Геометрические методы оптимизации топологии конструктивных элементов на основе теории фракталов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Жихарев Левиин Алексеевич

• Жихарев Левиин Алексеевич
• кандидат наук
• 2023

Оглавление диссертации кандидат наук Жихарев Левиин Алексеевич

ВВЕДЕНИЕ

1 ПУТИ СНИЖЕНИЯ МАССЫ АВИАЦИОННЫХ КОНСТРУКЦИЙ ПОСРЕДСТВОМ ОПТИМИЗАЦИИ ИХ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЫ

1.1 Существующие методы оптимизации геометрической формы в сравнении с фрактальным методом

1.1.1 Традиционные конструктивные приёмы снижения максимальных напряжений

1.1.2 Оптимизация топологии компьютерных моделей

1.1.3 Применение фрактальной геометрии для снижения массы конструкций

1.2 Постановка задачи диссертационного исследования

1.2.1 Принятые исходные положения

1.2.2 Структурная декомпозиция авиационной техники

1.2.2. Ограничения теоретической удельной прочности практическими прочностными требованиями

1.2.3 Ограничения по производственным издержкам

1.2.3. Вербальная постановка задачи

1.2.4. Математическая постановка задачи

1.2.4 Методика исследования и выбора фрактальных алгоритмов, применимых для создания деталей повышенной удельной прочности

Выводы раздела

2 ВЫБОР ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПРИНЦИПОВ СОЗДАНИЯ ФОРМ С УЛУЧШЕННЫМИ ПРОЧНОСТНЫМИ СВОЙСТВАМИ

2.1 Критерии выбора фракталов для повышения удельной прочности54

2.2 Оценка применимости фракталов типа 1+1/2+1

2.3 Оценка применимости фракталов типа 2+1/2+1

2.4 Оценка применимости фракталов типа 1/3

2.5 Оценка применимости фракталов типа 2/3

2.6 Оценка применимости фракталов типа 3/3

2.7 Выбор перспективных фрактальных конструкций для дальнейшего исследования

Выводы по разделу

3 ИССЛЕДОВАНИЕ И ОПТИМИЗАЦИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЫ ФРАКТАЛЬНЫХ ПАТТЕРНОВ С ПОВЫШЕННЫМИ ПРОЧНОСТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ

3.1 Общие положения исследований фрактальных паттернов

3.2 Разработка и исследование плоского фрактального паттерна -модификации треугольника Серпинского

3.3 Разработка и исследование фрактального паттерна Серпинского

3.4 Разработка и исследование паттерна «Тетраэдр Серпинского»

3. 5 Разработка и исследование универсальной объёмной фрактальной ячейки на основе кривой Коха

Выводы раздела

4 ФРАКТАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ В РЕШЕНИИ ЗАДАЧ ОПТИМИЗАЦИИ ФОРМЫ ТИПОВЫХ ДЕТАЛЕЙ САМОЛЁТОВ

4.1 Оптимизация геометрических параметров фрактальных деталей

4.2 Применение решётки треугольника Серпинского в деталях самолётов

139

4.2 Применение кривой Коха для повышения прочности деталей самолётов

Выводы раздела

5 ВЕРИФИКАЦИЯ ИССЛЕДОВАНИЙ И ПРИМЕНИМОСТЬ ФРАКТАЛЬНЫХ МЕТОДОВ

5.1 Прогнозирование эффективности фрактальной модификации деталей

171

5.2 Оценка достоверности и эффективности методик исследования фрактальных конструкций, применённых в исследовании

5.3 Описание общей методики фрактальной модификации деталей

Выводы раздела

Заключение

Литература

Принятые обозначения и сокращения

ГП - геометрические параметры ИС - иерархическая структура КЭ - конечные элементы; ЛТХ - лётно-технические характеристики; ОТ - оптимизация топологии. ТО - топологическая оптимизация; УП - удельная прочность; СТС - стержневой треугольник Серпинского; ФК - фрактальная конструкция; ФМ - фрактальная модификация; ЭВМ - электронная вычислительная машина; Сп - сложность фрактальной конструкции п-ой итерации; Эо - фрактальная размерность; ¥кр - критическая нагрузка;

ип - теоретическая итерационная устойчивость фрактальной конструкции п-ой итерации;

2п - заполненность фрактальной конструкции п-ой итерации;

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Геометрические методы оптимизации топологии конструктивных элементов на основе теории фракталов»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность. Всем изделиям и конструкциям, используемым на практике, требуется соответствовать ряду эксплуатационных требований, зависящих от области применения. К деталям, работающим при механическом воздействии, предъявляются также требования по соответствию прочностным критериям. Эти критерии во многом определяются массовыми ограничениями, поскольку прочность зависит от массы изделия. Ещё более важной причиной появления ограничений по массе являются эксплуатационные требования, снижающие эффективность использования слишком тяжелых изделий. Таким образом, рациональным становится рассмотрение комплексного свойства - удельной прочности (УП) деталей и конструкций. Под удельной прочностью подразумевается способность изделия воспринимать определённую нагрузку, отнесённую к массе этого изделия.

Особенно снижение массы при неизменных прочностных характеристиках важно для авиационной и ракетной техники. Это позволяет экономить средства за счёт снижения расхода топлива, повышения лётно-технических характеристик (ЛТХ) и увеличения срока эксплуатации из-за снижения эксплуатационных нагрузок. Кроме того, особенностью авиационной отрасли являются высокие требования, предъявляемые к техническому совершенству авиационной техники, а также допустимость высоких расходов, что экономически оправданным применение деталей и конструкций большой стоимости и сложной формы.

Снижение массы возможно путем модернизации геометрии деталей, что является предметом исследования в рамках направления 2.5.1. «Инженерная геометрия и компьютерная графика. Цифровая поддержка жизненного цикла изделий».

Усложнение формы и топологии деталей, оптимизированных под выдерживание нужных нагрузок при минимизации материала, содержащегося в детали, помимо применения современных средств проектирования, требует совершенствования и средств производства. Однако в последние десятилетия

данная сфера обогатилась новыми технологиями. К ним относят многокоординатные станки с ЧПУ, литьё по сложным матрицам, вытравливание и 3D-печать.

Таким образом, можно сделать следующие промежуточные выводы:

- современные средства производства позволяют создавать детали крайне сложной формы;

- их применение в авиационной промышленности оказывается экономически целесообразным;

Задача снижения массы тесно связана с задачей повышения удельной прочности. Действительно, разработав геометрическую форму, обеспечивающую большую прочность при аналогичной массе, можно удалить часть материала, снизив прочность до требуемых значений. Масса при этом закономерно снизится. Данная связь работает и в обратную сторону. Эффект от применения подобных полезных решений, полученных на стыке геометрии и теории сопротивления материалов, можно усилить, повторив их в структуре деталей и конструкций на разных уровнях масштаба.

Геометрия таких структур наиболее близка к фракталам.

Степень разработанности темы. Вопросам повышения прочностной эффективности посвящено огромное количество работ, как зарубежных, так и отечественных авторов. В авиационной и ракетно-космической отрасли данная тема также хорошо изучена. Диссертационное исследование опиралось на труды Белянина П.Н., Егера С.М., Ендогура А.И., Братухина А.Г., Фар-хана А. Д.

В частности, повышению удельной прочности деталей и конструкций геометрическими методами, посвящены работы отечественных и иностранных авторов: Борисенко Т.А., Ендогура А.И., Колганова А.Ф., Schaedler T.A., Jacobsen A.J.

Тема топологической оптимизации активно развивается в современных научных изысканиях, преимущественно иностранных авторов, среди которых:

Aage N., Bruns T.E., Ferrer A., Hu S., Liu C., Micheletti S., Xia. L. В отечественной науке оптимизацию топологии исследовали Оганесян П.А., Шевцов С.Н., Подзирей Ю.С., Прокопов В.С. и прочие.

Основоположниками фрактальной геометрии считаются Мандельброт Б.Б., Вейерштрасс К., Кантор Г., Серпинский В. и другие зарубежные учёные при этом их практическому применению посвящены как труды отечественных авторов: Артемова И.И., Брылкина Ю.В., Булавкина В.В., Лерха, Я.В., Овсянникова В.Е., Целя А.В., так и зарубежных исследователей Dattelbaum D.M., Joye Y., Ostwald M.J., Rayneau-Kirkhope D., Rian I.M.

Фрактальные структуры в целях повышения прочности исследуют зарубежные учёные, такие как: Farr R.S., Jian-Lin Li, Rayneau-Kirkhope D., Rian I.M., Wang J. Среди отечественных исследователей данной теме посвящены работы Кравченко Г. М. и Лукина А.О.

Объект исследования. Структуры, созданные на основе геометрических фракталов.

Предмет исследования. Методики и принципы геометрического моделирования и оптимизации параметров фрактальных структур, обладающих повышенными прочностными характеристиками.

Научная новизна.

1. Предложена новая классификация геометрических фракталов, основанная на учете размерности элемента, применяемого в генерации фрактала (генератора) и размерности пространства, в котором реализуется фрактальный алгоритм. Также созданы новые варианты фракталов, соответствующие предложенной классификации.

2. Разработан способ формирования пространственных фракталов, основанный на следующих приёмах:

- конструирование каркасов одномерных элементов в трёхмерном пространстве;

- выдавливание плоских фракталов перпендикулярно их плоскости.

3. Предложены и апробированы критерии выбора фракталов, позволяющих повышать удельную прочность деталей. Данные критерии основаны на практическом приложении данных о размерности фрактала, заполненности конструкций, создаваемых по его алгоритму, скорости возрастания удельной прочности и устойчивости, а также ограничений сложности таких иерархических структур.

4. Разработана методика создания и оптимизации фрактальных структур, основанная на учете критической нагрузки для местной потери устойчивости, изменяемой возрастающей с ростом числа итераций.

Практическая значимость.

1. Разработанная методика модификации геометрии деталей с использованием фрактальных конструкций обеспечивает снижение их массы без потери функциональности. Результаты подтверждены на примерах деталей авиационной техники - удалось добиться снижения массы от 5 до 35% без потери прочности.

2. Предложены и апробированы критерии выбора фракталов, позволяющих повышать удельную прочность деталей. Данные критерии применяются для прогнозирования массовых и прочностных характеристик конструкций, построенных по фрактальным моделям, а также зависимостей этих характеристик от количества итераций. С их помощью возможно выявление перспективных фрактальных алгоритмов, применимых для повышения прочностных характеристик деталей.

3. Разработана и зарегистрирована программа для ЭВМ «3D-Счётчик фрактальной размерности», номер свидетельства - 2022669026.

4. Результаты внедрены на производства (акты внедрения ПАО «Мегафон» № 03-07-2023 и ОСКБЭС МАИ) и в учебный процесс (внедрено в курс «Инженерное и геометрическое моделирование в цифровом производстве» по программе профессиональной переподготовки преподавателей МАИ и в курс «Системы геометрического моделирования в САПР» для аспирантов МАИ 2-го года обучения).

Соответствие паспорту специальности 2.5.1. По своему содержанию диссертационная работа соответствует следующим пунктам научной специальности 2.5.1. «Инженерная геометрия и компьютерная графика. Цифровая поддержка жизненного цикла изделий»:

п.2 - Теория и практика непрерывного и дискретного геометрического моделирования. Конструирование кривых линий, поверхностей и тел по заданным требованиям;

п.4 - Геометрические методы оптимизации в разных отраслях науки и техники;

п.6 - Геометрические основы процессов проектирования, конструирования и технологии производства с применением компьютерных технологий.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Методика выбора фракталов, применимых для повышения прочностной эффективности;

2. Зависимость удельной прочности от массы и итерации предфракта-лов (пластин Серпинского и Коха, стержневых тетраэдров Серпинского);

3. Методика фрактальной модификаций и оптимизации существующих деталей и конструкций в целях повышения их удельной прочности и жёсткости;

4. Критерий эффективности фрактальной модификации по показателю заполненности детали.

Степень достоверности и апробация результатов. Исследования выполнены с учётом современного состояния изученности темы геометрических решений в области сопротивления материалов.

Эффективность применения фрактальных моделей в целях придания особых прочностных свойств обосновано теоретически, подтверждено экспериментально и положено в основу исследования влияния геометрии на прочностные характеристики физических моделей.

Результаты моделирования проверялись при помощи современных CAM-программ и модулей SolidWorks и Fusion 360. Создание физических моделей осуществлялось при помощи 3D-принтеров. Исследование прочностных свойств таких моделей проводилось на специальных стендах.

Результаты диссертации докладывались:

1. на Всероссийском научно-методическом семинаре «Геометрия и графика» (Москва, 2017, 2022 и 2023);

2. на Всероссийской научно-методической конференции «Проблемы инженерной геометрии» (Москва, 2018-2022);

3. на Международной конференции «Авиация и космонавтика» (Москва, 2019, 2021 и 2022);

4. на V Международной научно-технической конференции "Проблемы машиноведения" (Омск, 2021);

5. на XXX Международной научно-технической конференции «Современные технологии в задачах управления, автоматики и обработки информации» (Алушта, 2021);

6. на Международной конференции по компьютерной графике и машинному зрению Графикон (2021, 2023);

7. на Международной научно-техническая конференция "Строительство, архитектура и техносферная безопасность" (Челябинск, 2021).

Публикации по теме диссертации. Результаты исследований опубликованы в 16 научных работах, 6 из которых - в изданиях, входящих в перечень ВАК (журналы К2), 3 - публикации, индексируемые в международной базе данных Scopus, получено свидетельства о регистрации программы для ЭВМ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы и приложений. Объем диссертационной работы составляет 224 страницы, содержащих 1 49 рисунков, 7 таблиц и 2 приложения.

1 ПУТИ СНИЖЕНИЯ МАССЫ АВИАЦИОННЫХ КОНСТРУКЦИЙ ПОСРЕДСТВОМ ОПТИМИЗАЦИИ ИХ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЫ

1.1 Существующие методы оптимизации геометрической формы в сравнении с фрактальным методом

1.1.1 Традиционные конструктивные приёмы снижения максимальных напряжений

Выявление преимуществ и недостатков фрактальных методов решения задачи повышения удельной прочности конструкций требует рассмотрения существующих альтернативных решений. В проектировании, с развитием теории сопротивления материалов, сформулирован ряд правил задания формы конструкций, обеспечивающих их лучшую прочность.

Деформации, возникающие под действием нагрузок, могут привести к потере устойчивости и разрушению конструкции. Рациональный выбор геометрических параметров конструкции приводит к уменьшению максимальных деформаций, что является увеличением жёсткости.

В общей постановке вопроса задача увеличения жесткости заключается в том, чтобы найти точки наибольших перемещений системы, деформируемой под действием нагрузки, и предотвратить эти перемещения введением элементов растяжения-сжатия, расположенных по направлению перемещений. Увеличить жесткости рам и ферменных конструкций можно при помощи раскосов.

Жесткость стержневой рамы, подвергающейся действию сдвигающих сил Р (рисунок 1.1 а), крайне незначительна и определяется только сопротивлением вертикальных стержней изгибу и жесткостью узлов соединения стержней. Жесткость увеличивают добавлением косынок (рисунок 1.1 б), но более

эффективно введение диагональных связей (раскосов) (рисунок 1.1 в), г), подвергающихся растяжению или сжатию. В последнем случае приходится считаться с возможностью продольного изгиба сжатого стержня. Если нагрузка действует попеременно в обоих направлениях, то применяют раскосы перекрестные или чередующегося направления (рисунок 1.1 д) и е).

Рисунок 1.1 - Схемы действия диагональных связей [62]

Из вышесказанного следует, что повышение жёсткости конструкций зачастую возможно введением элементов треугольной формы, поскольку треугольник, в отличие от остальных выпуклых многоугольников, может изменить углы только при изменении соотношения длин сторон, то есть за счёт растяжения или сжатия своих элементов.

С увеличением наружных размеров деталей и уменьшением толщины их стенок необходимо во избежание местных деформаций повышение жесткости в направлении, поперечном действию изгибающих моментов.

Для конструкций постоянных габаритных размеров справедлива зависимость, показанная на рисунок 1.2, которая определяется формулой Эйлера для критической силы:

п2Е] , ^

^кр = -¡¿г, (1.1)

где Е - модуль упругости материала, J - момент инерции сечения, I -приведённая длина.

ей И

со ^

а и ей К

и о (и Ет 5 н 5 а

Расчётная

критическая

нагрузка

Критическая нагрузка по формуле Эйлера

Фактическая критическая нагрузка

Масса

Рисунок 1.2 - График устойчивой прочности, как комбинация графиков критической нагрузки Эйлера и нагрузки, определяемой по запасу прочности

В области больших масс (то есть при достаточной толщине сжимаемых элементов, относительно их длинны) конструкция разрушается при меньших нагрузках, чем те, при которых теряют устойчивость её элементы. Однако при снижении массы ниже определённого критического значения (точка К на графике, рисунок 1.2), конструкция будет разрушаться вследствие потери устойчивости. Именно в области от нуля до К повышение прочности конструкции определяется повышением её жёсткости. В данной области геометрические методы оказываются наиболее эффективными.

1.1.2 Оптимизация топологии компьютерных моделей

Наиболее активно развивающейся научно-технической сферой создания формы прочных деталей является оптимизация топологии (ОТ) [1, 73, 116]. Под оптимизацией топологии подразумевают применение группы методов размещения материала в пределах ограниченного пространства - области оп-

тимизации. Распределение материала производится в целях оптимизации параметров, таких как внутреннее напряжение, температурный градиент и т.п., и, как правило, производится реализацией программных алгоритмов в системах ЭВМ [107]. Для процесса такой оптимизации характерен многократный пересчёт целевых параметров и постепенное изменение топологии детали, при котором значение параметра увеличивается (уменьшается). Критерием остановки процесса оптимизации служит достижение параметров требуемых, либо экстремальных значений. К получению форм, аналогичных результатам ОТ, приводит генеративный дизайн - процесс, при котором материал наращивается между заданными областями (например - узлами крепления детали). Обычно под оптимизацией топологии подразумевают именно оптимизацию в целях повышения удельной прочности при заданных нагрузках.

Существует множество исследований, подтверждающих эффективность применения топологической оптимизации (ТО) при повышении удельной прочности (УП) деталей и конструкций. В работе [16] удалось добиться снижения массы в 2 разу при потере прочности 10%, а в исследованиях [38, 60] и [86] выигрыш в массе составил 24, 12 и 30 %, при этом прочность возросла в 25, 30 и 40 % соответственно. В статье [1], опубликованной в журнале Nature в 2017 году, авторы при помощи ТО повысили прочность крыла на 92%. На рисунке 1.3 представлены результаты оптимизации топологии кронштейна дифференциала гоночного автомобиля.

В настоящее время известно множество алгоритмов ОТ, кроме того, регулярно предлагаются новые решения задачи такого распределения материала. Основные из них подробно описаны в статье [136]. В рамках данного исследования применяется наиболее простой, изученный и достаточно эффективный SIMP-метод (Solid Isotropic Material with Penalization) - или метод пе-нализации (штрафа, ограничения) для твердого изотропного тела [31, 95, 136].

Рисунок 1.3 - Результаты оптимизации топологии кронштейна дифференциала гоночного автомобиля [86]

В общем случае формы, получаемые в результате топологической оптимизации весьма разнообразны. Результаты ТО сильно отличаются даже в пределах решения одной задачи при изменении параметров оптимизации [117]. Так, в статьях [31, 95] изучается зависимость формы результатов ТО от параметров КЭ. На рисунке 1.4 проиллюстрирована зависимость формы кронштейна от размеров элементов сетки.

Рисунок 1.4 - Изменение формы при увеличении плотности сетки [31]

Оптимизация топологии позволяет генерировать детали, прочность которых при определённых условиях эксплуатации превышает прочность аналогов, созданных традиционными методами проектирования. Сравнению свойств деталей, полученных первым и вторым способами, посвящено множество исследований [16, 33, 38, 60, 73, 86]. Тем не менее, компьютерная ТО

имеет несколько значимых недостатков, не позволяющих использовать её как универсальный метод проектирования прочных деталей.

К недостаткам компьютерной оптимизации топологии можно отнести то, что результатом ТО является модель детали, специализированной для выдерживания строго определённых целевых нагрузок, а во многих случаях ТО ведётся только по одной нагрузке. В процессе же эксплуатации на деталь могут оказывать воздействие силы, не заложенные в условия ТО. С таким воздействием продукты ТО могу справляться хуже деталей, созданных инженерами на основе практического опыта и знаний теории сопротивления материалов.

Второй недостаток ТО связан со сложностью получаемых в её результатах форм: дело в том, что современная теория не позволяет определить их запас прочности на потерю устойчивости с требуемой точностью. По этой причине ни в одном известном автору методе ТО не учитывается возможность потери устойчивости элементов получаемой формы, а значит эффективность оптимизации топологии в области малых масс (левее точки К, см. рисунок 1.2) окажется недостаточной.

И, наконец, ещё одним недостатком ТО, выделяемым во многих исследованиях, таких как [101, 104, 114, 120, 123, 131], являются сложности в определении наилучшей из возможных форм для большинства задач. Эта особенность характерна вообще для задач многопараметрической оптимизации, функция которых зачастую имеет множество локальных экстремумов. При оптимизации топологии количество параметров формы в общем случае не ограничено вовсе, что делает оптимизацию по всем параметрам одновременно очень сложной задачей. Для примера обратимся к исследованию Маттиаса Лангелаара [113], в котором автор предлагает модификацию метода ТО, позволяющую вводить ограничения формы, необходимые для печати полученных моделей на 3D-принтерах без использования поддержек. В данной статье приведено сравнение прочностных свойств деталей, полученных с учётом и без

учёта ограничений для ЗЭ-печати. Результаты сравнения показали, что несмотря на заметные различия полученных форм (рисунок 1.5), их прочность различается незначительно, причём детали, полученные новым методом в разных примерах как превосходили, так и уступали в прочности результатам ТО без ограничений ЗЭ-печати. Данный пример свидетельствует о том, что разные пути оптимизации приводят к различным локальным максимумам, но заранее определить лучшее решение не представляется возможным. Решение описанных проблем ТО может быть получено при создании силовых конструкций на основе фрактальных алгоритмов построения.

а) б)

Рисунок 1.5 - Результат ТО без ограничений печати (а), и с ограничениями (б) [113]

1.1.3 Применение фрактальной геометрии для снижения массы конструкций

В отличие от метода топологической оптимизации, активно развивающегося вместе с компьютерными технологиями, фрактальный метод не столь широко исследован, не имеет общепризнанных методик и их классификаций [32] (по крайней мере, на момент написания диссертации автором не было об-

наружено достаточного количества литературы, позволяющей сделать обратный вывод). Имеется несколько исследований с весьма успешным применением фрактальных алгоритмов создания прочных и лёгких конструкций [125, 126, 127], но в данных источниках не приводится общей формулировки положений фрактальных методов. Основываясь на известных примерах его применения, можно сформулировать суть фрактального метода как итеративное повторение успешного геометрического приёма повышения устойчивости конструкции на её разных масштабных уровнях.

В этой связи перед анализом известных методов применения фракталов для решения задачи повышения удельной прочности, целесообразно привести систематику фракталов с учётом возможности их применения в рамках поставленных задач, а также рассмотреть важнейшее свойство фракталов - наличие дробной размерности.

В большинстве источников выделяют на три вида фракталов: алгебраические, геометрические и стохастические [107, 119]. Алгебраические фракталы представляют собой множества, генерируемые при помощи алгебраических формул. Чаще всего они задаются на комплексной плоскости, однако можно расширить её до гиперкомплексного пространства [8, 124] (рисунок 1.6).

Рисунок 1.6 - Гиперкомплексные множества Жюлиа и Мандельброта

В большинстве случаев геометрические модели алгебраических множеств топологически не сплошные, а значит создание их физических моделей затруднено - получаемые тела не соединяются между собой в одну конструкцию.

Геометрические фракталы создаются на основе геометрических объектов при помощи геометрических преобразований [34]. Фракталы обладают дробной размерностью - как правило, большей размерности генератора и меньшей, чем размерность пространства.

Стохастические фракталы отличаются наличием элементов случайности в алгоритме их построения. При этом они могут быть созданы как на основе алгебраических выражений, так и при помощи геометрических построений. Стохастические фракталы хорошо моделируют объекты реального мира, но, вероятно, не обладают преимуществами при создании геометрии конструкций, призванных выдерживать большие нагрузки, так как случайности в выборе геометрических параметров генерируемых конструкций неизбежно приведут к возникновению ослабленных элементов, которые снизят общую прочность. Данная работа не содержит дельнейшего исследования стохастических фракталов.

Рисунок 1.7 - Примеры алгебраических (а), геометрических (б) и стохастических (в) фракталов.

Понятие фрактала тесно связано с определением размерности, поскольку классическое определение фрактала, данное Мандельбротом в [118, 119] формулируется следующим образом: «Фракталом называется множество, размерность Хаусдорфа-Безиковича для которого строго больше его топологической размерности».

Среди прочих видов размерностей для геометрических фракталов имеет значение топологическая размерность. Она является топологическим инвариантом - т.е. что кривая, которая является гомеоморфным образом интервала, имеет топологическую размерность DT = 1, а поверхность, которая является гомеоморфным образом плоской области, имеет топологическую размерность Dt = 2 [96].

Другое определение размерности было предложено Хаусдорфом. [83, 103]. Однако, несмотря на математическую стройность данного определения, высчитывать размерность Хаусдорфа крайне сложно, поэтому на практике чаще применяют размерность Минковского [48]:

ln N(l) ln N(l) D0 = lim-z— = lim—:——, (1.2)

0 ln - -ln l

i

где N(l) - минимальное число объектов с размером l, необходимое для полного покрытия множества, для которого определяется размерность [48]. То есть размерность Минковского - это величина, характеризующая изменение числа элементов покрытия при изменении l:

N~r°o

Для определения фрактальной размерности самоподобных фракталов можно применить ещё более простое определение. Пусть имеется некий n-мерный фрактал. Разделим его на m равных частей и будем итеративно продолжать деление до бесконечности. Тогда каждый уровень такого деления будет состоять из MD частей предыдущего уровня - обозначим это количество через N (N = Мп). После преобразования:

InN

N = MD => InN = lnMD => D0 =

InM

Поскольку М = 1//, где / - размер каждой части, выраженный через размер части предыдущего уровня, получаем:

1пЫ 1пЫ 1пЫ

I

Отметим, что практически во всех случаях, за малым исключением, для одного объекта значения фрактальной размерности, размерности Хаусдорфа и Минковского совпадают [1]. В дальнейшем будем обозначать её О0, понимая под ней размерность Минковского.

Многие геометрические фракталы допускают вариативность алгоритма их построения. Изменяя параметры алгоритма, можно получать множества различных размерностей. В качестве иллюстрации обратимся к кривой Коха. Для определения её размерности разобьём кривую на 4 одинаковых участка АБ, БС, СД и ДЕ (рисунок 1.8), каждый из которых отличается от целого лишь масштабом. Из построения следует, что любой участок меньше всей кривой в 3 раза. Данный фрактал самоподобен, поэтому применимо выражение (1.3).

Тогда N = 4, / = 1/3

1п(4)

Д, =--тк * 1,2619

Чз)

Рисунок 1.8 - Самоподобная кривая Коха: участок АБ аналогичен всей

кривой

Изменение алгоритма построения позволят получать фракталы с иными размерностями: на рисунке 1.9 приведены кривые Коха с коэффициентами подобия к = 0,3; 0,4; 0,44; 0,475 и размерностями 1,1514; 1,5129; 1,6769; 1,8621 соответственно.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Жихарев Левиин Алексеевич, 2023 год

Литература

1. Александров, П.С. Введение в теорию размерности. / П.С Александров., Б.А. Пасынков - М.: Наука, 1973. - С. 573.

2. Артемов, И.И. Технологическое обеспечение качества поверхностного слоя поршневых колец на основе оценки его характеристик с применением теории фракталов / И.И. Артемов, А.А. Генералова, Н.Е. Артемова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. - 2012. - №. 3 (23). - С. 85-94.

3. Астахов, М.Ф. Справочная книга по расчету самолета на прочность / М.Ф. Астахов, А.В. Караваев, С.Я. Макаров, Я.Я. Суздальцев - М.: Оборонгиз, 1954. - С. 411-412.

4. Белкин, В.А. К проблеме повышения топливной эффективности гражданских самолетов / В.А. Белкин // Научный вестник Московского государственного технического университета гражданской авиации. - 2015. - №. 219 (9). - С. 121-126.

5. Белянин, П.Н. Производство широкофюзеляжных самолетов / П. Н. Белянин - М: Машиностроение, 1979. - 358 с.

6. Божокин, С. В. Фракталы и мультифракталы / С. В. Божокин, Д. А. Паршин. - Ижевск, 2001. - 128 е.,

7. Шишкин Е.И. Моделирование и анализ пространственных и временных фрактальных объектов. - Екатеринбург: Изд-во УрГУ, 2004. - 89 с.,

8. Бойков, А. А. О создании фрактальных образов для дизайна и полиграфии и некоторых геометрических обобщениях, связанных с ними / А.А. Бойков, Е.В. Орлова, А.В. Чернова, А.А. Шкилевич // Проблемы качества графической подготовки студентов в техническом вузе: традиции и инновации. - 2019. - Т. 1. - С. 325-339.

9. Борисенко, Т.А. Технологии снижения удельного веса конструкций / Т.А. Борисенко, Е.А. Карелина // Актуальные проблемы авиации и космонавтики. - 2019. - Т. 2. - С. 676-677.

10. Братухин, А.Г. Современные технологии авиастроения / А. Г. Бра-тухин, Ю. Л. Иванов,Б. Н. Маврин; под ред. А.Г. Братухина, Ю.Л. Иванова. -М.: Машиностроение, 1999. - 832 с.

11. Брылкин, Ю.В. Рационализация алгоритма моделирования поверхности методом броуновского движения по критерию минимизации количества итераций / Ю.В. Брылкин // Геометрия и графика. - 2017. - Т. 5. - №2 1. - С. 4350. - DOI: https://doi.org/10.12737/25123

12. Букейханов, Н. Р. Инновационные подходы к решению проблем ресурсосбережения в машиностроении / Н.Р. Букейханов, И.М. Чмырь // Вестник МГТУ Станкин. - 2008. - №. 4. - С. 161-166.

13. Булавкин, В.В. Синергетический подход на основе фрактальных сигнатур в задачах качественной и количественной оценки микрорельефа обработанных поверхностей изделий / В.В. Булавкин, А.А. Потапов, О.Ф. Вячесла-вова // Нелинейный мир. - 2005. - Т. 3. - №. 1-2. - С. 128-145.

14. Бурова, Е.М. Построение кривых гильберта в системе математика / Е. М. Бурова // Альманах мировой науки. - 2016. - №. 8. - С. 6-9.

15. Виноградов, И.М. Математическая энциклопедия / Гл. ред. И.М.

Виноградов. - Москва : Сов. энциклопедия, 1985. - 1151 с.

16. Власенков, А.Н. Оптимизация конструкций изделий с применением систем автоматической оптимизации / А.Н. Власенков, А.П. Павлов, Д.Ю. Пасечник // Наука и бизнес: пути развития. - 2020. - №. 10. - С. 16-21.

17. Волков, В. Я. Графические оптимизационные модели многофакторных процессов: монография / В.Я. Волков, М.А. Чижик; В.Я. Яковлев, М.А. Чижик; Федеральное агентство по образованию РФ, Омский гос. ин-т сервиса, Каф. конструирования швейных изделий. - Омск: ОГИС, 2009. - 100 с. - ISBN 978-5-93252-103-8. - EDN QJVCOH.

18. Вялов, А. В. Основы технологии производства самолётов : учеб. пособие /А.В. Вялов. - 2-е изд., доп. - Комсомольск-на-Амуре : ФГБОУ ВПО Комсомольск-на-Амуре: ФГБОУ ВПО «КнАГТУ», 2013. - 145 с.

19. Гальченко, А.В. Долгосрочный прогноз стоимости боевых летательных аппаратов и численности ВВС стран мира / А.В. Гальченко, В.А. Тегин // Вооружение и экономика. - 2012. - №. 3. - С. 73-84.

20. Гийон, Э. Фракталы и перколяция в пористой среде / Э. Гийон, К.Д. Митеску, Ж.П. Юлен // Успехи физических наук. - 1991. - Т. 161. - №. 10. - С. 121-128.

21. Глухов, В.В. Экономическая эффективность технологии прямого лазерного выращивания в промышленности / В.В. Глухов, Г.А. Туричин // Теоретические основы формирования промышленной политики. - 2015. - С. 176-190.

22. Голиков, А.В. Анализ влияния типа решетки на распределение усилий в элементах башни / А.В. Голиков, Е.А. Михальчонок, Ю.А. Мельникова // Инженерный вестник Дона. - 2019. - №. 4 (55). - 53 с.

23. Горобец, О. iQB Technologies. Как снизить вес элемента конструкции самолета на треть. 3D-принтеры. - 2019. - 3 с. - Текст: электронный [сайт] - URL: https://habr.com/ru/company/iqb_technologies/blog/444480/.

24. Дондуков, А.Н. Маневренный учебно-тренировочный и многоцелевой самолет "ЯК-130" / А.Н. Дондуков, О.Ф. Демченко, Н.Н. Долженков, А.И. Матвеев, К.Ф. Попович, В.П. Школин, В.Н. Фесенко // 2000. [Патент].

25. Дубровина, Н. А. Применение энерго- и металло-сберегающих технологий в российском машиностроении / Н.А. Дубровина // Вестник Самарского государственного экономического университета. - 2012. - №. 1. - С. 17-20.

26. Егер, С.М. Основы авиационной техники / С.М. Егер, А.М. Матве-енко, И.А. Шаталов. - М.: Машиностроение, 2003. - С. 278-279.

27. Ендогур, А. И. Проектирование авиационных конструкций. Проектирование конструкций деталей и узлов: учебное пособие для студентов высших учебных заведений РФ / А.И. Ендогур; Федеральное агентство по образованию, Московский авиационный ин-т (гос. технический ун-т). - М: Изд-во МАИ-ПРИНТ, 2009. - 537 с.

28. Ендогур, А.И. Сотовые конструкции: Выбор параметров и проектирование / А. И. Ендогур, М. В. Вайнберг, К. М. Иерусалимский. - М. : Машиностроение, 1986. - 198 с.

29. Ендогур, А.И. Проектирование трёхслойных конструкций с объёмно-стержневым заполнением: методы синтеза современных самолётов / А.И. Ендогур, С.М. Жуков, А.Ф. Колганов. - М.: Изд-во МАИ, 1984

30. Жилин П.А. Прикладная механика. Основы теории оболочек: Учеб. Пособие / П.А. Жилин. - СПб.: Изд-во Политехнического университета, 2006. - 167 с.

31. Жихарев, Л. А. Фрактальные графики эффективности оптимизации топологии в решении проблемы зависимости прочности от сетки / Л.А. Жихарев // Геометрия и графика. - 2020. - №. 3. - С. 25-35. - 001: https://doi.org/10.12737/2308-4898-2020-25-35

32. Жихарев, Л.А. Обзор геометрических способов повышения удельной прочности конструкций: топологическая оптимизация и фрактальные структуры / Л.А. Жихарев // Геометрия и графика. - 2022. - №.4. - С. 46-62. - Б01: https://doi.org/10.12737/2308-4898-2022-9-4-46-62.

33. Жихарев, Л.А. Облачная оптимизация топологии / Л.А. Жихарев // Журнал технических исследований. - 2020. - Т. 6. - №. 2. - С. 15-20.

34. Жихарев, Л.А. Обобщение на трехмерное пространство фракталов Пифагора и Коха. Часть 1 / Л.А. Жихарев // Геометрия и графика. - 2015. -Т. 3. - №. 3. - С. 24-37. - Б01: https://doi.org/10.12737/14417.

35. Жихарев, Л.А. Фракталы в трехмерном пространстве. 1-фракталы / Л.А. Жихарев // Геометрия и графика. - 2017. - Т. 5. - № 3. - С. 51-66. - Б01: 10.12737/article_59bfa55ec01b38.55497926.

36. Жихарев, Л.А. Фрактальные размерности / Л.А. Жихарев / Геометрия и графика. - 2018. - Т. 6. - № 3. - С. 33-48. - Б01: 10.12737/агйе1е 5Ье45918192362.77856682.

37. Иванова, А.С. Синергетика и фракталы в материаловедении / В.С. Иванова, А.С. Баланкин, И.Ж. Бунин, А.А. Оксогоев; Отв. ред. Н. П. Лякишев; Рос. АН, Ин-т металлургии им. А.А. Байкова. - М.: Наука, 1994. - 382 с.

38. Камардина, Н.В. Топологическая оптимизация детали «Серьга» / Н.В. Камардина, Р.М. Гусейнов, И.К. Данилов, [и др.] // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия: Инженерные исследования. - 2020. -Т. 21. - №. 1 - С. 20-26. - DOI: http://dx.doi.org/10.22363/2312-8143-2020-21-1-20-26 .

39. Кантор, Г. Труды по теории множеств / Г. Кантор. - М.: Наука, 1985. - 124 с.

40. Карпов, Я.С. Реализация информационных технологий в проектировании и конструировании агрегатов самолета / Я.С. Карпов // Вопросы проектирования и производства конструкций летательных аппаратов. - 2012. -№. 4. - С. 7-14.

41. Коврижных, Е.Н. Практическая аэродинамика самолета DA 40NG: учеб. пособие / Е. Н. Коврижных, А. Н. Мирошин, Б. Н. Рознин. - Ульяновск: УИ ГА, 2016. - 107 с. - ISBN 978-5-7514-0244-0.

42. Колганов, И.М. Технологичность авиационных конструкций, пути повышения. Часть1. Учебное пособие / И.М. Колганов, П.В. Дубровский, А.Н. Архипов. - Ульяновск: УлГТУ, 2003. - 148 с.

43. Кононова, И.Е. Моделирование трехмерных пористых иерархических материалов, организованных посредством самосборки наносфер / И.Е. Кононова, В.А. Мошников, П.В. Кононов // Известия высших учебных заведений России. Радиоэлектроника. - 2017. - №. 5. - С. 54-61.

44. Коренькова, С. Ф. К вопросу о фрактальной размерности нанотехно-генного сырья / С.Ф. Коренькова, Ю.В. Сидоренко // Нанотехнологии в строительстве: научный Интернет-журнал. - 2010. - №. 3. - С. 26-32.

45. Кочина, П.Я. Карл Вейерштрасс, 1815-1897 / П.Я. Кочина. - М.: Наука, 1985. - 271 с.

46. Кравченко, Г. М. Поколения фрактальной структуры / Г.М. Кравченко, Л.И. Пуданова // Инженерный вестник Дона. - 2019. - №. 4 (55). - С. 20.

47. Кривоносова, Е.А. Применение теории фракталов в металловедении сварки и покрытий / Е.А. Кривоносова // Сварка и диагностика. - 2008. - №. 1.

- С. 2-5.

48. Кроновер, Р.М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории / Р.М. Кроновер. - М.: Постмаркет, 2000. - 352 с.

49. Кучерявский, С.В. Применение методов анализа многомерных данных к исследованию структуры материалов / С.В. Кучерявский, В.В. Поляков // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. - 2007. - Т. 73. - №. 8. - С. 32-36.

50. Лерх, Я.В. Компьютерное моделирование формирования фрактальных кластеров никеля и углерода в двумерных и трехмерных наносистемах : специальность 02.00.04 "Физическая химия" : диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук / Лерх Яков Валерьевич.

- Барнаул, 2009. - 127 с.

51. Лукин, А.О. Совершенствование конструктивного решения балки с гофрированной стенкой / А.О. Лукин, В.Ю. Алпатов, Д.Д. Чернышев // Градостроительство и архитектура. - 2016. - №. 2. - С. 4-9.

52. Маданов, А.В. Основные проблемы при обработке авиационных деталей сложной геометрии на станках с числовым программным управлением и пути их решения / А.В. Маданов, А.Ф. Нейчев // Научный журнал. - 2015. -№. 1. - С. 14-16.

53. Манжула, К. П. Оптимизация геометрии и массы коробчатой балки с криволинейными стенками при расчете на местную устойчивость от изгибающего момента / К.П. Манжула, А.В. Наумов // Научно-технический вестник Брянского государственного университета. - 2019. - №. 4. - С. 481-487. - 001: 10.22281/2413-9920-2019-05-04-481-487.

54. Минияров, А.Х. Вентильно-индукторный генератор: развитие технологии в электротранспорте / А.Х. Минияров, А.М. Веселов, Е.А. Пронин, Р.М. Асилгужин, А.И. Шайхлисламов, Д.Ю. Пермин // Электротехнические комплексы и системы. - 2021. - С. 347-351.

55. Нагиев, А.Г. Моделирование нестационарных процессов переноса вещества и адсорбции в пористой среде на основе фрактала "губка Менгера" / А.Г. Нагиев, Д.И. Мамедов // Известия высших учебных заведений. Серия: Химия и химическая технология. - 2009. - Т. 52. - №. 10. - С. 141-145.

56. Нестеренко, Г.И. Ресурс и срок службы конструкций самолетов / Г.И. Нестеренко // Проблемы машиностроения и надежности машин. - 2010.

- №. 1. - С. 121-124.

57. Ногин, В.Д. Множество и принцип Парето: Учебное пособие. — 2-е издание, исправленное и дополненное / В.Д. Ногин. - СПб.: Издательско-по-лиграфическая ассоциация высших учебных заведений, 2022. - 110 с.

58. Овсянников, В.Е. Применение фрактальных моделей для исследования циклической прочности металлических материалов / В.Е. Овсянников, Р.Ю. Некрасов, О.Ю. Теплоухов, И.Н. Кокорин // Инженерный вестник Дона.

- 2020. - №. 2 (62). - 42 с. - DOI: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n2y2020/6260.

59. Овчинников, А.В. Некоторые применения фракталов в нефтегазовой отрасли / А.В. Овчинников; Молодёжь и наука: Сборник материалов VIII Всероссийской научно-технической конференции студентов, аспирантов и молодых учёных, посвященной 155-летию со дня рождения К. Э. Циолковского. -Красноярск: Сибирский федеральный ун-т. - 2012. - 5 с. - Текст: электронный [сайт] - URL: https://textarchive.ru/c-1866768.html.

60. Оганесян, П.А. Оптимизация топологии конструкций в пакете ABAQUS / П.А. Оганесян, С.Н. Шевцов // Известия Самарского научного центра Российской академии наук. - 2014. - Т. 16. - №. 6(2). - С. 543-549.

61. Орешко, Е.И. Особенности расчетов устойчивости стержней и пластин / Е.И. Орешко, В.С. Ерасов, А.Н. Луценко // Авиационные материалы и

технологии. - 2016. - №. 4 (45). - С. 74-79. - Б01: 10.18577/2071-9140-20160-4-74-79.

62. Орлов, П.И. Основы конструирования / П.И. Орлов; справ.-метод. пособие. В 2 кн./под ред. ПН Учаева. - М.: Машиностроение, 1988. - 623 с.

63. Пешков, А.В. Снижение материалоемкости строительного производства: инновационные решения и адекватные механизмы регулирования / А.В. Пешков // Вестник Иркутского государственного технического университета. - 2013. - №. 10 (81). - С. 349-355.

64. Пикуль, В.В. Приведение теории устойчивости оболочек в соответствие с экспериментом / В.В. Пикуль // Вестник Нижегородского университета им. НИ Лобачевского. - 2011. - №. 4-4. - С. 1702-1704.

65. Пикуль, В.В. К теории устойчивости оболочек / В.В. Пикуль // Вестник Дальневосточного отделения Российской академии наук. - 2006. - №. 4. -С. 81-86.

66. Пимонов, И.А. Комплекс программ для оценки и анализа фрактальных свойств фондового рынка / И.А. Пимонов, А.И. Трегуб // Вестник Кузбасского государственного технического университета. - 2008. - №. 4. - С. 105110.

67. Плешанов, В.С. Особенности применения теории фракталов в задачах анализа изображений / В.С. Плешанов, А.А. Напрюшкин, В.В. Кибиткин // Автометрия. - 2010. - Т. 46. - №. 1. - С. 86-97.

68. Погосян, М.А. Применение отечественных суперкомпьютерных технологий для создания перспективных образцов авиационной техники / М.А. Погосян, Е.П. Савельевских, Р.М. Шагалиев [и др.] // Вопросы атомной науки и техники. Серия: Математическое моделирование физических процессов. - 2013. - №. 2. - С. 3-18.

69. Подзирей, Ю.С. Авиационная технология для конструирования полноприводного автотранспортного средства / Ю.С. Подзирей // Транспортное, горное и строительное машиностроение: наука и производство. - 2020. - №. 6. - С. 19-27.

70. Поморов, С.Б. Фракталы и их участие в архитектурном проектировании / С.Б. Поморов, А.А. Филиппов // Ползуновский вестник. - 2014. - №. 1. -С. 141-147.

71. Потапов, А.А. Новые информационные технологии на основе вероятностных текстурных и фрактальных признаков в радиолокационном обнаружении малоконтрастных целей / А.А. Потапов // Радиотехника и электроника. - 2003. - Т. 48. - №. 9. - С. 1101-1119.

72. Потапов, А.А. Исследование микрорельефа обработанных поверхностей с помощью методов фрактальных сигнатур / А.А. Потапов, В.В. Булав-кин, В.А. Герман [и др.] // Журнал технической физики. - 2005. - Т. 75. - №. 5. - С. 28-45.

73. Прокопов, В.С. Преимущества использования метода топологической оптимизации на этапе проектирования промышленного продукта / В.С. Прокопов, Д.С. Вдовин, С.С. Хрыков // Системы проектирования, технологической подготовки производства и управления(CAD/CAM/PDM-2017) труды XVII международной научно-практической конференции. Под ред. А.В. Толока, Институт проблем упр. им. В.А. Трапезникова. - 2017. - С. 26-29.

74. Родионов, Ю.В. К вопросу оптимизации гарантийного срока обслуживания автомобилей / Ю.В. Родионов // E-Scio. - 2019. - №. 4 (31). - 6 с. -Текст: электронный [сайт] - URL: https://e-scio.ru/?p=6142

75. Рябов, А.Н. Консолидация научного знания в технологии машиностроения инструментами четвертой промышленной революции / А.Н. Рябов // Вестник Рыбинской государственной авиационной технологической академии им. ПА Соловьева. - 2019. - №. 2. - С. 61-65.

76. Савилов, А.В. Современные технологии механообработки и формообразования авиационных деталей / А.В. Савилов // Новые технологии, материалы и оборудование российской авиакосмической отрасли. - 2016. - Т 1.-С. 494-499.

77. Самойлов, И.А. Развитие парка самолетов российских авиакомпаний / И.А. Самойлов, О.Ю. Страдомский, В.С. Шапкин // Научный вестник ГосНИИ ГА. - 2012. - №. 2. - С. 7-14.

78. Свищёв, Г.П. Авиация, энциклопедия. / Г.П. Свищёв - М.: Научное издательство «Большая Российская энциклопедия», ЦАГИ, 1994. - 735 с.

79. Степанова, Е.Ю. Аддитивные технологии в авиакосмическом и энергетическом машиностроении / Е.Ю. Степанова, М.А. Бурнашов, Ю.С. Степанов // Энерго- и ресурсосбережение - XXI век.: материалы XV международной научно-практической интернет-конференции (15 марта - 30 июня 2017 г., г. Орёл, ОГУ имени И.С. Тургенева) / под редакцией д-ра техн. наук, проф. О.В. Пилипенко, д-ра техн. наук, проф. А.Н. Качанова, д-ра техн. наук, проф. Ю.С. Степанова. - Орёл: ОГУ им. И.С. Тургенева. - 2017. - С. 137-142.

80. Стрелец, М.Ю. Влияние конструктивно-технологических параметров планера самолета на его стоимость / М.Ю. Стрелец, В.Н. Попик, А.И. Прусаков [и др.] // Труды МАИ. - 2011. - №. 47. - С. 4-4.

81. Фархан, А.Д. Технология изготовления конструктивных деталей самолетов / А.Д. Фархан, Е.В. Маркова, Т.В. Денисова // Наука и Образование. - 2019. - Т. 2. - №. 2. - С. 7-14.

82. Федорова, Т.Г Экспериментально-теоретическое исследование упру-гопластического деформирования, потери устойчивости и закритического поведения цилиндрических оболочек с сыпучим заполнителем при изгибе: монография / Т.Г. Федорова. - Чебоксары: ИД «Среда», 2018. - 184 с.

83. Хаусдорф Ф. Ф. Хаусдорф; Пер. с нем. Н. Б. Веденисова; под ред. и с доп. проф. П. С. Александрова и проф. А. Н. Колмогорова. - М.: Рипол Классик, 2014. - 305 с.

84. Цель, А.В. Компьютерная реализация фрактального ряда / А.В. Цель // Тольяттинский государственный университет. - 2019. - 52 с.

85. Чумаков, Д.М. Перспективы использования аддитивных технологий при создании авиационной и ракетно-космической техники / Д.М. Чумаков // Труды МАИ. - 2014. - №. 78. - С. 31.

86. Шаболин, М.Л. Применение расчётов методом конечных элементов и топологической оптимизации при проектировании автомобиля класса «Формула студент» / М.Л. Шаболин // формула студент : сборник статей Международной студенческой научно-технической школы, Москва, 22-24 ноября 2016 г. / Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования "Российский университет дружбы народов", Инженерная академия, Департамент машиностроения и приборостроения. - М.: Российский ун-т дружбы народов. - 2016. - 64 с. - ISBN 978-5209-07770-1.

87. Щепин, Е.В. Минимальная кривая Пеано / Е.В. Щепин, К.Е. Бауман // Геометрия, топология и математическая физика. I, Сборник статей. К 70-летию со дня рождения академика Сергея Петровича Новикова. - М.: Труды МИАН, 263, МАИК «Наука/Интерпериодика». - 2008. - С. 251-271.

88. Aage, N. Giga-voxel computational morphogenesis for structural design / N. Aage, A. Erik, S.L. Boyan, S. Ole // Nature. - 2017. - Vol. 550. - No. 7674. -pp. 84-86.

89. Babaytsev, A.V. Designing and Calculation of Extruded Sections of an Inhomogeneous Composition Russian Metallurgy / A.V. Babaytsev, A.A. Zotov // Metally. - 2019. - Vol. 13. - pp. 1452-1455.

90. Branch, B.A. Directional shock diode behavior through the interaction of geometric voids in engineered polymer assemblies / B.A. Branch // Journal of Applied Physics. - 2020. - Vol. 128. - No. 24. - C. 245903.

91. Bruno, A.P. Technology trajectory in aviation: Innovations leading to value creation (2000 - 2019) / A.P. Bruno, L. Gui, H. Luke // International Journal of Innovation Studies 6. - 2022. - pp. 128-141. - DOI: https://doi.org/10.1016/jijis.2022.05.001.

92. Bruns, T.E. A reevaluation of the SIMP method with filtering and an alternative formulation for solid-void topolo-gy op-timization / T.E. Bruns // Structural and Multidisciplinary Optimization. - 2005. - Vol. 30. is. 6. - pp. 428-436. -DOI: 10.1007/S00158-005-0537- X.

93. Butz, A.R. Space filling curves and mathematical programming / A.R. Butz // Information and Control. - 1968. - Vol. 12. - No. 4. - pp. 314-330.

94. Dattelbaum, D.M. Shockwave dissipation by interface-dominated porous structures / D.M. Dattelbaum, A. Ionita, B.M. Patterson, B.A. Branch and L. Kuettner // AIP Advances. - 2020. - Vol. 10. - No. 7. - pp. 60-75. - DOI: 10.1063/5.0015179.

95. Diaz, A. Checkerboard patterns in layout optimization / A. Diaz, O. Sigmund // Structural optimization. - 1995. - Vol. 10. - No. 1. - pp. 40-45.

96. Edgar, G.A. Measure, Topology and Fractal Geometry / G.A. Edgar // Springer-Verlag, New York, 1990. - P. 164.

97. Farr, R.S. Fractal design for efficient brittle plates under gentle pressure loading / R.S. Farr // Physical Review E. - 2007. - Vol. 76. - No. 4. - 046601. -DOI: 10.1103/PhysRevE.76.046601.

98. Farr, R.S. Fractal space frames and metamaterials for high mechanical efficiency / R.S. Farr, Y. Mao // EPL (Europhysics Let-ters). - 2008. - Vol. 84. -No. 1. - 14001. - DOI: 10.1209/0295-5075/84/14001.

99. Fengyi, L. Ensemble transfer learning for cutting energy consumption aviation parts towards green manufacturing / L. Fengyi, Z. Guanghui, Z. Chao // Journal of Cleaner Production1 December. - 2021. - Vol. 331. - C. 129920. -DOI: 10.1016/j.jclepro.2021.129920.

100. Ferrer, A. SIMP-ALL: A generalized SIMP method based on the topological derivative concept / A. Ferrer // In-ternational Journal for Numerical Methods in Engineering. - 2019. - Vol. 120. is. 3. - pp. 361-381. - DOI: 10.1002/nme.6140.

101. Florio, C.S. Selection of the scaling factor in finite element-based gra-dientless shape optimization for a consistent step size / C.S. Florio //Struct Multidisc Optim, 2019. - No. 59. - pp. 713-730. - DOI: https://doi:10.1007/s00158-018-2092-2.

102. Hamza, K. Design for Crashworthiness of Vehicle Structures via Equivalent Mechanism Approximations in Proceedings of the ASME / K. Hamza,

K. Saitou // ASME International Mechanical Engineering Congress and Exposition. - 2004. - Vol. 47055. - pp. 949-960. - DOI: 10.1115/IMECE2004-62226.

103. Hausdorff, F. Grundzuge der Mengenlehre. Leipzig: von Veit / F. Hausdorff, 1914. - P. 134.

104. Hu, S. A crossing sensitivity filter for structural topology optimization with chamfering, rounding, and checkerboard-free patterns / S. Hu, L. Chen, Y. Zhang // Struct Multidisc Optim. - 2009. - No. 37. - pp. 529-540. - DOI: 10.1007/s00158-008-0246-3.

105. Jiang, H. Bioinspired multilayered cellular compo-sites with enhanced energy absorption and shape recovery / H. Jiang, L.L. Barbenchon, B.A. Bednar-cyk, F. Scarpa and Y. Chen // Additive Manufacturing. - 2020. - Vol. 36. - pp. 101-430. - DOI: 10.1016/j.addma.2020.101430.

106. Jian-Lin, L. Spectrality of self-affine measures on the three-dimensional Sierpinski gasket; June 2012 Proceedings of the Edin-burgh Mathematical Society. - 2012. - Vol. 55. - No. 2. - pp. 477-496. - DOI: 10.1017/S0013091511000502.

107. Jin R., Du, X., Chen, W. The Use of Meta-modeling Techniques for Optimiza-tion Under Uncertainty /Struct. Multidiscip. Optim., Structural and Mul-tidisci-plinary Optimization, - 2003. - Vol. 25(2), - pp. 99-116. - DOI: https://doi.org/10.1007/s00158-002-0277-0.

108. Joseph, R. D. Aluminum and aluminum alloys / R.D. Joseph, V. Kliman, J. Jelemenska //ASM Specialty Handbook. - 1993. - P. 784.

109. Joye, Y. Fractal architecture could be good for you // Nexus Network Journal. - 2007. - Vol. 9. - I. 2. - pp. 311-320. - DOI: https://doi.org/10.1007/s00004-007-0045-y.

110. Jung, M. R. et al. Elastic Stability Behavior of Self-Anchored Suspension Bridges by the Deflection Theory //International Journal of Structural Stability and Dynamics. - 2017. - Vol. 17. - No. 04. - 1750050. - DOI: https://doi.org/10.! 142/S021945541750050X

111. Kader, M.A. Novel design of closed-cell foam structures for property enhancement / M. A. Kader, J. Hazella, A. D. Browne, M. Tahtalia, S. Ahmeda, J. P. Escobedoa and M. Saadatfar //Additive Manufacturing. - 2020. - Vol. 31. - P. 40. - DOI: ttps://doi.org/10.1016/j.addma.2019.100976.

112. Kirsch, U. Exact and accurate reanalysis of structures for geometrical changes / U. Kirsch, P.Y. Papalambros // Engineering with Computers. - 2001. -Vol. 17(4). - pp. 363-372. - DOI: https://doi.org/10.1007/s366-001-8302-9.

113. Langelaar, M. Topology optimization of 3-D self-supporting structures for additive manufacturing / M. Langelaar // Additive Manufacturing. - 2016. - Vol. 12. - pp. 60-70. - DOI: https://doi.org/10.1016Zj.addma.2016.06.010.

114. Li, J. A meshless method for topology optimization of structures under multiple load cases / J. Li, L..Jiao, G. Yanjin, W. Guangchun, W. Guilong, Z. Haiming and L. Jun // Elsevier. - 2020. - Vol 25. - pp. 173-179. - DOI: 10.1016/j.istruc.2020.03.005.

115. Liebovitch, L.S. fast algorithm to determine fractal dimensions by box counting / L.S. Liebovitch, T.A. Toth // Physics Letters A. - 1989. - Vol. 141. - No. 8-9. - pp. 386-390. - DOI: https://doi.org/10.1016/0375-9601 (89)90854-2.

116. Liu, C. An efficient moving morphable component (MMC)-based approach for multi-resolution topology op-timization / C. Liu, Y. Zhu, Z. Sun, D. Li, Z. Du, W. Zhang, X. Guo// Structural and Multidisciplinary Optimization. - 2018. - Vol. 58. - I. 6. - pp. 2455-2479. - DOI: https://doi.org/10.1007/s00158-018-2114-0.

117. Liu, Z. Structure topology optimization: fully coupled level set method via FEMLAB / Z. Liu, J. Korvink, R. Huang // Structural and Multidisciplinary Optimization. - 2005. - June. - Vol. 29, iss. 6. - pp. 407-417. - DOI: https://doi.org/10.1007/s00158-004-0503-z.

118. Mandelbrot, B. B. Fractals and the Rebirth of Iteration Theory / B.B. Mandelbrot // The Beauty of Fractals: Images of Complex Dynamical Systems, Heinz-Otto Peitgen, Peter H. Richter, Berlin; Heidelberg. - New York, 1986. - P. 188.

119. Mandelbrot, B.B. The Fractal Geometry of Nature / B.B. Mandelbrot // New York : WH freeman, 1982. - No. 1. - P. 470.

120. Micheletti, S. Topology optimization driven by anisotropic mesh adaptation: Towards a free-form design / S. Micheletti, S. Perotto, L. Soli // Computers & Structures. - 2019. - Vol. 214. - pp. 60-72. - DOI: https://doi.org/10.1016/jxompstruc.2019.01.005.

121. Nishigaki, H. First order analysis for automotive body structure designPart 3: Crashworthiness analysis using beam elements / H. Nishigaki, N. Kikuchi // SAE Technical Paper, 2004. - No. 2004-01-1660. - DOI: https://doi.org/10.4271/2004-01-1660.

122. Ostwald, M.J. Fractals in Architectural Design and Critique / M.J. Ostwald, J. Vaughan // The Fractal Dimension of Architecture. - Birkhauser, Cham. -2016. - pp. 21-37. - DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-319-32426-5_2.

123. Pimanov, V. Robust topology optimization using a posteriori error estimator for the finite element method / V. Pimanov, I. Oseledets // Struct Multidisc Optim. - 2018. - Vol. 58. - pp. 1619-1632. - DOI: 10.1007/s00158-018-1985-4.

124. Raba, N.O. Realization of Algorithms of Quaternion Julia and Mandelbrot Sets Visualization / N.O. Raba // Differential equations and con-trol processes. - 2007. - Vol. 3. - pp. 25-59.

125. Rayneau-Kirkhope, D. Hierarchical space frames for high mechanical efficiency: Fabrication and mechanical testing / D. Rayneau-Kirkhope, Y. Mao, R. Farr, J. Segal //Mechanics Re-search Communications. - 2012. - Vol. 46. - pp. 4146. - DOI: https://doi.org/10.1016/j .mechrescom.2012.06.011.

126. Rayneau-Kirkhope, D. Mao Y., Farr R. Ultralight fractal structures from hollow tubes //Physical review letters. - 2012. - Vol. 109. - I. 20. - C. 204301. - DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.109.204301.

127. Rian, I.M. FracShell: From Fractal Surface to a Lattice Shell Structure //Digital Wood Design. - Springer, Cham. - 2019. - pp. 1459-1479. - DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-030-03676-8_59.

128. Riordon, J. Shock-dissipating fractal cubes could forgehigh-techarmor / J. Riordon // DOE/Los Alamos National Laboratory, ScienceDaily, 2020. - P. 5. -URL: https://www.sciencedaily.com/releases/2020/07/200707140932.htm

129. Sala, N. Fractals in architecture: some examples / N. Sala // Fractals in biology and medicine. - Birkhauser, Basel, 2002. - pp. 347-358. - DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-0348-8119-7_33.

130. Schaedler, T. A. Ultralight metallic microlattices /A. Schaedler, A. J. Jacobsen, A. Torrents, A. E. Sorensen, J. Lian, J. R. Greer, L. Valdevit, and W. B. Carter //Science. - 2011. - Vol. 334. - No. 6058. - pp. 962-965. - DOI: 10.1126/sci-ence.1211649.

131. Sigmund, O. Numerical instabilities in topology optimization: A survey on procedures dealing with checkerboards, mesh-dependencies and local minima / O. Sigmund, J. Petersson // Structural Optimization, 1998. - Vol. 16. - pp. 68-75. - DOI: 10.1007/BF01214002.

132. Sivarupan, T. A review on the progress and challenges of binder jet 3D printing of sand moulds for advanced casting / T. Sivarupan, N. Bal-asubramani, P. Saxena, D. Nagarajan, M.E. Mansori, K. Salonitis, M. Jolly, M.S. Dargusch // Additive Manufacturing, 2021. - Vol. 40. - 101889. - DOI: https://doi.org/10.1016Zj.addma.2021.101889.

133. Nagiev, A.G. The synthesis of the optimal spatial pseudostructures of imi-tations of the porous structure of a catalyst grain based on the concept of fractals / A.G. Nagiev, D.I. Mamedov // Theoretical Foundations of Chemical Engineering. - 2010. - Vol. 44. - No. 3. - pp. 309-318. - DOI: https://doi.org/10.1134/S0040579510030103.

134. Wang, J. Crashworthiness behavior of Koch fractal structures / J. Wang, Z. Yong, H. Ning, H.W. Chun // Materials & Design. - 2018. - Vol. 144. -pp. 229-244. - DOI: https://doi.org/10.1016/j.matdes.2018.02.035.

135. Wu, C. Mechanical Properties of PolyJet 3D-Printed Composites Inspired by Space-Filling Peano Curves / C. Wu, T.T. Do, P. Tran // Polymers. -2021. - Vol. 13. - No. 20. - 3516. - DOI: https://doi.org/10.3390/polym13203516.

136. Xia,.L. Bi-directional evolutionary structural optimization on advanced structures and materials: a comprehensive review /L. Xia, Q. Xia, X. Huang, Y. M. Xie // Archives of Computational Methods in Engineering. - 2018. -Vol. 25. - No. 2. - pp. 437-478. - DOI: https://doi.org/10.1007/s11831-016-9203-2.

137. Xiao, Z. Evaluation of topology-optimized lattice structures manufactured via selective laser melting / Z. Xiao, Y. Yang, R. Xiao, Y. Bai, C. Song, D. Wang // Materials & Design. - 2018. - Vol. 143. - pp. 27-37. - DOI: https://doi.org/10.1016/j.matdes.2018.01.023

138. Yi, B. Topology optimization of functionally-graded lattice structures with buckling constraints / B. Yi, Y. Zhou, G.H. Yoon, K. Saitou // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 2019. - Vol. 354. - pp. 593-619. -DOI: https://doi.org/10.1016/jxma.2019.05.055.

139. Yuan, Y. B. Orthogonal exponentials on the generalized three-dimensional Sierpinski gasket //Journal of mathematical analysis and applications. -2009. - Vol. 349. - No. 2. - pp. 395-402. - DOI: 10.1016/j.jmaa.2008.08.047.

140. Zong, H. VCUT level set method for topology optimization of functionally graded cellular structures / Zong H., H. Liu, Q. Ma, Y. Tian, M. Zhou, M. Y. Wang //Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 2019. -Vol. 354. - pp. 487-505. - DOI: 10https://doi.org/10.1016/j.cma.2019.05.029.

141. Zhang, Z. Robustness study of fabricated single-layer grid shell structures based on component sensitivity and vulnerability / Z. Zhang, G. Chen, Q. Cai, R. Feng // Thin-Walled Structures. - 2022. - Vol. 180. - C. 109753. - DOI: https://doi.org/10.1016Zj.tws.2022.109753

142. Tornabene, F. Static analysis of anisotropic doubly-curved shells with arbitrary geometry and variable thickness resting on a Winkler-Pasternak support and subjected to general loads / F. Tornabene, M. Viscoti, R. Dimitri // Engineering Analysis with Boundary Elements. - 2022. - Vol. 140. - pp. 618-673. - DOI: https : //doi.org/10.1016/j .enganabound.2022.02.021.

ПРИЛОЖЕНИЕ А Свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ

ПРИЛОЖЕНИЕ Б Акты внедрения результатов диссертации

«УТВЕРЖДАЮ»

Директор Федерального Центра

исследований и разработок ПАО «Мегафон»

_А. Джакония

3 г.

АКТ ВНЕДРЕНИЯ № 03-07-2023 О внедрении результатов диссертационного исследования аспиранта Жихарева Левиин Алексеевича «Геометрические методы оптимизации топологии конструкционных элементов на основе теории фракталов» в ПАО «Мегафон». Комиссия в составе: Председатель: А. Джакония

Члены комиссии: Толстобокое Н.О., Марков Д.С.

Мы, нижеподписавшиеся, Толстобокое И.О. и Марков Д.С., составили настоящий акт о том, что результаты диссертационной работы Жихарева Левиин Алексеевича внедрены в ПАО «Мегафон» в виде геометрических моделей и алгоритмов проектирования облегчённых деталей, производимых методом аддитивных технологий.

В ПАО «Мегафон» переданы отчёты, код прикладной программы и презентационные материалы. Внедрение результатов диссертационной работы Жихарева Левиин Алексеевича на разных этапах проектирования и изготовления опытных образцов позволило снизить массу деталей,

Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)

«_£3_» октября 2023 г.

АКТ ВНЕДРЕНИЯ

Настоящим актом подтверждается внедрение результатов диссертационного исследования аспиранта кафедры 904 МАИ Жихарева Левиина Алексеевича в области применения пространственных геометрических фракталов в учебный процесс кафедры 904 в проводимых кафедрой курсах «Инженерное и геометрическое моделирование в цифровом производстве» по программе профессиональной переподготовки преподавателей МАИ и в курсе «Системы геометрического моделирования в САПР» для аспирантов МАИ 2-го года обучения.

Заведующий кафедрой 904 МАИ

д.т.н., проф.

Лектор проводимых курсов к.т.н., проф.

Л.В. Маркин