Асимптотический анализ вырожденных U-статистик второго порядка: оценки точности аппроксимации и функций концентрации тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.05, кандидат физико-математических наук Зубайраев, Тимур Асламбекович

• Зубайраев, Тимур Асламбекович
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Зубайраев, Тимур Асламбекович

Оглавление

Введение

1 Базовые результаты

1.1 Основные понятия и обозначения

1.2 Вспомогательные результаты

1.3 Оценка характеристической функции и-статистики

1.4 Мультипликативное неравенство для 11-статистик

2 Функции концентрации Ц-статистик

2.1 Оценка функций концентрации

3 Оценка точности аппроксимации Ц-статистик

3.1 Оценка точности аппроксимации

3.2 Разложения характеристических функций

3.3 Применение оценок для статистик фон Мизеса

Заключение

Обозначения

Для х,у et 2 С М00

|гс| - норма X, \х\2 =def {х,х), (х,у) = J2j>oxjVj - скалярное произведение.

Для А = (ау) G Msxs

deiA- определитель матрицы А, |А| = sup^i^ |Аж| - норма матрицы А.

Мы будем использовать нормы

lAli = У, =max \oij\.

I - единичная матрица (оператор). С(Х) - распределение X. [Ь] - целая часть числа Ь. Через е(х) мы обозначим exp{ix}.

с, ci,

А <С В или А <CS В означает, что А < сВ или А < csB, соответственно. А х Б или А xs В означает, что А <С В <С А или А <CS В <CS А, соответственно.

Для подмножеств множества целых чисел Z, будем писать

[1, N] = {1,

|А| обозначает количесвто элементов множества А С Z. N - множество натуральных чисел и Z+ = N U {0}.

Если случайный вектор X принимает значения в линейном простанстве, тогда X - его независимая копия, а X = X — X - симметризация X. Для условных математических ожиданий мы будем использовать следующие обозначения:

Е{/(Х, У)|У} = ЕхПХ, У) = ЕУ/(Х, У).

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Асимптотический анализ вырожденных U-статистик второго порядка: оценки точности аппроксимации и функций концентрации»

Введение

U-статистики, как объект математической статистики, были впервые рассмотрении в работе Халмоша в 1946 году, под влиянием которой в 1948 году Хефдингом было положено начало исследований в теории U-статистик. В работе Хефдинга "A class of statistics with asymptotically normal distributions" [3] были рассмотрены U-статистики вида Un — £i<i(i)<...<i(fc)<n,fc<n h •'' Xm), где Xi,..., X„ - независимые, одинаково распределенные случайные элементы. С точки зрения теории вероятностей, U-статистики порядка к = 2,3... являются обобщением сумм независимых одинаково распределенных случайных величин, изучение которых занимает центральное место в теории вероятностей. В упомянутой работе Хефдинг установил асимптотическую нормальность невырожденных U-статистик при п —»• оо.

Введем определение U-статистики. Пусть независимые

одинаково распределенные случайные величины в некотором измеримом постранстве (X, Л) с распределением Р. Далее, определим функционал в со значениями в М, представимый в виде

в(Р) = f-'-f Ф(ХЬ • • . , Xm)P(dxi) . • • P(dxm),

где ф - ядро 0(Р), а целое число т - порядок 9. Для симметричного ядра ф мы можем определить U-статистику как

Un = {C™yl ]Г ф(Хч,...,Х1т),п>т.

l<il<...<im<n

Отметим, что Un является несмещенной оценкой 0(Р).

Рассмотрим две наиболее популярные в теории вероятностей статистики - выборочное среднее и выборочную дисперсию. Для выборочного

среднего имеем следующий набор параметров:

п

П — 1

Другие примеры можно найти в книге [19], в которой рассмотренно множество приложений И-статистик в регрессионном и кластерном анализе.

Настоящая работа посвящена получению оценок функции концентрации и точности аппроксимации для вырожденных и-статистик второго порядка следующего вида (более подробное определение будет дано в постановке задачи):

В работе получены оценки скорости сходимости Ц-статистики Т к предельному закону, также получена оценка функции концентрации 11-статистики Т. В период с 1973 по 1982 год над оценкой скорости сходимости для и-статистик работали Грэме и Серфлинг [5], доказав порядок 0(А/"_1/2+£), е > 0, затем Бикель [6], Чан и Виерман [7], Каллаерт и Янссен [8], Хелмерс и ван Цвет [9] улучшили оценку скорости сходимости до 0(А/"-1//2) во все более общих постановках задачи. Помимо этого, оценку 0(А^-1), при некоторых условиях регулярности ядра, построили в 1980 году Каллаерт и Янссен [20]. В 1984 году Королюк и Боровских [4] доказали оценку о(Аг"1/'2). Гетце в 1995 году получил порядок аппроксимации 0(А/"-1) совместно с Зитикисом [12] при некоторых условиях на

ядро и распределение. Позднее, в 1999 году, в работе Бенткуса и Гет-це [13] доказан порядок аппроксимации 0{Ы~1) при оптимальных мо-ментных условиях. Оценка содержит константу, которая имеет порядок 0(ехр (—с|<71з|)), где с - положительная константа, а > |<?2| > ••• -собственные значения оператора, ассоциированного с 11-статистикой Т. Оценка может быть улучшена до порядка 0(ехр (—с|дд|)), если фг = О, либо выполнены равенства

- Щ\(Х)ф(Х,х) = Еф1(Х)ф2(Х,х) = Еф3(Х,х) = 0.

В диссертационной работе оценка также получена в оптимальных мо-ментных условиях, но существенно улучшена по зависимости от и имеет порядок 0(|д^|~с),^ — 9,13, где ^ зависит от выполнения сформулированных выше условий. Также была улучшена оценка для функции концентрации 11-статистики Т и ее обощенного вида, полученная в работе Бенткуса и Гетце [13]. Результаты для оценки функций концентрации и точности аппроксимации могут быть полезны в теории чисел при изучении проблемы приближения числа точек, попадающих в заданное множество.

Вырожденные Ц-статистики включают в себя ряд других статистик (см. например [21]). В частности, они включают в себя квадратичные формы сумм независимых векторов в конечномерных и гильбертовых пространствах. Определенный выбор таких векторов приводит к эмпирическим процессам и, в частности, к равномерным эмпирическим процессам на отрезке [0,1]. Их норма в V2 совпадает с иАстатистикой Смирнова-Крамера-фон Мизеса. Для и;2—статистик соответствующее ядро ф имеет вид

1 1

Ф(х1 у) = 2О*2 + У2) ~ шах{ж>у} + з> где 0 < х,у < 1

с собственными значениями Хк = (ктг)~2. Предельное распределение таких статистик было исследовано Смирновым [22], Андерсоном и Дар-

лингом [23]. Точность аппроксимации для о;2-статистик получена в 1965 году Канделаки [24] - 0(1одМ)~1. В дальнейшем были доказаны оценки степенного вида 0(А^~а): в 1969 году Сазоновым [25] при а = 1/6 и в 1972 году Кифером [26] при а = 1/4. В предположении о бесконечно большом количестве ненулевых собственных значений некоторого оператора, ассоциированного с о;2-статистикой, Гетце [10,11] построена оценка 0(7У'1~£),е > 0. Условия на моменты и собственные значения улучшены Юринским [27,28], Бенткусом [29], Нагаевым и Чеботаревым [30], Залес-ским, Сазоновым и Ульяновым [31], Сенатовым [32]. Для а;2-статистик, оценки порядка 0(А/"-1) получили Бенткус, Гетце и Зитикис [33]. Порядок для диагональных квадратичных форм был доказан в 1996 году Бенткусом и Гетце [34].

Постановка задачи

Во введении будет использована независимая нумерация ссылок. В главах 1-3 первые две цифры ссылки обозначают номер главы и части, соответственно. Пусть X, X, Хл\г - независимые одинаково распре-

деленные случайные величины, принимающие значения в произвольном измеримом пространстве (X, 93). Пусть ф\. X —)• К и ф: X2 —>• К - измеримые функции. Предположим, что ф симметрична, т.е. ф{х, у) = ф(у, х), для любых х, у € 1. Рассмотрим и~статистику:

Одной из задач математической статистики является аппроксимация функций распределения статистик, имеющих сложный вид, некоторой более простой функцией распределения. В диссертационной работе эта задача решается для функции распределения 11-статистики Т, которую

а)

предполагая, что

Ефг(Х) = 0, Еф(х, X) - 0, для всех х е X, Еф2(х,Х) < оо,Еф\(Х) < оо.

обозначим через Р(х). Для Р(х) мы будем использовать приближение, так называемым, коротким разложением. Это разложение включает в себя как предельную функцию ^о(ж), так и первый член асимптотического разложения порядка 0(1/л/Л^). В работе получена оценка сверху для величины

Ддг=8ир - ад -

X

где ^(ж) - поправка Эджворта, определенная в (3.1.1). Заметим, что ^ = 0 если ф\ — О или для всех х € X справедливы равенства:

Еф\{Х) = Е ф{(Х)ф(Х,х) = Еф1(Х)ф2(Х,х) = Е ф3{Х,х) = 0. (2)

Введем ряд обозначений:

/За = Е\ф1(Х)\',Ъ=ЩФ(Х,Х)\8, (3)

о-2 = ъ,ъ,г = Е(Е{\ф(х,х)\*\х}у,

также преположим, что

(32 < оо, 0 < а2 < оо. Тогда дисперсию Т можно записать в виде:

ЕТ2 = + ^Г0"1

Статистика Т является вырожденной из-за условия а1 > 0, в силу которого квадратичная часть статистики не является асимптотически пре-небрежимой и, следовательно, распределение статистики Т не является асимптотически нормальным. Более точно, асимптотическое распределение Т задается распределением случайной величины

¿>1 3>0

где т^ последовательность независимых одинаково распределенных стандартных нормальных случайных величин, ао, ах,... последовательность

суммируемых в квадрате весов и \qi\ > \q2\ > ... собственные значения оператора Гильберта-Шмидта Q, ассоциированного с ядром ф. Подробное определение оператора Q дано в главе 1. Далее, будем считать а2 = 1. Сформулируем основной результат диссертации в виде теоремы 1:

Теорема 1 (г) Пусть

то - ki • • • Я9\~3Р~г(\дi • • • Я9\'3Р~гЪ,з/2 + 7з), V ~ с. Тогда

д ^ mo , №2+72;2) (At + 7з)

(и,) Пусть выполнено условие (2). Тогда

Доказательство данной теоремы см. в главе 3, теорему 3.1.1. Рассмотрим статистику Т*:

п= Y, <¡>(Xj,Xk)+fi(X1,...,XM)+f2(XM+li...,XN)1l<M<N/2,

1 <i<k<N

(5)

где fi = f\ (Xi,..., Хм) произвольная статистика, зависящая только от Xl, ..., Хм, Н — /гО^м+ь ■ ■ •, XN) также произвольная статистика не зависящая от Xi,..., Хм- Заметим, что класс статистик Т* является более общим, чем класс статистик Т. Для статистики Т* определим функцию концентрации:

Q(T*; Л) = sup< Г* < ж + Л}, Л > 0.

X

В нашей работе получена оценка, которая имеет степенной порядок зависимости от собственных значений оператора Q. Ниже сформулирована теорема, в которой приведена наша оценка для функций концентрации.

Теорема 2 Пусть

mQ х \qx... q9\~3p-l{\qi... ^ГУ^з/г + 7з ),p~cuqQ^ 0. Тогда

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на разделы, и списка литературы из 42 наименований. Общий объем работы составляет 91 страница.

Краткое содержание диссертации

В главе 1 введены основные понятия и обозначения, а также получены базовые результаты, в число которых входит оценка характеристических функций статистики Т* и мультипликативное неравенство для U-статистик. Оба результата необходимы для доказательства теорем 1 и 2. Аналогичные результаты имеются в работе [13], однако правые части полученных неравенств не содержат зависимости от собственных значений оператора Гильберта-Шмидта, которая понадобится нам для улучшения оценок. Получить такую зависимость удалось благодаря предложенным в настоящей работе условиям невырожденности и замене используемой в работе [13] леммы 6.6 на модифицированную лемму 2.5 из [36] (см. лемму 1.3.5).

Лемма 1 Пусть А невырожденная матрица размера s х s. Пусть X G R's- случайный вектор с ковариационной матрицей С. Предположим, что существует константа cs такая, что

Р{|Х| <св} = 1, |А| < cs, 1С-1! <cs.

Пусть U и V независимые случайные векторы, являющиеся суммами п независимых копий X. Тогда

|Ee{i(ÂC/,F)}| < c(s)|rfeiÂ|-1A42s(i;iV) для |i| > 0, где A4(t; N) = 1 /y/\t\N + y/\t\ для \t\ > 0.

Оценка в последней лемме зависит от детерминанта матрицы А. Сформулируем условия невырожденности, использованные в работе [13]. Условия невырожденности считаются выполненными для распределения случайного вектора Z, ядра ф, параметров 0<р<1,^>0и5€М, если выполнено неравенство

р(|А(я) -11^ < 6} = Р {|ф(г{, 23) - < 5} > Р,

где А - случайная матрица, составленная следующим образом:

А = А(^) = {а>ц)\<{,з<з, Щб йц = 2^, Z^, Zj— независимые копии Z.

Условия невырожденности, на которые опирается наша работа, наложены не на вероятность отклонения значений оператора от единичного оператора, а на детерминант самой матрицы А. Будем говорить, что вектор Z удовлетворяет условиям невырожденности если:

Р{\¥(2) > > р,

¥{\Ф№, г,)\ < с} > съ 1 <м<в,

где ]У(2) = (йеЬА)2,А = аг] = ф(ги 23),

Zi, 2— независимые копии вектора Z.

При этом параметр р мал, а параметр с\ близок к единице.

Благодаря условию \У(2) > 6 = д2 ... <?д нам удалось в явном виде выписать зависимость от собственных значений в оценке характеристической функции Т*. Сформулируем основной результат главы 1, в котором получена оценка характеристической функции статистики Т*.

Теорема 3 Пусть тбНи У = (2тУ1'2(Х1 + ... + Хт) удовлетворяет условиям невырожденности ... Тогда для любой статистики Т*; определенной в (5), справедливо неравенство:

\Ее{1Т*}\ -^М2з{Ш-,рМ/т). (6)

Неравенство (6), полученное в данной теореме, содержит зависимость от собственных значений = 1,9 оператора Аналогичное неравенство получено в работе Бенткуса и Гетце [13], однако, в нем не указана явная зависимость от собственных значений оператора О). Помимо этого, теорема 3 используется в доказательстве основных результатов глав 2 и 3. Для доказательства теоремы 3 использовалась техника перехода к дискретным случайным векторам, предложенная в работе Юринско-го [27]. Суть данного метода состоит в оценке сверху характеристической функции некоторой случайной величины характерестической функцией дискретной случайной величины.

Важную роль в построении оценки для функций концентрации и оценки точности аппроксимации играет мультипликативное неравенство, полученное в лемме 2. Определим функцию 1р(Ь) = |Еехр где -некоторая вспомогательная статистика, используемая в доказательстве ряда результатов.

Лемма 2 Пусть д > 0 и ь е N. Предположим, что сумма У = (2т)~1//2(Х1 + ... + Хт) удовлетворяет условиям невырожденности Л/"(<?2 • • • <?9,р). Тогда существуют константы с^в, в) и С2(й, с?) такие, что событие

В = {ф(Ь - 7+ 7) < Ф, ¿)-^Л18(7т;рМ/т)},

\Я9\

удовлетворяет условию

Р{£>} > 1 - с2(5, <£)(рМ/т)-'

В главе 2 получена оценка функций концентрации статистики Т*. Результат сформулирован в следующей теореме 4 (см. теорему 2.1.1).

Теорема 4 Пусть А > О, тогда для функции концентрации статистики Т* при дд ф 0 справедливо неравенство

где т0 х |д!... ... ^ГУ"^^ + 7з- с.

Данная теорема доказывается в три этапа. На первом этапе мы докажем, что, если для случайного вектора К = (2т)~1//2(Хх + ... + Хт) выполнены условия невырожденности • • • 2р), тогда

д(т,;А)«|99|-Е^1. (7)

Для доказательства (7) используется лемма 3 из [37], согласно которой

ей,

д(Г,;Л)< 2тах|Л;-| J ^ Ф(*)

гдеФ(0= I е{Ьх}с№(х),Ъ{х) = ¥{Т*<х}. Ум

Полученный интеграл оценивается с помощью леммы 3 (см. лемму 2.1.2), приведенной ниже. Для доказательства леммы 3 мы используем теорему 3 об оценке характеристических функций и мультипликативное неравенство для и-статистик из леммы 2.

Для А>Ь > 0 определим интегралы

/0 = Г

•)Ч<Щ<А

Лемма 3 Пусть т £ N. Предположим, что случайный вектор Y = (2m)~lj,2(Xi + ... + Хт) удовлетворяет условиям невырожденности Af(qi ... <7g,p) и s > 9. Введем ряд обозначений и условий

k = ?M.k = Ф1к-1+у,ч = £i(£)fc-i/2

mm т

cjisФ)

т т

где Cj(s), 0 < j < 3 - некоторые положительные константы. Тогда

/о \qQ\-\pM)-\h Iggl-^mCpM)"1. Сформулируем лемму, необходимую для оценки интеграла 1\ .

Лемма 4 Пусть (f(t),t > 0 - непрерывная функция такая, что ip(Q) = 1,0 < (f < 1. Предположим, что для s > 8 выполнено неравенство:

<p(t)tp(t + r) <OMs(t;N), для всех t>0ur>0u некоторого в > 1, не зависящего от t ит. Тогда для любых A>l,Q<B<luN>l справедливо неравенство

Л v(t)± <<s W+JQ9A) +

t iV

I

'b/VN

На втором этапе доказательства теоремы нам необходимо показать, что, если гауссовское распределение G удовлетворяет условиям невырожденности Л/"(4д2 ... qg, р), тогда

П(Т-\) - In 1-18max{^) mo)

— , ^

где т0 х c\qi... q$\~Zp~l{\qi. • ■ дэГУЧг.з/г + 7з)-

Мы используем (7) и лемму 5, в которой показано, что, начиная с некоторого номера га, выполнение наших условий невырожденности

Л/"(4<7х • • • для гауссовского вектора влечет за собой выполнение условий невырожденности Л/"(д2 ... 2р) и для суммы случайных векторов = т-1!2(Х1 + ... + Хт).

Лемма 5 Пусть случайный гауссовский вектор (7 удовлетворяет условиям невырожденности Л/"(4(/2 ... 1 — р).

Тогда, при

т > с3... д9\~3р~Н\я 1 • • • 99Г3Р-172,з/2 + 7з),

сумма 8т = тГ112{Х\ + ... + Хт) удовлетворяет условиям невырожденности ЛГ^2 ... <7д, 1 — 2р), .

Для доказательства результата теоремы 4 нам потребуется (8), а также оценка вероятности р, которая будет получена с помощью леммы б (см. лемму 1.2.1) и неравенства

Р{£>0,5}>0,25Л~2,

где 2 - неотрицательная случайная величина, такая, что = 1,Е^2 < А. Ниже выпишем лемму, в которой получено логарифмическое неравенство для моментов второго порядка, а также найден момент первого порядка детерминанта случайной матрицы А.

Лемма 6 Пусть Сл.,..., ..., С8 независимые, одинаково

распределенные случайные элементы в такие, что = (С?г1,6?г2, • • •), = (^15 • • •)> - независимые, стан-

дартные нормальные случайные элементы. Пусть > > ... - собственные значения оператора Гильберта-Шмидта У/ = (¿еЬК)2, где А(С) = {а^С)}^, = ф(Сг, С)) = (®Сг, С?,-).

Тогда

Е 1У = (*!)2 (?„...®,)2,

1<г1<...<гя<оо

(ЕЖ2)1/2 < ф)ЕЖ

В главе 3 получены оценки точности аппроксимации функции распределения и-статистики. Результат сформулирован в виде выписанной ранее теоремы 1, в которой получена оценка точности аппроксимации функции распределения 11-статистики в оптимальных моментных условиях. Доказательство данной теоремы опирается на лемму 7 (см. лемму 3.1.1), сформулированную ниже.

Лемма 7 Предположим, что У удовлетворяет условиям невырожденности ■■ - Яд,р)-

(%) Пусть в > 13 и т0 х ... д9|~3р_1(к1 • • • 99|~3Р_172,з/2 + 7з)-Тогда

А // т0 , № + 72,2) , ¿^лг т—¡то +

рРЩяя

р^ы18 щЯв

I

+/91 + 73 + 72,2).

|9

(п) Пусть выполнено условие (2) и в > 9. Тогда

то . (&2 + 72,2) .

Адг-ттг^ +

/а5

рЩЧд

рЫ\Яд\™ ЩЧз

№ + 7з + 72,2)-

|9

Константа р оценивается также, как и в пункте (1) теоремы 4, а величина то получена в лемме 5. Доказательство леммы 7 опирается на леммы 8 и 9 (см. леммы 3.1.1 и 3.2.5). Определим статистику Т^

= ^ Е £ МЪ),

где

25 = X, для 1 < < г, г <Е Z+, = для г <з < N.

В следующей лемме получено разложение функции распределения для статистики Т^К В доказательстве данной леммы мы использовали результаты с оценкой характеристической функции в теореме 3 и мультипликативное неравенство из леммы 2.

Лемма 8 Пусть m G N, s > 9 и tQ = m'1(pN/m)~1+2^s. Предположим, что случайный вектор Y G N{{qi... qo)2,p) • Тогда, для pN > m и m~l > t* > tо функция распределения F^ статистики

T{r)

удовлетворяет равенству

1 rNU jf

F{r\x) = ± + ttV-P- / e{-xt}F^(t)- + Д,

2 27Г J.tvî, t

где |Д| «s |q9\-18m/(pN). В лемме 9 доказана оценка поправки Эджворта.

Лемма 9 Преобразование Фурье- Стилтьеса поправки Эджворта F\ удовлетворяет неравенству:

IAWI « N-W\t\*v% + 72,2)1/2П(1 +

m

Далее, при s > 7 справедливы неравенства:

[ « iV"1/2(ft2+72,2)1/2к8Гя/2А3-"'2, â» л > о,

J|(|>A l'I

J R H

Благодаря лемме 8, мы можем оценить величину Адг сверху следующим образом

A N<J + R: Гт* fît

J=def \F(t) - F0(t) + FMtt,

J-Nt* 14

R - остаточный член, который оценивается с помощью сформулированных ранее лемм 9 и 8. Определим к = n(t)

«(*) = /c(i, N, ф% C(X)) = ^(t) + Kzit), l = [(N- 2)/20],

где

^(¿)=sup|Ee{iAT-1 J2 <f>(XjiXk) + L(X1,...,Xl)}\,

1 1 <j<k<l

L 1<j<k<l супремум берется по всем линейным статистикам L, которые могут быть представлены как L{xi,... ,xi) = i fj(xj) c некоторыми функциями fi,...,fi. Мы можем получить оценку для «(£), применив теорему 3 с заменой N па, I.

Оценим J. Чтобы оценить подынтегральное выражение выпишем лемму 10 (см. лемму 3.2.1), в которой доказана оценка для Адг = |F(t) — FoM + AWI-

Лемма 10 Справедливо неравенство:

Адг < +t6(32 + t272 + |*|37з + |^|5727з + 1272,2 +167272,2).

Если выполнено условие (2), тогда Fi(t) = 0 и выполнено неравенство

An < kN-1^ + ¿272 + И37з + ¿47272,2).

В главе 3 построена оценка для статистик фон Мизеса вида

м = 4 Е <ЦХиХ1) + -±= Y, MXi).

Ki,j<N Vi l^N

Ядра ф и ф\ вырождены. Результат доказан аналогично оценке точности аппроксимации U-статистик. Рассмотрим функцию ф(х) = (ф(х,х) — v) /2, где у = Еф(Х,Х). Перепишем предыдущее равенство

l^KN

где Т определена в (1). Мы применим оценку для данных статистик, предполагая, что Еф(Х) = 0 и g = Еф2(Х) < оо. Пусть F* - функция

ограниченной вариации (при условии дз ф 0) с преобразованием Фурье-Стилтьеса

Дм = = -^=Еф0(С)е{Щ},

и таким, что F*(—оо) = 0. Запишем Н\ = F\ + F*, пусть Я - функция распределения М — и/2. Определим

<5лг = sup |<5лг(ж)|, = Н(х) - F0(x) - Hi(x).

х

Сформулируем результат для статистик фон Мизеса (см. теорему 3.3.1) Теорема 5 (г) Предположим, что q\3 ф 0,

т0 х |дх... д9Г3Р_1(к1 • • • 9эГ3Р_172,з/2+7з); Р х с. Тогда мы имеем л т° (fff + 72,2) (& + 7з + е)

(и) Предположим, что (2) выполнено и qg Ф 0. Тогда мы имеем

Зависимость от собственных значений qj оператора Q имеет степенной порядок. Результата теоремы 5 существенно улучшает аналогичную оценку, которая построена в работе Бенткуса и Гетце [13] и имеет степенной порядок.

Заключение диссертации по теме «Теория вероятностей и математическая статистика», Зубайраев, Тимур Асламбекович

Основные результаты докладывались на:

1. X Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (осенняя открытая сессия) (Сочи - Дагомыс, 1-8 октября 2009).

2. XVIII Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов-2011" (11-15 апреля 2011).

3. Научно-исследовательском семинаре кафедры математической статистики факультета ВМК МГУ имени М.В.Ломоносова, г. Москва, 2010, 2011 гг.

Результаты опубликованы в статьях [41-43] и в качестве тезисов докладов [44].

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Зубайраев, Тимур Асламбекович, 2012 год

Литература

1. Haimos P. The theory of unbiased estimation // Ann. Math. Statist.— 1946. - Vol. 17, no. 1. - Pp. 34-43.

2. Mises R. von. On asymptotic distribution of differentiable statistical functions // Ann. Math. Statist. — 1947. - Vol. 18, no. 2. — Pp. 309-348.

3. Hoeffding V. A class of statistics with asymptoticaly normal distribution // Ann. Math. Stat. - 1948.- no. 19. — Pp. 293-325.

4. Королюк B.C., Воровских Ю.В. Теория U-статистик. — Киев: Науко-ва думка, 1989.

5. Grams W.F., Serfling R.J. Convergence rates for U-statistics and related statistics. // Ann. Statist. - 1973, —no. 1. —Pp. 153-160.

6. Bichel P.J Edgeworth expansions in nonparametric statistics. // Ann. Statist. - 1974. - no. 2. - Pp. 1-20.

7. Chan Y.-K., Wierman J. On the Berry-Esseen theorem for U-statistics // The Annals of Probability. - 1977. - Vol. 5, no. 1. — Pp. 136-139.

8. Callaert H., Janssen P. The Berry-Esseen theorem for U-statistics // The Annals of Statistics. - 1978. - Vol. 6, no. 2. - Pp. 417-421.

9. H elmers R.,van Zwet, W.R. The Berry-Esseen bound for U-statistics // Statistical Decision Theory an Related Topics, III (S.S. Gupta and J.O. Berger, eds.). - 1982. - Vol. 1. - Pp. 497-512.

10. Götze F. Asymptotic expansions for bivariate von Mises functionals // Z. Wahrsch. Verw. Gebiete. - 1979. - no. 50. - Pp. 333-355.

11. Götze F. Expansions for von Mises functions // Z. Wahrsch. Verw. Gebiete. - 1984. - no. 65. - Pp. 599-625.

12. Götze F., Zitikis R. Edgeworth expansions and bootstrap for degenerate von Mises statistics. // Probab. Math. Statist. — 1995. — no. 15. — Pp. 327-351.

13. Bentkus V., Götze F. Optimal bounds in non-Gaussian limit theorems for U-statistics // The Annals of Probability. — 1999. — no. 1. — Pp. 454521.

14. Борисов И. С., Володько H.B. Экспоненциальные неравенства для распределений U- и V-статистик от зависимых наблюдений // Машем. тр. - 2008. - Т. 2, № 11. - С. 3-19.

15. Борисов И.С, Жечев В.А. Функциональная предельная теорема для канонических U-процессов от зависимых наблюдений // Сиб. матем. журн. - 2011. - Т. 52, № 4. - С. 754-764.

16. Борисов И. С, Володько Н.В. Ортогональные ряды и предельные теоремы для канонических U- и V-статистик от стационарно связанных наблюдений // Матем. тр. - 2008. — Т. 11, № 1. - С. 25-48.

17. Борисов И. С, Саханенко Л.А. Центральная предельная теорема для обобщенных статистик Мизеса с вырожденными ядрами // Матем. тр. - 2001. - Т. 4, № 1. - С. 3-17.

18. Götze F., Tikhomirov A.N., Yurchenko V.A. Asymptotic expansion in the central limit theorem for quadratic forms // Зап. научп. сем. 770-МИ. - 2007. - Vol. 341,-Pp. 81-114.

19. Kowalski J., Tu X. M. Modern Applied U-statistics. — John Wiley and Sons, 2008.

20. Callaert H., Janssen P. The Berry-Esseen theorem for U-statistics // The Annals of Statistics. - 1980. - Vol. 8, no. 2. - Pp. 299-312.

21. Lee A.J. U-statistics, Theory and practice. — Dekker, New York, 1990.

22. Smirnov N.V. On the distribution of the ш2 criterion of von mises // Rec. Math. - 1937. - № 2. - C. 973-993.

23. Anderson T.W., Darling D.A. Asymptotic theory of certain "goodness of fit" criteria based on stochastic processes // Ann. Math. Statist.— 1952. - no. 23. - Pp. 193-212.

24. Канделаки Н.П. Предельные теоремы в Гильбертовом пространстве // Труды Вычислительного Центра Академии Наук Грузинской ССР. - 1965. — № 11. — С. 46-55.

25. Sazonov V. V. An improvement of a convergence rate estimate // Theory Probab. Appl. — 1969. - no. 14. - Pp. 640-651.

26. Kiefer J. Skorohod embedding of multivariate r.v.'s and the sample df // Z. Warsch. - 1972. - no. 24. - Pp. 1-35.

27. Yurinskii V. V. On the accuracy of normal approximation of the probability of hitting a ball // Theory Probability Applications. — 1982. — no. 27. - Pp. 280-289.

28. Yurinskii V. V. Sums and Gaussian Vectors. Lecture Notes in Math. No. 1617.— Springer, Berlin, 1995.

29. Bentkus V. Asymptotic expansions for distributions of sums of independent random elements of a Hilbert space // Lithuanian Math. J. - 1984. - no. 24. - Pp. 305-319.

30. Nagaev S. V., Chebotarev V.I. A refinement of the error: estimate of the normal approximation in a Hilbert space // Siberian Math J. — 1986. — no. 27. - Pp. 436-450.

31. Sazonov V. V., Ulyanov V. V., Zalesskii B.A. A sharp estimate for the accuracy of the normal approximation in a Hilbert Space // Theory Probability Applications. — 1988b. - no. 68. — Pp. 700-701.

32. Senatov V. V. On rate convergence in the central limit theorem in a Hilbert space // Fifth Vilnius conference on probability theory and mathematical statistics. Abstracts. — 1989. — no. 4. — P. 222.

33. Bentkus V., Gotze F., Zitikis R. Asymptotic expansions in the integral and local limit theorems in Banach spaces with applications to u-statistics // Theory Probab. Appl. - 1997. - no. 42.- Pp. 308-335.

34. Bentkus V., Gotze F. Optimal rates of convergence in the CLT for quadratic forms // Ann. Probab. — 1996. — no. 24. — Pp. 466-490.

35. Bentkus V., Gotze F. Uniform rates of convergence in the CLT for quadratic forms in multidimensional spaces // Prob. Theory and Related Fields - 1997. - no. 109. - Pp. 367-416.

36. Ulyanov V. V., Gotze F. Uniform approximations in the CLT for balls in euclidian spaces // University of Bielefeld. — 2000. — no. SFB 343.

37. Петров В.В. Суммы независимых случайных величин.— Москва: Наука, 1972.

38. Chung K.L. A course in probability theory. — Academic press, New York, 1972.

39. Greub W. Multilinear algebra. — Springer-Verlag, New Yourk Inc, 1978.

40. Bogachev V. Gaussian measures. — AMS, Providence, RI, 1998.

41. Zubayraev T. Asymptotic analysis for U-statistics and its application to von Mises statistics // Open Journal of Statistics.— 2011.— Vol. 1, no. 3. - Pp. 139-144.

42. Зубайраев T.A. Об асимптотическом анализе U-статистик: оценка функций концентрации // Вестник Тверского государственного университета. Серия: Прикладная математика.— 2011.— № 22.— С. 73-84.

43. Зубайраев Т.А. Об асимптотическом анализе Ц-статистик: оценка точности аппроксимации функции распределения // Сборник статей молодых ученых факультета ВМК МГУ. — 2010. - Т. 1, № 7. -С. 99-108.

44. Зубайраев Т.А. Оценка функций концентрации И-статистик // Сборник тезисов XVIII Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "ЛОМОНОСОВ - 2011"; секция "Вычислительная математика и кибернетика "; Москва, МГУ им. М.В. Ломоносова.- 2011.-С. 15-16.