Причинная обратимость относительно конуса тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Студеникин, Андрей Анатольевич

• Студеникин, Андрей Анатольевич
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Студеникин, Андрей Анатольевич

Оглавление

1. Характеры полугрупп

1.1. Определения

1.2. Характеры полугруппы

1.3. Характеры конусов в!"

1.4. Теорема Кронекера для конусов в Мп

2. Алгебра ограниченных мер, сконцентрированных в подполугруппе

2.1. Определения

2.2. Операторы свертки с ограниченными мерами

2.3. Свертка в алгебре ограниченных мер

2.4. Подалгебра мер, сконцентрированных в подполугруппе

2.5. Алгебра мер на подполугруппе

3. Преобразование Лапласа мер из

3.1. Определения

3.2. Пространство характеров алгебры Л4^с

3.3. Пространство характеров алгебры М.®

3.4. Пространство характеров алгебры Л4®фас

4. Обратимость в алгебрах М% М^фас

4.1. Преобразование Гельфанда

4.2. Обратимость в алгебре

4.3. Обратимость в алгебре

4.4. Обратимость в алгебре Л4^фас

5. Причинный спектр и причинная обратимость

5.1. Определения и примеры

5.2. Алгебра причинных операторов

5.3. Причинная обратимость операторов свертки

5.4. Причинная обратимость операторов свертки в М"

5.5. Причинная обратимость операторов свертки с мерами, сконцентрированными на вырожденном конусе

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Причинная обратимость относительно конуса»

Введение

Постановка задачи. Пусть X — некоторое банахово пространство функций, определенных на М™. В диссертации в качестве X рассматриваются пространства Лебега Lp(Rn), где 1 < р < оо или р = О, а также пространство С0(К.П) непрерывных функций, стремящихся к нулю на бесконечности. Пусть, далее, § — некоторый конус в Мп. Ограниченный линейный оператор А: X —>• X будем называть причинным (относительно конуса §), если для любого t £ Ш.п и любой х Е X равенство ^(s) = 0 при s Е t — § влечет равенство (Ах) (s) = 0 при 5 Е t—§. Причинный оператор А будем называть причинно обратимым (относительно конуса §), если обратный оператор Асуществует и также является причинным (относительно того же конуса §). Принципиально, что, кроме тривиальных случаев, причинная обратимость не эквивалентна обычной обратимости.

Диссертация посвящена исследованию причинной обратимости относительно конуса § операторов свертки с ограниченными мерами.

Так как для причинного оператора А значения функции Ах на любом измеримом множестве Е С М" полностью определяются значениями функции х на множестве Е — §, использование таких операторов естественно при описании процессов, разворачивающихся в "многомерном времени". Причинность соответствующего оператора эквивалентна тому, что состояние объекта в "настоящем" может зависеть от "прошлого", но не должно зависеть от "будущего". В частности, если в пространстве R4 рассмотреть световой конус

®={(t0,tut2,t3)eR4: ф\ + t¡ + t¡ < cío},

то понятие причинности относительно S является естественной интерпретацией основного положения специальной теории относительности о том, что физические взаимодействия не могут распространяться быстрее скорости света. Интересно отметить (см., например, [7]), что скорость распространения света в кристаллах зависит от направления. В этом случае сечения аналога светового конуса не будут сферическими.

Определение причинности относительно конуса S можно переформулировать следующим эквивалентным образом. В пространстве X

рассмотрим семейство подпространств

= х(з) = 0 для всех ж € £ - § }, ¿бГ.

Ограниченный оператор А: X X является причинным относительно 5 тогда и только тогда, когда для любого £ £ имеет место вложение

АХг С X,.

Отметим, что в случае X = Ьр и X = Со все подпространства Хг = Xf замкнуты. Используя этот факт, легко показать, что множество всех операторов, причинных относительно §, образует банахову алгебру — подалгебру в алгебре всех линейных ограниченных операторов, действующих в пространстве X. Таким образом, причинная обратимость оператора А — это обратимость в алгебре причинных операторов. Задача исследования причинной обратимости причинного оператора А фактически является задачей описания его причинного спектра, т.е. спектра в алгебре причинных операторов.

Понятие причинности, связанное с конусом, допускает широкие обобщения. В частности, исследование процессов с "многомерным дискретным временем", а также сама структура подпространств Х^ подводит к мысли о замене линейного пространства Мп на произвольную локально компактную абелеву группу С. Соответственно, роль конуса в этом случае будет играть некоторая подполугруппа § группы С. Это позволяет говорить о причинности относительно подполугруппы.

Заметим, что если на группе С ввести связанную с подполугруппой § структуру частично упорядоченного множества (а <Ъ Ъ — а е §, а, 6 Е С), то подпространства XI будут обладать свойством

Ха Э Хъ при а < Ь,

что позволяет рассмотреть следующее обобщение. Пусть X — банахово пространство, а, ]¥ — частично упорядоченное множество. Семейство замкнутых подпространств Х11 Ь Е IV, назовем направлением в пространстве X, если для любых а < Ъ имеет место вложение Ха Оператор А: X —> X назовем причинным (относительно направления X*), £ Е \¥, если АХг С Х^ t £ V/. Здесь причинная структура, связанная с упорядочением "по времени", заменена на причинную структуру, связанную с произвольным частично упорядоченным множеством.

Многие факты, справедливые для простейшей причинной структуры (а именно, С = К и § = = [0, +оо)), имеют место для абстрактной причинной структуры, связанной с произвольным направлением. Более того, различные причинные структуры допускают общие приемы исследования.

Описание содержания работы. Основной целью настоящей работы является исследование причинной обратимости, индуцированной выделенной подполугруппой §, операторов Ам свертки с ограниченной мерой сконцентрированной в подполугруппе §. В случае, когда § — воспроизводящий конус в Е", а мера ¡1 не имеет непрерывной сингулярной составляющей, получено эффективное описание причинного спектра оператора А^.

Основная идея диссертации состоит в следующем. Причинная обратимость относительно § оператора Ам свертки с мерой ¡л без непрерывной сингулярной составляющей, как правило, эквивалентна обратимости меры ¡л в некоторой подалгебре коммутативной банаховой алгебры ограниченных мер, сконцентрированных в §. Это позволяет применить для вычисления спектра оператора Аи преобразование Гельфанда.

В свою очередь, эффективное описание преобразования Гельфанда в соответствующих алгебрах возможно в терминах аналога преобразования Лапласа, определенного на полугруппе характеров полугруппы §. Причем, если для описания преобразования Гельфанда алгебры абсолютно непрерывных мер следует рассматривать полугруппу непрерывных характеров, то в случае алгебры дискретных мер — полугруппу разрывных характеров, а для прямой суммы этих алгебр — сразу обе полугруппы характеров.

В разделе 1 изучаются характеры конусов в М". В пункте 1.1 определяются полугруппы непрерывных и разрывных характеров топологической аблевой полугруппы § с единицей и описываются их простейшие свойства. Отметим, что в работе в качестве полугруппы § всегда рассматривается некоторая подполугруппа локально компактной абелевой группы С. В пункте 1.2 напоминается строение полугрупп непрерывных и разрывных характеров для одномерного конуса § = М.+ в Е. В пункте 1.3 приводится полное описание полугрупп непрерывных и невырожденных (т.е. нигде не обращающихся в ноль) разрывных характеров конуса 8 в Мп. Подробно исследуется строение

множества вырожденных разрывных характеров конуса.

Если полугруппа непрерывных характеров образует плотное подмножество в полугруппе разрывных характеров, то преобразование Лапласа в алгебрах мер без непрерывной сингулярной составляющей может быть восстановлено только по его значениям на непрерывных характерах. Таким образом, вопрос о плотности вложения полугруппы непрерывных характеров в полугруппу разрывных приобретает принципиальное значение. В работе ему посвящен пункт 1.4. Установлено, что определяющую роль здесь играет строение границы конуса §.

Раздел 2 посвящен подробному описанию основных объектов исследования. Здесь определяются пространства Лебега 1/р(С), 1 < р < оо или р = 0 (пункт 2.1), операторы свертки с ограниченными мерами, действующие в пространстве С0(С) непрерывных функций на С, стремящихся к нулю на бесконечности, и пространствах Лебега 1/р(С) (пункт 2.2), а также алгебра .М(С) ограниченных мер на С и напоминается ее разложение в смысле Лебега (пункт 2.3).

В пункте 2.4 определяется подалгебра Л48(С) алгебры Л4(С), состоящая из всех ограниченных мер, сконцентрированных в подполугруппе §. Для нее строится разложение, аналогичное разложению в смысле Лебега. Отметим, что рассматриваемый подход к определению алгебры как подалгебры алгебры .М(С) всех ограниченных

мер позволяет отказаться от предположения о локальной компактности полугруппы Более того, подполугруппа § не предполагается измеримой относительно каких-либо мер на С.

В пункте 2.5 обсуждается традиционный подход к определению алгебры Л4(§) ограниченных мер на локально компактной полугруппе. Показано, что в случае локально компактной подполугруппы § оба рассматриваемых подхода эквивалентны.

В пункте 3.1 раздела 3 определяется преобразование Лапласа мер из ЛЛ§'(0) как функций на полугруппе К(§) непрерывных характеров полугруппы Затем (пункт 3.2) в терминах преобразования Лапласа описывается пространство характеров алгебры Л4^с(С) абсолютно непрерывных мер, сконцентрированных в подполугруппе §. Показано, что в случае почти правильной подполугруппы § (почти правильной подполугруппой, например, является любой воспроизводящий конус в Мп) пространство характеров алгебры Л4^с(С) абсолютно непрерывных мер топологически изоморфно полугруппе 1К(8) непрерывных ха-

рактеров полугруппы §. Этот результат является обобщением соответствующего известного утверждения для групп.

В пунктах 3.3 и 3.4 описываются пространства характеров алгебры всех дискретных мер, сконцентрированных в подполугруппе §, и алгебры являющейся прямой суммой алгебр Л4^с(С) и

Раздел 4 посвящен исследованию обратимости в алгебрах

(пункт 4.2), Л4%(€г) (пункт 4.3) и Л^фас(С) (пункт 4.4) ограниченных мер без непрерывной сингулярной составляющей, сконцентрированных в подполугруппе Так как все эти алгебры являются коммутативными банаховыми алгебрами с единицей, то спектр любого элемента полностью описывается в терминах преобразования Гельфанда (определение которого мы напоминаем в пункте 4.1). В случае, когда полугруппа § является конусом в пространстве получено эффективное описание спектров элементов в соответствующих алгебрах.

Раздел 5 является, собственно, основной целью данной работы. Как уже упоминалось выше, здесь определяется понятие причинности и причинной обратимости (относительно подполугруппы §) операторов, действующих в пространстве функций на группе С (пункт 5.1). В пункте 5.2 причинность (причинная обратимость) оператора обсуждается с точки зрения его принадлежности к (обратимости в) алгебре причинных операторов. Показано, что, как правило, причинность оператора А^ свертки с мерой ¡1 относительно подполугруппы § эквивалентна тому, что мера /л сконцентрирована в этой подполугруппе, т.е. принадлежит

алгебре Мв(&). В пункте 5.3 для меры ¡л без непрерывной сингулярной составляющей доказана эквивалентность причинной обратимости оператора А^ обратимости самой меры /л в соответствующей подалгебре алгебры что позволяет вы-

числять причинный спектр оператора Ац в терминах преобразования Гельфанда меры ¡1 в соответствующей алгебре.

В пункте 5.4 результаты пункта 5.3 и раздела 4 применяются для эффективного описания причинных спектров относительно воспроизводящего конуса § в К" операторов свертки с мерами без непрерывной сингулярной составляющей.

В пункте 5.5 показана применимость разработанных методов для вычисления причинных спектров операторов свертки с сингулярными мерами, сконцентрированными в вырожденных конусах.

Таким образом, основными результатами, полученными в диссертации, следует считать: описание полугрупп характеров конуса § в Мп (пункт 1.3, теорема 9); исследование плотности вложения полугруппы непрерывных характеров в полугруппу разрывных характеров (пункт 1.4, теоремы 19 и 20); топологический изоморфизм между пространством характеров алгебры абсолютно непрерывных мер, сконцентрированных в подполугруппе, и полугруппой непрерывных характеров этой подполугруппы (пункт 3.2, теорема 69); вычисление причинных спектров относительно конуса операторов свертки с мерами без непрерывных сингулярных составляющих (пункт 5.4, теоремы 89, 90 и 91); а также вычисление причинных спектров операторов свертки со специальными сингулярными мерами (пункт 5.5, теорема 98).

Обзор литературы. Наверное, впервые причинные операторы появились в работах Вольтерра по интегральным уравнениям, см., например, [20] и [84]. В связи с этим причинные операторы часто называют абстрактными операторами Вольтерра. Теория операторов Вольтерра оказала глубокое влияние на многие разделы математики.

Само понятие причинного оператора (или абстрактного оператора Вольтерра) было явно сформулировано существенно позже А.Н. Тихоновым в работе [57], где, в частности, было показано, что в известном утверждении о нулевом спектральном радиусе интегрального оператора Вольтерра основным является предположение о причинности, а не об интегральности.

В настоящее время причинные операторы (в значительной мере независимо) изучаются в функциональном анализе, в теории функционально-дифференциальных уравнений и теории управления.

В работах по функциональному анализу обычно рассматривают причинность, порожденную линейно упорядоченным множеством Ш. Возникающая на этом пути теория качественно аналогична одномерному случаю, т.е. С = К. и § = Одной из первых работ в этом направлении была книга И.Ц. Гохберга и М.Г. Крейна [24], в которой изучается возможность представления абстрактных компактных операторов с нулевым спектром в виде причинных относительно некоторого линейного направления. Близкая теория в терминах треугольных матриц построена Кадисоном и Зингером [70] и Рингроузом [77].

Имеется также обширная литература, посвященная оценкам спек-

тральных радиусов причинных операторов [3], [4], [9], [26], [27], [28], [29], [38], [39], [47], [59]. Близкие вопросы обсуждаются также в литературе по теории управления, см. ссылки ниже.

Наиболее активно причинные операторы изучаются в теории управления. Особо отметим работу Виллемса [86], где впервые было явно сформулировано понятие причинной обратимости в связи с изучением систем с обратной связью. В этой работе было показано, что входо-выходная устойчивость системы с обратной связью эквивалентна причинной обратимости некоторого специального оператора. Дальнейшему развитию этой идеи посвящены работы [25], [61], [63], [64], [66], [68], [79], [87]. Подчеркнем, что это направление также связано с одномерным случаем, т.е. С = Еи§ =

В теории функционально-дифференциальных уравнений (опять же для случая С = Ми5 = М+) причинные операторы и причинная обратимость изучались в работах [1], [5], [6], [32], [35], [36], [37], [38], [39], [40], [41], [42], [43], [44], [45], [48], [50], [54], [58], [59], [69],[72], [73], [82].

Многомерный случай, т.е. (С = Еп изучен существенно меньше. В работах [23], [51], [52] рассматривались функционально-разностные и дифференциально-разностные уравнения, содержащие операторы, причинные относительно полупространства. В работе [46] получены результаты об экспоненциальной устойчивости решений функционально-разностных уравнений с операторами, причинными относительно конуса в Мп. Близкое направление образуют исследования дифференциально-разностных уравнений на С = М с неограниченными коэффициентами, см., например, [19], [17], [18].

В [30], [71] и [83] получены оценки спектрального радиуса причинного интегрального оператора, действующего в пространствах функций на [а, Ь] х [с, ¿].

В книге [16, гл. 1, §4, 4; гл. 3, §19] изучается причинность относительно конусов в Еп операторов, действующих в пространствах обобщенных функций. Особое внимание уделяется световому конусу.

В работе [67] изучается интегральное уравнение Ве1Ье-8а1ре1ег'а, возникающее в теоретической физике. По-существу речь идет о причинном обратном к сумме тождественного и интегрального оператора, причинного относительно светового конуса в М4 или аналогичного конуса в Е3 и коммутирующему с преобразованиями Лоренца. Интересно отметить, что, как показано в этой работе, условие инвариант-

ности относительно группы Лоренца значительно сужает размерность множества причинных операторов; кроме того, отмечается, что причинные интегральные операторы, инвариантные относительно группы Лоренца, не могут быть ограниченными.

Возможность вычисления спектра абсолютно непрерывных и дискретных мер с помощью преобразования Фурье впервые была обоснована в работах Винера и Питта, см. [15], [76] и [85]. Доказательства в этих работах основаны на прямых е-^-оценках. Впоследствии для решения подобных задач было создано более удобное средство — преобразование Гельфанда, см., например, [14] и [21]. Пространство характеров алгебры всех ограниченных мер, имеющих одновременно дискретную и абсолютно непрерывную составляющие (но не имеющую непрерывной сингулярной), было вычислено в [45] и [75].

Уже в работе [85] было понято, что спектр меры, имеющей непрерывную сингулярную составляющую, как правило, не может быть описан в терминах преобразования Фурье (или — в случае полугруппы — преобразования Лапласа). Впоследствии были построены более простые примеры таких мер, см., например, [62], [78] и [88].

Спектр в алгебрах мер, сосредоточенных в подполугруппе локально компактной абелевой группы, изучался в [21], [45], [65], [75], [80] и [89] (без приложений к причинным операторам). В работе [21] показано, что спектр абсолютно непрерывной меры на совпадает с образом ее преобразования Лапласа. В [45] и [75] аналогичное утверждение получено для произвольной меры на Е+, не имеющей непрерывной сингулярной составляющей; в работах И.С. Фролова [58] и [59] этот результат применен к исследованию устойчивости дифференциально-разностных уравнений. В [65] и [89] построены контрпримеры, показывающие, что при наличии непрерывной сингулярной составляющей аналогичный факт в общем случае не имеет места.

В работах [80] и [81] спектр в алгебрах мер с непрерывной сингулярной составляющей изучался более обстоятельно (в отличие от работ [62], [65], [78], [88] и [89], где лишь строились контрпримеры). Показано, что наличие патологий в конечном счете тесно связано с явлением причинности. А именно, даже алгебра непрерывных сингулярных мер на группе содержит существенные подалгебры мер, сосредоточенных на подполугруппе. Этим объясняется появление в пространстве характеров алгебр непрерывных сингулярных мер частей,

имеющих структуру аналитического многообразия.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [55], [56], [74]. Из результатов совместной работы [74] В.Г. Курбатову принадлежат параграфы 2, 5 и 6, а A.A. Студеникину — параграфы 3, 4 и 7. Только результаты параграфов 3 и 4 этой работы включены в настоящую диссертацию.

Нумерация. В диссертации используется сквозная нумерация теорем, лемм, предложений и формул. Замечания и следствия относятся непосредственно к вышеизложенному пронумерованному утверждению и нумеруются только тогда, когда их несколько. То же самое касается примеров, за исключением того, что они могут относится к не пронумерованному вышеизложенному тексту, например, к определению.

Благодарности. Автор выражает благодарность фонду Robert'а Havemann'a за поддержку в работе над диссертацией.

Автор также благодарен создателям Дд^-ВДЁХ'а, в котором набран текст диссертации.

1. Характеры полугрупп

1.1. Определения

Полугруппой называют множество §, на котором задана ассоциативная операция. Все рассматриваемые полугруппы будут предполагаться абелевыми. (Полугрупповым) характером полугруппы § назовем всякое нетривиальное отображение х\ 8 —> и+ = {и Е С: < 1 }, сохраняющее операцию, т.е. х(£ + я) = х(£)х(з) при всех ^ е § (здесь операция в полугруппе § обозначена знаком +). Нетривиальность означает, что существует £0 € § такое, что х(£0) ф 0. Иными словами, полугрупповой характер — это нетривиальный морфизм полугруппы § в полугруппу и+.

Элемент е £ 5 называют единицей полугруппы если ев = ее = я (0+5 = 5+0 = для всех 5 Е §. В дальнейшем, если явно не оговорено противное, мы всегда будем предполагать, что все рассматриваемые полугруппы — полугруппы с единицей. Как правило, мы будем использовать аддитивную запись для полугрупповой операции. В этом случае единицу полугруппы мы будем обозначать символом 0.

Предложение 1. Для любого характера х полугруппы с единицей § имеет место тождество х(0) = 1.

доказательство. Так как характер сохраняет полугрупповую операцию, то х(£) = х(£ + 0) = х(£)х(0), откуда х(£)(1 — х(0)) = 0 при всех £ Е В силу нетривиальности характера имеем х(0) = 1. □

Наконец, мы всегда будем предполагать, что на § задана хаусдор-фова топология, относительно которой полугрупповая операция непрерывна. В этом случае будем говорить, что § — топологическая полугруппа. Особую роль будут играть непрерывные характеры топологических полугрупп. Множество всех непрерывных характеров топологической полугруппы § обозначим символом К = К(§). Полугруппу §, наделенную дискретной топологией, обозначим Очевидно, всякий характер полугруппы непрерывен. Множество всех (не обязательно непрерывных) характеров полугруппы § или, что то же самое, множество всех непрерывных характеров полугруппы обозначим символом Кь = Кь(§) = К(5<г).

Введем на множестве К = K(S) операцию поточечного умножения:

•*2)(t) = x1(t)x2(t), teS.

Нетрудно видеть, что множество К относительно этой операции является абелевой полугруппой с единицей. Роль единицы играет характер

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Студеникин, Андрей Анатольевич, 1998 год

Литература

[1] Азбелев Н.В., Березанский JI.M., Симонов П.М., Чистяков A.B. Устойчивость линейных систем с последействием // Дифференц. уравн.—1987.—Т. 23.—N5.—С. 745-754; И.—1991.—Т. 27.—N4.— С. 555-562; III.—1991.—Т. 27.—N10.—С. 1659-1668; IV.—1993.— Т. 29.—N2.—С. 196-204.

[2] Бахтин И.А. Конусы в пространствах Банаха. Часть 1.— Воронеж: изд-во Педагогического ин-та, 1975.

[3] Березанский JI.M. Линейное функционально-дифференциальное уравнение: Непрерывная зависимость от параметров // Дифференц. уравн.—1984.—Т. 20.—N4.—С. 562-570.

[4] Березанский Л.М. Существование и устойчивость решений линейных функционально-дифференциальных уравнений в пространствах Лебега с весом. Дифференц. уравн.—1985.—Т. 21.—N6.— С. 1052-1059.

[5] Борисович Ю.Г., Бадоев А.Л. Оценка резольвенты производящего оператора для линейных систем с запаздыванием // Литовский мат. сб.—1968.—Т. 8.—N2.—С. 233-236.

[6] Борисович Ю.Г., Турбабин A.C. К задаче Коши для линейных неоднородных дмфференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // Докл. АН СССР.—1969.—Т. 185.—N4.—С. 741744.

[7] Борн М. Атомная физика.—М.: Мир, 1965.

[8] Бремерман Г. Распределения, комплексные переменные и преобразование Фурье: Пер. с англ.—М.: Мир, 1968.— 276 с.

[9] Бреннер В.В. О спектральном радиусе оператора с локально независимыми сдвигами // Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат. наук.— 1981.—N3.—С. 48-55.

[10] Бурбаки Н. Интегрирование. Меры, интегрирование мер: Пер. с франц.—М.: Наука, 1967.—Гл. 1-5.—396 с.

[11] Бурбаки Н. Интегрирование. Меры на локально компактных пространствах. Продолжение меры. Интегрирование мер. Меры на отделимых пространствах: Пер. с франц.—М.: Наука, 1977.— Гл. 3-5, 9.—600 с.

[12] Бурбаки Н. Общая топология. Основные структуры: Пер. с франц.—М.: Наука, 1968—Гл. 1-2—272 с.

[13] Бурбаки Н. Общая топология. Использование вещественных чисел в общей топологии. Функциональные пространства. Сводка результатов: Пер. с франц.—М.: Наука, 1968.—Гл. 9-10.—408 с.

[14] Бурбаки Н. Спектральная теория. Сводка результатов: Пер. с франц.—М.: Мир, 1972.—183 с.

[15] Винер Н. Интеграл Фурье и некоторые его приложения: Пер. с англ.—М.: ГИФМЛ, 1963.—256 с.

[16] Владимиров В.С. Обобщенные функции в математической физи-ке.—М..: Наука, 1979.—318 с.

[17] Власов В.В. О разрешимости краевых задач для одного класса интегродифференциальных уравнений на полуоси // Дифферент уравн.—1989.—Т. 25.—N9.—С. 1589-1599.

[18] Власов В.В. О разрешимости одного класса функционально-дифференциальных уравнений на полуоси и некоторых спектральных вопросах // Докл. АН СССР.—1991.—Т. 319—N1 — С. 22-26.

[19] Власов В.В. Асимптотическое поведение решений дифференциально-разностных уравнений нейтрального типа в гильбертовом пространстве // Сборник: Некоторые проблемы современной математики и их приложения к задачам физики и математики.— М.: изд-во МФТИ, 1995.—С. 37-55.

[20] Вольтерра В. Теория функционалов, интегральных и интегродифференциальных уравнений.—М.: Наука, 1980.

[21] Гельфанд И.М., Райков Д.А., Шилов Г.Е. Коммутативные нормированные кольца.—М.: Физматгиз, 1960.—316 с.

[22] Глазман И.М., Любич Ю.М. Конечномерный линейный анализ.— М.: Наука, 1969.—475 с.

[23] Городецкий М.Б. Об обратимости операторов типа свертки в полупространстве // Теория функций, функциональный анализ и их приложения.—Харьков, 1981.—N35.—С. 19-24.

[24] Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Теория волътерровых операторов в гильбертовом пространстве и ее приложения.—М.: Наука,

1967.—508 с.

[25] Дезоер Ч., Видьясагар М. Системы с обратной связью: входо-выходные соотношения: Пер. с англ.—М.: Наука, 1983.—278 с.

[26] Интегральные уравнения / Забрейко П.П. и др.—М.: Наука,

1968.—448 с.

[27] Забрейко П.П. Об интегральных операторах Вольтерра // Успехи мат. наук.—1967.—Т. 22.—N1.—С. 167-168.

[28] Забрейко П.П. О спектральном радиусе оператора Вольтерра // Литовский мат. сб.—1967.—Т. 7.—N2.—С. 281-287.

[29] Забрейко П.П., Ломакович А.Н. Об одном обобщении теоремы Вольтерра // Укр. мат. журн.—1987.—Т. 39.—N5.—С. 648-651.

[30] Забрейко П.П., Ломакович А.Н. Интегральные операторы Вольтерра в пространстве функций двух переменных // Укр. мат. журн.—1Ш.—Т. 42.—N9.—С. 1187-1191.

[31] Келли Дж. Общая топология: Пер. с англ.—М.: Мир, 1968.—383 с.

[32] Колмановский В.Б., Носов В.Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием.—М.: Наука, 1981.—448 с.

[33] Красносельский М.А. Положительные решения операторных уравнений.—М.: ГИФМЛ, 1962.—394 с.

[34] Красносельский М.А., Лифшиц Е.А., Соболев А.Б. Позитивные линейные системы.—М.: Наука, 1985.—255 с.

Кузнецова В.И. О дифференциально-разностных уравнениях с малым отклонением аргумента // Дифференц. уравн.—1986.— Т. 22.—N3.—С. 403-411.

Кузнецова В.И. Об устойчивости систем с последействием нейтрального типа в случае малого запаздывания // Автомат, и телемех.—1986.—N2.—С. 31-38.

Курбатов В.Г. Линейные функционально-дифференциальные уравнения и запаздывающий спектр // Сибирск. мат. журн.— 1975.—Т. 14.—N3.—С. 538-550.

Курбатов В.Г. Об оценке спектральных радиусов запаздывающих операторов в пространстве ограниченных непрерывных функций // Функц. анал. и его прилож.—1975.—Т. 9.—N3.—С. 56-60.

Курбатов В.Г. Об обратимости запаздывающих операторов // Теория операторных уравнений / Воронеж, 1979.—С. 43-52.

Курбатов В.Г. Линейные дифференциально-разностные уравнения.—Воронеж: изд-во ВГУ, 1990.—167 с.

Курбатов В.Г. О спектре оператора с соизмеримыми отклонениями аргумента и постоянными коэффициентами // Дифференц. уравн.—1977.—Т. 13.—N10.—С. 1770-1775.

Курбатов В.Г. Один пример в теории устойчивости уравнений с запаздыванием // Мат. заметки—1986.—Т. 39.—N2.—С. 253259.

Курбатов В.Г. Об устойчивости дифференциально-разностных уравнений с производной и без производной // Дифференц. уравн.—1988.—'Т. 24.—N9.—С. 1503-1509.

Курбатов В.Г. Эффективная оценка в принципе усреднения // Автомат, и телемех.—1989.—N8.—С. 50-55.

Курбатов В.Г., Фролов И.С. Об обратимости дифференциально-разностных операторов в банаховом пространстве.—Воронеж, 1977.—58 е.—Деп. в ВИНИТИ 17.02.78, N42407.

[46] Левендорский С.З., Рабинович B.C. Об экспоненциальном убывании на бесконечности решений многомерных уравнений типа свертки в конусах // Изв. вузов. Математика.—1979.— N3(202)—С. 38-44.

Мухамадиев Э.М., Садовский Б.Н. Об оценке спектрального радиуса одного оператора, связанного с уравнениями нейтрального типа // Мат. заметки—1973.—Т. 13.— N1.—С. 67-78.

Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом.—М.: Наука, 1972.—352 с.

Наймарк М.А. Нормированные кольца.—М.: Наука, 1968.—664 с.

Нгуен Туан Хунг. Некоторые классы банаховых алгебр, порожденных динамическими системами: Автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук.—Минск, 1987.—16 с.

Рабинович B.C. О дифференциально-разностных уравнениях в полупространстве // Дифференц. уравн.—1980.—Т. 16.—N11.— С. 2030-2038.

Рабинович B.C. О задаче Коши для параболических дифференциально-разностных операторов с переменными коэффициентами // Дифференц. уравн.—1983.—Т. 19.—N6,—С. 1032-1039.

Рудин У. Функциональный анализ: Пер. с англ.—М.: Мир, 1975.— 443 с.

Симонов П.М., Чистяков A.B. Об обратимости вольтерровых операторов в одном классе инвариантных подпространств // Функц.-дифференц. уравн.: Сб. науч. тр.—Пермь, 1987.—С. 63-68.

Студеникин A.A. Об операторах свертки с мерой, сосредоточенной в световом конусе // Стохастический и глобальный анализ: Тез. междунар. конф. 13-19 января 1997 г.—Воронеж, 1997.— С. 90.

Студеникин A.A. Операторы свертки с мерой, сконцентрированной в подполугруппе.—Липецк, 1998.—130 с.—Деп. в ВИНИТИ 19.06.98, N1871-B98.

Тихонов А.Н. О функциональных уравнениях типа Volterra и их применениях к некоторым задачам математической физики // Бюлл. МГУ. Сек. Л.—1938.—Т. 1.—N8.—С. 1-25.

Фролов И.С. Обратимость некоторых разностных и дифференциально-разностных операторов: Дис. ... канд. физ.-мат. наук.— Воронеж, 1982.—126 с.

Фролов И.С. О вольтерровом спектре одного разностного оператора // Дифференц. уравн.—ШЪ.—Т. 21.—N2.—С. 340-342.

Хьюитт Э., Росс К. Абстрактный гармонический анализ. Т. 1. Структура топологических групп. Теория интегрирования. Представления групп: Пер. с англ.—М.: Наука, 1975.—657 с.

Хэррис К., Валенка Ж. Устойчивость динамических систем с обратной связью: Пер. с англ.—М.: Мир, 1987.—360 с.

Шрейдер Ю.А. Строение максимальных идеалов в кольцах мер со сверткой // Математ. сб.—1950.—Т. 27.—N2.—С. 297-318.

DeSantis R.M. Causality, strict causality and invertibility for systems in Hilbert resolution space // SI AM J. Control—Ш A—Vol. 12 — N3.—P. 536-553.

DeSantis R.M., Porter W.A. On the generalization of the Volterra principle of inversion // J. Math. Anal. Appl—1974.—Vol. 48.— N3.—P. 743-748.

Davis T.A. The Wiener-Pitt phenomenon on semi-group // Proc. Cambr. Phil. Soc.—1963—Vol. 59.—N1.—P. 11-24.

Erdos J.A., Longstaff W.E. The convergence of triangular integrals of operators on Hilbert space // Indiana Univ. Math. J.—1973.— Vol. 22.—N10.—P. 929-938.

Faraut J., Viano G.A. Volterra algebra and the Bethe-Salpeter equation // J. Math. Phys.—1986.—Vol. 27.—N3.—P. 840-848.

Feintuch A., Saeks R. System Theory: A Hilbert Space Approach.— New York: Academic Press, 1982.—310 p.

Volterra Integral and Functional Equations / Gripenberg G. and others.—Cambridge Univ. Press, 1990.—701 p.

Kadison R., Singer I.M. Triangular operator algebras // Amer. J. Math.—1960.—Vol. 82.—P. 227-259.

Kalitvin A.S. Spectral properties of partial integral operators of Volterra and Volterra-Fredholm type // J. Anal. Appl.—1998.— Vol. 17.—N2.—P. 1-13.

Kolmanovskii V., Myshkis A. Applied Theory of Functional Differential Equations.—Dordrecht-Boston-London: Kluwer Academic Publishers, 1992.—234 p.

Kurbatov V.G. Functional Differential Operators and Equations.— Dordrecht-Boston-London: Kluwer Academic Publishers, 1998.— 433 p.

Kurbatov V.G., Studenikin A.A. The causal invertibility with respect to a cone // Functional Differential Equations.—1997.—Vol. 4.—N3-4.—P. 295-327.

Papacostas G.C. Le spectre de [L\ ©/i)(M+) Bulletin de la classe des science. Académie royal de Belgique. Bruxelles. 5e serie.—1979.—Vol. 65.—N10.—P. 545-554

Pitt H.R. A theorem on absolutely convergent trigonometrical series // J. Math. Phys.—1937.—"Vol. 4.—P. 191-195.

Ringrose J.R. On some algebras of operators // Proc. London Math. Soc. Ser. 3.—1965.—'Vol. 15.—P. 61-83; 1966—Vol. 16,—P. 385-402.

Rudin W. Fourier Analysis on Groups.—New York-London-Sydney: Interscience Publ., 1962.—285 p.

Saeks R. Resolution Space. Operators and Systems // Lect. Notes Economics Math. Systems.—1973.—Vol. 82.—P. 1-267.

Taylor J.L. Measure algebras.—CBMS, Reg. Conf. Ser. Math.— 1972.—N16.—108 p.

[81] Taylor J.L. On the spectrum of a measure // Adv. Math.—1974.— Vol. 12.—N4.—P. 451-463.

[82] Young D.F. A class of linear hereditary equations in Banach space // J. Differential Equations.—1977.—Vol. 25.—N2.—P. 233-257.

[83] Vath M. A general theorem of continuity and compactness of the Urysohn operator // J. Integral Equations Appl.—1996.—Vol. 8.— N3.—P. 379-389.

[84] Volterra V. Sulla inversione degli integrali definiti // R. C. Accad. Lincei.—1896.—Vol. 5.—N5.—P. 177-185.

[85] Wiener N., Pitt H.R. On absolutely convergent Fourier-Stieltjes transforms // Duke Math. J.—1938.—Vol. 4.—N2.—P. 420-436.

[86] Willems J.C. Stability, instability, invertibility and causality / / SI AM J. Control.—1969.—'Vol. 7.—N4.—P. 645-671.

[87] Willems J.C. The Analysis of Feedback Systems.—Cambridge: MIT Press, 1971.—188 p.

[88] Williamson J.H. A theorem on algebras of measures on topological groups // Proc. Edingurgh Math. Soc.—1959.—Vol. 11.—N4.— P. 195-206.

[89] Williamson J.H. The Wiener-Pitt phenomenon on the half-line // Proc. Edingurgh Math. Soc.—1962—'Vol. 13 (Ser'II).—N1.—P. 37-38.