Предельные теоремы для случайных матриц с зависимыми элементами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.05, кандидат физико-математических наук Наумов, Алексей Александрович

• Наумов, Алексей Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Наумов, Алексей Александрович

Оглавление

Введение

1 Эллиптический закон^для случайных матриц

1.1 Основной результат

1.2 Гауссовский случай

1.3 Доказательство основного результата

1.4 Наименьшее сингулярное число

1.5 Равномерная интегрируемость

1.6 Сходимость сингулярных чисел

1.7 Несколько технических утверждений

2 Полукруговой закон для класса симметричных случайных матриц с зависимыми элементами

2.1 Формулировка результатов

2.2 Доказательство Теоремы 2.1.3

2.2.1 Урезание случайных величин

2.2.2 Универсальность спектра собственных значений

2.3 Доказательство Теоремы 2.1.4

3 Закон Марченко—Пастура для случайных матриц с зависимыми элементами

3.1 Формулировка результатов

3.2 Доказательство Теоремы 3.1.3

3.2.1 Урезание элементов матрицы

3.2.2 Универсальность спектра

3.3 Доказательство Теоремы 3.1.4

А Некоторые результаты из теории вероятностей и линейной алгебры

А.1 Теория Вероятностей

A.2 Линейная алгебра и геометрия единичной сферы

В Методы исследования слабой сходимости эмпирических функций распределения

B.1 Метод моментов

В.2 Метод преобразований Стилтьеса

В.З Метод логарифмического потенциала

Заключение

Обозначения

Всюду далее в настоящей работе будем предполагать, что все случайные величины заданы на вероятностном пространстве Р) и будем

писать почти всюду (п.в) вместо Р-почти всюду. Индикатор события А обозначим через /(^4). В{Т) обозначает борелевскую сг-алгебру подмножеств Т. Под Рх,у(£) понимается вероятность события которое зависит от случайных величин X и У.

Будем говорить, что последовательность случайных мер ¡1п : В(Т) —> М, где Т = М. или С, слабо сходится к предельной неслучайной мере /1 по вероятности (обозначение: цп —> ¡1 по вероятности), если для всех непрерывных и ограниченных функций / : Т —» М.

Р

f{x)/in(dx) - / f{x)n(dx)

> £ J —> 0 при п —>■ оо.

Аналогично, fin сходится к ¡1 почти всюду (обозначение: (in —> ¡j, п.в.).

если

pflim [ f(x)fin(dx)= [ f(x)n(dx) \ =1.

оо JT JT J

Слабая сходимость функций распределения по вероятности или почти всюду может быть определена тем же способом.

Через Тг(А) и Rank(A) обозначим след и ранг матрицы А. Для

п

вектора х = (xi,...:xn) определим нормы ||ж||2 := (Yltf)1^2 и 1М1з

г=1

п

(]С II3)1/3. Для единичного шара введем обозначение Sn~l := {х G

R»1: Н^Цг - 1}. Пусть ||А|| := sup ||А*||2 и ||Л||Я5 := (Тг^М))1^

IWIa=i

обозначают операторную норму и норму Гильберта-Шмидта матрицы А соответственно.

Под [п] будем понимать набор {1,...,п}. Через зирр(ж) обозначим набор ненулевых координат вектора х. Через обозначим мощность множества А.

Всюду далее будем писать й 6, если существует абсолютная

константа С, зависящая только от т, такая что а ^ СЪ.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Предельные теоремы для случайных матриц с зависимыми элементами»

Введение

Теория случайных матриц и методы, используемые при исследовании случайных матриц, играют важную роль в различных разделах теоретической и прикладной математики. Случайные матрицы возникли из приложений, сначала в анализе данных, а позже в качестве статистических моделей в квантовой механике. В последние годы теория случайных матриц нашла многочисленные применения во многих других областях, например, в численном анализе, финансовой инженерии, биологии.

В настоящей работе изучается поведение эмпирической спектральной функции распределения случайной матрицы. Предположим, что матрица А имеет размеры п х п и обозначим ее собственные значения через А^, 1 ^ г ^ п. Если все собственные значения действительны, можно определить эмпирическую спектральную функцию распределения матрицы А:

Если не все собственные значения Л^ являются действительными, то определим двухмерную эмпирическую функцию распределения матрицы

Далее мы будем часто исследовать свойства ожидаемых эмпирических спектральных функций распределения матрицы А, которые определим

а)

А:

(2)

с помощью FA(x) = Е^(ж) и ГА(х,у) = ЕТА(х,у).

Одна из основных проблем в теории случайных матриц - исследовать сходимость последовательности эмпирических спектральных функций распределения {7гЛ"} (или для заданной последовательности

случайных матриц. Под сходимостью {РАп} к некоторому пределу Р будем понимать слабую сходимость. Под сходимостью {ТА"} к пределу .Р понимается слабая сходимость по вероятности или почти наверное. Ради краткости речи будем часто опускать фразу "слабая сходимость". Предельное распределение Р называется предельным эмпирическим распределением для последовательности случайных матриц Ап.

Иногда мы будем работать с мерами, а не с соответствующими функциями распределения. В этом случае определим эмпирическую спектральную меру собственных значений случайной матрицы А:

/1А(В) = ±#{1 < г ^ п : Аг € В}, Ве В(Т), п

где Т - С или Т = М.

В настоящей работе будут рассматриваются три основных ансамбля случайных матриц: ансамбль симметричных случайных матриц, ансамбль матриц с коррелированными элементами и ансамбль ковариационных матриц.

Глава 1 работы посвящена матрицам с коррелированными элементами, но, для понимания связи между ансамблями, во введении мы изменим порядок и сначала определим ансамбль симметричных матриц. Для этого рассмотрим симметричную случайную матрицу Хп = {Хук}1к=1, элементы которой имеют ЕХ^ = 0 и ЕХд, = 1. Обозначим через А1 ^ ... ^ Хп собственные значение матрицы п_1/2Хп и определим эмпирическую спектральную функцию распределения .7-"Хп(а;) с помощью (1).

Пусть д{х) и С (я) обозначают плотность и функцию распределения полукругового закона

д{х) = т—\/4 — х21(\х\ ^ 2), в{х) = [ д{у)<1и.

т > 0. Из его результата следует, что если ^ г ^ ] < п,

являются и.о.р. случайными величинами, имеют нулевое математическое ожидание и единичную дисперсию, то ТХп(а:) сходится почти наверное к полукруговому закону Вигнера. Заметим, что в работе Пастура требовалось, что = 1 для всех элементов матрицы. В ряде работ,

см., например, [20] и [21], авторам удалось в некоторых специальных случаях отказаться от выполнения этого требования.

В настоящей работе нас будут интересовать симметричные случайные матрицы с зависимыми элементами. В работе [17] Гётце и Тихомиров обобщили полукруговой закон на класс случайных матриц со структурой случайного поля. Ниже мы определим ансамбль симметричных матриц со структурой случайного- поля и получим достаточные условия, аналогичные условиям в мартингальной центральной предельной теореме, см., например, [18] и [19]. Подчеркнем, что следуя [20] и [21], в работе не предполагается, что все дисперсии элементов Хг],1 ^ г ^ ] ^ п, являются одинаковыми.

Другой интересный ансамбль случайных матриц представляют матрицы с независимыми элементами. Пусть Хп = {^/г}"/^ обозначает матрицу с н.о.р. элементами. Без ограничения общности, будем полагать, что ЕХ^ = 0. Как и прежде обозначим через Ах,Л71 собственные значения матрицы тг-1/2Хп и определим эмпирическую спектральную функцию распределения 7^п{х,у) с помощью формулы (2).

Будем говорить, что выполнен круговой закон, если ^х"(х,у) (^Хп(а;,у) соотвественно) сходится к функции распределения Р(х,у), которая имеет плотность равномерного распределения на единичном круге в М2. Предельное распределение Г(х,у) называется круговым законом. Для матриц с н.о.р. комплекснозначными нормально распределенными случайными элементами круговой закон доказан Метой [4]. Его доказательство основано на явном выражении для совместной плотности собственных значений матрицы, которое найдено

набор случайных величин 1 ^ э,к ^ п. Предположим, что (Хд., Х^-), 1 ^ у < к ^ п являются н.о.р. случайными векторами, ЕХ# = ЕХц = 0,ЕХ]к = = 1 и ЕХ^Хц = р:\р\ ^ 1.

Также предположим, что Х^-, 1 ^ ] ^ п, являются н.о.р. случайными величинами, не зависящими от остальных элементов матрицы, и пусть ЕХ^- = С^ЕХ^- < оо. Сформируем случайную матрицу Хп = Пусть Лх,Лп обозначают собственные значения п~1//2Хп и определим эмпирическую спектральную функцию распределения ТХп(х,у) с помощью (2).

Заметим, что ансамбли таких матриц обобщают известные ансамбли симметричных матриц и ансамбли матриц с независимыми элементами. Действительно, если р — 1, то матрица Хп является симметричной. Если р = 0, и дополнительно потребовать, что Хц и Х^ имеют совместное гауссовское распределение, то получим ансамбль матриц с независимыми элементами.

Определим плотность равномерного распределения на эллипсе

О, иначе,

и соответствующую функцию распределения

х у

Рр(х,у) = J У fр{и,у)(1и<1у.

—оо — оо

При р = 0 мы имеем Гр(х,у) = Г(х,у). Если Х^ имеют абсолютно непрерывные плотности и конечные моменты четвертого порядка, то Гирко доказал в [13] и [14], что ^гХп сходится к Рр. Он назвал этот результат "Эллиптическим законом". Но его доказательство является неполным, как и доказательство кругового закона. Позже эллиптический закон был доказан в работе [15] для матриц с гауссовскими элементами. В этом случае можно выписать совместную плотность собственных

условия, что все = 1, предположил выполнение закона больших

чисел для сумм квадратов элементов матрицы по строкам и по столбцам.

В настоящей работе будут получены достаточные условия сходимости к закону Марченко-Пастура для случайных матриц со структурой случайного поля, которые аналогичны условиям в центральной предельной теореме для мартингал разностей, см., например, [18] и [19]. Подчеркнем, что мы не предполагаем равенства дисперсий элементов матрицы, а вместо этого требуем сходимость сумм дисперсий в строке и столбце к единице. Результаты обобщают классический закон Марченко-Пастура для матриц с независимыми элементами и результаты работ [24] и [25] .

Постановка задачи В первой части работы рассматриваются случайные матрицы Хп(и;) = которые удовлетворяют следующим условиям

(СО):

a) пары - н.о.р. случайные векторы;

b) ЕХ12 -Е121 - 0,ЕХ?2 = Е4 = 1 и тах(ЕХ142,ЕХ241) < М4;

c) Е(Х12Х21) = р, \р\ ^ 1

с1) Хц - н.о.р. случайные величины, не зависящие от {Х^}^, и ЕХи = О^Х^ < оо.

Обозначим через А1,...,АП собственные значения матрицы п и

определим эмпирическую спектральную меру

»„(В) = : \ е В}, В <Е Н(М2). п

Основной результат главы 1 (см. Теорема 1.1.1) представляет следующая теорема.

Теорема 1 Пусть Хп удовлетворяет условиям (СО) и \р\ < 1. Тогда

/лп —» ¡л по вероятности, и ¡1 имеет плотность /р следующего вида

.. /т-Ч!-/»8)-1. ^¡/бк'бК^ + йрО},

/р^) У) — \

0, иначе.

В главе 2 рассматривается ансамбль симметричных матриц Хп = элементы которых имеют Е= 0 и ЕХ^. = Снова обозначим через Ах ^ ... ^ Лп собственные значения матрицы п_1//2Хп, определим эмпирическую спектральную функцию распределения ТХп(х) с помощью (1) и соответствующую ей ожидаемую эмпирическую функцию распределения Определим набор сг-алгебр

^ := а{Хы (г,.?)}, п.

Предположим, что выполнены следующие условия

Е(Ху|$М) = 0п.в.; (4)

Л ¿Е1 - 41 ^ 0 при п оо; (5)

Т1

г,3=1

для любого фиксированного г > 0 Ьп(т) —>■ 0 при п —> оо. (6)

Всюду далее будем использовать условие (6) не только для матрицы Хп, но и для других матриц, заменяя элементы Хгз в определении дроби Линдебсрга соответствующими элементами.

Для всех 1 ^ г ^ п обозначим В2 := ^ а\у Наложим условия на поведение дисперсий <т2 :

1 "

— ^ |Д2 — 1| -» 0 при п оо; (7)

71

г=1

тах ДЧ С, (8)

где С некоторая абсолютная константа.

Заметим, что условия (4)-(8) являются аналогами достаточных условий в мартингальной центральной предельной теореме, см., например, [19].

Следующая теорема (см. Теорема 2.1.1) представляет собой основной результат главы 2.

Теорема 2 Пусть случайные матрицы Хп удовлетворяют условиям (4)-(8). Тогда

sup |FXn(x) - G(a;)| 0 при п оо.

X

В главе 3 будет изучен ансамбль комплекснозначных выборочных ковариационных матриц. Для этого рассмотрим матрицу X = {Xjk} размера р х п и потребуем, чтобы ЕXjk = 0 и Е \Xjk\2 = Обозначим через s\ ^ ... ^ Sp собственные значения матрицы ^ХХ* и определим эмпирическую спектральную функцию распределения

г=1

Положим Fxx*(x) :— EJ-^^x). Предположим, что р — р(п) и % = у. Без потери общности мы будем считать, что у Е (0,1]. В главе 2 мы рассмотрели ансамбли симметричных матриц с зависимыми элементами. Цель настоящей главы - получить аналогичные результаты для матриц вида ^ХХ* и показать, что предельное распределение для последовательности Fxx (х) задается распределением Марченко-Пастура. Введем набор сг-алгебр

:= а{Хк1 : Ю < Р, 1 / < n, (М) ^ (i,j)}, 1 < г < р, 1 < j ^ п

Переопределим дробь Линдеберга (см. формула (3)) на случай прямоугольных матриц с помощью

1Л V

у t=1 J7=l

Пусть = и //¿j = обозначают действительную и мнимую

части Ху. Определим следующие матрицы

£ijVij

— 1 . о

щ

Обозначим через Е^- элемент матрицы Е^ в позиции (/с, /), 1 ^ к, I ^ 2. Будем предполагать, что выполнены следующие условия

= 0 п.в.; (9)

^ 2 р п

~~ 1 Е (^l^) - EEg| 0 при п оо; (10)

/ L /у \ '

Г к,1=1 i=l J=1

ДЛЯ любого Т > 0 Z/n(r) 0 ПРИ п ^ оо. (11)

Всюду далее будем использовать условие (11) не только для матрицы Хп, но и для других матриц, заменяя элементы Хц в определении дроби Линдеберга соответствующими элементами.

Для всех 1 ^ г ^ р обозначим через Bf := ~ °fj и Для всех 1 ^ j ^ п положим Dj := ^ Наложим условия на поведение afj

1 Р

- ^ - 1[ 0 при п оо; (12)

^ г=1 -1 "

— У^ \D] — 11 —^ 0 при п —>• оо; (13)

п ' J з=1

max(max Д, max Dj) ^ С, (14)

где С некоторая абсолютная константа.

Следующая теорема (см. Теорема 3.1.1) представляет собой основной результат главы 3.

Теорема 3 Пусть X удовлетворяет условиям (9)-(14) и lim £ = у G

71—>00

(0,1]. Тогда

sup |Fxx*(x) — Gy(x)\ —» 0 при п —>• оо.

х

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на разделы, двух приложений и списка литературы из 42 наименований. Общий объем работы составляет 102 страницы. Краткое содержание диссертации

В главе 1 приведено доказательство Теоремы 1 (см. Теорема 1.1.1). Доказательство основано на идее, которая была развита в ходе доказательства кругового закона в работах [7], [8], [10], [11] и [27]. Мы будем использовать метод логарифмического потенциала (см. Приложение В.З) и покажем, что логарифмический потенциал меры рп может быть переписан через логарифмический момент эмпирической меры := •) сингулярных чисел матрицы (п-1/2Х — 2:1). В

силу Леммы В.3.1 и результата [15], в котором найдено предельное распределение в гауссовском случае, доказательство эллиптического закона разбивается на два основных этапа. В ходе первого этапа нужно доказать равномерную интегрируемость логарифма относительно семейства мер ^г1(-),п > 1. Доказательство приведено в следующей теореме (см. Теорема 1.5.1).

Теорема 4 Если выполнены условия (СО), то 1п(-) равномерно интегрируем по вероятности относительно семейства {^п}г>1.

Для доказательства Теоремы 4 нужно установить два факта. Показать, что наименьшее сингулярное число матрицы (п_1/2Х — г!) мало с очень малой вероятностью. Это сделано в следующей теореме (см. Теорема 1.4.1).

Теорема 5 Пусть А = Хп — г1, где Хп - случайная матрица, удовлетворяющая условию (С0); и К > 1. Тогда для всех е > 0

Р(*„(А) ^ еп~1'\ ||А|| < К^/п) ^ С(р)е1'* + С\р)п-1'\

где С(р),С'(р) - некоторые константы, зависящие только от р,К и М4.

Доказательство основано на идеях работ М. Рудельсона и Р. Вершинина [12], [16].

Для доказательства равномерной интегрируемости логарифма нужно также установить, что для больших сингулярных чисел верны следующие леммы (см. Лемма 1.5.1 и Лемма 1.5.2).

Лемма 1 Пусть выполнены (СО). Тогда существует константа К > 0, зависящая от р, такая, что Р(й1(Хп) > К^/п) = о(1).

Лемма 2 Если выполнены (СО), то существуют с>0и0<7<1 такие, что для всех п 1-й п1-7 ^ г ^ п — 1 выполнено неравенство ~ ¿1) > сп 1г п.н.

Вторая часть доказательства эллиптического закона состоит в том, что эмпирическая спектральная мера сингулярных чисел матрицы (п-1/2Х — гТ) сходится к некоторому неслучайному пределу, который является одним для всех моделей матриц, которые удовлетворяют условиям (СО).

Теорема 1.4. Предположим, что выполнены условия (СО). Существует неслучайная вероятностная мера Уг{-) := такая что ип —>• по вероятности.

Теорема 6 Предположим, что выполнены условия (СО). Существует неслучайная вероятностная мера такая что ип —>■ иг по

вероятности.

Доказательство основано на методе преобразований Стилтьеса (см. Приложение В.2). Детали см. в Теорема 1.6.1.

Глава 2 посвящена доказательству Теоремы 2. Доказательство основано на том, что можно заменить исходную матрицу на гауссовскую матрицу с независимыми элементами, у которых совпадают два первых момента. Благодаря этому, можно вместо исходной матрицы с зависимыми элементами, рассматривать гауссовскую матрицу, у которой элементы независимы и имеют конечные моменты всех порядков. Это значительно упрощает анализ и позволяет использовать технику метода моментов.

Определим расстояние Леви между функциями распределения и 1^2 через

Ь(Е= Ы{е > 0 : ^(ж - е) - е ^ Г2(х) ^ + е) + е}.

Следующая теорема иллюстрирует принцип универсальности Линдеберга для случайных матриц (см. Теорема 2.1.3).

Теорема 7 Пусть Xn, Yn обозначают независимые случайные матрицы с Е Xij = Е Y,j = 0 и Е Xfj = Е Y? = сг?-. Предположим, что матрица Хп удовлетворяет условиям (4)-(7), и матрица Yn имеет гауссовские независимые элементы. Дополнительно потребуем, что для матрицы Yn выполнены условия (6) -(7). Тогда

L(FXn(x), FYti(x)) -»• 0 при п-ь сю.

Для доказательства Теоремы 7 мы сначала урезаем элементы матрицы на уровне л/ñ, используя условие Линдеберга (3). Затем, следуя работе [32], определим семейство матриц Zri(<¿>) = Xn cos <р + Yn sin <р и покажем, что производная преобразования Стильтьеса, Sz(z,(p), матрицы Zп((р) по аргументу </? мала при больших п. Затем мы можем воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница, в силу которой

sX_sY= {^ь^м

Jo dip

где - преобразования Стилтьеса матриц Хп и Yri соответственно.

Для доказательства Теоремы 2 остается установить сходимость в гауссовском случае, это сделано в следующей теореме (см. Теорема 2.1.4).

Теорема 8 Пусть элементы Y¿j случайной матрицы Yn независимы для всех l^i^j^nu имеют гауссовское распределение с EY¿j = О, Е Y? = о\у Предположим, что условия (6)-(8) выполнены. Тогда

sup |FYn{x) — G(ar)| —0 при п —>■ оо.

X

Доказательство основано на-методе моментов (см. Приложение В.1).

В главе 3 приведено доказательство Теоремы 3. Идея доказательства аналогична идее доказательства Теоремы 2. Поэтому ниже мы просто формулируем результаты, не останавливаясь на деталях (см. Теорема 3.1.3 и Теорема 3.1.4).

Теорема 9 Пусть X, Y обозначают независимые матрицы размера рхп, такие что ЕХгз = Е Y%3 = 0, E(ReXZJ)2 = E(Re>y2, E(ImXJ2 = E(Im Y%3 )2 и E R e Xl3 Im Хг] - E R e YtJ Im Y%3. Предположим, что матрица X удовлетворяет условиям (9)-(13) , и матрица Y имеет независимые гауссовские элементы. Дополнительно потребуем, что Y удовлетворяет условиям (11)-(13). Если lim - = у € (0,1], тогда

п—>■ оо п

L(FXX* (х), Fyy' (ж)) 0 при п оо.

Теорема 10 Пусть элементы матрицы Y = {Yl3,1 ^ г ^ р, 1 ^ j ^ п} являются независимы случайными величинами и имеют гауссовское распределение cEYl3 = 0, Е|>^|2 = <тг2 . Предположим, что выполнены условия (11)—(14) и lim R =у е (0,1]. Тогда

п—»00 п

sup |Fyy*(:e) — Gy{x)\ —У 0 при п —> оо.

X

Заключение диссертации по теме «Теория вероятностей и математическая статистика», Наумов, Алексей Александрович

Основные результаты докладывались на:

1. XVIII Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов - 2012» (апрель 2012 года, Москва).

2. Семинаре по случайным матрицам Университета Билефельд (июнь 2012 года, Билефельд, Германия).

3. Конференции Real World Models: Recent Progress and New Frontier, Xuzhou (октябрь 2012 года, Сюйчжоу, Китай).

4. Большом кафедральном семинаре кафедры теории вероятностей механико-математического факультета МГУ (апрель 2013 года, Москва).

5. XX Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов - 2013» (апрель 2013 года, Москва).

6. Конференции Stochastics and Real World Models 2013 (июль 2013 года, Билефельд, Германия).

7. Летней школе Randomness in Physics and Mathematics: Prom Quantum Chaos to Free Probability (август 2013 года, Билефельд, Германия).

Результаты опубликованы в статьях [38], [33], [39], [40] и в качестве тезисов докладов [41] и [42].

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Наумов, Алексей Александрович, 2013 год

Литература

1. Wigner Е. P. On the distribution of the roots of certain symmetric matrices // Ann. of Math. (2). - 1958. - Vol. 67. - Pp. 325-327.

2. Arnold L. On Wigner's semicircle law for the eigenvalues of random matrices // Z. Wahrscheinlichkeitstheorie und Verw. Gebiete.— 1971.— Vol. 19. Pp. 191 198.

3. Пастур Л. А. Спектры случайных самосопряженных операторов // УМН. - 1973. - 28, №. 1(169). - С. 3-64.

4. Mehta M. L. Random matrices. — Second edition. — Boston, MA: Academic Press Inc., 1991. — Pp. xviii+562.

5. Ginibre J. Statistical ensembles of complex, quaternion, and real matrices // J. Mathematical Phys. - 1965. - Vol. 6. - Pp. 440-449.

6. Гирко В. Л. Круговой закон // Теория вероятн. и ее примен. — 1984. - 29, № 4. - С. 669-679.

7. Bai Z., Silverstein J. W. Spectral analysis of large dimensional random matrices. — Second edition. — New York: Springer, 2010. — Pp. xvi+551.

8. Götze F., Tikhomirov A. The circular law for random matrices // Ann. Probab. - 2010. - Vol. 38, no. 4. - Pp. 1444-1491.

9. Pan G., Zhou W. Circular law, Extreme Singular values and Potential theory// arXiv:0705.3773. http://arxiv.0rg/abs/arXiv:0705.3773.

10. Tao T., Vu V. Random Matrices: The circular Law // arXiv:0708.2895.

http://arxiv.org/abs/arXiv:0708.2895.

11. Тао Т., Vu V. Random matrices: universality of local eigenvalue statistics // Acta Math. - 2011. - Vol. 206, no. 1. - Pp. 127-204.

12. Rudelson M., Vershynin R. The Littlewood-Offord problem and invert-ibility of random matrices // Adv. Math. - 2008.— Vol. 218, no. 2.— Pp. 600-633.

13. Гирко В. Л. Эллиптический закон // Теория веротн. и ее примеч. — 1985. - 30, № 4. - С. 640-651.

14. Girko V. L. The strong elliptic law. Twenty years later. // Random Oper, and Stock. Equ. - 2006. - Vol. 14, no. 1. - Pp. 59-102.

15. Spectrum of large random asymmetric matrices / H. Sommers, A. Crisan-ti, H. Sompolinsky, Y. Stein // Phys. Rev. Lett.— 1988. —May.— Vol. 60. - Pp. 1895-1898.

16. Vershynin R. Invertibility of symmetric random matrices // arX-iv:1102. 0300. http://arxiv.org/abs/1102.0300.

17. Götze F., Tikhomirov A. N. Limit theorems for spectra of random matrices with martingale structure // Теория веротн. и ее примен. — 2006. — 51, № 1. — С. 171-192.

18. Hall P., Heyde С. С. Martingale limit theory and its application. — New York: Academic Press Inc., 1980. — Pp. xii+308. — Probability and Mathematical Statistics.

19. Shiryaev A. N. Probability.— Second edition.— New York: SpringerVerlag, 1996. - Vol. 95. — Pp. xvi-l-623.

20. Shlyakhtenko D. Random gaussian band matrices and freeness with amalgamation // International Mathematics Research Notices. — 1996. — no. 20. - Pp. 1014-1025.

21. Erdos L. Universality of wigner random matrices: a survey of recent results // arXiv:IOO4.0861. http://arxiv.org/abs/1004.086i.

22. Wishart J. Generalized product moment distribution in samples // Biometrika. ~ 1928. - no. 20. - Pp. 32-52.

23. Марченко В. А., Пастур Л. А. Распределение собственных значений в некоторых ансамблях случайных матриц // Матем. сб. — 1967. — 72. № 4,- С. 507-536.

24. Götze F., Tikhomirov A. Limit theorems for spectra of positive random matrices under dependence // Записки научных семинаров ПОМИ РАН. - 2004. - №. 311. С. 92-123.

25. Adamczak R. On the Marchenko-Pastur and circular laws for some classes of random matrices with dependent entries // Electron. J. Probab.— 2011.-Vol. 16.-Pp. no. 37, 1068-1095.

26. Edelman A. The probability that a random real Gaussian matrix has k real eigenvalues, related distributions, and the circular law // J. Multivariate Anal. - 1997. - Vol. 60, no. 2. - Pp. 203-232.

27. Bordenave C., Chafai D. Around the circular law // arXiv:1109.3343.

http://arxiv.org/abs/1109.3343.

28. Fyodorov Y. V., Khoruzhenko B. A., Sommers H. Universality in the random matrix spectra in the regime of weak non-hermiticity // Ann. Inst. Henri Poincare: Phys. Theor. — 1998. — Vol. 68, no. 4. — Pp. 449489.

29. Akemann G., Baik J., Di Francesco P. The Oxford Handbook of Random Matrix Theory. — London: Oxford Unversity Press, 2011. — P. 952.

30. Ledoux M. Complex hermitian polynomials: from the semi-circular law to the circular law // Commun. Stoch. Anal. — 2008.— Vol. 2, no. 1.— Pp. 27-32.

31. O'Rourke S. A note on the Marchenko-Pastur law for a class of random matrices with dependent entries // arXiv:1201.3554-

http://arxiv.org/abs/1201.3554.

32. Bentkus V. A new approach to approximations in probability theory and operator theory // Liet. Mat. Rink. — 2003. — Vol. 43, no. 4. — Pp. 444470.

33. Наумов А. А. Эллиптический закон для случайных матриц // Вестник МГУ. сер. XV Вычислительная математика и кибернетика. — 2013. — 1. — С. 31-38.

34. Costello К., Тао Т. Random symmetric matrices are almost surely nonsingular // Duke Math. J. - 2006. - Vol. 135, no. 2. - Pp. 395-413.

35. Тао T. Topics in random matrix theory. — American Mathematical Society, 2012. — Vol. 132 of Graduate Studies in Mathematics. — Pp. x+282.

36. Conway J. B. Functions of one complex variable. — Second edition. — New York: Springer-Verlag, 1978. — Vol. 11.— Pp. xiii-1-317.

37. Costello K. Bilinear and quadratic variants on the Littlewood-Offord

problem // Submitted. http://math.ucr.edu/ costello/research/bilquad.pdf.

38. Naumov A. A. Elliptic law for real random matrices // Preprint of SFB701, University of Bielefeld- 2012.- no. 12044,- Pp. 1-32.

http://www.math.uni-bielefeld.de/sfb701 /files/preprints/sfbl2044.pdf.

39. Götze F., Naumov A., Tikhomirov A. N. Semicircle law for a class of random matrices with dependent entries // Preprint of SFB701, University of Bielefeld — 2013.— no. 13029.— Pp. 1-17. http://www.math.uni-

bielefeld.de/sfb701/files/preprints/sfbl3029.pdf.

40. Наумов А. А. Предельные теоремы для двух классов случайных матриц // Записки научных семинаров ПОМИ РАН. — 2013. — №. 412.-С. 214-225.

41. Наумов А. А. Универсальность некоторых моделей случайных матриц // Сборник тезисов XVIII Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «ЛОМОНОСОВ - 2012», секция «Вычислительная математика и кибернетика» — 2012. — С. 143-144.

42. Наумов А. А. Полукруговой закон для случайных матриц с зависимыми элементами // Сборник тезисов XX Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «ЛОМОНОСОВ - 2013», секция «Вычислительная математика и кибернетика» — 2013. — С. 89-90.