения позволяет обнаружить зависимость полюсных фигур между собой. Продемонстрирован частный случай вычисления областей зависимости. Предложены некоторые классы функций для аппроксимации полюсных фигур.

Автор выражает благодарность своим научным руководителям Татьяне Ивановне Савеловой и Дмитрию Алексеевичу Василькову, а также коллективу кафедры Прикладной Математической Физики Московского Инженерно - Физического Института. 8

7 Заключение

В данной работе рассматривается задача восстановления функции распределения ориентаций по полюсным фигурам. В классической постановке эта задача не имеет единственного решения и является некорректно поставленной. Рассмотрены случаи корректного решения в классе функций, являющихся суммой канонических нормальных распределений на группе вращений трехмерного пространства.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Иванова, Татьяна Михайловна, 1998 год

1. Бухарова Т.И. Применение гауссовских распределений для описания текстур гексагональных поликристаллов. // Изв. РАН, Физика земли, 1993. N6, с.59-63

2. Вассерман Г., Гревен И. Текстуры металлических материалов. // М.: Металлургия, 1969, 654 с.

3. Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория прдставления групп. // М.: Наука, 1991, 576 с.

4. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. // М.: Наука, 1977, 303 с.

5. Воробьева Т.М., Савелова Т.И. Нахождение областей зависимостей ПФ путем решения ультрагиперболических уравнений. // Тез. докл VI Всесоюзн. конф. "Текстура и рекристаллизация в металлах и сплавах". Свердловск, 1991

6. Гельфанд И.М., Минлос P.A., Шапиро З.Я. Представления группы вращений и группы Лоренца. // М.: ФМГ, 1958, 368 с.

7. Годунов С.К. Решение систем линейных уравнений. // Новосибирск, Наука, 1979, 177 с.

8. Днепренко В.H., Дивинский C.B. Моделирование трехмерных функций распределения ориентаций в текстурированных материалах. // Металлофизика, 1989, т. 11, N4, с. 11-21

9. Иванова Т.М., Савелова Т.И. Выражения для гауссовского распределения, удобные для вычисления на ЭВМ // Заводская лаборатория, 1992, N12, с. 36-41

10. Иванова Т.М., Савелова Т.И. Вычисление областей зависимости полюсных фигур. // Труды Международн. совещания по программированию и математическим методам решения физических задач. Дубна, 1993, с. 224-226

11. Иванова Т.М., Савелова Т.И. Вычисление канонических нормальных распределений на группе вращений S0(3) . // Труды Международн. совещания по программированию и математическим методам решения физических задач. Дубна, 1993, с. 220-223

12. Иванова Т.М., Савелова Т.И. Вычисление областей зависимости полюсных фигур для кварца. // Изв. РАН, Физика земли, 1993. N6, с. 53-57

13. Любарский Г.Я. Теория групп и ее применение в физике. // М.: ФМГ, 1958, 354 с.

14. Люк Ю. Специальные математические функциии и их аппроксимация. // М.: Мир, 1980, 607 с.

15. Мардиа К. Статистический анализ угловых наблюдений. // М.: Наука, 1978 239 с.

16. Николаев Д.И., Савелова Т.И. О решении задачи восстановления функции распределения зерен по ориентациям в поликристаллах методом Роу-Бунге.

17. Сб. Методы вычислительной физики и их приложения. М.: Энергоатом-издат, 1989, с. 52-54

18. Николаев Д.И., Савелова Т.Н. Аппроксимация функции распределения ориентации с помощью гауссовских распределений. // Сб. Математическая обработка и интерпретация результатов физических экспериментов. М.: Энер-гоатомиздат, 1989, с.54-57

19. Николаев Д.И. Вычислительная оптимизация метода Бунге-Роу. // Изв. РАН, Физика земли, 1993. N6, с.68-70

20. Градштейн И.М., Рыжик И.С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. // М.: Наука, 1971, 1108 с.

21. Савелова Т.И. О решении одной обратной задачи дифракции. // ДАН СССР, 1982, 266, N3, с.590-592

22. Савелова Т.И. Метод аппроксимации функции распределения зерен по ори-ентациям гауссовскими распределениями на группе вращений трехмерного пространства 50(3). // Изв. РАН, Физика земли, 1993. N6, с.49-53

23. Савелова Т.И. Продолжение решения ультрагиперболического уравнения. // Вестн. Моск. Ун-та, сер.15, Вычисл. Матем. и Киберн., 1995, N1, с. 44-47

24. Савелова Т.И., Бухарова Т.И. Представления группы SU(2) и их применение. // М.: МИФИ, 1996, 113 с.

25. Савелова Т.И., Иванова Т.М. Моделирование функции распределения ориен-таций с помощью канонических нормальных распределений на группе вращений трехмерного пространства. // Тез. Конф. Обратные и некорректно доставленные задачи, М.: МГУ, 1998.

26. Савелова Т.И., Нагаев И.Р. Загадочные полюсные фигуры или универсальный метод Роу-Бунге // Препринт МИФИ 026-97, М.: 1997, 23 с.

27. Сиротин Ю.И., Шаскольская М.П. Основы кристаллофизики. // М.: Наука, 1979, 639 с.

28. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. // М.: Наука, 1979, 250 с.

29. Хельминг К. Метод геометрической аппроксимации для текстурного анализа горных пород. // Изв. РАН, Физика земли, 1993. N6, с. 73-79

30. Штрайтвольф Г. Теория групп в физике твердого тела. // М.: Мир, 1971, 262 с.

31. Юшкин Н.П. Механические свойства минералов. // JL: Наука, 1971, 283 с.

32. Эрдейи А. Асимптотические разложения. // М.: ФМГ, 1962, 127 с.

33. Bacroix В., Chauveau Th., Gargano P., Pochettino A.A. Some Comments about Texture Analysis: Comparison between Harmonic and Vector Methods. // Mat. Sci. Forum, 1994, vol. 157-162, pp. 301-308

34. Brokmeier H.-G. Texture Analysis by Neutron Diffraction // Mat. Sci. Forum, vol.157-162, 1994, pp.59-70

35. Bucharova T.I., Savyolova T.I. Application of Normal Distributions on 50(3) and Sn for Orientation Distribution Function Approximation. // Textures к Microstructures, 1993, vol. 21, pp. 161-176

36. Bucharova T.I., Ivanova T.M., Nikolayev D.I., Savyolova T.I. Approximation of Orientation Distribution of Grains in Polycrystalline Samples by Means of Gaus-sians. // Mat. Sei. Forum, 1994, vol. 157-162, pp. 323-326

37. Bukharova T.I. The Influence of Cristal Symmetry on the Determination of the Orientation of Isolated Texture Components from Pole Figures. // Textures & Microstructures, 1996, vol. 25, pp. 205-210

38. Bunge H.J. Statistical Crystallography of the Polycrystal. // Mat. Sei. Forum, vol.157-162, 1994, pp.13-30

39. Bunge H.J., Großterlinder R., Haase A., et al. Advanced Experimental Techniques in X-Ray Texture Analysis. // Mat. Sei. Forum, vol.157-162, 1994,

40. Bunge H.J. Physical Versus Mathematical Aspects in Texture Analysis. // Textures & Microstructures, 1996, vol. 25, pp.71-108

41. Bunge H.J., Esling C. Determination of the Odd Part of the Texture Function. // J. Phys. Lett., 1979, vol. 40, pp.627-628

42. Gervasyeva I.V., Sokolov B.K., Sbitnev A.K. On the Use of Polycrystal and Individual Orientation Texture Analysis Method for BCC Materials. // Textures & Microstructures, 1996, vol. 25, pp. 109-120

43. Dahms M. Series Expansion and Positivity. // Mat. Sei. Forum, vol.157-162, 1994, pp.341-348

44. Davidzhan E.A., Savelova T.I., Ivanova T.M. Calculation of Canonical Normal Distribution on the Group 50(3) and Their Application. // Int. Conf. C'M& CP, Dubna 1996, p.36-39

45. Dnieprenko V.N., Divinskii S.V. A New Approach to Describing Three- Dimensional Orientation Distribution Functions in Textured Materials, I. Formation of

46. Pole Density Distribution on Model Pole Figures. // Textures k Microstructures, 1993, vol. 22, pp.73-85

47. Dnieprenko V.N., Divinski S.V. Limited Fibre Components in Texture Analysis. // Mat. Sei. Forum, vol.157-162, 1994, pp. 1565-1570

48. Eschner T. Quantitative Texturanalyse durch Komponentenzerlegung von Beugungspolfiguren. // Braunschweig, 1995, 187 p.

49. Fundenberger J.J., Schaeben H. Variation Width, Modelling Assumptions and Interpretation of ODFs from Diifraction PDFs. // Mat. Sei. Forum, 1994, vol.157162, pp. 349-356

50. Helming K. Minimal Pole Figure Ranges for Quantitative Texture Analysis. // Textures k Microstructures, 1992, vol. 19, pp.9-27

51. Helming K., Matthies S., Vinel G.W. ODF Representation by Means of cr-sections. // ICOTOM 8, Santa Fe, 1988, pp. 55-60

52. Helming K., Schmidt D., Ullemeyer K. Preffered Orientations of MICA Bearing Rocks Described by Texture Components. // Textures k Microstructures, 1996, vol. 25, pp.211-221

53. Helming K. Texturapproximation durch Modellkomponenten. // Guvillier Verlag, Göttingen, 1996, 119 pp.

54. Ibe G. Orientation Representation on the 4 D Unit Sphere, the Analogon of the 3 - D Pole Sphere. // Mat.Sci. Forum, 1994, vol. 157-162, pp. 369-374

55. Imhof J. Texture Analysis by Iteration (I). // phys. stat. sol. (b), 1983, vol. 119, pp. 693-701

56. Imhof J. Texture Analysis by Iteration (II). // phys. stat. sol. (b), 1983, vol. 120, pp. 321-328

57. Matthies S., Vinel G.W. On the Reproduction of the Orientation Distribution Function of Texturized Samples from Redused Pole Figures using the Conception of Conditional Ghost Correction. // phys. stat. sol. (b), vol. 112, 1982, pp. Klll-K114

58. Matthies S., Helming S. General Consideration of the Loss of Information on the Orientation Distribution Function of Textured Samples in Pole Figure Measurements. // phys. stat. sol. (b), 1982, vol. 113, pp. 569-582

59. Matthies S., Wenk H.R., Vinel G.W. Some Basic Concepts of Texture Analysis and Comparison of 3 Methods to Calculate ODF from PF. //J. App. Cryst., 1988, vol. 21, pp. 285-304

60. Matthies S., Muller J., Vinel G.W. On the Normal Distribution in the Orienta-tional Space. // Textures k Microstructures, 1988, vol. 10, pp. 77-96

61. Matthies S., Helming K., Kunze K. On the Representation of Orientation Distribution in Texture Analysis by cr-Sections. I. General Properties of cr-Sections. // phys. stat. sol. (b), 1990, vol. 157, pp. 71-83

62. Matthies S., Helming K., Kunze K. On the Representation of Orientation Distribution in Texture Analysis by

63. Nikolayev D-I-, Savelova T.I., Feldmann K. Approximation of the Orientation Distribution of Grains in Poly crystalline Samples by Means of Gaussians. / / Textures k Microstructures, 1992, vol. 19, pp. 9-27

64. Nikolayev D.I., Savyolova T.I. Approximation of the ODF by Gaussians for Sharp Textures. // Mat. Sei. Forum, 1994 vol. 157-162, pp. 387-392

65. Nikolayev D.I., Schaeben H., Caracteristics of the Ultrahyperbolic Differential Equation Governing Pole Density Functions.// Preprint 98-2, TU Bergakademie, Freiberg

66. Nikolayev D.I., Savyolova T.I. Normal Distribution on the Rotation Group SO(3). // Textures & Microstructures, 1997, vol. 29, pp. 201-233

67. Parthasarathy K.P. The Central Limit Theorem for the Rotation Group. // Theory of probabilities and its application, 1964, N9, pp. 273-282

68. Pawlik K. The ODF Calculation from Pole Figures for Different Types of Crystal and Sample Symmetries. // Mat. Sei. Forum, 1994, vol. 157-162, pp. 401-406

69. Raabe D., Lücke K. Analysis of the ADC Method for Direct ODF Culculation by Use of Gauss Models and Standard Functions. // Mat. Sei. Forum, 1994, vol. 157-162, pp. 413-418

70. Roberts P.H., Winch D.E. On Random Rotations. // Adv. Appl. Prob., 1984, vol.16, pp. 638-655

71. Roe R.J. Discription of Crystallite orientation in Poly crystalline Materials. //J. Appl. Phys., 1965, vol. 36, pp. 2024-2031

72. Ruer D., Baro R. A New Method for the Determination of Texture of Materials of Cubic Structure from Incomplete Pole Figures. // Adv. X-Ray Anal., 1977, vol. 20, pp. 187-200

73. Savyolova T.I. Inverse Formulae for Orientation Distribution Function. // Mat. Sei. Forum, 1994, vol. 157-162, pp. 419-422

74. Savyolova T.I. Determination of Domains of Dependence through the Solution of an Ultrahyperbolic Differential Equation. // Textures к Microstructures, 1996, vol. 25, pp. 183-195

75. Savyolova T.I., Ivanova T.M. Calculation of Pole Figures for Canonical Distributions on the group 50(3). // Тез. конф. Обр. и некорр. пост, задачи, М.: МГУ, 1996.

76. Savyolova T.I., Davidzhan Е.А., Ivanova T.M. Optimal Calculation of Canonical Normal Distributions on the group 50(3). //Textures к Microstructures, 1998, vol. 31, pp. 254-258

77. Schaeben H. Entropy optimization in quantitative texture analysis. II. Application to pole-to- orientation density inversion. //J. App. Phys., 1991, vol. 69(3), pp. 1320-1329

78. Schaeben H. Numerical Determination of the Variation Width of Feasible ODFs. // Textures к Microstructures, 1993, vol.21, pp. 55-62

79. Schaeben H. Analogy and Dualty of Quantitative Texture Analysis by Harmonic or Indicator Functions. // Mat. Sci. Forum, 1994, vol. 157-162, pp. 423-430

80. Schaeben H. A Unified View of Methods to Resolve the Inverse Problem of Texture Goniometry. // Texture к Microstructure, 1996, vol. 25, pp. 171-181

81. Wagner F. The Use of the Positivity Method to approximate the complete ODF. // Textures к Microstructures, 1996, vol. 25, pp. 197-203

82. Wenk H.-R., Matthies S., Lutterotti L. Texture Analysis from Diffraction Spectra. // Mat. Sci. Forum, 1994, vol. 157-162, pp. 473-480

83. Zuo L., Muller J., Esling C. A Computer Program for Determining Volume Fractions of Texture Components in Cubic Materials. // Mat. Sci. Forum, 1994, vol. 157-162, pp. 493-499

84. Savyolova T.I., Davidzhan E.A., Ivanova T.M. Calculation of CND on the Rotation Group SO(3). // Int. Conf. Neutron Texture and Stress Analysis, Dubna, 1997.91. Рисунки

85. Графически функция распределения ориентаций представлена линиями уровня на диагональных сечениях в проекции равной площади. Значения ФРО вычислялись на сетке 5° х 5° х 5° в области

86. О ^ ф < 360°, 0 0 <: 90°, 0 < <т ^ 55°.