Приближенная модель исследования динамических систем с полилинейной правой частью тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Кириченко, Михаил Александрович

• Кириченко, Михаил Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кириченко, Михаил Александрович

Введение

1 Математические модели динамических систем с полилинейной правой частью и численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

§1 Модель Лоренца и задача о свободной конвекции в плоском слое жидкости

§2 Математическая модель процессов изменения движения капитала и спроса под воздействием норм прибыли.

§3 Обобщенно-периодические решения автономных и неавтономных систем дифференциальных уравнений.

§4 Классификация периодических и близких к ним решений систем дифференциальных уравнений.

§5 Численные методы построения решений обыкновенных дифференциальных уравнений

2 Построение приближенной модели исследования

§1 Устойчивость по Пуассону в динамических и непрерывных периодических системах.

§2 Построение решений систем дифференциальных уравнений с полилинейной правой частью.

§3 Построение приближенной модели исследования.

§4 Разработка программного комплекса.

3 Некоторые приложения

§1 Система Лоренца.

§2 Система экономики H.A. Магницкого.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Приближенная модель исследования динамических систем с полилинейной правой частью»

Актуальность темы. Системы с полилинейной правой частью представляют большой интерес, так как многие модели процессов физической, технической, экономической природы описываются именно такими моделями. Более того, все странные аттракторы, найденные на данный момент, являются именно такими системами.

В настоящее время для построения решений подобных систем используются стандартные методы численного анализа, не учитывающие конкретный вид правой части. Более того, стандартные методы численного анализа не могут быть применимы для построения решения на большом промежутке времени вследствие накопления систематической ошибки. Таким образом, использовать это решение для точного исследования невозможно. Поэтому выводы, построенные на основе численных экспериментов для систем с полилинейной правой частью, зачастую содержат неточности.

Возникает проблема построения приближенной модели исследования динамических систем с полилинейной правой частью. Под моделью исследования будем понимать дискретно динамическую систему вдоль точных решений динамических систем с полилинейной правой частью. Конкретный вид правых частей подобных систем позволяет применять к ним процедуру символьного интегрирования, избегая при этом численных методов интегрирования и округления вещественных чисел, а следовательно, и ошибки вычислений. Более того алгоритм построения приближенной модели исследования позволит производить вычисления в распределенной компьютерной среде, что повышает эффективность алгоритма.

В качестве примеров систем с полилинейной правой частью рассматриваются две системы: система Лоренца [1] и экономическая модель H.A. Магницкого.

Система Лоренца описывает модель конвекции в плоском слое жидкости. Лоренц считал, что в этой системе имеется счетное всюду плотное множество седловых предельных циклов. Однако, насколько нам известно, строго существование циклов в системе Лоренца не доказано. При этом традиционные численные методы, используемые для интегрирования системы Лоренца (см., например, [2]), дают значительные систематические ошибки вследствие неустойчивости решений. В системе Лоренца имеет место ситуация типического поведения решений, задаваемых рекуррентными траекториями. Определение рекуррентной траектории, введенное Биркго-фом [3], не дает возможности численно ее построить. Однако, в последние 20 лет появились работы [4-10], в которых введено понятие обобщенно-периодического решения, описывающего рекуррентную траекторию. Теорема существования обобщенно-периодических решений позволяет получить численный метод их построения.

Экономическая модель H.A. Магницкого описывает движение капитала и спроса под воздействием норм прибыли в условиях саморазвивающейся рыночной среды. Существует гипотеза о наличии в данной системе сложных аттракторов.

В настоящее время отсутствуют примеры диссипативных систем в которых строго доказывается существование странных (хаотических, гиперболических и т.д.) аттракторов. Сказанное в полной мере относится и к системе Лоренца и к системе экономики H.A. Магницкого. Поэтому проблема разработки приближенной модели исследования динамических систем с полилинейной правой частью в символьном виде с заданной точностью в распределенной компьютерной среде является актуальной. Более того, существующие стандартные методы численного анализа дают большие систематические ошибки при построении решений подобных систем.

Целью работы является построение приближенной модели исследования динамических систем с полилинейной правой частью в символьном виде с заданной точностью в распределенной компьютерной среде; разработка численного метода, алгоритма и комплекса программ для построения приближенной модели и решений; исследование системы Лоренца и модели экономики H.A. Магницкого. Для достижения указанной цели поставлены следующие задачи:

1. Разработать модель исследования динамических систем с полилинейной правой частью в символьном виде.

2. Разработать численный метод и алгоритм символьного построения приближенной модели исследования динамических систем с полилинейной правой частью с заданной точностью.

3. Разработать комплекс программ, реализующий предложенный алгоритм построения приближенной модели исследования в распределенной компьютерной среде.

4. Исследовать структуру аттрактора в системе Лоренца.

5. Исследовать структуру системы экономики H.A. Магницкого.

Методы исследования. В работе использованы методы качественной теории дифференциальных уравнений, вычислительной математики и моделирования, теории алгоритмов, а также методы символьных вычислений и вычислений в распределенной компьютерной среде. Научная новизна:

1. Разработана модель исследования динамических систем с полилинейной правой частью, отличающаяся возможностью построения точного решения в символьном виде.

2. Разработан численный метод и алгоритм символьного построения приближенной модели исследования, отличающийся возможностью с любой заданной точностью получать решения динамических систем с полилинейной правой частью.

3. Разработан комплекс программ реализующий предложенный алгоритм построения приближенной модели исследования, отличающийся возможностью проводить вычисления в распределенной компьютерной среде.

4. Показано, что в аттракторе системы Лоренца не содержится счетного всюду плотного множества седловых предельных циклов.

5. Показано, что в системе экономики H.A. Магницкого отсутствуют сложные аттракторы.

Практическая значимость. Предложенные алгоритмы и комплекс программ позволяют строить приближенные модели исследования динамических систем с полилинейной правой частью в символьном виде с заданной точностью в распределенной компьютерной среде. Также предложенные алгоритмы могут быть использованы для построения приближенной модели исследования систем с правой частью в виде многомерного многочлена.

Апробация работы. Основные результаты докладывались на международных конференциях «Колмогоровские чтения. Общие проблемы управления» (Тамбов 2011 г.) и «Современные проблемы прикладной математики, теории управления и математического моделирования» (Воронеж 2011 г.), а также на XV научной конференции ТГТУ «Фундаментальные и прикладные исследования, инновационные технологии, профессиональное образование» (Тамбов 2010 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 печатных работ, из которых 2 в изданиях, рекомендуемых ВАК, и 2 свидетельства о государственной регистрации программы для ЭВМ.

Структура и объем работы. Материал диссертации изложен на 92 страницах машинописного текста. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения, содержит 19 рисунков и 2 таблицы. Список литературы состоит из 81 наименования.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Кириченко, Михаил Александрович

Заключение

В рамках настоящей диссертации получены следующие основные результаты:

1. Построена модель исследования динамических систем с полилинейной правой частью, позволяющая получать точные решения подобных систем в символьном виде.

2. Разработан численный метод и алгоритм построения приближенной модели исследования, позволяющий с любой заданной точностью получать решения динамических систем с полилинейной правой частью.

3. Разработан комплекс программ реализующий предложенный алгоритм построения приближенной модели исследования, позволяющий проводить вычисления в распределенной компьютерной среде.

4. Показано, что в аттракторе системы Лоренца не содержится счетного всюду плотного множества седловых предельных циклов.

5. Показано, что в системе экономики H.A. Магницкого отсутствуют сложные аттракторы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кириченко, Михаил Александрович, 2011 год

1. Детерминированное непериодическое течение / Э. Лоренц // Странные аттракторы. - М.: Мир, 1981. - С. 88-116.

2. Магницкий, H.A. Новые методы хаотической динамики / H.A. Магницкий, С.В. Сидоров. М.: Едиториал УРСС, 2004. - 320 с.

3. Биркгоф, Дж. Динамические системы / Дж. Биркгоф. М.-Л.: ОГИЗ, 1941. - 320 с.

4. Афанасьев, А.П. Устойчивость по Пуассону в динамических и непрерывных периодических системах / А.П. Афанасьев, С.М. Дзюба. М.: Изд-во ЛКИ, 2007. - 240 с.

5. Афанасьев, А.П. Периодические и близкие к ним решения дифференциальных уравнений / А.П. Афанасьев, С.М. Дзюба // Труды VIII Международной конференции «Идентификация систем и задачи управления» SICPRO'09. М.: ИПУ РАН, 26-30 января 2009 г. - С. 45-56.

6. Афанасьев, А.П. К вопросам управления в периодических процессах / А.П. Афанасьев, С.М. Дзюба // Известия РАН. Теория и системы управления. 1998. - №4. - С. 15-20.

7. Афанасьев, А.П. Квазипериодические процессы в задачах управления / А.П. Афанасьев, С.М. Дзюба // Известия РАН. Теория и системы управления. 2001. - №2. - С. 22-28.

8. Афанасьев, А.П. Периодический оператор сдвига и квазипериодические кривые / А.П. Афанасьев, С.М. Дзюба // Дифференциальные уравнения. 2004. - Т. 40, №10. - С. 1367-1372.

9. Афанасьев, А.П. Типическое поведение движений динамических и непрерывных периодических систем: новый взгляд на устойчивость по Пуассону / А.П. Афанасьев, С.М. Дзюба, А.П. Пьянов // Труды ИСА

10. РАН. Проблемы вычислений в распределенной среде: распределенные приложения, коммуникационные системы, математические модели и оптимизация. М.: КомКнига. - 2006. - Т. 25. - С. 147-164.

11. Дзюба, С.М. Об условно-периодических решениях дифференциальных уравнений /С.М. Дзюба // Дифференциальные уравнения. 1999. - Т. 35, №8. - С. 1020-1023.

12. Брукс, Т. Хаос в небе. Прогнозирование погоды / Т. Брукс // National Geographic. 2005. - №6. - С. 126-145.

13. Гилл, А. Динамика атмосферы и океана. Т. 2. / А. Гилл. М.: Мир, 1986. - 415 с.

14. Бакасов, A.A. Динамическая модель одномодового лазера. I. Режим устойчивой стационарной генерации / A.A. Бакасов // Теоретическая и математическая физика. 1991. - Т. 89, №2. - С. 278-292.

15. Безуглый, В.Ю. Численные методы теории конвективного тепломассообмена / В.Ю. Безуглый, Н.М. Беляев. Киев-Донецк: Вища школа, 1984. - 176 с.

16. Берковский, Б.М. Вычислительный эксперимент в конвекции / Б.М. Берковский, В.К. Полевиков. Минск: Университетское, 1988. - 167 с.

17. Джалурия, Й. Естественная конвекция: тепло- и массообмен / Й. Джа-лурия. М.: Мир, 1983. - 400 с.

18. Гершуни, Г.З. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости / Г.З. Гершуни, Е.М. Жуховицкий. М.: Наука, 1972. - 392 с.

19. Ландау, Л.Д. Теоретическая физика. Т. VI. Гидродинамика / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. М.: Наука, 1986. - 736 с.

20. Канторович, A.B. Приближенные методы высшего анализа / A.B. Канторович, В.И. Крылов. M.-JL: Физматгиз, 1962. - 708 с.

21. Берже, П. Порядок в хаосе. О детерминистском подходе к турбулентности / П. Берже, И. Помо, К. Видаль. М.: Мир, 1991. - 368 с.

22. Saltzman, В. Finite amplitude free convection as an initial value problem / B. Saltzman // Journal of the atmospheric science. 1962. - №7. - P. 329-341.

23. Кутателадзе, С.С. Анализ подобия в теплофизике / С.С. Кутателадзе.- Новосибирск: Наука, 1982. 280 с.

24. Роуч, П. Вычислительная гидродинамика / П. Роуч. М.: Мир, 1980. -616 с.

25. Гукенхеймер, Дж. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей / Дж. Гукенхеймер, Ф. Холмс. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. - 560 с.

26. Монин, A.C. Гидродинамическая неустойчивость / A.C. Монин // Успехи физических наук. 1986. - Т. 150, вып. 1. - С. 61-105.

27. Магницкий H.A. Математическая модель саморазвивающейся рыночной экономики / H.A. Магницкий // Труды ВНИИСИ, 1991. с. 16-22.

28. Магницкий H.A. Распределенная модель саморазвивающейся рыночной экономики / H.A. Магницкий, C.B. Сидоров // Сб. Нелинейная динамика и управление. Вып. 2: под ред. C.B. Емельянова, С.К. Коровина.- М.: Физматлит, 2002. с.243-262.

29. Петров, A.A. Опыт математического моделирования экономики / A.A. Петров, И.Г. Поспелов, A.A. Шананин. М.: Энергоатомиздат, 1996. -554 с.

30. Петров, А. А. Об экономике языком математики / A.A. Петров. М.: ФАЗИС, 2003. - 112 с.

31. Хартман, Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Ф. Харт-ман. М. Мир, 1970. - 720 с.

32. Демидович, Б.П. Лекции по математической теории устойчивости / Б.П. Демидович. М.: Наука, 1967. - 472 с.

33. Красносельский, М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений / М.А. Красносельский. М.: Наука, 1966. - 332 с.

34. Browder, F.E. On a generalization of the Schauder fixed point theorem / F.E. Browder // Duke Math. 1959. - J. 26. - P. 291-303.

35. Рейсинг, P. Качественнаая теория нелинейных дифференциальных уравнений / Р. Рейсинг, Г. Сансоне, Р. Конти. М.: Наука, 1974. - 320 с.

36. Massera, J.L. The existence of periodic solutions of systems of differential equations / J.L. Massera // Duke Math. 1950. - J. 17. - P. 457-475.

37. Эрроусмит, Д. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Качественная теория с приложениями / Д. Эрроусмит, К. Плейс. М.: Мир, 1986. - 243 с.

38. Колмогоров, А.Н. О сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона /А.Н. Колмогоров // Доклады АН СССР. 1954. - Т. 35, №4. - С. 527-530.

39. Бор, Г. Почти периодические функции / Г. Бор. М.-Л.: Гостехиздат, 1934. - 128 с.

40. Массера, X. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства / X. Массера, X. Шеффер. М.: Мир, 1970. - 456 с.

41. Камке, Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям / Э. Камке. М.: Наука, 1971. - 576 с.

42. Матвеев, Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений / Н.М. Матвеев. М.: Высшая школа, 1967. - 564 с.

43. Демидович, Б.П. Основы вычислительной математики / Б.П. Демидо-вич, И.А. Марон. СПб.: Изд-во «Лань», 2006. - 672 с.

44. Калиткин, H.H. Численные методы / H.H. Калиткин. М.: Наука, 1978. - 512 с.

45. Бахвалов, Н.С. Численные методы / Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельников. М.: Бином. Лаборатория знаний, 2004. - 636 с.

46. Самарский, A.A. Численные методы / A.A. Самарский, A.B. Гулин. -М.: Наука, 1989. 432 с.

47. Немыцкий, В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений / В.В. Немыцкий, В.В. Степанов. М.: Едиториал УРСС, 2004. - 552 с.

48. Шварц, Л. Анализ Т. 2. / Л. Шварц. М. Мир, 1972. - 534 с.

49. Сансоне, Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Том I / Дж. Сансоне. М.: Изд-во ИЛ, 1953. - 346 с.

50. Фихтенгольц, Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, том II / Г.М. Фихтенгольц. М.: Наука, 1966. - 800 с.

51. Курант, Р. Курс дифференциального и интегрального исчисления, том I / Р. Курант. М.: Наука, 1967. - 704 с,

52. Кириченко, М.А. О построении решений одного класса автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений / М.А. Кириченко,

53. H.A. Рубанов // Вестник Тамбовского университета. Сер. Естественных и технические науки. Тамбов, 2011. - Т. 16. - Вып. 4. - С. 1095-1099

54. Кириченко, М.А. Построение оператора сдвига вдоль решений дифференциальных уравнений с использованием символьных вычислений /

55. M.А. Кириченко // Системы управленя и информационные технологии. 2010. - №4(42) - С. 23-26

56. Немнюгин, С.А. Параллельное программирование для многопроцессорных вычислительных систем / С.А. Немнюгин, O.JI. Стесик. СПб.: БХВ-Петербург, 2002. - 400 с.

57. MPICH2: High-performance and Widely Portable MPI Электронный ресурс. Электрон. дан. - Режим доступа: http://www.mcs.anl.gov/research/projects/mpich2/, свободный. - Загл. с экрана.

58. Васвани, В. Полный справочник по MySQL / В. Васвани. М.: Вильяме, 2006. - 528 с.

59. Русскоязычный сайт поддержки базы данных MySQL Электронный ресурс. Электрон, дан. - Режим доступа: http://www.mysql.ru/, свободный. - Загл. с экрана.

60. Зеленков, Ю.А. Введение в базы данных Электронный реСУРС. / Ю.А. Зеленков. Электрон, дан. - Режим доступа: http : / /www. mstu.edu. ru/education/materials/zelenkov/toe. html, свободный. - Загл. с экрана.

61. Ильина, В.А. Система аналитических вычислений Maxima для физиков-теоретиков / В.А. Ильина, П.К. Силаев. М.: Изд-во РХД, 2009. - 140 с.

62. Maxima, a Computer Algebra System Электронный ресурс. Электрон, дан. - Режим доступа: http://maxima.sourceforge.net/, свободный. - Загл. с экрана.

63. Maxima Manual (chm) Электронный ресурс. Электрон, дан. - Режим доступа: http://cluster.tstu.ru/tiki-downloadfile.php?fileld=20, свободный. - Загл. с экрана.

64. Вычислительный кластер ТамГТУ Электронный ресурс. Электрон, дан. - Режим доступа: http://cluster.tstu.ru/, свободный. - Загл. с экрана.

65. Дзюба, С.М. Формирование высокопроизводительного вычислительного учебно-научно-производственного комплекса в Тамбовском ГТУ / С.М. Дзюба, В.Е. Подольский, А.Ф. Писецкий, В.И. Сергеев // Вестник ТГТУ. 2008. - Т. 14, т. - С. 454-468.

66. Лекция: Типы переменных. Целые и вещественные переменные, представление целых и вещественных чисел в компьютере Электронный ресурс. Электрон, дан. - Режим доступа: http://www.intuit.ru/departmeiit/se/pbmsu/2/2.html, свободный. Загл. с экрана.

67. Косарев, И. Полный справочник по языку Си / И. Косарев Электронный ресурс. Электрон, дан. - Режим доступа: http://subscribe.ru/archive/comp.soft.prog.9899/200404/28151235.html, свободный. - Загл. с экрана.

68. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ. -№2010612981 от 01.05.2010. Символьное построение оператора сдвига по траекториям дифференциальных уравнений в распределенной компьютерной среде / М.А. Кириченко, А.Н. Пчелинцев

69. Rubenfeld, L.A. Nonlinear dynamic theory for a double-diffusive convection model / L.A. Rubenfeld, W.L. Siegman // SIAM J. Appl. Math. 1977. -№32. - P. 871.

70. Tucker, W. A rigorous ODE Solver and Smale's 14th problem / W. Tucker // Foundations of Computational Mathematics. 2002. - Vol. 2. - P. 53-117.

71. Баутин, H.H. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости / Н.Н. Баутин, Е.А. Леонтович. М.: Наука, 1990. - 488 с.

72. Понтрягин, Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Л.С. Понтрягин. М.: Наука, 1974. - 332 с.

73. Барбашин, Е.А. О существовании функции Ляпунова в случае асимптотической устойчивости в целом / Е.А. Барбашин, Н.Н. Красовский // Прикладная математика и механика. 1954. - Т. 18, вып. 3. - С. 345-350.

74. Афраймович B.C. О возникновении и структуре аттрактора Лоренца / B.C. Афраймович, В.В, Быков, Л.П. Шильников // Доклад АН СССР. 1977. - Т. 234. №-2. - С. 336-339.

75. Уонг, X. Основные формулы и данные по теплообмену для инженеров / X. Уонг. М.: Атомиздат, 1979. - 216 с.

76. Титчмарш, Е. Теория функций / Е. Титчмарш. М.: Наука, 1980. - 464 с.

77. Петров, А. А. Математические модели экономики России / А. А. Петров, И. Г. Поспелов // Вестник Российской академии наук, 2009. Т. 79, № 6.