ПРИЛОЖЕНИЯ МЕТОДОВ БЕЗУДАРНОЙ СТАБИЛИЗАЦИИ ПРОГРАММНЫХ СВЯЗЕЙ К УПРАВЛЕНИЮ ПРИКЛАДНЫМИ МЕХАНИЧЕСКИМИ И ОБОБЩЕННО-МЕХАНИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.01, кандидат наук ЧЕКМАРЕВА ОЛЬГА ИВАНОВНА

• ЧЕКМАРЕВА ОЛЬГА ИВАНОВНА
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук ЧЕКМАРЕВА ОЛЬГА ИВАНОВНА

Введение

Глава 1. Этапы становления и развития теории построения множества управляемых систем по заданным программным связям

1.1. Постановка первоочередных задач и разработка некоторых фундаментальных методов их решения

1.2. Построение семейства функций Ляпунова путём введения квазискоростей взамен традиционных обобщённых скоростей и его применения

1.3. Разработка методов разрывного управления для безударной стабилизации программных связей в условиях неопределённости и их приложения к решению прикладных задач

Глава 2. Приложения методов безударной стабилизации программных связей к решению прикладных задач управления механическими системами

1.1. Посадка тела на подвижную платформу без удара

1.2. Управление безударной стыковкой двух подвижных объектов

1.3. Управление процессом безударной стыковки множества подвижных объектов в заданные упорядоченные моменты времени

1.4. Управление процессом безударного захвата непредсказуемо движущегося объекта мобильным манипуляционным роботом

Глава 3. Безударная стабилизация программного движения обобщённо-механических систем

3.1. Метод решения задачи

3.2. Управление процессом приведения динамики слаборазвитой экономики производственного предприятия в состояние эталонной модели развитой экономики

Литература

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. На данном этапе развития современной цивилизации происходит стремительная автоматизация всех процессов управления в технике и экономике. Крупной помехой этому процессу является наличие непредсказуемых случайных возмущений в процессе достижения поставленных целей. В частности, это приводит к возникновению ударных нагрузок в момент контакта, опасных как для управляемых, так и для преследуемых объектов. Поэтому чрезвычайно важной задачей является выбор такого управления, которое позволяет выполнить задачу стыковки этих объектов или их захвата, избегая удара, за конечный промежуток времени. В данной работе предлагается максимально автономное («самонастраиваемое») управление, которое не требует вмешательства человека.

При построении систем программного движения, в основном, необходимо решить задачу определения вектор-функции управления Р(х, £), входящей в правую часть заданного «-мерного векторного дифференциального уравнения движения

х = f(x, Р, 0 (0.1)

системы управления, при которой движения построенной системы при определенных начальных условиях происходят по заданной программе.

Задача построения систем (0.1) по заданному частному решению

х = (р{€) (0.2)

уравнения (0.1) получила существенное развитие в работах А.С. Галиуллина [31], Я.Н. Ройтенберга, Е.А. Барбашина и других [12-14, 144, 145].

В работах А.С. Галиуллина получены условия, при которых «-мерная вектор-функция является решением уравнения (0.1), а

также определён класс устойчивых движений. В работах Я.Н. Ройтенберга

и Е.А. Барбашина рассматривались задачи, когда размерность вектора Р недостаточна для того, чтобы программа (0.2) была частным решением уравнения (0.1), в связи с чем решались задачи минимизации отклонений от программы (0.2).

В 1961 году в Университете дружбы народов начал работать научный семинар по теории устойчивости и управлению движением, руководимый профессором А.С. Галиуллиным. На одном из первых заседаний (май 1962 года) А.С. Галиуллин выступил с докладом «О задачах динамического программирования», в котором были сформулированы основные задачи динамики, состоящие в частичном или полном определении правых частей дифференциальных уравнений, описывающих динамические процессы в управляемых системах, по известным требованиям, накладываемым на свойства их движений. В докладе также были указаны возможные пути решения задач динамического программирования, и изложена программа исследований кафедры теоретической механики в этом направлении. В последующем эти задачи получили дальнейшее развитие в своих постановках и методах решения. Неоднозначность решения основной задачи построения систем дифференциальных уравнений по известным частным интегралам позволила учитывать различные дополнительные требования, такие как устойчивость движения по многообразиям и самого многообразия, оптимальность в заданном смысле, инвариантность по отношению к возмущениям и т.д. В дальнейшем совокупность требований, накладываемых на движения системы, стала рассматриваться как программа движений, а искомая частично или полностью система дифференциальных уравнений как система уравнений программных движений.

Естественным обобщением различных задач программирования [32] явился метод Н.П. Еругина о построении множества систем дифференциальных уравнений, имеющих заданную интегральную кривую

[49], получивший дальнейшее развитие в работах участников семинаров при кафедре теоретической механики Университета дружбы народов.

Общность постановки и широкие возможности задачи Н.П. Еругина привели к тому, что в начале 60-х годов началось интенсивное развитие теории построения систем различной физической природы, в том числе и механических, программой для которых служит заданное многообразие описываемое уравнениями

^■(х,0 = 0 (/= 1,2 ,...,5<п), (0.3)

аналогичными уравнениям удерживающих связей, наложенных на несвободные механические системы. В отличие от несвободных механических систем координаты системы управления могут и не удовлетворять уравнениям программных связей (0.3), так как система управления, вообще говоря, является свободной системой, а условия (0.3) указывают лишь на то, что многообразие П^) должно являться интегральным для уравнений движения системы. А для достижения этой цели активные управляющие силы, действующие на систему, выбираются так, чтобы при начальных состояниях системы, удовлетворяющих условиям (0.3), построенная система вела бы себя точно так же, как несвободная система, на которую наложены связи вида (0.3). В этом заключается основная особенность и в то же время сходство систем программного движения и несвободных механических систем.

Следует отметить, что так называемые обратные задачи механики, аналогичные вышеуказанной, в прошлом привлекали внимание многих известных математиков и механиков. Приведем некоторые известные классические задачи, которые заложили фундамент становления и развития современной теории обратных задач динамики.

Одной из первых обратных задач динамики, решённых в прошлом, явилась задача Ньютона по определению сил, под действием которых планеты совершают движение согласно законам Кеплера.

Задача Ньютона в дальнейшем вызвала постановку и других обратных задач динамики точки. Так, например, Бертран [9] поставил задачу об определении структуры позиционных сил, под действием которых материальная точка движется по коническому сечению. Решением этой задачи в различных её видоизменениях занимались многие известные механики и математики прошлого.

Окончательное решение этой задачи в довольно общей постановке было дано В.Г. Имшенецким [56].

Отметим, что в курсах лекций по теоретической механике прошлого было принято четко выделять два самостоятельных раздела динамики: раздел, где рассматривались задачи по определению свойств движения при заданных связях и силах, и раздел, посвящённый обратным задачам. Таким, например, является известный в прошлом курс лекций Г.И. Шебуева [167]. Там же содержатся решения, правда, в простейшей постановке, вполне современных задач по управлению преследующей точкой и точкой, движущейся по локсодромии.

Следующей фундаментальной обратной задачей явилась задача Г.К. Суслова о построении силовой функции, допускающей данные частные интегралы [157], изложенная в его докторской диссертации, изданной в 1890 году [158]. Эта задача является весьма общей постановкой обратных задач динамики механических систем в предположении, что поле сил является потенциальным. В работе [157] дана постановка этой задачи и изложен аналитический метод её решения для систем с п степенями свободы, когда задано п — 1 независимых интегралов. Н.Е. Жуковский с помощью геометризации толкований этой задачи построил силовую функцию в явном виде для механических систем с одной и двумя степенями свободы [51].

Глубоко содержательными в прикладном и теоретическом отношениях оказались обратные задачи динамики точки переменной массы, поставленные и решённые И.В. Мещерским [71], где определяются

закон и скорость изменения массы по заданной траектории или по заданному закону движения точки. К этой же группе обратных задач примыкают задачи отыскания условий, наложенных на геометрию масс твердого тела с закреплённой точкой, когда соответствующие уравнения движения допускают алгебраические интегралы (работы Д.Н. Горячева [46] и С.А. Чаплыгина [164]).

Если в задачах Бертрана и Суслова определялась вся правая часть дифференциальных уравнений движения по заданным интегралам, то в указанной группе обратных задач структура правых частей уравнений предполагается известной, и отыскиваются дополнительные силы или параметры механической системы, при которых движение с заданной траекторией или с заданным законом является одним из возможных движений механической системы.

В настоящее время задачи такого рода стали одним из основных типов задач теории управления движением материальных систем, когда по заданным свойствам движения объекта управления строятся функции управления или дифференциальные уравнения относительно этих функций. Так, например, в [31] ставится и решается задача определения переменных (во времени) параметров материальных систем различной физической природы (движения которых описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями) так, чтобы заданное (программное) движение системы являлось одним из возможных её движений и устойчивым в смысле Ляпунова, а также в смысле Каменкова на конечном интервале времени.

В 1952 году была опубликована работа Н.П. Еругина [49]. Обратная задача теории дифференциальных уравнений, поставленная в этой работе как задача построения множества систем дифференциальных уравнений по заданным частным интегралам, явилась наиболее общей математической постановкой обратных задач динамики и основополагающей в постановке многих задач теории управления движением материальных систем [63], в

частности, в задачах аналитического построения систем программного движения [32, 37, 43]. Метод решения обратных задач теории дифференциальных уравнений, установленный в работе [49], оказался действенным и универсальным методом для решения как обратных задач динамики, так и задач построения дифференциальный уравнений материальных систем, движения которых происходят с заданными свойствами, записанными в виде частных интегралов строящихся уравнений.

Естественно, что общность постановки задачи Еругина и действенность метода её решения позволяют с большей широтой толковать и ставить, а также и решать многие обратные задачи управления движением материальных систем. Заметим, что задачу Еругина полезно ставить и решать в различных сочетаниях с требованиями устойчивости, оптимальности и инвариантности заданных свойств движения. Такие сочетания, а также дополнительные качественные и количественные требования к программе позволяют, используя неоднозначность решения самой задачи Еругина, доопределять правые части искомых дифференциальных уравнений движения, а также находить дополнительные условия для определения искомых функций управления, параметров и управляющих сил рассматриваемой материальной системы [32, 37, 43].

Итак, понятие обратных задач динамики механических систем охватывает задачи по определению параметров системы, активных сил и различного рода связей, при которых движение с заданными свойствами относительно его геометрических и кинематических показателей (программа движения) является одним из возможных движений рассматриваемой материальной системы.

Обратные задачи динамики механических систем всегда привлекали к себе внимание механиков и математиков, прежде всего потому, что эти задачи заключали в себе широкие прикладные возможности и являлись

проблематичными в смысле их окончательной разрешимости. В настоящее время эти задачи уже вышли за рамки одной лишь теоретической механики и превратились в задачи построения таких систем различной физической природы и конструкции, где происходят процессы, удовлетворяющие заранее поставленным требованиям, что составляет основную проблему современной теории управления движением материальных систем.

Таким образом, современные задачи построения систем программного движения можно считать дальнейшим качественным развитием обратных задач классической механики, которые в настоящее время стали особенно актуальными в связи с развитием теории и техники автоматического управления процессами различной физической природы.

Исследования данной проблемы с самого начала развивались интенсивно, сначала самим А.С. Галиуллиным и его первым аспирантом И.А. Мухаметзяновым, а затем его аспирантами Р.Г. Мухарлямовым и В.М. Савчиным. Впоследствии все они стали докторами физико-математических наук и профессорами, а после ухода из жизни А.С. Галиуллина в 1999 году каждый из них возглавил одно из трёх направлений исследований данной проблемы.

И.А. Мухаметзянов еще в 1963 году предложил [96] форму уравнений возмущённого движения, которые описывают характер отклонений от заданного многообразия (0.3) при наличии ограничений, в виде неравенств

ш1(х^)>0 (1 = 1,2,...,Ы). (0.4)

В качестве меры отклонения от многообразия (0.3) им принимались значения в уравнениях, полученных приравниванием их производных по времени множеству так называемых функций Н.П. Еругина Ф](ы,х,£), обладающих свойством Ф](0,х,1) = 0. При этом было установлено, что уравнения = Фу (ш, х, £) могут служить в качестве уравнений

возмущённого движения системы. Такой подход был безоговорочно подхвачен другими авторами и широко используется по настоящее время. Выбор функции Фу позволяет строить множество систем программного движения, удовлетворяющих различным дополнительным требованиям, таким как устойчивость движения по многообразиям (0.3) и самого многообразия при соблюдении неравенств (0.4), оптимальности в заданном смысле, инвариантности к постоянно действующим и параметрическим возмущениям и т.д. Результаты работ, развивающих данное направление исследований, подробно изложены в главах 1 и 2 данной диссертации.

Направление исследований, возглавляемое Р.Г. Мухарлямовым, охватывает методы построения множества систем уравнений программных многообразий по заданному фазовому портрету, образованному различными типами интегральных кривых [132, 23]. Кроме этого к этому направлению исследований относятся работы, связанные с численным моделированием в задачах механики и в механических аналогах систем другой физической природы, таких как адаптивные оптические системы [134-136] и системы переменной массы. Особого внимания заслуживают работы, связанные с применением методов построения уравнений программного движения механических систем к задачам управления динамикой экономических систем [5, 10, 11, 126, 141, 151-154]. В последнее время к этим исследованиям добавились работы, связанные с построением систем управления программными движениями в сингулярных случаях [2]. Для решения этих проблем широко используется оригинальная форма описания множества дифференциальных уравнений программных движений с помощью векторного произведения многомерных векторов [113]. Следует отметить, что здесь перечислены далеко не все проблемы, которыми занимается Р.Г. Мухарлямов и его ученики.

Теперь кратко обрисуем круг задач в направлении, возглавляемом В.М. Савчиным. Здесь научные проблемы прежде всего связаны с

построением уравнений программного движения систем с распределенными параметрами, обладающих бесконечномерной степенью свободы [1, 19, 147, 150]. Проводимые в этом направлении исследования существенно отличаются от вышеприведённых, в которых системы описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями. В.М. Савчиным было предложено использовать совершенно другой математический аппарат для описания континуальных систем.

Цель исследования: приложение методов безударной стабилизации программного многообразия, предложенных моим научным руководителем, д. ф.-м. наук, профессором И.А. Мухаметзяновым, к решению актуальных прикладных задач управления механическими и обобщённо-механическими системами.

Методы исследования:

1. универсальные научные методы, такие как анализ и синтез, моделирование, индукция и дедукция, изучение и обобщение, абстрагирование, формализация;

2. методы классической механики, теории устойчивости движения, качественной теории дифференциальных уравнений.

Научная новизна. Впервые для конкретных практических задач получены выражения управляющих сил, обеспечивающие безударную стабилизацию программных связей механических и обобщённо-механических систем.

Достоверность результатов достигается на основе строгих математических выводов и доказательств.

Практическая значимость. Результаты диссертации могут быть использованы для программирования систем управления посадкой и стыковкой плавательных, летательных и космических аппаратов; захватом различных объектов, в том числе космического мусора; планирования и управления экономическими объектами и системами.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «ПРИЛОЖЕНИЯ МЕТОДОВ БЕЗУДАРНОЙ СТАБИЛИЗАЦИИ ПРОГРАММНЫХ СВЯЗЕЙ К УПРАВЛЕНИЮ ПРИКЛАДНЫМИ МЕХАНИЧЕСКИМИ И ОБОБЩЕННО-МЕХАНИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ»

Апробация работы.

Результаты исследований докладывались на:

1. X Международной Четаевской конференции, Казань, 12 - 16 июня 2012 г.,

2. XII Международной конференции Пятницкого «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления», Москва, 5 - 8 июня 2012 г.,

3. Всероссийской конференции (с международным участием) «Информационно-телекоммуникационные технологии и математическое моделирование высокотехнологических систем», Москва, РУДН, 23 - 27 апреля 2012 г.,

4. Всероссийской конференции (с международным участием) «Информационно-телекоммуникационные технологии и математическое моделирование высокотехнологических систем», Москва, РУДН, 22 - 26 апреля 2013 г.,

5. Ь Всероссийской конференции по проблемам динамики, физики частиц, физики плазмы и оптоэлектроники, Москва, РУДН, 13 - 16 мая 2014 г.,

6. Ь1 Всероссийской конференции по проблемам динамики, физики частиц, физики плазмы и оптоэлектроники, Москва, РУДН, 1 2 - 15 мая 2015 г.,

7. заседаниях научного семинара «Математическое моделирование процессов механики» (руководитель - д. ф.-м. наук, профессор

Мухарлямов Р.Г., Москва, Российский университет дружбы народов, 2013-2015 г.).

8. Результаты исследований вошли в заявки на участие в конкурсах грантов РФФИ № 13-08-00535-а и ФЦП № 022201-1-174 и в отчёты по ним с 2012 по 2015 годы.

Степень личного участия. Основные результаты, представленные в диссертации, получены самостоятельно в ходе выполнения заданий моего научного руководителя и руководителей вышеуказанных грантов Р.Г. Мухарлямова и Ю.П. Рыбакова.

Публикации.

Публикации в журналах, рекомендованных ВАК:

1. Мухаметзянов И.А., Чекмарева О.И. Самонастраиваемое управление процессом безударной стыковки двух подвижных объектов. // Вестник РУДН. Серия «Математика. Информатика. Физика». - 2013. - №4. - С.154 - 160.

2. Мухаметзянов И.А., Чекмарева О.И. Управление процессом безударной стыковки множества подвижных объектов в заданные упорядоченные моменты времени. // Вестник РУДН. Серия «Математика. Информатика. Физика». - 2014. - №4. - С. 106 - 111.

3. Мухаметзянов И.А., Матухина О.В., Чекмарева О.И. Управление динамикой производственного предприятия для приведения в состояние эталонной модели. // Вестник Казанского технологического университета, 2015. - Т. 18, № 11. - С. 210-212.

Публикации в сборниках и материалах конференций:

4. Мухаметзянов И.А., Чекмарева О.И. Безударная посадка тела на подвижную платформу. // Труды X Международной Четаевской конференции. Казань, 12 - 16 июня 2012 г. - Казань: Изд-во Казан.

гос. техн. ун-та, 2012. - Т. 3. - Секция 3. - Управление. - Ч. II. -С. 197 - 204.

5. Мухаметзянов И.А., Чекмарева О.И. Безударное приведение тела на подвижную платформу в условиях неопределенности. // Тезисы докладов XII Международной конференции Пятницкого «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления». Москва, ИПУ РАН, 5 - 8 июня 2012 г. - М.: Изд-во ИПУ РАН, 2012. - С.248 - 249.

6. Мухаметзянов И.А., Чекмарева О.И. Управление процессом приведения тела на подвижную платформу без удара при случайных возмущениях. // Информационно-телекоммуникационные технологии и математическое моделирование высокотехнологичных систем: материалы Всероссийской конференции с международным участием. Москва, РУДН, 23 - 27 апреля 2012 года. - М.: РУДН, 2012. - С.208.

7. Мухаметзянов И.А., Чекмарева О.И. Самонастраиваемое управление процессом безударной стыковки двух подвижных объектов. // Информационно-телекоммуникационные технологии и математическое моделирование высокотехнологичных систем: материалы Всероссийской конференции с международным участием. Москва, РУДН, 22 - 26 апреля 2013 года. - М.: РУДН, 2013. -С.203 - 204.

8. Мухаметзянов И.А., Чекмарева О.И. О применениях принципа обратной связи по квазиускорению. // Ь Всероссийская конференция по проблемам динамики, физики частиц, физики плазмы и оптоэлектроники. Москва, РУДН, 13 - 16 мая 2014 года. - М.: РУДН, 2014. - С.207 - 209.

9. Мухаметзянов И.А., Чекмарева О.И. Управление упорядоченной дислокацией мобильных объектов в непредсказуемо движущемся пункте. // Ы Всероссийская конференция по проблемам динамики,

физики частиц, физики плазмы и оптоэлектроники. Москва, РУДН,

12 - 15 мая 2015 года. - М.: РУДН, 2015. - С. 187 - 188.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав и списка литературы из 170 наименований. Объём диссертации составляет 118 страниц.

Во введении обосновывается актуальность выбора темы, формулируются цели работы, отмечается её научная новизна и практическая значимость, приводится список работ автора, относящихся к теме диссертации. Кратко излагается содержание диссертации по главам, и приводятся основные результаты, полученные в работе.

В первой главе проведён подробный обзор работ моего научного руководителя, Мухаметзянова И.А, стоящего у истоков научного направления по построению множества систем программного движения, которым, начиная с 60-х годов прошлого столетия и до 1999 года, руководил профессор А.С. Галиуллин. Плодом многолетней работы И.А. Мухаметзянова по решению этой проблемы явилось создание метода безударной стабилизации программного многообразия, который используется мной для решения практических задач в последующих главах.

В разделе 1.1 выполнен обзор статей Мухаметзянова И.А., написанных им в годы, предшествующие защите докторской диссертации, и являющихся основополагающими при постановке и решении задач в последующем.

В разделе 1.2 описаны этапы разработки Мухаметзяновым И.А. алгоритма построения семейства функций Ляпунова путём введения квазискоростей взамен традиционных обобщённых скоростей, а также его применения для решения различных задач.

В разделе 1.3 выполнен обзор статей последних лет, в которых разработаны методы безударной стабилизации программных связей.

Во второй главе применяя подход, предложенный Мухаметзяновым И.А. в [73, 80, 108, 110], построены выражения управляющих сил, обеспечивающих безударную посадку тела на подвижную платформу, безударную стыковку двух и множества объектов, безударный захват цели схватом манипуляционного робота за конечный промежуток времени.

В разделе 2.1 решается задача приведения тела за конечное время на подвижную платформу без удара в условиях неопределенности. Решение получено как для тела постоянной, так и переменной массы. В последнем случае проводится оценка расходуемой массы в процессе управления телом в идеальных условиях атмосферы. Принцип решения задачи следующий. В уравнение относительного движения (для случая падения тела на подвижную платформу), в котором присутствуют случайные, но ограниченные возмущения, вводится управляющая сила, представляющая собой сумму непрерывной и кусочно-постоянной функций. Кусочно-постоянная составляющая является величиной переменного знака, достаточно большой для того, чтобы нивелировать наличие возмущений. В результате процесс становится «квазиподобен» процессу посадки этого же тела на неподвижную платформу в отсутствие случайных возмущений. Такая управляющая сила строится как для тела постоянной, так и переменной массы. Во втором случае (тело управляется реактивной силой), определяется расходуемая массы тела в процессе управления, принимая, что посадка производится на неподвижную платформу в идеальных условиях атмосферы.

В разделе 2.2 решается задача безударной стыковки двух подвижных объектов, один из которых является управляемым, движущимся в режиме преследующего тела по принципу пропорциональной навигации с целью стыковки со вторым объектом, движущимся непредсказуемым образом. При этом неуправляющие силы, в том числе сила сопротивления среды, считаются неизвестными. Для автоматического выбора оптимального значения управления предлагается самонастраиваемый способ,

осуществляемый по «принципу обратной связи по квазиускорению» в дискретные моменты времени. Этот принцип был предложен И. А. Мухаметзяновым в статье, опубликованной в Вестнике РУДН серии «Математика. Информатика. Физика» № 3 за 2013 год. Решение задачи получено как в случае преследующего тела постоянной, так и переменной массы, когда движение управляемого тела осуществляется реактивной силой. Во втором случае оценивается величина расходуемой в процессе управления массы.

В разделе 2.3 строится алгоритм управления множеством подвижных объектов, преследующих непредсказуемо движущееся в пространстве тело, с целью безударной стыковки с ним в заданные упорядоченные моменты времени. Преследующие тела движутся по принципу пропорциональной навигации. Для решения задачи используется уравнение относительного движения, в котором присутствуют случайные силы, как активные, так и инерции. Эти неизвестные возмущения считаем непрерывными и ограниченными. Вводится управляющая сила, представляющая собой сумму непрерывной и кусочно-постоянной функций. Кусочно-постоянная составляющая является величиной переменного знака, достаточно большой для того, чтобы нивелировать наличие возмущений. В результате процесс становится «квазиподобен» процессу безударной стыковки преследующих тел с целью в идеальных условиях. Для автоматического выбора оптимального значения управления предлагается самонастраиваемый способ, осуществляемый по «принципу обратной связи по квазиускорениям» в дискретные моменты времени. Система управления преследующего тела автоматически выбирает величину кусочно-постоянной управляющей силы, обеспечивающей безударность стыковки, в зависимости от параметров сближения объектов. Для этого используется информация о расстоянии между центрами масс преследуемого и преследующего объектов. Система управления рассчитывает вторую производную по времени этого расстояния.

Стыковка преследующих тел с целью осуществляется поочередно через заданные промежутки времени. Решение задачи получено как в случае преследующих тел постоянных, так и переменных масс, когда движение управляемых тел осуществляется реактивными силами. Во втором случае оценивается величина расходуемых в процессе управления масс. В отличие от предыдущих разделов 2.1 и 2.2 такая оценка расхода топлива выполнена не только для непрерывного, но и для ступенчатого управления.

В разделе 2.4 построены аналитические выражения главного вектора и главного момента, управляющих движением мобильного робота, оснащённого многозвенным манипулятором. При этих управляющих силах достигается движение робота по принципу пропорциональной навигации при погоне за непредсказуемо движущимся объектом. При этом точка крепления манипулятора к корпусу робота в конечный промежуток времени приводится в точку, находящуюся от преследуемого объекта на расстоянии досягаемости цели схватом манипулятора, избегая удара при контакте схвата с захватываемым объектом. Для решения этой задачи строятся аналитические выражения сил и моментов управления поступательно и вращательно движущимися друг относительно друга звеньями манипулятора. При решении используется информация о расстоянии между схватом манипулятора и преследуемым объектом, применены методы, предложенные в работах [108, 120, 142]. Решение получено без использования информации о неуправляющих силах, в том числе возмущающих силах и силах инерции.

В третьей главе метод безударной стабилизации использован для приведения экономики отстающего предприятия в состояние эталонной модели за конечный промежуток времени.

Вследствие динамических аналогий, существующих между системами различной физической природы, область применения методов моделирования механических систем существенно расширяется. Одним из

важных приложений такого подхода являются анализ и синтез управляемых процессов в экономических системах [3, 5, 59, 137, 141, 151154]. В данной главе, используя методы управления динамикой системы с программными связями, построено выражение вектора управления для одновременного достижения управляемым предприятием и эталонной моделью равных величин общего объема выпускаемой продукции и общей мощности выпуска. Такое выравнивание осуществляется за конечный гарантированный промежуток времени, несмотря на наличие случайных внешних и внутренних факторов, влияющих на процесс производства. Под эталонной моделью подразумевается образцовое предприятие, имеющее превосходство в своей отрасли.

При решении этих задач в качестве фундамента были использованы принцип декомпозиции, предложенный Е.С. Пятницким и метод обратной связи по квазиускорению, разработанный И.А. Мухаметзяновым.

Автор диссертации выражает искреннюю и глубокую признательность своему научному руководителю, профессору И.А. Мухаметзянову, за помощь и полезные советы, внимание, огромное терпение, заботу и доброту, а также многочисленным участникам семинаров и конференций за их доброжелательные замечания и полезные советы.

Основные результаты:

1. В случае посадки тела на подвижную платформу, движущуюся непредсказуемым образом относительно неподвижной системы отсчета, построено выражение управляющей телом силы в виде суммы непрерывной и кусочно-постоянной функций, обеспечивающих безударный контакт. Решение задачи распространено на случай тела

переменной массы с оценкой расходуемой массы при посадке на неподвижную платформу.

2. В случае преследующего движения, когда одно из тел движется непредсказуемым образом, а другое (управляемое) преследует его по принципу пропорциональной навигации с целью стыковки с ним или его захвата, построено выражение управляющей телом силы в виде суммы непрерывной и кусочно-постоянной функций, обеспечивающих безударный контакт. Задача решена для преследующих тел постоянной и переменной массы, оценивается расход массы на управление при отсутствии случайных возмущений. Выбор кусочно-постоянной составляющей управляющей силы осуществляется автоматически по принципу обратной связи по квазиускорениям.

3. В случае преследования подвижного объекта множественными управляемыми телами по принципу пропорциональной навигации с целью стыковки с ним в заданные упорядоченные моменты времени построены выражения управляющих сил, обеспечивающих безударный контакт. Управление построено как для преследующих тел постоянных, так и переменных масс. Во втором случае расход массы на управление оцениваетсяс учётом кусочно-постоянной составляющей управляющей силы. Управление позволяет заранее задавать промежуток времени между стыковками, независимо от наличия случайных возмущений в процессе преследования.

4. В случае захвата непредсказуемо движущейся цели схватом манипуляционного робота построены:

- главный вектор сил, обеспечивающий движение центра масс корпуса робота по принципу пропорциональной навигации при погоне за объектом;

- главный момент управляющих сил относительно центра масс робота для приведения одной из главных центральных осей инерции

подвижной системы координат, связанной с корпусом робота, в положение, совпадающее с линией визирования;

- выражение дополнительной управляющей силы для безударного приведения точки крепления первого звена манипулятора с корпусом робота на расстояние «вытянутой руки манипулятора» от цели по линии визирования, чтобы обеспечить захват;

- выражения сил и моментов управления для поступательно и вращательно движущихся относительно друг друга звеньев манипулятора, позволяющие безударно захватить преследуемый объект.

5. В случае управления динамикой отстающего предприятия с целью достижения им мощности и объёма выпускаемой продукции, равных соответствующим характеристикам эталонного предприятия, построено выражение управления, обеспечивающего такое выравнивание за конечный промежуток времени независимо от присутствующих случайных возмущений, влияющих на процесс производства.

Глава 1.

ЭТАПЫ СТАНОВЛЕНИЯ И РАЗВИТИЯ ТЕОРИИ ПОСТРОЕНИЯ МНОЖЕСТВА УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ ПО ЗАДАННЫМ ПРОГРАММНЫМ СВЯЗЯМ

Обзоры по публикациям, касающимся обсуждаемой проблемы в целом, были напечатаны в 1994 году в Вестнике РУДН серии «Прикладная математика и информатика», №1, стр. 5-21 (охватывают период с 1961 по 1994 годы) и в 1997 году в сборнике «Проблемы механики и управления. Нелинейные динамические системы», стр. 6-13 (охватывают годы с 1994 по 1997). Эти обзоры были написаны авторским коллективом, состоящим из А.С. Галиуллина, И.А. Мухаметзянова и Р.Г. Мухарлямова, и вышли из печати еще при жизни А.С. Галиуллина. За прошедшие после этого 15 лет количество работ, посвящённых данной проблеме, достигло трёхзначного числа. В связи с этим, в силу ограниченности объёма диссертации, удалось достаточно полно охватить в обзоре лишь работы И.А. Мухаметзянова и некоторых его учеников, непосредственно относящиеся к теме исследований диссертации.

Данный обзор охватывает три этапа исследований: первый - с 1963 по 1973 годы, второй - с 1995 по 2010 годы, третий - с 2011 по 2015 годы.

Теперь переходим к изложению анализа работ, относящихся к каждому из этих трёх этапов.

1.1. Первый этап: постановка первоочередных задач и разработка некоторых фундаментальных методов их решения

Прежде всего заметим, что исследования данного этапа оказались основополагающими при постановке и решении задач в последующие годы. В связи с этим по рекомендации моего научного руководителя И.А. Мухаметзянова работы этого этапа описываются с максимально возможной полнотой. При этом были использованы, в основном, работы [75-78, 82, 83, 87-89, 92, 93, 96, 101-105, 109, 115, 116] самого И.А. Мухаметзянова с участием некоторых его учеников.

Излагаемый ниже обзор является итогом многолетнего труда моего научного руководителя по решению некоторых задач теории построения систем программного движения, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями (0.1), программа движения для которых задается в виде многообразия (0.3) и освобождающих программных связей (0.4).

Изложение обзора начнем с решения задачи построения всего множества выражений г-мерной непрерывной вектор-функции Р(х,€), входящей в правую часть уравнения (1) вида [102, 104]

х = f(x, £) + В(х, £)Р(х, £), (1.1.1)

при которой гладкое многообразие (0.3) является интегральным для уравнения (1.1.1). При этом предполагается, что заданная «-мерная вектор-функция f(x,t) и элементы заданной (п X г) матрицы В(х,£) являются непрерывными в некоторой области О, включающей в себя многообразие &(£) с его некоторой окрестностью. Допустимыми считаются такие непрерывные вектор-функции Р(х,£), которые в области О не нарушают условий существования и единственности решений уравнения (1.1.1). Доказано, что в качестве Р(х,£) может быть взята произвольная непрерывная г-мерная вектор-функция, удовлетворяющая при х Е условию

v^ г° V^ I0

¿,v=l

W x -ипл,.^1*"

i,v=1

где

n d^i s N

10 = ——— f(x, t) • grad

Г° - определитель Грама, составленный из векторов

д0 = В'(х, t) grad (j = 1,2,..., s),

B'(x, t) - транспонированная матрица B(x, t),

- алгебраическое дополнение /-го элемента v -го столбца определителя

Г0,

К(х, t), W(x, t) - произвольные непрерывные соответственно скалярная и r-мерные вектор-функции.

Показано, что евклидова норма вектора Р(х, t) имеет минимальную норму, если при х Е ü(t) принять К(х, t) = 0, а при х Е a(t) - Р(х, t) = 0.

Поставленная задача решается и при условии, чтобы кроме многообразия (0.3) интегральным для уравнения (1.1.1) являлось еще семейство многообразий, образованное пересечением гиперповерхностей [76]

vs+i(x, t) - Ws+i(Ci, ...,CN,t) = 0 (i = 1,...,N), где Ct - произвольные постоянные из заданного множества.

Предлагается также способ расширения множества дифференциальных уравнений (0.1), обладающих заданным интегральным многообразием, путём повышения порядка системы уравнений.

Сущность этого способа заключается в присоединении к уравнению (0.1) r-мерного векторного дифференциального уравнения [76]

dkP

= F(x,P,P,...,P(k-1),t),

dtk

где k - целое положительное число; F - произвольная непрерывная

S

г-мерная вектор-функция, удовлетворяющая при х,Р,Р,... ,Р(к-1^ Е 0±

условию

з

3

где П1 - область, определяемая уравнениями

а)](х^) = 0 а = 1,2, ...,Б),

ш(\х,Р,Р,...,Р(к-1),£) = 0 (1 = 1,...,к),

- полная производная /-го порядка по 1 от функции о) ^, вычисленная в силу уравнения (1),

Г - определитель Грама, составленный из векторов

АI = дгайр(к-1)Ш(к-> а = 1,..., Б), Гу1 - алгебраические дополнения определителя Г, 01 - скалярные функции вида

к-1 да)0*) 0[ = — ^ дгайра-1) • Р(1^ — дгас1хо)(к-> • f(x, Р, £)---^

1=1

(к—1)

Показано, что при начальных условиях х0,Р0, Р0, ...,Р^ Е Б1 движения, определяемые построенными уравнениями, происходят по программному многообразию (0.3).

Затем рассматриваются уравнения систем управления вида [76]

х = f(x, и, t), О = Я(х,и^) + В(х,и^)Р(х,и^), (1.1.2)

где х, и - соответственно п и ^-мерные векторы состояния объекта управления и управляющего органа системы,

f,R,B- заданные матрицы соответственно размерности (п X 1), (т X 1), (т X г),

Р(х, и, Ь) - искомая вектор-функция.

Строится множество вектор-функций Р(х, U, t), при которых объект управления обладает заданным семейством программных движений, или же его движения по программному многообразию происходят по траекториям, обладающим определёнными свойствами, такими как монотонное стремление к точке экстремума заданной функции и движения по экстремалям заданного функционала [76]. В частности установлено, что при начальных условиях x0,U0Eß(t), где ß(t) - область, определяемая «-мерным векторным уравнением

f(x, U, t) - Z(x, t) = 0, движения системы (1.1.2) происходят по траекториям, описываемым решениями «-мерного заданного дифференциального уравнения

z= Z(z,t), (1.1.3)

если вектор-функция P(x,U,t) является произвольной непрерывной, удовлетворяющей при x,U Е ß(t) условию

п

п

¿,У = 1 ¿,У=1

где Г - определитель Грама, составленный из векторов

А; = В'(х, и, г)дга^^(х, и, £) (] = 1,..., п),

Ц,1 - алгебраические дополнения определителя Г,

д

I; = - дга• Я - дгайМ -г^^- — ^- г1),

К(х, и, €), Ш(х, и, €) - произвольные непрерывные соответственно скалярная и г-мерная векторная функции.

Рассмотрен также случай, когда дифференциальное уравнение (1.1.3) описывает поле условных или безусловных экстремалей заданного функционала [76].

Установлено, что движения системы (1.1.2) по многообразию П, заданному уравнениями

Ш;(х) = 0 0 = 1, .■■,$),

происходят по траекториям, монотонно приближающим изображающую точку (х, и) к точке условного экстремума заданной функции У (х, и), если искомая вектор-функция является произвольной и непрерывной, удовлетворяющей при х Е П П П' условию

п

Г ■ а(2)

¿,У = 1

Г 1 ' '\\д(2)\\2'

где П' - область, определяемая уравнениями

дга^Ы] • [(х, и^) = 0 (] = 1,... б), Г - определитель Грама, составленный из векторов

А7- = В'(х, и, 1)дгайи[дга(1хш^ • [(х, и,£)],

д(2) - г-мерный вектор типа

п

Гц

Р --1 -1/.

4 = 1

д = В'(х, и, 1)дгайиУ(х, и, ^,

К(х, и, €) - произвольная непрерывная скалярная функция, удовлетворяющая лишь условию

К(х, и,г)<— (д(1) • р£1} + дгайхУ • / + дгайиУ • я),

г ■

* 1/7

1х? • ) + У ""и*

г

Ь у=1

Полученные результаты применяются для построения уравнений движения преследующей точки по кривой погони. Вектор силы Р, управляющей точкой М, движущейся в пространстве согласно дифференциальному уравнению

а? _ _

т(£)— = Г (у, г, t) + Р, аЬ

определяется из условий

(?•!) п ( ?•*) п ГО ГЛ п

V1 = =0, (¿2= у =0, (Р •?) = 0,

где

[ К XI] _ г й

I) = 0гМ — 0±0,

о = \т,

1с1 - орт одной из осей инерциальной системы отсчета Охуг, О - преследуемая точка,

т, г, ? - масса, радиус-вектор и вектор скорости точки М, f(V, г, Ь) - главный вектор заданных сил.

Выражение управляющей силы получено в виде

Р = Х11 + Л.2] + А.3к, где Л1, Х2, Л3 - найденные скалярные функции, зависящие от г, ?, Б, а), где а) - абсолютная угловаяскорость вращениявектора Б.

Для движения системы по заданной программе необходимо, чтобы условия (0.3) в начальный момент времени точно выполнялись. Однако это условие не всегда соблюдается. Поэтому при построении программного движения следует иметь в виду ещё и требование устойчивости программы.

Этому вопросу посвящены последующие работы [77, 78, 92, 93, 96], в которых предлагаются методы, позволяющие выделить из всего множества дифференциальных уравнений, построенных выше, такие, для которых программное многообразие обладает свойством устойчивости. Для этого вводятся определения устойчивости, равномерной устойчивости, асимптотической и абсолютной устойчивости программного многообразия по отношению к некоторым заданным функциям. Показано, что эти понятия являются естественным обобщением понятия устойчивости невозмущённого движения путём распространения известного понятия устойчивости по отношению к заданным функциям, сформулированного

А.М. Ляпуновым, на случай, когда невозмущённым состоянием системы является программное многообразие.

Приведём некоторые из этих определений [93].

Для этого вводится ^-мерная непрерывная вектор-функция Q(x, t), которая при х Е H(t) тождественно обращается в нуль или, в общем случае, принимает вполне определённые значения, которые представимы в виде ^-мерной вектор-функции q(t). Здесь под Q(t) понимается (п — s )-мерное программное многообразие (0.3) построенной системы

x = f(x,t). (1.1.4)

В пространстве состояний системы (1.1.4) выделяется область G(Н): \\У(х, t)\\<H (Н = const < и), где \\Y\\ - евклидова норма вектора Y = Q — q.

Определение 1. Многообразие П(I) называется устойчивым по отношению к вектор-функции Q(x,t), если для любого £>0 можно указать такое 3({0,£) > 0, что при ||У(х0Д0)|| < 3 выполняется условие ЦУ(х, ¿)|| < £ при всех t > ^

Если наряду с выполнением условий Определения 1 имеет место

lim ^m\Y(x,t)\=0, (1.1.5)

то ü(t) называется асимптотически устойчивым по отношению к вектор-функции Q(x,t).

Вводятся также понятия равномерной и равномерно асимптотической устойчивости многообразия t).

Определение 2. Многообразие t) называется асимптотически устойчивым в целом, если условие (1.1.5) выполняется при любых \\У(х0, t0)\\, как бы велики они не были.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук ЧЕКМАРЕВА ОЛЬГА ИВАНОВНА, 2015 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Budotchkina S.A., Savchin V.M. On indirect variational formulations for operator equations. // Journal of Function Spaces and Applications, 2007. Vol.5, Number 3, p.231-242.

2. Deressa C.T. Equations of Mechanical Systems with Singular Coefficient Matrix. // Материалы международной научно-практической конференции, посвященной 15-летию филиала ЮУРГУ в г. Нижневартовске. Нижневартовск: Изд-во НВГУ, 2013. С.56-63.

3. Layton R.A. Differential-Algebraic Equations of Dynamical Systems. N.Y.: Springer, 2001. - 159 p.

4. Shorokhov S.G. Solution of an Inverse Problem of the Dynamics of a Particle. // Celestial Mechanics, 1988. V.44, N1-2, p.293-306.

5. Абрамов Н.В., Мотовилов Н.В. Взаимодействие концепций и модульный состав корпоративных экономических информационных систем. // Изв. Самарского научного центра Российской академии наук. Специальный выпуск «Актуальные проблемы экономики и права», 2005. С.74-80.

6. Ананьевский И.М. Непрерывное управление по обратной связи возмущёнными механическими системами // ПММ, 2003. Т.67, в.2, с. 163-178.

7. Ананьевский И.М. Синтез непрерывного управления механической системой с неизвестной матрицей инерции // Известия РАН. Теория и системы управления, 2006. №3, с. 24-35.

8. Аниковский В.В., Журавлев С.Г. Задача Эйлера и ее приложения в небесной механике и космодинамике. // ПММ, 2011. Т.75, вып.6, с.940-950.

9. Аппель П.А. Теоретическая механика, т.1. М.: Физматгиз, 1960.

10. Ахметов А.А., Мухарлямов Р.Г. Динамическое моделирование управления экономическими объектами. // Вестник КГТУ, 2008. №3, с.102-106.

11. Ахметов А.А., Мухарлямов Р.Г. Применение методов моделирования механических систем для управления экономическими объектами. // Вестник КГТУ, 2008. №2, с.81-84.

12. Барбашин Е.А. Об одной задаче теории динамического программирования. // ПММ, т.24, вып.6, 1960.

13. Барбашин Е.А. Об оценке максимума отклонения от заданной траектории. // А и Т, №10, 1960

14. Барбашин Е.А. Об оценке среднеквадратичного значения отклонения от заданной траектории. // А и Т, №7, 1960.

15. Барбашин Е.А. Осуществление процессов и конструирование сигналов на выходе из системы. // Труды IV Всесоюзного математического съезда, т.2. «Наука», 1964.

16. Барбашин Е.А. Построение периодического движения как одна из задач теории программного регулирования. // Труды Международного симпозиума по нелинейным колебаниям, т.3. Изд-во АН УССР, Киев, 1963.

17. Барбашин Е.А. Программное регулирование и теория оптимальных систем. // Труды II Конгресса ИФАК, «Наука», 1965.

18. Белоусов А.П., Фурасов В.Д. Стабилизация нелинейных регулируемых систем при неполной информации о состоянии объекта. // А и Т, 1975. №9, с. 5-14.

19. Будочкина С.А., Савчин В.М. О квазипотенциальных операторах и Гамильтона-допустимых уравнениях в механике бесконечномерных систем. // Доклады Академии наук, 2015. Т.464, №3, с. 267-269.

20. Вильке В.Г. Аналитическая механика систем с бесконечным числом степеней свободы. Ч.1,2. М.: Изд-во механико-математического фак-та МГУ, 1997. Ч.1 - 216 с., ч.2 - 160 с.

21. Вильке В.Г. Аналитические и качественные методы механики систем с бесконечным числом степеней свободы. М.: Изд-во МГУ, 1986. - 192 с.

22. Вильке В.Г. Разделение движений и метод усреднения в механике систем с бесконечным числом степеней свободы. // Вестник МГУ, 1983. Сер.1, математика-механика, №5, с.54-59.

23. Волков С.В. Локальные базисы, фазовые портреты и построение динамических систем на плоскости. // Сб.: Пробл. мех. упр. дв. Межвуз. Пермь: Изд-во ПГУ, 1989. С.26-30.

24. Волков С.В. Построение на плоскости систем дифференциальных уравнений по разбиению на траектории области, имеющей особые точки только на границе. // Дифференциальные уравнения, 1985. Т.21, №8, с.1313-1317.

25. Волков С.В. Построение на плоскости системы дифференциальных уравнений по заданному разбиению на траектории в целом. // Сб.: Дифференциальные

уравнения и обратные задачи динамики. М.: изд-е УДН, 1983. С.135-141.

26. Волков С.В. Построение систем дифференциальных уравнений в трехмерном пространстве по свойствам интегральных кривых. // Дифференциальные уравнения, 1982. Т.18, №4, с.569-576.

27. Галиуллин А.С. Задачи построения функций сравнения в теории устойчивости движения. // Дифференциальные уравнения, 1974. Т.10, №8, с.1527-1592.

28. Галиуллин А.С. Избранные труды в двух томах. Т.1. М.:РУДН, 2009. - 462 с.

29. Галиуллин А.С. К задаче построения систем программного движения. // А и Т, 1970. №3, с.32-37.

30. Галиуллин А.С. К устойчивости движения тяжелой точки переменной массы. // Труды КАИ, 1957. Вып.37, с.91-101.

31. Галиуллин А.С. Некоторые вопросы устойчивости программного движения. Казань: Таткнигоиздат, 1960.

32. Галиуллин А.С. О задачах динамического программирования. // Труды УДН, 1964. Т.5, вып.2, с.3-9.

33. Галиуллин А.С. О некоторых вопросах основной задачи внешней баллистики неуправляемых ракет. // Известия ВУЗов, Авиационная техника, 1960. №4, с.117-125.

34. Галиуллин А.С. Об одной задаче устойчивости движения тяжелой точки переменной массы на конечном интервале времени. // Труды КАИ, 1953. Вып.28, с.67-74.

35. Галиуллин А.С. Об устойчивости движения тяжелой точки переменной массы. // Труды КАИ, 1959. Вып.45, с.45-62.

36. Галиуллин А.С. Об устойчивости программного движения тяжелой точки переменной массы. // Труды КАИ, 1957. Вып.37, с.85-90.

37. Галиуллин А.С. Обратные задачи динамики и задачи управления движениями материальных систем. // Дифференциальные уравнения, 1972. Т.8, №9, с.1535-1541.

38. Галиуллин А.С. Обратные задачи динамики тяжелого твердого тела с одной закрепленной точкой. // Дифференциальные уравнения, 1972. Т.8, №8, с.1357-1362.

39. Галиуллин А.С. Обратные задачи теории дифференциальных уравнений и приложения их решений. // Тезисы докладов на юбилейной научной конференции УДН, посвященной 50-летию образования СССР. М.: Изд-во УДН, 1972. С.147-151.

40. Галиуллин А.С. Устойчивость движения. М.: Изд-во УДН, 1972.

41. Галиуллин А.С., Гафаров Г.Г., Малайшка Р.П., Хван А.М. Аналитическая динамика систем Гельмгольца, Биркгофа, Намбу. Москва: Успехи физических наук, 1997. - 324 с.

42. Галиуллин А.С., Мухаметзянов И.А., Мухарлямов Р.Г. Обзор исследований по аналитическому построению систем программного движения. // Вестник РУДН. Серия «Прикладная математика и информатика», 1994. №1, с.5-21.

43. Галиуллин А.С., Мухаметзянов И.А., Мухарлямов Р.Г., Фурасов В.Д. Построение уравнений программных движений управляемых систем. М.: Изд-во УДН, 1969.

44. Галиуллин А.С., Мухаметзянов И.А., Мухарлямов Р.Г., Фурасов В.Д. Построение систем программного движения. М.: «Наука», 1971.

45. Галиуллин И.А. Регулярные прецессии и их структурная устойчивость. М.: Изд-во МАИ, 2014. - 160 с.

46. Горячев Д.Н. Некоторые общие интегралы в задаче о движении твердого тела. Варшава, 1910.

47. Добронравов В.В. Основы механики неголономных систем. М.: «Высшая школа», 1970.

48. Дружинина О.В. Методы анализа устойчивости и динамической прочности траекторий нелинейных дифференциальных систем. М.: ВЦ РАН, 2008. - 199 с.

49. Еругин Н.П. Построение всего множества систем дифференциальных уравнений, имеющих заданную интегральную кривую. // ПММ, вып.6, с.659-670, 1952.

50. Жуковский Н.Е. О прочности движения. Уч. записки Моск. ун-та. Отделение Физико-матем. 1882. Вып.2.

51. Жуковский Н.Е. Определение силовой функции по данному семейству траекторий. Собр. соч., т.1. М.-Л.: ГИТТЛ, 1948.

52. Жуковский Н.Е. Собрание сочинений. М.-Л.: Гостехиздат, 1948. Т.1.

53. Журавлев С.Г. О некоторых работах классиков математики и механики, предшествующих работам А.М. Ляпунова по теории устойчивости. // Международный журнал по теоретической и прикладной математике, классической и небесной механике и космодинамике, октябрь 2013. Вып.1(2), с.86-92.

54. Журавлев С.Г., Наниев В.С. О некоторых обобщениях задачи двух неподвижных центров. // Сб.: Теор. и прикл.

задачи нелин. анализа. М.: ВЦ РАН им. А.А. Дородницына, 2009. С.201-212.

55. Иванова Е.И., Фурасов В.Д. О построении притягивающих многообразий и стабилизации нелинейных систем. // Дифференциальные уравнения, 1982. Т.18, №3, с.409-418.

56. Имшенецкий В.Г. Определение силы, движущей по коническому сечению материальную точку, в функции её координат. // Сообщения и протоколы заседаний математического общества при Императорском Харьковском университете, 1879 года. - 1880. - С. 5-15.

57. Кан В.Л., Кельзон А.С. Теория пропорциональной навигации. Л.: Судостроение, 1965. - 423 с.

58. Кордуняну С. Применение дифференциальных неравенств в теории устойчивости // Analele Stiintifice ale Univ, "A.J. Cusa" din Jasi. 1960. Sec.l. V.6. N1. P.47-58.

59. Левченко Л.В., Максимов В.В. Проблема оптимизации стратегии финансирования российской высшей школы. // Изв. Самарского научного центра Российской академии наук. Специальный выпуск «Актуальные проблемы экономики и права», 2005. С.190-194.

60. Лётов А.М. Аналитическое конструирование регуляторов, I-V. // А и Т, т.21, №4-6, 1960; т.22, №4, 1961; т.23, №11, 1962.

61. Лётов А.М. Выбор оптимизирующего функционала в проблеме аналитического конструирования. // Труды III Всесоюзного совещания по автомат. управлению, «Наука», 1967.

62. Лётов А.М. Динамика полета и управление. «Наука», 1969.

63. Лётов А.М. Некоторые нерешенные задачи теории автоматического управления. // Дифференциальные уравнения, 1970. Т.6, №4, с.592-615.

64. Лётов А.М. Состояние и перспективы развития теории управления. // А и Т, 1972. №9, с. 12-22.

65. Лётов А.М. Теория оптимального управления. // Труды II Конгресса ИФАК, «Наука», 1965.

66. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. М.-Л.: Гостехиздат, 1950.

67. Маркеев А.П. Теоретическая механика. Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2007. - 592 с.

68. Матюхин В.И. Безударный контакт твёрдых тел // ДАН, 2009. Т.427, №1, с. 44-47.

69. Матюхин В.И. Универсальные законы управления механическими системами. М.: МАКС Пресс, 2001. -249 с.

70. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. М.: «Наука», 1971. - 312 с.

71. Мещерский И.В. Работы по механике тел переменной массы. М.-Л.: ГИТТЛ, 1949.

72. Мухаметзянов И.А. Безударное приведение механических систем за конечное время в голономное программное многообразие в условиях неопределенности. // Вестник РУДН. Серия «Математика. Информатика. Физика», 2012. № 3, с. 87-97.

73. Мухаметзянов И.А. Безударное приведение состояния "черного ящика" в заданное многообразие. // Труды X Международной Четаевской конференции. Казань, 12-16

июня 2012 г. Казань: Изд-во Казан. гос. техн. ун-та, 2012. Т.3, секция 3, управление, ч.2, с.189-196.

74. Мухаметзянов И.А. Динамические уравнения относительного движения тела, выраженные через планарный тензор инерции. // Сб.: Проблемы механики и управления, Пермь, 2009. Вып.41, с.124-133.

75. Мухаметзянов И.А. Достаточные условия абсолютной устойчивости и диссипативности нелинейных регулируемых систем при постоянно действующих и параметрических возмущениях. // А и Т, №12, 1968.

76. Мухаметзянов И.А. К задаче построения уравнений программных движений. // Дифференциальные уравнения, 1973. Т.9, №10, с.1798-1809.

77. Мухаметзянов И.А. Некоторые вопросы устойчивости движения, возникающие при составлении закона управления объектов программного регулирования. // Труды УДН, 1964. Т.1, вып.2, с.70-82.

78. Мухаметзянов И.А. Некоторые достаточные условия ограниченности и устойчивости решений обыкновенных дифференциальных уравнений. // Труды УДН, 1964. Т.1, вып.2, с.10-29.

79. Мухаметзянов И.А. О квазиинвариантности программных многообразий при возмущениях из заданного класса функций. // Сб.: Проблемы механики и управления. Нелинейные динамические системы. Пермь, 2011. Вып.43, с.79-89.

80. Мухаметзянов И.А. О построении универсального алгоритма управления процессом сближения механических систем с заданным многообразием в

условиях неопределенности. // Вестник РУДН. Серия «Математика. Информатика. Физика», 2011. № 3, с. 3-14.

81. Мухаметзянов И.А. О применениях семейства функций Ляпунова. // ПММ, 2000. Т.64, вып.5, с.869-880.

82. Мухаметзянов И.А. О проблемах инвариантности и минимума накопленных возмущений в системах автоматического управления. // Труды II Всеказахстанской Межвузовской конференции математиков и механиков. Изд-во «Наука», Алма-Ата, 1968.

83. Мухаметзянов И.А. О связи условий минимума накопленных погрешностей САР с условиями применимости теоремы о дифференциальных неравенствах. // Труды УДН, т.27, вып.5, 1968.

84. Мухаметзянов И.А. О стабилизации цилиндрической прецессии спутника на эллиптической орбите. // Изв. РАН, МТТ, 2002. №2, с. 18-24.

85. Мухаметзянов И.А. Об инвариантности и оптимальной стабилизации преследующего движения манипулятора. // Изв. РАН, МТТ, 2005. №2, с. 40-46.

86. Мухаметзянов И.А. Об инвариантности качества стабилизации программных многобразий при случайных возмущениях. // Сб.: Проблемы механики и управления. Нелинейные динамические системы. Пермь, 2011. Вып.43, с.63-78.

87. Мухаметзянов И.А. Об оценке максимальных отклонений координат нелинейных возмущаемых систем автоматического управления. // А и Т, №2, 1965.

88. Мухаметзянов И.А. Об управлении движением точки по заданной поверхности. Сборник «Программное движение механических систем». Изд-во УДН, Москва, 1971.

89. Мухаметзянов И.А. Об управлении преследующей точкой. Сборник «Программное движение механических систем». Изд-во УДН, Москва, 1971.

90. Мухаметзянов И.А. Об управлении программным движением без использования информации о части переменных. // Вестник РУДН. Серия «Прикладная математика и информатика», 2004. №1, с. 24-30.

91. Мухаметзянов И.А. Об условиях инвариантности и качественной стабилизации программной ориентации преследующего тела. // Изв. РАН, МТТ, 2003. №4, с. 3642.

92. Мухаметзянов И.А. Об устойчивости движения управляемого тела в центральном поле. // Труды УДН, 1964. Т.1, вып.2, с.161-195.

93. Мухаметзянов И.А. Об устойчивости программного многообразия 1,11. // Дифференциальные уравнения, 1973. Т.9, №5, с. 846-856; т.9, №6, с.1037-1048.

94. Мухаметзянов И.А. Построение алгоритма управления процессом асимптотического сближения состояния механических систем с заданным многообразием. // Вестник РУДН. Серия «Математика. Информатика. Физика», 2011. № 3, с. 3-14.

95. Мухаметзянов И.А. Построение и применение семейства функций Ляпунова для нелинейных неавтономных систем. // А и Т, 2000. №10, с.37-49.

96. Мухаметзянов И.А. Построение множества систем дифференциальных уравнений устойчивого движения по

заданной программе. // Труды УДН, 1963. Т.1, вып.1, с.52-55.

97. Мухаметзянов И.А. Построение множества уравнений регуляторов для квазиинвариантной стабилизации программного движения преследующего тела. // Изв. РАН, МТТ, 2006. №3, с.3-10.

98. Мухаметзянов И.А. Построение множества уравнений регуляторов для квазиинвариантной стабилизации преследующего движения манипулятора. // Изв. РАН, МТТ, 2009. №2, с.41-46.

99. Мухаметзянов И.А. Построение одного семейства функций Ляпунова. // Вестник РУДН. Серия «Прикладная математика и информатика», 1995. №1, с. 9-12.

100. Мухаметзянов И.А. Построение систем с асимптотически устойчивыми программными связями. // ПММ, 2001. Т.65, вып.5, с.822-830.

101. Мухаметзянов И.А. Построение уравнений движений по заданному полю экстремалей. Сборник «Программное движение механических систем». Изд-во УДН, Москва, 1971.

102. Мухаметзянов И.А. Построение уравнений движений, ограниченных освобождающими связями. // Дифференциальные уравнения, №11, 1973.

103. Мухаметзянов И.А. Построение уравнений движений, ограниченных программными связями. // Тезисы докладов на VII научной конференции факультета физико-математических и естественных наук УДН им. П. Лумумбы. Изд-во УДН, Москва, 1972.

104. Мухаметзянов И.А. Построение уравнений программных движений. // А и Т, №10, с.16-23, 1972.

105. Мухаметзянов И.А. Приближенная оценка поведения в целом траекторий возмущенного движения некоторых нелинейных систем. // Труды УДН, 1963. Т.1, вып.1, с.47-51.

106. Мухаметзянов И.А. Принцип обратной связи по квазиускорению при безударной стабилизации за конечное время заданных многообразий механических и обобщённых систем. // Вестник РУДН. Серия «Математика. Информатика. Физика», 2014. № 3, с. 107114.

107. Мухаметзянов И.А. Принцип обратной связи по квазиускорению при стабилизации многообразия состояния механических систем. // Труды XII Всероссийского совещания по проблемам управления ВСПУ-2014. Москва, ИПУ РАН, 16 -19 июня 2014 г. М.: Институт проблем управления им. В.А.Трапезникова РАН, 2014. С.1789 - 1796.

108. Мухаметзянов И.А. Самонастраиваемое управление процессом безударного приведения состояния механических систем в заданное многообразие. // Вестник РУДН. Серия «Математика. Информатика. Физика», 2013. № 3, с. 105-112.

109. Мухаметзянов И.А. Управление преследующим телом. // А и Т, 1974. №11, с.5-12.

110. Мухаметзянов И.А. Управление процессом приведения механической системы за конечное время в неголономное программное многообразие в условиях неопределённости. // Вестник РУДН. Серия «Математика. Информатика. Физика», 2012. № 2, с. 53-59.

111. Мухаметзянов И.А., Булатская Т.Ф., Вишняков А.Ф. Управление программным движением инерционного манипулятора. // Дифференциальные уравнения и обратные задачи динамики. М.: Изд-во РУДН, 1983. С.49-56.

112. Мухаметзянов И.А., Матухина О.В., Чекмарева О.И. Управление динамикой производственного предприятия для приведения в состояние эталонной модели. // Вестник Казанского технологического университета, 2015. Т.18, №11, с.210-212.

113. Мухаметзянов И.А., Мухарлямов Р.Г. Уравнения программных движений. М.: Изд-во УДН, 1986. - 88 с.

114. Мухаметзянов И.А., Мухарлямов Р.Г. Уравнения программных движений манипуляционных систем. М.: Изд-во РУДН, 1989. - 60 с.

115. Мухаметзянов И.А., Серикбаев Ш.С. О необходимых и достаточных условиях абсолютной устойчивости некоторых нелинейных систем. // А и Т, №11, 1970.

116. Мухаметзянов И.А., Фатыхов Ф.Ф. Об оценке погрешностей в системах с взаимовозмущаемыми каналами. // Труды УДН, т.27, вып.5, 1968.

117. Мухаметзянов И.А., Чекмарева О.И. Безударная посадка тела на подвижную платформу. // Труды X Международной Четаевской конференции. Казань, 12-16 июня 2012 г. Казань: Изд-во Казан. гос. техн. ун-та, 2012. Т.3, секция 3, управление, ч.2, с.197-204.

118. Мухаметзянов И.А., Чекмарева О.И. Безударное приведение тела на подвижную платформу в условиях неопределенности. // Тезисы докладов XII Международной конференции Пятницкого

«Устойчивость и колебания нелинейных систем управления». Москва, ИПУ РАН, 5-8 июня 2012 г. М.: Изд-во ИПУ РАН, 2012. С.248-249.

119. Мухаметзянов И.А., Чекмарева О.И. О применениях принципа обратной связи по квазиускорению. // Ь Всероссийская конференция по проблемам динамики, физики частиц, физики плазмы и оптоэлектроники. Москва, РУДН, 13-16 мая 2014 года. М.: РУДН, 2014. С.207-209.

120. Мухаметзянов И.А., Чекмарева О.И. Самонастраиваемое управление процессом безударной стыковки двух подвижных объектов. // Вестник РУДН. Серия «Математика. Информатика. Физика», 2013. № 4, с.154-160.

121. Мухаметзянов И.А., Чекмарева О.И. Самонастраиваемое управление процессом безударной стыковки двух подвижных объектов. // Информационно-телекоммуникационные технологии и математическое моделирование высокотехнологичных систем: материалы Всероссийской конференции с международным участием. Москва, РУДН, 22-26 апреля 2013 года. М.: РУДН, 2013. С.203-204.

122. Мухаметзянов И.А., Чекмарева О.И. Управление процессом безударной стыковки множества подвижных объектов в заданные упорядоченные моменты времени. // Вестник РУДН. Серия «Математика. Информатика. Физика», 2014. № 4, с.106-111.

123. Мухаметзянов И.А., Чекмарева О.И. Управление процессом приведения тела на подвижную платформу без удара при случайных возмущениях. // Информационно-

телекоммуникационные технологии и математическое моделирование высокотехнологичных систем: материалы Всероссийской конференции с международным участием. Москва, РУДН, 23-27 апреля 2012 года. М.: РУДН, 2012. С.208.

124. Мухаметзянов И.А., Чекмарева О.И. Управление упорядоченной дислокацией мобильных объектов в непредсказуемо движущемся пункте. // Ы Всероссийская конференция по проблемам динамики, физики частиц, физики плазмы и оптоэлектроники. Москва, РУДН, 12-15 мая 2015 года. М.: РУДН, 2015. С. 187 - 188.

125. Мухарлямов Р.Г. К обратным задачам качественной теории дифференциальных уравнений. // Дифференциальные уравнения, 1967. Т.3, №19, с.1673-1681.

126. Мухарлямов Р.Г. Моделирование динамики простейших экономических объектов как систем с программными связями // Вестник РУДН. Серия «Математика. Информатика. Физика», 2007. №3-4, с. 25-34.

127. Мухарлямов Р.Г. О построении дифференциальных уравнений оптимального движения к заданному многообразию. // Дифференциальные уравнения, 1971. Т.7, №10, с.1825-1834.

128. Мухарлямов Р.Г. О построении систем дифференциальных уравнений движения механических систем. // Дифференциальные уравнения, 2003. Т.39, №3, с.343-353.

129. Мухарлямов Р.Г. О построении уравнений программных движений. // Дифференциальные уравнения, 1977. Т.13, №5, с.869-873.

130. Мухарлямов Р.Г. О применении дифференциальных уравнений к вычислению обратной матрицы. // Дифференциальные уравнения, 1979. Т.15, №5, с.795-804.

131. Мухарлямов Р.Г. О решении систем нелинейных уравнений. // Журнал вычислительной математики и математической физики, 1971. Т.11, №4, с.829-836.

132. Мухарлямов Р.Г. Построение множества систем дифференциальных уравнений, имеющих заданные интегралы. // Дифференциальные уравнения, 1967. Т.3, №2, с.180-192.

133. Мухарлямов Р.Г. Построение уравнений систем программных движений в скользящем режиме. // Дифференциальные уравнения, 1976. Т.12, №7, с.1219-1222.

134. Мухарлямов Р.Г. Управление программным движением адаптивной оптической системы. // Вестник РУДН. Серия «Прикладная математика и информатика», 1994. №1, с. 22-41.

135. Мухарлямов Р.Г., Мухаметзянов И.А., Колесников А.П. Управление адаптивной оптической системой. // Сб.: Проблемы механики управляемого движения. Межвуз. Пермь: Изд-во ПГУ, 1988.

136. Мухарлямов Р.Г., Мухаметзянов И.А., Колесников А.П. Управление адаптивной оптической системой с фазовой модуляцией. // Сб.: Проблемы механики управляемого движения. Межвуз. Пермь: Изд-во ПГУ, 1988.

137. Новоселов В.С. Аналитическая механика систем с переменными массами. Л.: Изд-во ЛГУ, 1969. - 240 с.

138. Персидский К.П. К теории устойчивости решений дифференциальных уравнений. // УМН, I, вып.5-6, 1946.

139. Персидский К.П. О некоторых случаях устойчивости движения. // Сборник трудов КАИ, №1, 1933.

140. Персидский С.К. О развитии метода функций Ляпунова в теории устойчивости движения. // Докторская диссертация, УДН им. П. Лумумбы, 1972.

141. Под ред. Сиразетдинова Т.К. Проблемы инновационной экономики и информационных технологий. Казань: Академия наук риска, 2005, - 412 с.

142. Пятницкий Е.С. Принцип декомпозиции в управлении механическими системами // Доклады АН СССР, 1988. Т.300, № 2, с. 300-303.

143. Рамирес Иностроса Р.О. О построении силовой функции по заданным частным интегралам. // Дифференциальные уравнения, 1983. Т.19, №6, с.976-984.

144. Ройтенберг Я.Н. Некоторые задачи теории динамического программирования. // ПММ, т.23, вып.4, 1959.

145. Ройтенберг Я.Н. Некоторые задачи управления движением. Физматгиз, 1963.

146. Румянцев В.В., Озиранер А.С. Устойчивость и стабилизация движения по отношению к части переменных. М.: «Наука», 1987. - 256 с.

147. Савчин В.М. Математические методы механики бесконечномерных непотенциальных систем. М.: Изд-во УДН, 1991. - 237 с.

148. Савчин В.М. Обратная задача Ньютона и ее обобщения. Всемирное тяготение теории притяжения. М.: Изд-во УДН, 1987.

149. Савчин В.М. Определение силовой функционала по заданным интегралам. // Сб.: Вариационные принципы в мат. и теор. физике. М.: Изд-во УДН, 1989. С.63-70.

150. Савчин В.М., Будочкина С.А. О взаимосвязи симметрий функционалов и уравнений. // Доклады Академии наук, 2014. Т.458, №2, с.148-149.

151. Сиразетдинов Т.К. Динамическое моделирование экономических объектов. Казань: Изд-во «Фэн» Академии Наук РТ, 1996. - 223 с.

152. Сиразетдинов Т.К. Динамическая модель многоцелевых экономических объектов. // Изв. ВУЗов, Авиационная техника, 1973. №1, с.12-17.

153. Сиразетдинов Т.К. Динамическая модель прогнозирования и оптимальное управление экономическим объектом. // Изв. ВУЗов, Авиационная техника, 1972. №4, с.3-8.

154. Сиразетдинов Т.К., Родионов В.В., Сиразетдинов Р.Т. Динамические модели экономического региона. Казань: Изд-во «Фэн» Академии Наук РТ, 2005. - 320 с.

155. Соколов А.В. Программные связи и обеспечение устойчивости движения электромеханического манипулятора. // Вестник РУДН. Серия «Математика. Информатика. Физика», 2014. №4, с. 85-94.

156. Соколов А.В. Управление динамикой электромеханического манипулятора. // Вестник РУДН. Серия «Прикладная математика и информатика», 2003. №1, с. 46-53.

157. Суслов Г.К. О силовой функции, допускающей данные частные интегралы. Киев, 1890.

158. Суслов Г.К. О силовой функции, допускающей данные частные интегралы. // Докторская диссертация, МГУ, 1891.

159. Филиппов В.М., Савчин В.М., Будочкина С.А. О существовании вариационных принципов для эволюционных дифференциально-разностных уравнений. // Труды Математического института им. В.А. Стеклова РАН, 2013. Т.283, с.25-39.

160. Фурасов В.Д. О векторных функциях Ляпунова и стабилизации взаимосвязанных систем. // ПММ, 1975. Т.39, с. 59-65.

161. Фурасов В.Д. Об оптимальном построении множества дифференциальных уравнений, имеющих заданную интегральную кривую. // Дифференциальные уравнения, 1968. Т.4, №9, с.1648-1657.

162. Фурасов В.Д. Построение управляемых систем по заданным оценкам переходного процесса НУ. // А и Т, №7, 1971, с.42-49; №10, 1971, с.29-35; №1, 1973, с.23-29; №2, 1973, с.17-23.

163. Холостова О.В. Исследование устойчивости перманентных вращений Штауде. Москва-Ижевск.: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика, 2008. - 128 с.

164. Чаплыгин С.А. Линейные частные интегралы задачи о движении твердого тела подпертого в одной точке. Собр. соч., т.1. М.-Л.: ГИТТЛ, 1948.

165. Четаев Н.Г. О некоторых задачах об устойчивости движения в механике. // ПММ, 1956. Т.20, вып.3, с.309-314.

166. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. М.: Гостехиздат, 1955. - 207 с.

167. Шебуев Г.Н. Курс механики материальной точки. Казань, 1890.

168. Шорохов С.Г. Математические модели оценки финансовых активов. М.: РУДН, 2012. - 100 с.

169. Шорохов С.Г. Представимость систем обыкновенных дифференциальных уравнений в виде уравнений механики с заданной структурой сил. // Дифференциальные уравнения, 1988. Т.24, №10, с.1738-1746.

170. Шорохов С.Г. Управление портфелями финансовых активов. М.: РУДН, 2013. - 95 с.