Предельные теоремы для ветвящихся процессов в случайной среде тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.05, доктор физико-математических наук Дьяконова, Елена Евгеньевна

• Дьяконова, Елена Евгеньевна
• доктор физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Дьяконова, Елена Евгеньевна

Содержание

Введение

Глава 1. Многотипные ветвящиеся процессы в случайной среде, порожденной последовательностью независимых одинаково распределенных случайных величин

1.1 Описание модели, основные условия

1.2 Вероятность невырождения критического процесса

1.2.1 Вероятность невырождения как случайная величина

1.2.2 Свойства класса мер, сосредоточенных на положительной по-

луоси

1.2.3 Асимптотика вероятности невырождения при наличии общего

левого собственного вектора у матриц средних

1.3 Вероятность невырождения при наличии общего правого собственного вектора у матриц средних

1.3.1 Сходимость некоторых функционалов от ветвящихся процессов

1.3.2 Асимптотика вероятности невырождения при наличии общего

правого собственного вектора у матриц средних

1.4 Функциональная предельная теорема

1.5 Вероятность вырождения критического процесса в фиксированный момент

1.6 Вероятность невырождения докритических процессов

1.7 Асимптотика вероятности невырождения докритических процессов

Глава 2. Многотипные ветвящиеся процессы в марковской случайной

среде

2.1 Описание модели

2.2 Вероятность невырождения процесса

2.2.1 О произведениях матриц специального вида

2.2.2 Доказательства теорем об асимптотике вероятности невырож-

дения

2.3 Предельные теоремы о числе частиц в процессе

2.3.1 Условные предельные теоремы о распределении числа частиц

2.3.2 Свойства вложенного ветвящегося процесса

2.3.3 Доказательство теоремы о распределении числа частиц в про-

цессе

Глава 3. Ветвящиеся процессы с одним типом частиц в замороженной среде

3.1 Описание модели, основные условия

3.2 Свойства случайных блужданий и замены мер

3.3 Асимптотика вероятности невырождения процесса

3.4 Условное распределение числа частиц в процессе

3.5. Конечномерные распределения

3.5.1 Свойства случайных блужданий и процессов Леви

3.5.2 Глобальные и локальные свойства итераций производящих функций

3.5.3 Доказательство теоремы о конечномерных распределениях

3.6 Условное распределение числа частиц в процессе вблизи точки гло-

бального минимума сопровождающего блуждания

3.7 Предельная теорема о распределении числа частиц в моменты локальных (но не глобальных) минимумов сопровождающего блуждания

3.8 Поведение редуцированного процесса вблизи точки глобального ми-

нимума сопровождающего случайного блуждания

3.9 Расстояние до ближайшего общего предка

3.10 Свойства редуцированных процессов в моменты времени, расположенные существенно правее т(п)

3.11 Редуцированные процессы в моменты времени ni, 0 < t < 1

3.12 Процессы с устойчивыми сопровождающими случайными блужданиями

Глава 4. Процессы с миграцией

4.1 Переходные явления для процессов с однородной миграцией

4.2 Переходные явления для процессов с зависящей от состояния имми-

грацией

4.3 Переходные явления для процессов с миграцией, эволюционирующих

в марковской случайной среде

4.4 Переходные явления для процессов с зависящей от состояния имми-

грацией, функционирующих в марковской случайной среде

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Предельные теоремы для ветвящихся процессов в случайной среде»

Введение

Теория ветвящихся процессов изучает вероятностные модели, отражающие поведение различных совокупностей размножающихся и погибающих частиц. Основы этой теории были заложены в середине двадцатого столетия работами Колмогорова А.Н., Дмитриева Н.А. [16], Севастьянова Б.А. [23], [24], Яглома А.М. [30], Беллмана Р. и Харриса Т. [41]. С тех пор теория ветвящихся процессов постоянно и интенсивно развивается.

Изложению теории ветвящихся процессов посвящены широко известные монографии Севастьянова Б.А. [22], Харриса Т. [28], Атрейя К. и Нея П. [38], Мода К. [68], Ягерса П. [81]. Классической моделью ветвящегося процесса является процесс Гальтона-Ватсона, описывающий число частиц в популяции, в которой законы размножения частиц не меняются от поколения к поколению. Стремление исследовать более сложные ситуации, когда эти законы меняются с течением времени, привело к формированию в семидесятых годах двадцатого столетия двух новых направлений в теории ветвящихся процессов.

Первое направление рассматривает ветвящиеся процессы в изменяющейся среде (так называемые, неоднородные процессы). Под средой при этом подходе понимается совокупность заданных для каждого поколения законов размножения частиц. В посвященных этому направлению работах таких авторов, как Линдвалл Т., Ягерс П., Д'Суза Ж., Иржина М., Агрести А., Биггинс Дж., описываются условия, налагаемые на среду, при выполнении которых ветвящийся процесс в изменяющейся среде обладает тем или иным важным свойством. Например, вырождается с вероятностью единица, или является надкритическим, или имеет определенную скорость роста и т.д.

Вторым направлением является теория ветвящихся процессов в случайной среде. Изучение этих процессов было вызвано стремлением выявить наиболее характерные свойства различных ветвящихся процессов в изменяющихся средах. Поэтому в рамках этого направления предполагается, что сами эти среды являются реализациями некоторого случайного механизма. Для исследования ветвящегося процесса в случайной среде нужно знать вероятностную природу этого механизма.

Одним из интереснейших объектов исследования в этой области ветвящихся процессов являются процессы Гальтона-Ватсона в случайной среде, естественным образом обобщающие классические процессы Гальтона-Ватсона. Опишем модель ветвящегося процесса Гальтона-Ватсона в случайной среде подробнее.

Пусть </р := {в = (вх, •••, 5р) : 0 < 5г < 1,г — 1 ,...,р},р > 1, - р-мерный единичный куб с вершиной в начале координат, N0 := {0,1,2,...} - множество неотрицательных целых чисел и

^ {1 = (*!,..., 1Р) : и е N0, г = 1,

р

Для э = ..., е </р и Ь = (¿15 ...,£р) Е N0 положим st :=

г=1

Рассмотрим цепь Маркова {Сп- п £ N0} с множеством состояний 9. Будем называть эту последовательность марковской случайной средой, а в случае, когда {Сп} состоит из независимых одинаково распределенных случайных величин, будем говорить, что случайная среда порождается последовательностью независимых одинаково распределенных случайных величин. С каждым значением в б © свяжем р-мерный вектор = (/^(в),..., б £ вероятностных про-

изводящих функций = 1 соответствующих р—мерным распределе-

ниям вероятностей (-{Ч}), Ь £ Таким образом,

Последовательность случайных мерных векторов =

{Zl{n)^Zp{n)).t п € N0, с неотрицательными целочисленными координатами называется ветвящимся процессом Гальтона-Ватсона с р типами частиц в случайной марковской среде если Ъ (0) не зависит от ( и для всех п € N0, г = (*!,..., 2,) 6 N5 и 0(°>, ... е ©

С{Ъ (п + 1) | г(0),..., Ъ[п - 1), Ъ(п) = (гь ..., гр), С = (0(о), 0(1),...))

\г=1 3=1 /

где случайные р—мерные векторы ..., £г-2^(п), г = 1 ,...,р, имеют це-

лочисленные неотрицательные координаты, независимы в совокупности, и, кроме того, при каждом г случайные векторы ^Р(п), ..., распределены со-

(г)

гласно вероятностной мере

Соотношение (0.1) задает ветвящийся процесс Гальтона-Ватсона в случайной среде, в котором величина Zi(n),i = 1,...,]?, - это число частиц типа г в п—ом поколении. Частицы в этом процессе эволюционируют следующим образом. Если (п = в 6 ©, то все частицы типа г, принадлежащие п-му поколению, производят потомков согласно закону распределения порождаемому р-мерной

производящей функцией независимо от других частиц этого поколения и

предыстории процесса. Таким образом, если (п — в, то в момент времени п 4- 1 потомство частицы типа г из гг-го поколения описывается случайным вектором с распределением 7гБудем считать, что процесс начинается в нулевой момент времени с одной частицы какого-нибудь типа г, г = 1, ...,р.

Отметим, что модели многотипных и однотипных ветвящихся процессов как в случайной среде, так и без нее, естественным образом возникают в различных задачах биологии и физики (см., например, [7], [60]).

Ветвящиеся процессы в случайной среде - сложные вероятностные объекты, исследование которых требует значительных усилий. Впервые эта модель была

рассмотрена Смитом В. и Вилкинеоном У. в основополагающей работе [70], где были найдены необходимые и достаточные условия невырождения процесса для случая среды, порожденной последовательностью независимых одинаково распределенных случайных величин. Затем Атрейя К. и Карлин С. в [36] и [37] проанализировали свойства ветвящихся процессов, находящихся под влиянием случайной среды более общего вида. С тех пор было опубликовано большое количество работ, посвященных этой тематике (см., например, соответствующую библиографию в [77], дающую представление о результатах, опубликованных до 1985 г., и более современные работы [1], [18], [31] - [33], [40], [45], [56], [102] - [90] и [105]).

Основными характеристиками, привлекающими внимание ученых при исследовании свойств ветвящихся процессов в случайной среде, являются асимптотика вероятности невырождения и функциональные предельные теоремы о распределении числа частиц в процессе, как правило, при условии невырождения процесса к далекому моменту времени.

Отметим, что большая часть публикаций по теории ветвящихся процессов в случайной среде посвящена изучению ветвящихся процессов с одним типом частиц. Многотипные же ветвящиеся процессы в случайной среде, ввиду значительной сложности модели, являются гораздо менее исследованным объектом. В этой связи можно упомянуть работы Танни Д. [75] и Каплана Н. [64], где были найдены условия невырождения процесса с вероятностью единица и установлены предельные теоремы о распределении числа частиц в процессе.

До появления работ автора диссертации [88], [94], [97] вопрос об асимптотике вероятности невырождения многотипного ветвящегося процесса в случайной среде оставался открытым даже для случая среды, порожденной последовательностью независимых одинаково распределенных случайных величин, не говоря уже о марковской случайной среде.

Заметим, что даже для процессов с одним типом частиц нахождение асимптотики вероятности невырождения ветвящегося процесса {г(п)} в случайной среде, порожденной последовательностью независимых одинаково распределенных случайных величин, оказалось непростой задачей. Как оказалось, асимптотика вероятности невырождения такого процесса существенным образом зависит от поведения случайного блуждания {5П, п <Е N0} , сопровождающего процесс ^(п)} . Это блуждание определяется соотношением

£о = 0, £п = Хг + ■ ■ • + Хт п > 1,

где Хп — 1п(1) ,п > 1, а /п (5) - производящая функция распределения числа непосредственных потомков частиц п-го поколения. Козлов М.В. [17] впервые обнаружил глубокую связь между распределением числа частиц в ветвящихся процессах и свойствами сопровождающих их случайных блужданий.

Афанасьев В.И., Ватутин В.А., Гайгер Й. и Керстинг Г. ввели в работе [31] классификацию ветвящихся процессов с одним типом частиц, эволюционирующих

в случайной среде, порожденной последовательностью независимых одинаково распределенных случайных величин. Эта классификация основана на свойствах случайных блужданий, сопровождающих процессы. Согласно данной классификации однотипный ветвящийся процесс {Z(n), п G No} называется докритиче-ским, если с вероятность 1

lim Sn = —оо ;

п—юо

критическим, если с вероятность 1

lim inf Sn = —оо, lim sup Sn = +00;

п-юо n—>oo

надкритическим, если с вероятность 1

lim Sn = +00 .

n-юо

Случай Sn = 0 для всех п = 0,1,2,..., соответствующий так называемым вырожденным критическим процессам, пока не привлек внимание исследователей и в настоящей работе не рассматривается. Приведенная выше классификация естественным образом обобщает классическую классификацию, предложенную ранее в работах Смита В. и Вилкинсона В. [70], Атрейя К. и Карлина С. [36] и Танни Д. [74]. Эта классификация предполагала существование конечного математического ожидания у случайной величины Х\ = In /0' (1) и основывалась на знаке величины EXi = Ein/о' (1).

Существуют два подхода к исследованию ветвящихся процессов в случайной среде. При одном из них (английский термин - quenched approach) характеристики, связанные со свойствами ветвящегося процесса в случайной среде (например, такие, как вероятность вырождения процесса или закон распределения числа частиц в момент п), трактуются как случайные величины или меры, зависящие от реализаций среды (см., например, [36]—[38], [74], [102] и соответствующую библиографию в [77]). Такую ситуацию мы будем называть эволюцией процесса в замороженной среде. При другом (annealed approach) - производится усреднение упомянутых характеристик относительно распределения, заданного на множестве всевозможных реализаций среды (см. [3]-[5], [10], [46], [51], [17], [18], [100] и библиографию в [77]).

Для случая замороженной среды свойства вероятности невырождения процесса рассматривали, например, Атрейя К. и Ней П. [38], Атрейя К. и Карлин С. [36], [37] и Танни Д. [74]. В этих работах для случая EXf < 00 было, в частности, установлено, что вероятность невырождения критических и докритических процессов равна 1 для почти всех процессов.

В рамках annealed approach асимптотика вероятности невырождения докри-тического ветвящегося процесса с одним типом частиц в случайной среде исследовалась Афанасьевым В.И. [2], Гюиварчем И. и Лиу К. [59] и в более широких условиях Афанасьевым В. И., Боингхоффом К., Ватутиным В.А. и Керстингом Г. в [33], [34]. Было показано, что указанная асимптотика существенно зависит

от знака величины ~EXieXl. В ситуации, когда EXi = O.EXf < оо, асимптотика вероятности невырождения однотипного критического ветвящегося процесса в случайной среде была найдена Козловым М.В. [17] для случая дробно-линейных производящих функций /п (s). Вопрос о нахождении асимптотики вероятности невырождения для произвольных производящих функций долгое время оставался открытым. Лишь в 2000 г. Гайгеру Й. и Керстингу Г. [56] удалось найти асимптотическое представление для вероятности невырождения в предположениях ЕХ1 = 0, EXf < оо.

До появления работ Ватутина В.А. и Дьяконовой Е.Е. [90], [91], [102] - [104] вопрос о поведении асимптотики вероятности невырождения в замороженной среде для критического ветвящегося процесса, допускающего возможность ЕХ^ = оо, а тем более не требующего существования математического ожидания ЕХЬ оставался нерешенным.

При изучении свойств ветвящегося процесса большой интерес представляет структура генеалогического дерева процесса, которую можно описать при помощи редуцированного процесса {Z (к, т), 0 < к < п < оо} , где Z (к, m) - число частиц, существовавших в процессе в момент времени к и имеющих ненулевое потомство в момент времени п. Редуцированные процессы для обычных процессов Гальтона-Ватсона изучали Фляйшманн К. и Прен У. [52], Зубков A.M. [15], Фляйшманн К. и Зигмунд-Шультце Р. [53]. Первые результаты для редуцированных ветвящихся процессов в случайной среде с дробно-линейными производящими функциями получили Боровков К.А. и Ватутин В.А. [46] и Фляйшманн К. и Ватутин В.А. [51], применяя annealed approach (т.е. усредняя характеристики и меры относительно распределения Р, заданного на пространстве сред). В дальнейшем Ватутин В.А. [11] обобщил результаты работы [46] и доказал, используя annealed approach, условную предельную теорему о распределении числа частиц в критических редуцированных ветвящихся процессах в случае производящих функций общего вида.

Редуцированные ветвящиеся процессы в замороженной среде впервые исследовали Ватутин В.А. и Дьяконова Е.Е. в [102]. Дальнейшее развитие этого направления нашло отражение в диссертации (см. работу [93]).

Исследование различных моделей ветвящихся процессов с разнообразными типами миграции привлекает внимание многих авторов. В частности, критический процесс Гальтона-Ватсона с миграцией исследовали Нагаев C.B. и Хан JI.B. [19], а также Янев Г. и Янев Н. [80]. Ветвящиеся процессы с иммиграцией изучались Зубковым A.M. [14]. Фостер Дж. [55] и Пейкс А. [69] рассматривали критические ветвящиеся процессы, в которых иммиграция в поколении п происходит лишь в том случае, когда в процессе в этот момент нет частиц. Модель критического процесса Гальтона-Ватсона с эмиграцией одной частицы в каждом поколении была исследована Ватутиным В.А. [6]. Описанные в работах автора диссертации [82] -[84] переходные явления для процессов с миграцией, которые были затем перенесены в [86], [87] на случай марковской случайной среды, явились актуальной

проблемой в теории ветвящихся процессов.

Основной целью настоящей работы является изучение свойств однотипных и многотипных ветвящихся процессов Гальтона-Ватсона, функционирующих в случайной среде. Диссертация состоит из четырех глав.

Первая глава посвящена анализу свойств многотипных ветвящихся процессов Гальтона-Ватсона, эволюционирующих в случайной среде, порожденной последовательностью независимых одинаково распределенных случайных величин. В ней рассматриваются многотипные ветвящиеся процессы, для которых матрицы средних значений законов размножения частиц имеют один и тот же собственный вектор, соответствующий перроновым корням этих матриц. Для многотипного процесса вводится понятие сопровождающего случайного блуждания, порожденного логарифмами перроновых корней матриц средних значений законов размножения частиц в поколениях п — 0,1,.... Предложен новый метод исследования многотипных ветвящихся процессов в случайной среде, связанный с переходом к изучению сопровождающего случайного блуждания специального вида. Этот метод является обобщением известного метода исследования однотипных ветвящихся процессов с помощью сопровождающих их случайных блужданий. В этой главе впервые установлен ряд результатов, описывающих поведение асимптотики вероятности невырождения критического и докритического многотипных ветвящихся процессов в случайной среде, а также получена условная фукциональная предельная теорема о распределении числа частиц в критическом процессе. Следует отметить, что многие результаты этой главы доказаны при условиях, гораздо более слабых, чем известные до появления работ автора ограничения на характеристики процесса с одним типом частиц, эволюционирующего в случайной среде.

Во второй главе изучается многотипный ветвящийся процесс Гальтона-Ватсона в случайной марковской среде. Здесь предложен новый метод "вложения" в исследуемый ветвящийся процесс некоторого вспомогательного многотипного ветвящегося процесса, который эволюционирует в случайной среде, порожденной уже последовательностью независимых одинаково распределенных случайных величин, и, более того, матрицы средних вложенного процесса имеют один и тот же неслучайный собственный вектор, соответствующий их перроновым корням. Это позволяет, применяя результаты первой главы, найти асимптотику вероятности невырождения и установить предельную теорему, описывающую число частиц в исходном процессе при условии его невырождения. Отметим, что ранее, кроме грубых оценок сверху и снизу, об асимптотике вероятности невырождения многотипных ветвящихся процессов в случайной марковской среде ничего не было известно. Более того, даже для однотипных ветвящихся процессов в случайной марковской среде асимптотика вероятности невырождения была получена лишь в 2010 г. в работе Ле Пажа Э. и Йе Й. [66] и только для случая марковской цепи с конечным множеством состояний, причем при условиях, являющихся гораздо более сильными, чем налагаемые нами.

Третья глава посвящена исследованию ветвящегося процесса с одним типом

частиц, эволюционирующего в замороженной среде, порожденной последовательностью независимых одинаково распределенных случайных величин. При этом предполагается, что сопровождающее случайное блуждание удовлетворяет условию Спитцера-Дони, т.е. процесс является критическим. При этом условии второй момент ЕXI приращения шага сопровождающего случайного блуждания не обязан быть конечным, и даже математическое ожидание ~ЕХ\ может не существовать. Заметим, что ранее критический ветвящийся процесс в случайной среде, порожденной последовательностью независимых одинаково распределенных случайных величин, в рамках quenched approach, рассматривался в лишь случае EXi = 0,ЕХ\ < оо (см. работы Атрейя К. и Ней П. [38], Атрейя К. и Карлин С. [36], [37], Танни Д. [74]).

В главе 3 разработан также новый метод исследования ветвящегося процесса в случайной среде, в основе которого лежит "расщепление" сопровождающего его случайного блуждания на две части - до момента глобального минимума на отрезке [0, п] и после него. Метод расщепления позволяет разбить задачу исследования свойств ветвящегося процесса в случайной среде на две части. А именно, сначала необходимо установить условные теоремы для случайных блужданий, удовлетворяющих некоторым необходимым условиям, а затем применить эти утверждения общего характера к анализу интересующих нас характеристик ветвящихся процессов в случайной среде. Этот метод оказался очень плодотворным и в настоящее время он активно используется рядом авторов при исследовании ветвящихся процессов в случайной среде (см., например, работы Бансайе В. и Боингхофф К. [40], Боингхофф К. и Керстинг Г. [45]).

В четвертой главе исследуются функционирующие в марковской случайной среде ветвящийся процесс Гальтона-Ватсона Z (п) с иммиграцией и эмиграцией и процесс Гальтона-Ватсона Z (п) с иммиграцией, зависящей от состояния процесса, а именно, с иммиграцией только в такие моменты, когда в процессе нет частиц. Изучаются переходные явления для этих процессов. Отметим, что ветвящиеся процессы с миграцией привлекают внимание многих авторов. Так, критический процесс Гальтона-Ватсона с миграцией изучали Нагаев C.B. и Хан JI.B. [19], а также Янев Н. и Янев Г. [80], для которого ими были установлены ряд предельных теорем о числе частиц в процессе. Критические ветвящиеся процессы с иммиграцией в нулевом состоянии были рассмотрены Фостером Дж. [55], Пейксом А. [69], Митовым К. и Яневым Н. [67]. Близкая модель критического процесса Гальтона-Ватсона с иммиграцией исследовалась Зубковым A.M. [14], а процесс с эмиграцией одной частицы в каждом поколении был изучен Ватутиным В.А. [6]. Однако все эти работы рассматривали ветвящиеся процессы с миграцией в ситуации, когда среднее значение числа потомков одной частицы в следующем поколении не менялось от поколения к поколению. Наша цель - изучить переходные явления для процессов Z{n) и Z (п), эволюционирующих в марковской случайной среде.

Перейдем к краткому изложению основных результатов диссертации.

где Ci > 0, г = 1, ...,р, а 1(п) - функция, медленно меняющаяся на бесконечности.

Отметим, что вероятность невырождения критических и до критических ветвящихся процессов с одним типом частиц, функционирующих в стационарной случайной среде изучали Д'Суза Дж. и Хембли Б. [49]. Что дает теорема 2.1 для однотипного ветвящегося процесса в марковской среде? Для ответа на этот вопрос обозначим {Z(n). п € N0} процесс с одним типом частиц в марковской среде {Сп}.

Следствие 2.1 Если для процесса {Z(n)} выполняются условия В1, В2 и ВЗ, в которых

i=о

то при п —» оо

Р (Z(n) > 0 | Z(0) = 1) ~

/ ь

где 1(п) - функция, медленно меняющаяся на бесконечности.

Для описания поведения числа частиц в процессе при условии его невырождения мы несколько изменим условия, налагаемые на характеристики процесса. Нам будет удобнее считать теперь, что = в0, r¡ (0) = 0, и поэтому интервалы регенерации теперь имеют вид [r¡ (k), r¡ (к + 1) — 1], к € N0, а участки регенерации Cv(k),CvW+l,Cri{k)+2,—,Cr¡(k+l)-li к = 0,1,..., начинаются с особого состояния. Положим

U:=R

где г] - первый момент возвращения в особое состояние. Заметим, что из леммы 2.2 следует, что X = X. То есть можно считать, что случайное блуждание {Еп,п G N0} порождается случайной величиной X.

Условие В4. Существуют числа Ъп > 0,n > 1, такие, что нормированные суммы Sn/6n сходятся по распределению к устойчивому распределению Л с параметром a G (0,2], причем 0 < Л (R+) < 1.

Известно, что для случайного блуждания £п, удовлетворяющего условию В4, bn = n1/,Ql (п), где I (п) - медленно меняющаяся на бесконечности функция, и для Еп выполняется условие Спитцера-Дони с параметром р = Л (R+), т.е.

Р(£п > 0) р = Л (R+) , п -> оо. (0.32)

Пусть (п) - случайный р-мерный вектор, который описывает существующее в момент времени п + 1 потомство частицы типа i из n-го поколения. Символом Pfn будем обозначать условную вероятность при фиксированной векторнозначной вероятностной производящей функции f(£n)(s).

Условие В6. При всех п > 0 выполняется соотношение

п-1 Им<

г—0

(Ci)

X :=1п?г,

Пусть теперь случайная величина 77, являющаяся первым моментом возвращения в особое состояние, удовлетворяет следующему условию. Условие В7. Найдется 5 > 0 такое, что

Бтf+5 < 00.

Для 0 < к < п положим

Мк,п := Мк ■ ■ ■ Mn_ 1, Rk,n := R (Mfc,„), Rk := R {Mk).

Пусть теперь Sn := In R (М0.п), Sq := 0. Отметим, что определенная таким образом последовательность {S^, п 6 N0} не является, вообще говоря, случайным блужданием с независимыми приращениями. Введем случайные величины

:= R? Lax t ¿-/«Ч (1) + l] , ß,=

\ j—\ J / i~0

Положим

oo

9{x) x,T}> k).

k=0

Условие B8. Существует число ß > (1 — p) / (1/a + p) такое, что

lim x0g(x) = 0,

x—ЮО

где величины аирте же, что в условии В А и в соотношении (0.32), соответственно.

Пусть, далее,

fo,, (8) = (УЙ (S),/g (s))' := f(Co) (f{Cl) (...f(C,-0 (s))) ,

а = (¿Ъ-Л) ^ NJ, - р-мерное распределение вероятностей на Nq,

соответствующее производящей функции /q^ (s):

/йф = г = 1, ...,р.

teNg

Наше следующее условие связано со случайной величиной

1 р teNS

Условие В9. Существуют числа е > 0 и а <Е No такие, что

E[ln+Kl(a)]Q+£ <00,

где величина а та же, что и в условии В4.

Для фиксированного начального значения Z(0) = ъ ф 0, определим процесс (п) = IV (п, г) соотношением

ехр{5п}

где и = и/|и|, а вектор и тот же, что и в (0.23) - (0.25).

Теорема 2.5 Пусть выполнены условия АЗ,ВА, В6,В7 и В9. Тогда при п —> оо

С [У/ (п) | Ъ{п) ф 0; г(0) = г) Л £ (Шг),

где случайная величина У/ъ положительна и конечна с вероятностью 1. Здесь и далее символ обозначает сходимость по распределению. Для случая процесса ¿?(п), п 6 N0, с одним типом частиц и начальным значением 2(0) = 1 теорема 2.5 выглядит следующим образом.

Следствие 2.3 Если р = 1 и выполняются условия В4, В6, В7 и В9, в которых

V-!

X :=£>/«,)'(1),

г=0

то при п

-Ai^iL + 1 ) S< := £ 1п/(&)' (1),

\hii) I1)) J k=о

^ | Z(n) > 0;Z(0) = l) Л £ (W),

где случайная величина W положительна и конечна с вероятностью 1.

Перейдем теперь к описанию основных результатов главы 3, озаглавленной "Ветвящиеся процессы с одним типом частиц в замороженной среде ".

В главе 3 в рамках quenched approach рассматривается ветвящийся процесс Гальтона-Ватсона (Z(n), п & No} с одним типом частиц в случайной среде (Сп)п £ No} , порожденной последовательностью независимых одинаково распределенных случайных величин. Предполагается, что сопровождающее случайное блуждание {Sn, п € N0} исследуемого процесса удовлетворяет условию Спитцера-Дони, т.е. рассматриваются критические процессы.

В главе 3 предложен новый метод исследования ветвящегося процесса в случайной среде, в основе которого лежит "расщепление" сопровождающего его случайного блуждания на отрезке [0, п] на две части - до момента глобального минимума на этом отрезке и после него. Метод "расщепления" позволяет путем получения условных предельных теорем для сопровождающего случайного блуждания, сохраняющего свой знак, исследовать различные характеристики ветвящегося процесса в случайной среде.

В разделах 3.1-3.4 в ситуации замороженной среды изучается асимптотика вероятности невырождения процесса {г{п)} и доказывается условная предельная теорема о распределении числа частиц в процессе в момент времени п при условии {г (п) > 0}.

В разделе 3.5 законы распределения числа частиц трактуются как случайные меры, определенные на множестве реализаций среды. Для этих законов доказаны теоремы, которые можно интерпретировать как предельные теоремы ягломов-ского типа об асимптотическом поведении при п —> оо распределения вектора числа частиц [2 (п^), Z (п£2), • • •, 2 {Шь)), 0 < ¿х < ... < ^ = 1 при условии (п) > 0 (здесь и далее для краткости мы пишем п^ вместо [пи]). Пусть т (п!,п2) := тт{г € [пх, п2] : > 5», ^ = П1, Пх 1,..., Пг} - самая левая точка интервала [тгх,^], в которой достигается минимальное значение на этом интервале сопровождающего случайного блуждания 5 = {5П}. Для краткости положим т(п) := т(0,п). Из упомянутых теорем следует, что если £ 6 (0,1] фиксировано, то условное распределение случайной величины ^(п£)е5т(ги)~"5'п'' при условии г(п) > 0 сходится в некотором смысле к собственному предельному распределению, не имеющему атома в нуле. Это, нестрого говоря, означает, что если процесс не выродился к моменту времени п, то размер 2Г(п£) популяции в момент времени п£ пропорционален е5"4_5т(п'). Таким образом, в отличие от условных предельных теорем для классических критических или надкритических ветвящихся процессов, в которых функция, нормирующая размер популяции, растет линейно или экспоненциально с течением времени, (случайная) функция, нормирующая размер популяции в критических ветвящихся процессах в случайной среде, подвержена большим колебаниям. Следовательно, популяция критического ветвящегося процесса в случайной среде проходит в моменты, близкие к моментам последовательных минимумов сопровождающего случайного блуждания, через бутылочные горлышки.

В разделе 3.6 - 3.7 этот феномен изучается более детально (как и ранее, в ситуации замороженной среды). В частности, показано, что при фиксированном £ 6 (0,1] и фиксированном m£Z = {0,±1, ±2,...} (случайное) распределение величины £(г(п£) + т) при условии > 0 сходится (в некотором смысле) к собственному дискретному предельному распределению. Другими словами, условное распределение числа частиц в процессе в моменты времени, близкие к т(п£), Ь £ (0,1], при условии невырождения процесса к моменту времени п, сходится к дискретному распределению. Следовательно, в отличие от неслучайных моментов вида в которые размер популяции является большим (и даже экспоненциально большим, см. раздел 3.5), количество индивидуумов в популяции в (случайные) моменты последовательных глобальных минимумов сопровождающего случайного блуждания оказывается разительно малым, но потом опять начинает расти с экспоненциальной скоростью. Это дает объяснение (разумеется, в рамках рассматриваемой нами модели) следующему хорошо известному факту в биологии популяций: многие популяции в течении их эволюции проходят через "благопри-

ятные периоды" (быстрый рост размера популяции) и "неблагоприятные периоды" (стремительное вырождение, когда выживают лишь несколько представителей популяции, которые впоследствии порождают новую быстро растущую популяцию).

В разделах 3.8-3.12 рассматривается еще один важный процесс, построенный по ветвящемуся процессу {Z(k), 0 < к < п}. А именно, изучается так называемый редуцированный ветвящийся процесс {Z(k,n), 0 < к < п}, где Z(k,n) - число частиц в первоначальном процессе в момент времени к < п, имеющих ненулевое число потомков в момент времени п.

Редуцированные процессы в случайной среде в рамках annealed approach (т.е. усредняя характеристики и меры относительно распределения Р, заданного на пространстве сред) исследовали Боровков К.А. и Ватутин В.А. [46], Фляйшманн К. и Ватутин В.А. [51] и Ватутин В.А. [11].

Из результатов, установленных в разделах 3.8-3.12 для случая замороженной среды, следует, что при условии Z(n) > 0 конечномерные условные (случайные) распределения процесса (Z(r(n) + m, n), т 6 Z} сходятся (в некотором смысле) к конечномерным распределениям ветвящегося процесса Гальтона-Ватсона в неоднородной случайной среде. Получены условные предельные теоремы, описывающие при условии Z(n) > 0 свойства редуцированного процесса в моменты времени ni, 0 < t < 1. Найдено также предельное распределение при п —> оо момента рождения ближайшего общего предка частиц, существующих в процессе в момент времени п.

Приведем некоторые основные результаты третьей главы.

Мы будем отождествлять вероятностную производящую функцию

fn (s) := ^ s*

k=0

распределения числа потомков частицы из п-го поколения с бесконечномерным вектором 7гп :

тг„ := {тгп (0), 7ГП (1), 7ГП (2)...} , 7Гп (к) > 0, ^ тгп (к) = 1, п € N0.

к=О

Для / (й) Х^о 77 вк = /п (5) и а £ N0 положим

оо / ос \ 2

0(а) := Г>>тг(*0 , (0.33)

к-а \к-0 /

X := 1п /' (1). Пусть 50 = 0,5П = 1п /й (1) + • • ■ + 1п /¿^ (1), п > 1, - сопровождающее случайное блуждание. Будем предполагать, что распределение случайной величины X либо нерешетчато, либо центрально решетчато (то есть, X принимает лишь значения кк,к > ОД 6 2 и Р(Х = 0) > 0), и что сопровождающее

случайное блуждание удовлетворяет условию Спитцера-Дони с параметром р (см. (0.10)), т.е. для него выполнено условие А4. Пусть

7о := 0, 7_j.fi := пип(п > : 5П < Бъ)

и

Г0 := 0, Г^+1 := шш(п > Г^ : 5П > 3 > 0,

- строгие убывающие и, соответственно, строгие возрастающие лестничные моменты сопровождающего случайного блуждания {б"^}. Наряду с функцией восстановления V(х) (см. (0.11)) введем еще одну функцию восстановления

оо

и{х) := 1 + ^ < х), х > 0, и (0) = 1, и(х) = 0, ж < 0, (0.34) ¿=1

построенную по строго возрастающим лестничным моментам {Гп} . Условие С1 Существуют числа £ > 0 и а £ N0 такие, что

Е [1п+ 0(а)]< оо, Е[У(Х)(1п+ т9(а))1+£] < оо, (0.35)

Е [1п+ #(а)] < оо, Е[£/(-Х)(1п+ т?(а))1+е] < оо. (0.36)

Для формулировки основных результатов главы введем дополнительные обозначения. Пусть 0,п- множество элементарных событий, соответствующих наборам (^ (0), ^ (1),..., ^ (п), 7Го, 7Г1,..., 7гп_1); при этом = Г2оо, а

^п = О-(^(0),^(1),...,^(п),7Г0,7Г1,...,7Гп_1), п £ N0, \/ ^ (°-37)

* п

- последовательность естественных ст-алгебр, порожденных рассматриваемым ветвящимся процессом. Всюду далее символы Е и Р используются для обозначения математического ожидания и вероятности, порождаемых исходной мерой ветвящегося процесса на наборах (^ (0), ^ (1),..., ^ (п),...; 7Го, тех,..., 7гп,...), а символы 8, V - для обозначения условного математического ожидания и условной вероятности при фиксированной среде 7Г = (тго, 71"!, ..., 7ГП, ...). Тройка (П,^7, Р) является нашим основным вероятностным пространством. Нам также потребуются две копии этого вероятностного пространства, обозначаемые (Г2~, Т~. Р~) и (0+. . Р+). на которых заданы две последовательности случайных элементов {/~,п £ N0} и, соотвественно, {/п,п € N0}, порождающие соотвествующие им сопровождающие случайные блуждания £ N0} и € N0} . В дальнейшем нам будет удобно любые характеристики или случайные величины, связанные с , Уг± и (если это имеет смысл) с Р^ снабжать знаками — и +, соответственно. Например, мы будем писать {/", п £ N0} и {/+, п £ N0} и обозначать {5~,га 6 N0} и п € N0} сопровождающие случайные блуждания, соответствующие этим реализациям. Нам будут также необходимы случайные величины Г" = гтп{п > 1 : 5- > 0} и 7+ = тт{п > 1 : 5+ < 0}.

оо

Положим D = Y^J^PiSj = 0) и AkiP := {Г~ > > р} . Свяжем с ис-3=1

ходными леерами Р~ и Р+ вероятностную меру Р на измеримом пространстве х ü+, F~ х F+), полагая для А £ F^ х F+

Р(Л) = eD [ и V(S;)I{Ak,p}d (Р- X Р+),

JA

где 1{А} - индикатор события А. В соответствии с этим определением, будем использовать символ Е для обозначения математического ожидания относительно меры Р.

Обозначим через М# пространство всех (возможно несобственных) вероятностных мер на N0, оснащение которого расстоянием по вариации превращает его в банахово пространство. Ясно, что можно идентифицировать с метрическим пространством производящих функций F (снабженном равномерной метрикой), соответствующих множеству вероятностных (возможно несобственных) мер, носители которых сконцентрированы на No-Для т <5 Z и t € [0,1] положим

М%\к) = М%](к,тг) = V (Z(r(n) + т) = к\ Z(n) > 0). (0.38)

Будем считать, что Z(r(n) + m) = 1, если т(п) + т < 0.

Для меры A4 6 и функции J : N0 —► R положим

оо

M[J) :=^2j{k)M{k).

к=О

Теперь мы можем сформулировать условную предельную теорему о распределении числа частиц в популяции в моменты времени, близкие к точке глобального минимума сопровождающего случайного блуждания.

Теорема 3.5 Если выполнены условия A4 и С1, то для любого т € Z существует собственная вероятностная мера Л4т € М# такая, что

М(п) Mmj n (0.39)

где символ w>обозначает следующий вид сходимости случайных мер ЛА^т из (0.38) к М.т: для любой неслучайной ограниченной функции J : No —> R и любой неслучайной ограниченной непрерывной функции g : R —> R

Е [я (.м£> [J])] Ё \g (Mm [J])], п - оо. (0.40)

Для редуцированного процесса Z(k,n) положим

оо

S [sz(T(n)+m,n) | Z(nj > Qj := т GZ.

fc=l

Теперь мы можем сформулировать условную предельную теорему (в ситуации замороженной среды) о распределении числа частиц в редуцированном процессе в моменты времени, расположенные вблизи точки глобального минимума сопровождающего случайного блуждания.

Теорема 3.9 Если выполнены условия А4 и С1, то для любого т Е Z существует собственная вероятностная мера ¡im ем* такая, что

(0.41)

Остановимся теперь на результатах заключительной главы диссертации, главы 4, озаглавленной "Процессы с миграцией".

В этой главе в разделах 4.1-4.2 рассматриваются ветвящийся процесс Гальтона-Ватсона Z (п) с иммиграцией и эмиграцией и процесс Гальтона-Ватсона Z (п) с иммиграцией, зависящей от состояния процесса, а именно, с иммиграцией только в нулевом состоянии. Изучаются переходные явления для этих процессов. Критический процесс Гальтона-Ватсона с миграцией рассматривали Нагаев С.В. и Хан JI.B. [19], а также Янев Н. и Янев Г. [80], для которого ими были получены предельные теоремы о числе частиц в процессе. Исследование критических ветвящихся процессов с иммиграцией в нулевом состоянии было проведено Фостером Дж. [55] и Пейксом А. [69]. Близкая модель критического процесса Гальтона-Ватсона с иммиграцией рассматривалась Зубковым A.M. [14], модель критического процесса Гальтона-Ватсона с эмиграцией одной частицы в каждом поколении была исследована Ватутиным В. А. [6]. Однако все эти работы рассматривали ветвящиеся процессы с миграцией в предположении, что среднее значение числа потомков одной частицы в следующем поколении фиксировано. Наша цель - изучить поведение ветвящихся миграционных процессов, близких к критическим.

В разделах 4.3 - 4.4 рассмотрены также аналоги процессов Z (п) и Z(n), функционирующие в марковской случайной среде. Показано, что при некоторых условиях, накладываемых на распределение числа мигрирующих частиц и распределение числа потомков, специальным образом нормированное стационарное распределение этих процессов сходится при М / 0 к равномерному распределению на отрезке [0,1]. Здесь М - среднее значение стационарного распределения величины In Ш;, где ТП; - среднее число непосредственных потомков частицы при фиксированном состоянии среды г.

Приведем некоторые основные результаты четвертой главы.

Рассмотрим следующий процесс Гальтона-Ватсона {Z (n), п £ N0} с иммиграцией в нуле. Предположим, что число иммигрирующих частиц 77 имеет закон распределения, задаваемый производящей функцией g (s) = Es7*, s € [0,1]. Размножение частиц, живущих в момент времени п £ No происходит независимо друг от друга, от момента времени и от состояния процесса, причем распределение числа потомков каждой частицы описывается производящей функцией /00 = Esi, 5 €[0,1].

(n) w(P,P) Mm * Мтп>

П

со.

Определим класс /С = {/(5)} производящих функций следующим образом. Существует функция 7 (в) = о (в2) при 5' —> 0 такая, что все функции / (в) из класса /С удовлетворяют следующим условиям:

/ (1 - в) = 1 - те + Ъв1 + а (в), (0.42)

/ (0) > Г > 0, (0.43)

где |си (в) | <7 (в),0 < с < т < 1, 0 < Вг < Ь < В2, а Г, с, Вг и В2 - некоторые постоянные. Будем предполагать, что производящая функция / (в) числа потомков принадлежит классу /С. Таким образом, рассматриваются докритиче-ские ветвящиеся процессы с зависящей от состояния иммиграцией.

Относительно производящей функции числа иммигрирующих частиц д (5) будем предполагать, что она принадлежит классу С = {д (в)}, состоящему из всех производящих функций д (5), удовлетворяющих условиям

д (1 - в) = 1 - ав + (1э2 + /3 (в), (0.44)

где |¡3 (з) | < 7! (5) = о (в2) при б —> 0, 0 < а\ < а < а2,0 < (I < И2, а аь а2, Дз -постоянные.

Введем класс Н процессов {Я (п), п € N0} , определяемый следующими условиями: в этих процессах производящие функции / (в) е /С, а функции д (а) € С.

Известно [69], что у процессов {2 (п), п € N0} , принадлежащих классу Н, существует стационарное распределение числа частиц. Пусть и - случайная величина, соответствующая стационарному распределению процесса {2 (п) ,п € N0} -

Теорема 4.2 Если {Е (п) ,п е N0} € Н, то

1ш1 Р ( 1п г/-тг < ж ) = х, ж е [0,1].

т/1 уМ1/^-™)) )

Как оказалось, ветвящиеся процессы с иммиграцией в нуле близки по своей вероятностной природе ветвящимся процессам с миграцией.

Рассмотрим следующий процесс Гальтона-Ватсона с миграци-

ей, функционирующий в случайной марковской среде. Предположим, что эволюция случайной среды описывается некоторой фиксированной марковской цепью {Сп, п Е N0} с конечным множеством состояний 6 = {0,1,..., ^ — 1} ,1 > 2, и переходными вероятностями Рц > 0, г. ] б ©. Предположим, что нам заданы наборы случайных величин на вероятностном пространстве Р)

Хг (п) = {гн (п), (п), е|2} (п),...,(п),...} , 7 = 1,2,п € N0, г € е,

таких, что при фиксированных г и тг набор (п)| является последова-

тельностью независимых неотрицательных целочисленных случайных величин с производящей функцией

ш .....

а случайная величина щ (п) не зависит от (п)| , причем ее распределение имеет вид 3

Р(ъ{п) = к) = рк(г), к = 0,1,...,

оо

Р(^(п) = -1) = Х> (*) + <?=!• (0-45)

к=0

Кроме того, предполагается, что все наборы Xi (п) € е ©, независимы в

совокупности. Обозначим

оо

(8) = Ев*(п> = (г) + г € Э.

к-0

Определим процесс {¿Г (п), п е N0} соотношениями (0) — 0,

г (п +1) = / (») + С (») + ••■+ (п), г(п) + ъ. („) > о,

I 0., г (п) + >),;.. (п) < 0.

Введенный таким образом процесс {Z (n) ,n G N0} описывает поведение популяции частиц, которая эволюционирует следующим образом. Размножение живущих в момент времени п € No частиц происходит независимо друг от друга, от момента времени и от текущего состояния процесса, при этом число потомков каждой частицы задается производящей функцией (тг), определяемой состоянием цепи Сп, т.е. если (п — г, г G ©, то производящая функция числа потомков каждой частицы, живущей в момент времени п, есть fi (s). Кроме того, в каждый момент времени в процессе происходит иммиграция или эмиграция. А именно, в популяцию частиц, существующую в момент времени тг, либо с вероятностью Рк{(п) иммигрируют к частиц, либо с вероятностью q происходит следующее: или в популяции ничего не меняется, если она пуста, или из популяции удаляется одна из присутствующих в ней частиц. То есть, если (п = г, то число мигрирующих частиц r]i (п) задается производящей функцией Qi (s).

Отметим, что в рассматриваемой модели миграция в каждом поколении происходит раньше, чем размножение.

Таким образом, процесс {Z (n), п G N0} является ветвящимся процессом Гальтона-Ватсона с миграцией в марковской случайной среде п G No}, где состояние среды определяет как закон размножения частиц, так и распределение числа мигрирующих частиц. При этом (п) можно интерпретировать как число мигрирующих частиц в п-й момент времени, а ^ (п) - как число потомков в (п + 1)-м поколении j-й частицы, живущей в п-м поколении.

Предположим, что все производящие функции числа потомков fi (s), г G О, принадлежат классу /С, т.е. все fi (s), i G В, удовлетворяют следующим условиям:

fi(l-s) = l- miS + biS2 + он (s), (0.46)

где 0 < с < пи < 1, к (5) | < 7 (5) = о (в2) при з —»■ О, О < Вг < Ъ^ < В2, с, В1,В2 - некоторые постоянные, (0) > I* > 0. Будем также предполагать, что все распределения мигрирующих частиц имеют нулевое среднее и конечную дисперсию, т.е.

оо

= 0, г ев, (0.47)

к=1

оо

^2к2рк(г) < оо, г € в. (0.48)

к=1

Положим

г-1

М = У^гОг 1п ГПг,

г=0

где Юг, г £ ©, - стационарные вероятности цепи Маркова {£„} • Доказывается, что в условиях (0.46), (0.47), (0.48) рассматриваемый процесс ^ (п) ,п 6 N0} имеет

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Дьяконова, Елена Евгеньевна, 2012 год

Список литературы

Альбеверио С., Козлов М.В. О возвратности и транзиентности зависящих от состояния ветвящихся процессов в случайной среде. - Теория вероятн. и ее примен., 2003, т. 48, в. 4, с. 641-660.

Афанасьев В.И. Предельные теоремы для условного случайного блуждания и некоторые применения. Диссертация кандидата наук. М.: МГУ, 1980, 98 с.

Афанасьев В.И. Предельная теорема для критического ветвящегося процесса в случайной среде. - Дискретная математика, 1993, т. 5, N 1, с. 45-58.

Афанасьев В.И. Новая предельная теорема для критического ветвящегося процесса в случайной среде. - Дискретная математика, 1997, т. 9, N 3, с. 52-67.

Афанасьев В.И. Функциональная предельная теорема для критического ветвящегося процесса в случайной среде. - Дискретная математика, 2001, т. 13, N 4, с. 73-91.

Ватутин В.А. Критический ветвящийся процесс Гальтона-Ватсона с эмиграцией. - Теория вероятн. и ее примен., 1977, т. 22, в. 3, с. 482-497.

Ватутин В.А., Телевинова Т.М., Чистяков В.П. Вероятностные методы в физических исследованиях. М.: Наука, 1985, 207 с.

Ватутин В.А., Зубков A.M. Ветвящиеся процессы I. - В сб.: Итоги науки и техники: Теория вероятностей, Математическая статистика, Кибернетика, т. 28, М.: ВИНИТИ, 1985, с. 3-67.

Ватутин В.А., Топчий В.А. Максимум критических процессов Гальтона-Ватсона и непрерывные слева случайные блуждания. - Теория вероятн. и ее примен., 1997, т. 42, в. 1, с. 21-34

Ватутин В.А. Редуцированные ветвящиеся процессы в случайной среде. -Теория вероятн. и ее примен., 2002, т. 47, в. 1, с. 100-126.

Ватутин В.А. Критические редуцированные процессы в случайной среде. -Теория вероятн. и ее примен., 2003, т. 47, в. 1, с. 21-38.

Ватутин В.А., Вахтель В. Внезапное вырождение критического ветвящегся процесса в случайной среде. - Теория вероятн. и ее примен., 2009, т. 54, в. 3, с. 417-438.

[13] Дьяконова Е.Е., Соловьев А.Д. Однолинейная система с групповым обслуживанием в условиях высокой нагрузки. - Изв. АН СССР, сер. техн. кибер-нет., 1986, N 6, с. 35-39.

[14] Зубков A.M. Периоды жизни ветвящегося процесса с иммиграцией. - Теория вероятн. и ее примен., 1972, т. 17, в. 1, с. 179-188.

[15] Зубков A.M. Предельные распределения расстояния до ближайшего общего предка. - Теория вероятн. и ее примен., 1975, т. 20, в. 3, с. 614-623.

[16] Колмогоров А.Н., Дмитриев H.A. Ветвящиеся случайные процессы. - Доклады АН СССР, 1947, т. 56, N 1, с. 7-10.

[17] Козлов М.В. Об асимптотике вероятности невырождения критических ветвящихся процессов в случайной среде. - Теория вероятн. и ее примен., 1976, т. 21, в. 4, с. 813-825.

[18] Козлов М.В. Условная функциональная предельная теорема для критического ветвящегося процесса в случайной среде. - Доклады РАН, 1995, т. 344, N 1, с. 12-15.

[19] Нагаев C.B., Хан Л.В. Предельные теоремы для критического ветвящегося процесса Гальтона-Ватсона с миграцией. - Теория вероятн. и ее примен., 1980, т. 25, в. 3, с. 523-534.

[20] Петров В.В. Суммы независимых случайных величин. М.: Наука, 1972, 414 с.

[21] Рогозин Б.А. Распределение первого лестничного момента и высоты и флуктуации случайного блуждания. - Теория вероятн. и ее примен., 1971, т. 16, в. 4, с. 593-613.

[22] Севастьянов Б.А. Ветвящиеся процессы. М.: Наука, 1971, 436 с.

[23] Севастьянов Б.А. Ветвящиеся случайные процессы. - Вестник Моск. уни-вер., 1948, т. 3, N 1, с. 13-34.

[24] Севастьянов Б. А. Теория ветвящихся случайных процессов. - Успехи матем. наук, 1951, т. 6, N 6, с. 47-99.

[25] Синай Я.Г. Предельное поведение случайных блужданий в одномерной случайной среде. - Теория вероятн. и ее примен., 1982, т. 27, в. 2, с. 247-258.

[26] Спитцер Ф. Принципы случайного блуждания. М.: Мир, 1969, 472 с.

[27] Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения, т.2. М.: Мир, 1984, 752 с.

[28] Харрис Т. Теория ветвящихся случайных процессов. М. : Мир, 1966, 355 с.

[29] Ширяев А.Н. Вероятность. М.: Наука, 1984, 638 с.

[30] Яглом A.M. Некоторые предельные теоремы теории ветвящихся процессов.-Доклады АН СССР, 1947, т. 56, N 8, с. 795-798.

[31] Afanasyev V.l., Geiger J., Kersting G., Vatutin V.A. Criticality for branching processes in random environment. - Ann. Probab., 2005, v. 33, N 2, p. 645-673.

[32] Afanasyev V.l., Geiger J., Kersting G., Vatutin V.A. Functional limit theorems for strongly subcrtitical branching processes in random environment. - Stoch. Proc. Appl., 2005, v.115, p. 1658-1676.

[33] Afanasyev V.l., Boeinghoff С., Kersting G., Vatutin V.A. Limit theorems for weakly subcritical branching processes in random environment. - J. Theoret. Probab., 2012, v. 25, N 3, p. 703-732.

[34] Afanasyev V.l., Boeinghoff C., Kersting G., Vatutin V.A. Conditional limit theorems for intermediately subcritical branching processes in random environment. - Ann. Inst. Henry Poincare, Probab. Stat, (in print), http://arxiv.org/abs/1108.2127.

[35] Agresti A. On the extinction times of varying and random environment branching processes. - J. Appl. Probab., 1975, v. 12, N 1, p. 39-46.

[36] Athreya K.B., Karlin S. On branching processes with random environments, I: Extinction probability. - Ann. Math. Statist., 1971, v. 42, N 5, p. 1499-1520.

[37] Athreya K.B., Karlin S. On branching processes with random environments, II: Limit theorems. - Ann. Math. Statist., 1971, v. 42, N 6, p. 1843-1858.

[38] Athreya K.B., Ney P.E. Branching Processes. Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag, 1972, 287 p.

[39] von Bahr В., Esseen C.-G. Inequalities for the r-th moment of a sum of random variables, 1 < r < 2. - Ann. Math. Statist., 1965, v.3, p. 299-303.

[40] Bansaye V., Boeinghoff C. Upper large deviations for branching processes in random environment with heavy tails. - Electron. J. Probab., 2011, v. 16, N 69, p. 1900-1933.

[41] Bellman R., Harris T. On the theory of age-dependent stochastic branching processes. - Proc. Nat. Acad. Sei. U.S.A., 1948, v. 34, N 12, p. 601-604.

[42] Bertoin J., Doney R.A. On conditioning a random walk to stay nonnegative. -Ann. Probab., 1994, v. 22, p. 2152-2167.

Bertoin J. Levy Processes. Cambridge Tracts in Mathematics, v. 121. Cambridge: Cambridge University Press, 1996, 266 p.

Bingham N.H., Goldie C.M., Teugels J.L. Regular variation. Cambridge: Cambridge University Press, 1987, 494 p.

Boeinghoff C., Kersting G. Upper large deviations of branching processes in a random environment - offspring distributions with geometrically bounded tails.

- Stochastic Process. Appl., 2010, v. 120, N 10, p. 2964-2077.

Borovkov K.A., Vatutin V.A. Reduced critical branching processes in random environment. - Stoch. Proc. Appl., 1997, v. 71, p. 225-240.

Dehuevels P., Revesz P. Simple random walk on the line in random environment.

- Zeitschr. fuer Warscheinligkeitstheor. verv. Geb., 1986, v. 72, N 2, p. 215-230.

Doney R.A. Spitzer's condition and the ladder variables in random walks. -Probab. Theory Relat. Fields, 1995, v. 101, p. 577-580.

D'Souza J.C., Hambly B.M. On the survival probability of a branching process in a random environment. - Adv. Appl. Probab., 1997, v. 29, N 1, p. 38-55.

Durrett R. Conditioned limit theorems for some null recurrent Markov processes.

- Ann. Probab., 1978, v.6, N 5, p.798-828.

Fleischmann K., Vatutin V.A. Reduced subcritical branching processes in random environment. - Adv. Appl. Probab., 1999, v. 31, N 1, p. 88-111.

Fleischmann K., Prehn U. Ein Grenzfersatz fiir subkritische Verzweigungsprozesse mit eindlich vielen Typen von Teilchen. - Math. Nachr., 1974, v. 64, p. 233-241.

Fleischmann K., Siegmund-Schultze R. The structure of reduced critical Galton-Watson processes. - Math. Nachr., 1977, v. 79, p. 357-362.

Foster F.G. On the stochastic matrices associated with certain queueing processes. - Ann. Math. Statist., 1953, v. 24, p. 355-360.

Foster J.H. A limit theorem for a branching process with state dependent immigration. - Ann. Math. Stat., 1971, v. 42, N 5, p.1773-1776.

Geiger J., Kersting G. The survival probability of a critical branching process in random environment.- Теория вероятн. и ее примен., 2000, т. 45, в. 3, с. 607-615.

Geiger J., Kersting G., Vatutin V.A. Limit theorems for subcrutucal branching processes in random environment. - Ann. I. H. Poincare, 2003, v. 39, N 4, p. 593-620.

[58] Gillespie J.H. The Causes of Molecular Evolution. Oxford: Oxford University Press, 1991, 352 p.

[59] Guivarc'h Y., Liu Q. Propriétés asymptotique des processus de branchement en environment aletoire. - C.R. Acad. Sci. Paris, Ser. I Math., 332, 2001, p. 339-344.

[60] Haccou P., Jagers P., Vatutin V.A. Branching Processes: Variation, Growth and Extinction of Populations. Cambridge: Cambridge University Press, 2005, 320 P-

[61] Harris T.E. First passage and recurrence distributions. - Trans. Amer. Math. Soc., 1952, v.73, p. 471-486.

[62] Heyde C.C., Rohatgi V.K. A pair of complementary theorems on convergence rates in the law of large numbers. Proc. Camb. Phil. Soc., 1967, v.63, N 1, p.73-82.

[63] Hirano K. Determination of the limiting coefficient for exponential functionals of random walks with positive drift. - J. Math. Sci. Univ. Tokyo, 1998, v. 5, N 2, p. 299-332.

[64] Kaplan N. Some results about multidimentional branching processes with random environments. - Ann. Prob., 1974 v. 2, N 3, p. 441-455.

[65] Kesten H., Spitzer F. Convergence in distribution of products of random matrices. - Z. Wahrsch. verw. Geb., 1984, v. 67, N 4, p. 363-386.

[66] Le Page E., Ye Y. The survival probability of a critical branching process in a Markovian random environment. - C.R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, 2010, v. 348, p. 301 - 304.

[67] Mitov K.V., Yanev N.M. Critical Galton-Watson process with decreasing state-dependent immigration. - J. Appl. Probab., 1984, v. 21, p. 226-236.

[68] Mode C. Multitype Branching Processes. New York: Elsevier, 1971, 330 p.

[69] Pakes A.G. A branching process with a state dependent immigration component.

- Adv. Appl. Probab., 1971, v. 3, N 2, p. 301-314.

[70] Smith W.L., Wilkinson W.E. On branching processes in random environments.

- Ann. Math. Stat., 1969, v. 40, p. 814-827.

[71] Solomon F. Random walk in random environment. - Ann. Probab., 1975, v. 3, N 1, p. 1-31

[72] Seneta E . Non-negative Matrices. An Introduction to Theory and Applications. New York: Halsted Press, 1973, 277 p.

[73] Tanaka H. Time reversal of random walks in one dimension. - Tokyo J. Math., 1989, v.12, p. 159-174.

[74] Tanny D. Limit theorems for branching processes in a random environment. -Ann. Probab., 1977, v. 5, p. 100-116.

[75] Tanny D. On multitype branching processes in a random environment. - Adv. Appl. Prob., 1981, v. 13, N 3, p. 464-497.

[76] Tarjan R.E. Depth-first search and linear graph algorithm. - SIAM J. Comput., 1972, v. 1, p. 146-160.

[77] Vatutin V.A., Zubkov A.M. Branching Processes II. - J. Sov. Math., 1993, v. 67, N 6, c. 3407-3485.

[78] Vatutin V.A., Kyprianou A.E. Branching processes in random environment die slowly. - In: Proceedings of the Fifth Colloquium on Mathematics and Computer Science. Algorithms, Trees, Combinatorics and Probabilities, Nancy: DMTCS, 2008, p. 379-400.

[79] Weissener E.W. Multitype branching processes in random environments. - J. Appl. Prob., 1971, v. 8,"n 1, p. 17-31.

[80] Yanev G.P., Yanev N.M. On a new model of branching migration processes. -C.R. Acad. Bulg. Sci., 1991, v. 44, N3, p. 19-22.

[81] Jagers P. Branching Processes with Biological Applications. London- New York-Sydney-Toronto: J. Wiley&Sons, 1975, 268 p.

Работы автора по теме диссертации

Дьяконова Е.Е. О процессе Гальтона-Ватсона с иммиграцией. - В сб.: Проблемы устойчивости стохастических моделей. М.: ВНИИСИ, 1991, с. 49-52.

Dyakonova Е.Е. On transient phenomena for branching migration processes. -In: Probabilistic Methods in Discrete Mathematics. Proceedings of the Third Petrozavodsk Conference, Moscow/Utrecht: TVP/VSP, 1993, p. 148-154.

Дьяконова Е.Е. Близкие к критическим ветвящиеся процессы с миграцией. - Теория вероятн. и ее примен., 1996, т. 41, в. 1, с. 186-192.

Dyakonova Е.Е. Transition phenomena for branching processes in a random environment. - J. Math. Sciences, 1996, v. 78, N 1, p. 48-53.

Дьяконова Е.Е. Ветвящийся процесс с миграцией в случайной среде. - Дискретная математика, 1997, т. 9, N 1, с. 30-42.

[87] Dyakonova E.E. Transition phenomena for a Galton-Watson process with immigration in a Markovian environment. - J. Math. Sciences, 1997, v. 83, N 3, p. 397-400.

[88] Дьяконова E.E. Об асимптотике вероятности невырождения многомерного ветвящегося процесса в случайной среде. - Дискретная математика, 1999, т. 11, N 1, с. 113-128.

[89] Dyakonova Е. On multitype branching process in a random environmen. - J. Math. Sciences, 2002, v. Ill, N 3, p. 3537-3541.

[90] Ватутин В.А., Дьяконова E.E. Ветвящиеся процессы Гальтона-Ватсона в случайной среде, II: конечномерные распределения. - Теория вероятн. и ее примен., 2004, т. 49, в. 2, с. 231-268.

[91] Ватутин В.А., Дьяконова Е.Е. Ветвящиеся процессы в случайной среде и бутылочные горлышки в эволюции популяций. - Теория вероятн. и ее примен.,

2006, т. 51, в. 1, с. 22-46.

[92] Dyakonova Е. Survival probability of a critical multi-type branching process in random environment. - In: Proceedings of the Fourth Colloquium on Mathematics and Computer Science. Algorithms, Trees, Combinatorics and Probabilities, Nancy: Institute Elie Cartan, 2006, p. 375-380.

[93] Ватутин В.А., Дьяконова E.E. Предельные теоремы для редуцированных ветвящихся процессов в случайной среде. - Теория вероятн. и ее примен.,

2007, т. 52, в. 2, с. 271-300.

[94] Дьяконова Е.Е. Критические многотипные ветвящееся процессы в случайной среде. - Дискретная математика, 2007, т. 19, N 4, с. 23-41.

[95] Dyakonova Е. On subcritical multi-type branching process in random environment. - In: Proceedings of the Fifth Colloquium on Mathematics and Computer Science. Algorithms, Trees, Combinatorics and Probabilities, Nancy: DMTCS, 2008, p. 401-408.

[96] Ватутин В.А., Дьяконова E.E. Асимптотические свойства многотипных критических ветвящихся процессов в случайной среде. - Дискретная математика, 2010, т. 22, N 2, с. 22-40.

[97] Дьяконова Е.Е. Многотипные ветвящиеся процессы Гальтона-Ватсона в марковской случайной среде. - Теория вероятн. и ее примен., 2011, т. 55, в. 3, с. 592-601.

[98] Дьяконова Е.Е. Многотипные ветвящиеся процессы, эволюционирующие в марковской среде. - Дискретная математика, 2012, т. 24, N 3, с. 130-151.

Работы автора, близкие к теме диссертации

[99] Dyakonova Е.Е. Heavy traffic approximation fore some branching processes. - In: Frontiers in Pure and Appl. Probability, II (Ed. A.N. Shiryaev et all.), Moscow/Utrecht: TVP/VSP, 1996, p. 43-50.

[100] Ватутин В.А., Дьяконова Е.Е. Критические ветвящиеся процессы в случайной среде: вероятность вырождения в фиксированный момент. - Дискретная математика, 1997, т. 9, N 1, с. 100-126.

[101] Dyakonova Е.Е. Diffusion approximation of branching migration processes. - J. Math. Sciences, 1999, v. 93, N 4, p. 511-514.

[102] Vatutin V.A., Dyakonova E.E. Reduced branching processes in random environment. - In: Mathematics and Computer Science II: Algorithms, Trees, Combinatorics and Probabilities (Ed. B.Chauvin, P.Flajolet, D.Gardy, A.Mokkadem), Basel - Boston- Berlin: Birkhauser, 2002, p. 455-467.

[103] Vatutin V.A., Dyakonova E.E. Yaglom limit theorems for branching processes in random environment. - In: Mathematics and Computer Science III: Algorithms, Trees, Combinatorics and Probabilities (Ed. M. Drmota, P.Flajolet, D.Gardy, B. Gittenberger), Basel - Boston- Berlin: Birkhauser, 2004, p. 375-386.

[104] Ватутин В.А., Дьяконова E.E. Ветвящиеся процессы Гальтона-Ватсона в случайной среде, I: предельные теоремы. - Теория вероятн. и ее примен., 2003, т. 48, в. 2, с. 274-300.

[105] Dyakonova Е., Geiger J., Vatutin V. On the survival probability and a functional limit theorem for branching processes in random environment. - Markov Processes and Related Fields, 2004, v. 10, N 2, p. 289-306.

[106] Ватутин В.А., Дьяконова E.E. Волны в редуцированных ветвящихся процессах в случайной среде. - Теория вероятн. и ее примен., 2008, т. 53, в. 4,

[107] Boeinghoff C., Dyakonova E.E., Kersting G., and Vatutin V.A. Branching processes in random environment which extinct at a given moment. - Markov Processes and Related Fields, 2010, v. 16, N 2, p. 329-350.

c. 665-683.