Предельные теоремы для броуновского движения и некоторых процессов с ним связанных тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.05, кандидат физико-математических наук Денисов, Игорь Валентинович

• Денисов, Игорь Валентинович
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Денисов, Игорь Валентинович

Введение.

Глава 1. Расщепляющие моменты.

§1.1. Расщепляющие моменты и их свойства.

§1.2. Представление расщепляющего момента для нормированного случайного блуждания.

Глава 2. Функциональные предельные теоремы.

§2.1. Предельные теоремы для поведения нормированного случайного блуждания и броуновского движения после расщепляющего момента.

§2.2. Предельные теоремы для поведения нормированного случайного блуждания и броуновского движения до расщепляющего момента.

§2.3. Случайное блуждание и броуновское движение, рассматриваемые из точки максимума.

§2.4. Марковское свойство для предельных процессов.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Предельные теоремы для броуновского движения и некоторых процессов с ним связанных»

В последние годы в области функциональных предельных теорем в пространстве С[0,1] — непрерывных действительных функций, определённых на отрезке [0,1] с равномерной метрикой, значительный интерес вызывают так называемые условные предельные теоремы для случайных блужданий [8], [17], [18], [19], [24], [26], марковских цепей [20], ветвящихся процессов [9], [10], [14], [15] и броуновского движения [21], [22]. Пусть X : О —>• (7[0,1] — некоторое отображение измеримого пространства (О,.?-") с вероятностной мерой Р на нём в пространство (<7[0,1],С), где С — сг-алгебра, порожденная открытыми множествами в С[0,1] относительно равномерной метрики, Рх — вероятностная мера на (С[0,1],С), индуцированная отображением X :

РХ(А) = Р(» : Х(и) <=А), Ае С.

Отображение X называют случайным элементом в (<7[0,1], С), Рх — его распределением вероятностей. Случайный элемент X называют также случайным процессом, имея в виду, что X = Х<(о>),0 ^ t ^ 1, является функцией переменного t. Для краткости мы будем опускать зависимость Xt(uj) от ш и употреблять запись (X(i) : 0 ^ t ^ 1).

Пусть А € С некоторое событие положительной меры Рх• Положим Х-1 (А) = {ш : Х(а?) € Л} и введем отображение (X | Л) измеримого пространства (Х-1 (Л), Х-1 (Л) nf)c вероятностной мерой

Р(А | Х-1 (Л)) = p{P*lA)y А € ТПХ^(А), в пространство (А, А П С). Случайный элемент (X | А) имеет распределение вероятностей

Далее для отображения (X | А) будем также употреблять обозначение (Х(£) : 0 ^ t ^ 1 | А) и называть условным процессом. Мы будем рассматривать последовательность случайных элементов Хп из (С[0,1 ],С) и, соответственно, последовательность Рхп их распределения вероятностей.Если имеет место слабая сходимость вероятностных мер [1]

Рхп => Рх, » оо, и X случайный элемент с распределением вероятностей Рх, то мы будем говорить, что последовательность Хп сходится по распределению к X и записывать это в виде

Хп X, п —у оо.

Функциональной условной предельной теоремой мы будем называть утверждения вида

Хп | А„) -» У, п —> оо, где Лп - некоторая последовательность множеств положительной меры.

После классических условных предельных теорем для ветвящихся процессов и некоторых их обобщений возрождение интереса к подобной проблематике связано с работами Белкина [17], [18]. Приведем один из результатов работы [18].

Обозначим В = (B(t) : t > 0) - процесс броуновского движения, заданный на вероятностном пространстве (Q,,F,P). Определим случайные величины т\ и т2 ti = sup{i 5С 1 : B{t) = 0}, т2 = inf {t > 1: B(t) = 0}, и положим B(n + (l-n)t) W- (l-Tl)l/2 ' W В(тг + (r2 - Tl)t) при 0 ^ t ^ 1.

Пусть Sn = £ i +£2 4-----f~ So — 0, n = 1,2,. — случайное блуждание, построенное по последовательности независимых одинаково распределенных случайных величин ••>&»» Щг = 0, Щг = 0"2,О < о3 < оо. При любом re ^ 1 введем кусочно-линейный процесс Хп = (Xn(t) : 0 < t < 1), положив для точек вида t = k/n,Q < к < п, и определяя процесс с помощью линейной интерполяции при остальных значениях t.

Предположим, что введенные выше случайные величины £1,^2, •• • • • ■ являются целочисленными. Пусть Л € С — множество всех непрерывных функций на отрезке [0,1], не принимающих значение ноль на (0,1]. Тогда [18]

Xn(t):0^t <1 п —У оо. (3)

Случайный элемент В+ = (B+(t) : 0 ^ t ^ 1) называют броуновской извилиной или броуновским меандром (Brownian meander) со знаком, = : 0 ^ t ^1) называют броуновской экскурсией (Brownian excursion) со знаком.

Броуновская экскурсия (без знака) Wq = (W^~(i) : 0 ^ t ^ 1), броуновская извилина (без знака) = (W+(£) : 0 < t ^ 1) определяются соотношениями

W+ = |В+|, (4)

Wo+ = \ВП (5)

Следующий результат в этом направлении принадлежит Иглхарту [24], который установил, что

Х„(«) : 0 < t < 1 | Т+ > п) 4 W+, п —У оо, (6) где Т+ — inf {n > 0 : Sn ^ 0}, при условии Е ) (3< оо. Усиление этого результата с использованием другого подхода принадлежит Болтхаузену [19]. При этом условие Е | £1 |3< оо оказалось излишним.

В статье Кэя [26] для целочисленного случайного блуждания с шагом 1 доказана сходимость

05$г^1|Т = га)Д В+, п -)■ оо, (Т) где Т = inf {п. > 0 : Sn = 0}.

Отметим другой тип условных предельных теорем, в которых рассматривается случайный процесс (X(t) : 0 ^ £ ^ 1) — случайный элемент пространства (С[0,1 ],С) при условии семейства событий Ае, зависящего от непрерывного параметра е > 0, при е —у 0. И речь идет о слабой сходимости условного процесса 0 < г ^ 1 I Ае) Д Y, £ —0, полагая, что слабая сходимость имеет место для любой последовательности е„ 0 при 71 —у оо. При этом, естественно, более интересен случай когда PpT-^Ae)) 0 при е 0.

Приведем, для примера, следующие условные предельные теоремы для условного броуновского движения (W(t) : 0 ^ t ^ 1) [21], [22]:

W(t) : 0 < t < 1 | m > -е) Д W+, £ —у 0, (8) где m — inf {W(i) : 0 ^ t ^ 1}; для броуновской извилины

W+(t): 0 ^ t < 1 | W+( 1) < е) Д W+, е —>■ 0, (9) и для броуновского моста = W{t) — tW(l) :

W°(t) : 0 < t < 1 | mo > -e) Д W+, e -»■ 0, (10) где mo = inf {W°(f) : 0 t < 1}.

Целью диссертации является получение условных функциональных предельных теорем двух указанных выше типов. Делается шаг в построении общей теории на основе использования так называемых расщепляющих моментов. Перейдем к изложению содержания диссертации.

Представим (3), (6) в несколько иной форме. Для этого введем функционал г0 : С[0,1] —У [0,1]

To(/)=sup{te[0,l]:/(£) = 0}, € С[0,1].

Тогда результат (3) работы [18] записывается в виде то(Хте) = 0) Д.В+, п -У оо. (11)

Предельную теорему (6) можно представить в виде

Xu(t) : 0 ^ t ^ 1 | тт(Хп) = 0) Д W+, п^ оо, (12) где функционал тт : С[0,1] —» [0,1] определяется формулой тто(Я = sup {t е [0,1] : /(£) = т}, где / € С\О, l],m = inf {f(s) : 0 < s > 1}.

Далее, определим семейства отображений Н~,Н£ из С[0,1] в С[0,1] для фиксированного а € (0,1) формулами

Н~т = /И)/«1/2, /(a + (l-a)t)-/(g) (ia)i/2 о < 1.

Обратим внимание на то, что по определению

В+ = Е+В, а равенство по распределению

W+ = H+JB\, следует из результатов диссертации. Тем самым, предельные условные теоремы (11), (12) формулируются в виде

Xn(t) : 0 < t < 1 | т0(Хп) = 0) 4 Н+В, п —> оо. (13)

Xn(t)\ : 0 < t < 1 | rm(\Хп\) = 0) 4 Я+ |В|, n ^ оо, (14)

Ряд теорем, полученных в диссертации, имеют вид, аналогичный соотношениям (13), (14):

Хп(*) : 0 ^ t < 1 | т(Х») = 0) 4 H?(W(t) : 0 < t ^ 1), п оо. (15) (X„(i) : 0 < t < 1 | = 1) 4 #~(IF(*) : 0 ^ t < 1), n ^ оо, (16) где, однако, в качестве т(/) берется измеримый функционал некоторого общего вида.

В главе 1 даются определения и излагаются свойства расщепляющих моментов, которые позднее используются при доказательстве условных функциональных предельных теорем.

Обозначим (С*,С*) измеримое пространство действительных непрерывных функций, определенных на отрезке [0, s] для s <Е (0, оо) и на полупрямой [0, оо) при $ — оо, с <7-алгеброй С порожденной открытыми множествами, положим

С00 = с, с°° = с.

Функции f,g G Cs назовем (t-*r) - эквивалентными, 0 < t < s, и введем для этого обозначение / ~ д, если f(u) = д(и) при и € [t, «]. Назовем / и д (t—) -эквивалентными: / ~ д, если /(«) = д(и) при и € [0,t], t < s.

Введем операции \A\t и над подмножествами из С*, полагая [A]f = {/ € С* : 3<7 € А такая,что д ~ /}, {f (£ С" : 1д е А такая,что д ~ /}.

Таким образом, [A\t ([A]t+) состоит из функций пространства Ся, совпадающих с какой-нибудь функцией / € А на отрезке [0,£] Применяя веденные операции к функциям пространства С8, можно записать до*. = U Wt-, f€A U i/W • а

Пусть ([0, — отрезок [0, s] с <т-алгеброй его борелевских множеств. Ввведем понятие расщепляющего момента.

CS,B3) — измеримый функционал т :CS —[0, «] U {с»} называется расщепляющим моментом, если при любом t € [0, s] выполняется € (7s : т/ = t} = [{/ е Са : г/ = t}]t П [{/ € (7s : т/ = t}]t+ .

Расщепляющий момент был введен в работе Якобсена [25] в следующей форме. Измеримый функционал т : С* —> [0,«] U {сю} называется расщепляющим моментом, если для любых функций /i, /2 £ Cs таких,что гД = т/г = £, /i (£) = /г(£) следует,что т/ = £, где

В § 1.1 устанавливается эквивалентность данных определений. Легко видеть, что функционалы то,тт являются расщепляющими моментами.

В главе 2 при доказательстве условных функциональных предельных теорем рассматриваются измеримые функционалы г : С* —> [0, з] U {оо}, удовлетворяющие дополнительным условиям. В качестве расщепляющих моментов рассматриваются функционалы т : С1 —У [0,1], у которых множество точек разрыва DT имеет винеровскую меру нуль: Pw{Dt) = 0.

Остальные условия формулируются в § 1.2 и далее считаются выполненными. Первое требование на измеримый функционал т : С8 —Y [0, s] U {оо} состоит в том, что

A) г = т(/) — расщепляющий момент.

B) Расщепляющий момент тХте(-,а?) принимает значения вида к/щ к — = 0,1,.,та.

Условие (В) обеспечивает дискретность случайной величины T-Xjj, что естественно, поскольку, например, в случае простого случайного блуждания Хп(-,ш),ш £ О как функция от и> принимает конечное число значений в пространстве С[0,1].

Ключевым является следующее требование (С), которое формулируется в виде определения и называется условием согласованности.

С)ОпРЕДЕЛЕНИЕ. Расщепляющий момент т : С[0,1] —У [0, l]U{oo} назовем согласованным с броуновским движением, если Эля любого t £ (0,1) € CfO, 1]: т(/) = t}]t ={fe С[0,1]: r(Ht~f) = 1}, € С[0,1]: т(/) = t}]t+ = {f е С[ОД]: т(Я+/) = 0}.

Преобразования Щ : С[0,1] С[0,1], Я+ : С[0,1] С[0,1], как известно, "сохраняют" броуновское движение, то есть процессы H^W и H^W совпадают по распределению с броуновским движением W. А условие (С) обеспечивает преобразование события {/ €Е С[0,1] : т(/) = t} в события {/ € С[0,1]: т(/) = 1} и {/ € С[0,1]: т(/) = 0} при отображениях Н^ и Н^, соответственно.

По последовательности процессов Хп, п = 1,2,. определим последовательность случайных величин То, Т%,. ,Тп,. :

ГоН=0,

Тг(ш) = inf {к > 0 : тХ*(-,«) = 1},

Т2(ш) = inf {& > Тг : rXfe(-,«) = 1}, (1?)

Тп(ш) = inf {к > Гп! : тХк(-,ш) = 1},

Поясним смысл так определенной последовательности случайных величин. В качестве расщепляющего момента возьмём функционал

Г(/) = то(/) = sup {t е 10,1] : fit) =0}, / € С1, то есть непрерывной функции, определённой на отрезке [0,1], ставим в соответствие последний момент её достижения нуля. И рассмотрим случай простого случайного блуждания Sn, So = 0, выходящего из нуля. Учитывая, что тXk = 1} = {Sk = 0}, получаем

То = 0,

T1=m£{k>0:Sk = 0}, Т2 = inf {к > Ti : Sk = 0},

Тп=Ы{к >Тп^ :Sk=0},

То есть случайные величины Tj, Г2,., ,. — последовательные достижения нуля простым случайным блужданием.

Рассмотрим первый момент достижения максимума функцией пространства С1

TM{f) = m£{t е [0,1] : № =М}, feC\ где

М = M(f) = sup {/(*) : 0 ^ s < 1}, и случайное блуждание с произвольным шагом, получаем, что случайные величины

Т0 = О,

Тг = inf {к > 0 : Sk > 0}, Т2 = inf > Ti : Sk > Sti},

Tn =mf{k> : Sk > STnJ, являются лестничными моментами [6].

ТЕОРЕМА 1. Пусть расщепляющий момент т : С1 —У [0,1] U {оо} удовлетворяет условиям (А), (В), (С) и тХг = 0} 3 {тХ2 = 0} 3 ••• 3 {тХп = 0} 3 .

Тогда последовательность случайных величин То, Т\,., Тп,. образует процесс восстановления. Заметим, что условие тХг = 0} 3 {тХ2 = 0} 3 ••• 3 {тХп = 0} 3 ••• выполняется, если предположить, что расщепляющий момент г удовлетворяет условию

D) {f е С[0,1] : т/ = 0} 3 {/ € С1 : г (ffff) = 0}, для любого t € [0,1].

Заметим, что условия (А), (В), (С), (D) выполняются для приведенных выше примеров.

В главе 2 доказываются условные функциональные предельные теоремы, устанавливается, что предельное поведение, в смысле слабой сходимости, нормированных траекторий Хп на случайных отрезках [0, т] и [т, 1] совпадает с предельным поведением условных броуновских движений на отрезке [0,1], если в качестве условий выбираются события {г Е (1 — е,1]} и {т <Е [0,е)}, соответственно.

Основными результатами параграфа § 2.1 являются предельные теоремы для нормированного условного случайного блуждания и условного броуновского движения на отрезке [0,1]

W(t) \rWe [0,е))

ТЕОРЕМА 2. Пусть измеримый функционал т : С1 [0,1] U {оо} удовлетворяет условиям (А), (В), (С), (В). Тогда

Xn(t) : 0 < t < 1 | тХп = 0) 4 H+(W(t) : 0 < t ^ 1), п ^ ос.

ТЕОРЕМА 3. Пусть измеримый функционал т : С1 —У [0,1] U {оо} удовлетворяет условиям (А), (В), (С), (D). Тогда

W(t) : 0 < t < 1 I tW € [0,е)) Д : 0 < t < 1), £ 0.

В частности, если в качестве расщепляющего момента выбрать момент г(Л = то(/) = sup {£ € [0,1]: f(t) =0}, / е С\ из теорем 3, 2 получаем следущие Теорема З.А.

W(t) : 0 < t < 1 | rQ{W) е [0, е)) Д H+(W(t) : 0 < t < 1), е -V 0,

Процесс В+ — броуновская извилина со знаком (см. формула (1)). Теорема 2.А.

Xn(t) : 0 ^ t < 1 I г0(Хп) = 0) 4 #+(W(f) : 0 ^ t ^ 1), п 0.

Предельный процесс IIW = В+, тем самым Теорема 2. А является результатом, доказаным в работах [18], [24]. Приведем другой частный случай для тто(/) - sup {t € [0,1] : /(£) = то}, / € С1,

Теорема З.Б. 0 < t ^ 1 t Tm{W) e [0,e)) Д H+m(W(t) : 0 < t < 1), e 0, H+W = W+. m

Параграф § 2.2 посвящен изучению предельного поведения условного случайного блуждания

Х„(*): 0 < t < 1 | тХп = 1) и условного броуновского движения на отрезке [0,1]

W(t): 0 < t < 1 | rW G (1 - е,1]) ю

ТЕОРЕМА 2. Пусть измеримый функционал т : С1 —У [0,1] U {оо} удовлетворяет условиям (А), (В), (С), (D). Тогда

Xn(t) : 0 < t < 1 | тХп = 1) 4 H~(W(t) : 0 ^ t < 1), n ^ оо.

ТЕОРЕМА 1. Пусть измеримый функционал т : С1 —У [0,1] U {оо} удовлетворяет условиям (А), (В), (С), (D). Тогда

W(t): 0 < t < 1 | tW € (1 - е,1]) 4 H~{W{t) : 0 < i < 1), е 0.

В § 2.3. изучается случайное блуждание и броуновское движение, рассматриваемые из точки максимума.

С помощью двух независимых броуновских извилин W+ = (W+(t) : 0 ^ t ^ 1), W* = (W^i) : 0 < t < 1) определим процесс W++ = {W++{t) : -1 < t < 1) w++ =

ГтГ+Н),-1<*< о, и назовём двусторонней броуновской извилиной.

Определим отображение / —у Gf из пространства С1 в пространство С\—1,1] по формуле uv^-ZWl+tWr^-Kt^O,

Lrf)\t) f (f(r 1 (/(t - f(r + (1 - r)t))i (1 - < i < 1, где r = гм = inf {£ € [0,1]: f(s) ^ f(t),0 ^ s ^ 1}, полагая Gf(t) = 0, если т = 0 или r = 1.

ТЕОРЕМА 1. Справедливо равенство no распределению

GW = W++ и при этом GW не зависит от тщг-Следствие.

JT»(i): 0 < t ^ 1) Д W++, и, —у оо.

Таким образом, куски траекторий процесса броуновского движения слева и справа от точки максимума (г, W(t)), надлежащим образом нормированные, суть независимые траектории процесса W++.

ТЕОРЕМА 2. Пусть последовательность случайных процессов Zn = (Zn(t) : 0 ^ i ^ 1), п — 1,2,. слабо сходится в пространстве С1 к процессу броуновского движения W — {W(t) : 0 ^ t ^ 1). Тогда в пространстве С[— 1,1]

GZn 4 W++, п —у оо.

Определим случайные величины т~,т+, характеризующие время выхода траектории процесса броуновского движения из е-окрестности точки максимума (е, W(e)) т~ = sup {5 : W(s) = W(r) — е}, т+ = inf {* : W(s) = W(t) - eh

ДЛЯ любого £ > 0.

Теорема 3. Справедливо соотношение

2А

Текст делится на две главы, главы — на параграфы, при ссылках в пределах одной главы мы указываем только номер параграфа; при ссылке на параграф другой главы — номер главы и параграфа, например: § 2.1. Нумерация теорем, формул, примеров — в пределах каждого параграфа, при ссылках в пределах одного параграфа указывается номер формулы, теоремы и т.п.; за пределами параграфа указывается также номер параграфа.

Заключение диссертации по теме «Теория вероятностей и математическая статистика», Денисов, Игорь Валентинович

выводим £ С1 : т/ < П [И/ 6 С1 : т/ < г}] Д П

П[{/еС':т/<£}](+с{/еС1:г/<£}.

Следовательно, feC1:rf<e} = [{/ € С1 : т/ < *}] П [[{/ € С1 : rf < £}] Д f|

Л [{/ € С1 : rf <

Поэтому двумерное распределение процесса 1T+W, аналогично (4), равно Р (HtW(s) < х, H+W(t) <у) = KmP (W{s) < х, W{t) <y\rWe [0,e)) Г Г P € du> l{rW € [0,e)}],) Jo Jo P(rW€tO,c))

• P* (w(t -s)e dv, [\{tW e [o, £)}]e+]t) • P" ([{rW € [o,£)}]f+).

Переходя к пределу при е 0, учитывая (5), получаем

Р < ж, Я+ W(t) < у) = £ [ ^ ■ Р (Я?€ Ж/*,) • Ptt ([{TW = 0}]в+) •

Р" (w(t - s) € <fo, [[{тТГ = o>U]t) - Р» {{{rW = 0}]f+) p« ([{rPF = 0}]e+)

Следовательно, переходная плотность процесса H^W равна

P(H+W(t) <Е dx | H+W(s) = y) =

Vх (w(t-s)e dy, [[{rtr = Q}]s+}t) • Py ([{тТУ = 0}]t+)

P« ([{rW = 0}]8+)

Теорема доказана.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Денисов, Игорь Валентинович, 1999 год

1.. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. Изд-во "Наука", Москва, 1977.

2. Вентцель А.Д. Курс теории случайных процессов. Изд. "Наука", Москва, 1975.

3. Ито К., Маккин Г. Диффузионные процессы и их траектории. Изд. "Мир", Москва, 1968.

4. Козлов М.В. Элементы теории вероятностей в примерах и задачах. Изд. МГУ, Москва, 1990.

5. Леви П. Стохастические процессы и броуновское движение. Изд. "Наука", Москва, 1972.

6. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и её приложения, т.1,2, Изд. "Мир", Москва, 1967.

7. Ширяев А.Н. Статистический последовательный анализ. Изд. "Наука", Москва, 1969.

8. Афанасьев В.Й. Условное случайное блуждание с отрицательным сносом. Теория вероятностей и её применения,1979, т.24, выпуск 1, стр.191-198.

9. Афанасьев В.И. Предельная теорема для критического ветвящегося процесса в случайной среде. Дискретная математика, 1993, т.5, N1, стр.45-58.

10. Афанасьев В.Й. Новая предельная теорема для критического ветвящегося процесса в случайной среде. Дискретная математика, 1997, т.9, N3, стр.52-67.

11. Денисов И.В. Случайное блуждание и винеровский процесс, рассматриваемые из точки максимума. Теория вероятностей и её применения, 1983, т.ЗЗ, выпуск 4, стр.785-788.

12. Денисов И.В. Условные предельные теоремы для броуновского движения и случайного блуждания. Успехи математических наук, 1987, т.42, выпуск 2(254), стр.225-226.

13. Дынкин Е.Б. Некоторые предельные теоремы для сумм независимых случайных величин с бесконечными математическими ожиданиями. Известия Академии наук СССР, 1955, т.19, N4, стр.247-266.

14. Козлов М.В. Условная функциональная предельная: теорема для критического ветвящегося процесса в случайной среде. Доклады Академии наук, 1995, т.344, N1, стр.12-15.

15. Lamperti J., Ney P. Conditioned branching processes and their Hmiting diffusions. Теория вероятностей и её применения, 1968, т.13, выпуск 1, стр. 126137.

16. Молчанов С.А., Каленский Л.А. Поведение траектории случайного блуждания вблизи точки максимума и предельные теоремы на группе афинных преобразований прямой. Успехи математических наук, 1978, т.ЗЗ, в.1 (199), стр.215-216.

17. Belkin В. A limit theorem for conditioned recurrent random walk attracted to a stable law. Ann. Math. Statist., 1970, vol.41, N.l, p.146-163.

18. Belkin B. An invariance principle for conditioned recurrent random walk attracted to a stable law. Z. Wahrscheinlichkeitstheorie und Verw. Gebiete, 1972, vol.21, N.l, p.45-64.

19. Bolthausen E. On a functional Emit theorem for random walks conditioned to stay positive, Ann. Probability. 1976, vol.4, N.3, p.480-485.

20. Durrett R., Conditioned limit theorems for some null recurrent Markov processes. Ann. Probability, 1978, vol.6, N.5, p.798-828.

21. Durrett R., Iglehart D.L., Miller D. Weak convergence to Brownian meander and Brownian excursion. Ann. Probability, 1977, vol.5, N.l, p.117-129.

22. Durrett R., Iglehart D.L. Functionals of Brownian meander and Brownian excursion, Ann. Probability. 1977, vol.5, N.l, p.130-135.

23. Garsia A.,Lamperti J. A discrete renewal theorem with infinite mean. Comment. Math, helv., 1963, vol.37, N 3, p.221-234.

24. Iglehart D.L. Functional central limit theorems for random walks conditioned to stay positive. Ann. Probability, 1974, vol.2, N.4, p.608-619.

25. Jacobsen M. Z. Splitting times for Markov processes and a generalised Markov property for diffusions. Wahrscheinlichkeitstheorie verw. Gebiete, 1974, vol.30, N.l, p.27—43.

26. Kaigh W. An invariance principle for random walk conditioned by a late return to zero. Ann. Probability, 1976, vol.4, N.l, p.115-121.

27. Whitt W. Weak convergence of probability measuares on the function space C0, оо]. The Annals of Math. Stat., 1970, vol.41, N 3, p.939-944.