Свойства спектральных распределений случайных матриц высокого порядка тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.05, кандидат физико-математических наук Алексеев, Никита Владимирович

• Алексеев, Никита Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Алексеев, Никита Владимирович

Содержание

1 Введение

2 Комбинаторные теоремы

2.1 Основные определения и утверждения

2.2 Перечисление т-арных деревьев

3 Распределение сингулярных чисел произведения независимых прямоугольных случайных матриц

3.1 Выборочная ковариационная матрица и распределение Марченко-Пастура

3.2 Произведение независимых прямоугольных матриц

3.3 Лемма об усечении

3.4 Доказательство теоремы 2

3.5 Следствия из теоремы 2 и описание предельного распределения. Численные эксперименты

4 Распределение сингулярных чисел степеней квадратных случайных матриц

4.1 Формулировка основного утверждения

4.2 Доказательство сходимости 'Е7-п(х) к предельной функции распределения

4.3 Доказательство сходимости Тп(х) к предельной функции распределения почти наверное

5 Заключение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Свойства спектральных распределений случайных матриц высокого порядка»

1 Введение

Теория случайных матриц - активно развивающаяся в последние десятилетия область математики. В начале 50-х годов прошлого столетия Вигнер предложил использовать матрицы большой размерности, элементы которых суть гауссовские случайные величины, для описания дискретной части спектра гамильтониана взаимодействия элементарных частиц тяжелых атомов. Это дало толчок к развитию теории случайных матриц, нашедшей широкое применение в различных областях знаний. Значительный прогресс в изучении асимптотики поведения спектра случайных матриц был достигнут буквально в последние годы.

Спектральная теория случайных матриц изучает распределение собственных чисел случайных матриц, размер которых стремится к бесконечности. Пусть есть некоторая последовательность случайных матриц Wn, имеющих размер п х п. Напомним основные определения.

Определение 1. Комплексное число X называется собственным числом матрицы Wn; если существует такой вектор v G Сп, что

Wnv = Xv.

Определение 2. Эмпирическим спектральным распределением матрицы Wn называют меру на множестве комплексных чисел

цп(А) = -#{i : А» G А, г в {1,..., п}}. п

В случае, когда спектр вещественный, говорят об эмпирической спектральной функции распределения. Эмпирической спектральной функцией распределения называется функция вещественной переменной х

Лг(ж) = -#{г : \ < х, i G {1,..., n}}. n

В дальнейшем мы будем рассматривать в основном эрмитовы случайные матрицы, все собственные числа которых вещественны. Если при п, стремящемся к бесконечности, эмпирическое спектральное распределение имеет предел (по вероятности или почти наверное), то предельное распределение называют асимптотическим спектральным распределением). Кроме того, математическое ожидание Fn{x) = Е Тп{х) может иметь предел.

Принято разделять вопросы спектральной теории случайных матриц на вопросы, относящиеся к глобальному режиму и вопросы, относящиеся к локальному режиму (см. [40, 41, 46]). В глобальном режиме интересуются распределением линейных статистик вида

= — Tr /(W) = [ f(x)dTn(x). п J R

В локальном режиме интересуются распределением так называемых „спейсингов" - расстояний между соседними собственными числами. Более общо, интерес представляет совместное распределение собственных чисел на некотором отрезке длины порядка Различают проблему поведения собственных чисел, когда отрезок лежит внутри носителя (так называемые „bulk statistics"), и проблему поведения

собственных чисел вблизи границы носителя (так называемые „edge statistics", см., например, [20], гл.З, стр.105.)

В случае, если предельное спектральное распределение определяется свойствами симметрии матрицы и младшими моментами элементов матрицы и не зависит от распределений элементов, говорят об универсальном поведении спектрального распределения. Доказательство универсальности является одной из фундаментальных проблем в теории случайных матриц. Аналогичные задачи появляются при доказательстве центральной предельной теоремы и принципа инвариантности. По классификации Ю.В. Линника [9, гл.6, стр. 194 ], такие проблемы относятся к предельным теоремам „собирательного типа".

Первым утверждением такого типа для случайных матриц является теорема о сходимости спектрального распределения матриц из так называемого вигнеровского ансамбля к полукруговому закону Вигне-ра. Пусть Wn - эрмитовы матрицы, элементы которых суть

независимые при i > j случайные величины с нулевым средним и дисперсией а2. Тогда эмпирическая спектральная функция распределения матрицы слабо сходится к распределению с плотностью

д{х) = — \/4а2 -ж21(|ж| < 2а).

2iта

В 1955 году Вигнер [59] доказал эту теорему в предположении, что элементы матрицы имеют распределение Радемахера, т.е. принимают значения 1 и —1 с вероятностью В 1958 году он распространил этот результат [60] на матрицы с субгауссовскими элементами. Позднее бы-

ло показано, что полукруговой закон справедлив, когда распределения элементов матрицы удовлетворяют условию Линдеберга [5].

Следующий результат, который относится к универсальным - это круговой закон. Под круговым законом понимается сходимость эмпирического спектрального распределения случайной матрицы к равномерному распределению в единичном круге комплексной плоскости.

Точнее, предположим, что элементы матрицы = ^к + \/Г-~^г)]к ~ это стандартные комплексные гауссовские величины, причем ^ и ^¿к - независимые центрированные гауссовские величины. Такой ансамбль матриц был введен Жинибром в [32] в 1965 году и им же было показано, что распределение собственных чисел таких матриц слабо сходится к равномерному распределению в единичном круге при неограниченном росте размерности матриц.

Гирко в 1984 году в работе [5] доказал круговой закон для случайных матриц с независимыми элементами с распределением, имеющим ограниченную плотность и конечные первые 4 момента. По мнению многих математиков, доказательство Гирко содержало неточности. В 1997 Бай [22] привел другое доказательство кругового закона для матриц с независимыми элементами с распределением, имеющим совместную плотность вещественной и мнимой частей, а также конечные первые 6 моментов.

Круговой закон без предположения существования плотности у элементов матрицы впервые был доказан в работе Гётце и Тихомиро-

ва [34]. Недавно этот результат был обобщен и уточнен в целом ряде работ, например, статьях Тао и Ву [53] и Гётце и Тихомирова [35].

Еще один классический результат - теорема Марч с н ко - П асту р а [12] - также носит универсальный характер. Пусть X - прямоугольная вещественная случайная матрица размера п х к, все элементы которой независимы. Тогда

1 т = —XX

п

называется выборочной ковариационной матрицей. (Здесь и далее Хт обозначает транспонированную матрицу). Действительно, если рассмотреть столбец матрицы X как выборку значений некоторого случайного признака, то (г^')-ый элемент матрицы есть выборочная ковариация г-го и ^-го признаков.

Матрица XV впервые была рассмотрена Вишартом в 1928 году. Он нашел распределение элементов матрицы в случае, когда элементы матрицы X суть независимые стандартные гауссовские величины.

Марченко и Пастур интересовались предельным поведением собственных чисел матрицы при условии, что пик согласованно стремятся к бесконечности, то есть существует предел Нт^оо | = у Е (О, сю). Из их результатов следует, что математическое ожидание спектрального распределения Рп(х) слабо сходится к предельному распределению, которое определяется своей плотностью

"(х) = + (1 - У~1)ЧУ > 1)*ь (1)

где у есть предел отношения а = (1 — л/у)2, Ъ = (1 + у/у)2, I обозна-

чает индикатор, а ¿о есть дельта-функция Дирака.

Позднее здесь были значительно ослаблены ограничения на элементы матриц, оценена скорость сходимости к предельному распределению как для Рп(х), так и для Тп(х), см., например, [33, 23].

Результаты данного исследования обобщают теорему Марченко-Пастура на случай произведения нескольких независимых прямоугольных матриц и на случай степени квадратной случайной матрицы.

Основными инструментами, позволяющими исследовать асимптотическое спектральное распределение случайных матриц, являются метод моментов и преобразование Стилтьеса. Заметим, что метод моментов был применен еще в работе Вигнера [59].

Во всех рассмотренных задачах предельные распределения имеют компактный носитель. Следовательно, они имеют все моменты и однозначно определяются ими. Кроме того, моменты эмпирического спектрального распределения 7-п{х) легко выражаются через следы степеней матрицы

Г | \/с I ... I 1

мк(п) - / хк<1Тп{х) = 1 ^ 2 ^-—^ = ±Тг\¥к, к > 1. (2)

Ук п п

Во всех рассмотренных случаях моменты предельных распределений имеют комбинаторные интерпретации.

Технику, связанную с преобразованием Стилтьеса, в спектральной теории случайных матриц впервые применили Марченко и Пастур [12]. Напомним определение преобразования Стилтьеса.

Определение 3. Преобразованием Стилтьеса вероятностной меры /1 называется функция

¿(г) = [-

Jжx - г

Преобразование Стилтьеса обладает следующими свойствами:

• Преобразование Стилтьеса однозначно определяет исходную меру. Если р(х) есть плотность меры то

£->0 7Г

• Преобразование Стилтьеса 5(2;) - аналитическая функция в верхней полуплоскости г £ С+;

• ^(г) > 0 при ^ > 0;

• Нт^оо 1ув{и -Ь IV) = —1.

В главе 3 рассматривается распределение сингулярных чисел произведения т независимых прямоугольных случайных матриц. Пусть матрица есть произведение

Wíг = Х^Х^ • • • Х^Х^ХГО • • • Х^)*,

где Х^) - прямоугольная случайная матрица размера хщ с независимыми элементами. (Здесь и далее X* обозначает эрмитово сопряженную матрицу.)

В теореме 2 доказано, что если выполнены довольно слабые предположения относительно матричных элементов и если существуют ненулевые пределы Нтп_^00 = У к, то математическое ожидание функции спектрального распределения Гп(х) имеет некоторый предел Ох).

Предельное распределение описывается своим преобразова-

нием Стилтьеса. Именно, преобразование Стилтьеса предельной меры удовлетворяет уравнению

т

1 + гз(г) - ф) Д (1 - ук - укгз{г)) = 0, (4)

к=1

и является единственным его решением, удовлетворяющим свойствам (3). Это уравнение позволяет найти границы носителя предельной меры а в случае небольших значений т - плотность предельной меры. Соответствующие построения также приведены в главе 3.

В главе 4 рассматривается распределение сингулярных чисел т-ой степени квадратной случайной матрицы. Таким образом, матрица \¥п есть

= Хте(Хт)*,

где матрица X - квадратная матрица размера п х п с независимыми элементами. В данном случае удается доказать не только предельную теорему для математического ожидания спектрального распределения = Е3-п{х), но и доказать, что эмпирическое спектральное распределение Рп{х) сходится к предельному почти наверное (см. теорему 3, стр. 61).

Предельное распределение в данном случае называется т-ым распределением Фусса-Каталана и однозначно определяется своими моментами - числами Фусса-Каталана (см. определение 9, стр. 23). Результаты опубликованы автором совместно с Ф.Гетце и А.Н. Тихомировым в [17] и лично автором в [1]. Кроме того, явная формула для плотности предельного распределения получена в [38].

При доказательстве основных результатов работы был использован метод моментов. Во всех рассмотренных случаях моменты предельных распределений имеют комбинаторные интерпретации. Так, к-ым моментом распределения Марченко-Пастура с параметром у = 1 является к-ое число Каталана СаЬ{к){ом. определение 4, стр. 14). Одна из многочисленных интерпретаций этих чисел говорит, что СаЬ{к) есть количество всевозможных бинарных деревьев на к вершинах (см. определение 8, стр. 21).

Далее, к-ът момент распределения Марченко-Пастура с произвольным параметром у задается формулой 1 Г)уг~1 ■> гДе г) - числа Нараяна (9). Известно, что число бинарных деревьев на п вершинах, к — 1 из которых являются правыми потомками, есть число Нараяна АГ(п, к).

Наконец, /с-ый момент га-го распределения Фусса-Каталана есть число Фусса-Каталана РС(т, &), то есть количество т + 1-арных деревьев (см. определение 11, стр. 26) на к вершинах.

С комбинаторной точки зрения естественным выглядит вопрос: ка-

ково количество т-арных деревьев с заданным числом левых, вторых слева, и так далее, правых потомков? Теорема 1 дает функциональное уравнение для производящей функции этой последовательности. Таким образом, помимо основных результатов - теорем 2 и 3, относящихся к теории случайных матриц, получен чисто комбинаторный вспомогательный результат - теорема 1, представляющая самостоятельный интерес.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации - 81 страница, список литературы содержит 61 наименование.

Основные результаты диссертации отражены в публикациях [1, 2, 17, 18, 19] и докладывались на следующих конференциях:

• Первый Северный трехсторонний семинар (9-11 марта 2009 г., Хельсинки, Финляндия);

• Конференция по свободной теории вероятностей и случайным комбинаторным структурам (7-9 декабря 2009 г., Билефельд, Германия);

• Третий Северный трехсторонний семинар (11-13 апреля 2011 г., Институт Эйлера, Санкт-Петербург);

• Конференция „Случайные матрицы, операторные алгебры и аспекты математической физики" (11-21 апреля 2011 г., Международный институт математической физики им. Э. Шредингера,

Вена, Австрия).

Кроме того, работа обсуждалась в Санкт-Петербурге на городском семинаре по теории вероятностей и математической статистике под руководством академика И.А.Ибрагимова (апрель 2011 г. и апрель 2012 г.) и на семинаре по теории вероятностей лаборатории им. П.Л. Чебы-шева при СПбГУ (март и май 2011 г.)

Благодарности.

Автор выражает глубокую признательность и благодарность своим научным руководителям профессорам Якову Юрьевичу Никитину и Александру Николаевичу Тихомирову за постановку интересных задач, ценные советы и внимание к работе.

Автор благодарит администрацию и сотрудников математического факультета университета г. Билефельд за содержательные математические дискуссии, а также за предоставленную возможность проводить численные эксперименты, которые сыграли важную роль при получении результатов диссертации.

Автор признателен Алексею Ананьевскому за обсуждения комбинаторных задач и за существенный вклад, который он внес в доказательство теоремы 1. Автор благодарен администрации и сотрудникам лаборатории им. П.Л. Чебышева за создание уникальной площадки для математического общения аспирантов, а также всему коллективу петербургской вероятностной школы за создание благоприятной научной атмосферы.

Заключение диссертации по теме «Теория вероятностей и математическая статистика», Алексеев, Никита Владимирович

5 Заключение.

При изучении произведения т независимых прямоугольных случайных матриц, размеры которых стремятся к бесконечности, получены следующие результаты:

1. При достаточно общих предположениях относительно элементов матриц доказано, что математическое ожидание эмпирической спектральной функции распределения Рп(х) имеет предел зависящий от количества перемножаемых матриц т и параметров у г (теорема 2).

2. Показано, что все моменты распределения С(ж) конечны, и распределение С(х) однозначно определяется своими моментами.

3. Дано комбинаторное описание моментов распределения 0(х) в терминах ш-арных деревьев с фиксированным числом потомков каждого типа.

4. Доказано, что производящая функция чисел ш-арных деревьев с фиксированным числом потомков каждого типа удовлетворяет функциональному уравнению (10).

5. Для преобразования Стилтьеса распределения (?(ж) получено функциональное уравнение (следствие 1).

При изучении т-ой степени квадратной случайной матрицы, размер п которой стремится к бесконечности, получены следующие ре-

зультаты:

1. При достаточно общих предположениях относительно элементов матриц доказано, что математическое ожидание эмпирической спектральной функции распределения Рп{х) имеет предел (2(ж), зависящий от степени т.

2. Показано, что предельное распределение С (ж) в этом случае совпадает с пределом математического ожидания спектрального распределения произведения т независимых квадратных матриц.

3. Показано, что моменты распределения С(гг) суть числа Фусса-Каталана.

4. При дополнительном условии равномерной ограниченности моментов матричных элементов доказано, что имеет место сходимость почти наверное эмпирической спектральной функции распределения Тп(х) к предельной функции С(х).

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Алексеев, Никита Владимирович, 2012 год

Список литературы

[1] Алексеев Н.В. О сходимости почти наверное спектрального распределения степени случайной матрицы к распределению Фусса-Каталана. // Записки научных семинаров ПОМИ. — 2010. — т. 384. - с. 21-28.

[2] Алексеев Н.В., Гётце Ф., Тихомиров А.Н. О сингулярном спектре степеней и произведений случайных матриц. // Доклады РАН. — 2010. - т. 433, N 1. - с. 7-9.

[3] Боровков A.A. Теория вероятностей. М.: Наука, 1986. 432 с.

[4] Боровков A.A. Математическая статистика. М.: Наука, 1984. 472 с.

[5] Гирко В.Л. Круговой закон. // Теория вероятн. и ее примен. — 1984. - т. 29, N4.-C. 669-679.

[6] Гирко В.Л. Спектральная теория случайных матриц. М.: Наука, 1988. 376 с.

[7] Грэхем Р.Л., Кнут Д.Э., Паташник О. Конкретная математика. Математические основы информатики. М.: Вильяме, 2009. 784 с.

[8] Звонкин А. К. , Ландо С. К. Графы на поверхностях и их приложения. М.: МЦНМО, 2010. 480 с.

[9] Ибрагимов И.А., Линник Ю.В. Независимые и стационарно связанные величины. М.: Наука, 1965. 524 с.

[10] Кнут Д.Э. Искусство программирования, т. 1. М.: Вильяме, 2006. 720 с.

[11] Ландо С.К. Лекции о производящих функциях. М.: МЦНМО, 2007. 144 с.

[12] Марченко В.А., Пастур Л.А., Распределение собственных значений в некоторых ансамблях случайных матриц. // Матем. сб. — 1967. - т. 72, N 4. - с. 507-536.

[13] Стенли Р. Перечислительная комбинаторика, т. 1. М.: Мир, 1990. 440с.

[14] Стенли Р. Перечислительная комбинаторика. Деревья, производящие функции и симметрические функции, т. 2. М.: Мир, 2005. 768 с.

[15] Ширяев А.Н. Вероятность. М.: Наука, 1980. 576 с.

[16] Akemann G., Baik J., Di Francesco Ph. The Oxford Handbook of Random Matrix Theory. Oxford University Press, 2011. 919 pp.

[17] Alexeev N., Gotze F., Tikhomirov A. Asymptotic distribution of singular values of powers of random matrices. // Lithuanian Math. J. - 2010. - V. 50, No. 2. - p. 121-132.

[18] Alekseev N. Genus expansion for some ensembles of random matrices.// Workshop „Random Matrix, Operator Algebra, and Mathematical Physics Aspects", Vienna, 2011, Abstracts of talks, p.l.

[19] Alexeev N. Gaussian random matrices and genus expansion. // Third Northern Triangular Seminar, St.Petersburg, 2011, Programme and Abstracts, p.5.

[20] Anderson G. , Guionnet A., Zeitouni O. An Introduction to Random Matrices. Cambridge University Press, 2009. 492 pp.

[21] Arizmendi O. K-divisible Elements. // Master's thesis, Queen's University, Canada. — 2010. — 99 pp.

[22] Bai Z.D. Circular Law. // Ann. Probab. - 1997. - V. 25, No. 1. -p. 494-529.

[23] Bai Z.D., Miao B., Yao J.-F. Convergence rate of spectral distributions of large sample covariance matrices. // SIAM J. Matrix Anal. Appl. - 2003. - V. 25, No. 1. - p. 105-127.

[24] Bai Z., Silverstein J. Spectral Analysis of Large Dimensional Random Matrices. Springer, 2010. 551 pp.

[25] Banica T., Belinschi S., Capitaine M., Collins B. Free Bessel Laws. //Canad. Journ. of Math. - 2011. - V. 63 - p. 3-37.

[26] Benaych-Georges F. On a surprising relation between the Marchenko Pastur law, rectangular and square free convolutions. //

Ann. Inst. H. Poincare, ser. Probab. Statist. - 2010. - V. 46, No. 3.

- p. 644-652.

[27] Burda Z., Jarosz A., Livan G., Nowak M.A., Swiech A. Eigenvalues and singular values of products of rectangular Gaussian random matrices. // Phys. Rev. E. - 2010. - V. 82, No. 6. - 10pp.

[28] Z.Burda, Janik R.A., Nowak M.A. Multiplication law and S-transform for non-hermitian random matrices. // Phys. Rev. E. — 2011. — V. 84, No. 6. - 17pp.

[29] Deift P., Gioev D. Random matrix theory: invariant ensembles and universality. American Math. Soc., 2009. 217 pp.

[30] Edelman A. The probability that a random real Gaussian matrix has k real eigenvalues, related distributions, and circular law. // Journ. Multivar. Anal. - 1997. - V. 60, No. 2. - p. 203-232.

[31] Gessel I.M., Guoce X. The generating function of ternary trees and continued fractions. // Electron. J. Combin. — 2006. — V. 13, No. 1.

- p. 1-48.

[32] Ginibre J. Statistical Ensembles of Complex, Quaternion, and Real Matrices. //J. Math. Phys. - 1965. - V.6, No. 3. - p. 440-449.

[33] Götze F., Tikhomirov A. Rate of convergence in probability to the Marchenko-Pastur law. // Bernoulli. - 2004. - V.10, No.3. - p. 503-548.

[34] Götze F., Tikhomirov A.N. On the Circular Law. // arXiv:math/0702386vl.

[35] Götze F., Tikhomirov A.N. The circular law for random matrices. // Ann. Probab. - 2010. - V. 38, No. 4. - p. 1444-1491.

[36] Haagerup U., Thorbjornsen S. Random matrices with complex Gaussian entries. // Expositiones Math. — 2003. — V. 21, No. 4.

- p. 293-337.

[37] Jonsson D. Some Limit Theorems for the Eigenvalues of a Sample Covariance Matrix. // Journ. of Mult. Anal. — 1982. - V.12., No. 1.

- p. 1-38.

[38] Liu D.-Z., Song C. , Wang Z.-D., On explicit probability densities associated with Fuss-Catalan numbers. // Proc. Amer. Math. Soc. — 2011. - V. 139, No.10. - p. 3735-3738.

[39] Liu D.Z., Sun X., Wang Z.D. Fluctuation of eigenvalues for random Toeplitz and related matrices. // arXiv:1010.3394v2.

[40] Mehta M.L. Random Matrices. Revised and Enlarged Second Edition. Academic Press, 1990.

[41] Mehta M.L. Random matrices. Academic Press, 2004. 688 pp.

[42] Mlotkowski W. Fuss-Catalan numbers in noncommutative probability. // Documenta Math. - 2010. - V. 15. - p. 939955.

[43] Nica A., Speicher R. Lectures on the Combinatorics of Free Probability. Cambridge University Press, 2006. 417 pp.

[44] Oravecz F. On the powers of Voiculescu's circular element. // Studia Math. - 2001. - V. 145, No. 1. - p. 85-95.

[45] O'Rourke S., Soshnikov A. Products of Independent Non-Hermitian Random Matrices. // Electr. Journ. of Probab. - 2011. - V.16, No.81. - p. 2219-2245.

[46] Pastur L., Shcherbina M. Eigenvalue Distribution of Large Random Matrices. American Mathematical Soc., 2011. 632 pp.

[47] Penson K.A., Zyczkowski K. Product of Ginibre matrices: Fuss-Catalan and Raney distributions. // Phys. Rev. E. — 2011. — V. 83, No. 6.-9 pp.

[48] Raney G.N. Functional composition patterns and power series reversion. // Trans. Amer. Math. Soc. — 1960. — V. 94, No. 3. — p. 441-451.

[49] Roga W., Smaczynski M., Zyczkowski K. Composition of quantum operations and products of random matrices. // arXiv:1105.3830vl.

[50] Segner A. Enumeratio modorum, quibus figurae planae rectilineae per diagonales dividuntur in triangula. // Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae. - 1758/59. - V.7. - p. 203-209.

[51] Sloane N.J.A. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. URL: http://oeis.org.

[52] Sinai Ya.G., Soshnikov A.B. Central Limit Theorem for Traces of Large Random Symmetric Matrices with Independent Matrix Elements. // Boletim. Soc. Brasil. Mat. - 1998. - V. 29, No. 1. - p. 1-24.

[53] Tao T., Vu V. From the Littlewood-Offord problem to the Circular Law: universality of the spectral distribution of random matrices. //Bull. Amer. Math. Soc. - 2009. - V. 46, No.3. - p. 377-396.

[54] Tao T., Van V. Random matrices: universality of ESDs and the circular law. With an appendix by Manjunath Krishnapur. // Ann. Probab. - 2010. - V. 38, No. 5. - p. 2023-2065.

[55] Tao T., Vu V. Random Matrices: The Circular Law. // Commun. Contemp. Math. - 2008. - V. 10, No. 2. - p. 261-307.

[56] Tao T., Vu V. Inverse Littlewood-Offord theorems and the condition number of random discrete matrices. // Ann. of Math. — 2009. — V. 169, No. 2. - p. 595-632.

[57] Tikhomirov A.N. The rate of convergence of the expected spectral distribution function of a sample covariance matrix to the Marchenko-Pastur distribution. // Siberian Adv. Math. - 2009. - V. 19, No. 4. - p. 277-286.

[58] Tikhomirov A.N. On the rate of convergence of the expected spectral distribution function of a Wigner matrix to the semi-circular law. // Siberian Adv. Math. - 2009. - V. 19, No. 3. - p. 211-223.

[59] Wigner E.P. Characteristic vectors of bordered matrices with infinite dimensions. // Ann. Math. - 1955. - V. 62, No. 3. - p. 548-564.

[60] Wigner E.P. On the distribution of the roots of certain symmetric matrices // Ann. of Math. - 1958. - V. 67, No. 2. - p. 325-327.

[61] Zyczkowski K., Penson K.A., Nechita I., Collins B. Generating random density matrices //J. Math. Phys. - 2011. - V. 52, No. 6. - 20pp.