Применение декомпозиции для численного моделирования механических систем с подвижными контактами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат технических наук Кувшинов, Дмитрий Александрович

• Кувшинов, Дмитрий Александрович
• кандидат технических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат технических наук Кувшинов, Дмитрий Александрович

Введение.

1 Методы решения контактных задач: обзор.

1.1 Методы расчета механического взаимодействия токоприемников и контактных подвесок.

1.2 Идея метода конечных элементов с позиций механики и численного моделирования.

1.3 О решении контактных задач с применением метода конечных элементов.

1.4 Об алгоритмах декомпозиции, используемых при численном моделировании механических систем.

1.5 Имплементация алгоритмов численного моделирования механических систем с применением декомпозиции.

1.6 Декомпозиция на уровне физической модели.

1.7 Выводы по первой главе.

2 Методика декомпозиции конечно-элементной модели.

2.1 Моделирование взаимодействия подструктур как линейная задача дополнительности.

2.1.1 Матрица преобразования перемещений узлов в зазоры между ними.

2.1.2 Уравнение движения.

2.2 О решении линейной задачи дополнительности.

2.3 Применение декомпозиции в моделях с одно- и двусторонними контактами подструктур.

2.4 Реализация алгоритма декомпозиции.

2.5 Выводы по второй главе.

3 Моделирование механического взаимодействия контактной сети и токоприемников электроподвижных составов при высокоскоростном движении.

3.1 Вводные замечания.

3.2 Методика расчета.

3.3 Верхняя граница сил контактного нажатия.

3.4 Возрастание контактного нажатия с увеличением скорости.

3.5 Влияния скорости электроподвижного состава и натяжении контактного провода на интервал изменения нажатия полоза токоприемника.

3.7 Выводы по третьей главе.75'

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Применение декомпозиции для численного моделирования механических систем с подвижными контактами»

Диссертация посвящена разработке, обоснованию и компьютерной реализации алгоритма численного моделирования механических систем с подвижными контактами подструктур с применением декомпозиции. Рассмотрены результаты применения алгоритма в разработанном комплексе проблемно-ориентированных программ для моделирования взаимодействия контактной сети и токоприемников электроподвижного железнодорожного состава при высокоскоростном движении.

Актуальность темы исследования. В настоящее время одним из направлений развития железнодорожного транспорта является увеличение скорости движения и массы электроподвижных составов (ЭПС), что в свою очередь требует увеличения электрической мощности, передаваемой от то-коведущих проводов контактной сети к двигателям ЭПС. При этом возрастает не только электрическая нагрузка, но и интенсивность теплового и механического воздействия на токоведущие элементы.

Особенно сложными являются условия взаимодействия полоза токоприемника и контактного провода. Увеличение скорости движения приводит к возрастанию амплитуды колебаний контактных проводов и токоприемников, что может снижать качество токосъема (процесса передачи электрической энергии от контактной сети к электрооборудованию движущегося электроподвижного состава через токоприёмник) по причинам увеличения интенсивности динамических нагрузок, появления зазоров между полозом токоприемника и контактным проводом, электроэрозионного износа. В этой связи сохраняют свою актуальность вопросы совершенствования контактных сетей и токоприемников.

Степень разработанности темы исследования. Как показывает анализ публикаций, к настоящему времени накоплен большой опыт в области исследований надежности токосъема. Однако, увеличение скорости движения, изменяя условия функционирования системы контактная сеть - токоприемник, приводит к необходимости расширения области прикладных исследований и к появлению новых задач по обеспечению надежности данной системы1. При этом к числу приоритетных относятся задачи, связанные с исключением отрыва полоза токоприемника от контактного провода и с ограничением сил контактного взаимодействия при высокоскоростном движении.

Силы контактного взаимодействия, как правило, носят односторонний характер, поэтому их принято называть односторонними. При моделировании односторонних связей условия, налагаемые на перемещения и усилия в зоне контакта, представляются в виде неравенств. Особенностью такого рода задач является то, что при изменении состояния контакта резко меняются жесткостные свойства системы, т. е. эти задачи являются конструктивно нелинейными.

В данном случае аналитическое решение задачи о контактном взаимодействии чрезвычайно затруднено и требует ряда существенных допущений. В связи с этим широко применяется математическое моделирование с использованием численных методов.

При численном моделировании упругих механических систем с односторонними связями могут применяться прямые итерационные методы, в частности те или иные разновидности алгоритмов переключения состояния связей. Вследствие своей простоты методы переключения связей получили Вологин В.А. Взаимодействие токоприемников и контактной сети / В.А. Вологин. -М. : Интекст, 2006. - 256 с. : ил., табл. - (Труды Всероссийского научно-исследовательского института железнодорожного транспорта (ВНИИЖТ)). широкое распространение, хотя они не всегда гарантируют сходимость и могут приводить к зацикливанию процесса расчета. Кроме того, необходимость многократного перебора состояния связей и, соответственно, многократного изменения структуры матрицы и решения системы уравнений требует больших затрат машинного времени.

Применение методов декомпозиции позволяет сократить затраты машинного времени на решение систем уравнений, что в свою очередь позволяет расширить класс объектов, моделирование которых может быть выполнено с применением существующей компьютерной техники. Появление многопроцессорных вычислительных систем и мультиядерных процессоров стимулировало эволюцию методов декомпозиции. К актуальным проблемам данного направления относится проблема совершенствования алгоритмов декомпозиции в задачах численного моделирования с применением ме

2 о тода конечных элементов ' . Работы в этом быстро развивающемся направлении показывают как новые возможности численного моделирования, так и открытые проблемы, что отражено в материалах ежегодно проводимых конференций по методам декомпозиции4. Одну из групп в этом направлении образуют методы подструктур, а ряд алгоритмов базируется на моделях их механического взаимодействия. Большое число работ по данной теме показывает как широкие возможности методов декомпозиции, так и актуальность проблем их совершенствования.

Цель работы: разработка и реализация алгоритма декомпозиции в классе задач численного моделирования механических систем с подвижны

2 Копысов С.П., Новиков А.К. Метод декомпозиции для параллельного адаптивного конечно-элементного алгоритма // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. Серия 1. - 2010. № 3. С. 141-154.

3 Фиалко С.Ю. Прямые методы решения систем линейных уравнений в современных МКЭ - комплексах // М.: Издательство СКАДСОФТ, Издательство АСВ. - 2009. 160 с.

4 Official page of Domain Decomposition Methods: http://www.ddm.org/ ми контактами подсистем и его применение в комплексе проблемно-ориентированных программ с применением декомпозиции.

Задачи, решение которых необходимо для достижения цели:

1. Выполнить математическое описание физической модели механической системы с подвижными одно- и двусторонними контактами подсистем.

2. Разработать алгоритм численного моделирования динамического взаимодействия подсистем модели (п.1) с применением декомпозиции. Оценить эффективность алгоритма по критерию времени счета.

3. Выполнить компьютерную реализацию алгоритма (п. 2) в комплексе проблемно-ориентированных программ.

4. Установить адекватность полученных результатов (п. 1-3) с применением известных данных натурного эксперимента по определению наибольших по величине сил взаимодействия контактной сети и полоза токоприемника электроподвижного железнодорожного состава при высокоскоростном движении.

Объект исследования: математическая модель и алгоритмы декомпозиции в классе задач численного моделирования динамики механических систем с неподвижными и подвижными контактами подсистем и ограничениями параметров состояния в виде равенств и неравенств.

Предмет исследования: вычислительная эффективность алгоритма декомпозиции конечно-элементной модели и адекватность полученных результатов в проблемно-ориентированной программе на основе известных данных натурного эксперимента.

Научная новизна работы заключается в следующем: 1. Разработан алгоритм декомпозиции и численно реализован в комплексе проблемно-ориентированных программ моделирования механических систем с неподвижными и подвижными, одно- и двусторонними контактами подсистем при динамических воздействиях. Применение алгоритма позволяет уменьшить продолжительность счета.

2. С применением полученных результатов разработана методика численного моделирования механического взаимодействия контактной сети и токоприемников электроподвижного железнодорожного состава при высокоскоростном движении.

Теоретическая и практическая значимость работы:

1. Разработанный алгоритм декомпозиции вносит вклад в развитие численного моделирования класса механических систем с подвижными контактами подсистем. Применение данного алгоритма в комплексе проблемно-ориентированных программ позволяет уменьшить время счета.

2. Применение разработанной методики декомпозиции в проблемно-ориентированных программах позволяет расширить класс объектов, численное моделирование которых может быть выполнено с применением существующей компьютерной техники.

3. На примерах показано, что разработанная с применением предложенного алгоритма декомпозиции методика численного моделирования позволяет уточнить закономерности механического взаимодействия контактной сети и токоприемников электроподвижного железнодорожного состава при высокоскоростном движении.

4. Разработанный алгоритм декомпозиции и его компьютерная реализация могут быть использованы в целях уменьшения времени счета при численном решении контактных задач и задач моделирования механических систем с односторонними ограничениями перемещений подсистем.

Работа выполнена в рамках государственного задания Минобрнауки РФ по госбюджетной теме 126-12, проект 7.6185.2011 (2012 г., рук. Г.Н. Колесников) и гранта РФФИ № 08-08-00979 (2008-2010 г., рук. В.Н. Бакулин и Г.Н. Колесников).

Методология и методы исследования. Исследование выполнено на методологической основе математического моделирования с применением численных методов (метод конечных разностей, метод конечных элементов, итерационные и приближенные шаговые методы, методы декомпозиции).

Положения, выносимые на защиту:

1. Методика решения задачи численного моделирования механической системы с неподвижными и подвижными контактами подсистем.

2. Сформулированные в виде правил алгоритмы перемножения матриц в разработанной модели, применение которых позволяет исключить арифметические операции с заведомо нулевыми элементами матриц.

3. Разработанный алгоритм численного моделирования механической системы с неподвижными и подвижными контактами подсистем с применением декомпозиции.

4. Результаты практического применения разработанного комплекса проблемно-ориентированных программ для численного моделирования механического взаимодействия контактной сети и токоприемников электроподвижного железнодорожного состава при высокоскоростном движении.

Степень достоверности результатов исследования подтверждена их непротиворечивостью и согласованностью с известными по литературе экспериментальными данными, физической адекватностью результатов компьютерного моделирования, а также при апробации предлагаемых методик и рекомендаций.

Апробация работы. Материалы диссертационного исследования были представлены на следующих конференциях:

1. XIII Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике (летняя сессия). Петрозаводск, 2-9 июня 2012 г.

2. XVI Международная конф. по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМСППС-2009), Алушта, 25 -31 мая 2009 г.

3. Вторая международная конференция «Проблемы нелинейной механики деформируемого твердого тела». Казань, 8-11 декабря 2009 г. http://www.ksu.ru/conf/pnmdtt09/

4. XXII и XXIII Международные конференции «Математическое моделирование в механике деформируемых тел и конструкций. Методы граничных и конечных элементов». СПб., 2007 и 2009.

Соответствие диссертации паспорту научной специальности. В диссертации предложен эффективный по времени счета, как показали результаты тестирования, алгоритм декомпозиции конечно-элементных моделей, который реализован в комплексе проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента. Тем самым вносится вклад в совершенствование инструментов комплексного исследования научных и технических проблем прикладных исследований с применением современных информационных технологий и математического моделирования. Проверка адекватности разработанной модели выполнена на основе вычислительных экспериментов и известных по литературе данных натурного эксперимента. Таким образом, выполненное исследование соответствует формуле специальности 05.13.18 (математическое моделирование, численные методы и комплексы программ) и пунктам 3, 4, 5 в паспорте данной специальности.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 11 научных работ, из них 3 статьи в журналах, указанных в списке ВАК РФ. и

На разработанную в рамках диссертационного исследования программу «Расчет динамических характеристик систем с подвижными контактами методом декомпозиции» получено Свидетельство о государственной регистрации программы № 2012619720 (зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 26 октября 2012 г.).

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, библиографического списка использованной литературы (102 наименования), имеет общий объем 103 страницы, 32 рисунка, 2 таблицы, 2 приложения.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Кувшинов, Дмитрий Александрович

3.6 Выводы по третьей главе

Анализ результатов решения модельных задач, включая сравнение с экспериментальными и теоретическими данными, показывает следующее:

1. Предложенная методика достаточно адекватно отражает физическое содержание рассмотренных задач и может быть использована для исследования процесса динамического взаимодействия токоприемников ЭПС и контактной сети в дополнение к уже известным методам.

2. С применением разработанной методики численного моделирования взаимодействия подструктур механических систем уточнены с получением количественных оценок закономерности изменения силы контактного взаимодействия полоза токоприемника электроподвижного состава и контактного провода. Результатами численного моделирования обоснована рекомендация по уменьшению интервала изменений силы контактного взаимодействия при высокоскоростном движении путём увеличения начального натяжения контактного провода.

3. Компьютерная реализация разработанной модели позволяет прогнозировать верхние границы сил нажатия токоприемника на контактный

82 Ефимов A.B., Галкин А.Г. Развитие теории проектирования контактной сети на основе учета продолжительности ее жизненного цикла // Транспорт Урала: науч.-техн. журнал. Екатеринбург: УрГУПС, 2004, № 1. С. 53 - 59.

83 Ерошенко C.B., Демченко А.Т., Туркин В.В. Метод прямого математического моделирования динамики контактных подвесок // Наука и транспорт. Спец вып. журнала «Транспорт Российской федерации». СПб: Российская академия транспорта, 2007, с. 32-33.

84 Комарова O.A. Особенности взаимодействия токоприемника с контактной подвеской при высоких скоростях движения электропоездов : Дис. . канд. техн. наук : Санкт-Петербург, 2004 147 с. http://diss.rsl.ru

85 Шумейко Г.С. Методики расчета предварительно напряжённых систем двойных контактных подвесок на действие статических и ветровых нагрузок : Дис. канд. техн. наук: M.: 2003. 248 с. http://diss.rsl.ru 86Туркин В.В. Исследование взаимодействия пространственных автокомпенсированных контактных подвесок с токоприемниками : Дис. канд. техн. наук: M.: РГБ, 2005. 160 с. http://diss.rsl.ru провод, а также на стадии расчета определять нарушение механического контакта полозов токоприемников с контактным проводом без изменений методики расчета. Практическая значимость выполненной работы подтверждена, в частности, публикацией статьи в журнале «Вестник научно

87 исследовательского института железнодорожного транспорта ».

87 Колесников Г. Н., Кувшинов Д. А. Численное моделирование динамического взаимодействия токоприемников и контактной сети // Вестник научно-исследовательского института железнодорожного транспорта. М., 2012. № 1. С. 9 - 12.

Заключение

В качестве заключения в диссертации сформулированы итоги выполненного исследования, рекомендации по использованию полученных результатов и перспективы дальнейшей разработки темы.

Итоги:

1. Разработан алгоритм декомпозиции и выполнена его реализация в комплексе проблемно-ориентированных программ численного моделирования механических систем с подвижными одно- и двусторонними контактами подсистем при динамических воздействиях (свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2012619720 от 26.10.2012) (см. приложение 2). Декомпозиция выполнена на уровне анализа физической модели, математического описания этой модели и ее компьютерной реализации. Расчет контактной и бесконтактной фаз движения подструктур выполняется по единой методике за счет перехода на каждом шаге по времени к линейной задаче дополнительности (9}-(11).

2. С применением декомпозиции построена математическая модель, обоснованы в виде правил алгоритмы исключения арифметических операций с заведомо нулевыми элементами матриц. Эти правила в комплексе с предложенным вариантом декомпозиции и распараллеливанием позволяют повысить эффективность алгоритма. При решении модельной задачи на 4-х ядерном затраты машинного времени уменьшены в 2,6 раза.

3. Обоснована адекватность результатов расчета по разработанному алгоритму при тестировании на модельных задачах. Определены скорости продольных и поперечных волн, частота собственных колебаний контактной подвески. Результаты расчета согласуются с известными по литературе экспериментальными данными.

4. Компьютерная реализация разработанной методики численного моделирования использована для анализа динамического взаимодействия контактной сети и токоприемников электроподвижного железнодорожного состава при высокоскоростном движении. Методика адекватно отражает физическое содержание рассмотренных задач и может быть использована в прикладных исследованиях в дополнение к уже известным методам.

Рекомендации:

1. Разработанный с применением декомпозиции алгоритм и его компьютерная реализация могут быть использованы в целях уменьшения времени счета при численном решении контактных задач и задач моделирования механических систем с односторонними ограничениями перемещений подсистем в контактной и бесконтактной фазах движения.

2. Методика расчета, разработанная с применением предлагаемого алгоритма декомпозиции и реализованная в комплексе программ, может быть использована для изучения закономерностей механического взаимодействия контактной сети и токоприемников электроподвижного железнодорожного состава при высокоскоростном движении.

Перспективы дальнейшей разработки темы: Перспективы дальнейшей разработки темы ориентированы на применение многоуровневой декомпозиции для численного моделирования с учетом архитектуры современных вычислительных систем. При решении задач рассмотренного класса перспективна разработка алгоритмов численного моделирования с применением декомпозиции и параллельных вычислений, обеспечивающих оптимизацию по критерию балансировки вычислительной нагрузки на узлы вычислительной системы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Кувшинов, Дмитрий Александрович, 2013 год

1. Аргатов, И. И. Основы теории упругого дискретного контакта / И. И. Аргатов, Н. Н. Дмитриев. СПб. : Политехника, 2003. - 233 с.

2. Аргирис, Д. Современные достижения в методах расчета конструкций с применением матриц / Д. Аргирис ; пер. с англ. А. В. Александрова,

3. Б. П. Державина ; под ред. А. Ф. Смирнова. М. : Стройиздат, 1968. - 241 с. : ил. - Библиогр. : с. 240-241 (24 назв).

4. Бабешко, В. А. О методе блочного элемента в нестационарных задачах /

5. B. А. Бабешко, О. М. Бабешко, О. В. Евдокимова // Механика твердого тела. 2011.-№2. С. 81-86.

6. Баландин, М. Ю. Некоторые оценки эффективности параллельных алгоритмов решения СЛАУ на подпространствах Крылова / М. Ю. Баландин, Э. П. Шурина // Вычислительные технологии. 1998. - Т. 3, № 1. - С. 2330.

7. Бате, К. Численные методы анализа и метод конечных элементов / К. Бате, Е. Вилсон ; пер. с англ. А. С. Алексеева ; под ред. А. Ф. Смирнова. М. : Стройиздат, 1982. -448 с. : ил.

8. Бегун, И. А. О реализации алгоритма расчета стержневых систем с односторонними связями / И. А. Бегун, В. Г. Яцура //Вестник ТОГУ. 2010. -№ 1. - С. 81-90.

9. Бураго, Н. Г. Обзор контактных алгоритмов / Н. Г. Бураго, В. Н. Ку-куджанов // Известия РАН. Механика твердых тел. 2005. - № 1. - С. 4587. - Библиогр.: с. 62-87 (633 назв.).

10. Виртуальная лаборатория конечно-элементного моделирования /

11. C. П. Копысов, А. К. Новиков, В. Н. Рычков, Ю. А. Сагдеева, Л. Е. Тонков

12. Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2010. -№ 4. - С. 131-145.

13. Вологин, В. А. Взаимодействие токоприемников и контактной сети /

14. В. А. Вологин. М. : Интекст, 2006. - 256 с. : ил., табл. - (Труды Всероссийского научно-исследовательского института железнодорожного транспорта (ВНИИЖТ)).

15. Вологин, В. А. Динамические параметры системы контактная сеть-токоприемник / В. А. Вологин, А. С. Герасимов // Вестник научно-исследовательского института железнодорожного транспорта (ВНИИЖТ). -2008. № 2. - С. 19-23.

16. Втюрина, М. В. Барьерно-проективный метод с наискорейшим спуском для линейных задач дополнительности / М. В. Втюрина, В. Г. Жадан // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2005. Т. 45, №5.-С. 798-812.

17. Галанин, М. П.Совместное использование метода конечных элементов и метода конечных суперэлементов / М. П. Галанин, Е. Б. Савенков // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2006. -Т. 46, №2. - С. 270-283.

18. Голиков, А. И. Двойственный подход к решению систем линейных равенств и неравенств / А. И. Голиков, Ю. Г. Евтушенко // Методы оптимизации и их приложения. Иркутск, Байкал, 24 июня 1 июля 2001 г. =

19. Optimization methods and their applications : 12 Байк. междунар. конф.: тр. конф. Иркутск, 2001. - С. 91-99.

20. Горшков, А. Г. Динамические контактные задачи с подвижными границами / А. Г. Горшков, Д. В. Тарлаковский. М. : Наука : Физматлит,1995.-351 с.

21. Данциг, Д. Линейное программирование, его применения и обобщения / Д. Данциг. М. : Прогресс, 1966. - 600 с.

22. Демидович, Б. П. Основы вычислительной математики : учеб. пособие для высших технических учебных заведений / Б. П. Демидович, И.

23. А. Марон. Изд. 3-е, испр. - М. : Наука, 1966. - 664 с. : ил. - Библиогр. в конце гл. -Предм. указ.: с. 659-664.

24. Ефимов, А. В. Методика расчета цепных подвесок с учетом конечного числа струн / А. В. Ефимов, А. Г. Галкин // Наука и транспорт сегодня : проблемы и решения : сб. науч. тр. / МПС РФ, УрГУПС. Екатеринбург,1996. Вып. 5 (87), ч. 1. - С. 36^16.

25. Заика, Ю. В. Диффузионный пик ТДС-спектра дегидрирования : краевая задача с подвижными границами / Ю. В. Заика, Н. И. Родченкова // Математическое моделирование. 2008. - Т. 20, № 11. - С. 67-79.

26. Зенкевич, О. Конечные элементы и аппроксимация / О. Зенкевич, К. Морган ; пер. с англ. Б. И. Квасова ; под ред. Н. С. Бахвалова. М. : Мир, 1986. - 318 с. : ил. - Библиогр. в конце гл. - Имен, и предм. указ.: с. 306 -315.

27. Зылев, В. Б. Вычислительные методы в нелинейной механике конструкций / В. Б. Зылев. М. : Инженер, 1999. - 145 с. : ил., табл.

28. Иванов, А. П. Динамика систем с механическими соударениями /

29. А. П. Иванов. М. : Международная программа образования, 1997. - 336 с. : ил.

30. Иванченко, И. И. Метод подконструкций в задачах динамики скоростной монорельсовой дороги / И. И. Иванченко // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. 2008. -№6. -С. 101-117.

31. Исследование контактной подвески по силам взаимодействия токоприемника и контактного провода // Железные дороги мира. 2007. -№11. - С. 45-52.

32. Камачкин, А. М. Метод декомпозиции в многомерных нелинейных динамических системах / А. М. Камачкин, В. Н. Шамберов // Вестник Воронежского государственного университета. Сер. : Системный анализ и информационные технологии. -2012.-№1. С. 47-55.

33. Карпов, В. Е. Введение в распараллеливание алгоритмов и программ /В. Е.Карпов //Компьютерные исследования и моделирование. 2010. -Т. 2, № 3.-С. 231-272.

34. Ким, Т. С. Расчет систем с односторонними связями как задача о дополнительности / Т. С. Ким, В. Г. Яцура // Строительная механика и расчет сооружений. 1989. - №3.- С. 41^44.

35. Колесников, Г. Н. Дискретные модели механических и биомеханических систем с односторонними связями / Г. Н. Колесников ; М-во образования РФ. Петрозавод. гос. ун-т. Петрозаводск, 2004. - 202 с. : ил. -Библиогр.: с. 169-198 (327 назв.).

36. Колесников, Г. Н. Численное моделирование динамического взаимодействия токоприемников и контактной сети / Г. Н. Колесников,

37. Д. А. Кувшинов // Вестник научно-исследовательского института железнодорожного транспорта. 2012. - № 1. - С. 9-12.

38. Колесников, Г. Н. Декомпозиция конечно-элементной модели механической системы / Г. Н. Колесников, Д. А. Кувшинов // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2012. - Т. 19, вып. 2. - С. 264.

39. Колесников, Г. Н. Численное моделирование динамического взаимодействия токоприемника и контактной подвески / Г. Н. Колесников,

40. Д. А. Кувшинов // Обозрение прикладной и промышленной математики. -Т. 15, вып. 2. С. 319.

41. Колесников, Г. Н. Численное моделирование колебаний контактной подвески с учетом геометрической нелинейности / Г. Н. Колесников,

42. Д. А. Кувшинов // Информационные технологии моделирования и управления. 2008. - № 1 (44). - С. 98 -103.

43. Колесников, Г. Н. Энергетический критерий очередности перехода односторонних связей в действительное состояние / Г. Н. Колесников, М. И. Раковская // Обозрение прикладной и промышленной математики. -2006.-Т. 13.-С. 652.

44. Копысов, С. П. Метод декомпозиции для параллельного адаптивного конечно-элементного алгоритма / С. П. Копысов, А. К. Новиков // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. Сер. 1.- 2010. №3.-С. 141-154.

45. Копысов, С. П. Объектно-ориентированный метод декомпозиции области / С. П. Копысов, И. В. Красноперов, В. Н. Рычков // Вычислительные методы и программирование : новые вычислительные технологии. 2003. -Т. 4, № 2.-С. 1-18.

46. Копысов, С. П. Параллельные схемы разрывного метода Галеркина

47. С. П. Копысов, А. К. Новиков, Ю. А. Сагдеева // Трехмерная визуализация научной, технической и социальной реальности. Кластерные технологии моделирования : сб. тр. конф. Ижевск : Изд-во УдГУ, 2009. - Т. 1. - С. 144-147.

48. Лохов, В. А. Развитие метода декомпозиции в механике деформируемого твердого тела / В. А. Лохов, Ю. И. Няшин, B.C. Туктамышев // Известия Саратовского университета. Новая серия. Сер.: Математика. Механика. Информатика. 2010. - Т. 10, № 3. - С. 54-59.

49. Мазуркевич, Е. О. О численном решении линейной задачи дополнительности / Е. О. Мазуркевич, Е. Г. Петрова, А. С. Стрекаловский // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2009. - Т. 49, №8.-С. 1385-1398.

50. Морачковский, О. К. Анализ статики и кинематики : учеб. пособие / О. К. Морачковский, Ю. Л. Тарсис. Харьков : НТУ ХПИ, 2003. - 280 с.

51. Оден, Д. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред / Д. Оден ; пер. с англ. A.M. Васильева ; под ред. Э. И. Григолюка. М. : Мир, 1976. - 465 с. : ил. - Библиогр. : с. 427^150.

52. Оленин, А. С. Структурная декомпозиция матричных систем / А.С. Оленин // Информатика и ее применения. 2008. - Т. 2, № 3. - С. 2-6.

53. Пестерев, А. В. К задаче о движущейся массе / А. В. Пестерев // Труды / Ин-т системного анализа РАН. 2005. -Т. 14. - С. 217-221.

54. Попов, J1. Д. Введение в теорию, методы и экономические приложения задач о дополнительности : учеб. пособие / JT. Д. Попов ; М-во образования Рос. Федерации, Урал. гос. ун-т. Екатеринбург : Изд-во Урал, ун-та, 2001.- 123 с.

55. Программная среда построения расчетных моделей метода конечных элементов для параллельных распределенных вычислений / С. П. Копысов, А. К. Новиков, А. Б. Пономарев, В. Н. Рычков, Ю. А. Сагдеева // Информационные технологии. 2008. - № 3. - С. 75-82.

56. Ржаницын , А. Р. Строительная механика : учеб. пособие для строит, спец. вузов / А. Р. Ржаницын. 2-е изд., перераб. - М. : Высш. шк., 1991. -438,1. с. : ил.

57. Розин, Л. А.Численное решение контактных задач с трением при динамических воздействиях / Л. А. Розин, А. А. Лукашевич // Научно-технические ведомости Санкт-Петербургского государственного политехнического университета. 2010. - № 110. - С. 288-294.

58. Самарский, А. А. Математическое моделирование : идеи, методы, примеры / А. А. Самарский, А. П. Михайлов. Изд. 2-е, испр. - М. : Физ-матлит, 2005. - 316, 2. с. : ил., табл. - Библиогр.: с. 313-316 (89 назв.).

59. Свешников, В. М. О решении краевых задач методом декомпозиции расчетной области без пересечения подобластей / В. М. Свешников // Автометрия. 2007. - Т. 43, № 2. - С. 124-130.

60. Свешников, В. М. Оценки эффективности прямого метода декомпозиции/В.М. Свешников //Вычислительные технологии. 2008. -Т. 13, №4.-С. 104-113.

61. Свешников, В. М. Построение прямых и итерационных методов декомпозиции / В. М. Свешников // Сибирский журнал индустриальной математики. 2009. - Т. XII, № 3. - С. 99-109.

62. Свешников, В. М. Прямой метод декомпозиции без наложения подобластей для решения краевых задач на прямоугольных квазиструктурированных сетках / В. М. Свешников // Вычислительные технологии. 2008. -Т. 13,№2. -С. 106-118.

63. Сорокина, О. В. Закономерности движения механических систем с односторонними связями / О. В. Сорокина, Е. И. Кугушев. М., 2002.28 с. (Препринт / Ин-т прикладной математики им. М.В. Келдыша Рос. акад. наук; № 15 за 2002 г.).

64. Фиалко, С. Ю. Прямые методы решения систем линейных уравнений в современных МКЭ-комплексах / С. Ю. Фиалко. М. : Изд-во СКАД СОФТ, 2009. - 159, 1. с. : ил., табл.

65. Цурков, В. И. Декомпозиция в задачах большой размерности /

66. В. И. Цурков ; под ред. Г. С.Поспелова. -М.-.Наука, 1981. 351 с.-Библиогр.: с. 341-348 (146 назв.). - Предм. указ.: с. 349-351.

67. Черников, С. Н. Линейные неравенства / С. Н. Черников. М. : Наука, 1968. - 488 с. - Вспом. указ.: с. 483-488. -Библиогр.: с. 477-488.

68. Черноусько, Ф. Л. Декомпозиция и синтез управления в нелинейных динамических системах / Ф. Л. Черноусько // Труды Математического института им. В. А. Стеклова РАН. 1995. - Т. 211. - С. 457.

69. Четверушкин, Б. Н. Моделирование индустриальных задач на высокопроизводительных многопроцессорных вычислительных системах / Б. Н. Четверушкин//Автоматика и телемеханика. -2007. № 5. - С. 193-200.

70. Численное моделирование динамики токоприемника при взаимодействии с контактной подвеской / Е. В. Авотин, Н. В. Миронос, И. Н. Титух, П. Г. Тюрин // Вестник научно-исследовательского института железнодорожного транспорта. 2008. - № 3. - С. 42-45.

71. Шумейко, Г. С. Методики расчета предварительно напряжённых систем двойных контактных подвесок на действие статических и ветровых нагрузок Электронный ресурс. : дис. канд. техн. наук / Г. С. Шумейко. -М., 2003. 248 с. - URL: http://diss.rsl.ru/

72. Arantes Oliveira, Е. R. Theoretical foundations of the finite element method / E. R. Arantes Oliveira // Int. J. Solids Srrucrures Electronic resource. 1968. - Vol. 4. - URL:http://www.mie.uth.gr/ekp yliko/deArantese 01iveira.pdf/.

73. Farhat, C. An unconventional domain decomposition method for an efficient parallel solution of large scale finite element systems / C. Farhat, F.-X. Roux // SIAM J. Sci. Stat. Comput. 1992. - Vol. 13. - P. 379-396.

74. Fast estimation of discretization error for FE problems solved by domain decomposition / A. Parret-Freaud, C. Rey, P.Gosselet, F. Feyel // Computer

75. Methods in Applied Mechanics and Engineering. 2010. - Vol. 199, Iss. 49-52 , P. 3315-3323.

76. Ferris, M. C. Engineering and economic applications of complementarity problems / M. C. Ferris, J. S. Pang // SIAM REV. Society for Industrial and Applied Mathematics. 1997. - Vol. 39, №. 4. - P. 669-713.

77. Galanin, M. Fedorenko finite superelement method and its applications / M. Galanin, S. Lazareva, E. Savenkov // Computational Methods in Applied Mathematics. 2007. -T. 7, № l.-P. 3.

78. Kabelikovia, P. Implementation of Non-Overlapping Domain Decomposition Techniques for FETI Methods. Doctor Philosofi.Thesis. Electronic resource. / P. Kabelikovia. Ostrava, 2012.

79. URL:http://am. vsb.cz/theses/kabelikovaphd.pdf.

80. Kleiss, S. K. IETI Isogeometric Tearing and Interconnecting / S. K. Kleiss, C. Pechstein, B. Jtittler, S. Tomar // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 2012. - Vol. 247-248, 1 Nov. - P. 201-215.

81. Lefran9ois, M. Study of FETI methods and implementation of FETI in Oofelie code Electronic resource. /M. Lefran?ois. -2007. -URL:http ://www-sop. inria. fr/members/Maxime .Lefrancoi s/Publ ications/.

82. Melosh, R. J. Basis for Derivation of Matrices for the Direct Stiffness method / R. J. Melosh // J. Am. Inst. For Aeronautics and Astronautics. 1963. -№ l.-P. 1631-1637.

83. Metsis, P. Overlapping and non-overlapping domain decomposition methods for large-scale meshless EFG simulations / P. Metsis, M. Papadrakakis // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 2012. - Vol. 229232. -P. 128-141.

84. Murty, K. G. Linear Complementarity, Linear and Nonlinear Programming Electronic resource. / K. G. Murty. Berlin: Heldermann Verlag, 1988. -( Sigma Series in Applied Mathematics. 3. ). - URL:http://www-personal.umich.edu/~murty/

85. Nyashin, Y. Decomposition method in linear elastic problems with eigenstrain / Y. Nyashin, V. Lokhov, F. Ziegler // ZAMM Zeitschrift fur Angewandte Mathematik und Mechanik. 2005. - T. 85, № 8. - C. 557-570.

86. On micro-to-macro connections in domain decomposition multiscale methods / O. Lloberas-Vails, D. J. Rixen, A. Simone, L. J. Sluys // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 2012. - Vol. 225-228, 15 June. -P. 177-196.

87. Parallel solution of contact shape optimization problems based on Total FETI domain decomposition method / V. Vondrak, T. Kozubek, A. Markopou-los, Z. Dostal // Structural and Multidisciplinary Optimization. 2010. -Vol. 42 (6). - P. 955-964.

88. Parameterization of computational domain in isogeometric analysis: methods and comparison / G. Xu , B. Mourrain, R. Duvigneau, A. Galligo // Com-put. Methods Appl. Mech. Engrg. 2011. - Vol. 200 (23-24). - P. 2021-2031.

89. Przemieniecki, J. S. Theory of Matrix Structural Analysis / J. S. Przemieniecki. New York.: Dover Publications, 1985. - 480 p.

90. Stavroulakis, G. M. Domain decomposition solution of large scale porous media problems / G. M. Stavroulakis, M. Papadrakakis // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 2009. - Vol. 198, Iss. 21-26, 1 May. -P. 1935-1945.

91. Total FETI based algorithm for contact problems with additional non-linearities / J. Dobias , S. Ptak, Z. Dostal, V. Vondrak // Advances in Engineering Software. 2010. - Vol. 41, Iss. 1, January. - P. 46-51.

92. Комментарии к списку литературы

93. Диссертант стремился следовать методологическим основам, содержащимся в книге А. А. Самарского и А. П. Михайлова 63.

94. Обзор контактных алгоритмов, в том числе для сред с подвижными границами, приведен в статье Н. Г. Бураго и В. Н. Кукуджанова 7. Библиография в данной статье содержит 633 названия.

95. Задачи с подвижными границами рассмотрены в книге 15. ив статье [21]. Контактная задача с трением рассмотрена в статье [62].

96. Развитие фундаментальных и прикладных аспектов численного моделирования механических систем с ограничениями в виде равенств и неравенств отражено в работах 6, 7, 24, 26, 31, 32, 33.

97. В диссертации численное моделирование механических систем выполнено на основе метода конечных элементов, описание теоретических и прикладных аспектов которого содержится в работах 2, 5, 8, 22, 54, 62, 72, 84,91.

98. История развития и современное состояние методов распараллеливания отражено в статье Карпова В.Е. 30.

99. Сведения общего характера о методах вычислительной математики содержатся в книгах 17, 69.

100. Математическое моделирование механических систем, в том числе с учетом нелинейных эффектов, рассмотрено в работах 23, 25, 51, 53, 57, 68.

101. Специальные вопросы моделирования контактного взаимодействия токоприемников электроподвижного состава и контактной подвески рассматриваются в работах 9-11, 19, 20, 27, 35, 37-41, 47, 48, 60.