Численные методы построения обобщенно-периодических решений дифференциальных уравнений при моделировании динамических процессов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Пчелинцев, Александр Николаевич

• Пчелинцев, Александр Николаевич
• кандидат наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат наук Пчелинцев, Александр Николаевич

Оглавление

Введение

1 Модель свободной конвекции в плоском слое жидкости и численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

§1 Задача о свободной конвекции в плоском слое жидкости

§2 Модель Лоренца

§3 Классификация периодических и близких к ним решений систем дифференциальных уравнений

§4 Численные методы построения решений обыкновенных дифференциальных уравнений

§5 Постановка задачи исследования

2 Обобщенно-периодические решения дифференциальных уравнений

§1 Обобщенно-периодические решения автономных и неавтономных систем дифференциальных уравнений

§2 Устойчивость по Пуассону в динамических и непрерывных

периодических системах

§3 Символьные вычисления в распределенной компьютерной

среде

§4 Построение обобщенно-периодических решений систем дифференциальных уравнений

3 Некоторые приложения

§1 Система Лоренца

§2 Динамическая система типа Маркова

Заключение

96

Литература Приложение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численные методы построения обобщенно-периодических решений дифференциальных уравнений при моделировании динамических процессов»

Введение

Актуальность темы. В настоящее время в различных областях естествознания (например, в гидродинамике) часто возникают потребности исследования нелинейных динамических систем. Одной из первых работ в этом направлении была статья [1] Э. Лоренца, в которой обсуждались результаты вычислительного эксперимента для нелинейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений третьего порядка, моделирующей динамику жидкости при свободной конвекции в плоском слое. Лоренц считал, что в этой системе имеется счетное всюду плотное множество седловых предельных циклов. Однако, насколько нам известно, строго существование циклов в системе Лоренца не доказано. Более того, численные методы, которые используются в современной литературе для интегрирования системы Лоренца (см., например, [2]), дают значительные систематические ошибки вследствие неустойчивости решений. Позже Д.В. Аносов [3] ввел в рассмотрение У-систему, дающую, в частности, модель динамики жидкости в замкнутом сосуде с мешалкой. Во всех этих системах имеет место ситуация типического поведения решений, задаваемых рекуррентными траекториями. Определение такой траектории, введенное Биркгофом [4], не дает возможности численно ее построить. Однако, в последние 20 лет появились работы [5-11], в которых введено понятие обобщенно-периодического решения, описывающего рекуррентную траекторию. Теорема существования таких решений позволяет получить численный метод их построения. Отыскать же обобщенно-периодические решения с помощью стандартных средств вычислительной математики не представляется возможным. Поэтому проблема разработки эффективных численных методов построения обобщенно-периодических решений обыкновенных дифференциальных уравнений является актуальной. В данном случае под эффективностью численного метода будем понимать получение решения нормальной системы обыкновенных дифференциальных уравне-

ний с систематической ошибкой, меньшей, чем заданный радиус окрестности начальной точки, уменьшив при этом объем вычислений.

Целью работы является разработка эффективных численных методов и алгоритмов отыскания обобщенно-периодических решений нормальных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с использованием символьных вычислений в распределенной компьютерной среде, а также комплексов программ для их построения. Для достижения указанной цели поставлены следующие задачи:

1. Разработать численный метод и алгоритмы отыскания обобщенно-периодических решений систем дифференциальных уравнений;

2. Получить эффективный численный метод построения дискретных динамических систем вдоль решений дифференциальных уравнений, позволяющий осуществить поиск среди них обобщенно-периодических решений, на основе символьных вычислений в распределенной компьютерной среде;

3. Провести вычислительные эксперименты на модели Лоренца, а также разработать численный метод построения обобщенно-периодических решений динамической системы типа Маркова, отличных от почти периодических решений.

Методы исследования. В работе использованы методы качественной теории дифференциальных уравнений, вычислительной математики и моделирования, теории алгоритмов, а также методы вычислений в распределенной компьютерной среде. Научная новизна:

1. Разработан эффективный численный метод и алгоритмы построения обобщенно-периодических решений нормальных систем обыкновенных дифференциальных уравнений общего вида в распределенной компьютерной среде с использованием символьных вычислений;

2. Получен метод отыскания решений систем с полиномиальной правой частью. Предложены критерии оценки общего члена степенного ря-

да, позволяющие повысить эффективность используемого численного метода;

3. Разработан численный метод построения обобщенно-периодических решений динамической системы типа Маркова. При этом сведено к минимуму накопление по времени систематической ошибки получаемого решения.

Практическая значимость. Предложенные алгоритмы и комплекс программ позволяют получить приближенные обобщенно-периодические решения нормальных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с заданной точностью, а также построить проекции дуг их траекторий и найти поля температур и скоростей для плоского слоя жидкости.

Апробация работы. Основные результаты докладывались на международных конференциях «Колмогоровские чтения. Общие проблемы управления и их приложения. Проблемы преподавания математики» (2007 г.) и «Актуальные проблемы информатики и информационных технологий» (2008 г.), а также на научной конференции ТГТУ «Фундаментальные и прикладные исследования, инновационные технологии, профессиональное образование» (2008 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 печатных работ, из которых 2 в издании, рекомендуемом ВАК, и 3 свидетельства о государственной регистрации программы для ЭВМ.

Структура и объем работы. Материал диссертации изложен на 108 страницах машинописного текста. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения, содержит 22 рисунка и 2 таблицы. Список литературы состоит из 92 наименований.

1. Модель свободной конвекции в плоском слое

жидкости и численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

Чтобы проиллюстрировать на конкретном примере - системе Лоренца - алгоритмы и численные методы, описанные во второй и третьей главах, рассмотрим модель динамики реальной системы, приводящей к системе Лоренца. Это задача о свободной конвекции в слое жидкости.

Первый параграф данной главы посвящен постановке задачи о конвекции в плоском слое жидкости. Впервые такая задача возникла при описании процессов, происходящих в атмосфере, и была опубликована в работе [1] Э. Лоренца. В приближении она может быть сведена к исследованию нелинейной системы трех обыкновенных дифференциальных уравнений, называемой системой (или моделью) Лоренца. Оказалось, что эта система описывает не только свободную конвекцию в слое жидкости, но и является моделью одномодевого лазера. Во втором параграфе описывается вывод системы Лоренца из исходной постановки задачи с использованием метода Бубнова-Галеркина.

§1. Задача о свободной конвекции в плоском слое жидкости

Прогноз погоды составляется на основе данных о состоянии атмосферы к определенному моменту времени [12]. На их основе с помощью компьютера получают краткосрочный прогноз, который не полностью отражает реальные данные, а он, в свою очередь, используется для составления среднесрочного прогноза - еще менее точного. Ошибки традиционных численных методов, используемых для расчета прогноза, очень часто перерастают в принципиальные из-за неустойчивости движения воздушных потоков [13]. В 1963 году Э. Лоренц, метеоролог из Массачусетского технологического института, использовал свою модель для объяснения процес-

сов, происходящих в атмосфере. Согласно этой модели самые незначительные изменения как исходных, так и промежуточных данных, получаемых в расчете, могут через некоторое время приводить к значительным ошибкам при составлении прогноза погоды.

В динамике жидкостей перенос массы движущимся потоком и молекулярной диффузией описывается нелинейным дифференциальным уравнением Навье-Стокса, которое определяет связь между скоростью, давлением, плотностью и вязкостью жидкости. Три уравнения Лоренца, полученные из системы уравнений Навье-Стокса, неразрывности и переноса тепла, описывают такое явление, как естественная конвекция в подогреваемом снизу слое жидкости.

Перечислим процессы, для описания которых может быть использована модель Лоренца:

1. При составлении прогноза погоды [1];

2. В гидропонных установках при расчете климатических условий внутри помещения;

3. При проектировании воздушной теплоизоляции между крышей и перекрытием верхних этажей зданий;

4. Динамическая модель одномодового лазера (процесс накачки, то есть когда атомы переходят с нижнего энергетического уровня на верхний), включающая в себя систему Лоренца, записанную в безразмерном виде [14,15].

Заметим, что значительные систематические ошибки численных методов, применяемых для отыскания решений системы Лоренца, вследствие неустойчивости могут привести к результату, который не соответствует физике процесса. Численный метод, используемый в третьей главе для построения решений системы Лоренца, позволяет снизить систематическую ошибку и объем вычислений.

Обратимся теперь к постановке задачи о конвекции в плоском снизу слое жидкости, ведущей к модели Лоренца.

Рассмотрим горизонтальный слой несжимаемой жидкости высоты h, находящийся в поле тяжести. Пусть на верхней границе поддерживается постоянная температура То, а на нижней границе - температура То + Т, где Т = const - положительная величина (рис. 1.1). Наличие разности

Рис. 1.1. Конфигурация течения, возникающего при свободной конвекции в плоском слое жидкости.

температур вызывает свободное конвекционное течение в жидкости.

В исходной постановке задачи мы имеем дело с распределениями температуры Т(х,у, г, г), скорости (векторной функции)

у{х,у,г,т) = [ух,уу,уг],

плотности р(х, у, г) и давления р(х, у, г, г). Изменение этих полей во времени описывается системой уравнений в частных производных (см. [16, с. 32, 70, 78])

(ду \

£ + (?7УШ = -V? + Г]М+ (х + I) ^(Уг;) + рд,

^ + У(рг?) = 0, (1.1)

дТ ~ /АЛ

где

ду ду ду

Ау = \/гухг + Чгууз + Чгугк,

о д2 д2 д2

V2 = + ^ +

дх2 ду2 дг2' дР-

У-Р = "тг—2 + -тг~7 + _ скалярная функция,

ох ду ог

- аФт аФ„ <9Ф. -

УФ = -7— + + Ф - векторная функция, ох ду дг

—* —* —*

г, у, к - орты прямоугольной системы координат, член д обусловлен присутствием силы тяжести, р - плотность жидкости, Г) - динамическая вязкость жидкости, х ~ объемная вязкость жидкости, Л - коэффициент теплопроводности жидкости, с - удельная теплоемкость жидкости. Здесь мы предполагаем, что коэффициенты 77, х, ^ и с не зависят от изменения температуры во всем объеме жидкости. Что же касается плотности р, то ее зависимостью от температуры пренебрегать нельзя, так как именно она отвечает за возникновение конвективного движения в жидкости в поле тяжести. Поэтому к уравнениям системы (1.1) добавляется уравнение состояния р = р(Т).

Сделаем следующие допущения. Во-первых, ограничимся двумерной задачей: будем считать систему протяженной вдоль оси 2, перпендикулярной к плоскости рисунка 1.1, и все переменные величины не зависящими от г. Во-вторых, предположим, что температура Т в жидкости мало отклоняется от значения То. Тогда уравнение состояния можно линеаризовать, оставляя лишь член первого порядка малости в разложении функции р(Т) в ряд Тейлора в окрестности значения То:

р = Ро[1-1(Т- То)], (1.2)

где ро = р(То) и коэффициент

1 йр{1о)

7 Ро йТ

является коэффициентом объемного расширения жидкости. В-третьих, используем так называемое приближение Обербека-Буссинеска [16-20]. Главная идея этого приближения заключается в том, что зависимость плот-

ности от температуры (1.2) учитывается лишь в члене с объемной силой тяжести рд, в остальных случаях полагают р = ро- Пусть

Т = Т0 + Т-^у + в(х,у,т),

где 9(х, г) - отклонение температуры от линейного профиля, V = 7]/р0 и а = А/(с/>о) - постоянные коэффициенты кинематической вязкости и температуропроводности соответственно, значения которых соответствуют табличным для Т = То.

При данных допущениях система уравнений (1.1) с учетом д = —ду (,д - величина ускорения свободного падения) примет вид

1 др (д2ух д2ух\

----(- у —— Н--I

ро дх \ дх2

дух дт дух дх дух + УУ я = У ду

д Уу дт дУу \ 11 ■ 1 иХ о дх дуу + УУ я = ду

1 др --7Г + и Роду дух ,

'у

+

д\\ (1.3)

ду2 ) '

+ ^ = 0,

дх ду

дв_ + д(0ух) + д{вуу) _ти =а + <т

дт дх ду К у \дх2 ду2) '

На верхний и нижний края слоя наложим граничные условия, выражающие постоянство температуры и отсутствие потока жидкости через границу:

0(х, 0, г) = 9{х, И, т) = 0, уу(х, 0, г) = уу{х, Н, т) = 0. (1.4)

Исключим из системы (1.3) поле давлений, для чего продифференцируем первое уравнение по у, а второе - по ж, и вычтем одно из другого. При этом используем третье уравнение системы (1.3). В результате система

уравнении принимает вид

д (dvx dv„ \ d2vu d2v„ d2vx d2vr ' - + - vx~—--V.

(1.5)

дт \ду dx J x dx2 !! dxdy x дхду y dy2

dO f d3vx d3vx d3vy d3vy\

^^dx V \дх2ду dy3 дхду2 dx3 J '

dvx dvv —- + —~ = 0, dx dy

дв d{0vx) d(9vy) _T _ (d20 d26\ dt+ dx + dy hVy ~ a \dx2 + dy2J '

§2. Модель Лоренца

Получим приближенное описание, в рамках которого можно будет работать с конечномерной динамической системой.

Представим искомые поля в виде разложения в ряды по некоторой полной системе базисных функций. После этого предметом исследования станет зависимость от времени коэффициентов разложения. Такой подход известен как метод Бубнова-Галеркина [21]. Будем строить разложение по базису тригонометрических функций вида

sin max sin п(3у,

sin max cos nPy, (1.6)

cos max sin п/Зу,

где a = ir/l, ¡3 = 7г//г, m, n - целые.

Примем как известный из экспериментов Бенара и теоретического объяснения Релея (см. [22, с. 101, 102]) факт наличия конвекции в виде валов (рис. 1.1 и рис. 1.2, значение I составляет величину порядка К). Тогда граничное условие для vx запишется в виде

vx{Q,y,T) = vx{l1y,r) = 0. (1.7)

Взяв одну ячейку, расположенную в области 0<x<l,0<y<h, можно считать течение периодически продолжаемым, как на рис. 1.3. В таком течении температура должна быть четной функцией по х и нечетной

функцией по у, то есть мы должны положить

00 00

6(х,у,т) = у: у; Vmn{r) cos max xmnpy. (1.8)

m=0 n=l

Заметим, что представление (1.8) удовлетворяет граничным условиям (1.4).

•л

• «г . с

LS

•• ■ S

» ■ *,,

, í fe д fc-

it "'-V

f • «А'

- : I

Рис. 1.2. Конвективная структура упорядоченных валов (вид сверху). Конвекция создана в слое силиконового масла толщиной 2.5 мм с размерами пластин 98x60 мм. Верхняя пластина прозрачна, а в качестве нижней взята полированная медь (как поверхность, отражающая свет). Конвективные валы здесь визуализированы за счет преломления света [22, с. 104].

Начальные условия для vx, vy и 0 будем считать периодическими функциями по х и у:

vx{x, у, 0) = —XqP sin ах cos (Зу, vy(x,y,0) = Xottcosaa; sin/??/, (1.9)

6(x, y, 0) = Yo eos ax sin fiy — Zq sin 2(3y,

где Xo, lo и Zq задаются.

Чтобы записать соотношения для компонент скорости, заметим, что из условия

dVx | dVy = О дх ду

следует, что vx и vy должны выражаться через производные от одной и той же функции ф(х,у,т), называемой функцией тока [16, с. 84, 85]. Как видно из рис. 1.3, функция vx должна быть нечетной по ж и четной по у, а функция Vy - наоборот, четной по х и нечетной по у. Эти условия будут выполнены, если функцию тока представить в виде

00 оо

ф{х,у,т) = sin max sin пру.

771=1 П= 1

Тогда для компонент скорости имеем

Рис. 1.3. К выбору структуры разложения решения в ряд по базисным функциям.

оо оо

sin max cos nfiy,

Г'оГ (1-ю)

уу(х,у,т) — ^^rnaf/mn(r) cos max' sin n/3y.

m—1n=1

Заметим, что для выражений vx и vy также выполняются граничные условия (1.4) и (1.7).

Далее, можно подставить выражения (1.8) и (1.10) в уравнения (1.5) и, используя соотношения ортогональности для базисных функций (см., например, [19, с. 28-31]), получить бесконечную систему уравнений для

коэффициентов Umn и Vmn. Работать с бесконечной системой не представляется возможным, поэтому ряды нужно усечь.

Модель Лоренца получается, если считать существенными и отличными от нуля члены £/ц, Уц, Vq2, их удобно обозначить, соответственно, через X, Y и Z. Такое усечение рядов оправдано, так как Сольцмен в работе [23] показал отсутствие каких-либо особенностей в поведении остальных гармоник. Итак, мы полагаем

vx(x,y,r) = —Х(т) jdsinax cos (Зу, Vy(x,y,r) = X (т) a cos ax sm fiy, (1-H)

9{x, y, t) = Y{r) cos ax sin¡3y — Z(r) sin 2j3y.

Заметим, что эти формулы удовлетворяют начальным условиям (1.9).

Подставим выражения (1.11) в первое уравнение системы (1.5). В полученном соотношении все возникающие комбинации синусов и косинусов нужно привести с помощью формул двойного угла к суммам членов вида (1.6), а затем отбросить члены, отличные по структуре от единственной присутствующей в левой части комбинации вида sin max sin п$у. Приравнивая коэффициенты в левой и правой части, получаем

X = - "(<*2 + Р2)х- (1-12)

а* + p¿

С третьим уравнением системы (1.5) поступаем аналогично. Разница, однако, в том, что в левой части теперь присутствуют две комбинации вида cos max sin nfiy и sin 2¡3y. Приравнивая коэффициенты перед членами такого вида в левой и правой частях, получаем два уравнения

(уТ

Y = —X - а(а2 + 0¿)Y - apXZ,

ав (L13)

Z = ^XY - AaP2Z.

2

Итак, мы нашли нормальную систему трех обыкновенных дифференциальных уравнений. Чтобы с ней было удобно работать, приведем уравнения к безразмерному виду посредством некоторой замены переменных и параметров [24,25]. Подставим в (1.12) и (1.13) г = Dt, Х(т) = Ax\{t/D), Y(t) = Bx2{t/D) и Z{r) = Cx3(t/D), где A, B,C,D- постоянные. Тогда

получаем

с*7 д ВО т^/2

= 2 1т л °°2 ~ + $

аг + Л

скТАО _ . 2 АС И 0 (Л ы\

х2 = - Ва(а + Р )х2--—архххъ, (1-14)

АВВ _2п

хз = а(3х 1Х2 - 4а/г£>ж3.

Подберем коэффициенты так, чтобы вид уравнений максимально упростился. Положим

1 с*7 д ВИ и

= а(а2 4- р2)' а2 + /?2 Л = а'

= ~2сГ = 1'

откуда можно найти

У2а(а2+Р2) У2аи(а2+РУ В Л — -Ъ-> в = --» ^ = ~7=- I1-15)

Кроме того, введем безразмерные параметры

_ I/ _ а2^дТ _ 4/?2 а~а,Г~ аиН{а2 + /?2)3' ~ а2 + /?2' ( }

Тогда уравнения (1.14) принимают вид

±1 = ст(#2 - Ж1),

¿2 = ПСх — »2 — Х1Х3, хз = х'хЖг — 6х'3.

Это и есть модель Лоренца (см. [1,26,27]). Она представляет собой динамическую систему с трехмерным фазовым пространством. Заметим, что функция £].(£) характеризует скорость вращения конвекционных валов, функции Х2^) и яз(£) отвечают за распределение температуры.

§3. Классификация периодических и близких к ним решений систем дифференциальных уравнений

Проблема численного построения периодических решений в настоящее время пока не решена. Последнее объясняется тем, что даже если

выполняется какая-либо теорема существования периодических решений, отыскать их не представляется возможным, так как используемые на сегодняшний день численные методы имеют накапливающуюся систематическую ошибку. Отыскивать же периодические решения без выполнения теорем существования представляется необоснованным. Настоящий параграф посвящен рассмотрению таких теорем, а также классификации решений, близких к периодическим.

Классические теоремы существования периодических решений систем дифференциальных уравнений

Рассмотрим нормальную систему обыкновенных дифференциальных уравнений, векторная запись которой имеет вид <

¿ = /(i, я), (1-17)

где х = colon (xi,..., хп) - векторная функция действительного переменного i, а / — colon (/1,..., fn) - векторная функция, определенная и непрерывная вместе со своими частными производными

dfi

dxj

, i,j = 1 ,п,

на прямом произведении КхЕ действительной оси К и некоторого открытого подмножества Е евклидова векторного пространства Мп. Кроме того, будем считать, что функция / периодична по £ с периодом, равным Т.

Вопрос о существовании у системы (1.17) периодических решений весьма важен как для собственно теории дифференциальных уравнений, так и для ее приложений. Подавляющее большинство теорем существования периодических решений так или иначе опираются на различные теоремы о неподвижной точке оператора сдвига (см., например, [28,29]). Особняком здесь стоят три теоремы, принадлежащие Х.Л. Массера (см. [28,30,31]). Рассмотрим их подробно.

Утверждение первой теоремы Массера относится к случаю, когда порядок п системы (1.17) равен единице, и почти очевидно: если система (1.17) имеет ограниченное решение £(£), то она также имеет и периодическое решение <р{Ь) периода Т.

Вторая теорема Массера совсем не тривиальна. Пусть порядок п системы (1.17) равен двум и каждое решение £(t) этой системы определено для всех значений t > i0- Тогда, если система (1.17) имеет некоторое решение, ограниченное при этих значениях то данная система имеет также и периодическое решение сp(t) периода Т.

Третья теорема Массера представляет собой обобщение первых двух теорем на случай систем произвольного порядка, правда, только линейных. Заметим, что некоторый аналог теоремы Массера справедлив и для линейных дифференциальных уравнений в банаховых пространствах [32, с. 221].

Если правая часть системы (1.17) не зависит от то есть в рассмотрение введена автономная система вида

х = д(х), (1.18)

то здесь при п — 2 имеет место

Теорема2.1 (Пуанкаре-Бендиксон, см. [5,30,33]). Пусть ip(t) - некоторое решение системы (1.18), определенное для всех t 6 1 и ограниченное при t>tQ, и пусть Q является oj-предельным множеством решения сp(t). Тогда, если мноэюество не содержит положений равновесия, то оно состоит из одной замкнутой траектории К. При этом возможны два взаимоисключающих случая:

1. ip{t) - периодическое решение и К - описываемая им траектория;

2. Траектория, описываемая решением <p(t), при t —> -Ьоо наматывается на траекторию К как спираль.

Заметим, что приведенные выше теоремы выражают необходимые и достаточные условия существования периодических решений систем дифференциальных уравнений второго порядка. Известны также теоремы, выражающие достаточные условия существования периодических решений нелинейных систем произвольного порядка. Так, например, в книге [28] М.А. Красносельского изложен метод направляющих функций доказательства существования у систем обыкновенных дифференциальных уравнений периодических и ограниченных решений. Доказательство существо-

вания периодических решений основано на топологических соображениях и использует тот фундаментальный факт, что периодические решения полностью определяются неподвижными точками оператора сдвига по траекториям системы. Теоремы существования периодических и ограниченных решений формулируются при применении метода направляющих функций в терминах существования функций, удовлетворяющих специальным неравенствам.

Однако, теоремы Массера и Пуанкаре-Бендиксона не верны в произвольном нелинейном случае, то есть не следует думать, что ограниченность влечет существование периодических решений. Примером здесь является иррациональная обмотка тора. Также известен [5, с. 70-74] пример системы дифференциальных уравнений третьего порядка, где все решения ограничены, и среди них нет ни одного периодического решения с периодом, равным периоду правой части системы. Однако, в работах [5-11] показано, что из существования у систем (1.17) и (1.18) ограниченного решения следует существование так называемого обобщенно-периодического решения, частным случаем которого является периодическое решение, то есть обобщенно-периодические решения определяют ситуацию типического поведения решений системы дифференциальных уравнений произвольного порядка. В следующей главе будет точно дано определение обобщенно-периодического решения.

Важным дополнением предыдущих теорем явилось введение понятия минимального множества и теорема Дж. Биркгофа о том, что замыкание каждой рекуррентной траектории есть минимальное множество и обратно (см., например, [4]).

Периодические и близкие к ним решения

Теперь рассмотрим наиболее важные виды периодических и близких к ним решений систем (1.17) и (1.18). Согласно [6], в силу результатов, приведенных в работе [5], наиболее полной представляется следующая классификация:

1. Периодические решения первого рода системы (1.17);

2. Периодические решения второго рода системы (1.17);

3. Периодические решения системы (1.18) фиксированного периода;

4. Периодические решения системы (1.18) произвольного периода;

5. Условно-периодические решения системы (1.18);

6. Почти периодические решения систем (1.17) и (1.18);

7. Устойчивые по Пуассону решения системы (1.18);

8. Решения системы (1.18), траектории которых рекуррентны;

9. Обобщенно-периодические решения систем (1.17) и (1.18).

Понятия периодического решения первого и второго рода относятся исключительно к неавтономным системам. Именно, говорят, что </?(£) - решение первого рода, если его период равен периоду правой части системы (1.17). В противном случае (p(t) - решение второго рода.

Что касается автономных систем, то здесь правая часть периодична с любым периодом Т. Поэтому приходится различать периодические решения некоторого фиксированного периода Т и периодические решения произвольного периода. В первом случае речь идет о циклах - замкнутых траекториях, описываемых периодическими решениями, во втором - о положениях равновесия системы (1.18).

Наиболее близкими к периодическим являются условно-периодические и почти периодические решения.

Условно-периодическое решение представляет собой объект, порожденный иррациональной обмоткой тора. Именно, говорят, что (p(t) -условно-периодическое решение, если траектория, описываемая им, всюду плотна на торе и ее замыкание является компактным минимальным множеством (см., например, [34]).

Почти периодические решения содержат в себе все упомянутые выше периодические. Встречаются они достаточно часто и у систем вида (1.17), и у систем вида (1.18). Так, например, хорошо известно, что каждое решение линейной системы

X = A{t)x + 6(i),

ограниченное на всей оси К, является почти периодическим (см., например [32, с. 400]). В автономном случае почти периодическое решение представляет собой хорошо изученный классический объект общей теории динамических систем. При этом следует иметь помнить, что в отличие от условно-периодических движений существуют почти периодические движения, траектории которых нигде не плотны, например, на соленоиде Ви-ториса и Ван-Данцига (см., например, [5, с. 169-172]).

§4. Численные методы построения решений обыкновенных

дифференциальных уравнений

Поскольку говорить о построении периодических и близких к ним решений систем дифференциальных уравнений в явном виде не приходится, необходимо рассмотреть численные методы отыскания решений таких систем, что и описывается в данном параграфе; выявлены недостатки численных методов, применяемых на сегодняшний день для анализа поведения траекторий систем дифференциальных уравнений. Оказалось, что такие методы не пригодны из-за накопления значительной систематической ошибки (даже и для построения периодических решений), так как траектории многих систем дифференциальных уравнений (например, системы Лоренца при классических значениях ее параметров а = 10, г = 28 и Ь — 8/3, соответствующих турбулентному течению жидкости) разбегаются.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Пчелинцев, Александр Николаевич

Заключение

В рамках настоящей диссертации получены следующие основные результаты:

1. Разработаны алгоритмы и комплекс программ, в котором реализован эффективный численный метод отыскания приближенного решения задачи Коши для построения дискретных динамических систем вдоль решений нормальных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Эти программы также позволяют осуществить поиск обобщенно-периодических решений дифференциальных уравнений в распределенной компьютерной среде с использованием символьных вычислений, а также графическое построение проекций дуг траекторий, описывающих такие решения.

2. Проведены вычислительные эксперименты по исследованию динамической системы Лоренца, описывающей поля температур и скоростей в плоском слое жидкости. В вычислительных экспериментах в системе Лоренца не были обнаружены периодические решения, найден только возврат в ^-окрестность начальной точки траектории.

3. Получены критерии оценки общего члена степенного ряда, позволяющие сократить объем символьных вычислений для расчета коэффициентов степенного ряда за счет того, что на каждом шаге вычислений учитываются не только значение нормы текущего члена ряда, но и его соотношения с уже вычисленными членами.

4. Для динамической системы типа Маркова разработан численный метод отыскания обобщенно-периодических решений, использующий распределенную вычислительную среду для параллельного расчета точек на траектории, соответствующих разным моментам времени. В связи с этим накопление систематической ошибки по времени при вычислениях сводится к минимуму.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Пчелинцев, Александр Николаевич, 2009 год

Литература

1 Лоренц, Э. Детерминированное непериодическое течение / Э. Лоренц // Странные аттракторы. - М.: Мир, 1981. - С. 88-116.

2 Магницкий, H.A. Новые методы хаотической динамики / H.A. Магницкий, C.B. Сидоров. - М.: Едиториал УРСС, 2004. - 320 с.

3 Аносов, Д.В. Геодезические потоки на замкнутых римановых многообразиях отрицательной кривизны / Д.В. Аносов. - М.: Наука, 1967. - 210 с.

4 Биркгоф, Дж. Динамические системы / Дж. Биркгоф. - М.-Л.: ОГИЗ, 1941. - 320 с.

5 Афанасьев, А.П. Устойчивость по Пуассону в динамических и непрерывных периодических системах / А.П. Афанасьев, С.М. Дзюба. - М.: Изд-во ЛКИ, 2007. - 240 с.

6 Афанасьев, А.П. Периодические и близкие к ним решения дифференциальных уравнений / А.П. Афанасьев, С.М. Дзюба // Труды VIII Международной конференции «Идентификация систем и задачи управления» SICPRO'09. - M.: ИПУ РАН, 26-30 января 2009 г. - С. 45-56.

7 Афанасьев, А.П. К вопросам управления в периодических процессах / А.П. Афанасьев, С.М. Дзюба // Известия РАН. Теория и системы управления. - 1998. - №4. - С. 15-20.

8 Афанасьев, А.П. Квазипериодические процессы в задачах управления / А.П. Афанасьев, С.М. Дзюба // Известия РАН. Теория и системы управления. - 2001. - №2. - С. 22-28.

9 Афанасьев, А.П. Периодический оператор сдвига и квазипериодические кривые / А.П. Афанасьев, С.М. Дзюба // Дифференциальные уравнения. - 2004. - Т. 40, то. - С. 1367-1372.

10 Афанасьев, А.П. Типическое поведение движений динамических и непрерывных периодических систем: новый взгляд на устойчивость по Пуассону / А.П. Афанасьев, С.М. Дзюба, А.П. Пьянов // Труды ИСА РАН. Проблемы вычислений в распределенной среде: распределенные приложения, коммуникационные системы, математические модели и оптимизация. - М.: КомКнига. - 2006. - Т. 25. - С. 147-164.

11 Дзюба, С.М. Об условно-периодических решениях дифференциальных уравнений / С.М. Дзюба // Дифференциальные уравнения. - 1999. - Т. 35, №-8. - С. 1020-1023.

12 Брукс, Т. Хаос в небе. Прогнозирование погоды / Т. Брукс // National Geographic. - 2005. - №6. - С. 126-145.

13 Гилл, А. Динамика атмосферы и океана. Т. 2. / А. Гилл. - М.: Мир, 1986. - 415 с.

14 Бакасов, A.A. Динамическая модель одномодового лазера. I. Режим устойчивой стационарной генерации / A.A. Бакасов // Теоретическая и математическая физика. - 1991. - Т. 89, №2. - С. 278-292.

15 Покровский, JI.A. Решение системы уравнений Лоренца в асимптотическом пределе большого числа Релея. I. Система Лоренца в простейшей квантовой модели лазера и приложение к ней метода усреднения / Л.А. Покровский // Теоретическая и математическая физика. - 1985. - Т. 62, т. - С. 272-290.

16 Безуглый, В.Ю. Численные методы теории конвективного тепломассообмена / В.Ю. Безуглый, Н.М. Беляев. - Киев-Донецк: Вища школа, 1984. - 176 с.

17 Берковский, Б.М. Вычислительный эксперимент в конвекции / Б.М. Берковский, В.К. Полевиков. - Минск: Университетское, 1988. - 167 с.

18 Джалурия, Й. Естественная конвекция: тепло- и массообмен / Й. Джа-лурия. - М.: Мир, 1983. - 400 с.

19 Гершуни, Г.З. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости / Г.З. Гершуни, Е.М. Жуховицкий. - М.: Наука, 1972. - 392 с.

20 Ландау, Л.Д. Теоретическая физика. Т. VI. Гидродинамика / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. - М.: Наука, 1986. - 736 с.

21 Канторович, A.B. Приближенные методы высшего анализа /A.B. Канторович, В.И. Крылов. - М.-Л.: Физматгиз, 1962. - 708 с.

22 Верже, П. Порядок в хаосе. О детерминистском подходе к турбулентности / П. Верже, И. Помо, К. Видаль. - М.: Мир, 1991. - 368 с.

23 Saltzman, В. Finite amplitude free convection as an initial value problem / B. Saltzman // Journal of the atmospheric science. - 1962. - №7. - P. 329-341.

24 Кутателадзе, С.С. Анализ подобия в теплофизике / С.С. Кутателадзе.. - Новосибирск: Наука, 1982. - 280 с.

25 Роуч, П. Вычислительная гидродинамика / П. Роуч. - М.: Мир, 1980. -616 с.

■ 26 Гукенхеймер, Дж. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей / Дж. Гукенхеймер, Ф. Холмс. - Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. - 560 с.

27 Монин, A.C. Гидродинамическая неустойчивость / A.C. Монин // Успехи физических наук. - 1986. - Т. 150, вып. 1. - С. 61-105.

28 Красносельский, М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений / М.А. Красносельский. - М.: Наука, 1966. - 332 с.

29 Browder, F.E. On a generalization of the Schauder fixed point theorem / F.E. Browder // Duke Math. - 1959. - J. 26. - P. 291-303.

30 Рейсинг, P. Качественнаая теория нелинейных дифференциальных уравнений / Р. Рейсинг, Г. Сансоне, Р. Конти. - М.: Наука, 1974. - 320 с.

31 Massera, J.L. The existence of periodic solutions of systems of differential equations / J.L. Massera // Duke Math. - 1950. - J. 17. - P. 457-475.

32 Maccepa, X. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства / X. Maccepa, X. Шеффер. - М.: Мир, 1970. - 456 с.

33 Эрроусмит, Д. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Качественная теория с приложениями / Д. Эрроусмит, К. Плейс. - М.: Мир, 1986. - 243 с.

34 Колмогоров, А.Н. О сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона / А.Н. Колмогоров // Доклады АН СССР. - 1954. - Т. 35, №4. - С. 527-530.

35 Камке, Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям / Э. Камке. - М.: Наука, 1971. - 576 с.

36 Матвеев, Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений / Н.М. Матвеев. - М.: Высшая школа, 1967. - 564 с.

37 Бахвалов, Н.С. Численные методы / Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельников. - М.: Бином. Лаборатория знаний, 2004. - 636 с.

38 Самарский, A.A. Численные методы / A.A. Самарский, A.B. Гулин. -М.: Наука, 1989. - 432 с.

39 Хартман, Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Ф. Харт-ман. - М. Мир, 1970. - 720 с.

40 Демидович, Б.П. Лекции по математической теории устойчивости / Б.П. Демидович. - М.: Наука, 1967. - 472 с.

41 Немыцкий, В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений / В.В. Немыцкий, В.В. Степанов. - М.: Едиториал УРСС, 2004. - 552 с.

42 Сансоне, Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Том I / Дж. Сансоне. - М.: Изд-во ИЛ, 1953. - 346 с.

43 Афанасьев, А.П. Продолжение траекторий в оптимальном управлении / А.П. Афанасьев. - М.: КомКнига, 2005. - 208 с.

44 Пчелинцев, А.Н. Исследование математической модели процесса распространения тепла в безграничном теле с периодическим источником тепла внутри / А.Н. Пчелинцев // Информационные процессы и управление [Электронный журнал]. - Тамбов: ТГТУ. - 2006. - №1. http://www.tstu.ru/ipu/2006-l/022.pdf.

45 Пчелинцев, А.Н. Отыскание квазипериодических решений нелинейного дифференциального уравнения распространения тепла в безграничном твердом теле в распределенной вычислительной среде / А.Н. Пчелинцев // Вестн. Тамб. ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки: материалы между-нар. конф. «Колмогоровские чтения. Общие проблемы управления и их приложения. Проблемы преподавания математики». - 2007. - Т. 12, вып. 4. - С. 518-519.

46 Пчелинцев, А.Н. Об отыскании решений системы, описывающей процесс распространения тепла в неограниченной пластине, методом рядов Тейлора / А.Н. Пчелинцев, JI.A. Мишина, Н.И. Теряев // Труды ТГТУ: сб. науч. статей. - Тамбов: Изд-во Тамб. гос. техн. ун-та. - 2008. - Вып. 21. - С. 150-154.

47 Вычислительный кластер ТамГТУ [Электронный ресурс]. - Электрон, дан. - Режим доступа: http://cluster.tstu.ru/, свободный. - Загл. с экрана.

48 Дзюба, С.М. Формирование высокопроизводительного вычислительного учебно-научно-производственного комплекса в Тамбовском ГТУ / С.М. Дзюба, В.Е. Подольский, А.Ф. Писецкий, В.И. Сергеев // Вестник ТГТУ. - 2008. - Т. 14, №3. - С. 454-468.

49 Васвани, В. Полный справочник по MySQL / В. Васвани. - М.: Вильяме, 2006. - 528 с.

50 Русскоязычный сайт поддержки базы данных MySQL [Электронный ре-

суре]. - Электрон, дан. - Режим доступа: http://www.mysql.ru/, свободный. - Загл. с экрана.

51 Немнюгин, С.А. Параллельное программирование для многопроцессорных вычислительных систем / С.А. Немнюгин, O.J1. Стесик. - СПб.: БХВ-Петербург, 2002. - 400 с.

52 MPICH2: High-performance and Widely Portable MPI [Электронный ресурс]. - Электрон. дан. - Режим доступа: http://www.mcs.anl.gov/research/projects/mpich2/, свободный. - Загл. с экрана.

53 Ильина, В.А. Система аналитических вычислений Maxima для физиков-теоретиков / В.А. Ильина, П.К. Силаев. - М.: Изд-во РХД, 2009. - 140 с.

54 Maxima, a Computer Algebra System [Электронный ресурс]. - Электрон, дан. - Режим доступа: http://maxima.sourceforge.net/, свободный. - Загл. с экрана.

55 Пчелинцев, А.Н. Программа для ЭВМ построения проекции дуги траектории нормальной системы дифференциальных уравнений [Электронный ресурс] / А.Н. Пчелинцев. - Электрон, дан. - Режим доступа: http://cluster.tstu.ru/tiki-download_file.php?fileId=4, свободный. - Загл. с экрана.

56 Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ. -№2008612982 от 20.06.2008. - Отыскание решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений в распределенной вычислительной среде с использованием символьных вычислений / А.Н. Пчелинцев, JI.A. Мишина, Н.И. Теряев.

57 Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ. -№2008612983 от 20.06.2008. - Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений методом рядов Тейлора / А.Н. Пчелинцев, Л.А. Мишина, Н.И. Теряев.

58 Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ. - №2008615551 от 20.11.2008. - Построение проекций траекторий нормальных систем обыкновенных дифференциальных уравнений / А.Н. Пчелинцев.

59 Афанасьев, А.П. Квазианалитическое решение систем дифференциальных уравнений с полиномиальными правыми частями / А.П. Афанасьев, A.C. Тарасов // Труды ИСА РАН. Проблемы вычислений в распределенной среде: распределенные приложения, коммуникационные системы, математические модели и оптимизация. - М.: КомКнига. -

2006. - Т. 25. - С. 165-183.

60 Пчелинцев, А.Н. О новых критериях сходимости ряда Тейлора / А.Н. Пчелинцев // Фундаментальные и прикладные исследования, инновационные технологии, профессиональное образование: Сб. трудов XIII науч. конф. ТГТУ. - Тамбов: Изд-во Тамб. гос. техн. ун-та. - 2008. - С. 41-42.

61 Пчелинцев, А.Н. Об отыскании обобщенно-периодических решений автономных систем дифференциальных уравнений в распределенной компьютерной среде с использованием символьных вычислений / А.Н. Пчелинцев, В.А. Погонин // Системы управления и информационные технологии. Научно-технический журнал. - 2009. - №2(36). - С. 27-31.

62 Головешкин, В.А. Теория рекурсии для программистов / В.А. Головеш-кии, М.В. Ульянов. - М.: Физматлит, 2006. - 269 с.

63 Зеленков, Ю.А. Введение в базы данных [Электронный ресурс] / Ю.А. Зеленков. - Электрон, дан. - Режим доступа: http://www.mstu.edu.ru/education/materials/zelenkov/toc.html, свободный. - Загл. с экрана.

64 Пчелинцев, А.Н. О построении квазипериодических движений непрерывных периодических систем /А.Н. Пчелинцев // Вестник ТГТУ. -

2007. - Т. 13, №Б. - С. 564-573.

65 Пчелинцев, А.Н. Об отыскании квазипериодических движений в системе, описывающей процесс распространения тепла в неограниченной пластине / А.Н. Пчелинцев // Информационные процессы и управление [Электронный журнал]. - Тамбов: ТГТУ. - 2006. - №1. www.tstu.ru/ipu/2006-l/024.pdf.

66 Пчелинцев, А.Н. Программа для ЭВМ отыскания равномерно устойчивых по Пуассону движений динамических систем в распределенной вычислительной среде [Электронный ресурс] / А.Н. Пчелинцев. - Электрон, дан. - Режим доступа: http://cluster.tstu.ru/tiki-download_file.php?fileId=2, свободный. - Загл. с экрана.

67 Пчелинцев, А.Н. Программа для ЭВМ отыскания равномерно устойчивых по Пуассону движений непрерывных периодических систем в распределенной вычислительной среде [Электронный ресурс] / А.Н. Пчелинцев, J1.A. Мишина, Н.И. Теряев. - Электрон, дан. - Режим доступа: http://cluster.tstu.ru/tiki-download_file.php?fileId=3, свободный. - Загл. с экрана.

68 Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ.

- №2008615550 от 20.11.2008. - Отыскание равномерно устойчивых по Пуассону движений динамических систем в распределенной вычислительной среде / А.Н. Пчелинцев.

69 Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ.

- №2008615548 от 20.11.2008. - Отыскание равномерно устойчивых по Пуассону движений непрерывных периодических систем в распределенной вычислительной среде / А.Н. Пчелинцев, JI.A. Мишина, Н.И. Теряев.

70 Rubenfeld, L.A. Nonlinear dynamic theory for a double-diffusive convection model / L.A. Rubenfeld, W.L. Siegman // SIAM J. Appl. Math. - 1977. -№32. - P. 871.

71 Tucker, W. A rigorous ODE Solver and Smale's 14th problem / W. Tucker // Foundations of Computational Mathematics. - 2002. - Vol. 2. - P. 53-117.

72 Баутин, Н.Н. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости / Н.Н. Баутин, Е.А. Леонтович. - М.: Наука, 1990. - 488 с.

73 Фихтенгольц, Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, том II / Г.М. Фихтенгольц. - М.: Наука, 1966. - 800 с.

74 Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ. -№2008612984 от 20.06.2008. - Построение траекторий системы дифференциальных уравнений Лоренца / А.Н. Пчелинцев.

75 Пчелинцев, А.Н. Программа для ЭВМ построения дуги траектории системы дифференциальных уравнений Лоренца с 3D-анимацией / А.Н. Пчелинцев. - Электрон, дан. - Режим доступа: http://cluster.tstu.ru/tiki-downIoad__file.php?fileId=16, свободный. - За-гл. с экрана.

76 Лекция: Типы переменных. Целые и вещественные переменные, представление целых и вещественных чисел в компьютере [Электронный ресурс]. - Электрон, дан. - Режим доступа: http://www.intuit.ru / department/se/pbmsu / 2/2.html, свободный. -Загл. с экрана.

77 Косарев, И. Полный справочник по языку Си / И. Косарев [Электронный ресурс]. - Электрон, дан. - Режим доступа: http://subscribe.ru/archive/comp.soft.prog.9899/200404/28151235.html, свободный. - Загл. с экрана.

78 Барбашин, Е.А. Функция Ляпунова / Е.А. Барбашин. - М.: Наука, 1970.

- 240 с.

79 Валеев, К.Г. Построение функций Ляпунова / К.Г. Валеев, Г.С. Финин.

- Киев: Наукова думка, 1981. - 412 с.

80 Понтрягин, Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Л.С. Понтрягин. - М.: Наука, 1974. - 332 с.

81 Барбашин, Е.А. О существовании функции Ляпунова в случае асимптотической устойчивости в целом / Е.А. Барбашин, H.H. Красовский // Прикладная математика и механика. - 1954. - Т. 18, вып. 3. - С. 345-350.

82 Пчелинцев, А.Н. Об одной гипотезе структуры аттрактора Лоренца / А.Н. Пчелинцев // Актуальные проблемы информатики и информационных технологий: материалы XII междунар. научно-практической конференции-выставки. - Тамбов: Изд-во ТГУ им. Г.Р. Державина. -2008. - С. 155-158.

83 Уонг, X. Основные формулы и данные по теплообмену для инженеров / X. Уонг. - М.: Атомиздат, 1979. - 216 с.

84 Титчмарш, Е. Теория функций / Е. Титчмарш. - М.: Наука, 1980. - 464 с.

85 Курант, Р. Курс дифференциального и интегрального исчисления, том I / Р. Курант. - М.: Наука, 1967. - 704 с.

86 Пчелинцев, А.Н. О способе построения дуги траектории динамической системы типа Маркова в распределенной компьютерной среде / А.Н. Пчелинцев, В.А. Погонин // Системы управления и информационные технологии. Научно-технический журнал. - 2009. - №1.3(35). - С. 398401.

87 Бор, Г. Почти периодические функции / Г. Бор. - М.-Л.: Гостехиздат, 1934. - 128 с.

88 Демидович, Б.П. Основы вычислительной математики / Б.П. Демидо-вич, И.А. Марон. - СПб.: Изд-во «Лань», 2006. - 672 с.

89 Бари, Н.К. Тригонометрические ряды / Н.К. Бари. - М.: Физматгиз, 1961. - 936 с.

90 Калиткин, H.H. Численные методы / H.H. Калиткин. - М.: Наука, 1978. - 512 с.

91 Де Бор, К. Практическое руководство по сплайнам / К. Де Бор. - М.: Радио и связь, 1985. - 304 с.

92 Maxima Manual (chm) [Электронный ресурс]. - Электрон, дан. - Режим доступа: http://cluster.tstu.ru/tiki-download_file.php?fileld=20, свободный. - Загл. с экрана.