Повышение вибропрочности трубных пучков теплообменных аппаратов при гидроупругом возбуждении колебаний. тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.06, кандидат наук Самолысов Алексей Витальевич

• Самолысов Алексей Витальевич
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Самолысов Алексей Витальевич

Введение

Глава 1. Аэрогидродинамические нагрузки на конструкции в потоке

среды

1.1. Обтекание потоком одиночных тел

1.2. Поведение потока при обтекании конструкции теплообменного оборудования

1.3. Поток при взаимодействии с многокомпонентными конструкциями трубных пучков

Глава 2. Анализ механизмов возбуждения колебаний трубных пучков

в поперечном потоке жидкости

2.1. Общие сведения о конструкциях теплообменных аппаратов

2.2. Турбулентный бафтинг

2.3. Периодический вихревой отрыв

2.4. Гидроупругое возбуждение

2.5. Выводы о природе и характере нагрузок от потока на конструкцию для приведенных механизмов возбуждения

Глава 3. Математическая модель гидроупругого механизма

возбуждения колебаний системы плохообтекаемых тел в поперечном потоке жидкости

3.1. Основные характеристики моделируемого механизма возбуждения

3.2. Методы решения граничной задачи и определение действующих на многокомпонентные конструкции гидродинамических нагрузок

3.2.1. Метод отражения

3.2.2. Метод конформного отображения

3.2.3. Метод коллокаций

3.3. Описание математической модели гидроупругого механизма возбуждения колебаний системы плохообтекаемых тел в поперечном потоке жидкости

3.4. Методология определения критической скорости течения. Схема численного эксперимента для определения матриц влияния

3.5. Алгоритм проведения численного эксперимента

3.6. Особенности применения модели гидроупругого механизма возбуждения колебаний для многокомпонентных конструкций в поперечном потоке среды

Глава 4. Основные результаты по определению устойчивости

многокомпонентных трубных систем

4.1. Определение устойчивости ряда из трех труб

4.2. Методика восстановления матрицы линейной

гидродинамической связи

4.2.1 Алгоритм определения устойчивости для ряда из пяти трубок

4.3. Расчет обтекания фрагмента трубного пучка

4.4. Анализ динамических характеристик больших трубных пучков

Заключение

Основные результаты и выводы диссертационной работы

Список литературы

Приложение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Повышение вибропрочности трубных пучков теплообменных аппаратов при гидроупругом возбуждении колебаний.»

Введение

На современном этапе развития атомной энергетики во всем мире одной из главных задач является повышение мощности реакторных блоков при одновременном обеспечении требуемого уровня их безопасности. Однако при этом есть ряд причин, которые могут препятствовать достижению поставленной задачи. Приведем основные из них:

- ресурс действующих ядерных энергетических установок исчерпан примерно на 60%, что следует из анализа многочисленных работ, проведенных в ИМАШ РАН под руководством Н. А. Махутова, и многие страны планируют продлить эксплуатацию своих реакторов сверх первоначально установленного ресурса. Это приводит к более значительному исчерпанию ресурса наиболее важных элементов реакторных установок и увеличивает вероятность серьезных аварий. В тоже время, сам механизм исчерпания ресурса реакторов недостаточно изучен и сложно прогнозировать интенсивность его проявления;

- у всех действующих реакторов есть серьезные недостатки в области безопасности, которые нельзя устранить путем модернизации уровня защищенности;

- крупная авария на водо-водяном реакторе типа ВВЭР (самый распространенный тип ядерных реакторов) может привести к крупномасштабной катастрофе;

- ведущие предприятия атомной промышленности модернизируют свои ядерные энергетические установки путем повышения рабочих характеристик (давление, температура, скорость теплоносителя), что, в свою очередь, повышает удельную теплоэнергонапряженность агрегатов, т.е. ускоряет процесс выработки ресурса и снижает долговечность оборудования. При этом стандарты для этих предприятий не всегда в полном объеме учитывают эти новые условия работы.

Проблема обеспечения безопасности ВВЭР в штатных и нештатных ситуациях является жизненно важной в ближайшие десятилетия в России из-за исчерпания срока службы большого числа блоков АЭС с ВВЭР,

необходимости их полной замены или модернизации с существенными интеллектуальными и финансовыми затратами [78].

Согласно данным статистики, приведенным в [54, 64], до 30% остановок энергетических блоков происходит вследствие выхода из строя теплообменных аппаратов, что обусловлено интенсивными вибрациями теплообменных трубных пучков, как одних из наиболее нагруженных элементов данных конструкций. В связи с этим актуальной становится задача создания математических моделей, позволяющих производить оценку и анализ гидродинамически возбуждаемых вибраций трубных пучков.

Численное моделирование позволяет в значительной мере избежать длительных, трудоемких, чрезвычайно дорогих полнообъемных экспериментальных исследований на натурных объектах, особенно таких, как мощные современные стационарные энергетические установки АЭС, ГРЭС, ГЭС, энергетические установки в судостроении, а также различные многокомпонентные конструкции.

Необходимо отметить также, что при создании современных математических моделей должны учитываться накопленные за многие годы исследований экспериментальные данные и опыт их анализа, представленные в литературе авторами М. И. Алямовским, С. И. Девниным (Ленинград, ЦНИИ-45 им. А. Н. Крылова), Р. Д. Блевинсом (США, Исследовательский Центр Сан-Диего,), С. С. Ченом (Аргоннская лаборатория, США), С. М. Каплуновым, Н. А. Махутовым, Л. Я. Банах (ИМАШ РАН, Москва), К. К. Федяевским, Г. М. Фоминым (ЦАГИ), Л. В. Смирновым и Н. Я. Николаевым (ННГУ, НИИ Мех, Нижний Новгород), В. С. Федотовским и Т. Н. Верещагиной (ФЭИ, Обнинск), Х. Танакой (Мицубиси-центр, Япония), Д. Уивером и М. Пайдуссисом (Канада).

Теоретический подход и разработанные в последние годы математические модели позволяют свести к минимуму, но не позволяют полностью обойтись без экспериментальных данных. Поэтому эксперимент остается важным методом познания и исследования, при помощи которого

Окончательный вывод о пригодности предлагаемых математических моделей расчета колебаний пучков труб и их адекватности для реальных конструкций может проводиться исключительно на основе сравнения с результатами экспериментальных исследований на натурных полномасштабных объектах или на их крупномасштабных или фрагментарных моделях.

В связи с этим, при проектировании теплообменных аппаратов возникают задачи определения областей параметров, в которых возможны вызванные потоком теплоносителя интенсивные колебания труб с большими амплитудами. С помощью физических экспериментов доказано, что возможность проявления гидроупругого механизма возбуждения труб является недопустимой для рабочих диапазонов энергетического оборудования.

Таким образом, исходя из приведенной выше классификации и современных тенденций развития атомной энергетики, можно утверждать, что наиболее возможным в целях экономии средств и снижения затрат для увеличения мощности реактора будет увеличение скорости теплоносителя.

Важно отметить, что перед тем как увеличивать мощность посредством увеличения скоростей потока теплоносителя в реакторных установках стоит оценить вероятность возникновения повышенного износа, который в значительной степени происходит из - за повышения амплитуд вибраций трубок в пучке.

К примеру, в 2012 г. на АЭС «Сан Онофре» (США) после замены парогенератора в 2010 г. с увеличенными значениями скоростей теплоносителя на различных режимах работы было обнаружено, что на трубах парогенератора имеется около 900 индексаций износа, которые свидетельствуют об интенсивном виброизносе труб. При этом 129 трубок было подвергнуто испытаниям, в восьми из них были выявлены течи. После этого было официально заявлено, что механизмом повреждения труб явился их

виброизнос, наиболее интенсивно протекающий в местах контактов труб с перегородками или между собой, что определяет наличие гидроупругого механизма возбуждения. Реакторная установка была остановлена, а наличие повышенного виброизноса было объяснено природой гидродинамических механизмов возбуждения.

Цели и задачи исследования. Цель исследования - разработка методики повышения вибропрочности прямотрубных теплообменных аппаратов на основе результатов исследования механизмов возбуждения колебаний трубных пучков и определения границ потери их устойчивости.

В работе рассматриваются вибрации пучков труб теплообменников, вызванные наличием гидродинамических механизмов возбуждения при их обтекании поперечным потоком теплоносителя. Гидродинамические нагрузки, действующие на теплообменные пучки труб, объясняются наличием нестационарного отрывного течения в межтрубном пространстве, а также сложными процессами, происходящими в густом пучке с большим количеством труб. Математическая интерпретация описываемых явлений требует разработки довольно трудоемких моделей. Наиболее полные математические модели были получены С. С. Ченом и М. И. Алямовским на основе проведения дорогостоящих физических экспериментов.

Задачи диссертационного исследования: получение комплекса критериев подобия для гидроупругого возбуждения колебаний труб; создание математической модели гидроупругого механизма возбуждения колебаний труб теплообменников; определение нестационарных гидродинамических сил, действующих на трубки в пучках с регулярной компоновкой поперечного сечения, состоящих из большого числа трубок путем расчета сил для небольшого фрагмента пучка; построение алгоритма численного определения матриц влияния в системе «жидкость - труба» с заданными конструктивными параметрами.

Предложенная модель численного эксперимента должна быть использована для полного воспроизведения всех основных механизмов

возбуждения колебаний трубных пучков, а именно: периодического вихревого отрыва и гидроупругого возбуждения.

Объектами приложения результатов исследований являются ответственные комплексы теплообменного оборудования, теплообменные аппараты различного назначения, двигательные установки в энергетическом, атомном и газонефтехимическом машиностроении, а также в судостроении.

Таким образом, основной целью данной работы является создание математической модели гидроупругого механизма возбуждения колебаний трубного пучка, на основе использования которой проводится численное моделирование и анализ устойчивости рассматриваемой многокомпонентной системы с верификацией полученных данных.

Структура и объем диссертационной работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложения. Основное содержание работы изложено на 116 листах, включая 32 рисунка и 15 таблиц. Список литературы включает 126 источников.

Во введении обоснована актуальность выбранной темы, указаны основные направления исследований и сформулированы цель и задачи работы.

Первая глава рассматривает гидродинамические процессы при поперечном обтекании трубных систем, зависимости гидродинамических сил от числа Re и угла срыва вихрей как для одиночной трубы так и для трубных пучков различной густоты. Здесь проанализировано поведение жидкости при срывном обтекании одиночных тел и тесных пучков труб, а также обобщены зависимости гидродинамических сил от числа Яе для рассматриваемых случаев.

Вторая глава посвящена краткому описанию конструкции теплообменного аппарата, а также различным механизмам возбуждения колебаний основных его элементов - труб.

На основании анализа экспериментальных исследований поведения труб в агрегатах теплообменного оборудования по специфике проявления различают несколько механизмов возбуждения, а именно: турбулентный

Показано, что возможность проявления именно гидроупругого возбуждения является недопустимой для нормальной эксплуатации трубных пучков.

В третьей главе дается описание математической модели гидроупругого механизма возбуждения трубного пучка, на основе использования которой при проведении численного эксперимента для фрагмента пучка трубок определяется значение критической скорости обтекания из анализа условия устойчивости рассматриваемой многокомпонентной системы. Также здесь приводятся с выводом полученные автором выражения для расчета гидродинамических нагрузок через параметры внешних и внутренних вихрей, с помощью которых и производится моделирование обтекания как круглых неколеблющихся и колеблющихся тел, так и обтекания тел произвольной формы.

Четвертая глава описывает результаты, полученные на основе разработанной математической модели, по определению критической скорости обтекания поперечным потоком теплоносителя одиночного ряда из трех, пяти, семи труб, а также для прямоугольного пучка. Полученные в диссертационном исследовании результаты сравнивались с результатами известных экспериментальных исследований как отечественных, так и зарубежных авторов.

Степень достоверности. Проводимые численные эксперименты и полученные результаты сравнивались с многочисленными физическими экспериментами отечественных и зарубежных исследователей.

Научная новизна. В диссертационном исследовании получены следующие научные результаты:

1) на основании проведенного в работе анализа данных экспериментальных исследований поведения трубных пучков разработана математическая модель гидроупругого механизма возбуждения их колебаний с учетом срывного обтекания;

2) на основе разработанной модели возбуждения колебаний трубного пучка предложен обобщенный критерий подобия для гидроупругого механизма возбуждения, позволяющий оценить критические параметры рассматриваемой гидроупругой системы;

3) определено условие устойчивости для пучков труб, выраженное с использованием безразмерных параметров: логарифмический декремент колебаний, безразмерный массовый параметр и собственные числа матриц влияния (матриц линейной гидродинамической связи) в многокомпонентной системе «жидкость-трубы»;

4) предложены аналитические зависимости для определения гидродинамических сил, воздействующих на неподвижные и колеблющиеся профили при их срывном обтекании с учетом мгновенных значений скоростей дискретных вихрей, что позволяет уточнить модели гидродинамических процессов, воспроизводимых в современных вихревых методах (упрощение расчетной схемы и сокращение времени счета), характерных для теплообменных пучков.

Практическая ценность диссертационного исследования состоит в следующем:

1. Разработанная методика численного определения гидродинамических нагрузок и возбуждаемых ими колебаний пучков труб позволила в существенной мере дополнить и частично заменить дорогостоящие и трудоемкие экспериментальные исследования.

2. Предложен способ определения гидродинамических сил в пучках с регулярной компоновкой их поперечного сечения на основании расчета гидродинамических сил для фрагмента данного трубного пучка, что позволило существенно сократить время проведения дальнейших расчетов.

3. Разработанный подход к исследованию явления гидроупругого возбуждения пучков труб и полученные на его основе результаты являются важными на стадии проектирования теплообменных пучков для определения областей параметров конструкции, при которых невозможна ее эксплуатация.

4. Определены значения критической скорости потока теплоносителя, зависящие от безразмерных параметров (логарифмический декремент колебаний, безразмерный массовый параметр трубного пучка, характеристика гидродинамических сил), что позволяет оперативно производить диагностику также для введенного в эксплуатацию теплообменного аппарата на наличие в нем недопустимого гидроупругого возбуждения колебаний.

Необходимо отдельно отметить, что численное моделирование позволяет в значительной мере избежать длительных трудоемких и чрезвычайно дорогих опытных исследований на натурных объектах, особенно таких, как мощные стационарные энергетические установки АЭС, ГРЭС и на иных различных многокомпонентных конструкциях в потоках жидкости.

Результаты диссертационного исследования были использованы на предприятии АО «ОКБМ Африкантов» при доработке программы КЛЭТ-1, предназначенной для численного анализа динамики и износостойкости теплообменных труб в части определения критических скоростей обтекания теплообменного пучка поперечным потоком теплоносителя в зависимости от параметров парогенератора реакторной установки ТВР-Э с помощью разработанной численно-аналитической методики.

Методика определения нестационарных гидродинамических нагрузок на трубах в пучках с регулярной компоновкой поперечного сечения путем расчета сил для фрагмента пучка, математическая модель для корректного описания гидроупругого механизма возбуждения вибраций труб теплообменников с учетом их срывного обтекания внедрены в учебный процесс Санкт-Петербургского государственного морского технического университета при чтении курса «Гидроаэроупругость» по магистерской программе направления 15.04.03 «Прикладная механика».

Личный вклад автора. Тематика диссертации предложена научным руководителем. Все исследования, результаты которых отражены в диссертационной работе, проведены соискателем в процессе научной деятельности.

Апробация работы. Теме диссертационной работы было посвящено 11 докладов, среди которых 3 - на международных конференциях, прошедших в России и 2 - на международных конференциях, прошедших за рубежом (Украина, Литва).

Публикации. По теме диссертационной работы было опубликовано 20 статей в журналах и сборниках научных трудов, из которых 7 - в рецензируемых и рекомендованных ВАК РФ для соискания ученой степени.

На защиту выносятся следующие результаты диссертационной работы:

1. Математическая модель, которая описывает гидроупругий механизм возбуждения вибраций упругих труб теплообменников как развитие неустойчивости их невозмущенного состояния при срывном обтекании.

2. Обобщенный критерий подобия для гидроупругого возбуждения вибраций, позволяющий оценить критические параметры трубных пучков теплообменных аппаратов.

3. Способ определения нестационарных гидродинамических сил на трубах пучков с регулярной компоновкой поперечного сечения путем расчета сил для фрагмента трубного пучка, что позволяет существенно сократить время расчета.

4. Условие устойчивости на основе критерия Ляпунова для фрагмента пучка, выраженное через безразмерные параметры системы и оценку собственных чисел матрицы влияния, построенной для рассматриваемого трубного пучка.

среды

1.1. Обтекание потоком одиночных тел

При анализе законов движения несжимаемых жидкостей и газов, как показано на практике и подтверждено опытом физических экспериментальных исследований, можно пользоваться одними и теми же соотношениями гидромеханики, не обращая особого внимания на различия в строении их молекул [17], но только в том случае, если скорость движения газа не будет превышать некоторый предел, зависящий от числа Маха (соотношение между скоростью движения газа и скоростью звука в газе). Вероятная ошибка в определении давления газа по соотношениям для жидкости, обладающей свойством несжимаемости, будет составлять не более 1 % при значении М<0,2. Таким образом, законы движения газа и капельной жидкости могут считаться похожими, к примеру, при скорости 70-75 м/сек, если принять скорость звука при его прохождении в воздухе равной 350 м/сек. Пример визуализации процесса обтекания профиля в жидкости представлен на Рисунке 1.1.

Рисунок 1.1.Визуализация дорожки Кармана за цилиндром

В дальнейшем термин гидроупругость будет использоваться наравне с встречающимися в литературе терминами аэроупругость и аэрогидроупругость, поскольку понятие "среда" обычно используется в широком смысле. При изучении взаимодействия потока и обтекаемого им тела (конструкции) основное различие между газом и жидкостью состоит в

различной вязкости и плотности, более существенной зависимости процессов от температуры для газов и возможности существования свободного уровня для жидкости. Основные зависимости действительны для обеих сред в указанном выше диапазоне чисел Маха.

Согласно анализу результатов исследований, при обтекании криволинейных поверхностей реальной жидкостью пограничный слой отрывается не в определенной точке, а охватывает некоторую небольшую часть поверхности в направлении движения потока. Эта область колеблется около равновесного положения. При обтекании поперечным потоком идеальной жидкости трубы распределение давления симметрично, и, следовательно, труба не оказывает никакого лобового сопротивления обтекаемой идеальной жидкости (парадокс Даламбера).

Реальная жидкость, обтекая поверхность, прилипает к ней [17]. Это меняет картину линий тока, поскольку происходит торможение слоя жидкости, прилегающего к поверхности. В этом слое (Рисунок 1.2) скорость течения жидкости изменяется от нуля на стенке до значения во внешнем потоке, где течение фактически происходит без трения. Образующийся тонкий слой текущей жидкости на поверхности именуется пограничным слоем или слоем трения. За толщину пограничного слоя принимается такое расстояние от стенки, на котором скорость внешнего потока отличается на 1% от скорости течения.

Рисунок 1.2. Схема отрыва вихревой пелены от одиночного цилиндра [17]

Главным критерием, от которого должна зависеть картина обтекания, является число Рейнольдса Яе = 2иг0/у (и - скорость потока на бесконечности,

г0 - радиус цилиндра, V - кинематическая вязкость жидкости). Приведем опытные данные влияния числа Яе на картину обтекания. Безразмерная частота срыва вихрей с кругового цилиндра характеризуется числом Струхаля :Т82го /и(: - частота схода вихрей).

Схема обтекания трубы изменяется из-за наличия в потоке реальной жидкости пограничных слоев. Именно от гидродинамических условий развития этих слоев зависят значения скоростей и давлений в остальных областях. Толщина ламинарного пограничного слоя, появляющегося в начальный момент натекания жидкости на трубу, зависит от вязкости жидкости, скорости потока и увеличивается вдоль по течению. Рассматриваемый пограничный слой отрывается при а = 820, после чего происходит образование вихрей, которые в зависимости от значения Яе либо остаются в кормовой части трубы, либо периодически отрываются и уносятся набегающим потоком. В зависимости от значений Яе можно выделить несколько режимов течения.

При Яе<5 инерционные силы меньше сил вязкости и труба обтекается плавно, вся поверхность трубы огибается линиями тока, а отделение потока от нее начинается от поверхности трубы в кормовой ее точке. Происходит потенциальное обтекание трубы с симметричным распределением давления по ее поверхности.

При Яе>5 линии тока за трубой начинают расходиться, происходит отрыв ламинарного пограничного слоя, а за трубой образуются два постоянно циркулирующих симметричных вихря (Рисунок 1.2). Эти вихри ограничиваются нулевыми линиями тока, являющимися за точкой отрыва пограничного слоя его продолжением. В данном случае течение в следе ламинарное и устойчивое. С дальнейшим увеличением числа Яе (Яе> 40) течение в следе становится неустойчивым, и вихри начинают отрываться от поверхности трубы (Рисунок 1.3). Вначале отрывается один вихрь, что вызывает асимметрию в следе, которая приводит к отрыву второго вихря. Этот процесс продолжается постоянно. Дорожка Кармана (образованный таким

образом вихревой след) является ламинарной и неразрывной на достаточно большом расстоянии от трубы.

Далее след становится полностью турбулентным. До наступления критического режима обтекания (Яе = 2-105), характеризующегося резким уменьшением сопротивления давления и последующим его увеличением, такое течение сохраняется в следе.

При критических Re в зоне резкого смещения области, где пограничный слой отрывается ниже по течению, отмечается нарушение регулярности отрыва вихрей от поверхности трубы.

В сверхкритической области обтекания турбулентный пограничный слой отрывается в зоне а = 1400. В некоторых работах (к примеру, в [17, 18]) этот процесс наблюдается при а = 1200.

Анализируя появление таких областей из идеальных свободных вихревых линий, Карман установил, что они невосприимчивы по отношению к малым отклонениям в положении вихрей лишь в случае, когда d/L=0,28. Здесь L - шаг между вихрями в каждом ряду, d - расстояние между рядами вихрей с разной циркуляцией. Вихри, показанные на Рисунке 1.3 действительно располагаются более или менее таким образом.

Рисунок 1.3. Визуализация дорожки Кармана за одним и двумя цилиндрами

Многочисленные экспериментальные исследования [18, 88] показали (Рисунок 1.4), что число Sh остается примерно постоянным и равным 0,2, в

области чисел Яе от 300 до 2-10 (нижний предел критического значения). При

последующем увеличении числа Яе число БИ начинает возрастать. Но когда число Яе становится выше, чем 3,3-105 и достигается сверхкритическая область, пограничный слой оказывается полностью турбулентным, регулярного срыва вихрей при этом не происходит. Такая исключительная ситуация имеет место лишь при числах Яе, не превышающих 3,5-106. После превышения указанного значения дорожка Кармана может образовываться вновь, причем значение числа Струхаля в этой так называемой закритической области составляет БИ = 0,27-0,30.

Рисунок 1.4. Зависимость безразмерной частоты срыва вихрей БИ от числа Яе для трубы круглого поперечного сечения [22]

Координата точек отрыва потока на цилиндре также связана со значением числа Яе. Точка отрыва располагается при а = 800 - 850 для

3 5

интервала 103<Яе<105, когда происходит срыв ламинарного слоя (Рисунок 1.5). При числах Яе> 2-105 пограничный слой становится турбулентным. Точка отрыва в таком случае внезапно сдвигается вниз по потоку к а=110°-130° вследствие более устойчивого состояния слоя. Это явление и вызывает кризис сопротивления.

Экспериментально показано, что на неподвижном цилиндре для Re = const изменения положения точки отрыва не происходит [120]. Это утверждается также в [87] со ссылкой на другие источники.

На Рисунке 1.5 приведены экспериментальные результаты для зависимости угловой координаты а точек отрыва на цилиндре в вязкой жидкости от чисел Re [17].

»♦ * • т Av * ...

ч * . * ** * **у 1 % а /

101 К}3 105 Ые

Рисунок 1.5. Зависимость угловой координаты а точек отрыва на круговом цилиндре в вязкой жидкости от числа Яе [17]

Отрыв вихрей происходит попеременно, то с одной, то с другой стороны цилиндра, что приводит к периодическому изменению давления на его поверхности, то есть к образованию периодически меняющейся по направлению и значению гидродинамической силе. В гидромеханике принято разлагать эту силу по направлению потока (лобовое сопротивление, ^х = СхрЯи2) и поперек потока (подъемная сила, Ру = Сур1Ш2). Здесь р -плотность жидкости, Сх - коэффициент силы лобового сопротивления, Су -коэффициент подъемной силы. Частота подъемной силы равна частоте срыва вихрей. Существует также пульсационная компонента силы сопротивления, однако ее интенсивность на порядок меньше интенсивности подъемной силы. Частота пульсационной силы сопротивления вдвое превышает частоту подъемной силы. Хотя в целом картина является периодической, на нее, однако, накладываются относительно мелкие случайные турбулентные пульсации с широким спектром частот.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Самолысов Алексей Витальевич, 2017 год

V М / *

(^3))2

5) Получим параметр демпфирования А:

4 V*!/

6) Определим скорость обтекания Уг :

V, =-.

Г и>о

Здесь У^ - безразмерная среднерасходная скорость в минимальном зазоре между трубами для ряда из 5 трубок.

Согласно приведенному алгоритму в работе была также произведена оценка устойчивости для ряда из семи трубок (Рисунок 4.4, данные - П.1., Таблица 11).

0,2 0,3 0,5 0,7 1 2 3 5 7 10 20 Рисунок 4.3. Граница области устойчивости для ряда труб (д=Б/ё=1,41):

сплошная линия - расчет автора для ряда из пяти трубок, штриховая линия -

эксперимент для бесконечного ряда трубок [47] (зависимость Г. Коннорса)

Рисунок 4.4. Граница области устойчивости для ряда труб (д=Б/ё=1,41): сплошная линия - расчет автора для ряда из семи трубок, штриховая линия - эксперимент Г. Коннорса для бесконечного ряда трубок

[47]

Для восстановления матрицы линейной гидродинамической связи была разработана программа, с помощью которой восстанавливалась матрица линейной гидродинамической связи для ряда из семи трубок (П.1., Таблица 12) и были получены собственные числа этой матрицы. Из рассматриваемых собственных чисел выделялось собственное число, обладающее максимальной мнимой частью. Найденные значения собственных чисел по всем матрицам сравнивались между собой.

С помощью вычислений установлено, что собственное значение, обладающее максимальной мнимой частью, при N>7 практически не зависит от N. Это свойство является основным для больших однорядных пучков с регулярной компоновкой поперечного сечения. Оно позволяет рассматривать большие пучки, не конкретизируя количество трубок. В известных экспериментальных исследованиях это свойство проявляется в том, что критическая скорость для больших пучков определяется компоновкой поперечного сечения и слабо зависит от числа упругих трубок. Указанное свойство позволяет количественно сопоставить результаты численного исследования устойчивости однорядного пучка q=1,41 с результатами соответствующих экспериментальных исследований, полученными на различных установках, где реализуется условие, что среднерасходная скорость в минимальном зазоре между соседними трубками является критерием подобия нестационарных гидродинамических сил.

Аналогичная схема для определения матриц линейной гидродинамической связи может быть реализована и в физическом эксперименте. В работе [124] кратко описана экспериментальная установка, которая позволяет производить измерения по схеме, близкой к изложенной. Следует заметить, что это единственная известная из литературы установка подобного типа.

В работах М. И. Алямовского [1, 2] изложен упрощенный подход, позволяющий проводить анализ динамики пучка, на основании данных, полученных из специальных экспериментов. При разработке математических

моделей полагалось, что при гидроупругом возбуждении отсутствует гидродинамическое взаимодействие между колеблющимися трубками пучка. Этот тип возбуждения приводит к автоколебаниям, поляризованным вдоль оси У. Предполагалось, что дестабилизирующая гидродинамическая сила линейно зависит от амплитуды колебаний рассматриваемой трубки вдоль оси У. Полученные в процессе исследования матрицы линейной гидродинамической связи соответствуют модели гидроупругого возбуждения, предлагаемой в работах [1, 2]. Они содержат отличные от нуля элементы только по главной диагонали, связанные с движением трубок в направлении оси У. Данный подход привлекателен в силу своей простоты. При анализе пучка упругих трубок достаточно рассмотреть колебания отдельной трубки в присутствии соседних трубок только в направлении оси У. Задача сводится к анализу системы с одной степенью свободы. Определение матриц линейных гидродинамических связей в таком случае требует существенно меньше измерений, чем общий случай. В настоящей работе был произведен расчет критической скорости трубного ряда с определением матрицы линейных гидродинамических связей по вышеописанной методике. Но имеются экспериментальные данные, не согласующиеся с предлагаемой в [1, 2] моделью гидроупругой неустойчивости. Например, результаты работы [96] приводят в квазистатической области (ю0<<1) к модели в которой наиболее существенно взаимодействие между соседними трубками и матрица линейных гидродинамических сил не может быть представлена в виде диагональной матрицы. Область применимости рассмотренного подхода может быть определена лишь с помощью проведения специальных экспериментов, подтверждающих принятый вид матриц линейных гидродинамических связей.

4.3. Расчет обтекания фрагмента трубного пучка

В поперечном сечении реальных пучков имеет место сдвиговая симметрия, то есть для всех внутренних трубок пучка одинакова геометрия соответствующих им типовых ячеек. Эта симметрия может обеспечить

аналогичную симметрию в гидродинамических связях. В этом случае все внутренние трубки пучка находятся в одинаковых условиях обтекания, и, следовательно, одинакова будет гидродинамическая связь во всех типовых ячейках пучка. Таким образом, определив матричные элементы, характеризующие взаимодействие некоторой внутренней трубки пучка с ее ближайшими соседями, можно восстановить матрицу линейной гидродинамической связи большого пучка за исключением элементов, соответствующих крайним трубкам. Специфические условия, в которых находятся крайние трубки большого пучка, можно учесть специальными измерениями гидродинамических связей. Однако, имеющиеся экспериментальные данные показывают, что критические значения параметров определяются, главным образом, геометрией типовой ячейки большого пучка и практически не зависят от условий обтекания крайних трубок. Это позволяет допускать некоторый произвол в определении матричных элементов, соответствующим крайним трубкам.

Рассмотренные свойства гидродинамических связей можно использовать для упрощения процедуры определения матриц линейных гидродинамических связей. При исследовании явления гидроупругого возбуждения в реальном большом пучке определение матриц линейных гидродинамических связей можно проводить на модельном пучке, состоящем из небольшого числа трубок с геометрически подобной типовой ячейкой.

Таким образом, матрица $(1ю0) определяется из эксперимента (физического или численного) по изложенной схеме. Для больших пучков с регулярной компоновкой поперечного сечения достаточно исследовать гидродинамические связи в типовой ячейке. При этом эксперимент может проводиться на модельном пучке с геометрически подобной типовой ячейкой, состоящей из меньшего числа трубок (Рисунок 4.5).

4 3

4

5

3

2 4 6 8 ¡0^2 РТ 2 4

У&Г-. -.•.МгЛ^-. в» • л

-3

-4

, V .* Л*.* *

Рисунок 4.5. Визуализация процесса моделирования обтекания пучка из 5 трубок методом вязких вихревых доменов. Расчет автора. Анимация

На основании методики, описанной в пункте 3.4, было произведено численное моделирование процесса обтекания фрагмента пучка, состоящего из пяти труб, расположенных по схеме, приведенной на Рисунке 4.5. Густота пучка составила 1.5. В численном эксперименте задавались гармонические колебания только для центральной трубки и оценивались временные реализации гидродинамических нагрузок, приходящихся на каждую из трубок. Пример одной из реализаций приведен на Рисунке 4.6.

Рисунок 4.6. Фрагмент элемента матрицы гидродинамического взаимодействия размерностью [10^10] для пучка из пяти труб. Пример реализации зависимостей гидродинамических нагрузок от времени, приходящихся на пятую трубу при колебаниях первой трубы в направлении оси X

Далее, следуя алгоритму, описанному в пункте 3.4, были получены матрицы линейных гидродинамических связей и их собственные числа. Примеры элементов рассматриваемых матриц приведены в П.1. (Таблица 13). На основании этих данных с использованием условия устойчивости (3.8) были определены критические скорости обтекания такого пучка.

4.4. Анализ динамических характеристик больших трубных пучков

На Рисунке 4.7 полученные в численном эксперименте значения критических скоростей обтекания для большого пучка с густотой 1.5 (П.1., Таблица 14) сравниваются с известными экспериментальными данными для пучков с 1,3<Б/ё<2, состоящих из упругих труб [63].

КГ2 70 "7 7 10 100 Ш

Рисунок 4.7. Сравнение результатов экспериментов по определению

критической скорости потока в зависимости от параметра массы и демпфирования для пучка упругих труб с густотой 1,3-<у/2Ж2 [63]. 1- численный эксперимент автора методом вязких вихревых доменов (Ш=1,5);

2 - [95]; 3 - [101]; 4 - [123]

Здесь Upc - средняя скорость потока в минимальном зазоре между трубками, f - собственная частота трубки, d - диаметр трубки.

Видно, что численный эксперимент хорошо согласуется с экспериментом для пучков, состоящих из упругих цилиндров [63].

В П.1. (Таблица 15) приведен пример построения матрицы линейной гидродинамической связи для пучка из 16 труб.

На основе рассчитанных характеристик определена критическая скорость для конкретного пучка труб с заданными конструктивными параметрами и проведено сравнение полученных результатов с результатами физического эксперимента для пучка с теми же параметрами.

Заключение

Разработанная модель описывает гидроупругий механизм возбуждения как развитие неустойчивости невозмущенного состояния упругих труб в условиях их тесного расположения и срывного обтекания.

Для решения задачи устойчивости трубного пучка было введено понятие матрицы гидродинамического взаимодействия, элементы которой представляют собой временные реализации гидродинамических нагрузок, действующих на трубы пучка.

В работе предложен способ определения данной матрицы для большого пучка труб с регулярной компоновкой поперечного сечения путем расчета гидродинамических сил для небольшого фрагмента пучка. В спектре вычисленных реализаций нестационарных гидродинамических сил, действующих на трубки при их срывном обтекании, выделялась дискретная составляющая на частоте колебаний трубы.

Таким образом, при рассмотрении задачи устойчивости пучков труб в работе были получены следующие основные результаты:

- необходимое и достаточное условие устойчивости пучков труб, выраженное через их безразмерные параметры, включающие в себя логарифмический декремент колебаний, безразмерный массовый параметр пучка и собственное число матриц линейной гидродинамической связи, а также проведено сравнение полученных результатов с результатами физических экспериментов;

- расчетное определение критической скорости для конкретного пучка труб с заданными конструктивными параметрами, значение которой верифицировано путем сравнения результатов расчетов с известными опытными данными (S. Chen, J. Connors, J. Jendrzejczyk, R. Harden, M. Paidoussis, S. Price, S. Takahara, H. Tanaka, А. А. Жукаускас, В. И. Катинас и др.).

Выявлено, что для больших пучков с регулярной компоновкой поперечного сечения достаточно исследовать гидродинамические связи в типовой ячейке пучка. При этом эксперимент может проводиться на модельном

пучке с геометрически подобной типовой ячейкой, состоящей из меньшего числа трубок.

Предлагаемые в работе подходы обеспечивают получение необходимых данных без привлечения сложного и дорогостоящего натурного физического эксперимента, ограничиваясь численными исследованиями на основании специально разработанных алгоритмов, что позволяет проводить динамический анализ гидродинамических нагрузок и коэффициентов силового взаимодействия для многокомпонентных конструкций методом численного эксперимента для всего возможного диапазона скоростей потока в реальном времени. При этом численный эксперимент целесообразно проводить на геометрически подобной типовой ячейке (фрагмент основного пучка), состоящей из существенно меньшего числа трубок. Разработанные программы представляют результаты расчетов срывного обтекания многокомпонентных трубных систем в наглядной форме с привлечением анимации.

Полученные результаты при использовании разработанной в диссертационном исследовании методики анализа гидродинамических нагрузок, воздействующих на трубный пучок, могут быть использованы на этапе проектирования теплообменного аппарата для оценки напряженного состояния труб при заданных конструктивных параметрах и параметрах режима работы теплообменного аппарата.

Предложенные автором на основании использования полученной в главе 3 математической модели диаграммы устойчивости позволяют достаточно корректно определять критические скорости обтекания трубного пучка для заданных при его проектировании конструктивных параметров, что необходимо ведущим разработчикам теплообменных аппаратов, особенно при проведении мероприятий по обеспечению требуемого уровня вибропрочности данного класса конструкций и систем.

Основные результаты и выводы диссертационной работы

На основании проведенного в работе анализа результатов

экспериментальных исследований поведения пучков труб при срывном обтекании с учетом линейности гидродинамического взаимодействия между колеблющимися трубами получена математическая модель гидроупругого механизма возбуждения колебаний трубного пучка.

Проведенный теоретический анализ представленной модели гидроупругого механизма возбуждения большого трубного пучка позволил выделить специфический критерий подобия для определения наличия в системе «поток-конструкция» гидроупругого механизма возбуждения колебаний.

На основании разработанной математической модели стало возможным оценить устойчивость состояния большого трубного пучка рассматриваемой конфигурации при его обтекании в поперечном потоке, основываясь на критерии устойчивости А. М. Ляпунова.

Для решения задачи устойчивости трубного пучка было введено понятие матрицы гидродинамического взаимодействия, элементы которой представляют собой зависимости гидродинамических сил, воздействующих на трубы пучка, от времени.

Был создан алгоритм построения матриц влияния конкретных пучков труб благодаря использованию только лишь численных методов, что позволяет оптимизировать общее время проведения расчета. Относительная погрешность полученных результатов для ряда труб составляет не более 5 %, для пучка труб - около 20 %.

В работе предложен способ определения нестационарных гидродинамических сил на трубках в пучках с регулярной компоновкой поперечного сечения, состоящих из большого числа трубок путем расчета сил для небольшого фрагмента пучка, что позволило уменьшить трудоемкость и сократить время проведения расчета.

Определены значения критической скорости потока теплоносителя, зависящие от безразмерных параметров (логарифмический декремент

колебаний, безразмерный массовый параметр трубного пучка, характеристика гидродинамических сил), что позволяет оперативно диагностировать как проектируемый, так и уже введенный в эксплуатацию теплообменный аппарат на наличие в нем недопустимого гидроупругого возбуждения при поперечном обтекании конструкции потоком.

Практическая ценность состоит в возможности математического моделирования гидроупругой неустойчивости пучка труб путем моделирования неустойчивости фрагмента рассматриваемого пучка.

Предлагаемый подход с применением численных вихревых методов позволяет получать необходимые результаты без проведения натурного физического эксперимента, который является дорогостоящим и крайне трудоемким. Подход позволяет производить анализ коэффициентов силового взаимодействия в системе «жидкость-трубы», а также нестационарных гидродинамических нагрузок при решении связанной задачи динамики гидроупругой системы с помощью метода численного эксперимента для широкого диапазона скоростей поперечного потока теплоносителя, используемых на рабочих режимах соответствующих элементов энергетического оборудования.

Использование результатов диссертационного исследования подтверждено актами внедрения.

1 Алямовский М. И. Расчет автоколебаний труб теплообменных аппаратов // Энергомашиностроение. 1975. №3. С. 33-35.

2 Алямовский М. И. Характеристики гидродинамических сил, действующих при автоколебаниях труб теплообменных аппаратов // Энергомашиностроение. 1974. №7. С. 33-36.

3 Андронов П.Р., Гувернюк С.В., Дынникова Г.Я. Вихревые методы расчета нестационарных гидродинамических нагрузок. М.: Изд-во МГУ, 2006. 184 с.

4 Пульсации давления на поверхности двух круглых цилиндров в тандемном расположении / Ариэ [и др.] // Теоретические основы инженерных расчетов. 1983. №2. С. 114-122.

5 Белоцерковский С. М., Гиневский А. С. Моделирование турбулентных струй и следов на основе метода дискретных вихрей. М.: Физико-математическая литература, 1995. 367 с.

6 Математическое моделирование нестационарного отрывного обтекания кругового цилиндра / С. М. Белоцерковский [и др.] // Известия АН СССР. Механика жидкости и газов. 1983. №4. С. 138-148.

7 Математическое моделирование плоскопараллельного отрывного обтекания тел / С. М. Белоцерковский [и др.]. М.: Наука, 1988. 231 с.

8 Белоцерковский С. М., Ништ М. И. Отрывное и безотрывное обтекание тонких крыльев идеальной жидкостью. М.: Наука, 1978. 352 с.

9 Биверс, Планкет. Моделирование вибраций в теплообменниках и ядерных реакторов, возбуждаемых потоком жидкости // Труды Американского общества инженеров - механиков. Теоретические основы инженерных расчетов. 1974. №4. С. 149-157.

10 Блевинс Р. Гидроупругие вихревые колебания одиночных рядов и пучков труб // Труды Американского общества инженеров - механиков. Теоретические основы инженерных расчетов. 1977. №3. С. 109-115.

11 Блевинс, Бертон. Гидродинамические силы, обусловленные срывом вихрей // Труды Американского общества инженеров - механиков. Теоретические основы инженерных расчетов. 1976. №1. С.125-134.

12 Бэтчелор Дж. К. Введение в динамику. Москва - Ижевск: РХД, 2004.

525 с.

13 Вальес Н.Г. Колебания системы стержней в жидкости // Проблемы прочности. 1978. №11. С.62-68.

14 Вальес Н. Г., Каплунов С. М. Математическое моделирование нестационарного отрывного обтекания решетки труб теплообменников // Всесоюзный ежемесячный научно - технический инженерно - физический журнал. 1987. Т. 53, июль, №1. С. 57 - 64.

15 Григолюк Э. И., Горшков А. Г. Взаимодействие упругих конструкций с жидкостью. Л.: Судостроение, 1976. 200 с.

16 Гувернюк С. В., Дынникова Г. Я. Моделирование обтекания колеблющегося профиля методом вязких вихревых доменов // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 2007. №1. С. 3-14.

17 Девнин С. И. Аэрогидромеханика плохообтекаемых конструкций. Справочник. Л.: Судостроение, 1983. 320 с.

18 Девнин С. И. Гидроупругость конструкций при отрывном обтекании. Л.: Судостроение, 1975. 192 с.

19 Динамика конструкций гидроаэроупругих систем / К. В. Фролов [и др.] М.: Наука. 2002. 397 с.

20 Вибрации пучков твэлов в ТВС ВВЭР, возбуждаемые турбулентным потоком теплоносителя / Ю. Г. Драгунов [и др.] // Атомная энергия. 2012. Вып. 3. Т. 113. С. 127-134.

21 Дынникова Г. Я. Вихревые методы исследования нестационарных течений вязкой несжимаемой жидкости: дис. ... д-ра. физ. - мат. наук. М., 2011. 269 с.

22 Жукаускас А., Улинскас Р., Катинас В. Гидродинамика и вибрации обтекаемых пучков труб. Вильнюс: Мокслас, 1984. 312 с.

23 Здравкович. Обзор исследований интерференции между двумя круглыми цилиндрами при различном их взаимном расположении // Труды Американского общества инженеров - механиков. Теоретические основы инженерных расчетов. 1977. №4. С. 119.

24 Иванова О.А. Исследование колебаний эллиптического профиля в жидкости методом вихревых элементов // Методы дискретных особенностей в задачах математической физики: труды XIV Международного симпозиума. Харьков - Херсон, 2009. С. 306-309.

25 Иванова О. А. Математическое моделирование аэроупругих колебаний провода линии электропередачи: дис. ... канд. физ. - мат. наук. М., 2013. 142 с.

26 Иванова О.А. Численное моделирование захвата частоты схода вихрей с вибрирующего профиля // Методы дискретных особенностей в задачах математической физики: труды XV Международного симпозиума. Харьков -Херсон, 2011. С. 193-196.

27 Ивен В.Д. Колебания элементов конструкций при вихревом возбуждении // Труды Американского общества инженеров - механиков. Конструирование и технология машиностроения. 1975. Т. 97, № 4. С. 240-245.

28 Каплунов С. М. Частотная отстройка конструктивных элементов теплообменных аппаратов // Теплоэнергетика. 1986. №1. С. 46-50.

29 Каплунов С.М., Вальес Н.Г., Горелов Е.В. Определение собственных частот для произвольных многокомпонентных трубных систем в жидкости // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2007. № 5. С. 22-27.

30 Метод математического моделирования гидродинамических механизмов возбуждения вибраций теплообменных пучков труб / С.М. Каплунов [и др.] // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2008. № 3. С.107-112.

31 Конструкции инфраструктуры РЖД в потоках при прохождении скоростных составов / С.М. Каплунов [и др.] // Труды «Проблемы и перспективы развития транспорта». МИИТ, 7-ая Международная Научно-практическая Конференция «Проблемы и перспективы развития транспорта». М., 2013. С. 116-123.

32 Интеллектуальный мониторинг состояния инфраструктуры РЖД при использовании скоростных составов / С.М. Каплунов [и др.] // Труды международной научно-практической конференции «Интеллектуальный мониторинг состояния инфраструктуры РЖД при использовании скоростных составов «БАМ - ИСТОРИЯ И РАЗВИТИЕ БАЙКАЛО - АМУРСКОЙ МАГИСТРАЛИ». М., 2014. C.58-67.

33 Анализ гидроупругого механизма возбуждения пучка труб / С.М. Каплунов [и др.] // Машиностроение и инженерное образование. 2015. Вып. 2. С. 41-49.

34 Расчет плохообтекаемых конструкций при их срывном обтекании потоком / С.М. Каплунов [и др.] // Труды конференции по строительной механики корабля, посвященной памяти профессора И. Г. Бубнова. ФГУП «КГНЦ». С - Пб., 2014. С.110-111.

35 Численный эксперимент и моделирование возбуждения вибраций многокомпонентных систем в поперечном потоке однофазной среды / С.М. Каплунов [и др.] // Труды центрального научно-исследовательского института имени академика А.Н. Крылова. С - Пб., 2012. Вып. 67(351). С. 71-80.

36 Каплунов С. М., Вальес Н. Г., Самолысов А. В. Расчет срывного обтекания неподвижных и колеблющихся тел в 2D и 3D - постановке // International Conference Parallel and Distributed Computing Systems (PDCS 2013). Collection of scientific papers. Ukraine, Kharkiv, 2013. С. 146-151.

37 Моделирование аэродинамических нагрузок на элементы инфраструктуры РЖД / С.М. Каплунов [и др.] // III Международная научно -практическая конференция «Интеллектуальные системы на транспорте». Сборник материалов. С - Пб., 2013. С. 232-238.

38 Комбинационный подход при моделировании аэродинамики скоростных железнодорожных составов / С.М. Каплунов [и др.] // Вестник института проблем естественных монополий: Техника железных дорог. 2015. №1 (29). C. 48-55.

39 Определение критических параметров обтекания пучка труб методом численного эксперимента / С.М. Каплунов [и др.] // Теплоэнергетика. 2015. №8. С. 57-62.

40 Расчет аэродинамических нагрузок на плохообтекаемые конструкции при срывном обтекании / С.М. Каплунов [и др.] // Труды конференции по строительной механики корабля, посвященной памяти академика Ю. А. Шиманского. ФГУП «КГНЦ». С - Пб., 2013. С.112-116.

41 Математическая модель гидроупругого механизма возбуждения вибраций системы плохообтекаемых тел в поперечном потоке жидкости / С.М. Каплунов [и др.] // Теплоэнергетика. 2012. № 6. С. 44-49.

42 Каплунов С. М., Вальес Н.Г., Шитова Л.И. Применение метода дискретных вихрей для расчета автоколебаний трубки в потоке жидкости // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2009. №4. С. 13-18.

43 Каплунов С. М., Фесенко Т. Н., Корецкий С. А. Вибрации трубных пучков под действием поперечного потока жидкости // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2008. №6. С. 29-36.

44 Динамические характеристики регулярных трубных систем теплообменных аппаратов в поперечном однофазном потоке теплоносителя / С.М. Каплунов [и др.] // Теплоэнергетика. 1991. №4. С. 46-51.

45 Расчет аэродинамических нагрузок на плохообтекаемые конструкции при срывном обтекании / С.М. Каплунов [и др.] // Труды Крыловского Государственного Научного Центра. С - Пб., 2014. Вып. 82 (366). С. 155-160.

46 Отрыв вихрей при ступенчатом расположении двух круговых цилиндров / Кия [и др.] // Труды Американского общества инженеров -механиков. Теоретические основы инженерных расчетов. 1980. №2. С. 104-112.

47 Коннорс Г.И. Гидроупругие вибрации пучков труб теплообменников // Труды Американского общества инженеров - механиков. Конструирование и технология машиностроения. 1978. Т. 100, № 2. С. 95-102.

48 Корецкий С. А. Оптимальный выбор конструкционных параметров прямотрубных теплообменных аппаратов повышенной вибропрочности: дис. ... канд. тех. наук. М., 2012. 207 с.

49 Кочин Н. Е., Кибель И. А., Розе Н. Е. Теоретическая гидромеханика. Т. 1. М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1955. 560 с.

50 Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. Москва - Ленинград: Гостехиздат, 1950. 472 с.

51 Марков П. В., Солонин В. И. Моделирование течения в пучке цилиндрических твэлов реактора ВВЭР, дистанционированных сотовой решеткой // Вестник МГТУ им. Баумана. 2011. №3. С. 17-29.

52 Марчевский И. К. Математическое моделирование обтекания профиля и исследование его устойчивости в потоке по Ляпунову: дис. ... канд. физ. -мат. наук. М., 2008. 119 с.

53 Марчевский И.К., Морева В.С. Численное моделирование обтекания системы профилей методом вихревых элементов // Вестник МГТУ им. Баумана. Сер.: Естественные науки. 2010. № 1. С. 12-20.

54 Махутов Н. А., Каплунов С. М., Прусс Л. В. Вибрация и долговечность судового энергетического оборудования. Л.: Судостроение, 1985. 300 с.

55 Морева В.С. Вычисление вихревого влияния в модифицированной численной схеме метода вихревых элементов // Вестник МГТУ Н.Э. Баумана. Сер.: Естественные науки. 2012. Спец. вып. № 2 «Математическое моделирование в технике». С. 137-144.

56 Морева В.С. Математическое моделирование обтекания профилей с использованием новых расчетных схем метода вихревых элементов: дис. ... канд. физ.-мат. наук. М., 2013. 130 с.

57 Николаев Н.Я. Колебания пучка упругих труб при поперечном безотрывном обтекании // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Всесоюз. межвуз. сб. Горьковский университет. 1981. С. 103-111.

58 Николаев Н.Я. Об алгоритме вычисления гидродинамических сил при отрывном обтекании системы круговых профилей // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Статика и динамика деформируемых систем: Всесоюз. межвуз. сб. Горьковский университет. 1983. С. 123-128.

59 Николаев Н. Я., Смирнов Л. В. К вопросу об устойчивости пучка упругих трубок в поперечном потоке // Долговечность энергетического

оборудования и динамика гидроупругих систем: тезисы доклада Всесоюзной Конференции. Миасс, 1986. Челябинск. Ч. I. С. 128-131.

60 Ота, Нисияма. Обтекание тандемной пары эллиптических цилиндров // Труды Американского общества инженеров - механиков. Теоретические основы инженерных расчетов. 1986. №1. С.286-298.

61 Петров А. С. Расчет отрывного обтекания эллиптического цилиндра // Труды ЦАГИ. 1978. Вып. 1930. С. 3-12.

62 Прайс, Пайдуссис. Гидроупругая неустойчивость двойного ряда круглых цилиндров бесконечной длины при воздействии однородного поперечного потока // Труды Американского общества инженеров - механиков. Конструирование и технология машиностроения. 1983. Т. 105, №1. С. 25-33.

63 Прайс С., Пайдуссис М. Анализ движения одиночного упругого цилиндра для исследования гидроупругой неустойчивости пучка упругих цилиндров в поперечном потоке жидкости // Труды Американского общества инженеров - механиков. Теоретические основы инженерных расчетов. 1986. №2. С. 271-283.

64 Прусс Л. В. Проблема надежности теплообменных аппаратов // Теплообмен в энергооборудовании АЭС. 1986. С. 179-189.

65 Самолысов А. В., Вальес Н. Г., Каплунов С. М. Моделирование обтекания многокомпонентных конструкций методом дискретных вихрей на примере ряда трубок // XXIV Международная инновационно -ориентированная конференция молодых ученых и студентов "Актуальные проблемы машиноведения" (МИКМУС-2012): труды конференции. 2012. С. 151-154.

66 Расчет срывного обтекания ряда труб / А. В. Самолысов [и др.] // Труды XXVI международной инновационно - ориентированной конференции молодых ученых и студентов МИКМУС-2014. 2014. С. 195-197.

67 Самолысов А. В., Масевич А. В., Вальес Н. Г. Применение метода дискретных вихрей для расчета срывного обтекания одно - и двухкомпонентных конструкций // Проблемы машиностроения и автоматизации. 2013. №3. С. 42-45.

68 Самолысов А. В., Масевич А. В., Вальес Н. Г. Расчет вихревого обтекания неподвижных и колеблющихся цилиндрических тел методом дискретных вихрей // Вестник научно-технического развития. 2014. №6. С. 3137.

69 Самолысов А. В., Масевич А. В., Вальес Н. Г. Расчет срывного обтекания неподвижных и колеблющихся цилиндрических тел методом дискретных вихрей // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2014. №2. С. 3-9.

70 Сарпкайя, Клайн. Внезапно начинающееся течение около плохообтекаемых тел четырех типов // Труды Американского общества инженеров - механиков. Теоретические основы инженерных расчетов. 1982. №2. С. 172-179.

71 Сарпкайя Т., Шоаф Р. Л. Невязкая модель образования двумерных вихрей за круговым цилиндром // Ракетная техника и космонавтика. 1979. Т. 17, №11. С. 51-60.

72 Седов Л.И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. М.: Наука, 1980. 448 с.

73 Динамические свойства теплообменного пучка как гидроупругой системы / Л. В. Смирнов [и др.] // Гидродинамика и вибрация в элементах ядерных энергетических установок: материалы межотраслевой конференции «Теплофизические исследования-82». Обнинск, 1983. С. 157-162.

74 Смирных Е. А. Численное исследование методом дискретных вихрей. Структура отрывного течения за интерцептором // Труды ЦАГИ. 1989. Вып. 2420. С. 78-86.

75 Соупер Б. Влияние схемы расположения труб на гидроупругую неустойчивость пучка труб в поперечном потоке // Труды Американского общества инженеров - механиков. Теплопередача. 1983. Т.105, №4. С.58-65.

76 Сэффмен Ф.Дж. Динамика вихрей. М.: Научный мир, 2000. 375 с.

77 Тереник Л. В., Федотовский В. С., Синявский В. Ф. Экспериментальное исследование вибраций стержней. Обнинск: ФЭИ - 1177, 1981. 12 с.

78 Актуальные проблемы управления сроком службы трубных пучков ПГ АЭС с ВВЭР / Н. Б.Трунов [и др.] // Теплоэнергетика. 2010. №5. С. 2-8.

79 Федяевский К. К., Блюмина Л. К. Гидродинамика отрывного обтекания тел. М.: Машиностроение, 1972. 120 с.

80 Фомин Г. М.. О циркуляции вихрей и скорости перемещения дорожки Кармана // Ученые записки ЦАГИ. 1971. Т. 2, №4. C. 99-102.

81 Халле, Боэрс, Вамбсгансс. Гидроупругие вибрации трубок теплообменника, предназначенного для работы по системе жидкий - натрий -воздух // Энергетические машины и установки. 1975. №4. C. 109-116.

82 Чен И.Н. Вибрации и шум в трубчатых теплообменниках, вызываемые дорожками Кармана в потоке газа // Труды Американского общества инженеров - механиков. Конструирование и технология машиностроения. Серия: В. 1968. Т. 90, №1. С.137-149.

83 Чен С. С. Общий обзор проблемы гидродинамически возбуждаемых колебаний пары круговых цилиндров в поперечном потоке жидкости // Труды Американского общества инженеров - механиков. Теоретические основы инженерных расчетов. 1986. №4. C. 87-108.

84 Чен С.С., Енджейчик Ж.А. Экспериментальное исследование гидроупругих вибраций консольных пучков трубок // Труды Американского общества инженеров - механиков. Конструирование и технология машиностроения. 1978. №3. С.75-83.

85 Чжень С.С. Механизм возникновения неустойчивости для группы круглых цилиндров, подверженных воздействию поперечного потока. Ч. 1 // Труды Американского общества инженеров - механиков. Конструирование и технология машиностроения. 1983. Т. 105, № 1. С. 16-24.

86 Юн, Уивер. Влияние направления набегающего потока на гидродинамически возбуждаемые вибрации пучка труб с треугольным расположением // Труды Американского общества инженеров - механиков. Конструирование и технология машиностроения. 1983. №1. С.44-53.

87 Achenbach E. Distribution of local pressure and skin friction around a circular cylinder in cross-flow up to Re=5-106 // Journal of Fluid Mechanics. 1968. Vol. 34, pt. 4. P. 625-639.

88 Apelt G. J., West G. S. The effects of wake splitter plates on bluff body now in range Re 104 - 5-104 // Journal of Fluid Mechanics. 1975. Vol. 71, pt. I. P. 145-160.

89 Blevins R. D. Fluid - elastic whirling vibration of a tube row // Traslations ASME. Journal of Pressure Vessel Technology. 1974. Vol. 96. November. P. 263267.

90 Blevins R. D. Flow Induced Vibration. New York: Van Nostrand Reinhold Co., 1977. 363 p.

91 Chein R., Chung J. N. Discrete - vortex simulation of flow over inclined and normal plates // Computers and Fluids. 1988. Vol. 16, №4. P. 405-427.

92 Chen S. S. A Mathematical Model for Cross - Flow - Induced Vibrations of Tube Arrays. Argonne, 1976. September. 11 p.

93 Chen S. S. Guidelines for the instability flow velocity of tube arrays in cross flow // Sound and Vibration. 1984. Vol. 93, N. 3. P. 419-433.

94 Chen S.S. Instability mechanisms and stability criteria of a group of circular cylinders subjected to cross flow. Part 2 // Translations ASME. Journal of Vibration, Acoustics, Stress, and Reliability in Design. 1983. Vol. 105, № 2. P. 253-260.

95 Chen S. S., Jendrzejczyk J. A. Experiment and Analysis of Instability of Tube Rows Subject to Liquid Cross Flow // ASME. Journal of Applied Mechanics. 1982. Vol. 104. P. 704-709.

96 Connors H. J. Flow-induced vibration and wear of steam generator tubes // Nuclear technology. 1981. Vol. 55, N. 2. P. 311-331.

97 Connors H.J. Fluidelastic vibration of tube arrays excited by cross flow // Flow-induced vibration in heat exchanger: proc. symp. ASME Winter Annual Meeting 1970. New York. 1970. P.42-56.

98 Connors H.J. Fluid-elastic vibration of tube arrays excited by non-uniform cross-flow // Flow-induced Vibration of Power Plant Components. 1980. P. 93-107.

99 Flachsbart O. Der Widerstand quer angeströmter Rechteckplatten bei

-5 -5

Reynoldsschen Zahlen 10-6-10 // Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik. 1935. Vol. 15. P. 32-37.

100 Gorman D.J. Experimental development of design criteria to limit liquid cross-flow-induced vibration in nuclear reactor heat exchange equipment // Journal of Nuclear Science and Engineering. 1976. P. 324-336.

101 Hartlen R. T., Simpson F. J. Wind Tunnel Determination of Fluidelastic Vibration Thresholds for Typical Heat Exchanger Tube Patterns // Ontario Hydro Report 74-309-K. 1974. P. 1-31.

102 Heat Exchanger Tube Vibration Workshop Sponsored by the Energy research and Development Administration (ERDA). Pasadena, October 28, 1976.

103 Jendrzejczyk J. A., Chen S. S., Wambsganss M. W. Dynamic Response of a Pair of Circular Tubes Subjected to Liquid Cross Flow // Journal of Sound Vibration. 1979. Vol. 67, No. 2. P. 263-273.

104 King R., Johns D. J. Wake Interaction Experiments with Two Flexible Circular Cylinders in Flowing Water // Journal of Sound Vibration. 1976. Vol. 45, No. 2. P. 259-283.

105 Lever J. H., Weaver D. S. A Theoretical Model for the Fluidelastic Instability in Heat Exchanger Tube Bundles // ASME Journal of Pressure Vessel Technology. 1982. Vol. 104. P. 147-158.

106 Lever J.H., Weaver D.S. On the stability of heat exchanger tube bundles, part I: Modified theoretical model // Journal of Sound and Vibration. 1986. N. 107(3). P. 375-392.

107 Lever J.H., Weaver D.S. On the stability of heat exchanger tube bundles. Part II: Numerical results and comparison with experiments // Journal of Sound and Vibration. 1986. N. 107(3). P. 393-410.

108 Moreva V.S., Marchevsky I.K. Vortex element method for 2D flow simulation with tangent velocity components on airfoil surface // ECCOMAS 2012 6th European Congress on Computational Methods in Applied Sciences and Engineering: Book of proceedings. Vienna, 2012. 14 p.

109 Morton B.R. The generation and decay of vorticity // Geophys. Astrophys. Fluid Dynamics. 1984. Vol. 28. P. 277-308.

110 Paidussis M. P. Flow-induced vibration in nuclear reactors and heat exchangers // Symposium on Practical Experiences with Flow-induced vibration: Proceedings Symposium, Karlsruhe, Germany, September, 1979. Berlin, 1980. N. 1. P. 1-56.

111 Paidoussis M. P. Flow - Induced Vibrations in Nuclear Reactors and Heat Exchangers; Practical Experiences and State of Knowledge // Practical Experiences with Flow - Induced Vibrations. Berlin, 1980. P. 1-81.

112 Paidoussis M.P. Fluid-elastic Vibration of Cylinder Arrays in Axial and Cross Flow // Journal of Sound and Vibration. 1981. Vol.76. P. 329-359.

113 Parkinson G. V. Mathematical Models of Flow Induced Vibrations of Bluff Bodies // General Lectures 14th Congress IARH. Karlshrue, 1978.

114 Pettigrew M.J., Taylor C. E. Fluidelastic instability of heat exchanger tube bundles: review and design recommendations // Journal of Pressure Vessel Technology. 1991. N. 113. P. 242-256.

115 Price S.J. A review of theoretical models for fluidelastic instability of cylinder arrays in cross-flow // Journal of Fluids and Structures. 1995. N. 9. P. 463518.

116 Price S.J., Mark D., Paidoussis M. P. An Experimental Stability Analysis of a Single Flexible Cylinder Positioned in an Array of Rigid Cylinders and Subject to Cross-Flow // Symposium on Flow Induced Vibrations. New York, 1984. Vol. 2. P. 179-194.

117 Price S. J., Paidoussis M. P. An Improved Mathematical for the Stability of Cylinder Rows Subject to Cross-Flow // Journal of Sound and Vibration. 1984. Vol. 97. P. 615-640.

118 Price S.J., Paidoussis M. P. The flow-induced response of a single flexible cylinder in an in-line array of rigid cylinders // Journal of Fluids and Structures. 1989. N.3. P.61-82.

119 Yet unpublished experimental data on the dynamics and stability of rotated square, in-line square and rotated triangular arrays in air and water cross-flow / S. J. Price [and etc.] // Dept. of Mechanical Engineering. McGill University, 1985.

120 Roshko A. Experiments on the flow past a circular cylinder at very high Reynolds number // Journal of Fluid Mechanics. 1961. Vol. 10, pt. 3. P. 345-356.

121 Ruscheweyh H. P. Aeroelastic Interference Effects between Slender Structures // Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics. 1983. Vol. 14. P. 129-140.

122 Tanaka H. Study on fluidelastic vibration tube boundles (single row of cylinders) // Translations of JSME. 1980. Vol. 46, N. 408. P. 1398-1404.

123 Tanaka H., Takahara S. Fluidelastic Vibration of Tube Array in Cross Flow // Journal of Sound and Vibration. 1981. Vol. 77. P. 19-37.

124 Study on fluidelastic vibration of tube arrays using modal analyses technique / H. Tanaka [and etc.] // Mitsubishi Heavy Industries Technical Review. 1980. № 2. P. 97-107.

125 Tanaka H., Tanaka K., Shimizu F. Fluidelastic analysis of tube bundle vibration in cross-flow // Journal of Fluids and Structures. 2002. N. 16(1). P. 93-112.

126 Weaver D. S., Grover L. K. Cross-flow induced vibration in a tube bank // Journal of Sound and vibration. 1978. V. 59, N. 2. P. 277-294.

П.1. Таблицы

Матрицы линейной гидродинамической связи в случае обтекания ряда из трех

трубок

Таблица 1

Матрица 1, ю0=0.2

0.174 - 0.133 I -0.094 - 0.086 I 0.002 + 0.05 I -0.1 - 0.163 I 0 0

0.089 + 0.148 I 0.02 + 0.061 I -0.074 - 0.125 I 0.130 + 0.077 I 0 0

0.139 - 0.066 I 0.026 + 0.141 I -0.04 - 0.06 I 0 0.139 - 0.066 I -0.022 - 0.141 I

0.064 + 0.019 I -0.032 + 0.028 I 0 -0.286 + 0.171 I -0.064 - 0.019 I -0.032 + 0.028 I

0 0 0.037 + 0.04 I 0.088 + 0.132 I 0.174 - 0.133 I 0.094 + 0.086 I

0 0 0.111 + 0.127 I 0.107 - 0.019 I -0.089 - 0.148 I 0.02 + 0.061 I

Матрица 2, ю0=0.3

-0.049 - 0.12 I 0.037 + 0.259 I 0.084 - 0.051 I -0.007 - 0.319 I 0 0

0.197 + 0.044 I -0.164 - 0.272 I -0.216 + 0.099 I 0.047 + 0.24 I 0 0

-0.007 - 0.144 I 0.223 + 0.218 I -0.063 - 0.183 I 0 -0.007 - 0.144 I -0.223 - 0.218 I

0.201 - 0.066 I 0.316 + 0.108 I 0 -0.624 - 0.347 I -0.201 + 0.066 I 0.316 + 0.108 I

0 0 0.111 - 0.081 I -0.182 + 0.222 I -0.049 - 0.120 I -0.037 - 0.259 I

0 0 0.207 - 0.065 I 0.043 + 0.107 I -0.197 - 0.044 I -0.164 - 0.273 I

Собственные числа матрицы 1 Собственные числа матрицы 2

-0.269 + 0.2131 -0.076 - 0.641

0.236 - 0.21 -0.289 - 0.0751

0.271 - 0.11 -0.133 + 0.1181

-0.225 + 0.0991 -0.608 - 0.4961

0.11 - 0.1261 0.068 - 0.1571

-0.062 + 0.081 -0.074 - 0.0561

Матрица 3, ю0=0.4

0.012 - 0.501 I 0.155 + 0.131 I 0.197 - 0.146 I -0.081 - 0.451 I 0 0

0.065 + 0.157 I -0.277 - 0.285 I -0.279 + 0.089 I 0.134 + 0.297 I 0 0

0.120 - 0.103 I 0.27 + 0.169 I -0.043 - 0.281 I 0 0.12 - 0.103 I -0.27 - 0.169 I

0.12 - 0.062 I 0.295 + 0.195 I 0 -0.831 - 0.363 I -0.12 + 0.062 I 0.296 + 0.195 I

0 0 0.177 - 0.056 I 0.064 + 0.407 I 0.012 - 0.501 I -0.155- 0.131 I

0 0 0.241 - 0.062 I 0.089 + 0.35 I -0.065 - 0.157 I -0.277 - 0.285 I

Матрица 4, ю0=0.5

-0.043 - 0.543 I 0.144 + 0.112 I 0.155 - 0.093 I -0.031 - 0.323 I 0 0

0.138 + 0.253 I -0.305 - 0.254 I -0.21 + 0.057 I 0.094 + 0.39 I 0 0

0.064 - 0.274 I 0.203 + 0.267 I -0.027 - 0.417 I 0 0.064 - 0.274 I -0.203 - 0.267 I

-0.016 - 0.032 I 0.23 + 0.117 I 0 -0.728 - 0.449 I 0.016 + 0.032 I 0.23 + 0.117 I

0 0 0.24 - 0.183 I 0.05 + 0.334 I -0.043 - 0.543 I -0.144 - 0.112 I

0 0 0.32 + 0.016 I 0.163 + 0.389 I -0.138 - 0.253 I -0.305 - 0.254 I

Собственные числа матрицы 3: Собственные числа матрицы 4:

-0.764 - 0.6881 -0.84 - 0.8021

-0.016 - 0.7161 0.092 - 0.9471

-0.025 - 0.4291 -0.433 + 0.0361

-0.04 - 0.4281 -0.048 - 0.3951

-0.306 - 0.0291 -0.028 - 0.3061

-0.252 + 0.0751 -0.195 - 0.0471

Матрица 5, ю0=1.2

0.571 - 1.156 I 0.172 + 0.247 I 0.463 - 0.229 I 0.084 - 0.437 I 0 0

0.128 + 0.794 I 0.182 + 0.38 I 0.734 + 0.72 I 1.236 + 0.271 I 0 0

0.16 - 0.517 I 0.283 + 0.646 I 1.065 - 1.4 I 0 0.16 - 0.517 I -0.283 - 0.646 I

-0.095 + 0.173 I 0.394 + 0.138 I 0 -0.805 - 0.043 I 0.095 - 0.173 I 0.394 + 0.138 I

0 0 0.54 - 0.355 I -0.12 + 0.421 I 0.571 - 1.156 I -0.172 - 0.247 I

0 0 -0.991 - 0.399! 1.174 + 0^ -0.128 - 0.794I 0.182 + 0.38I

Матрица 6, ю0=1.6

1.06 - 1.48 I 0.474 + 0.425 I 0.693 - 0.821 I 0.06 - 1.07 I 0 0

0.793 + 0.585 I 1.266 + 0.705 I 1.413 - 0.719 I 1.145 - 1.126 I 0 0

0.185 - 0.811 I 0.6 + 0.789 I 1.394 - 2.102 I 0 0.185 - 0.811 I -0.6 - 0.789 I

-0.283 - 0.084 I 0.59 - 0.296 I 0 0.809 + 1.178 I 0.283 + 0.084 I 0.59 - 0.296 I

0 0 0.684 - 0.656 I 0.036 + 0.811 I 1.06 - 1.48 I -0.474 - 0.425 I

0 0 -1.427 + 0.264 I 0.639 - 0.587 I -0.793 - 0.584 I 1.266 + 0.705 I

Собственные числа матрицы 5: Собственные числа матрицы 6:

0.84 - 1.9671 1.25 - 2.3911

-1.373 - 0.2251 2.367 + 0.0371

0.444 - 1.1471 2.2 + 0.2561

0.991 + 0.5621 0.277 + 1.7221

0.88 + 0.541 0.619 - 1.4551

-0.017 - 0.7581 0.14 - 0.6441

Матрица 7, ю0=1.8

1.33 - 1.627 I 0.61 + 0.517 I 0.453 - 0.683 I -0.296 - 1.045 I 0 0

0.782 + 0.475 I 2.215 + 1.224 I 0.339 - 0.746 I 0.134 - 1.084 I 0 0

0.2 - 0.858 I 0.698 + 0.859 I 1.488 - 2.22 I 0 0.2 - 0.858 I -0.698 - 0.859 I

-0.348 + 0.563 I 0.353 - 0.382 I 0 1.382 + 1.649 I 0.348 - 0.563 I 0.353 - 0.382 I

0 0 0.561 - 0.837 I 0.139 + 1.187 I 1.331 - 1.627 I -0.61 - 0.517 I

0 0 -0.721 + 0.947 I 0.692 - 1.458 I -0.782 - 0.475 I 2.215 + 1.224 I

Матрица 8, ю0=2.0

1.57 - 1.39 I 1.2 + 0.215 I 0.514 - 0.889 I -0.669 - 1.066 I 0 0

0.257 + 0.699 I 3.605 + 0.062 I 0.409 - 1.173 I -0.547 - 1.105 I 0 0

0.201 - 0.817 I 0.713 + 0.745 I 1.837 - 2.368 I 0 0.201 - 0.817 I -0.716 - 0.745 I

-0.072 + 0.65 I -0.513 - 0.355 I 0 3.076 + 1.363 I 0.072 - 0.65 I -0.513 - 0.355 I

0 0 0.605 - 0.788 I 0.513 + 1.141 I 1.57 - 1.39 I -1.201 - 0.215 I

0 0 -0.732 + 0.774 I -0.305 - 1.268 I -0.257 - 0.699 I 3.605 + 0.062 I

Собственные числа матрицы 7: Собственные числа матрицы 8:

1.727 - 2.7041 4.197 + 1.3951

2.844 + 0.4441 4.055 - 0.191

2.54+ 0.5831 2.164 - 2.6731

1.295 + 2.1151 2.847 - 0.1031

0.868 - 1.3231 1.201 - 1.2561

0.688 - 0.4921 0.799 - 0.8341

Матрица 9, ю0=2.2

2.216 - 1.5 I 1.3 - 0.063 I 0.567 - 0.953 I -0.551 - 1.03 I 0 0

0.477 + 0.85 I 4.41 - 0.046 I 0.345 - 1.172 I -0.683 - 0.997 I 0 0

0.384 - 0.741 I 0.849 + 0.678 I 2.345 - 2.397 I 0 0.384 - 0.741 I -0.849 - 0.678 I

-0.108 + 0.769 I -0.697 - 0.596 I 0 3.968 + 1.11 I 0.108 - 0.769 I -0.697 - 0.596 I

0 0 0.665 - 0.762 I 0.655 + 1.109 I 2.216 - 1.5 I -1.296 + 0.063 I

0 0 -0.427 + 0.862 I -0.671 - 1.072 I -0.477 - 0.85 I 4.41 - 0.046 I

Матрица 10, ю0=2.4

2.86 - 1.787 I 1.071 - 0.181 I 0.687 - 0.85 I -0.757 - 0.801 I 0 0

0.73 + 0.831 I 4.847 - 0.484 I 0.311 - 1.306 I -1.185 - 0.761 I 0 0

0.637 - 0.797 I 0.84 + 0.733 I 2.827 - 2.463 I 0 0.637 - 0.797 I -0.84 - 0.733 I

-0.138 + 0.745 I -1.008 - 0.337 I 0 5.413 + 0.364 I 0.138 - 0.745 I -1.008 - 0.337 I

0 0 0.748 - 0.829 I 0.984 + 0.806 I 2.86 - 1.787 I -1.071 + 0.181 I

0 0 -0.357 + 1.156 I -1.416 - 0.716 I -0.73 - 0.831 I 4.847 - 0.484 I

Собственные числа матрицы 9: Собственные числа матрицы 10:

5.319 + 1.4151 7.013 + 0.521

4.92 - 0.4061 5.461 - 1.1251

2.906 - 2.731 3.702 - 2.7321

3.8 - 0.5551 4.018 - 1.0421

1.474 - 1.291 2.09 - 1.3831

1.146 - 0.811 1.369 - 0.8791

Матрица 11, ю0=2.6

3.682 - 1.82 I 1.203 - 0.372 I 0.723 - 0.813 I -0.833 - 0.725 I 0 0

0.568 + 0.893 I 5.635 - 0.882 I 0.174 - 1.184 I -1.652 - 0.604 I 0 0

0.801 - 0.767 I 0.861 + 0.723 I 3.453 - 2.556 I 0 0.801 - 0.767 I -0.861 - 0.723 I

0.079 + 0.732 I -1.176 - 0.385 I 0 6.224 + 0.004 I -0.079 - 0.732 I -1.176 - 0.385 I

0 0 0.717 - 0.879 I 0.827 + 0.825 I 3.682 - 1.816 I -1.203 + 0.372 I

0 0 -0.1 + 1.397 I -1.53 - 0.655 I -0.568 - 0.893 I 5.635 - 0.882 I

Матрица 12, ю0=2.4

4.308 - 2.164 I 1.062 - 0.448 I 0.862 - 0.741 I -0.771 - 0.76 I 0 0

0.778 + 0.753 I 6.392 - 1.154 I -0.121 - 1.159 I -1.698 - 0.245 I 0 0

0.848 - 0.864 I 0.851 + 0.791 I 4.103 - 2.714 I 0 0.848 - 0.864 I -0.851 - 0.791 I

0.02 + 0.893 I -1.636 - 0.192 I 0 6.72 - 0.703 I -0.02 - 0.893 I -1.636 - 0.192 I

0 0 0.929 - 0.744 I 0.752 + 0.780 I 4.308 - 2.164 I -1.062 + 0.449 I

0 0 -0.019 + 1.22 I -1.636 - 0.323 I -0.778 - 0.753 I 6.392 - 1.154 I

Собственные числа матрицы 11: Собственные числа матрицы 12:

7.97 + 0.1591 9.077 - 0.7311

6.087 - 1.4721 6.857 - 1.8041

4.763 - 2.7711 5.534 - 3.1151

4.896 - 1.3651 5.311 - 1.8351

2.678 - 1.4881 3.03 - 1.4541

1.917 - 1.011 2.413 - 1.1131

Матрица 13, ю0=0.6

0.123 - 0.548 I 0.129+0.198 I 0.163 - 0.193 I -0.166 - 0.27 I 0 0

0.037 + 0.186 I -0.366 - 0.372 I -0.271+ 0.083 I 0.094+ 0.623 I 0 0

0.232 - 0.457 I 0.249 + 0.235 I 0.332 - 0.611 I 0 0.232 - 0.457 I -0.249 - 0.235 I

0.138- 0.109 I 0.26+ 0.215 I 0 -0.856 - 0.37 I -0.138+ 0.109 I 0.26+ 0.215 I

0 0 0.129 - 0.254 I 0.238 + 0.273 I 0.123 - 0.548! -0.128- 0.198 I

0 0 -0.388 - 0.046 I 0.249+ 0.403 I -0.037 - 0.186 I -0.366 - 0.372 I

Матрица 14, ю0=0.8

0.12 - 0.899 I -0.038+0.153 I 0.252 - 0.17 I -0.14 - 0.297 I 0 0

-0.088 + 0.42 I -0.465 - 0.275 I -0.018+ 0.25 I 0.343+ 0.626 I 0 0

0.106 - 0.465 I 0.276 + 0.331 I 0.455 - 0.736 I 0 0.106 - 0.465 I -0.276 - 0.331 I

-0.05- 0.066 I 0.393+ 0.312 I 0 -0.56 - 0.334 I 0.05- 0.065 I 0.393+ 0.312 I

0 0 0.194 - 0.163 I 0.089 + 0.158 I 0.12 - 0.899I 0.038- 0.153 I

0 0 -0.253 - 0.568 I 0.468+ 0.869 I 0.088 - 0.42 I -0.465 - 0.275 I

Собственные числа матрицы 13: Собственные числа матрицы 14:

0.438-1.2 1 -1.236- 1.0231

-0.856- 0.8871 0.388- 1.429 1

0.01-0.508 1 0.125-0.866 1

-0.194-0.286 1 -0.07+0.3881

-0.17-0.0291 -0.252- 0.3761

-0.24+0.09 1 -0.048- 0.1131

0.352 - 0.899 I 0.049 + 0.99 I 0.111 - 0.324 I -0.074+ 0.123 I 0 0

0.0017+0.267 I -0.667+ 0.097 I 0.236 + 0.63 I 0.703+ 0.258 I 0 0

0.232 - 0.246 I 0.191+ 0.397 I 0.791 - 1.142 I 0

0.288 - 0.298 I -0.298 - 0.308 I

-0.245 - 0.22 I 0.75+ 0.93 I 0

-1 - 0.434 I 0.032 + 0.267 I 0.831+ 0.506 I

0 0

0.111 - 0.324 I 0.074- 0.124 I 0.352 - 0.899! -0.049 - 0.99 I

0 0

-0.236 - 0.63 I 0.703+ 0.258 I -0.0018- 0.267 I -0.667 - 0.097 I

Собственные числа матрицы 15: -1.84 -0.9121 0.512 - 1.671 0.19 +0.5581 -0.407+ 0.0621 0.325 - 0.8721 0.385 -0.3451

№ п/п Ю Im X /1тЛ\ U2/ л: /1т Х\ ig ТТ- 1LV U (з) шо ig(U)

1 0,2 0,213 5,325 4.18 0.621 24,35 1,38

2 0,3 0,112 1,244 0.977 -0.01 16,23 1,21

3 0,4 0,075 0,469 0.368 -0.434 12,175 1,08

4 0,5 0,036 0,144 0.113 -0.9447 9,74 0,988

5 0,6 0,09 0,25 0,196 -0,708 8,116 0,909

6 0,8 0,388 0,606 0,476 -0,322 6,09 0,78

7 1 0,558 0,558 0,438 -0,358 4,87 0,6875

8 1,2 0,562 0,390 0.306 -0.514 4,06 0,608

9 1,6 1,72 0,672 0.527 -0.278 3,04 0,483

10 1,8 2,115 0,653 0.512 -0.291 2,71 0,433

11 2,0 1,4 0,35 0.275 -0.561 2,43 0,386

12 2,2 1,41 0,291 0.229 -0.64 2,21 0,344

13 2,4 0,52 0,09 0.071 -1.148 2,03 0,307

14 2,6 0,158 0,023 0.018 -1.745 1,87 0,272

№ ш(3) Im X п ( Im Л ^ 4VH3)]2J тт- ,LV U (з) шо lg(U)

1 0,2 0,229 4,49 0,65 24,347 1,38

2 0,3 0,136 1,187 0,074 16,23 1,21

3 0,4 0,062 0,304 -0,517 12,17 1,08

4 0,5 0,045 0,141 -0,850 9,74 0,988

5 1,2 0,583 0,318 -0,498 4,06 0,608

6 1,6 1,77 0,543 -0,265 3,04 0,483

7 1,8 2,2 0,533 -0,273 2,71 0,433

8 2,0 1,79 0,352 -0,453 2,43 0,386

9 2,2 1,93 0,313 -0,5 2,21 0,344

10 2,4 0,83 0,113 -0,947 2,03 0,307

11 2,6 0,525 0,061 -1,62 1,87 0,272

12 0,1 0,186 14,6 1,16 48,7 1,69

13 0,6 0,15 0,326 -0,487 8,12 0,91

14 0,8 0,375 0,4579 -0,339 6,09 0,784

15 1 0,38 0,2985 -0,525 4,87 0,687

№ ш(3) ImX п ( Im Л ^ 4VH3)]2/ тт- ,LV U (з) шо lg(U)

1 0,2 0,23 4,516 0,655 24,347 1,38

2 0,3 0,133 1,161 0,065 16,23 1,21

3 0,4 0,056 0,275 -0,561 12,17 1,08

4 0,5 0,034 0,107 -0,971 9,74 0,988