Идентификация параметров многомерных хаотических процессов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, доктор технических наук Лукьянов, Геннадий Николаевич

• Лукьянов, Геннадий Николаевич
• доктор технических наук
• 1998

Оглавление диссертации доктор технических наук Лукьянов, Геннадий Николаевич

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение

Глава 1. Задачи и принципы идентификации параметров многомерных

хаотических процессов

1.1 Детерминированный хаос

1.1 Л Понятие хаотических систем и процессов. Детерминированный хаос и

различие между хаотическими и стохастическими процессами

1.1.2 Консервативные и диссипативные системы

1.2 Задачи идентификации параметров многомерных хаотических процессов (МХП)

1.3 Оценивание параметров МХП

1.3.1 О некоторых моделях МХП

1.3.2 Представление траекторий. Сечения Пуанкаре

1.3.3 Метод задержек

1.4 Количественное оценивание движения на аттракторе

1.4.1 Экспоненты Ляпунова

1.4.2 Спектр экспонент Ляпунова

1.4.3 Вычисление экспонент Ляпунова из скалярных временных рядов

1.4.4 Фрактальные размерности

1.4.5 Энтропия Колмогорова

1.4.6 Предсказуемость

1.5 Некоторые особенности перехода к хаосу

1.5.1 Простой пример дискретной системы с детерминированным

хаосом

1.5.2 Оценивание в фазовом пространстве. Аттрактор. Странный аттрактор

1.5.3 Переход к хаосу

1.6 Сравнение различных видов протекания процессов

1.7 Фрактальные формы

1.8 Метод идентификации параметров многомерных хаотических процессов

1.9 Выводы

Глава 2. Идентификация параметров МХИ в воздушных объемах

2.1 Поведение воздуха в цилиндрических объемах

2.1.1 Задача идентификации режимов колебаний в воздушных объемах

при проведении испытаний оптических систем

2.2Моделирование конвективных течений в горизонтальных цилиндрах

2.2.1 Описание коллиматора и зала

2.2.2 Моделирование конвективных течений

2.3Выбор метода измерений

2.3.1 Требования к первичным измерительным преобразователям

2.3.2 Выбор метода измерения скорости

2.3.3 Система измерения температуры

2.4 Спектральное оценивание

2.5 Организация исследований

2.6 Идентификация режимов течений на основе измерений перепадов температур

2.6.1 Обработка результатов измерений

2.6.2 Описание экспериментов

2.6.3 Результаты обработки и их интерпретация

2.6.4 Погрешность определения скорости

2.7 Выводы по главе 2

Глава 3. Идентификация пространственно- временной структуры

двухфазных потоков

3.1 Явление псевдоожижения и его применение

3.1.1 Основные сведения о псевдоожижении

3.1.2 Задача идентификации режимов колебаний псе в доожиже ш ю го

слоя

3,2. Процессы разделения- перемешивания в слоях

3.2.1 Разделение- перемешивание

3.2.2 Экспериментальные исследования процессов разделения-перемешивания

3.2.3. Силы, действующие на посторонний предмет в псевдоожиженном

слое

3.3 Исследования хаотического поведения псевдоожиженных слоев

3.3.1. Исследования хаоса в псевдоожиженных слоях

3.3.2 Изучение движения массива твердых частиц, ожижаемых газом

и их хаотичности по динамической модели Эргуна

3.5 Экспериментальное определение параметров траектории постороннего предмета и идентификация хаотических режимов в псевдоожиженном слое

3.5.1 Экспериментальная установка

3.5.2 Результаты измерений и их интерпретация

3.5.3 Восстановление траектории движения тела в слое по сигналам от датчиков

3.5.4 Особенности хаотического поведения слоя с посторонним предметом и

без предмета

3.6. Масштабные соотношения в реальном пространстве аппарата для

псевдоожижения

3.7 Выводы по главе 3

Глава 4. Исследования структуры механических колебаний в зданиях и

сооружениях

4.1. Объект исследования

4.2 Описание экспериментального исследования

4.3 Основные результаты экспериментального исследования

4.3.1 Результаты измерений ширины трещины

4.3.2 Результаты исследований вибраций

4.4 Выводы по главе 4

Заключение

Литература

Приложение 1. Теоремы Такенса

Приложение 2. Результаты оценивания скоростей воздушных потоков в

оптическом коллиматоре

Приложение 3. Результаты идентификации хаотических параметров сушильной печи в АО "Хлебный дом"

/ У

>

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Идентификация параметров многомерных хаотических процессов»

ВВЕДЕНИЕ

Неупорядоченное, хаотическое поведение обнаруживается во многих процессах, протекающих в различных природных и технических объектах. В природе хаос проявляется, например, в конвекции в атмосфере и в океане [1,2].

В технических объектах хаотическое поведение может быть как нежелательным явлением так и насущной необходимостью. Например, в оптической промышленности предварительные испытания и юстировку оптических систем, предназначенных для работы в условиях космического вакуума, приходится выполнять на специальных стендах- коллиматорах, работающих в воздухе при нормальной температуре и давлении. Сложное конвективное движение воздуха в этих стендах приводит к искажению световых лучей и к искажению результатов работы оптической системы и, поэтому, это явление пытаются подавить с помощью термостатирования [3]. С другой стороны широкое применение в технике нашли так называемые псевдоожиженные слои [4,5], в которых хаотическое движение является необходимостью. Технология псевдоожижения применяется в топках теплоэлектростанций, при сушке различных продуктов, в химических реакторах и т.д..

Многие объекты подвергаются одновременному воздействию колебаний, имеющих природное и искусственное происхождение. К ним относятся здания и сооружения, на которые действуют сейсмические и температурные колебания, изменения давления атмосферы, перемещения грунтовых вод, ветры, сотрясения, вызванные движением транспорта, работой станков и оборудования и т. д. [6].

Реальные устройства, которые проявляют хаотическое поведение, представляют собой системы с распределенными параметрами. Управление такими объектами требует решения задачи идентификации распределения

некоторых их параметров по пространству. Известно, что при идентификации выполняется математическое описание какого- либо объекта или процесса на основе информации о нем, полученной в результате выполнения наблюдений и имеющейся математической модели. Если процесс достаточно хорошо изучен или несложен, то решение этой задачи также не представляет особых трудностей. Иначе обстоит дело со сложными хаотическими процессами, описание которых чаще всего выполняют на основе статистических закономерностей, несмотря на то, что их описание в виде, например, систем дифференциальных уравнений известно уже давно- с XIX столетия. К таким процессам относится явление конвекции- движения жидкости или газа, описываемая системой уравнений Навье - Стокса, несжимаемости

и теплопереноса [7]. Даже в случае каких- то упрощений, как, например так называемого приближения Буссинеска, согласно которому изменения плотности среды р значительны только при их генерации выталкивающими силами и, что другие параметры жидкости не зависят от температуры [7], эта система уравнений достаточно сложна:

(В.1)

л

= -Ух + &е+У2\

(&г

РГ1 —+

уз у

¿зэ

— + V -V© = 11ае-+ V2©

р % р а3 ат

где Ка =--число Релея, р -плотность, р - температурный

1] а

коэффициент расширения, г} - динамическая вязкость, g- ускорение свободного падения, с1- определяющий размер, а- температуропроводность,

v

АТ- перепад температур, Рг = —, V - кинематическая вязкость, е- единичный

а

вектор в направлении поля гравитации.

Однако, зачастую, для решения практических задач управления такими объектами, бывает достаточно знать как протекает процесс, в каком режиме, в ламинарном, переходном, или турбулентном и знать распределение этих режимов по оцениваемому объему. Тогда может идти речь об идентификации, например, таких параметров процесса, как режимов течений и их распределений по пространству.

При выполнении наблюдений применяют как статистический подход, так и подход основанный на знании физической природы наблюдаемого объекта. Существует большое число объектов, у которых отсутствуют как полная упорядоченность, так и полный хаос. Для описания таких объектов можно использовать сокращенный набор макроскопических переменных, для которых выполняется условие макроскопической причинности. Это означает, что переменные имеют между собой динамическую связь "...и для определения их изменений в различных процессах не нужно всякий раз проводить усреднение по микроскопической динамике" [8]. К таким процессам относится, например, турбулентность, для которой корреляция флуктуаций скорости распространяется на весь диапазон масштабов течения.

Единый подход к описанию ряда геометрических свойств различных физических процессов и структур дает так называемый фрактал-математическое понятие, обозначающее множество точек в метрическом пространстве, для которых невозможно определить какую- либо из традиционных мер с целой размерностью - длину, площадь или объем (первая степень, квадрат и куб длины) [9,10]. Длина для фрактальной кривой может оказаться бесконечной, а площадь- нулевой. Для измерения таких кривых вводится мера Хаусдорфа, которая может иметь как целую, так и нецелую размерность. Фракталом может быть нигде не

дифференцируемая линия на плоскости или в пространстве. Такая линия не имеет определенной длины, т.к. ее из- за недифференцируемости нельзя

аппроксимировать ломаной линией, длина которой стремится к конечному пределу при уменьшении длин звеньев.

Фрактальные структуры присущи также гидродинамической турбулентности [1].

Актуальность проблемы. Задача идентификации динамической системы традиционно решается путем подбора модели, обеспечивающей однозначное описание временной эволюции в пространстве состояний при определенных начальных условиях. Вопреки этой детерминированности имеется целый ряд процессов, которые эволюционируют по сложным хаотическим законам и имеют очень высокую чувствительность к заданию начальных условий.

На протяжении многих лет преобладал детерминистский подход к объектам идентификации и считалось, что стохастичность связана с производством наблюдений. В 1963 году была опубликована статья американского математика Лоренца, работавшего над проблемой предсказания погоды, которая называлась: "Детерминированное непериодическое течение" [11]. В этой работе была представлена динамическая модель, описывающая явление конвекции Релея- Бенара. Необычным было то, что при определенных значениях так называемого управляющего параметра, входящего в систему, ее решение становилось хаотическим. В отличии от господствовавших представлений, по которым хаос есть что- то неправильное, привносимое в систему извне, система сама генерировала хаотическое решение, которое могло быть описано в статистических терминах.

Необычным в этой системе было также поведение фазовой траектории, которая представляла собой аттрактор обладающий странными, взаимоисключающими свойствами: фазовые траектории разбегались, имея положительный показатель Ляпунова с одной стороны и, в тоже время, стягивались в ограниченный объем пространства, с другой стороны. Первое

из этих свойств означало, что предсказать поведение такой системы на длительное время невозможно, небольшая ошибка в задании начальных условии ' развивается и спустя короткое время процесс выходит на другую траекторию. Связь между причиной и следствием становится невидимой.

После появления работы Лоренца были описаны и другие системы, имеющие решение в виде "странного" аттрактора [например, 12,13]. Эти системы объединяет то, что процессы, происходящие в них эволюционируют за счет диссипации (рассеяния) энергии. Поэтому их называют также диссипативными системами.

В 1975 году была опубликована работа Мандельброта "Фракталы-формы, возможности и размерность" , в которой он впервые описал целый класс объектов, обладающих двумя замечательными свойствами: самоподобием и дробной, нецелой размерностью, которая носит название фрактальной. Самоподобие означает, что весь фрактал может быть построен на основе какой- то своей части, поскольку и сам фрактальный объект и его части геометрически подобны друг другу. Оказалось, что странные аттракторы также принадлежат к классу таких объектов и обладают фрактальной размерностью.

На протяжении многих лет преобладал детерминистский подход к процессам и объектам и считалось, что стохастичность связана с производством наблюдений. Работа Лоренца показала, что стохастичность часто органически присуща системе собственно, т.е. вызывается внутренним поведением системы.

*) Из-за экспоненциального разбегания траекторий, чтобы увеличить точность предсказания в 10 раз, нужно увеличить точность задания начальных условий в е10 раз [8].

**) Mandelbrot B.B. Les objets fractals: forme, hasard, et dimension. Paris: Flammarion, 1975. Английский перевод вышел в 1977 году [14].

Такое поведение называют детерминированным хаосом Описанными свойствами обладают так называемые диссипативные системы, т.е. такие, процессы в которых происходят за счет рассеяния (диссипации) энергии. Поэтому иногда детерминированный хаос называют диссипативным хаосом.

Высокая чувствительность к заданию начальных условий приводит к тому, что развитие процессов, порождаемых такими системами, невозможно предсказать на длительный промежуток времени. Для диссипативной системы может быть установлен порог в виде так называемого критического значения г^управляющего параметра г, т.е. параметра имеющего

решающее влияние на поведение системы. Если г < гЬр, поведение системы

ничем особенным не отличается, решение имеет строго детерминированный характер. Если г > г//р, система начинает генерировать хаотическое решение.

Пригожин ввел для диссипативных систем понятие времени Ляпунова т,

величину обратную показателю Ляпунова [8]. Это интервал времени,

внутри которого выражение "две одинаковые системы" сохраняет смысл. При превышении этого интервала утрачивается "память" о начальном состоянии системы. По Пригожину хаотические системы можно охарактеризовать временным горизонтом, который определяется временем Ляпунова. Для увеличения этого горизонта нужно повышать точность задания начальных условий. Поэтому, несмотря на то, что хаос порождается детерминированной системой, предсказание ее будущего состояния за пределами временного горизонта возможно только в вероятностных терминах.

В последние 15-20 лет ведется интенсивное изучение хаотических систем и процессов и имеется определенный прогресс в изучении динамики

*) Детерминированный или диссипативный хаос теперь очень часто называют просто хаос.

нелинейных детерминированных систем на основе анализа странных аттракторов, их размерностей (фрактальных), универсальных бифуркационных последовательностей на пути перехода системы к хаосу. Существенный вклад в это новое понимание внесла компьютерная техника. Ее эволюция позволила развить два основных подхода к идентификации и анализу хаотических процессов.

Первый подход достаточно традиционен и базируется на изучении поведения модели динамической системы достаточно простого объекта, которая представляется в виде системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка и может быть получена на основе представлений о физической природе процесса. Этим путем воспользовался Лоренц. Однако для реальных хаотических процессов практически не всегда представляется возможным найти адекватное описание с помощью системы дифференциальных уравнений.

Второй подход к идентификации хаотических систем основан на наблюдении хаотических процессов и на построении аттрактора в так называемом реконструированном фазовом пространстве, которое восстанавливается из наблюдаемого временного ряда, представляющего собой последовательность дискретных значений какой- либо переменной, генерируемой системой.

Для реализации второго пути Пакард и др. [15] предложили алгоритм восстановления траектории движения объекта в так называемом

реконструированном фазовом пространстве, известный под названием метод задержек. Теоретическое обоснование метода задержек дал Такенс в своих знаменитых теоремах [16]. Один из методов определения размерности пространства вложения (числа независимых переменных) для восстановления аттрактора предложили Брумхид и Кинг [17] .

Задача идентификации параметров хаотического процесса стала особенно актуальной тогда, когда в одних системах понадобилось учитывать очень тонкие эффекты, на которые ранее просто не обращалось внимания, а в других потребовались новые результаты для разработки алгоритмов управления.

Например, для юстировки и испытаний оптических систем больших размеров используются специальные термостатированные стенды-воздушные коллиматоры. Если объектив оптической системы имеет диаметр в пределах 1 м, то существующие коллиматоры позволяют гарантировать получение требуемой точности при испытаниях оптической системы. При увеличении диаметра объектива результаты испытаний становится плохо предсказуемыми, теряется воспроизводимость. Исследования показали, что виновником этого является естественная конвекция воздуха в коллиматоре, которая вызывается перепадами температур в сотые доли Кельвина (при этом значение температуры в коллиматоре поддерживается на уровне 20°С) - возникновение конвекции приводит к дестабилизации рабочего состояния системы [3,18-22]. Естественно, что конвекция существовала всегда, но оптические системы меньших габаритов не обладали такими характеристиками, были грубее и не "замечали" действие конвективных токов. Поэтому необходимой частью проведения испытаний оптических изделий является наблюдение параметров рабочей среды коллиматора, идентификация режима течения воздуха в условиях малых перепадов температур и скоростей потоков . Полученные таким образом данные являются основой для оценки искажений, вносимых неизотермической средой и анализа готовности коллиматора к работе, а также, для разработки дополнительных мер по стабилизации работы коллиматора. В настоящее время актуальным является переход к новым оптическим стендам больших размеров, где обеспечение стабильной работы

стенда - более сложная задача. Тогда информация о конвективных токах может явиться основой для разработки новых стендов.

Таким образом возникла задача идентификации конвективного процесса в объеме коллиматора с дальнейшей целью попытаться применить полученные результаты для управления испытаниями. Частично она может быть решена применением спектрального анализа колебаний [18-20], однако спектральный анализ не дает возможность полностью идентифицировать режим течения. Стандартный путь определения режима течения при конвекции- определение значения числа Рейнольдса, требует знания скорости движения воздуха. Идентификация режима по результатам анализа размерности аттракторов [22-25], впервые предложенная в этой работе, может быть выполнена по результатам наблюдения какого- либо параметра [22-28], например температуры.

Другим примером служат псевдоожиженные слои [4,5], представляющие собой двухфазные системы "твердые частицы- газ". Эти слои существуют только в динамике при продувании газа через слой твердых частиц. Технологии псевдоожижения применяются для различных целей, например для интенсификации сжигания угля в топках. Характеристики отходов, образовавшихся при сгорании, КПД топки и теплоотдача существенно зависят от характеристик слоя, от протекания процессов в нем. Традиционно управление процессами в псевдоожиженом слое базируется на оценивании каких- то усредненных параметров например таких, как порозность, представляющая собой отношение объема частиц ко всему объему слоя, средняя скорость и т. д. Ограничения на состав выбрасываемых продуктов сгорания в совокупности с ценами на топливо и необходимостью максимизировать теплоотдачу требуют проведения идентификации параметров более тонких процессов. Здесь также можно получить ответы на некоторые вопросы применением методов спектрального анализа [29], однако идентифицировать режимы течения и их эволюцию только этими нельзя.

Следующим примером служит идентификация предкатастрофического состояния зданий и сооружений, задача особенно актуальная сейчас. Такая проблема остро стоит не только в районах с высокой сейсмической активностью, но и в городах. Пример 16 декабря 1997г., когда в Москве дал трещину сравнительно новый дом подтверждает это. В городах часто здания бывают расположены над пустотами в земле и бывает достаточно слабой, незаметной причины, чтобы придти к катастрофе. Для разрушения достаточно, чтобы частота слабого внешнего колебания совпала с частотой собственных колебаний здания. При этом совпадении происходит резкое усиление одной компоненты колебательных состояний нарезонанснойчастоте и изменение размерности пространства состояний. Существуют и другие причины, приводящие к таким же последствиям- медленные температурные колебания. Такие колебания стали причиной вышеупомянутой катастрофы в Москве (температура за ночь упала с -7°С до -38°С. Возможно, что здесь также сыграли роль резонансные явления, но этот вопрос также не исследован.

Таким образом имеется целый ряд явлений различной физической природы, общим для которых является хаотическое поведение. Часто оно проявляется в области малых изменений параметров, но влияет на качественные изменения всего процесса.

Объектом исследований в данной работе являются хаотические процессы в различных технических системах, зачастую проявляющиеся в виде слабых колебаний, которые, однако, оказывают основное, решающее влияние на поведение устройств, в которых эти процессы протекают, например таких, как:

■ оптические коллиматоры для юстировки и испытаний оптических систем больших размеров;

■ псевдоожиженные слои;

■ аварийноопасные здания и сооружения.

Традиционные методы идентификации параметров процессов, протекающих в таких системах не позволяют получить ответы на многие вопросы, в том числе на такие:

■ какой характер имеет распределение хаотических колебаний по объему объекта?

■ каким образом можно достоверно идентифицировать режимы этих колебаний?

и как можно хотя- бы качественно предсказать дальнейшее поведение объекта?

■ как определить размерность системы, генерирующей эти колебания?

Таким образом процедура идентификации параметров хаотического процесса в технической системе должна включать:

1. Спектральный анализ колебаний;

2. Построение фазовых траекторий- хаотических (странных) аттракторов в реконструированном пространстве состояний;

3. Анализ аттракторов, их топологии, размерностей и других характеристик и получение на этой основе информации об эволюции системы;

4. Определение размерности системы, порождающей наблюдаемый процесс;

5. Восстановление распределения режимов колебаний по объему.

Целью настоящей работы явилось развитие методов идентификации параметров многомерных хаотических процессов (МХП), основанных на комплексном применении приемов спектрального анализа и анализа детерминированного хаоса как в фазовом, так и в реальном пространстве, позволяющих повысить адекватность моделей и провести решение некоторых частных задач:

1. Сформулировать принципы идентификации параметров МХП с применением спектрального оценивания колебаний объекта, построения аттракторов по экспериментальным данным в фазовом пространстве для исследования особенностей его хаотического поведения, определения размерности аттрактора и размерности, необходимой для построения динамической модели (размерности вложения) и использования этих данных для описания колебательных процессов и пространственных характеристик (режимов колебаний, скоростей, положений) в объекте.

2. На основе принципов идентификации параметров МХП создать методы оценивания параметров больших воздушных объемов и провести их испытания при исследовании конвективных процессов в большеразмерном оптическом стенде (коллиматоре) для юстировки и испытаний больших оптических систем, создать систему мониторинга для оценивания параметров оптического стенда, в процессе испытаний.

3. На основе принципов идентификации параметров МХП создать методы оценивания параметров двухфазных потоков (систем "газ (воздух) - твердые частицы") и провести экспериментальные исследования параметров двухфазных потоков, получить распределения динамических переменных (размерностей колебаний, экспонент

Ляпунова, энтропии Колмогорова) по объему объекта, а также получить хаотические траектории движений посторонних предметов в потоке.

4. На основе принципов идентификации параметров МХП создать и опробовать систему предупреждения аварийной ситуации для зданий и сооружений и сделать прогноз поведения аварийного здания.

Автор защищает:

- метод идентификации параметров хаотических процессов в многомерных хаотических системах, основанный как на применении методов спектрального анализа, так и на анализе хаотического поведения системы в каждой точке реального пространства объекта на основе реконструирования фазовых траекторий (аттракторов) для этих точек и определения на основе их анализа динамических переменных (корреляционных размерностей траекторий, экспонент Ляпунова, энтропии Колмогорова) определении размерностей пространств вложений для аттракторов и минимальной размерности пространств состояний для описания процесса с помощью динамической модели;

- принципы оценивания параметров хаотических процессов в реальном пространстве с восстановлением на основе разработанного метода распределений значений этих параметров с определением пространственных характеристик объекта (вибраций, скоростей, положений, скоростей, фрактальных размерностей траекторий в реальном пространстве).

Практическая ценность

Полученные автором результаты позволяют выйти на новый уровень при идентификации хаотических процессов разной природы. Разработанные им методы позволяют учитывать и анализировать в процессе идентификации даже "слабые" хаотические процессы, оказывающие, однако, решающее

влияние на поведение многих систем и объектов. Автором показано, что к тотальному изменению поведения объекта могут привести, например, колебания температуры с размахом сотые доли Кельвина на уровне +20°С или вибрации здания с амплитудой десятки микрометров.

На основе разработанных методов автор создал инженерные методики для идентификации такого рода процессов:

1 .Разработана методика наблюдений и идентификации режимов течения в воздушном пространстве коллиматора, позволяющая делать выводы о целесообразности испытаний и дать информацию для разработки нового поколения коллиматоров;

2.Разработан метод определения распределения скоростей конвективных течений, который защищен патентом;

3. Разработана методика on- line наблюдений и определения положений постороннего предмета в псевдоожиженном слое в любой момент времени;

4.Разработана методика идентификации режимов колебаний в точках объема псевдоожиженного слоя, позволяющая делать выводы о качестве сгорания, определять застойные зоны и т.д.;

5.Разработана методика идентификации режимов колебаний аварийных зданий и сооружений с целью прогнозирования их состояния.

6.На основе выполненной работы автором создан и поставлен курс лекций "Специальные методы измерений физических величин", который читается студентам специальности "теплофизика" С.-Петербургского государственного института точной механики и оптики (ТУ) и в цикле лекций в курсе "Экспериментальные методы исследований" по направлению "техническая физика" С.-Петербургского государственного электротехнического университета. По этому курсу автор написал и издал учебное пособие [30].

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и приложения.

■р\ и о

В первой главе описывается современный подход к описанию хаотических систем с анализом литературы, посвященной этой проблеме и формулируется метод идентификации параметров многомерных хаотических процессов.

Во второй главе рассматривается применение метода идентификации параметров многомерных хаотических процессов для больших воздушных объемов, с примерами, основанными на результатах исследований выполненных для оптической промышленности, приводятся экспериментальные результаты, полученные при экспериментах на оптических коллиматорах и их интерпретация.

В третьей главе выполнено исследование пространственно-

временной структуры двухфазных потоков, приводятся экспериментальные результаты полученные на модельных установках с псевдоожиженными слоями.

В четвертой главе изложены и анализируются результаты наблюдений аварийного здания СПбГИТМО(ТУ), полученные автором в 1994-1997 годах, приводится их анализ на основе методов идентификации параметров многомерных хаотических процессов и делаются выводы о дальнейшем возможном поведении здания при различных влияниях внешних факторов (перепадов температур, вибраций).

Основное содержание работы докладывалось на Всесоюзном совещании-семинаре молодых ученых (IX Всесоюзная теплофизическая школа), Тамбов, ТИХМ, май 1988 г.; на электротехническом коллоквиуме университета г. Зиген, (Universitaet- Gesamthochschule- Siegen) Германия; на семинаре в техническом университете Гамбург- Гарбург (TU Hamburg- Harburg) в рамках особого раздела исследований № 238 германского общества исследований (DFG- Forschungbereich '238), Германия, Гамбург, 16 декабря 1993 года; на

международной конференции Датчик-95, Москва, МГИЭМ, ноябрь 1995 года; на XXVIII научно- технической конференции профессорско-преподавательского состава СПбГИТМО(ТУ), С.- Петербург, январь 1996 года ; на семинаре кафедры физики Санкт- Петербургского государственного электротехнического университета, 3 декабря 1996 г.; на ХХЗХ научно-технической конференции профессорско- преподавательского состава СГГбГ ИТМО(ТУ), С.- Петербург, январь 1997 года, на 52-й научно-технической конференции С.- Петербургского НТОРЭС им. А.С. Попова, С.Петербург, апрель 1997 г, на семинарах инжиниринговой ассоциации Технического Университета, С.- Петербург, май 1997; на 1-й международной конференции "Control of Oscillations and Chaos", С.- Петербург, 27-29 августа 1997г; на третьей международной конференции "Fluid Dynamic Measurement and Its Applications", 14-18 октября 1997г., Пекин, КНР; на семинаре кафедры компьютерной теплофизики, СПбГИТМО(ТУ), И декабря 1997г.; на семинаре кафедры автоматики и телемеханики, СПбГИТМО(ТУ), 22 января 1998 г.; на постоянно действующем семинаре "Управление колебаниями и хаосом", ИПМАШ РАН, февраль 1998г; на постоянно действующем семинаре "Energie- und Umwelttechnik" института техники энергетики Зигенского Университета, Германия, 14 мая 1998 г.; на второй международной конференции "Дифференциальные уравнения и их применения", 15-20 июня 1998 года; на 7 симпозиуме Sensoren/Messaufnehmer '98", 16-18 Juni 1998, Technische Akademie Esslingen Weiterbildungzentrum; на постоянно действующем электротехническом коллоквиуме факультета электротехники Зигенского Университета, Германия, 26 июня 1998 г.

Результаты работы внедрены в ВНЦ ГОИ им. С И. Вавилова (один акт о внедрении), в СПбГИТМО(ТУ) (один акт о внедрении), в АО "Завод АТИ" (один акт о внедрении), в фирме "Термосталь", в СПбГЭТУ(ЛЭТИ).

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Лукьянов, Геннадий Николаевич

4.4 Выводы по главе 4

1 .Разработана методика идентификации режимов колебаний аварийных зданий и сооружений с целью прогнозирования их состояния. Согласно этой методике вычисляются СПМ, как собственные для каждой переменной, так и взаимные для различных сочетаний переменных, строятся аттракторы в восстанавленном (реконструированном) фазовом пространстве, по этим аттракторам анализируется хаотическое поведение исследуемого объекта и рассматривается совместно с СПМ, на основе чего делаются выводы о состоянии здания или сооружения.

2.Анализ по этой методике показал, что a. размеры трещины напрямую связаны с перепадом температур на наружной стене здания и имеют минимальные размеры при перепаде 9 =0, т.е. при равенстве температур внутри и вне здания. При любых других перепадах трещина расширяется. Поэтому, минимальные размеры трещина имеет летом. b. при наличии резонанса, вызванного внешним воздействием, части здания колеблются синхронно, можно сделать вывод, что на каком-то отрезке пути распространения механического колебания, вызванного внешним источником, имеется жесткая связь между наблюдаемыми частями здания: другими словами трещина не доходит до первых этажей и можно, применив стяжки из швеллеров, стянуть части здания в единое целое.

Заключение

Осуществлено теоретическое обобщение методов идентификации многомерных хаотических систем с распределенными параметрами на основе комплексного применения методов анализа детерминированного хаоса и спектрального анализа и физических представлений о природе исследуемых объектов, что позволило повысить адекватность моделей и определять пространственные характеристики объекта (вибрации, скорости, положения, размерности траектории движения в реальном пространстве) и получить параметры его хаотического поведения в фазовом и реальном пространствах.

В процессе исследования данного направления были решены следующие частные задачи и получены научные и прикладные результаты.

1. Обобщены понятия хаотических систем с распределенными параметрами и сформулированы задачи их исследования.

2. Исследованы модели таких систем на основе методов спектрального оценивания, на основе анализа детерминированного хаоса и на основе фрактального представления в реальном пространстве.

3. Разработаны способы оценивания параметров хаотических систем с распределенными параметрами на основе концепции детерминированного хаоса с использованием спектрального анализа, анализа аттракторов в фазовом пространстве и анализа траекторий движения в реальном пространстве.

4. На основе разработанных способов созданы методы идентификации параметров больших воздушных объемов.

5. Создана измерительная система для оценивания параметров больших воздушных объемов.

6. С применением измерительной системы и созданных методов идентификации параметров больших воздушных объемов проведено исследование конвективных процессов в болыперазмерном оптическом стенде (коллиматоре) для юстировки и испытаний больших оптических систем и получено распределение режимов хаотических колебаний в сечениях коллиматора.

7. Разработанные методы и результаты исследований позволили давать рекомендации о ходе проведения испытаний оптических систем.

8. На основе разработанных принципов созданы методы оценивания параметров двухфазных потоков (систем "газ (воздух) - твердые частицы").

9. С применением разработанных методов идентификации проведены экспериментальные исследования параметров двухфазных потоков: исследована траектория движения постороннего предмета в потоке, распределение режимов хаотических колебаний в объеме реальной установки для псевдоожижения и выявлены застойные зоны.

10. На основе разработанных методов идентификации создана и опробована система предупреждения аварийной ситуации для зданий и сооружений.

11. Оценено влияние окружающей среды на эти колебания, определены их различные составляющие и выполнено прогнозирование состояния для аварийного здания СПбГИТМО(ТУ) по пер. Гривцова, 14.

Список литературы диссертационного исследования доктор технических наук Лукьянов, Геннадий Николаевич, 1998 год

Литература:

1. Argyris John H. Die Erforschung des Chaos: eine Einfuerung fiier Physiker, Ingenieure und Naturwissenschaftler / John Argyris; Guenter Faust; Maria Haase.- Braunschweig; Wiesbaden: Vieweg, 1994,7778.

2. Busse F.H. Convection driven zonal flows and vortices in the major planets.-Chaos 4(2), 1994, 123.

3. Котов B.B., Лукьянов Г.Н., Лютынская M.E. Обеспечение термостатирования крупногабаритных воздушных стендов для юстировки оптических систем.- Изв. вузов, Приборостроение, 1994, т. XXXVII, N5-6 ,с.58-59.

4. Боттерил Дж. Теплообмен в псевдоожиженном слое. - М.: Энергия, 1980,344 е., ил.

5. Kunii D., Levenspiel О. Fluidization Engineering. -N.Y.:John Wiley&Sons, Inc., 1995.

6. Батян П.В., Коняхин И.А., Лукьянов Г.Н. Система предупреждения экологических катастроф на основе мониторинговых наблюдений объектов энергетики и промышленности,- В кн. Оптико- электронные приборы и системы. Сб. научн. Статей. Вып. 96. СПб.: СПбГИТМО(ТУ), 1996. с.78-84.

7. Джалурия Й. Естественная конвекция: Тепло- и массообмен. Пер. с англ. - М.:Мир, 1983. - 400с., ил.

8. Пригожин И., Стенгерс И. Время, хаос, квант.: Пер. с англ. - М.: Издательская группа "Прогресс", 1994- 272 с.

9. Mandelbrot, В. The fractal geometry of nature: W.H. Freeman & Co.- San-Francisco, 1982.

10.Peitgen, H.-O.: Bausteine des Haos: Fraktale/ H.-O. Peitgen; H. Jürgens; D. Saupe.- Berlin; Heidelberg; New York: Springer; Stuttgart; Klett- Gotta, 1992,515S.

11 .Lorenz, E.N. Deterministic nonperiodic flow.-J. Atoms. Sei. 20,1963,130.

12.Gollub J.P, Swinney J.L. Onset of turbulence in a rotating fluid. Phys. Rev. Lett. 35, 1975, 927-930.

13.Fenstermacher P.R., Swinney J.L., Gollub J.P. Dynamical instability and the transition to chaotic Taylor vortex flow. J. Fluid Mech. 94- 1, 1979, p. 103-128.

14.Mandelbrot, B. Fractals- form, chance, and dimension: W.H. Freeman & Co.-San- Francisco, 1977.

15.Packard, N.H., J.P. Crutchfield, J.D. Farmer, R.S. Shaw. Geometry from a time series. Phys. Rev. Lett. 45, 1980,,712.

16.Takens F. Detecting strange attractors in turbulence. Dynamical Systems and Turbulence, Warwick 1980, Lect. Notes Math. 898, Springer- Verlag, Berlin, 1981, S.366-381.

17.Broomhead D.S., King G.P. Extracting qualitative dynamics from experimental data. Physica 20D, 1986, 217-236.

18.Патент на изобретение №2101711, Россия, МКИ G01 Р5/10. Способ определения скоростей в газовых и жидкостных объемах/ Лукьянов Г.Н., Звездина М.Е.; опубл. 10.01.98, Бюл. №1.

19.Лукьянов Г.Н. Многопараметрические наблюдения в движущихся средах на основе температурных измерений. .- В кн. Датчик-95: Тез. докл. межд.конф.М.: МГИЭМД995 с. 36- 37.

20. Лукьянов Г.Н., Звездина М.Е. Оценка погрешности измерения спектральными методами распределений скоростей газовой или жидкой среды. Изв. вузов, Приборостроение, 1997г., N5 с. 22- 24.

21.Лукьянов Т.Н., Звездина М.Е., Котов В.В. Нестационарные режимы течения воздушной среды и качество изображения в крупногабаритной воздушной оптической системе. Науч. - тех. конф. "Прикл. Оптика- 96",113.

22.3вездина М.Е, Лукьянов Г.Н. Экспериментальное исследование процессов тепло- и массообмена в цилиндрическом объеме с воздухом методами спектрального оценивания. Неустойчивость режимов течения и фазовые траектории процессов. Изв. вузов, Приборостроение, 1997г., N7, с.60-63.

23.Lukyanov G.N. Comparison of Results of the Deterministic Chaos Analysis for Identification of Technical and Economic Objects. Control of Oscillations and Chaos. 1997 1st International Conference .P. 321-322.

24.Lukyanov G. Identification of parameters of technical systems on the basis of deterministic chaos theory. Вторая международная конференция " Дифференциальные уравнения и их применение". 15-20 июня 1998. Тез. докл. Стр. 51-52.

25.Lukjanow, G. Schwankungen in Wirbelschichten und deren Untersuchung mit Beschleunigungssensoren. В кн.: "Sensoren und Feldbussysteme". Kaufering: B-Quadrat Verlags GmbH, 1998. S. 420- 427.

26.Fett F.N., Lukjanow G., Wirsum M.Untersuchung von Entmischungsvorgaengen in blasenbildenden Wirbelschichten.- DFG- Zwischenbericht 01.02.199630.06.1996. Siegen: Universitaet- Gesamthochschule- Siegen, 1996,- 43 S.

27.Fett F.N., Lukjanow G., Wirsum M. Untersuchung von Entmischungsvorgaengen in blasenbildenden Wirbelschichten.- DFGAbschlussbericht 01.07.1996- 31.10.1996. Siegen: Universitaet-Gesamthochschule- Siegen, 1996.- 33 S.

28.Lukjanow G.N.Untersuchung von Entmischungsvorgaengen in blasenbildenden Wirbelschichten.- DFG- Abschlussbericht 01.11.1997- 28.06.1998. Siegen: Universitaet- Gesamthochschule- Siegen, 1998.- 74 S.

29.Лукьянов Г.Н. Теплофизические исследования с применением системы автоматизированного сбора и обработки информации. - дисс. на соиск. уч. степ. канд. техн. наук- Л.: ЛИТМО, 1981.

30.Лукьянов Г.Н. Методы исследований систем с детерминированным хаосом. Учебное пособие по курсу "Специальные методы измерений физических величин". -СПб.: СПбГИТМО(ТУ), 1997, 63с., ил.32.

31.Lewen, Ronald W.:Chaos in dissipativen Systemen/Ronald W. Lewen; BerndPeter Koch; Bernd Pompe.-Berlin:Akad. Verl., 1994.-253 S.

32.Справочник по теории автоматического управления/Под ред. A.A. Красовского.-М.: Наука. Гл. Ред. физ.-мат. лит., 1987,- 712 с.

33.Монин A.C., Яглом A.M. Статистическая гидромеханика. Теория турбулентности. Т.1. СПб.:Гидрометеоиздат. 1992- 693с.

34.Ruelle, D., Takens F. On the nature of turbulence.- Commun. Math. Phys. 20,1971, 167.

35.Понтрягин JI.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М.Наука. Гл. ред. физ.- мат. лит., 1974,- 332с.

36.Берже П., Помо И., Видаль К. Порядок в хаосе. О детерминистском подходе к турбулентности: Пер. с франц.- М.: Мир, 1991,- 368 с. ил.

37. Компьютеры и нелинейные явления: Информатика и современное естествознание/Авт. предисл. A.A. Самарский,-М.: Наука, 1988.-192с. ил.

38.Schouten J.С., van den Bleek C.M. Chaotic hydrodynamics of fluidization: consequences for scaling and modelling of fluid reactors.-1991 Annual AIChE Meeting, November 1991, Los Angeles, USA.

39.Schouten J.C., van der Stappen M.L.M., van den Bleek C.M. Deterministic chaos analysis of gas- solids fluidization.- Fluidization-VII. 3-8 Mai, 1992.

40.Lukjanow G., Bonfig K.W. Projektierung von Temperaturmesssystemen mit hoher Aufloesung und Genauigkeit.- Messen und Pruefen, N9, 1991,S.392- 397.

41.Бертова H.B., Лукьянов Г.Н., Черненькая Л .В. Инжиниринговый подход к проектированию сенсорных систем,- В кн. Датчик-95: Тез. докл. межд.конф.М.: МГИЭМ,1995. , с. 554.

42.Дульнев Г.Н., Лукьянов Г.Н., Макаров С.Л., Рысаков A.B., Костенко В.И. Автоматизированная измерительная система для термовакуумных испытаний телевизионной системы "ВЕГА" М.: ИКИ Пр- 1061, 1985 .- 16с.

43.Дульнев Г.Н., Ушаковская Е.Д.Костенко В.И.,Лукьянов Г.Н., Макаров С.Л, Чурсина Г.С. Исследование теплового режима аппаратуры в экстремальных условиях М.: ИКИ Пр- 1396 , 1985 .- 22с.

44. Wirsum, D. Ehrhardt, P. Borheier, G. Lukjanow, F.Fett. Movement and

Dispersion of Large Fuel Particles in Fluidized Beds. Measurement of Trajectory by Electromagnetic Fields and by Acoustical Methods. The Third International Conference on Fluid Dynamic Measurement and Its Applications. October 1417, 1997, Beijing, China p. 349- 354. 45.Schuster, H.G. Deterministisches Chaos.- Weinheim: Physik- Verlag, 1994. 46.Ergun S. Chem. Eng. Proc. 48, 1952, 89.

47.Schouten, J.C. and C.van den Bleek, in: Proc. I 1th Int. Conf. On FBC, ed. E.J. Anthony, Volume 1,1991:', p.459-466. .

48.Grassberger P., Procaccia I. Measuring the strangeness of strange attractors. Physica 9D, 1983, 189.

49.Broomhead D.S., King G.P. Extracting qualitative dynamics from experimental data. Physica 20D, 1986, 217-236.

50.Vongxaya B.Ordnung und Chaos bei nichtlinearen Schwingungen. - Frankfurt a.M.: Verlag Harri Deutsch, 1995 , 87S.

51.Eckmann, J.-P., Ruelle, D. Ergodic theory of chaos and strange attractors. Rev. Mod. Phys.; 57, 1985, 617.

52.Wolf, A., Swift, J.,В., Swinney H.,L., Vastano, A. Determining Lyapunov exponents from a time series. Physica D16, 1985, 285.

53.Landa, P.,S., Chetverikov, V.,1. Sow. Phys. Tech. Phys. 33,1988,263. 54.Sano, M., Sawada, Y. Measurement of the Lyapunov spectrum from a chaotic

time series. Phys. Rev. Lett. 55,1985, 1082.

55.Пайтген X.-O., Рихтер П.Х. Красота фракталов (образы комплексных динамических систем).-М.: Мир, 1993.-176с., ил.

56.Мау, R.M.: Simple mathematical models with very complicated dynamics, Nature 261(1976), 459.

57.Бершадский А.Г. Крупномасштабные фрактальные структуры в лабораторной турбулентности, океане и астрофизике. УФН, т. 160, вып. 12, 1990, с. 189-194.

58.3осимов В.В., Лямшев Л.M. Фракталы и скейлинг в акустике (обзор). Акустический журнал, т. 40, №5, с. 709-737.

59.Разработка и создание макета системы автоматизированного контроля температур при испытаниях высокоразрешающих оптических систем. Отчет о научно исследовательской работе. Лукьянов Г.Н., Тихонов C.B., Макаров С.Л., Кострица В.Н., Лютынская М.Е., Климов H.A. Л.: ВНЦ "ГОИ им.С.И. Вавилова", 1990.

60.Августинович И.Г., Возовой Л.П., Якушин В.И., Численное исследование влияния конвекции на распространение световых лучей в элементах оптических установок. Конвективные течения. Пермь :ПГТИ, 1981г.

61.Температурные измерения. Справочник/ Геращенко O.A., Гордов А.Н. и др. ; Отв. ред. Геращенко O.A.; АН УССР. Ин-т проблем энергосбережения.- Киев: Наукова думка, 1989.- 704с.

62.Теоретические основы теплотехники. Теплотехнический эксперимент.: Справочник/Под ред. чл.-кор. АН СССР В.А.Григорьева, В.М.Зорина.-2-е изд., перераб,- М.: Энергоатомиздат,1988.-560с.- ил,- (Теплоэнергетика и теплотехника; Кн. 2).

63.П.Я.Белоусов, Ю.Н. Дубншцев, И.Г.Пальчикова Измерение поля скорости потоков. -Автометрия, N3, 1982, стр. 34-3 8.

64.Бакрунов А. О. и др. Голографический метод определения поля скоростей дисперсной фазы двухфазного потока. - Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа, N1, 1980.

65.Макс Ж. Методы и техника обработки сигналов при физических измерениях: в2-х томах. Пер. с франц.-М.: Мир, 1983.

66.Марпл.-мл. С.Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения: Пер. с англ.- М.: Мир, 1990 -584с.

6 7. Бен дат Дж., Пирсол А. Прикладной анализ случайных данных Пер. с англ.-М.Мир, 1989, с. 134-135.

68.Розенбаум Р.Б., Тодес О.М. Движение тел в псевдоожиженном слое. -

ЛГУ, 1980.

69.А.С. 1395997 СССР. Способ определения качества псевдоожижения и устройство для его осуществления/Н.В. Пилипенко, В.М. Ключев, B.C. Ходунков; опубл. 1988, бюл. №18.

70.Rowe, P.N., Nienow, A.W. and Aglim A.J.: Trans. Inst. Chem. Eng. 50, 310,324, (1972)

71.Reuter H. Vertikalkraefte auf eingetauchte Korper im Gas-Feststoff-Fliebbett Chemie- Ing. Techn. 38 Jahrg. 1966/Heft, s. 880-887.

72.[ упало Ю.П. Движение тела в кипящем слое. - ИФЖ, 1962, т. 5, №2, с. 15 -18.

73.Розенбаум Р.Б., Тодес О.М, Файнштейн Л.Н. Методика изучения движущегося тела в псевдоожиженном слое. - ИФЖ, 1970, т. 25, №4, с.601 -606.

74. Jinghai Li, Wei Ge, Heping Cui, Jingqiang Ren, and Guihua Quian. Multi- Scale Behavior and Multiple Resolution of Gas/Solid Flow in Circulating Fluidized Beds. The Third International Conference on Fluid Dynamic Measurement and Its Applications. October 14-17, 1997, Beijing, China, p.DT61-DT66.

75.Chungen Yin, Zhongyang Luo a.a. Application of Deterministic Chaos Analysis to Investigating CFB Hydrodynamics. 1997 Fluidized Bed Combustion. Vol.1, s.611-617

76.Yiqian Xu, XiaojunTang a.a.Nonlinear dynamic Characterization of Fluidized Bed Based on Time Series Extracted from Imaging. 1997 Fluidized Bed Combustion. Vol. 1, p. 617-620.

77.Коняхин И.А., Лукьянов Г.Н. Мониторинговые наблюдения крупногабаритных объектов,- В кн. Датчик-95: Тез. докл. межд.конф.М.: МГИЭМ,1995 ,с. 238-239.

78.Батян П.В., Коняхин И.А., Лукьянов Г.Н, Установка оперативного мониторинга жилых и промышленных сооружений. Росинформресурс,. СПбЦНТИ, инф.лист. N 312-95 сер.Р 67.01.81, 1996.

Приложение 1 Теоремы Ф. Такенса

Теорема 1. Пусть М компактное множество размерности т. Для пар (<р, у), (р: М -> М гладкий диффеоморфизм и у: М гладкая функция, общим является свойство, что отображение Ф(ру):М ->• Ш2"'+>, определенное как

Ф(м)(х) = (у(х), уО(х)),..., у(<р2т (х))

есть вложение; как "гладкая " мы понимаем по крайней мере С2.

Доказательство. Предположим, что если хесть точка с периодом к функции <р, к < 2т + 1, все собственные значения производных (¿фк)х различны и отличны от 1. Таким образом, мы предположили, что не существуют два различных фиксированных значения (р на одном и той же уровне у. Для Ф( у) имеется вложение вблизи фиксированной точки х, сопряженные векторы [с1 у)х,с!(у (р)к,...М{у(рь")х должны охватываться Тх*(М) . Это в случае для общего у или й(р удовлетворяет вышеприведенному соотношению для всех фиксированных точек.

В близком случае оказывается, что Ф(р у)есть в общем вложение и точно такое

же вложение если ограничены периодические точки с периодом < 2т + 1. Так мы можем допустить, что для общего {(р,у)мы имеем: Ф(> у), ограниченное

компактной окрестностью Vнабора точек с периодом <2т + \, есть вложение; для некоторой окрестности о для (<р,у),Ф^у)|Уестъ вложение,

если ((р, у) е о. Мы хотим показать, что для некоторых (<р,у)еи, произвольно близких к (<р. у), Ф есть вложение.

Для любой точки хеМ, которая не является точкой с периодом <2т + 1 для <р, сопряженные векторы (с!у)х,с1 (у(у<р2"1)х еТх*(М) могут быть возмущенными независимо от возмущения у. Следовательно, произвольно близкий у здесь есть такой у, что Ф(? у)есть вложение. Тогда здесь имеется положительный атакой, что когда бы ни 0 < р(х,х) < £, Ф - (х) ^(х'); р есть некоторая фиксированная метрика на М. Тогда здесь такая же окрестность и' ей для (<р,у), такая, что для какого- то (<р, у) ей', Ф( у) есть вложение и Ф(ру)(х)^Ф(ру)(х')когда бы ни х^х'и р(х,х)<£. Итак мы предполагаем, что всякий компонент V имеет диаметр меньший, чем е.

Наконец мы покажем, что в и мы имеем пару (д>, у) с вложенной Ф( г Для этого нам нужна конечная последовательность {и^^ открытого

0) для каждого / = 1,...,Ми к = 0,1,....,2т, диаметр (<р ~к (и< £;

(И) для каждого /,7 = 1,...,]Чи к,1= 0,1,....,2т, и

'(Ц 0 имеет следствием к -I.

(¡и) для <р~3 (х) еМ\(и,.и,.), } - 0,... ,2 т, х'£ Уи р(х, х') > £ нет двух точек последовательности х,#Г(х),...,<р1т(х),х',<р(хг).<р2т(х1)принадлежащих к одинаковым II.

подмножества М, покрывающая замыкание М\ так, что:

Мы берем соответствующую часть \к1} от всего, т.е. Х1 не отрицательная

N _

функция с основанием 11* и ХЛОО= ^для всех хеМ\У. Принимая во

внимание отображение Т'.М х М х -> 912"'+1 х 1Я2ж+1 которое определено следующим путем *Р(х, х', 8Х,..., е^) = (Ф =_ (х), Ф _ (х')), где с означает

(<Р, У«) (<р, Ус)

и у + Мы определили \¥с:МхМкак

8 ,-=!

{(х,х') еМ х М|р(х,х') > е и х и х' находятся в 1п1(\г)} . Ч', ограниченное малой окрестностью х в (М х М) х Л, трансверсально относительно диагонали Ш2т+1 х 9?2я!+1. Эта трансверсальность следует непосредственно из всех условий наложенных на покрытие (и. | ^. Из этой трансверсальности мы

заключаем, что имеется такое произвольно малое ~ё е 91л, что Ч,(¥хШ)пД = 0. Итак, если для такого е о, то Ф . есть

* ; (¥>. У*)

вложенное и, следовательно вложение.

Это доказывает, что для плотных наборов пар (<р, у), Ф((р у) есть вложение.

Так как набор всех вложений открыт в наборе всех отображений, он является открытым и плотным множествоом пар (<р,у), для которых Ф(^у.есть

вложение. Это доказывает теорему.

Замечание. Теорема работает для некомпактного М, если мы считаем наши наблюдения правильной функцией.

Теорема2. Пусть Мкомпактное множество размерности т. Для пар (Х,у), Х- гладкое (т.е. , С2) векторное поле и, у - гладкая функция на Мимеется общее свойство, что ФХу:М-> 9?2т+1, определенное через

ФХу(х) = (у(х),у(<рДх)),...,у(#>2ш(х))), есть вложение, в котором (рх есть поток

X.

Доказательство: Доказательство этой теоремы проводится, в основном, так же как и для теоремы 1. В этом случае мы задаем следующие основные свойства для х:

(О Если Х(х) = 0, то все собственные числа {<крх) х:Тх ( М) Тх (М) различны и отличаются от 1;

(Ц) нет периодической интегральной кривой от х, имеющей целый период <2т + 1.

В этом случае ^ удовлетворяет тем же условиям, что и 7р в предыдущем доказательстве. Остальные доказательства такие же, как выше.

Приложение 2. Результаты оценивания скоростей воздушных потоков в оптическом коллиматоре

При построении линий токов приняты во внимание следующие соображения:

- вектора скоростей с одинаковыми абсолютными значениями могут составлять части одного и того же контура течения;

- вектора скоростей, соответствующие одной и той же частоте в спектре.

являются составляющими одного и того же процесса, и, следовательно, могут

быть следом одного и того же вихря.

Так как рассматривается только одно сечение, то полученная схема

движения является проекцией трехмерного поля скоростей на плоскость

течения, осредненная по периоду наблюдения Т.

Полученная картина конвективных течений (рис. П2.1) позволяет судить об их сложности и о значениях скоростей движения воздуха.

Рис. П2.1. Конвективные течения, восстановленные по результатам гл.2.