Вычисление эффективных диэлектрических и проводящих характеристик случайно-неоднородных текстурированных сред тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.07, кандидат физико-математических наук Лавров, Игорь Викторович

• Лавров, Игорь Викторович
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Лавров, Игорь Викторович

Список сокращений

ВВЕДЕНИЕ

1. ИССЛЕДОВАНИЕ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ И ПРОВОДЯЩИХ СВОЙСТВ НЕОДНОРОДНЫХ МАТЕРИАЛОВ (обзор). СВЕДЕНИЯ О ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ И НЕКОТОРЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯХ

1.1. Обзор литературы и краткое описание некоторых теорий

1.1.1. Краткий обзор теоретических исследований диэлектрических и проводящих свойств неоднородных материалов

1.1.2. Теория Бруггемана экстраполяции диэлектрической проницаемости неоднородной среды для произвольных концентраций компонентов

1.2. Приближение Максвелла-Гарнетта для исследования эффективных диэлектрических свойств неоднородной среды

1.2.1. Классическое приближение Максвелла-Гарнетта (МГ)

1.2.2. Новейшие исследования приближения МГ и его обобщение с учетом конечности размеров включений и многократного рассеяния. Применение приближения МГ к изучению оптических свойств-нанокомпозитов.

1.3. Обобщенный подход эффективной среды Д.Страуда. Метод самосогласованного решения

1.3.1. Постановка задачи и вывод интегрального уравнения

1.3.2. Получение решения задачи в приближении эффективной среды для материала, состоящего из эллипсоидальных кристаллитов

1.4. Элементы теории представлений группы 80(3)

1.4.1. Вращения, их интерпретация как преобразований пространства и как преобразований базиса. Элементарные сведения из линейной алгебры

1.4.2. Способы описания вращений

1.4.3. Операторы бесконечно малых поворотов

1.4.4. Инвариантное интегрирование по группе вращений

1.4.5. Понятие представления группы. Неприводимые представления (НПГ)

1.4.6. Прямая сумма представлений. Разложение унитарного представления в прямую сумму неприводимых представлений

1.4.7. Неприводимые представления группы Б0(3). Ортогональность матричных элементов неприводимых представлений

1.4.8. Разложение представлений группы SO(3) на неприводимые

1.4.9. Основные сферические функции (ОСФ) / -го порядка как канонический базис НПГ SO(3) веса

1.4.10. Матричные элементы НПГ SO(3). Обобщенные сферические функции (ОбСФ)

1.4.11. Преобразование ОСФ и компонент тензоров 1 -го и 2-го рангов при вращениях системы координат

1.4.12. Разложение функций на группе по матричным элементам НПГ

1.5. Некоторые специальные виды координат и распределений

1.5.1. Координаты Бельтрами точки единичной сферы и их связь со сферическими координатами

1.5.2. Модели слабо неравномерных распределений на сфере

1.5.3. Нормальные распределения на группе SO(3)

1.5.4. Некоторые интегралы и их приближения*

2. ДИЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ПРОНИЦАЕМОСТЬ КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ С ТЕКСТУРОЙ

2.1. Базовая задача: изотропная матрица и изотропные эллипсоидальные включения'одного вида. Вывод общего решения 58

2.1.1. Постановка задачи. Вывод основного уравнения

2.1.2. Вывод общего решения задачи для случая-однотипных кристаллитов

2.1.3. Вычисление компонент тензора ЭДЭП в лабораторной системе координат

2.2. Базовая задача: решение для частных случаев формы включений и распределения их ориентаций

2.2.1. Вид решения задачи в некоторых наиболее простых предельных случаях

2.2.2. Сфероидальные кристаллиты

2.2.3. Частные случаи формы сфероидальных кристаллитов

2.2.4. Кристаллиты в форме эллипсоидов общего вида - частные случаи распределения ориентаций

2.2.5. Результаты численных расчётов для конкретных видов композиционных материалов

2.3. Обобщение задачи на среду со случайной формой включений (в рамках эллипсоидальной)

2.3.1. Случай эллипсоидальных кристаллитов фиксированной формы, близкой к сферической

2.3.2. Форма эллипсоидальных кристаллитов является случайной величиной с малым отклонением от формы шара

2.4. Некоторые обобщения для случаев анизотропных включений, нескольких видов кристаллитов и сложных текстур

2.4.1. Случай анизотропных эллипсоидальных кристаллитов

2.4.2. Обобщение задачи на случай нескольких видов кристаллитов и сложных текстур

Выводы по главе

3. ПРОВОДИМОСТЬ ПОЛИКРИСТАЛЛИЧЕСКИХ МАТЕРИАЛОВ С ТЕКСТУРОЙ

3.1. Задача 1: Одноосные кристаллиты и аксиальная текстура. Постановка задачи и вывод системы уравнений для компонент тензора эффективной проводимости (ТЭП) в общем случае

3.1.1. Постановка задачи и метод решения <

3.1.2. Сведение задачи к системе двух трансцендентных уравнений для ненулевых компонент ТЭП

3.1.3. Решения задачи в некоторых наиболее простых предельных случаях

3.2. Задача 1: Аналитическое решение задачи в некоторых специальных случаях

3.2.1. Метод решения задачи в случае малых компонент тензора ад^а - ае)

3.2.2. Случай слабо анизотропных кристаллитов

3.2.3. Распределение ориентаций кристаллитов имеет малый разброс

3.2.4. Случай слабой макроскопической анизотропии среды

3.2.5. Компоненты ТЭП в лабораторной системе координат

3.2.6. Примеры численного моделирования для конкретных видов поликристаллических сред

3.3. Задача 2: Двуосные кристаллиты и аксиальная текстура. Постановка задачи и аналитическое решение в двух специальных случаях

3.3.1. Постановка задачи и метод решения

3.3.2. Вычисление компонент тензора проводимости кристаллита в системе текстуры и вывод некоторых вспомогательных соотношений

3.3.3. Аналитическое решение в случае слабо анизотропных кристалитов

3.3.4. Вычисление ТЭП при отсутствии разброса в ориентациях осей С, кристаллитов

3.3.5. Решение задачи в случае малого разброса в ориентациях осей £ при условии, что |а2 -1| «

Выводы по главе

ВЫВОДЫ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Вычисление эффективных диэлектрических и проводящих характеристик случайно-неоднородных текстурированных сред»

Неоднородные материалы, в том числе поликристаллы, стёкла различной природы и дисперсные системы, композиты и нанокомпозиты, используются во многих областях человеческой жизнедеятельности. В частности, в микро- и наноэлектронике широчайшее применение находят пористые структуры на кремнии и углероде, а также тонкие поликристаллические и композитные пленки различного функционального назначения. При стремительном уменьшении размеров элементов интегральных схем появляются новые специфические требования к свойствам таких материалов, например, высокая диэлектрическая проницаемость у диэлектрика в затворе и, наоборот, низкая у подложки в интегральных схемах. Также возрастают требования к обеспечению точности воспроизводимости их характеристик, поэтому изучению упругих, оптических, электрических, теплопроводящих и других свойств неоднородных материалов.уделяется большое внимание [19,53,72,74, 75]. Задачи теоретического исследования физических свойств неоднородных сред, например, эффективных диэлектрической проницаемости и проводимости, относятся к числу классических, поскольку многими исследователями, еще начиная с конца 19 века, предлагались свои варианты решения этих задач. И все же, несмотря на обилие работ по данной тематике и разнообразие моделей неоднородных сред, ощущается недостаток теорий, в которых рассматриваются системы с частично упорядоченными ориентациями их составляющих.

Между тем, исследования показывают [4,11,35,36,50,54,87,165,166], что многие реальные материалы являются текстурироваными, т.е. ориентации текстуры формы и кристаллографической текстуры их составляющих распределены по некоторому вероятностному закону. В связи с этим представляется актуальным построение теорий, позволяющих получать аналитические выражения для объяснения физических свойств случайно-неоднородных сред с текстурой.

Среди наиболее известных аналитических подходов, применяемых для исследования эффективных характеристик случайно-неоднородных сред приближения Максвелла-Гарнетта [137] и эффективной среды [97,158]. Приближение Максвелла-Гарнетта используется обычно для сред, состоящих из непрерывной фазы - матрицы, в которую погружены не соприкасающиеся друг с другом частицы других фаз. К достоинствам его следует отнести то, что оно позволяет, в отличие от подхода эффективной среды, верно предсказать наличие оптических аномалий (например, пиков поглощения) в системах, состоящих из изолятора и проводника [51,89,155]. Также несомненным преимуществом приближения Максвелла-Гарнетта является возможность получить во многих, достаточно общих, случаях искомое выражение для эффективной константы среды в явном виде. Недостатком его, как считалось до недавнего времени, является сравнительно невысокая объёмная доля включений, при которых приближение Максвелла-Гарнетта может давать результат с достаточной степенью точности, однако недавние исследования [157] показывают, что верхний порог доли включений для некоторых сред оказывается равным «0,3, т.е. для многих реальных композитов применение приближения Максвелла-Гарнетта вполне оправдано.

Подход эффективной среды может быть применён для вычисления эффективных характеристик как композитов с высокой долей включений, так и поликристаллических сред, но при этом вычислительная сложность указанного метода значительно выше, чем у приближения Максвелла-Гарнетта. Например, если среда в целом получается анизотропной, подход эффективной среды приводит к тензорному уравнению, включающему операцию усреднения обратной матрицы, поэтому получение его аналитического решения в явном виде (в некотором приближении) возможно только в специальных случаях при значительных ограничениях на область изменения параметров, характеризующих составляющие неоднородной среды, их объемные доли и статистическое распределение ориентации в пространстве. Тем не менее, важность аналитических решений, полученных для таких специальных случаев (например, при слабо анизотропных кристаллитах, при малых отклонениях одной из осей кристаллитов от оси текстуры или при слабой макроскопической анизотропии среды) несомненна, поскольку они позволяют качественно исследовать зависимость эффективных характеристик случайнонеоднородной среды от параметров её составляющих.

Изучение влияния ориентации составляющих случайно-неоднородной среды на её эффективные свойства без привлечения специальных методов является сложной вычислительной задачей даже для таких сравнительно простых включений, как эллипсоиды вращения из изотропного материала, или шары с одноосным тензором физического свойства [137]. Но если включение является изотропным эллипсоидом общего вида или шаром с трёхосным тензором физического свойства, для задания его ориентации требуются три скалярных параметра (например, углы Эйлера), поэтому видится необходимым использование в данном случае теории представлений группы вращений 80(3) [14,18], нашедшей широкое применение в теории вращательных стохастических процессов [12,26,28-30], а также, при исследовании текстур материалов [9,56,64,65,101,102,152,154]. Дополнительное преимущество использования теории гфедставленийгруппь1 БО(3) состоит в том, что в выражении для решения при произвольном распределен™ ориентаций включений участвуют обобщенные сферические функции, а плотность распределения ориентаций часто записывают в виде ряда по обобщенным сферическим функциям [9, 11], что позволяет упростить аналитические выражения.

В ряде случаев текстуру случайно-неоднородной среды можно считать аксиальной, например, если формирование материала происходит под влиянием внешнего однородного поля, в частности, при напылении плёнок [72]. В случае произвольной текстуры соответствующее ей распределение ориента-ций составляющих среды аппроксимируют суперпозицией канонических нормальных распределений на ЭО(3) [9,64,154], поэтому представляется актуальной возможность обобщения решения на среды со сложными текстурами, т.е. с распределением ориентации составляющих, являющимся суперпозицией нескольких модельных распределений.

Поскольку в реальных случайно-неоднородных средах форма включений так же, как и ориентация, является случайной, необходимы модели, учитывающие эту случайность. В силу чрезвычайной сложности задачи для произвольной формы включений, на первых этапах несомненную пользу могут принести модели, в которых форма включений является случайной величиной в рамках эллипсоидальной с малым разбросом вокруг некоторой усредненной формы.

Цель работы

1. а) Разработать метод решения задачи о нахождении компонент тензора эффективной диэлектрической проницаемости текстурированного композиционного материала как функций компонент тензоров диэлектрической проницаемости изотропной матрицы и эллипсоидальных анизотропных включений, формы и объемной доли включений, а также параметров распределения ориентаций включений. б) Обобщить метод решения данной задачи на композиты со случайной эллипсоидальной формой включений с малым отклонением от сферической-формы. в) Обобщить метод решения задачи на материалы со сложными-текстурами, в которых распределение ориентаций включений является суперпозицией нескольких модельных распределений.

2. а) Разработать метод решения-задачи о нахождении компонент тензора эффективной проводимости текстурированной поликристаллической среды как функций компонент тензоров проводимости кристаллитов, а также параметров распределения ориентаций их кристаллографических осей. б) Получить в явном виде аналитическое решение задачи (в некотором приближении) для специальных случаев распределения ориентаций кристаллитов или значений компонент тензоров проводимости кристаллитов.

Научная новизна работы

- Приближение Максвелла-Гарнетта обобщается для аналитического решения задачи о нахождении тензора эффективной диэлектрической проницаемости случайно-неоднородной среды с включениями эллипсоидальной формы, ориентации которых распределены по вероятностному закону, предполагающему наличие текстуры.

- Для преодоления вычислительной сложности учёта ориентаций включений используется теория представлений группы 80(3) - метод разложения симметричного тензорного представления 2-го ранга в прямую сумму неприводимых представлений весов 0 и 2.

- Приближение эффективной среды обобщается для решения задачи' о нахождении тензора эффективной проводимости поликристаллической среды, состоящей из кристаллитов, ориентированных в пространстве по вероятностному закону, предполагающему наличие аксиальной текстуры. В случае двуосных кристаллитов применяется теория представлений группы 80(3).

Достоверность полученных результатов .,

Построенные теории в асимптотических случаях согласуются с разра-, ботанными ранее соответствующими теориями; полученные аналитические решения, в рамках своей применимости дают результаты, совпадающие с численными расчётами для более общей модели.

Практическая и научная значимость работы

- Построенные в настоящей работе модели- случайно-неоднородных сред с текстурой-и разработанные методы расчёта тензоров их эффективной' диэлектрической проницаемости и эффективной проводимости представляют собой аппарат для прогнозирования эффективных диэлектрических и проводящих свойств текстурированных композитов и поликристаллов в зависимости от распределения ориентаций и формы их составляющих, что может быть, использовано в микро-: и наноэлектронике при конструировании материалов с желаемыми физическими характеристиками.

- Поскольку при условии линейности неоднородной среды уравнения, описывающие процессы взаимодействия электрического или магнитного полей с макроскопической средой, а также распространения электрического тока или тепла в веществе, имеют один и тот же вид [66], то полученные результаты могут быть перенесены для исследования эффективных магнитных и теплопроводящих свойств случайно-неоднородных сред с текстурой.

- Полученные в работе выражения для компонент тензоров эффективной диэлектрической проницаемости неоднородных текстурированных материалов могут быть использованы для прогнозирования оптических свойств таких материалов в инфракрасном диапазоне, например, спектров поглощения, отражения и пропускания тонких плёнок.

- Результаты данной работы могут послужить отправным пунктом для создания теорий более сложных моделей случайно-неоднородных текстури-рованных сред с учётом нелинейностей, конечного размера включений, более общей их формы и ориентации тензора их физического свойства внутри включения.

- Полученные результаты могут быть применены для оценки параметров распределения ориентации составляющих случайно-неоднородных сред, т.е. величины разброса или степени макроскопической анизотропии, что в перспективе может быть использовано для создания дешёвых тензодатчиков.

Основные научные положения, выносимые на защиту

- Метод вычисления тензора эффективной диэлектрической проницаемости композиционного материала с текстурой, состоящего из однородной^ изотропной матрицы и погружённых в неё эллипсоидальных анизотропных включений, основанный на приближении Максвелла-Гарнетга и использующий теорию представлений группы 80(3).

- Метод вычисления тензора эффективной диэлектрической проницаемости-композита со случайной эллипсоидальной формой включений с малым отклонением от сферической формы.

- Метод вычисления тензора эффективной диэлектрической проницаемости композиционного материала со сложной текстурой, в котором распределение ориентации включений является суперпозицией нескольких модельных распределений.

- Метод вычисления тензора эффективной проводимости поликристаллического материала с текстурой, основанный на приближении эффективной среды и использующий теорию представлений группы 80(3) (для среды, состоящей их двуосных кристаллитов).

- Аналитические решения задачи о нахождении тензора эффективной проводимости поликристалла с текстурой для следующих случаев: при слабо анизотропных кристаллитах; при малых отклонениях одной из осей кристаллитов от оси текстуры; при слабой макроскопической анизотропии среды.

Апробация и публикации

Основные результаты диссертационной работы были представлены на:

- IX Международной конференции «Опто-, наноэлектроника, нанотех-нологии и микросистемы» (Ульяновск, 2007);

V, VII Международных конференциях «Исследование, разработка и применение высоких технологий в промышленности» (Санкт-Петербург, 2008, 2009).

Основные результаты диссертации опубликованы в [31, 33, 39-44, 76, 135], в том числе 5-ти статьях [33, 42-44, 135] из списка рекомендованных ВАК журналов для публикации основных результатов диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук.

Личный вклад автора

Автором настоящей работы самостоятельно получены все результаты глав 2 и 3, за исключением пунктов 2.1.1, 3.1.1.

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, трёх глав, выводов, списка литературы и девяти приложений. Работа содержит 167 страниц, 34 рисунка, 3 таблицы, список литературы из 171 наименования.

Заключение диссертации по теме «Физика конденсированного состояния», Лавров, Игорь Викторович

выводы

1. Разработан метод вычисления тензора эффективной диэлектрической проницаемости композиционных материалов, состоящих из однородной изотропной матрицы и погружённых в неё эллипсоидальных анизотропных кристаллитов, ориентированных в пространстве по некоторому вероятностному закону, предполагающему наличие текстуры. Данный метод основан на приближении Максвелла-Гарнетта и использует теорию представлений группы 80(3).

2. Получена аналитическая зависимость тензора эффективной диэлектрической проницаемости композита с текстурой от диэлектрических проницае-мостей матрицы и включений, от размеров полуосей эллипсоидальных включений* от объёмной доли включений; от плотности распределения ориентации включений. Решение данной задачи найдено в предположении, что главные оси тензора диэлектрической проницаемости каждого включения совпадают с его главными геометрическими осями.

3. Разработан метод вычисления тензора эффективной диэлектрической проницаемости текстурированных композитов со случайной эллипсоидальной формой включений с малым отклонением от сферической формы.

4. Разработан метод вычисления, тензора эффективной диэлектрической проницаемости композитов со сложной текстурой, при которой распределение ориентаций включений является суперпозицией нескольких стандартных распределений ориентаций, соответствующих модельным текстурам; рассмотрены случаи суперпозиции двух и трех распределений с аксиальной симметрией относительно взаимно перпендикулярных осей.

5. Разработан метод вычисления тензора эффективной проводимости поликристаллической среды с осевой текстурой, состоящей из одноосных или двуосных сферических кристаллитов одного вида. Метод основан на приближении эффективной среды; при учёте ориентаций двуосных кристаллитов используется теория представлений группы 80(3).

6. Получены аналитические решения задачи о нахождении тензора эффективной проводимости поликристаллической среды с осевой текстурой как функции компонент тензоров проводимости кристаллитов и параметров распределения ориентации их кристаллографических осей для случаев: слабо анизотропных кристаллитов; при малом разбросе в ориентациях осей кристаллитов. Для среды, состоящей из одноосных кристаллитов, получено также решение при слабой макроскопической анизотропии среды.

В заключение выражаю глубокую благодарность своему научному руководителю, к сожалению, безвременно ушедшему Иванову Евгению Николаевичу, без творческих идей и поддержки которого настоящая работа была бы невозможна.

Я искренне признателен заведующему кафедрой «Высшая математика -2» МИЭТ к.ф.-м.н., доценту Кальнею С.Г., декану вечернего факультета д.ф.-м.н., профессору Яковлеву В.Б. и д.ф.-м.н., профессору кафедры «Высшая математика -2» Бардушкину В.В. за помощь в подготовке диссертации, ценные советы и замечания.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Лавров, Игорь Викторович, 2010 год

1. Александров П. С Курс аналитической геометрии и линейной алгебры - М. : Наука.-1979.-512 с.

2. Балагуров Б.Я. О проводимости неоднородных сред с малой концентрацией включений //- ЖЭТФ. 1985. - Т.89, Вып. 5. - С. 1796-1809.

3. Балагуров Б.Я. Соотношения взаимности в двумерной теории протекания // -ЖЭТФ. 1981. - Т.81, Вып. 2. - С. 665-671.

4. БезиковичЯ.С. Приближённые вычисления. JI.-M.: ГИТТЛ. - 1941. - 290 с.

5. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. М. : ГИФМЛ, 1962, Т.2, 640с

6. Бореи К., Хафмен Д. Поглощение и рассеяние света малыми частицами. — М'.: Мир, 1986.-660 с.

7. Борисенко А.И., Таранов И.Е, Векторный анализ и начала тензорного исчисления. М.: Высшая школа. - 1966. - 252 с.

8. Боровков М.В., Савёлова Т.И. Нормальные распределения на SO(3). M.:1. МИФИ.-2002.-96 с.

9. Бредов М.М., Румянцев В.В., Топтыгин H.H. Классическая электродинамика. -М.: Наука. 1985.-400 с.

10. И. Буриличев Д.Е. Текстура и упругая анизотропия оливиносодержащих мантийных пород при высоких всесторонних давлениях. / Диссертация на соискание ученой степени к.ф.-м.н. Дубна. - 2002. - 143 с.

11. Валиев К.А., Эскин Л.Д. О вращательной диффузии молекул и рассеянии света в жидкостях // Оптика и спектроскопия. — 1962. Т.ХП, Вып.6. - С.758-764.

12. Варшалович ДАМоскалев А.Н., Херсонский В.К. Квантовая теория углового момента. — Л.: Наука. 1975. —439 с.

13. Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представлений групп. М.: Наука. - 1965.-588 с.

14. Виноградов А.П., Дорофеенко A.B., Зухди С. К вопросу об эффективных параметрах метаматериалов // УФН. 2008. - Т. 178, №5. - С. 511-518.

15. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. М: ГИТТЛ, 1956, 784с.

16. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. М.: Наука. - 1966. - 280с.

17. Гельфанд И.М., Минлос P.A., Шапиро З.Я. Представления группы вращений и группы Лоренца. М.: ГИФМЛ - 1958. - 294 с.

18. Головань Л.А., Тимошенко В.Ю., Кашкарое П.К. Оптические свойства наноком-позитов на основе пористых систем // УФН. 2007. - Т. 177, №6. - С.619-638.

19. Градштейн И.С., Рыжик ИМ. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: ГИФМЛ. - 1962. - 1100 с.

20. Давыдов A.C. Квантовая механика. — М.: Наука. 1973. - 704 с.

21. Джексон Дж. Классическая электродинамика. М.: Мир. - 1965. - 703 с.

22. ДубновЯ.С. Основы векторного исчисления. М.: ГИТТЛ, 1952. - Т.2. -416 с.

23. ДыхнеА.М. Проводимость двумерной двухфазной системы //ЖЭТФ. 1970. -Т. 59, Вып.1.-С. 110-115:

24. Заттдорога O.A., Самойлов В.Н., Проценко И.Е. Проблема получения высокого показателя преломления и оптические свойства гетерогенных сред // Физика элементарных частиц и атомного ядра. 2002. - Т. 33, №1. - С. 99-157.

25. Иванов E.H. Теория вращательного броуновского движения // ЖЭТФ. 1963. -Т.45.-С. 1509-1517.

26. Иванов E.H. Теория групп и ее применение в физике. М.: МИЭТ. - 2006. - 160 с.

27. Иванов Е.Н, Валиев К.А. Вращательное броуновское движение // УФН. 1973. -Т. 109, Вып. 1.-С.31-64.

28. Иванов E.H., Лавров ИВ. Еще о проблеме случайных блужданий // Обор, комплекс -науч.-техн. прогрессу России-М.: ФГУП ВИМИ,-2007.-№3.-С. 101-105.

29. Иванов E.H., Лавров ИВ. К теории стохастических процессов в конденсированных средах. // Обор, комплекс науч.-техн. прогрессу России -М.: ФГУП ВИМИ. - 2007. - №1. - С. 60-68.

30. Иванов E.H., Лавров ИВ. Об одном методе вычисления тензора эффективной диэлектрической проницаемости композиционных материалов с текстурой// Опто-, наноэлектр., нанотехнол. и микросистемы: Тр. IX междунар. конф. -Ульяновск: УлГУ. 2007. - С. 20.

31. Иванов E.H., Лавров ИВ. О новом подходе в теории стохастических процессов в конденсированных средах. // «Хаос и структуры в нелинейных системах. Теория и эксперимент»: Мат-лы 5-й междунар. Науч. конф. — Астана- Изд-во ЕНУ 2006. - Часть 1. - С. 95-96.

32. Иванов E.H., Лавров ИВ. Теория диэлектрической проницаемости композиционных материалов с текстурой. Часть 1 // Обор, комплекс — науч.-техн. прогрессу России М.: ФГУП ВИМИ. - 2007. - №1. - С. 73-78.

33. Каган В.Ф. Основы теории поверхностей. М. - Л.: ОГИЗ, Гостехиздат, 1947. -Т.1-512 с.

34. Колесников В.И., Чекасина И.И., Бардушкин В.В., Сычёв А.П., Яковлев В.Б. Энергетический подход при моделировании формирования текстуры в поликристаллах под влиянием внешних напряжений. // Вестник Южного научного центра РАН. 2008. - Т. 4, № 3. - С. 3-8.

35. Коренев Г.В. Тензорное исчисление М.: МФТИ. - 1996. - 240 с.,

36. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа-М.: Высш. школа, 1981. — Т. 1,2.-687 е., 584 с.

37. Лавров И.В. Диэлектрическая проницаемость композиционных материалов с текстурой: эллипсоидальные анизотропные кристаллиты // Экол. вестник науч. центров Черномор, экон. сотрудн-ва (ЧЭС). 2009. - №1. — С. - 52-58.

38. Лавров И.В. Теория электропроводности неоднородных материалов с текстурой // Изв. вузов. Электроника. 2008. - №1. - С. 3-9.

39. Лавров И.В. Эффективная проводимость поликристаллической среды. Одноосная текстура и двуосные кристаллиты // Изв. вузов. Электроника. 2010. - №3. -С. 3-12.

40. Ландау Л.Д., Лифшщ Е.М. Теоретическая физика. Т.З. Квантовая механика (нерелятивистская теория). - М.: Наука, 1989. - 768 с.

41. Ландау Л.Д., Лифшщ Е.М. Теоретическая физика. Т.8. Электродинамика сплошных сред. - М.: Наука, 1992. - 664 с.

42. Лойцянский Л.Г., Лурье А.И. Курс теоретической механики: T.I. Статика и кинематика. М.: Наука. — 1982. - 352 с.

43. Лурье А.И. Аналитическая механика М.: ГИФМЛ. - 1961. - 824 с.

44. Любарский Г.Я. Теория групп и ее применение в физике. М.: Гостехиздат. — 1957.-354 с.

45. Максимов С.К., Максимов К.С. Проблемы текстурированности в нанотехноло-гии. Контроль текстур // Изв. вузов. Электроника. 2008. - №1. - С: 49-55.

46. Моисеев С.Г. Оптические свойства композитной среды Максвелла-Гарнета с серебряными включениями несферической формы // Изв. вузов. Физика. -2009:-№11.-С. 7-12.

47. Моисеев С.Г., Пашинина Е.А., Сухов C.B. К проблеме прозрачности металлоди-электрических композитных сред с диссипативнымии усиливающими компонентами // Квантовая электроника. 2007. - Т.37, №5. - С. 446-452.

48. Нанотехнологии в электронике. / Под ред. Чаплыгина Ю.А. М. «Техносфера», 2005.-448 с.

49. Никитин А.Н., Иванкина Т.И., Буриличев Д.Е., Клима К., ЛокаичекТ., ПросЗ. Анизотропия и текстура оливиносодержащих мантийных пород при высоких давлениях. Изв. РАН, Физика Земли, 2001. -№ 1. -С. 64-78.

50. Никифоров А. Ф., Уваров В.Б. Специальные функции математической физики. ~ М.: Наука. 1984. - 344 с.

51. Николаев Д.И., Савёлова Т.И. Об аппроксимации решения одной обратной задачи дифракции б -функциями и гауссовскими распределениями // ЖВМ и МФ. 1987. - №5. - С. 88-91.

52. Оделевский В.И. Расчет обобщенной проводимости гетерогенных систем. I. Матричные двухфазные системы с невытянутыми включениями // ЖТФ. -1951. Т. 21, Вып. 6. - С. 667-677.

53. Оделевский В.И. Расчет обобщенной проводимости гетерогенных систем. П. Статистические смеси невытянутых частиц //ЖТФ.- 1951.-Т.21, Вып. 6. С. 678-685.

54. Ораевский А.Н., Проценко И.Е. Оптические свойства гетерогенных сред // Квантовая электроника. 2001. - Т.31, №3. -С. 252-256.

55. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. М.: Наука, 1981, 800с.

56. Пугачёв B.C. Введение в теорию вероятностей. М.: Наука. - 1968. - 368 с.

57. Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики. М.: Мир. -2005.-Т. 2.-381 с.

58. Розанов ЮА. Случайные процессы: Краткий курс. М.: Наука - 1979. - 184с.

59. Савёлова Т.Н. Функции распределения зерен по ориентациям в поликристаллах и их гауссовские приближения // Завод, лабор-я. 1984. - Т. 50, N. 4. - С. 48-52.

60. Савёлова Т.И., Бухарова Т.Н. Представления группы SU(2) и их применение. Учебное пособие М:: МИФИ. - 1996. - 114 с.

61. Сиротин Ю.И., Шасколъская М.П. Основы кристаллофизики. -М.: Наука. -1975.-640 с.

62. Снарский A.A. Знал ли Максвелл о пороге протекания? // УФН. 2007. - Т. 177, №12.-С. 1341-1344.

63. Справочник по теории вероятностей и математической статистике / Под ред. В.С.Королюка:- Киев: Наукова думка. — 1978. 584с.

64. СтрэттонДж. Теория электромагнетизма. М.-Л.: ГИТТЛ. - 1948. - 539с.

65. Сухое С.В: Нанокомпозитный материал с единичным показателем преломления // Квантовая электроника. 2005. - Т. 35, №8. - С. 741-744.

66. Тамм И.Е. Основы теории электричества. — М.: Наука. 1989. - 504 с.

67. Технология тонких пленок (справочник)/ Под ред. Л. Майссела, РТлэнга. Т.2.- М: «Сов. радио». 1977. - 768 с.73.- Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. — М.: Наука.- 1966.-724 с.

68. Физика композиционных материалов / Под ред. H.H. Трофимова. Т. 1. - М.: Мир, 2005, 456 с.

69. Физика композиционных материалов / Под ред. Н.Н.Трофимова. — Т.2. М.: Мир, 2005, 344 с.

70. Физико-механические характеристики однородных и неоднородных конденсированных сред / Яковлев В.Б., Иванов E.H., Бардушкин В.В., Лавров И.В.,Сшибин М.В., Чекасина И.И., Кузнецов М.В.,Булахова ИВ. // Отчёт о НИР.- М.: МИЭТ, 2007. 123 с.

71. Физические величины. Справочник / Под ред. И.С. Григорьева, Е.З.Мейлихова. М.: Энергоатомиздат, 1991. - 1232 с.

72. Финкелъберг В.М. Диэлектрическая проницаемость смесей // ЖТФ. 1964. - Т. 34, Вып. З.-С. 509-518.

73. Фокин AT. Диэлектрическая проницаемость смесей //ЖТФ. 1971. - Т. 41, Вып. 6.-С. 1073-1079.

74. Фокин А.Г. Макроскопическая проводимость случайно-неоднородных сред. Методы расчета // УФН. 1996. - Т. 166. №10.- С. 1069-1093.

75. Фокин А.Г. О границах для эффективной диэлектрической проницаемости неоднородных материалов // ЖТФ; 1973. - Т. 43, Вып. 1. - С. 71-77.

76. Фокин А.Г. О расчете средней интенсивности скалярных волн в случайно-неоднородной среде //ЖЭТФ. 1995. -Т. 107, Вып. 4. - С. 1122-1134.9

77. Фокин А.Г. Скалярные волны в неоднородной среде: учет пространственной дисперсии в приближении парных взаимодействий // ЖЭТФ. 1992. - Т. 101, Вып. 1.-С. 67-79.

78. Фокин А.Г. Статистические свойства неоднородных твердых сред. Центральные моментные функции материальных характеристик // ПММ. -1978. Т. 42, Вып.З. - С. 546-554.

79. Фокин А.Г. Эквивалентность методов расчета эффективной диэлектрической проницаемости неоднородных сред // ЖТФ. 1977. - Т. 47, №6. - С. 1121-1126.

80. Хамермеш М. Теория групп и ее применение к физическим проблемам М.: Едиториал УРСС - 2002. - 588 с.

81. Шкловский Б.И., Эфрос A.JI. Теория протекания и проводимость сильно неоднородных сред // УФН. 1975. - Т. 117. № 3. - С. 401-435.

82. Abeles В., Gittleman J. I. Composite material films: optical properties and applications // Appl. Opt. 1976.- V. 15,1. 10, P. 2328-2332.

83. Agranovich V.M., Shen Y.R., Baughman R.H., Zakhidov A.A. Linear and nonlinear wave propagation in negative refraction metamaterials // Phys. Rev. B. 2004. - V. 69.-P.165112-1-165112-7.

84. Barabash S. V., Stroud D. Negative magnetoresistance produced by Hall fluctuations in a ferromagnetic domain structure // Appl. Phys. Letters. 2001. - V. 79, N 7. - P.979-981.

85. BarreraR.G., Villasenor-Gonzalez P., Mochan W.L., Monsivais G. Effective dielectric response of polydispersed composites // Phys. Rev. B. 1990. - V. 41. - P. 7370-7376.

86. Bergman D.J. Bounds for the complex dielectric constant of a two-component composite material //Phys. Rev. B. 1981. - V. 23. - P. 3058-3065.

87. Bergman D.J. Exactly Solvable Microscopic Geometries and Rigorous Bounds for the Complex Dielectric Constant of a Two-Component Composite Material II Phys. Rev. Lett. 1980. - V. 44. - P. 1285-1287.

88. Bergman DJ. Rigorous bounds for the complex dielectric constant of a two-component composite // Ann. Phys. 1982. - V. 138 N 1. - P. 78-114.

89. Bergman D.J. The dielectric constant of a composite material—A problem in classical physics // Phys. Rep. 1978. - V 43, N 9. - P. 377-407.

90. Bergman D. The self-consistent effective medium approximation (SEMA): New tricks from»an old dog // Physica B. 2007. - V. 394. - P. 344-350.

91. Bergman D.J., StroudD. High-field magnetotransport in composite conductors: Effective-medium approximation//Phys. Rev. B. -2000,-V. 62, N 10. P. 6603-6613.

92. Böttcher C.J.F., Bordewijk P. Theory of electric polarization. -Amsterdam. -Oxford. New York: Elsevier Scientific Publishing Company, 1978. - V. 2. - 562 p.

93. Bruggeman D.A.G. Berechnung verschiedener physikalisher Konstanten von heterogenen Substanzen //Ann. Phys. Lpz. - 1935. - B. 24. - S.636-679.

94. Bunge HJ. Texture analysis in material science. London: Butterworths. - 1982. -593 p.

95. Bunge HJ., Siegesmund S., Skrotzki W. Textures of geological materials. -Informationsgesellschaft. Verlag. 1994.-400 p.

96. Carmona F., ElAmartiA. Anisotropie electrical conductivity in heterogeneous solids with cylindrical conducting inclusions // Phys. Rev. B. 1987. - V. 35. - P. 3284-3290.

97. Claro F., Rojas R. Correlation and multipolar effects in the dielectric response of particulate matter: An iterative mean-field theory // Phys. Rev. B. 1991. - V. 43. -P. 6369-6375.

98. Datta S., Chan C. T., Ho K. M., Soukoulis C. M. Effective dielectric constant of periodic composite structures // Phys. Rev. B. 1993. - V. 48. - P. 14936-14943.

99. Day A.R., McGurn A.R., Bergman DJ., Thorpe M.F. Spectral representation of the electrical proporties of layered materials // Physica B. 2003. - V. 338. - P. 24-30.

100. Dias-Guilera A., Tremblay A.-M. S. Random mixtures with orientational order, and the anisotropic resistivity tensor of high-Tc superconductors // J. Appl. Phys. -1991. -V. 69, N 1. -P.379-383.

101. Djordjevic B.R., Hetherington J.H., Thorpe M.F. Spectral function for a conducting sheet containing circular inclusions I I Phys. Rev. B. 1996. - V. 53, N. 22. - P. 14862-14871.

102. Doyle W.T. Optical properties of a suspension of metal spheres I I Phys. Rev. B. 1989. - V. 39. - P. 9852-9858.

103. Draine B. T. The discrete-dipole approximation and its application to interstellar graphite grains // Astroph. J. 1988. -V. 333, N. 2. - P. 848-872.

104. Fokin A. G. Macroscopical dielectric permittivities of nonhomogeneous media // Phys. Status Solidi. 1983. - V. 119, N 2. - P: 741-754.

105. Foldy L. The multiple scattering of waves // Phys. Rev. 1945. - V. 67. - P. 107119.

106. Fricke H. A mathematical treatment of the electric conductivity and capacity of disperse systems I. The electric conductivity of a suspension of homogeneous spheroids // Phys. Rev. 1924. - V. 24, P. 575 - 587.

107. Genchev ZD. Anisotropic electrical conductivity tensor of granular high- Tc superconductors in an effective-medium.theory// Supercond. Sci. Technol. 1993. -V. 6.-P. 532-536.

108. Golden K., Papanicolaou G. Bounds for effective parameters of heterogeneous media by analytic continuation. // Commun. Math. Phys. 1983. - V. 90. - P. 473-491.

109. Guerin C.-A., Mallet P., SentenacA. Effective-medium theory for finite-size aggregates // J. Opt. Soc. Am. A. 2006. - V. 23, N. 2. - P. 349-358.

110. Harter T., Knudby C. Effective conductivity of periodic media with cuboid inclusions // Adv. Water Resources. 2004. - V. 27. - P. 1017-1032.

111. Hashin Z., Shtrikman S. A variational approach to the theory of the effective magnetic permeability of multiphase materials // J. Appl. Phys. 1962. - V. 33, N 10. -P. 3125-3131.

112. Hashin Z„ Shtrikman S. Conductivity of polycrystals // Phys. Rev. 1963. -V.130-P. 129-133.

113. Helsing J., Helte A. Effective conductivity of aggregates of anisotropic grains // J. Appl. Phys. 1991. - VoI.'69, N 6. - P.3583-3588.

114. Herring C. Effect of Random Inhomogeneities on Electrical and Galvanomagnetic Measurements //J. Appl. Phys. 1960. - Vol. 31. - P. 1939-1953.

115. Hui P.M., Stroud D. Effective linear and nonlinear response of fractal clusters // Phys. Rev. B.- 1994.-Vol.49,N 17.-P. 11729-11735.

116. Hui P.M., Stroud D. Theory of second harmonic generation in composites ofnonlinear dielectrics // J. Appl. Phys. 1997. - Vol. 82, N-10. - P. 4740-4743.t

117. Hui P.M., Xu C., StroudD. Dimensional crossover in the effective second-harmonic generation of films of random dielectrics // Phys. Rev. B. 2004. - Vol.69. -P. 014202-1-014202-5.

118. Hui P.M., ZhangX., Markworth A.J., Stroud D. Thermal conductivity of graded composites: Numerical simulations and an effective medium approximation // J. of Material Science. 1999. - Vol. 34. - P. 5497-5503.

119. Jones R.C. A Generalization of the Dielectric Ellipsoid Problem // Phys. Rev. -1945. Vol.68, N 3,4. - P.93-96.

120. Keller J.B. Conductivity of a medium containing a dense array of perfectly conducting spheres or cylinders or nonconducting cylinders // J. Appl. Phys. 1963. -Vol. 94. P. 991-993i

121. Keller J.B. A Theorem on the Conductivity of a Composite Medium // J. Math.

122. Phys. 1964. - Vol. 5. P. 548-549.

123. KirkpatrickS. Percolation and Conduction // Rev. Mod. Phys. 1973. - Vol. 45. -P. 574-588.

124. Kolokolova L., Gustafson V.A. Scattering by inhomogeneous particles: microwave analog experiments and comparison to effective medium theories // J. Quant. Spec-trosc. Radiat. Transf. 2001. - Vol.- 70. - P. 611- 625.

125. Lakhtakia A. Size-dependent Maxwell-Garnett formula from an integral equation formalism // Optik (Stuttgart) 1992. - Vol. 91. - P. 134-137.

126. Landauer R. The Electrical Resistance of Binary Metallic Mixtures // J. Appl. Phys. 1952. - Vol. 23, N 7. - P. 779-784.

127. Lavrov I. V. Theoretical treatment of the conductivity of textured inhomogeneous materials // Semiconductors. 2009. - Vol.43, №13. - P. 1623-1627.

128. Lax M. Multiple scattering of waves. II. The effective field in dense systems // Phys. Rev. 1952. - Vol.85. - P. 621 - 629.

129. Levy O., Stroud D. Maxwell Garnett theory for mixtures of anisotropic inclusions: Application to conducting polymers. I I Phys. Rev. B. 1997. - Vol.56, N 13. - P. 8035-8046.

130. Liang Fu, Macedo P.B., Resca L. Analytic approach to the interfacial polarization of heterogeneous systems // Phys. Rev. B. 1993. - Vol.47. - P. 13818 - 13829.

131. Looyenga H. Dielectric constants of heterogeneous mixtures // Physica. 1965. - B.31. - 401-406.

132. Mallet P., Guerin C.-ASentenacA. Maxwell-Garnett mixing rule in the presence of multiple scattering: Derivation and accuracy // Phys. Rev. B. 2005. - Vol.72. -P. 014205-1-014205-9.

133. Maxwell J.C. Treatise on Electricity and Magnetism. 1954. - V.l. - P:440.

134. Mendelson K.S. Effective conductivity of two-phase material with cylindrical phase boundaries // J. Appl. Phys. 1975. - Vol. 46. - P. 917-918.

135. Mendelson K.S. A theorem on the effective conductivity of a two-dimensional heterogeneous medium // J. Appl. Phys. 1975. - Vol. 46. - P. 4740 -4741.

136. Milton G. W. Bounds on the complex dielectric constant of a composite material. // J. Appl. Phys. Lett.- 1980. Vol.37. - P. 300-302 .

137. Milton G. W. Bounds on the complex permittivity of a two-component composite material. // J. Appl. Phys. -1981.- Vol.52. P. 5286-5293 .

138. Milton G. W. Bounds on the transport and optical properties of a two-component composite material. // J. Appl. Phys. 1981. - Vol.52. - P. 5294-5304 .

139. Monecke J. Bergman spectral representation of a simple expression for the dielectric response of a symmetric two-component composite // J. Phys.: Cond. Mat. -1994.-Vol6.-P. 907-912.

140. Osborn J.A. Demagnetizing Factors of the General Ellipsoid I I Phys. Rev. -1945. Vol. 67. - P. 351 - 357.

141. Polder D., van Santen J.H. The effective permeability of mixtures of solids // Physica. 1946. - B.12. - S.257-271.

142. Protsenko I.E., Zaimidoroga O.A. and Samoilov V.N. Heterogeneous medium as a filter of electromagnetic radiation // J. Opt. A: Pure Appl. Opt. 2007. - V.9. -P.363-368.

143. Rayleigh J.W.S. On the Influence of Obstacles arranged in Rectangular Order upon the Properties of a Medium // Phil. Mag. 1892. - Vol.34. - P.481-502.

144. Roe D.J. Description of crystallite orientation in polycrystalline materials. III1 General solution to pole figure inversion // J. Appl. Phys. 1965. - Vol.36, N.6. - P." 2024-2031.

145. Ruibao Tao, Zhe Chen, Ping Sheng. First-principles Fourier approach for the calculation of the effective dielectric constant of periodic composites // Phys. Rev. B. -1990. Vol.41. - P. 2417- 2420.

146. Savyolova T.I. Approximation of the pole figures and the orientation of distribution of grains in polycrystalline samples by means of canonical normal distributions // Textures and Microstructures. 1993. - Vol. 22. - P. 17 - 27.

147. Sheng P. Theoiy for the dielectric function of granular composite media // Phys. Rev. Lett. 1980. - Vol. 45, N 1. - P.60-63.

148. ShvidlerM.I. (Швидлер М.И.) Effective conductivity of two-dimensional anisotropic media// Jh. Eksp. Teor. Fiz. 1983. - Vol. 84. - P. 1185 - 1189.

149. Stroud D. Giant anhancement of cubic nonlinearity in a polycrystalline quasi-one-dimensional conductor // Phys. Rev. B. 1996. - Vol. 54, N. 5. - P. 3295-3299:

150. Stroud D. "Classical" Theory of the Magnetoresistance and Hall' Coefficient of Normal-Superconducting Composites // Phys. Rev. Letters. 1980. - Vol.44, N 25. -P. 1708-1711.

151. Stroud D. The effective media approximations: Some recent developments // Su-perlattices and Microstructures. 1998. - Vol. 23, N 3/4. - P. 567-573.

152. Stroud D., Hui P.M. Nonlinear susceptibilities of granular matter I I Phys. Rev. B. 1988,-Vol.38,N 15.-P. 8719-8724.

153. StroudD., Pan F.P. Magnetoresistance and Hall coefficient of inhomogeneous metals // Phys. Rev. B. 1979. - Vol.20, N 2. - P. 455-465.

154. Tao Ни, GrosbergA. Yu., Shklovskii B.I. Conductivity of a suspension of nanowires in a weakly conducting medium I I Phys. Rev. B. 2006. - Vol. 73. - P. 155434-1 - 155434-8.

155. Textures in Materials Research / Ed. RK.Ray, A.K.Singh I I Science Publishers. -1999.-P.489.

156. The mechanism of particle formation in Y-doped Zr02 / T.E.Konstantinova, A. V.Ragulya, A.S.Doroshkevich et al. II Intern. J. of Nanotechnology. 2006. -Vol.3., N 1. -P.29-38.

157. Wiener O. Die Theorie des Mischkörpers für das Feld der stationären Strömung II Abh.-Sachs. Geselsch. 1912. - B.32. - S.509-604.

158. Xiangting Li, Ma H.R. The Bergman spectrum of the effective dielectric constant in two-dimensional media I I J. Phys.: Cond. Matter 1999. - Vol. 11,- L241-L246.

159. Yuan Hsiao-Kuan, Chettiar U.K., Cai W. et al. A negative permeability material at red light // Optics Express. 2007. - V. 15, N 3. - P. 1076-1083.

160. ZengX.C., Bergman D.J., Hui P.M., StroudD. Effective-medium theory for weakly nonlinear composites //Phys. Rev. B. 1988-11. - V.38, N 15. - P. 1097010973.

161. Zhang S., Fan W., Panoiu N.C. et al. Experimental demonstration of near-infrared negative-index metanaterials // Phys. Rev. Lett. 2005. - V.95. - P. 137404-1-137404-4.