Предельные теоремы для случайных блужданий в случайных средах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.05, кандидат физико-математических наук Голосов, Андрей Олегович

• Голосов, Андрей Олегович
• кандидат физико-математических наук
• 1983

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Голосов, Андрей Олегович

Введение

Глава I. Случайное блуждание в одномерной случайной среде: критический случай.

§1.1. Схемы доказательств теорем I.I и 1.

§ 1.2. Доказательство теоремы I.I.

§ 1.3. Локализация случайного блуждания в одномерной случайной среде. Доказательство теоремы 1.

§ 1.4. Доказательства вспомогательных утверждений

Глава 2. Случайные блуждания в симметричных случайных средах.

§2.1. Схемы доказательств теорем 2.2 и 2.

§2.2. Случайные блуждания в симметричных неслучайных средах.

§2.3. Распределения в пространстве монотонных функций.

Доказательство теоремы 2.3.

§ 2.4. Примеры. Доказательство теоремы 2.1.

§ 2.5. Доказательства вспомогательных утверждений

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Предельные теоремы для случайных блужданий в случайных средах»

В последние годы свойства неупорядоченных систем привлекают всё большее внимание исследователей, им посвящены книги И.М.Лиф-пгица, С.А.Гредескула, Л.А.Пастура [i] и Дж.Займана [2] , статьи по теории уравнения Шрёдингера со случайными и почти-периодическими потенциалами Е.И.Динабурга и Я.Г.Синая [з] , И.Я.Гольдшейда и С.А.Молчанова [4] , И.Я.Гольдшейда, С.А.Молчанова и Л.А.Пастура [б] , С.А.Молчанова [б] , С.Обри и Ж.Андре [7] , Дж. Аврона и Б.Саймона [8] , статьи по теории эллиптических и параболических дифференциальных операторов со случайными и почти-периодическими коэффициентами С.М.Козлова [9 - II] , П.Е.Дедика и М.А.Шубина [12] , В.В.Жикова, С.М.Козлова, О.А.Олейник, Ха Тьен Нгоан [13], В.В.Жикова, С.М.Козлова, О.А.Олейник [14 - 17] и многочисленные другие работы.

Частью теории неупорядоченных систем являются исследования асимптотического поведения случайных блужданий и диффузии в случайных и неоднородных средах [18 - 36] , то есть марковских процессов со случайными параметрами. Необходимость исследовать поведение случайных блужданий в случайных средах возникала при моделировании процесса удвоения цепочки ДНК (А.А.Чернов [18]) , кристаллизации одномерных сплавов (д.Е.Темкин [19 - 20]) , явлений диффузии и проводимости в одномерных неупорядоченных средах (Дж.Бернаскони, В.Р.Шнайдер, В.Висс [21] , С.Александер, Дж.Бернаскони, В.Р.Шнайдер, Р.Орбах [22]) , и в некоторых других физических задачах.

Дадим определение случайного блуждания в случайной среде, аналогичное данному Ф.Соломоном [23] . Мы считаем, что задано топологическое пространство ]Н ("фазовое пространство") , в котором происходит случайное блуждание, и С? -алгебра ^ВД боре-левских подмножеств ТН. • В дальнейшем пространство Н будет одним из следующих метрических пространств: = ^0,» R с обычными метриками. Пусть задано также множествоТ значений, которые может принимать время "t; в дальнейшем ТГ~ + оо) , ТГ~ » илиТГ^'Ж. .

Обозначим через измеримое пространство всевозможных отображений ТГ в И , где — & -алгебра, порожденная цилиндрическими подмножествами "пространство всевозможных траекторий блуждания". Мы считаем, что задано вероятностное пространство (А , и семейство распределений ^Рд jA£ * заданных на измеримом пространстве рС таким образом, что для любого функция Рд(б) измерима по причем предполагается, что Рд есть распределение однородного марковского процесса с пространством состояний Н и временем

ТГ ;>s4eA — любое.

Множество А мы будем называть пространством сред, а вероятностное пространство Jh,— случайной средой. Обозначим »П , —-^yg^ • измеримом пространстве (Sb TP) зададим вероятностную меру Р соотношением

А * Сол) гдеАеЛд , С^В'Де'? .

Определение 0.1. Заданный на , T^l?) случайный процесс ос t-t) , где 4г€Т , to = (ocO\j4)€JTLf назовем случайным блужданием в случайной среде Ji^, ).

Наиболее полно исследован случай, когда » 1L ~

- множество функций, заданных на "Ж и принимающих значения в J/Ьд -С> -алгебра, порожденная цилиндрическими подмножествами /К , — распределение на , такое, что £) — независимые одинаково распределенные случайные величины, распределение Кл есть распределение случайного блуждания в с начальным состоянием 0 и вероятностями перехода за один шаг из Z bZ1*'! , равными и ЦлС^) соответственно, где А = ((с^С^, рф): еХ) Ф.Соломон [23*] вычислил пределы хШ и ф-хШ (п.Н.) при "t +■ 00 . Оказалось, в частности, что tim — + оо при М Г} (-=£)< О , где V? ф = . и .fcm 4ГХ ОсШ-0 при (М^И)"1^ 4Х МСШ)"1 , где Ц,(гУрСЙ . в этом случае при М Y[(b)<0 и некоторых дополнительных предположениях Г.Кестен, М.В.Козлов и Ш.Спицер [24J доказали, что существует предельное распределение для "t-od X От) при "t -V- °° для подходящего 0{ 4.), то есть блуждающая частица уходит ^п.н.^ в 4- оо , но аномально медленно по сравнению с обычными случайными блужданиями в Z см. [37] , с. 47 - 50) .

В так называемом критическом случае, когда координата блуждающей частицы x(.*t) растет еще более медленно: Г.Риттер [25] доказал, что существует предельное распределение при -tr-> 4-©о для К. ГУьаос (х (s): 045^-1} , Я.Г.Синай [26] доказал существование предельного распределения для и описал его в терминах функционала от винеровского процесса, при этом обнару

- б жилось, что блуждающая частица большую часть времени от 0 до "t проводит в зависящей от реализации среды области, размер которой мал по сравнению с ( Вп. 4г -т¥оо .

Первая глава диссертации также посвящена исследованию критического случая одномерного случайного блуждания в случайной среде, однако наши предположения о свойствах случайной среды отличаются от предположений, сделанных в [25] и [26] .

Пусть Ш= Z+ ,

J], где + ty(Ъ) > О , tft}> С , рс^> О , 1 для всех CJ, {0)~ 0 , ^Д^ — <5 -алгебра, порожденная цилиндрическими подмножествами JP\ , 5 л есть распределение случайного блуждания в с начальным состоянием 0 и вероятностями перехода за один шаг из в -1 , ^ , ^ + ± , равными ЦД^), Т-С^) , рС^ соответственно. Прежде, чем сформулировать условия, накладываемые на распределение случайной среды , введем следующие обозначения: ^«d.,2,*. jSCObO У?Съ) при DC. — Ч; . , для остальных ос € [О^ Цг®о) значение функции зададим с помощью линейной интерполяции ; С [0,+о°) — пространство непрерывных действительных функций, заданных на \0, + оС>У , снабженное топологией равномерной сходимости на компактных подмножествах [ О, +■ оо) . Легко видеть, SO )£. С [Од оо^. Мы предполагаем, что распределение удовлетворяет следующим условиям: а) Для некоторого Х>0 распределения в ССО^ + оо) f

V А / соответствующие непрерывным случайным функциям X'S ( к эс) * W ** (эс 6 [.0,-Voo)) , слабо сходятся при к. —» + оо к винеровской мере в С[0,-4-оо) . (в) Для любого £ > О ехр(-£лГ5Г) > ^ И-гСь^-^О 1 о^^^ по вероятности при эс-^-t-oo .

Введем обозначения: Х0 (-k^- СуЬлА) , Зс. (-t^ "=

Теорема I.I. Допустим, что выполнены условия (к) и (в) , тогда при всех целых "t У/ <L существуют случайные величины и ^. зависящие лишь от 4г и реализации (sC^):^, такие, что Ы

-fc-*+oo ^ О (0.4)

-ь ^^Pl^-fc^1^-^^1^)2] = Г ^-ilvWv, u>о; ^ ^ случайные величины m^-Cjf Brvt) ^ и (Ж^-пг^)-^ при -t + оо асимптотически независимы, и плотности распределений Pt t d.7 3) и соответствующие преобразования Лапласа ij? задаются формулами: vp1= (ск^хл)'1 им tly)- 2lZ С-if «сР(- ^<v),v>0; (о7)

УХл еоср(- £ 2.* v), V >0 ; ф.8) где = ; , л (\\

УгЛЛ'~ shvfXA '

Очевидным следствием теоремы I.I является

Теорема 1.2. В предположениях теоремы I.I при 4: распределения случайных величин х0(А) , эс0 (Л) и x0(-t)-Х0(4г) слабо сходятся к распределениям pLjMav соответственно, причем ЭСсШ и 5cnC-t)-X0C4r) асимптотически независимы.

В теореме I.I. утверждается, что при -fc->+oo случайный процесс (эс М (z~7L , сходится к тождественно нулевому процессу (в смысле сходимости конечномерных распределений ) ; для определенности подразумевается, что х(Л + ы)= О , если 4г + и О . При дополнительных предположениях о свойствах распределения р будет доказан более сильный результат.

Предположим, что случайные величины Т^ = независимы и одинаково распределены (=2 = , М — 0 ,

М (YJ (/2:))^ — в (07 + , последовательности случайных величин >0) и независимы, tC^): — стационарная последовательность случайных величин, и пусть для стационарной последовательности случайных величин (l/(lb)'. с теми же конечномерными распределениями, что и у (х (.^У ^ > О) , выполнено следующее условие с) При некотором <£>0

W (1 - I'&Sf^ е^ср (-11 ^- О (п.н.), и для почти всякой реализации (t'GzO^^Z,) существует Ъ&Ж такое, что

Теорема 1.3. Допустим, что выполнены сделанные выше предположения о свойствах случайной среды, и пусть выполнено также условие (с), тогда

1) при -к-* +-оо конечномерные распределения процессов

CoaC-t+uVm.^: ueZ) сходятся к конечномерным распределениям некоторого стационарного случайного процесса (u): ueZ) для определенности считаем, что О при

•b+-U<0 . Более того, существует предельное распределение случайных величин ^ЗС + U lV (г t: l «=. \г.rt заданных на » где (w^,.,^)^^"" , любые;

2) если г^)==соп<;4ге(0,1) , = -1Д,.), где ii<J£(0, + oo) j d Fjtf (у) — одномерное распределение соответствующего стационарного предельного процесса (и) из пункта I , то

Ц Fa =

С3-* О где G —некоторая функция распределения, V^ «R- .

Из пункта I теоремы 1.3 следует, что при больших значениях времени -Ь блуждающая частица локализована в конечной окрестности точки ПТ.^. , зависящей от среды (т.е. для любого t>0 существует N такое, что

-ГУЦ |4 N } J > i-£ для достаточно больших 4 ) .

Из пункта 2 теоремы 1.3 следует, что при выполнении некоторых условий область локализации частицы имеет размер порядка мСМял^/р^Я-1

Вторая глава диссертации посвящена исследованию асимптотического поведения случайных блужданий в симметричных случайных средах, а также изучению свойств случайных процессов, являющихся пределами (в смысле сходимости конечномерных распределений) таких случайных блужданий. 1

Цусть н- Z , Т=®-+=[0,+ со) , А= R + , J— <5 -алгебра, порожденная цилиндрическими подмножествами А , — распределение однородного марковского процесса с пространством состояний , начальным состоянием 0 и интенсивностями вероятностей перехода из ^ в 4- и из в ^ , равными а (г) , где (а B^'Z*') . Случайные блуждания в симметричных одномерных случайных средах исследовались Дж.Бернаскони, В.Р.Шнайдером и В.Виссом [21] , С.Александером, Дж.Бернаскони, В.Р.Шнайдером и Р.Орбахом [22] , В.В.Аншелевичем и А.В.Вологодским [27 , 28] . Из результатов работ [27 , 28] следует, что если существуют пределы fem fiu* il (aCiT-at /пт.

14 lid W Cp.lO) где CL GCO,-v сю) , то конечномерные распределения случайных процессов oc(Jz*\r3-(jLQ)~^\vZ1' » "t^UO^+c^o), сходятся при оо к конечномерным распределениям винеровского процесса ; среда sA - (CLпредполагается здесь фиксированной. В частности, если распределение !Р на ( А-, ^Ьд*) инвариантно относительно сдвига последовательности (d:

ZGZ) влево, соответствующая динамическая система эргодична, и MCaC^r^—Ci^COj) , то (0.10) выполнено для

Ф - почти всех s4 ^ А » и асимптотическое поведение случайного блуждания в почти всякой реализации случайной среды одно и то же и совпадает с поведением случайного блуждания в неслучайной среде Сг):) . Аналогичное утверждение было доказано и для многомерного случая В.В.Аншеле-вичем, К.М.Ханиным и Я.Г.Синаем [29] , причем были вычислены в явной форме параметры предельного диффузионного процесса.

Если величины аСг) (>eZ) независимы и одинаково распределены, и CCriS-t У"0* , где о<€(0, -1) , то МСсьсзг1 = + оо , и (О.Ю) не выполнено. Дж.Бернаскони, В.Р.Шнайдер и В.Висс [21 ] показали, что в этом случае (4^ = 0 } ^ com-l • , 4: + оо f и предположили, что существует предельное распределение случайных величин JC~ (-t) • "t ^/f*1"0^ при оо ? причем это предельное распределение зависит от оС (см. также [22]). В параграфе 2.4 будет доказана следующая теорема, включающая, в частности, гипотезу авторов [21] :

Теорема 2.1. Допустим, что случайные интенсивности вероятностей переходов ClO^) (jt^TL^) независимы и одинаково распределены, и

P[(aL*Tl>u Ь и" * Ци) (Г 6 - u ^ где [О, 4.) , L Си) — медленно изменяющаяся функция при Ц-^ + оО . Пусть 8(u) таково, что при U—^ +сю

U ЦЗД- (SM*

В(ц) монотонно растет с ростом Ц » и С (.9) таково, что

- 12 -c(s>>8(c(s))~ s, s тогда существует семейство случайных процессов tj (<х € [ 0,1J } такое, что i) ОС (s ) (c(S>y\ 4: £ [0,+°о)5 сходится к LJ ^ при S-^ + оо в смысле сходимости конечномерных распределений) ; аГ5Г , где — винеровский процесс, и при

О < 4г^<• • < 4: уу^ плотность распределения (у ^ , , uj ^^ ^ непрерывно зависит от o(€tP, 1] в точках (Мла-.^и^^Е что Uv^Uvi5l=l, гдеЦ0-0 ;при<хе(0, ±1 таких, траектории непрерывны п.н. , и распределения в

СЮ,+оо) , соответствующие , непрерывно (в смысле слабой сходимости) зависят от

3) если при всех S>0 , и П(S)/с($>)->U£ 1R (s-> + oo) , u , то = ~ °° , где — плотность распределения у ^ , при U ^ О непрерывно зависит от ос при осе Ю.1] , (u>=e.-|UL.i4V-T

4) при осе СО, i) для п. в. не существует предела при с,-> + оо конечномерных распределений процессов Oc(S"t)/c(sy

Теорема 2.1 следует из общих свойств случайных блужданий в одномерных симметричных средах и одномерных диффузионных процессов, которые будут нами установлены.

Введем предварительно несколько обозначений. Обозначим через Ж пространство монотонно неубывающих непрерывных справа функций, заданных на

R , принимающих значения в [- оо, <*>] и таких, что для каждой jue jfrt выполнено соотношение: juC-o)=jU.Co)= 0 . Множество таких jjU^ , что— —ц- оо , ju (г оо} =■ - со , обозначим через JC . Множество гладких (класса С Соо)) Функций уеЖ- со строго положительной первой производной обозначим через о • Снабдим множество Ж- топологией сходимости функций в точках непрерывности ; множество точек непрерывности функции jk. обозначим через ; множество точек xecon-t(jU-) таких, что либо оо t либо ju постоянна в некоторой окрестности х. , обозначим через J(|u) ; обозначим I (р) - [ос.: х. е 1FL, \ ju (?с) + , |j*lac.-0)|<+c« } . Введем Ж ^ jU £ Ж \ при tj > эс ^ (считаем по определению, что - + 00 , (+оо)-С+оо)= ) • Очевидно,

По среде s4 = (ct (ъ)^ ^ ) Q А построим функцию jU = = G следующим образом: f ре)= < O^t^Loc-^] ааГ*х>0 аСОГ^око

D^Kl^ (0Л2)

Иными словами, монотонная непрерывная справа функция ju постоянна на полуинтервалах вида [ L- 71+ 21 , ив точке i+ ^ имеет скачок величины ((Xtl))"^ . Отождествим процесс ^ С4г) блуждания в среде б4 с процессом х: ^ (-t G Ю,-V таким, что плотность р^Ны^-л**.) распределения вектора . С-У^)) равна

P^l при Lt-£ ^ Ub< Lt+ ^ l^W^m) .

Рассмотрим также начинающийся в нуле диффузионный процесс "Yfc» управляемый оператором ^jL Cite} Sj^ , где CtGc) , xelR. — гладкая строго положительная функция. Построим функцию jU : эс

Предположим, что ju(+oo^>oo , jla(-oo}=-oo , тогда ju £ jitQ Я= . Сопоставим этой функции ^л € ji^ случайный процесс Gfc) =^£4. .

Теорема 2.2. Определенное выше отображение, сопоставляющее некоторым ju е случайные процессы эс^Л-Ь) » может быть единственным образом доопределено для всех остальных J^C так, что эсуис0} = 0 , и

1) плотность р^ распределения вектора {рс ы как элемент L ^(jR. ) непрерывно зависит от ^ . < 4 ^ ;

2) если fom. ju^^ ju (в v/^) , и П П I(j^) (1Ч,. 7kvl) , то

0.13) кроме того, если u^t (L= V,^;U0=0), то одз) также выполнено : u\ = р с^ / и\

Г-fe И.-^+оо Г -k ' при U ё J ;

3) рЧ^ одновершинна, рW Г1 при всех V>0 , ос^О , juе

4) если Vtjj)= W t^JU , где |<>0 Л>О ,j то ^^ С?"t) — ^ -v С^О Св смысле совпадения конечномерных распределений);

5) если J— fc^vt (U^ (в , то траектории эс^ C-t) и ^с.^ CL) не~

J ч 1 прерывны п.н. , и распределения в С- LO; , соответствующие ос. C-t) , сходятся при И-—^ сю к распределению, соответрю. ствующему ос дд. Ot) ;

6) ^Cju. есть однородный марковский процесс с пространством состояний Щ .

Здесь и в дальнейшем под словами "траектории случайного процесса эс СЬ) , е LO^+оо), непрерывны почти наверное" подразумевается, что существует мера в С с теми же конечномерными распределениями, что и у процесса 3c(-fc) . Единственность ЭС^(4г) следует понимать в том смысле, что набор конечномерных распределений, соответствующих определяется однозначно условием, что плотности конечномерных распределений эсju непрерывно зависят от ju € Ж.

Предельные теоремы для одномерных марковских процессов были доказаны ранее для случая, когда функция jue*/^ ("шкала одномерного марковского процесса") непрерывна и строго монотонна (см. Стоун [«38J , Розенкранц и Дореа [39] , Брукс и Чакон [40"]), для разрывных строго монотонных jU процесс эс ^ был построен Д.Шютце [41] . Теорема 2.2 позволяет построить процессы ос^ для произвольных цл £ jl^ и установить непрерывную зависимость плотностей конечномерных распределений (а при jU е — и соответствующих распределений в О СО,+оо)) процесса эСц<(4г) от jU. ; при этом приходится рассматривать процессы со всюду разрывными траекториями (см. следствие леммы 2.2.5 , § 2.2).

Рассмотрим теперь случайное блуждание в симметричной случайной среде, для которого служит фазовым пространством,ТГ = [0,+ оо) , роль сред будут играть функции jU е ^ IM » где И — пространство всевозможных монотонных непрерывных^ справа функций, заданных на IR. и принимающих значения в [R, , с топологией сходимости в точках непрерывности. Обозначим через ТЬгу. сГ-алгебру борелевских подмножеств

И . Сопоставим jvte [W\jU- тождественно нулевой процесс ^jo, » тогда из теоремы 2.2 следует, что распределение Р*^ на пространстве всевозможных траекторий ? , соответствующее процессу ос , есть измеримая функция аргумента ju€

IM . Каждому распределению 3> на (Ч^^Ъц^ можно сопоставить по определению 0.1 распределение Т?^ на (XZ ) ; соответствующее случайное блуждание в случайной среде будем обозначать . Сформулируем теперь предельную теорему для случайных блужданий в симметричных случайных средах.

Теорема 2.3. А. Пусть ^Р — распределения на (IM., и конечномерные распределения сходятся к конечномерным распределениям ^Р при л- сю у тогда

1) Lrv , = , где 0 4 л -С * • • < 4г у^ , р^ — плотность распределения случайного вектора ftт)) заданного на в соответствии с определением 0.1;

2) если ^{u - е H^V^yyl.]^ d , и o=°), to

3) если ^(u^i ,4r>0 , то = p^CuHlur1 при всех Я ЬО,u^O;

4) если P^M^i. (иъ-1,2,.) , то траектории процессов ЭС,рОг) , ос^г) Gt) СVv=i.7Z,.) непрерывны п.н., и распределения в С[0, + оо) , соответствующие "ЭС^э , сходятся при к распределению, соответствующему эс гр .

В. Пусть , — распределения на (JM, ^вд) » ПРИ~ чем ьс индуцировано отображением м.*-^ V ,

Л>0 , ЬО .тогда u-^ce-t) .

Схемы доказательств теорем I.I и 1.3 приведены в § I.I , теорем 2.2 и 2.3 — в § 2.1 .

Основные результаты главы I опубликованы в работах [42] и

43] , основные результаты главы 2 — в работах [44]и 1.45].

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Голосов, Андрей Олегович, 1983 год

1.М.Лифшиц, С.А.Гредескул, Л.А.Пастур. Введение в теорию неупорядоченных систем. М.: Наука, 1982.

2. Дж. Займан. Модели беспорядка. М.: Мир, 1982.

3. Е.И.Динабург, Я.Г.Синай. Об одномерном уравнении Шредингера с квазипериодическим потенциалом.— функциональный анализ и его приложения, 1975, т. 9, вып. 4, 8 21.

4. И.Я.Гольдшейд, С.А.Молчанов. О проблеме Мотта.— Доклады АН СССР, 1976, т. 230, IP 4, 761 764.

5. И.Я.Гольдшейд, С.А.Молчанов, Л.А.Пастур. Случайный одномерный оператор Шредингера имеет чисто точечный спектр. — Функциональный анализ и его приложения, 1977, т. II, Р I,1.10.

6. С.А.Молчанов. Структура собственных функций одномерных неупорядоченных структур.— Известия АН СССР, сер. матем.,1978, т. 42, Р I, 70 103.

7. S.Aubry, G.Andre. Analуticity breaking and Anderson localization in incommensurate lattices.-Ann. Israel Phys. Soc., 1980, vol. 3, 133 164-.

8. J.Avron, B.Simon. Singular continuous spectrum for a classof almost periodic Jacobi matrices.— Bull. Amer. Math. Soc., 1982, vol. 6, No. 1, 81 86.

9. С.М.Козлов. Осреднение случайных операторов.— Матем. сб.,1979, т. 109, Р 2, 188 202.

10. С.М.Козлов. Осреднение дифференциальных операторов с почти периодическими быстроосциллирующими коэффициентами. — Матем. сб., 1978, т. 107, Р 2, 199 217.

11. С.М.Козлов. Осреднение случайных структур.— Доклады АН СССР,1978, т. 241, № 5, 1016 1019.

12. П.Е.Дедик, М.А.Шубин. Эллиптические операторы в пространствах однородных случайных полей и стабилизация решений параболических уравнений со случайными коэффициентами. — Доклады АН СССР, 1979, т. 249, № 5, 1043 1046.

13. В.В.Жиков, С.М.Козлов, О.А.Олейник, Ха Тьен Нгоан. Усреднение и G-сходимость эллиптических дифференциальных операторов. — Успехи математических наук, 1979, т. 34, вып. 5,65 133.

14. В.В.Жиков, С.М.Козлов, О.А.Олейник. Усреднение параболических операторов с почти-периодическими коэффициентами.— Матем. сб., 1982, т. 117, № I, 69 85.

15. В.В.Жиков, С.М.Козлов, О.А.Олейник. Теоремы об усреднении параболических операторов.— Доклады АН СССР, 1981, т. 260, № 3, 521 525.

16. В.В.Жиков, С.М.Козлов, О.А.Олейник. Усреднение и G-сходимость параболических операторов.— Успехи математических наук, 1980, т. 35, № 4, 150 151.

17. В.В.Жиков, С.М.Козлов, О.А.Олейник. Усреднение параболических операторов.— Труды Московского Математического Общества, 1982, т. 45, 182 236.

18. А.А.Чернов. Редупликация многокомпонентной цепочки механизмом " молния". — Биофизика, 1967, т. 12, № 2, 297 301.

19. Д.Е.Темкин. К теории бездиффузионного роста кристаллов.— Кристаллография, 1969, т. 14, № 3, 423 430.

20. Д.Е.Темкин. Одномерные случайные блуждания в двухкомпонентной цепочке.— Доклады АН СССР, 1972, т. 206, № I, 27 30.

21. J.Bernasconi, W.R.Schneider, W.Wyss. Diffusion and hoppingconductivity in disordered one-dimensional lattice systems. — Zeitschrift fur Physik Б, 1980, v. 37, 175 184.

22. S.Alexander, J.Bernasconi, W.R.Schneider, R.Orbach. Excitation dynamics in random one-dimensional systems.— Reviews of Modern Physics, 1981, v. 53, No. 2, 175 198.

23. P.Solomon. Random walks in a random environment.—Annals of Probability, 1975, v. 3, No. 1, 1 -31.

24. H.Kesten, M.V.Kozlov, F.Spitzer. A limit law for random walk in a random environment .-Compositio Mathematica, 1975, v. 30, fasc. 2, 145 168.

25. G.A.Hitter. Random walk in a random environment, critical case. A thesis. Cornell: Cornell University, USA, 1976.

26. Я.Г.Синай. Предельное поведение одномерного случайного блуждания в случайной среде. — Теория вероятностей и ее применения, 1982, т. 27, вып. 2, 247 258.

27. V.V.Anshelevich, A.V.Vologodskii. Laplace operator and random walk on one-dimensional nonhomogeneous lattice.— Journal of Statistical Physics, 1981, v. 25, No. 3, 419 430.

28. V.V.Anshelevich, A.V.Vologodskii. Random walk on a one-dimensional lattice.— J. Phys. A : Math. Gen., 1982, v. 15, 185 19729 V.V.Anshelevich, K.M.Khanin, Ya.G.Sinai. Symmetric randomwalks in random environmentsCommun. Math. Phys., 1982, v. 85, 449 470.

29. S.A.Kalikow. Generalized random walk in a random environment.— Ann. Probab., 1981, v. 9, No. 5, 753 768.

30. J.Bernasconi, W.R.Schneider. Diffusion on a one-dimensional lattice with random asymmetric transition rates. —- из J. Phys. A : Math. Gen., 1982, v. 15, No. 12, L729 L734-.

31. C.C.Heyde. On the asymptotic behaviour of random walks on an anisotropic lattice.— Journal of Statistical Phisics, 1982, v. 27, No. 4-, 721 730.

32. G.F.Lawler. Weak convergence of a random walk in a random environment. — Commun. Math. Phys., 1982, v. 87, No. 1, 81 87.

33. H.Osada. Homogenization of diffusion processes with random coefficients. — IV USSR-Japan Symposium on Probability Theory and Mathematical Statistics. Abstracts of communications, vol. 1, Tbilisi: Mezniereba, 1982, 54—56.

34. W.R.Schneider. Hopping transport in disordered one-dimensional systems: random walk in a random medium.— beet. Notes Phys., 1982, v. 173, 289 30336 M.Westcott. Random walks on a lattice.— Journal of Statistical Physics., 1982, v. 27, No. 1, 75 - 82.

35. Ф.Спицер. Принципы случайного блуждания. М.: Мир, 1969.

36. C.Stone. Limit theorems for random walks, birth and death processes, and diffusion processes.— 111.J.Math., 1963, v. 7, 638 660.

37. A.0.Голосов. Предельные распределения для случайных блужданий в случайных средах. — Доклады АН СССР, т. 271, № I, 25 29.

38. А.0.Голосов. О локализации случайного блуждания в случайной среде.— Успехи математических наук, 1984, т. 39, вып. 2, 145 146.

39. А.0.Голосов. Случайные блуждания в симметричных случайных средах. — Успехи математических наук, 1983, т. 38, вып. 3, 175 176.

40. А.0.Голосов. Предельные теоремы для случайных блужданий в симметричных случайных средах. — Теория вероятностей и ее применения, 1984, т. 29, вып. 2, 264 278.

41. Чжун Кай-Лай. Однородные цепи Маркова. М.: Мир, 1964.

42. И.И.Гихман, А.В.Скороход. Введение в теорию случайных процессов. М.: Наука, 1977.

43. П.Биллингсли. Сходимость вероятностных мер. М.: Наука, 1977.

44. У.Рудин. Функциональный анализ. М.: Мир, 1975.

45. К.Ито, Г.Маккин. Диффузионные процессы и их траектории. М.: Мир, 1968.

46. P.Mandl. Analytical treatment of one-dimensional Markov processes. Prague: Academia, 1968.

47. В.Феллер. Введение в теорию вероятностей и ее приложения, том 2. М.: Мир, 1967.

48. М.А.Лаврентьев, Б.В.Шабат. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Физматгиз, 1958.

49. А.В.Скороход. Случайные процессы с независимыми приращениями. М.: Наука, 1964.

50. J.W.Pitman. One-dimensional Brownian motion and the three-dimensional Bessel process. — Adv. Appl. Probability, 1975, v. 7, No. 3, 511 526.

51. Б.В.Шабат. Введение в комплексный анализ. Часть I. М.: Наука, 1976.

52. Ф.Аткинсон. Дискретные и непрерывные граничные задачи. М.: Мир, 1968.

53. А.Н.Колмогоров. Основные понятия теории вероятностей. 2-е изд. испр. и доп. М.: Наука, 1974.

54. G.Stone. Weak convergence of stochastic processes defined on semi-infinite time intervals .-Proс. Amer. Math. Soc., 1963, v. 14, No. 5, 694 696.

55. А.Д.Вентцель. Курс теории случайных процессов. М.: Наука, 1975.

56. Й.И.Гихман, А.В.Скороход. Теория случайных процессов, том I, М.: Наука, 1971.