Применение фрактального анализа в задачах электротехники тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.09.05, кандидат наук Балагула, Юрий Моисеевич

• Балагула, Юрий Моисеевич
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Балагула, Юрий Моисеевич

ВВЕДЕНИЕ

1. ФРАКТАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ТРАЕКТОРИЙ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПРОЦЕССОВ

1.1 Основные сведения из теории фракталов

1.2 Фрактальные временные ряды

1.2.1 Размерности кривых на плоскости

1.2.2 Фрактальное броуновское движение

1.2.3 Спектральная размерность

1.2.4 Приближённые методы вычисления размерности

1.3 Фрактальные временные ряды в электротехнике

1.4 Применение фрактального анализа для исследования частичных разрядов в изоляции

2. ПРИМЕНЕНИЕ ФРАКТАЛЬНОГО АНАЛИЗА ДЛЯ ОПТИМИЗАЦИИ РЕЖИМА ДУГОВОЙ ПЕЧИ

2.1 Введение

2.1.1 Общие сведения о дуговой печи

2.1.2 Задача оптимизации режима

2.2 Измерения на дуговой печи

2.3 Фрактальный анализ динамических вольтамперных характеристик

3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ФРАКТАЛЬНОГО АНАЛИЗА ДЛЯ ОЦЕНКИ

Ф ЛИКЕР А НАПРЯЖЕНИЯ

3.1 Введение

3.1.1 Проблема оценки уровня фликера напряжения в системе электроснабжения

3.1.2 Стандартный фликерметр

3.2 Оценка фликера методами фрактального анализа

3.2.1 Оценка фликера с помощью модели фрактального броуновского движения

3.2.2 Оценка фликера с помощью спектральной размерности

3.2.3 Оценка фликера с помощью упрощённых фрактальных

коэффициентов

4. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ФРАКТАЛЬНОГО АНАЛИЗА ДЛЯ РЕГИСТРАЦИИ ДВИГАТЕЛЬНОЙ АКТИВНОСТИ РЫБ

4.1 Введение

4.1.1 Проблема регистрации двигательной активности биологических объектов в задачах ЭМС

4.1.2 Электрометрический метод регистрации двигательной активности водных организмов

4.1.3. Регистрация двигательной активности рыб с использованием видеозаписи

4.2 Новый метод регистрации двигательной активности рыб на основе математического анализа видеозаписей

4.2.1 Постановка задачи и суть метода

4.2.2 Временные ряды двигательной активности

4.2.3 Характеристики двигательной активности

4.3 Фрактальные характеристики двигательной

активности

4.3.1 Фрактальный анализ двигательной активности

одиночной рыбы

4.3.2 Фрактальный анализ двигательной активности группы рыб

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Приложение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Применение фрактального анализа в задачах электротехники»

ВВЕДЕНИЕ

Фрактальный анализ, как метод исследования математических множеств различной природы, базируется на идеях фрактальной геометрии, разработанной Б. Мандельбротом. Начиная с 1973 года, когда была опубликована его основополагающая работа [1], методы фрактального анализа нашли широкое применение в различных областях физики, химии, биологии. Главное достижение теории фракталов состоит в том, что она даёт простые способы математического описания весьма сложных, но очень широко распространенных в природе явлений и объектов. Фрактальный анализ является столь же фундаментальным математическим аппаратом для описания физической реальности, как дифференциальные уравнения, тригонометрия или гармонический анализ. Однако, в связи с тем, что он был открыт относительно недавно, он еще не занял подобающего места в умах ученых и инженеров. Поэтому актуальной является работа, которая могла бы продемонстрировать спектр возможных применений фрактального анализа в электротехнике и ввести понятия теории фракталов в дискурс теоретической электротехники.

Развитие цифровой техники для сбора и обработки сигналов позволяет использовать для анализа процессов в электрических цепях не только традиционные числовые интегральные характеристики (такие как действующие и средние значения напряжений и токов), но получать и анализировать развёрнутые во времени данные об эволюции исследуемой электромагнитной системы (электрической цепи, электротехнологической установки и т.п.) в виде записей дискретных сигналов любых доступных для измерения электрических величин (переменных состояния). Следуя идеологии теории динамических систем, будем рассматривать такие записи как дискретные отображения траекторий электромагнитных процессов. Для ряда теоретических и практических задач представляется полезным анализ геометрических свойств этих траекторий. Этому посвящена работа [2], в

г

которой отмечается, что на сегодняшнем этапе развития теоретической электротехники актуальным вопросом становится разработка оценок электромагнитных процессов в электрических цепях не только для целей управления и регулирования, но и для целей классификации явлений и их эргономичной визуализации. Фрактальный анализ предоставляет набор инструментов для количественной характеристики специфических геометрических свойств траекторий. Учитывая, что современные средства измерения всегда дают нам для анализа дискретные временные ряды с некоторой шумовой составляющей, важно выделить два основных пути применения теории фракталов. В первом случае имеющиеся записи сигналов рассматриваются как приближения гладких траекторий, которые можно

г

анализировать во времени или в фазовом пространстве (например, ниже

Ч

анализируется запись мгновенных значений напряжения дуги в дуговой сталеплавильной печи). При этом могут быть применены методы фрактального анализа для вычисления размерностей траекторий. Во втором случае запись сигнала рассматривается как стохастический временной ряд, то есть процесс принципиально негладкий, с исключённой (по возможности) регулярной составляющей (например, запись действующих | значений напряжения дуги за период основной частоты, или любой нерегулярно изменяющейся величины, измеренной с дискретностью больше "периода). Здесь используется теория фрактальных временных рядов.

Фрактальный анализ в настоящее время представляет собой, скорее, не жёстко установившийся набор формул и алгоритмов, основанных на

канонической теории, а совокупность идей и подходов, позволяющих

/

определять разные фрактальные размерности и связанные с ними показатели, характеризующие именно те свойства изучаемых объектов, которые интересуют исследователя. Поэтому исследователь рискует попасть в ловушку, такую же, как в случае со спектральным анализом, когда современные математические программные пакеты предоставляют пользователю весьма широкий спектр инструментов спектрального анализа,

однако часто пользователь не имеет знаний о том, как корректно их использовать. Кажущаяся простота и легкость дискретного быстрого преобразования Фурье зачастую приводит к тому, что артефакты, возникающие при его неправильном применении (неправильный выбор частоты дискретизации, размера и типа окна, утечка спектра и т.п.) принимаются за реальные результаты. Поэтому, применительно к процедурам фрактального анализа, актуальной является задача формулирования правил его корректного использования на примере

г"

различных электротехнических задач. Важно также показать области электротехники, в которых применение фрактального анализа'особенно

эффективно, и его место в ряду других методов математического1 анализа и

/

моделирования.

»1 5

Традиционным средством анализа временных рядов в электротехнике является спектральный анализ. Он по определению служит для выявления периодичностей в изучаемых процессах. Однако использование

спектрального анализа для реально измеренных временных рядов часто

*

является неадекватным, когда временной ряд содержит много1 гармоник (шумоподобные процессы), либо некорректным, если имеются постоянная или ультранизкочастотные составляющие. Использование же | методик, расширяющих спектральный анализ (преобразование Фурье с движущимся окном, вейвлет-преобразование) часто громоздко и неудобно. Фрактальный анализ может дать в этих случаях приемлемую альтернативу,позволяя характеризовать нужные свойства временного ряда всего одним численным показателем - фрактальной размерностью. Разумеется, этот показатель не является исчерпывающей характеристикой временного ряда. В этом смысле фрактальный анализ является грубым методом, в отличие от спектрального, который позволяет полностью однозначно восстановить временной ряд с определённой точностью. Но для этого спектральный анализ должен оперировать целым набором чисел, что затрудняет восприятие результатов человеком, сознание которого может работать, как правило, лишь с

небольшим числом параметров. Для ряда задач фрактальный анализ позволяет описать нужные свойства исследуемого объекта одним-двумя параметрами и может работать в связке с более точными методами анализа в рамках единой схемы обработки информации. Например, в некоторых системах регистрации качества электроэнергии фрактальная размерность (или связанная с ней величина) используется как некий триггер для того, чтобы зафиксировать и классифицировать факт нарушения качества и запустить соответствующие подпрограммы регистрации и анализа [3, 4].

Кроме того, методы фрактального анализа временных рядов позволяют описывать различные свойства временных рядов, которые не выявляются другими методами анализа (персистентность, «изломанность») и дают возможность судить о некоторых свойствах физических процессов,

порождающих исследуемые временные ряды, например, определить

/

размерность управляющей системы дифференциальных уравнений в случае хаотического процесса.

В последнее время теоретическая электротехника встала перед необходимостью ввести в свой оборот новый класс процессов в электрических цепях, которые не характеризуются постоянством значений токов и напряжений, то есть не являются установившимися режимами, и в то же время не являются преходящими, то есть не могут быть отнесены к переходным процессам. Эти процессы характеризуются тем, что токи и напряжения в нормальных эксплуатационных режимах изменяются случайным образом в определённых пределах, представляя собой стохастические временные ряды (шумы). Примерами могут служить система электроснабжения дуговой сталеплавильной печи во время плавки [5], скользящий разряд по поверхности изолятора [6], нелинейная электрическая цепь в хаотическом режиме [7]. Строго говоря, любой реальный процесс содержит случайную составляющую, следовательно, является стохастическим. Однако ранее в рамках теоретической электротехники этот аспект почти не рассматривался, так как, во-первых, считался (в большинстве

случаев справедливо) несущественным, как правило, нежелательным, дополнением к основным процессам, достаточно хорошо описываемым тригонометрическими функциями; во-вторых, не было подходящих средств измерения и расчёта. Если же случайные процессы в электрических цепях рассматривались теорией, то в основном на языке математической статистики [8, 9, 10]. В то же время для некоторых практических задач определяющей является именно небольшая стохастическая добавка к регулярному процессу. Такой задачей является, в частности, рассматриваемый в настоящей работе фликер в системе электроснабжения, вызываемый весьма небольшими отклонениями напряжения от номинального значения. Как будет показано ниже, фрактальный анализ временных рядов предоставляет удобный инструментарий для описания подобных процессов.

ь1

&

В последние десятилетия интенсивно развивается такая дисциплина как электромагнитная совместимость (ЭМС или по-английски ', ЕМС — electromagnetic compatibility). Будучи по своим методам и научному аппарату наиболее близкой к теоретической электротехнике, большинством специалистов она рассматривается как подраздел последней, и их развитие неразрывно связано. Электромагнитная совместимость изучает вопросы электромагнитного воздействия технических устройств друг на друга и на окружающую среду (человека и другие биологические объекты). Она может быть поделена на три больших раздела - собственно ЭМС, изучающая взаимодействие устройств посредством электромагнитного поля (излучение, радиопомехи); ЭМС по цепям питания, изучающая взаимодействие информационных или электроэнергетических устройств через электрические цепи системы электроснабжения (кондуктивные помехи) - эти вопросы тесно связаны с тематикой качества электроэнергии; и электромагнитную экологию, которая рассматривает вопросы влияния технических средств на биологические объекты, главным образом посредством электромагнитных полей. Отдельно также можно выделить группу вопросов, связанных с

влиянием естественных электромагнитных полей (главным образом геомагнитного поля) на технику и биологические объекты, то есть с электромагнитной обстановкой (electromagnetic environment). В ряде задач электромагнитной совместимости (и других связанных разделов техники) возникает необходимость рассмотрения взаимодействия электромагнитных волн с естественными средами и поверхностями, эффективным средством математического описания которых является фрактальная геометрия. Поэтому фрактальный подход нашёл применение в таких задачах, как описание распространения радиоволн вдоль поверхности земли с учётом рельефа местности и растительности [11], радиолокации над водной поверхностью [12], отклика шероховатых поверхностей (поверхностей раздела фаз) на переменном токе [13]. В области электромагнитной экологии фрактальный анализ показал свою эффективность в качестве средства

регистрации слабых воздействий электромагнитных полей на живые

*

организмы, поскольку предлагает удобный математический аппарат для описания часто встречающихся в биологии древовидных структур и соответствующей обработки изображений [14,15,16, 17].

В области экономики электроэнергетики фрактальные концепции используются для характеристики эффективности рынков электрической энергии; рассматриваемая в диссертации модель фрактального броуновского движения является базовой для анализа и моделирования поведения временных рядов цен на электроэнергию и другие энергоресурсы [18, 19].

Существенной частью научной специальности «Теоретическая электротехника» является разработка основ теории и методов адаптивных электродинамических систем, интегрирующих объекты информационной и электротехнической природы, и систем управления. Примером такой системы является автоматизированная система управления технологическим процессом (АСУТП) дуговой сталеплавильной печи (ДСП) переменного тока. Мощности современных дуговых печей растут, соответственно резко возрастают возможные потери от слишком медленной работы устаревших

систем управления, неадаптивных или требующих участия оператора. Вместе с тем развитие информационной и измерительной техники позволяет включить в АСУТП не только традиционные интегральные характеристики электромагнитных процессов (среднеквадратичные значения токов, напряжений, мощностей, производные от них сопротивления и т.п.), но и характеристики их траекторий, имеющих в значительной степени стохастический характер. В этом отношении может быть весьма полезен фрактальный анализ — как в части анализа сравнительно гладких траекторий процессов во времени или в фазовой плоскости, так и в части анализа стохастических временных рядов.

Структура и объём диссертации

В диссертации разрабатываются и применяются методы фрактального анализа траекторий электромагнитных процессов во времени и в фазовой плоскости, как гладких, так и стохастических, для решения ряда задач, связанных с электромагнитной совместимостью и адаптивными системами управления.

Во введении обосновывается актуальность темы, рассматривается общая идеология и особенности фрактального анализа в ряду других методов описания траекторий электромагнитных процессов, очерчивается круг задач электротехники, в которых его применение представляется наиболее перспективным.

В первой главе излагаются основные положения фрактальной геометрии, даётся понятие фрактальной размерности и методы её вычисления. Рассматриваются модели фрактальных временных рядов и специфические для них фрактальные характеристики и методы их определения. Проведен обзор применения методов фрактального анализа для диагностирования, анализа и моделирования частичных разрядов в высоковольтной изоляции.

Во второй главе фрактальные методы анализа траекторий рассматриваются как один из способов идентификации состояния дуговой сталеплавильной печи переменного тока (условий горения дуги). Вычисление фрактальной размерности траекторий может быть интегрировано в соответствующую адаптивную электродинамическую систему (АСУТП ДСП) с целью повышения её производительности.

В третьей главе исследуются различные возможности применения фрактального анализа кривой напряжения в системе электроснабжения с целью оценки уровня фликера. Предложенные методики могут стать альтернативой существующему стандарту в этой области, а также использоваться в системах управления устройствами компенсации фликера.

В четвёртой главе описывается созданный автором метод регистрации двигательной активности рыб, применяемый для исследований в области электромагнитной экологии. При этом решается задача идентификации состояния объекта с помощью методов фрактального анализа траекторий, разработанных в предыдущих главах.

В приложении приводится описание аппаратного и программного обеспечения разработанного метода регистрации двигательной активности рыб, алгоритм обработки изображений.

Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения, приложения и списка литературных источников, насчитывающего 66 наименований. Работа изложена на 141 странице машинописного текста и содержит 64 рисунка.

Цель и задачи работы

Целью работы является выявление областей эффективного применения фрактального анализа для решения актуальных задач теоретической электротехники, в частности, задач обеспечения электромагнитной совместимости (ЭМС) и синтеза адаптивных систем управления.

Для достижения поставленной цели в работе решались следующие основные задачи:

1. Анализ существующих методов фрактального анализа, исследование особенностей различных методик вычисления фрактальных размерностей применительно к временным рядам и непрерывным траекториям процессов.

2. Применение методов фрактального анализа для распознавания условий горения дуги в дуговой сталеплавильной печи переменного тока с целью совершенствования системы управления печи, направленного на энергосбережение и улучшение её экономических характеристик.

3. Совершенствование методики определения фликера в системах электроснабжения с помощью фрактального анализа временных рядов напряжения.

4. Разработка метода регистрации двигательной активности рыб, используемого для решения ряда экспериментальных задач электромагнитной совместимости (электромагнитной экологии), на основе фрактального анализа временных рядов, получаемых в результате математической обработки видеозаписей.

5. Анализ подходов, использующих фрактальный анализ для изучения частичных разрядов в высоковольтной изоляции.

Глава 1

ФРАКТАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ТРАЕКТОРИЙ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПРОЦЕССОВ

1.1 Основные сведения из теории фракталов

Фрактальный анализ, как метод исследования различных математических множеств, основан на идеях фрактальной геометрии, разработанной Б. Мандельбротом [1]. Фрактал — это геометрический объект сложной формы. Его главное свойство, самоподобие, состоит в том, что любая часть данного объекта в некотором математическом смысле подобна целому. Фрактал удобно описывать как результат некоторого итерационного процесса. Рассмотрим процедуру построения фрактала, известного как «кривая Коха» [20]. На начальном, нулевом шаге процесса имеем некоторый отрезок на плоскости - это «затравка» будущего фрактала (рис. 1.1, п = 0). Первый шаг построения состоит в том, что данный отрезок заменяется некоторой заданной фигурой - «образующим элементом» (рис. 1.1, п = 1). На втором шаге каждый отрезок, составляющий образующий элемент, заменяется образующим элементом, уменьшенным в соответствующее количество раз (рис. 1.1, п = 2). На следующем шаге каждый отрезок получившейся фигуры заменяется ещё более уменьшенным образующим элементом, и так далее. Фигура, полученная в пределе данного итерационного процесса при числе шагов п —> со, и есть фрактальная кривая Коха. Следует отметить, что в строго математическом смысле фракталом является кривая, полученная как результат бесконечного числа итераций, которую, очевидно, невозможно адекватно изобразить на бумаге. Фигуры, изображающие фракталы на нижеследующих рисунках, получены после конечного числа шагов построения п и называются «предфракталами». Особенностью фрактальной кривой Коха является то, что при и —> оо её длина становится бесконечной.

п = О « затравка >:

/? = 1

/7 = 2

«образующий элемент»

лГ ЯЛ» " = 4 -лУЧЛХ

«предфракталы»

п = °° фрактал «кривая Кох»

Рис. 1.1. Фрактальная кривая Коха.

0 мвнмшмшнмн^мммм

1 шшяшя^шшшяшш п-2 ■■■■ н

/7 = 4 II II II II II II II II

п = 5 и и н и н к и н н и к н <■ к I'"

п = «

фрактал «пыль Кантора»

Рис. 1.2. Фрактал «пыль Кантора».

Рассмотрим итерационный процесс построения фрактала, именуемого «множество Кантора», или «пыль Кантора» (рис. 1.2). Затравкой служит также отрезок, из которого на каждом шаге вынимается средняя часть. В пределе, при бесконечном числе итераций, получается некий геометрический объект, представляющий собой несвязное множество точек. В отличие от кривой Коха — фрактала на плоскости, множество Кантора вписано в прямую, т.е. данный фрактал является как бы одномерным. Отметим, что длина для этого объекта не определена (или можно сказать, равна нулю).

Итерационный процесс, используемый для построения фрактала, известного как «ковёр Серпинского» (рис. 1.3), является некоторым

'г"

двумерным аналогом предыдущего. Хотя затравка данного фрактала -заполненный квадрат, площадь соответствующего предфрактала стремится к нулю при п —> сю, и результатом процесса будет сложная замкнутая кривая, напоминающая сетку или узор.

Чтобы пролить свет на практическое применение этих абстрактных геометрических построений, вернёмся к кривой Коха. Если в качестве затравки взять не отрезок, а треугольник, получим фрактал под названием

«снежинка Коха» (рис. 1.4). Длина данной кривой бесконечна, - хотя она

(

ограничивает конечную площадь.

Все ранее рассмотренные фракталы имеют правильную, регулярную структуру, которая однозначно определяется затравкой и образующим элементом. Чтобы приблизиться к реальному миру, мы можем, внести в итерационный процесс построения фрактала элемент случайности. Например, при построении снежинки Коха на каждом шаге будем случайным образом менять ориентацию образующего элемента («остриём» внутрь снежинки или наружу). Полученный фрактал благодаря своей нерегулярной

I

форме напоминает реальный остров, его граница похожа на некоторую изрезанную, изломанную географическую структуру типа норвежских фьордов или побережья Великобритании (рис. 1.4, внизу). Указанное сходство можно описать количественно.

п = О п = 1 /7 = 2 /7 = 3

Рис. 1.3. Фрактал «ковёр Серпинского».

Вычислим длину предфрактала и-го поколения кривой Коха (рис. 1.1), приняв, что образующий элемент состоит из четырёх звеньев длиной, 1/3 каждое. На «-ном шаге длина каждого звена d=3~n, число звеньев N-4", общая длина кривой Z=(4/3)". Зависимость длины кривой L от длины звена d можно записать следующим образом:

L(d) = (4/3)" = ^-°, D = In4/ln3 ~ 1,26186; N(d) = d~D.

Таким образом, зависимость длины предфрактальной кривой от длины звена имеет степенной характер с показателем 1 -D; коэффициент /) зависит от параметров образующего элемента и является некоторой характеристикой данного фрактала.

Аналогичное исследование можно провести для какой-либо реальной кривой, имеющей естественное происхождение и сильно нерегулярную форму — например, береговой линии или границы между государствами. Будем измерять по географической карте длину естественной кривой L с помощью эталонов различного размера (если по карте — с различным раствором циркуля) - d¡, efe ••• dn (рис. 1.5), и получим зависимость L(d). Ричардсон [1] провёл соответствующие исследования для большого количества побережий и сухопутных границ и обнаружил, что эта зависимость имеет степенной характер:

L(d)~d~\k~ 0,2-0,4. Можно утверждать, что кривая Коха является «грубой, но математически строгой моделью береговой линии» [1]. Тогда, сопоставляя степенные зависимости X(d), получаем D = к + 1, и значение характеристического параметра D для кривой Коха попадает в диапазон значений для естественных кривых по данным Ричардсона. Аналогичным образом фракталы типа снежинки Коха могут служить моделями островов и других природных объектов. Объекты типа ковра Серпинского с добавлением случайности при построении моделируют пористые среды.

Рис. 1.5. К вычислению длины береговой линии.

Таким образом, характерным свойством фрактальной кривой, так же как и моделируемых ею реальных линий, является зависимость длины кривой от масштаба, в котором мы её рассматриваем (эталона, которым мы её измеряем). Следовательно, длина не является адекватной мерой для такого рода объектов. В качестве меры фрактала, его характеристического параметра, используется введённый выше коэффициент Д именуемый фрактальной размерностью. Можно сказать, что фрактальная размерность кривой показывает, с какой скоростью растёт её длина при уменьшении масштаба (эталона измерения).

Помимо описанного выше способа вычисления фрактальной размерности кривой на плоскости непосредственным измерением длины, разработаны другие, более удобные на практике методы. Наиболее широкое распространение получил метод разбиения на клетки [20], так как им удобно обрабатывать растровые (компьютерные) изображения. Размерность, получаемая этим методом, иногда также называемая клеточной размерностью, определяется следующим образом: Пусть А - некоторое множество точек на плоскости, например, растровое изображение какой-либо кривой или графика функции. Возьмем квадрат размером s х е точек и подсчитаем количество таких квадратов, необходимых для покрытия множества Л. Пусть N(A,е) обозначает наименьшее число квадратов размером 8 х £, необходимых для покрытия множества А. Тогда клеточная фрактальная размерность

Ит Мй £-»0 loge

Практически, чтобы определить клеточную размерность квадратного чёрно-белого изображения размером LxL, мы покрываем его клетками размером L/2 и подсчитываем число клеток, содержащих по меньшей мере одну чёрную точку (рис. 1.6). Затем делим каждую клетку на четыре и считаем число клеток размером LIA. Повторяем эту операцию до тех пор, пока размер клетки не станет равным единице, т.е. одной точке (наименьшему элементу

изображения). По результатам этого итерационного процесса строим график зависимости числа клеток, содержащих по меньшей мере одну точку, от размера клетки е в двойном логарифмическом масштабе. Клеточная фрактальная размерность £> определяется как тангенс угла наклона аппроксимирующей прямой. Такой метод вычисления может быть легко расширен для определения фрактальной размерности не только кривых на плоскости, но и множеств точек на прямой (пыль Кантора), и вообще объектов в пространстве любой размерности — меняется лишь размерность

покрывающих элементов (квадратов). Например, если мы определяем

<

фрактальную размерность пыли Кантора - фрактала на прямой, в качестве покрывающих элементов используем отрезки разной длины (евклидова размерность 1); в случае кривой Коха (лежащей на плоскости) покрываем квадратами (размерность 2), и т.д. Если необходимо рассчитывать фрактальную размерность кривой в пространстве (классический пример — странный аттрактор Лоренца), покрывающими элементами являются кубы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Балагула, Юрий Моисеевич, 2013 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. М.: Институт компьютерных исследований, 2002.

2. Мареева О.А. Разработка геометрических оценок качества электромагнитных процессов в электрических цепях: диссертация на соискание учёной степени кандидата технических наук: 05.09.05. М.: МЭИ, 2007. 156 с.

3. Huang S.-J., Hsieh С.-Т. Feasibility of fractal-based methods for visualisation of power system disturbances // IEEE Transactions on Electrical Power and Energy Systems. 2001. № 23. P. 31—36.

4. Chen J., Kinsner W. Multifractal Analysis of Transients in Power Systems // Proceedings of the IEEE Conference on Electrical and Computer Engineering. Canada. 2000. Vol. 1. P. 307—311.

5. Balagula Y., Korovkin N., Sakulin M., Renner H. The use of fractal analysis for quantifying the dynamic arc characteristics // Сборник научных докладов V Международного симпозиума по электромагнитной совместимости и электромагнитной экологии ЭМС-2003. СПбГЭТУ. 16-19 сентября 2003. Санкт-Петербург. С. 39—42.

6. Adalev A.S., Hayakawa М., Korovkin N.V., Iudin D.I., Trakhtengerts V.Y. Simulation of surface discharge dynamics by means of cellular automata // Journal of Applied Physics. 2007. Vol. 101. № 8. #083302.

7. Мун Ф. Хаотические колебания. M.: Мир, 1990.

8. Лебедев В. JI. Случайные процессы в электрических и механических системах. М.: Физматгиз, 1958.

9. Ван дер Зил А. Шум. Источники, описание, измерение. Москва: Советское радио, 1973.

10. Вершин В.Е., Добролюбов JI.B. Статистический анализ электротехнических цепей.М.: Энергия, 1970.

11. Балханов В.К., Башкуев Ю.Б. Фрактальные методы решения радиофизических задач. Пространственное и частотное поведение электрических параметров земли. Частотные характеристики функции ослабления неоднородной радиотрассы и фрагментов растительности // Сборник научных докладов VI Международного симпозиума по электромагнитной совместимости и электромагнитной экологии ЭМС-2005. СПбГЭТУ. 21-24 июня 2005. Санкт-Петербург. С. 262—268.

12. Потапов А.А. Фракталы в радиофизике и радиолокации. Москва: Логос, 2002. 664 с.

13. Лиу С., Каплан Т., Грэй П. Отклик шероховатых поверхностей на переменном токе // Фракталы в физике. Москва: Мир, 1988. С. 543.

14. Kaandorp J.A. Fractal Modelling: Growth and Form in Biology. Springer, 1994.

15. Коровкин H.B., Кочетов C.B., Селина E.E., Прусакова Ю.А., Звоякер П., Зрид Ж-П., Яноз М. Фрактальный подход к регистрации слабого влияния низкочастотных электромагнитных полей на развитие мхов // Сборник научных докладов IV Международного симпозиума по электромагнитной совместимости и электромагнитной экологии ЭМС-2001. СПбГЭТУ. 19-22 июля 2001. Санкт-Петербург.

16. Alasonati Е., Comino Е., Ianoz М., Korovkin N., Rachidi F., Saidi Y., Zryd J. P., Zweiacker P. Fractal dimension: a method for the analysis of the biological effects of electromagnetic field // Proceedings of the Vth International Symposium on Electromagnetic Compatibility and Electromagnetic Ecology EMC-2003. September 16-19 2003. St.Petersburg. P. 405—407.

17. Tzaphlidou M., Fotiou E., Korovkin N. The effects of 910-MHz electromagnetic field on rat brain collagen fibril architecture // Proceedings of the European Electromagnetics Conference on Electromagnetics EUROEM 2004. 1216 July 2004. Magdeburg, Germany. P. 43—44.

18. Бал агула Ю.М. Фрактальный анализ цен на электроэнергию // Материалы 5-й Ежегодной конференции ЕУСПб и ЭМИ РАН «Современные

подходы к исследованию и моделированию в экономике, финансах и бизнесе». 15-16 апреля 2011. Санкт-Петербург. С. 17—19.

19. Балагула Ю.М., Абакумова Ю.А. Длинная память на рынке нефти: спектральный подход. Препринт факультета экономики ЕУСПб Ее—01/11. — СПб.: Изд-во ЕУСПб, 2011. — 31 с.

20. Федер Е. Фракталы. Москва: Мир, 1991.

21. Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из бесконечного рая. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001.

22. Fan, Liang-tseng, Neogi, D., Yashima, M. Elementary introduction to spatial and temporal fractals. Berlin: Springer, 1991.

23. Кроновер P. M. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории. Москва: Постмаркет, 2000.

24. Malamud B.D., Turcotte D.L. Self-affine time series: measures of weak and strong persistence // Journal of Statistical Planning and Inference. 1999. № 80. P. 173—196.

25. Mamishev A.V., Russell B.D., Benner C.L. Analysis of High Impedance Faults Using Fractal Techniques // IEEE Transactions on Power Systems. Vol. 11. № 1. February 1996. P. 435—440.

26. Esteller R., Echauz J., Tcheng Т., Litt В., Pless B. Line length: An efficient feature for seizure onset detection // IEEE Proceedings of the 23rd Annual EMBS Intnl Conference. Istanbul, Turkey. October 25-28 2001. P. 1707—1710.

27. Esteller R., Vachtsevanos G., Echauz J., Litt B. A Comparison of Fractal Dimension Algorithms Using Synthetic and Experimental Data // IEEE Proceedings of the International Symposium on Circuits and Systems (ISCAS'99), Vol. 3, 1999. P. 199—202.

28. Doherty R., O'Malley M. A New Approach to Quantify Reserve Demand in Systems With Significant Installed Wind Capacity // IEEE Transactions on Power Systems. Vol. 20. № 2. May 2005. P. 587—595.

29. Кучинский Г.С. Частичные разряды в высоковольтных конструкциях. Ленинград: Энергия, 1979.

30. Bartnikas R. Partial Discharges Their Mechanism, Detection and Measurement // IEEE Transactions on Dielectrics and Electrical Insulation. Vol. 9. № 5. October 2002. P. 763—808.

31. Носков М.Д., Малиновский A.C., Закк M., Шваб А.Й. Моделирование роста дендритов и частичных разрядов в эпоксидной смоле // Журнал технической физики. 2002. Т. 72. Вып. 2. С. 121—128.

32. Kim J.H., Sin S.K. et al. A Study on Treeing Breakdown and Fractal Characteristics according to Method of Acoustic Emission Detection in High Polymer // Proceedings of the 5th International Conference on Properties and Applications on Dielectric Materials. May 25-30 1997. Seoul, Korea. P. 434—438.

33. Rahmani O., Boubakeur A., and Zerguerras A. Numerical Simulation of the Discharges in the Insulating Interfaces: Search for a Fractal Dimension // Proceedings of the 2005 IEEE St.Petersburg PowerTech Conference. June 27-30 2005. St.Petersburg, Russia. #632.

34. Пьетронеро, JI., Тозатти, Э. Фракталы в физике. М.: Мир, 1988.

35. Резинкина М.М., Резинкин О.Л., Носенко М.И. Зависимость фазы появления частичных разрядов в полиэтиленовой изоляции от стадии роста дендрита//Журнал Технической Физики. 2001. Т. 71. Вып. 3. С. 69—71.

36. Satish L., Zaengl W.S. Can Fractal Features Be Used for Recognizing 3d Partial Discharge Patterns ? // IEEE Transactions on Dielectrics and Electrical Insulation. Vol. 2. № 3. Jule 1995. P. 352—359.

37. Jian Li, Caixin Sun, and Grzybowski S. Partial Discharge Image Recognition Influenced by Fractal Image Compression // IEEE Transactions on Dielectrics and Electrical Insulation. Vol. 15. № 2. April 2008. P. 496—504.

38. Xiaodong Wang et al. Analysis of Partial Discharge Signal Using the Hilbert-Huang Transform // IEEE Transactions on Power Delivery. Vol. 21. № 3. July 2006. P. 1063-1067.

39. Dissado L.A. and Thabet A. Simulation of electrical ageing in insulating polymers using a quantitative physical model // Journal of Physics D: Applied Physics. 2008. Vol. 41. № 8.

40. Cannons J. Modelling And Simulation Of Lightning Discharge Patterns. BSc Thesis. University of Manitoba, Canada, 2000.

41. Глухов О.А., Коровкин H.B., Балагула Ю.М. Методика оценки параметров частичных разрядов в высоковольтной изоляции при относительных измерениях их импульсных электромагнитных полей // Сборник научных докладов IV Международного симпозиума по электромагнитной совместимости и электромагнитной экологии ЭМС-2001. СПбГЭТУ. 19-22 июня 2001. Санкт-Петербург. С. 30—35.

42. Меркер Э.Э., Кочетов А.И., Харламов Д.А. Энергосбережение при выплавке стали в дуговых печах. Старый Оскол: ТНТ, 2009.

43. Поволоцкий А .Я., Гудим Ю.А., Зинуров И.Ю. Устройство и работа сверхмощных дуговых сталеплавильных печей. Москва: Металлургия, 1990.

44. Raisz D., Sakulin М., Renner Н. and Tehlivets Y. Recognition of the

i *

Operational States in Electric Arc Furnaces // Proceedings of the 9th International Conference on Harmonics and Quality of Power. Orlando, US. October 1-4 2000.

45. Луценко B.T., Павлов B.A., Докшицкая А.И. Дуговая сталеплавильная печь. Екатеринбург: УГТУ-УПИ, 2005.

46. Рябов А.В., Чуманов И.В., Шишимиров М.В. Современные способы выплавки стали в дуговых печах. Москва: Теплотехник, 2007.

47. Карпенко С.В. Математическое моделирование нестационарных электрических процессов в электротехнических системах на основе численных методов вейвлет-анализа (на примере дуговой сталеплавильной печи): автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата технических наук: Новокузнецк: СибГИУ, 2006.

48. Смоленов А.А., Лапшин И.В. Использование искусственных нейронных сетей для управления электросталеплавильными процессами // Сборник докладов 57-й студенческой научной конференции «Черная металлургия — взгляд в будущее». Москва: МИСиС, 11.04.2002.

49. Минеев А.Р. Разработка динамических и статистических методов энергосберегающего совершенствования работы дуговых сталеплавильных

печей: автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата технических наук: Москва: МЭИ, 2000.

50. ГОСТ 13109-97 «Электрическая энергия. Совместимость технических средств электромагнитная. Нормы качества электрической энергии в системах электроснабжения общего назначения».

51. Belyaev A.N., Smolovik S.V., Shuhati H.W. Analysis of voltage behavior during network connection of different types of distributed generation units // Proceedings of the St-Petersburg IEEE chapter conference "SPb-IEEE Con'03", 2003.

52. Gallo G., Landi C., Langella R., Testa A. Limits for Low Frequency Interharmonic Voltages: Can They be Based on the Flickermeter Use // Proceedings of the 2005 IEEE St.Petersburg PowerTech, June 27-30 2005, Saint-Petersburg, Russia, #547.

53. UIE Guide to Quality of Electrical Supply for Industrial Installations. Part 5. Flicker and Voltage Fluctuations, 1999.

54. Mombauer W. Messung von Spannungsschwankungen und Flicker mit dem IEC-Flickermeter. Berlin und Offenbach: VDE Verlag, 2000.

55. Balagula Y., Sakulin M., Korovkin N. Characterization of the Flicker Severity Using Spectral Dimension and Related Values. — Proceedings of the 4th International Conference on Electric Power Quality and Supply Reliability, August 29-31 2004, Pedase, Estonia, P. 43—48.

56. Александров B.B. Экологическая роль электромагнетизма. СПб.: СПбГПУ, 2006.

57. Kadomskaya К.Р., Kandakov S.A., Lavrov Yu.A. Electromagnetic Compatibility of Underwater Cable Lines of Various Designs With Ichthyofauna // Proceedings of the 2005 IEEE St.Petersburg PowerTech, June 27-30 2005, Saint-Petersburg, Russia, #373.

58. Alexandrov V.V. Environmental Electromagnetic Fields and Motional Activity of Aquatic Organisms // Proceedings of the 4th Congress of the European

Bioelectromagnetics Association. Zagreb, Croatia. November 19-21 1998. P. 103—105.

59. Alexandrov V.V. Electrocinetic fields of hydrobionts. Biorhythms of locomotor activity. Connection with Geomagnetism // Biophysics. 1996. Vol. 40. № 4. P. 753—759.

60. Хемочувствительность и хемокоммуникация рыб: сборник научных трудов АН СССР, Институт эволюционной морфологии и экологии животных им. А. Н. Северцова, отв. ред. Д. С. Павлов, М.: 1989.

61. Левченков С.И. Физическая и коллоидная химия. Конспект лекций. Часть 4. Коллоидная химия. Ростов-на-Дону, 2004.

62. Исследование воздействия слабого электромагнитного поля на рыб и разработка измерительных методов и оборудования (компьютерная система видеорегистрации): итоговый отчёт по совместному проекту СПбГТУ и «Егпа and Victor Hasselblad Foundation». СПб: СПбГТУ, 2000.

63. Polnau D.G., Ma P.M. Simultaneous video analysis of the kinematics of opercular movement and electromyographic activity during agonistic display in Siamese fighting fish // Brain Research Protocols, 8 (2001), P. 228—235.

64. Suzuki K., Takagi T., Hiraishi T. Video analysis of fish schooling behavior in finite space using a mathematical model // Fisheries Research, 60 (2003), P. 3—10.

65. Kittiwann N., Nakagawa M., 3D Locomotion and Fractal Analysis of Goldfish for Acute Toxicity Bioassay // International Journal of Biomedical Sciences. 2007. Vol. 2. № 3. p. 1306—1216.

66. Kane A., Salierno J., Gipson G., Molteno T., Hunter C. A video-based movement analysis system to quantify behavioral stress responses of fish // Water Research, 38 (2004), P. 3993-4001.