Обратные задачи динамики для управляемых механических систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.01, кандидат физико-математических наук Аубакиров, Дауренбек Азенович

• Аубакиров, Дауренбек Азенович
• кандидат физико-математических наук
• 1985

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Аубакиров, Дауренбек Азенович

Введение. Постановка задачи.

Глава I. Обратные задачи динамики для линейных нестационарных управляемых механических систем.

§ I. Построение уравнения движения управляемых механических систем.

§ 2. Построение уравнения движения управляющего устройства (задача замыкания).

§ 3. Определение синтезирующего управления.

Глава 2. Обратные задачи динамики для нелинейных нестационарных управляемых механических систем.

§ I. Обобщение уравнения движения для рассматриваемого класса нелинейных систем. Выбор структуры соответствующей системы управления.

§ 2. Определение управления, улучшающего динамику системы управления.

§ 3. Стабилизация управляемого движения механической системы.

§ 4. Структуральная организация динамики управляемых механических систем в классе обобщенных функций.

Глава 3. Исследование динамики манипуляционных роботов.

§ I. Вывод уравнений движения объединенной системы: управляемый объект, управляющее устройство.ПО

§ 2. Планирование пространственного передвижения исполнительного механизма роботов.

§ 3. Алгоритмизация программно-налаживаемого роботоуправ-ляклцего функционирования системы управления манипуляторов в автоматическом и интерактивном режимах.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Обратные задачи динамики для управляемых механических систем»

Целью данной работы является разработка метода синтеза системы управления сложных управляемых механических комплексов. Под синтезом понимается выбор структуры ( урашения движения) и определение задающих, корректирующих, стабилизирующих управляющих воздействий, а также значений параметров системы при заданном объекте управления.

Чтобы определить место наших исследований, кратко рассмотрим известные методы синтеза нелинейных управляемых механических систем. Существующие методы синтеза систем можно разделить на следующие три группы: частотные методы синтеза оптимальных динамических характеристик ( А1); принцип максимума Понтряги-на, метод Гамильтона-Якоби-Беллмана-Кротова ( теория оптимального управления) ( А2); метод, основанный на обратных задачах дифференциальных уравнений ( АЗ ). А1). Суть частотных методов синтеза оптимальных динамических характеристик состоит в определении передаточной функции управляющей системы ( регулятора) из условия минимума функционала от ошибок между реальным выходным сигналом и идеальным ( желаемым ) сигналом объекта управления. ( Эти методы были разработаны в работах В.В. Солодовникова [36-38] , Н.Винера С39], М.Пелегрена [40] , Ш.Чанг [41] . К этой группе методов относится теория инвариантности, позволяющей компенсировать нежелательные влияния возмущающих воздействий на изменение регулируемых переменных, разработанная В.С.Кулебакиным [42] , А.И.1фхтенко [43] , Б.Н.Петровым [44] ,

Частотные методы синтеза применимы только для линейных управляемых механических систем с постоянными коэффициентами. Коль скоро в данной работе рассматриваются и нелинейные управляемые механические системы, то мы будем подробно рассматривать сущность методов данной группы.

Следует отметить, что ввиду сложности реальных механических систем линейные модели лишь приближенно отражают их свойства. А2 ). Методы теории оптимального управления позволяют решать частные задачи синтеза нелинейных механических систем, а именно определяют закон управления при наличии уравнения движения с известными коэффициентами как объекта управления, так и управляющей системы.

Теория и методы решения данной группы методов синтеза систем хорошо известны по монографиям Л.С.Понтрягина и др. [II], Р.Беллмана [123 , В.Ф.Кротова и В.И.Гурмана [14] . Несомненно, эти методы ценны и решают задачи синтеза, когда имеют место все их предпосылки. По существу принцип максимума сводит решение исходной задачи к краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с два раза большим порядком чем порядок самой системы. Решение последней в общем случае довольно сложная задача. Причем определяется программное управление, не всегда приемлимое для решения задачи практики. Метод динамического программирования Р.Беллмана в случае гладкости так называемой функции Беллмана сводит исходную задачу к решению уравнения в частных производных первого порядка. В общем случае решение уравнения в частных производных сложная задача.

Более приспособленным для. ранения практических задач является достаточное условие В.Ф.Кротова. Однако отсутствие конструктивного метода построения функции Кротова ограничивает сферу его распространения на практике.

Основные трудности применения методов данной группы для синтеза нелинейных управляемых систем состоят:

- в общем случав уравнения движения управляющей части системы не известны;

- на практике не всегда удается формализовать все требовании, предъявляемые к динамике механической системы в виде одного функционала;

- вопрос выбора функционала, означающего критерий качества систем пока далек от полного разрешения. (АЗ). Мощным толчком для многих исследований была работа Н.П. Еругина [ I ] . Суть метода Н.Д. Еругина состоит в следующем: заданы многообразия б;т( л, У-) = 07 СО£( ос , V) =0 , ( I ) где (х>лСос,Ч)^ е С^,

Требуется найти все такие системы

- О/эс,!/;, - Р(эс,у) (2)

Ы, Ъ & Ь X, у: - скаляры ) , для которых многообразия (I) будут интегральными многообразиями. л до)1 д(Ог За)* дсо,п Решение задачи в предположении й - ^--— п— -—

О ОС (у у- с/ у. о)х имеет вид

СКзс,») где цроизвольные функции , Т^ , удовлетворяют соотношениям

Ц (0> ос, у:) о

О , осР у ) ~ о . ( 4 ) На первый взгляд, этот метод далек от решения задач синтеза нелинейных управляемых систем, однако при соответствующей интерпретации и развития данный метод может быть применен для исследования проблемы синтеза.

Существенное развитие метод Н.П.Еругина получил в работах А.С.Галиуллина и его учеников С 2 - 4]. Благодаря усилиям этой группы ученых из Университета Дружбы народов им. Патриса Лумум-бы во главе с А.С.Галиуллиным обратные задачи дифференциальных уравнений обобщены, классифицированы. Проявление явной связи с теорией управления преврати ю эти задачи в предмет отдельной стройной дисциплины - обратных задач динамики. Кроме обратной задачи построения уравнения движения (задача Еругина) упомянутой группой в [3 ] были сформулированы задача замыкания, задача восстановления. Любая классическая обратная задача механики (задача Ньютона, задача Бертрана, задача Мещерского, задача Суслова и др .) может быть сведена к одной из обратных задач дифференциальных уравнений (см. введение в ЕЗ] ): А . Восстановление параметров системы. Имеется система диффе-ренциалных уравнений и = Ф (5) где П -вектор У- объединяет обобщенные координаты У- ,

I — 1 ,гг , изображающие состояние системы; И есть Ш-вектор управления материальной системы ( собственные параметры системы или силы, управляющие её движением, й? = ).

Определить вектор управления ¿¿(-Ь)так, чтобы эта система имела заданное интегральное многообразие со с у, ъ ; = 0 , (б) состоящего из частных интегралов

0Г ( у.-,-Ь) = О < г,5 ; 5 < п) ( 7 ) уравнении движения.

Б. Замыкание уравнений движения. Имеется система дифференциаль ных уравнений у. =: Ф с У-, и, Ь) ( 8* построить систему замыкающих уравнений

Р ( V, и , и , Ъ) —0 (9) где Р с и,й>ъ) - оператор, включающий действие дифференцирование так, чтобы полученная при этом замкнутая система допускала заданное интегральное многообразие со ( У- > ъ ) =? О 0 , т^ ТТЗ ; 5 <п ) (Ю)

В. Построение уравнений движения ( задача Ешгина). Построить систему дифференцш льных уравнений

У- = Ф С Ь) (II) по данному интегральному многообразию

СО С 4-, ь ) = О . (12)

В постановках первых двух груш задач параметры уравнений (5), ( 8 ) полностью задаются, а в более общей постановке задач группы В структура системы заранее не определена. Собственно задача состоит в нахождении дифференциальных уравнений, описывающих движения системы и управляющих органов в целом.

Обратные задачи дифференциальных уравнений обладают одним замечательным качеством, а именно, если имеется их решение, то оно неоднозначно. Эта неоднозначность неустранима в пределах принятых постановок для этих задач.

Так, например, если в задаче Еругина программное многообразие ( 12 ) имеет базисный определитель й -ф О : А

- cLet Г Э<г<* " 7 ,

9 С у, , . . . , то искомая система уравнений имеет вид [15]

Ут " > < j - 13" ; Ю - ) ^ где ^,г- - алгебраическое дополнение ( Г5 ^ ) - го элемента в определителе Л ; А^- определитель полученный из Л заменой ^-го столбца (] -1,5) к- и столбцом ( & = 3-й, П ) матрицы

Г дет, ,и)г , . . . , со5 ) 1

В системе (13) на функции Qj , Р^ накладываются лишь условия, связанные с требованием существования и единственности решения, хфоме того 62. у С О, У-) = О {Л* а в остальном все эти функции совершенно произвольны и не могут быть как-то определены в пределах данной постановки.

Последнее отнюдь не означает какой-либо пробел в методе Н.П.Еругита - А.С.Галиуллина, а, напротив, неустранимая в данной методике неоднозначность решений обратных задач кроет в себе огромные црикладные возможности.

Первые обратные задачи ( задачи Ньютона, Бертрана) ставили целью выявление закономерностного поведения небесных тел, а в постановках некоторых последующих классических задач преобладала направленность к практической приложимости ожидаемых результатов для организации движения искусственных механических систем, обладающих желаемыми качествами. Такошми можно считать задачу Мещерского, задачу Чаплыгина и задачи типа задач Суслова ( см. Г 4 ] ). Все эти задачи погружаются в постановки, перечисленных выше, обратных задач А,Б,В

В работе поставлены и решены обобщенные,обратные задачи для управляемых механических систем. Разрабатываемая методика решения этих задач нацелена к решению, в первую очередь, актуальных задач прикладного назначения, связанных с проектированием системы управления сложных механических комплексов.

Система управления любого ( управляемого) сложного механического комплекса состоит из управляемого объекта ( сам комплекс) и управляющего устройства, обеспечивающего заданные динамические свойства движению объекта.

В качестве первого частного примера рассмотрим задачу проектирования систем управления манипуляторов, Под управляемым объектом подразумевается исполнительный механизм манипуля-ционных роботов,а в состав управляющего устройства входят приводы в "суставах"манипулятора,усилители-преобразователи,датчики и т л. Большинство манипуляционных роботов не обладает высшими уровнями иерархической структуры систем. Целевое передвижение исполнительного механизш робота в пространстве состояний осуществляется по заранее установленной программе движения.

Уравнение движения исполнительного механизш манипулятора получено в ряде работ (СХ6 - 18]). Исполнительный механизм представляет собой систему материальных ¡тел ( звеньев), образующих разомкнутую цепь, причем каждая пара соседних звеньев этой цепи является либо вращательной, либо поступательной парой 5-го класса.

Пусть общее количество кинематических пар есть К ,поскольку число подвижных звеньев манипулятора равно числу кинематических пар 5-го класса, степень его подвижности также равна Я . Обозначим угол поворота Ь -го звена относительно ( 1-1 )-го через 8 £ , а величину относительного поступательного перемещения - через 5

Совокупность величин 9'с , 51 однозначно определяет положение механизма в пространстве и они могут быть приняты в качестве обобщенных координат механизма . Для них используем стандартное обозначение С^ ^ : ( I-1) - номер соответствующей кинематической пары, I = Т^М; ф • ; 1 для вращательной пары, ^ 0 для поступательной пары На каждое Ь - звено механизма действует сила тяжести , внешний момент М^ и внешняя сила . Все они считаются приведенными к центру масс -го звена.

Обозначим через (¡[^ моменты, развиваемые приводами в парах вращения, а через Р ^ , силы, развиваемые приводами поступательных пар и соотнесем их к кинематическим парам, с номером I- 1 . Введем величину ¿А ^ — ( в^® + (1- бI где € с - орты оси системы координат

У^ ^ хс1 ^ » связанной с кинематической парой с номером ( I -1 ), I ~ 1 (обычно вводятся ещё две системы декартовых координат уг э Кл^ж , первая из которых называется основной системой, а вторая связывается со охватом манипулятора С16] ). В [16J для вывода уравнения движения испо лгательного механизма в качестве исходного использован принцип Да жмбера. В соответствии с этим принципом, сумма всех си л и моментов, действующих на механическую систему с учетом инерциальных сил, равна нулю.

Уравнения выводятся относительно инерциальной системы координат (У0 х0 У о Яо » связанной со стойкой манипулятора .

Все звенья механизма считаются абсолютно жесткими, а кинематические связи - идеальными.

Тогда движение рабочего механизма робота описывается дифференциальным уравнением следующего вида: Вс<ь<*)-4 с(Я)М1 (3.1.1.) уравнение Лагранжа Л - рода, - сравните с ( 2.6.32.) в [16] , где Ч- ^ Ч-, ? Ч?-> >4 вект°Р обощенных координат, лг ь « [¿Ц,^,.,^]*; Асу) , В СЯ , % ) - матрицы порядка Я* Я; С(<£) Сматрицы порядка Я * ЪЯ ; М6 = [ Кв \ • - ! =£ ^ I ;••■! Рк 3* >

Сг° - [ Ъ* | «— \ &^ - блочныэ векторы порядка ЪМх 1. Элементы матриц А > В , С , Л зависят от геометрических размеров, массы звеньев, а также от тензора инерции и являются непрерывно дифференциальными по или по совокупности аргументов Ц, <ф ( - вектор обобщенной скорости). Кроме того, матрица 4 (у,) невырождена при любом значении .

Система управления манипулятора кроме исполнительного механизма ( управляемый объект), еще содержит управляющее устройство, в состав которого входят приводы, расположенные в "суставах" манипулятора.

Динамические свойства этих приводов манипулятора можно описать следующим уравнением в оперативной форме: и. = ^цСР) (Ъ-Я) ~ №КУ(РУРЪ> р ~ \Х/Т(Р)Я ( 3.1.2) где и, & , Ч ~ векторы, р -оператор дифференцирования, Цсб;- управляющий сигнал, \Упср), У/Ку(р)> У/. (р ), ]Х/Г(р)" передаточные Я*Я-матрицы соответственно устройств преобразующих, последовательно корректирующих; параллельно корректирующих; связывающего сигналы управления с моментам! приводов; механизмов передачи движений ( последние две); дс-ьз - вектор входных сигналов.

Форма записи уравнения ( 3.1.2.) не совсем удобна для исследования тех задач, которых мы намерены ставить и решать в данной работе. Поэтому в главе 3 диссертационной работы проведены предварительные видоизменения форм представления уравнений ( 3.1.1.), (3.1.2.)

Приведем объединенную систему, описывающую функционирование системы управления в целом ( она выведена в § 3.1.).

4 = £ ^¿ЛЫВсс^Ъ + Сс^+Вс^0^)^) (( 14) ёзе , ж = (Я ж + В^п ( сравните с ситемой ( 21) в гл. 3.).

Первые два уравнения из системы выражают уравнение Лагран-жа П-рода ( 3.1.1.) для исполнительного механизма - управляемого объекта в обощенных координатах - , ь = и обощенных О ' скоростях ¡2 ^ > I - ; последнее уравнение отражает закон изменения координат управляющего устройства, в операторной форме оно имело вид уравнения ( 3.1.2.). Компоненты матриц - коэффициентов этого уравнения подлежат подбору.

В настоящее время к таким сложным механическим системам, как система управления манипуляторов, предъявляются "неклассические " требования. Кроме подчинения манипуляционной руки требованию передвигаться , согласно программе движения,это такие требования, как минимальность энергетических затрат на функционирование всей системы; повышенная маневренность и оперативность при выполнении механизмом планируемых операций; наилучшая точность позиционирования охвата при манипулировании и т.п.

Чтобы как можно лучше учесть эти практически важные требования целесообразно рассматривать управление V в системе (14) как " многоцелевое" управление, состоящее из следующих видов управлений:

- управляющее внешнее воздействие ( его будем называть программным управлением или задающим воздействием) и.сЬ) ^ - С и-^з > - . и^сьЛ^ обеспечивающее пространственное передвижение исполнительюго механизма робота по, заданной программе. Смысл последнего предложения заключается в отработке системой управления манипулятора заранее установленных значений ) обобщенных координат ¿^ :

4 - = с я1,ъ), . ., <*.%<*> 1* ;

- корректирующее управление ЬсЬ)- [У/*; ? -Е^-Му улучшающее динамику системы управления манипуляторов. Оно определяется из условия минимума затрат энергии системой управления при организации программного движения механизма*, <7

- стабилизирующее управление иУсь) 3. , ¡г^М^ действующее только при нарушении программного передвижения механизма по заданной траектории ¿^ ) ? ~Ь £ ^пр.* т,е* при отклонении фактически отрабатываемых значений ¿г • с-б з , I = 1, Я обобщенных координат : , I = от заранее установленных программных значений д?УЫ 1^}/. Значит,

Г ь7°с± ) , если ^ ^ ^ °СЬ) о , если г; Эти управляющие воздействия вырабатываются специальными устройствами верхнего иерархического уровня системы управления манипуляторов при активном использовании ЭВМ, в том числе микропроцессорных управляющих комплексов.

Последнее имеет немаловажное значенн при проектировании системы управления с повышенной оперативностью функционирования для таких маневренно-скоростных автоматов как роботы.

Учитывая такую новую трактовку управляющих воздействий в (14), получим, как и в главе 3, систецу

4 = П. п - А сЧУ■ (Ьъ, <2 3»2 - Ccs) м\ +DcvCG° + р = 172 Ж , Ж = adt+Ju+З^ +J2zr+J3W (15)

Сопоставляя эту сготему с реальным механикским комплексом, можем заключить, что соотношение fx — ТК> Ж устанавливает ( моделирует) связь между управляемым .объектом и управлявшим устройством. Одновременно оно позволяет задать интегральное многообразие

TXtdt = <рсЬ) ( хб) <р ct ) - известная Я - вектор-функция) для последнего урашения из системы ( 15). Вектор - функция J>at) выбирается с таким расчетом, чтобы заданием интегрального многообразия было смоделировано программное движение управляемого объекта.

Установим программный промежуток времени — Т7 г [ Ь1 ? t2J ,выбщ>ая моменты ~t 7> t z (tr < ¿¿)по своему усмотрению, т.е. произвольно. Тогда программное многообразие примет вид <S1 - Q1cae, tJ Ш Ж

Учитывая ещё фазовое ограничение, налагаемое на координаты управляющего устройства, сформулируем многообразие =

- &гсэе,ъ) {эе,* | Усь; ^ S 9£ ^ Vet), t <? Т7 } здесь yet;, Ч^оь ; - известные Ш - вектор-функции, в частности, постоянные М - вектора).

Считаем, целесообразными постановки следующих задач: ( М1). Построить урашение движения устройства управления манипулятора; определить внешнее задающее воздействие, обеспечивающее движение управляющего устройства, в пределах многообразий , т.е. переводящее фазовое состояние системы управления из исходной точки СС£*, в целевую точку ^(Ич&гЬ хсъ2)) за время — £-т . .

М.2). Требуется найти вектор-функцию У^Ь) управления.улучшаю-щего динамику системы управления манипулятора, исходя из условия минимума затрат энергии на её целевое движение. (МЗ). Вывести уравнение возмущенного движения управляемого объекта - манипуляционной руки; назначить режим стабилизации невозмущенного ( программного) движения объекта, сформировать вектора стабилизирующего управления ьлгг; ; стабилизирующих сил и моментов.

Постановка задачи (Щ) учитывает согласованное взаимодействие компонент системы управления-исполнительного механизма и следящих приводов. Когда последние, осуществляя движение, по интегральному многообразию ^ 1 , переходят из состояния ял в состояние ( *, ± ^) € Я? л , манипуляционная рука за тот же промежуток времени — 11 меняет свою конфигурацию из состоянш С ^ ? г? х) в целевое состояние

Эти взаимооогласованные движения компонент системы управления мы назовем целевым ( невозмущенным) движением системы управления.

Разумеется в задаче (М2) можно было выбрать другие критерии качества, но в любом случае мы получим какукнлибо задачу оптимизации.

Применительно к охвату манипуляционной руки задача (МЗ) означает ничто иное, как совокупность средств, повышающих точность позиционирования. Эта точность должна быть достигнута целевым пространственным передвижением руки строго по заданной программе.

Продолжим рассмотрение примеров.

Предметом следующего примера станет обработка деталей на станках с программным управлением. Управляемым объектом здесь будем считать сам станок, иначе, систему подвижных блоков, собранных на неподвижном основании. В простейшем случае это агрегат с одним неподвижным звеном ( корпус станка) и тремя подвижными звеньями, последним из которых является обрабатывающий инструмент ( резец с держателем). Эти подвижные звенья совершают относительные поступательнш движения по трем взаимоперпендикулярным направлениям. Такой агрегат образует кинематическую цепь с тремя поступательными парамк 5-го класса. Обозначая ^ , I — 1,3 величины относительных перемещений в направлении от корпуса станка к резцу и приняв их за обощенные координаты объекта управления, можем задать параметрическое уравнение контурной конфигурации <; 1 = £ ^ «г) ,

- ^«о > = , * б кинетической схемы станка , в пространстве состояний. Эта контурная конфигурация должна быть выбрана так,чтобы конец обрабатывающего инструмента в течение программного времени описывал линию требуемого профшн в пространстве обычных декартовых координат ос, у, X .

Последняя задача сводится к построению дифференциальных уравнений программирующего устройства, т.е. к выбору структуры дифференциального анализатора ( см. Сз ] , § 6, гл. IУ ).

X = (Я, С л, уг, Зг ) У — с ос, у, ж ) - Фз (л, ^, э^;

Если удастся сконструировать управляемый дифференциальный анализатор, то приходим к частному случаю рассмотренного выше примера.

Таким образом, и в данном примере можно сформулировать задачи (М1), (М2), (МЗ).

Приведем еще один пример.

Движение заряженных частиц в электрическом поле Е описывается системой дифференциальных уравнений зс ^ и , (т^. У-) == Е + & ( У- ) (18) см.[27] , гл. 2, §7). Здесь ОС - (Х,,^,«^- декартовы координаты заряженной частицы в абсолютной (инерциальной) системе координат, У = ( вектор скорости частицы, т^ - релятивистская масса частицы, т^ = гп0/уг~ 5 С - скорость света; { Ю- вектор-функция, являющаяся суммой сил,действующих на заряженную частицу, отпичных от сил, определяемых электрическим полем Е

При управлении пучком заряженных частиц роль управляющих параметров отводится компонентам вектора Е - напряженности электрического поля.

С помощью современных ускорителей решаются разные задачи управления частицами. Ускорение заряженных частиц до определенной скорости; фокусировка пучка траекторий, по которым движутся подобные частицы, относятся к таким задачам. В работе С27 ] эти задачи сведены к задаче теории управления, которая названа транспортировкой пучка траекторий ( заряженных частиц) в пространстве состояний или в фазовом цространстве шести координат я 1 9 001 > х3 , и1 , Уг , у3

Собственно под транспортировкой пучка траекторий понимается шбор электрического ( или электромагнитного) поля, порождающего поле скоростей. сс X С ос, Ь ) (19) которое в свою очередь должно отвечать целям транспортщювки частиц: транспортируемые полем заряженные частицы ускоряются и за заранее фиксированное время их траектории фокусируются относительно некоторой равновесной траектории. Эта есть обратная задача электродинамики.

В более общей постановке подобные задачи приводятся к построению линейной или нелинейной управляемой системы и к синтезу программных движений транспортируемых частиц ( см. гл. У в Г 27] ).

Прямо или косвенно такая трактовка проблемы транспортировки заряженных частиц увязывается с проектированием ускорителей и со всеми вытекающими отсюда последствиями.

Предположим, что для полного описания функционирования проектируемого ускорителя достаточно П варьируемых собст

• . венных параметров З^у , и «Ь П. среди которых могут быть и 001 •> ^ I ■> ~ 5 • Допустим также, что в некоторых случаях проектируемой системе достаточно придать линейную форму ( как видно из предыдущих рассуждений такие случаи не исключаются, но нами не отвергаются и случаи проектирования, приводящие к нелинейным системам): ре = Р ж + б V- (2о)

Эта система, моделирующая функционирование ускорителя, или её часть - подсистема должна означать управляемое поле скоростей, совпадающее с электромагнитные полем ( или с электрическим, с магнитным полями порознь) надлежащей структуры. А

Как и для системы управления манипуляторов управление V будет представлено в виде совокупности трех управляющих возА действий V - { и ; V ; VJ } : gt Р ж + и + Q^v + (21)

С целью транспортировки заряженных частиц с ускорением и фокусщювкой траекторий будем считать, что система (21) допускает некоторое интегральное многообразие .

Оцределенное практическое значение прддается регламентированию по времени реализаций процесса достижения указанных целей транспортировки. Зададим программный промежуток времени TKfl = -f - ct- -tyT* если речь идёт об управляемом электрическом поле в ускорителе, то интегральное многообразие cót?1 выглядит так: - { зе, t ) К atct) =* Е±6 где М -неизвестная постоянная матрица порядка 3 * П , Е -напряженность электрического поля.

Кроме того,на коэффициенты ж: накладываются некое/ торые физические ограничения, скажем, координатные параметры циклотрона должны удовлетворять неравенствам vet; ^ S эе < Ч*сь) » ( 22) где JS - известная или неизвестная тх п-ттршщ, y>ct), yfc-t)- известные периодические tn - вектор-функции.

Сформулируем задачи. (41). Достроить урашение (21) функционирования проектируемого ускорителя (циклотрона), ускоряющего заряженные частицы до определенной скорости и фокусирующего траектории этих частиц за фиксированное время ~ £ 1 » определить внешнее задающее воздействие иаЬ) , обеспечивающее функционирование ускорителя в пределах многообразий <а?1 , .

42). Требуется найти вектор-функцию V <±) управления V , исходя из минимума энергетических затрат на целевое функционирование ускорителя.

43). Назначить режим стабилизации невозмущенного движения заряженных частиц, сформировать вектора стабилизирующего управления уУ , стабилизирующих сил и моментов.

Теперь переходим к общей постановке обобщенных обратных задач. Пусть степень свободы управляемого объекта будет М , обозначим его обобщенные координаты через • , и = Т^Я, а обобщенные скорости - у -ь » I , Я.

Движение управляемого объкта описывается системой дифференциальных уравнений где /1<г;,г2,-ь), I ,С г;,?,*), ¿¿¿Л ) ~ ные матрица и вектор-функции порядков соответственно; /Х^Ь) - входное воздействие, представленное N

-вектор-функцией. Предполагается, что система дифференциальных уравнений (23) при фиксированной вектор-функции ¿К^Об ¿. ^имеет единственное решение; вдоль решения систе-темы (23) матрица //Г^, ¡2 7 ~Ь) - неособенная при любом 1т :

-ЬеТ—[Ъь^Ъ^!, её и элементы вектор-функций <^¿,¿=/>2 непрерывно дифференцируемы по : А С ¿^ сь)} ^Сь) > Ь ) у

В состав системы управления ещё входит управляющее устройство с легко изменяемыми параметрами. С целью придания системе желаемых динамических свойств и для цростоты реализации структуру системы управления будем подчинять такому выбору, чтобы движение управляющего устройства описывалось дифференциальным уравнением вида А = ^ + +

Зз(ь)1л7(Ъ) , Ш0) = Хо (24) или вида ас = 0к*)9е ч-^съись) + + + е^сЖ(±0) = Э£0 ( 25)

- неизвестные заздесь а>.Зг ранее матрицы порядков пхп> пхЯ,пхМ}пхХ^ пх%? соответственно; М- вектор-функция ИоЬ) выражает внешнее задающее воздействие; <£ -вектор-функция Усб) означает воздействие, призванное улучшать динамику системы управления; $ - вектор-функция ь/ сь) - стабилизирующее управление: ис± у е £¿€±0 9 Ь^ №) € , Шс-Ь) € %^с

Пусть объект управления движется по заданной траектории: ^ %сь) > * 6 (26) или же, в фазовом пространстве движение объекта осуществляется по наперед известной программе:

Ссьэ - § с* > , £ с* ) ^ /се;, Ь 6 Т. (27)

Здесь ^сь-) е ^известные вектор -функции.

Для достижения указанной цели нами предполагается, что уравнение (24) или (25) допускает интегральное многообразие ТКсыэесь) =* 91теТ (28) при известной Ji- вектор-функции ¿pct-j • Матрица 7ftkt)B (28) может быть заранее известной или неизвестной.

Следует ещё учесть некоторые естественные ограничения, налагаемые на фазовые координаты управляющего устройства. Цусть ограничения заданы в виде многообразия \Рсъ) ^ Set) 9t * (29) где Sct)- матрица порядка ГПх п , Vct^^t;- заданные вектор-функции, непрерывные на отрезке Т

Учитывая свободу выбора элементов TTdit) в (28) выберем её так, чтобы имела место связь между уравнением движения управляемого объекта (14) и уравнением движения управляющего устройства (24) или (25) следующего вида: ct) I72(t)9t. (30)

Объединяя указанные уравнения в единую систему посредством этого связывающего соотношения (30), получим t2>t)tz - ь) + ^ (31) bCt ) ^ Tte<ii: ) 9t

Ж = 0L<Lb)9t j/tjU -hj rt)K? или

- + ¿Ь ct-; ^ fhch) - TB(.b)9t

3t = a^)9t а. + J^zr+j^iirJ

Начальные условия в этих системах формируются в зависимости от того, какой участок движения будет рассматриваться ,- программный на отрезке времени Т1 - С 17 , ~tz j или предцелевой на отрезке времени Т0 ~ I ъ0 , t ] . В работе эти случаи рассмотрены порознь и совместно, т.е. на всем отрезке времени Т - Т0 , ±г ] .

В связи с последними замечаниями следует отметить, что в дальнейшем будем различать следующие два случая:

I) с: при ь 6 Т ; 2) <Ц,при ьеТ, но = п Ф 0 для всех Ь е Г ^ ? 3 и для некоторого ьл : ь0 ь^ < Ь г 9 Т} = С£ 1, 3 С Ь21.

В случае I) весь участок организуемого движения, соответствующий отрезку времени Т называется программным; в случае 2) участок движения на отрезке Т1 называется программным, а участок организуемого движения, соответствующий отрезку време-ми % - V \ Т^ , называется предцелевым этапом (участком). Соответственно, многообразие ^е^ в случае I) и в программном участке в случае 2) еще называется программным многообразием.

Целесообразными здесь считаются постановки следующих обобщенных обратных задач:

Задача I. Построить уравнение (24) или (25) движения управляющего устройства механического комплекса, допускающее интегральное многообразие (28) ^ при заданном уравнении движения объекта управления; определить задающее воздействие исЬ), при котором управляющее устройство, функционируя в программном участке в пределах многообразий ^ , переводит фазовое состояние системы управления из исходной точки ), эе*) = (*С^сът),

С*2)),э*х*7))в целевую точку^*,?**),^*) =((%съг),р&г?),9е(ьг}) за фиксированное время Ь2 — Предусмотреть также организацию движения и в предцелевом участке на отрезке времени Т0. Задача 2. Требуется найти вектор - функцию ЧУс±) управления, улучшающего динамику системы управления механического комплекса, исходя из условия минимума энергетических затрат на её целевое движение.

Задача 3. Вывести уравнение возмущенного движения системы управления; стабилизировать невозмущенное (программное) движение управляемого объекта; сформировать вектор стабилизирующего управления глхс-Ь) •

Естественно, что перечисленными выше тремя частными примерами не исчерпаются сложные механические комплексы, для которых актуальные задачи проблемы синтеза их систем управления сводятся к обобщенным обратным задачам 1,2,3. В рамках этих обратных задач. динамики могут быть решены задачи проектирования систем управления движения летательных аппаратов и других дистанционно управляемых транспортных средств.

Следовательно , с полным основанием можем констатировать, что поставленные обобщенные обратные задачи динамики являются актуальными задачами теоретической механики, определенного прикладного назначения.

Отличия поставленных нами обобщенных обратных задач от известных (задачи А,Б,В) состоят в следующем: во-первых, уравнение движения управляющего устройства в последней постановке ищется в заданном классе дифференциальных уравнений, причем этот класс выбирается с учетом уравнений движения реальных физических элементов, служащих базовыми в конструкции проектируемого управляющего устройства; во-вторых, процессы, протекаемые в системах традиционной постановки обратных задач, не регламентированы во времени, а в последней постановке подобные процессы проистекают в течение фиксированного конечного промежутка времени; в-третьих, постановка задач 1,2,3 требует определения задающего воздействия, корректирующего и стабилизирующего управлений, свойственных системам управления реальных сложных механических комплексов; в-четвертых, в задачах А,Б,В не рассмотрены проблема программирования движения компонентов системы управления с учетом фазовых ограничений на параметры системы в делом и проблема планирования программных траекторий пространственного передвижения управляемого объекта в частности.

Из-за сложности заново сформулированных обобщенных обратных задач, естественно полагать, что методика их решения требует применения не только известных приемов решения обратных задач А,Б,В, а также разработку нового метода,

В диссертационной работе разработан новый метод синтеза управляемых механических систем, на основе методов обратных задач дифференциальных уравнений, выпуклого программирования, теорий управляемости и оптимального управления, а также - численных методов решения экстремальных задач.

Основные теоретические результаты, полученные автором, изложены в главах 1,2,

В главе I приведены решения обратной задачи динамики для управляемых механических систем, когда известны интегральное многообразие, фазовые ограничения и класс дифференциальных уравнений, описывающих движения управляющего устройства, Рассмотрены программный, предцелевой участки движения (случаи I), 2)),

В § 1,1 определены основные требования к выбору матриц-коэффициентов уравнения движения устройства управления и определены задающие воздействия, из условия обеспечения движения системы по заданному интегральному многообразию. При этом движения системы не зависят от управления, улучшающего динамику устройства управления и, это управление определено из условия обеспечения фазовых ограничений на его движения.

В §§ 1,2, 1,3, на основе разработанного метода решена задача замыкания, исходя из того факта, что часть уравнений движения управляющего устройства задана и нужно построить оставшуюся, замыкающую часть уравнений его движения,

В главе 2 рассмотрен только программный участок движения системы управления. Приведены решения всех трех обобщенных обратных задач для нелинейного случая, причем нелинейными уравнениями описывается движение управляемого объекта, входящего в состав системы управления,

В § 2,1 введено (нелинейное) уравнение движения управляемого объекта и рассмотрена объединенная система, описывающая движение всей системы управления.

Результаты, полученные в гл,1 только лишь для уравнения движения управляющего устройства, распространены в процесс организации движения системы управления в целом. И, таким образом, решена основная обобщенная обратная задача по проектированию системы управления сложных управляемых механических комплексов,

В § 2,2 введены понятия невозмущенного движения (целевого движения) системы управления, траектории минимальной мощности. Определено корректирующее управление, исходя из условия минимума энергетических затрат на целевое движение системы управления. Процесс формирования такого управления исходит из существования управления, улучшающего динамзтку системы управления, которое обосновано в § 1,1, Тем самым здесь решена вторая обобщенная обратная задача.

Разработанный в работе метод позволил решить в §§ 2.3, 2.4 и задачу стабилизации невозвдущенного (программного) движения управляемого объекта (задача 3), Выведены уравнения возмущенного движения системы управления в общей и линеаризованной формах. Предложены алгоритмы формирования вектора стабилизирующих управляющих воздействий для малых и конечных начальных отклонений, управляемого объекта от программного движения,вызванных возмущающими воздействиями.

Таким образом, все три задачи, представляющие обощенные обратные задачи динамики для управляемых механических систем исследованы на основе специально разработанного метода »причем в ряде случаев их решения получаются " с точностью до проектных уточнений". Суть условности в последнем предложении заключается в том, что для отдельных видов сложных механических комплексов даже после формирования векторов корректирующего,стабилизирующего управлений не исчерпается до конца свобода выбора структуры системы управления. Причем эта, все еще сохраняющаяся, свобода должна превратиться в "орудие", с поющью которого проектировщику системы управления удастся полнее учитывать особенности реального сложного механического комплекса.

Все это сказанное цродемонетрировано в главе 3 »которая посвящена исследованию динамики конкретного вида сложных механических комплексов- манипуляционных роботов.

Кроме решения задач (Ж), (М2), (МЗ), являющихся частными случаями задач 1,2,3 соответственно, в § 3.2. рассматривается проблема программирования движения компонент системы управления манипулятора с учетом фазовых ограничений в целом и проблеш планирования программных траекторий пространственного передвижения исполнительного механизма роботов в частности.Сформулированы гипотезы динамической выполнимости программ движения в предцелевом и программном участках управляемого движения.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая механика», Аубакиров, Дауренбек Азенович

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ РАБОТЫ

1. Поставлены и решены обобщенные обратные задачи динамики для сложных управляемых механических комплексов при заданном уравнении движения управляемого объекта; определен класс дифференциальных уравнений с учетом уравнения движения реальных физических элементов, которые служат базовыми в конструкциях устройств управления,

2. Предложены метод определения задающего воздействия, значений параметров системы управления и алгоритм формирования корректирующего управления при заданной траектории движения (программы движения) объекта управления и при наличии фазовых ограничений, налагаемые на координаты устройства управления.

3. Разработаны алгоритмы формирования стабилизирующего управления невозмущеиного движения системы управления для малых начальных отклонений от программного движения.

4. Разработан вычислительный алгоритм определения стабилизирующего управления невозмущенного движения системы управления для конечных по величине начальных отклонений от программного движения; доказана сходимость численного метода определения стабилизирующего управления при наличии ограничений на управление.

5. На основе разработанного метода синтеза исследована динамика манипуляционных роботов:

- осуществлены программирование движения системы управления и планирование траектории пространственного передвижения исполнительного механизма;

- сформулированы гипотезы динамической выполнимости программ движения для различных (предцелевого, программного) участков движения; предложен способ тестирования кинематической реализуемоети программ движения;

- составлен сквозной алгоритм, охватывающий все основные этапы проектирования и налаживания системы управления шестизвен-ных роботов, для контролирования процесса управления движением манипулятора в автоматическом и интерактивном режимах с использованием ЕС ЭВМ и микропроцессорных управляющих вычислительных средств.

6. Процесс формирования векторов стабилизирующего управления, стабилизирующих сил и моментов распространен в класс обобщенных функций; теоретически обоснован вывод скачкообразных (импульсных) силовых воздействий, в том числе, мгновенно стабилизирующих программное движение управляющих воздействий.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Аубакиров, Дауренбек Азенович, 1985 год

1. Еругин Н.П. Построение всего множества систем дифференциальных уравнений, имеющих заданную интегральную кривую. ПММ,т. Ш, вып. 6, 1952, стр. 659-670.

2. Галиуллин A.C. Построение уравнений движения. Дифференциальные уравнения, т. Ш1, 1977, стр. 195-237.

3. Галиуллин A.C., Мухаметзянов И.А., Мухарлямов Р.Г., Фурасов В.Д. Построение систем программного движения. М., Наука, 1971.

4. Галиуллин A.C. Обратные задачи динамики. М., Наука, 1981.

5. Калман Р. Об общей теории систем управления. Труды I конгресса ИФАК, т. 2, изд-во АН СССР, М., 1961, стр. 521-547.

6. Айсагалиев С.А. Анализ и синтез автономных нелинейных систем автоматического управления. Алма-Ата, изд-во "Наука" Каз.ССР, 1980.

7. Аубакиров Д.А. К теории построения уравнений движения систем управления. Методы и средства решения краевых задач. Алма-Ата, изд-во Каз.ГУ, 1981, стр. 68-71.

8. Аубакиров Д.А. К задаче восстановления. Процессы управления и обработки информации. Алма-Ата, изд-во Каз.ГУ, 1982, стр. 17-23.

9. Аубакиров Д.А. К задаче замыкания. Математическое моделирование нестационарных процессов. Алма-Ата, изд-во Каз.ГУ, 1982, стр. 80-86.

10. Ройтенберг Я.Н. Автоматическое управление. М., Наука, изд.1, 1971.

11. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелццзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М., Наука, 1969.

12. Беллман Р. Динамическое программирование. ИЛ, I960.

13. Красовский H.H. Теория управления движения. М., Наука, 1968.

14. Кротов В.Ф., Гурман В.И. Методы и задачи оптимального управления. М., Наука, 1973.

15. Мухарлямов Р.Г. Построение множества систем дифференциальных уравнений, имеющих заданные интегралы. Дифференциальные уравнения, Ш 2, 1967.

16. Медведев B.C., Лесков А.Г., Ющенко A.C. Система управления манипуляционных роботов. М., Наука, 1978.

17. Пол Р. Моделирование, планирование траекторий и управление движением робота-манипулятора. М., Наука, 1976.

18. Попов Е.П., Верещагин А.Ф., Зенкевич С.Л. Манипуляционные роботы. Динамика и алгоритм. М., Наука, 1978.

19. Коренев Г.В. Целенаправленная механика управляемых манипуляторов. М., Наука, 1979.

20. Летов A.M. Аналитическое конструирование регуляторов (АКОР). Автоматика и телемеханика, т. 21, № 4, I960, стр. 436-441; В 5, стр. 561-568; № 6, стр. 661-665.

21. Летов A.M. АКОР.-Автоматика и телемеханика, т. 22, № 4, 1961, стр. 425-435.

22. Красовский A.A. Системы автоматического управления полетом и их аналитическое конструирование. М., Наука, 1973.

23. Попов Е.П. Теория нелинейных систем автоматического регулирования и управления. М., Наука, 1979.

24. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике. М., Наука, 1976.

25. КХценко A.C., Малышев А.Б. Алгоритм управления движением манипулятора вдоль заданной траектории с учетом динамики звеньев. Изв. вузов, изд-во "Машиностроение" МВТУ, 1984, № 5, стр. 41-44.

26. Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. М., ИЛ, 1954.

27. Зубов В.И. Динамика управляемых систем. М., изд-во "Высшая школа", 1982.

28. Бибиков Ю.Н. Общий курс обыкновенных дифференциальных уравнений. Ленинград, изд-во ЛГУ, 1981.

29. Геращенко Е.И., Геращенко С.М. Метод разделения движений иоптимизация нелинейных систем, М., Наука, 1975.30. J?.W.9 £ит СыпотжиЛ

30. Farm* for ContrMuèlz Syséernï. Доклад на III конгрессе ЩАК, секция I, Лондон, 1966.

31. Лурье А.И. Некоторые нелинейные задачи теории автоматического регулирования. М.-Л., Гостехиздат, 1951.

32. Ли Э.Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. М., Наука, 1972.

33. Елисеев C.B., Ченских В.Р., Хвощевский Г.И. Промышленные роботы. Некоторые проблемы внедрения. Иркутск, изд-во Иркутского университета, 1982.

34. TJuvcrê rabcrv-ié Ж. Mw ALetKcrd оф Artificialsücrbicrn Synthesis and Mpp£Uuticm to mcrticrn J?a&crt^ and Manipic £ at crrù. . VU IFAC Symp. an däutomutiv. Cerntrat in Spuce. С Jèattu zh-âQern, £ , may 1976), firepr., гг. //■

35. Sltcari ZL. QeneraZixatio-n a<f и temmu o<f ЛеВтап and Us application to unique — nesb. praêEemt. аф di^erentiat equations.4cta süzxtK.Acud.Sc.TtungtVn* 1(1956),pp.81-94.

36. Солодовников B.B. Синтез корректирующих устройств следящих систем при типовых воздействиях. Автоматика и телемеханика, № 5, 1951, стр. 352-388.

37. Солодовников В.В. Синтез корректирующих устройств следящих систем при помощи оптимальных и типовых логарифмических частотных характеристик. Автоматика и телемеханика, й 5, 1953, стр. 531-555.

38. Солодовников В.В. Статистическая динамика линейных систем автоматического управления. Физматгиз, М., I960.

39. Wiener УК Extrapolation, intarpoizzticrnand Smoothing оф Stationary Ttmetf. Wllzy, Миг Устгё, dezvnd printing, mo.

40. Пелегрен M. Статистический расчет следящих систем, Ил, 1957.

41. Чанг Ш. Синтез оптимальных систем автоматического управления. Изд-во "Машиностроение", 1964.

42. Кулебакин B.C. Об основных задачах и методах повышения качества автоматически регулируемых систем. Труды Второго всесоюзного совещания по теории автоматического регулирования, т. 2, изд-во Ан СССР, 1955.

43. Кухтенко А.И. Проблема инвариантности в автоматике. Гостех-издат УССР, 1963.

44. Петров Б.Н. О реализуемости условий инвариантности. Теория инвариантности и её применение в автоматических устройствах. ОТН АН УССР, 1959.

45. Аубакиров Д.А. Планирование траекторий движения руки манипулятора. Динамика управляемых систем. Алма-Ата, изд-во Каз.ГУ, 1984, стр. 19-25.

46. Аубакиров Д.А. Синтез программных движений управляемых механических систем. В кн.: Тезисы докладов УШ Республиканской научной конференции по математике и механике, посвященной 50-летию Каз.ГУ имени С.М.Кирова. Алма-Ата, 1984, ч.2,стр.130.

47. Айсагалиев С.А., Аубакиров Д.А. К синтезу нелинейных управляемых систем. Изв.АН Каз.ССР, серия физ.-мат., 1984, № 5, стр.З-б.