Поверхностные циклотронные волны в плазме тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.08, кандидат физико-математических наук Гирка, Владимир Александрович

• Гирка, Владимир Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Гирка, Владимир Александрович

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ЦИКЛОТРОННЫЕ ВОЛНЫ В ГИРОТРОП

НОЙ ПЛАЗМЕ.

1.1. Дисперсия и затухание электронных поверхностных циклотронных волн (ПЦВ) в полуограниченной плазме

1.2. Дисперсия и затухание низкочастотных ПЦВ в полуограниченной плазме

1.3. Поверхностные циклотронные волны в слое плазмы.

1.4. Возбуждение поверхностных циклотронных волн в гиротропной плазме пучками заряженных частиц.

ГЛАВА П. НЕОБЫКНОВЕННЫЕ ПОВЕРХНОСТНЫЕ ЦИКЛОТРОННЫЕ

ВОЛНЫ В ПЛАЗМЕ.

2.1. Дисперсия и затухание высокочастотных необыкновенных поверхностных циклотронных волн в полуограниченной плазме

2.2. Дисперсия и затухание ионных необыкновенных поверхностных циклотронных волн в полуограниченной плазме.

2.3. Необыкновенные поверхностные циклотронные волны в слое плазмы.

2.4. Возбуждение необыкновенных поверхностных циклотронных волн пучками заряженных частиц

ГЛАВА Ш. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПОВЕРХНОСТНЫХ ЦИКЛОТРОННЫХ

ВОЛН С ВОЛНАМИ ДРУГИХ ТИПОВ.

3.1. Связь поверхностных циклотронных волн с плазменными на частотах гибридных резонан

3.2. Связанные поверхностные циклотронные и спиновые волны

3.3. Параметрическое возбуждение поверхностных циклотронных волн в полуограниченной гиро-тропной плазме

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Поверхностные циклотронные волны в плазме»

Циклотронный резонанс, наряду с ленгмюровским, является основным при исследовании волновых процессов в плазме. Изучение его, помимо общефизического интереса, представляется важным для решения ряда практических задач: нагрев плазмы в лабораторных установках для получения энергии управляемого термоядерного синтеза, создание генераторов электромагнитного излучения большой мощности, исследование различных свойств твердых тел плазменными методами и т.д. Свойства циклотронного резонанса в безграничной плазме к настоящему времени изучены достаточно хорошо (см., например, монографии [l-б]).

В лабораторных условиях плазменные системы имеют определенную геометрию и конечные размеры. Наличие поверхности раздела между плазмой и граничащей с ней средой с иными свойствами создает предпосылки для распространения в системе поверхностных волн [7]. Кроме того, это приводит к изменению ряда свойств волновых процессов по сравнению со случаем неограниченной плазмой, появлению зависимости дисперсии волн от граничных условий. К настоящему времени наиболее полно материал, посвященный различным аспектам теории распространения электромагнитных волн в ограниченных плазменных системах, представлен в монографии [в].

Плазма в лабораторных установках практически всегда находится во внешнем магнитном поле. Спектр собственных колебаний магнитоактивной плазмы богаче, чем спектр изотропной плазмы. Благодаря наличию магнитного поля в плазме могут распространяться волны на циклотронных частотах.

Впервые на существование в магнитоактивной плазме циклотронных волн было обращено внимание в работе [э]. Свое дальнейшее развитие эта тема нашла в работах [ю-1з]. В них было показано, что вследствие конечной величины ларморовского радиуса вращения частиц продольные колебания плазмы на гармониках циклотронных чаотот могут быть неустойчивыми. Наиболее полно материал, касающийся различных аспектов распространения в плазме объемных волн на циклотронных частотах, обобщен в монографии [з].

С помощью плазменных методов можно описать некоторые свойства колебаний электронов проводимости в металлах и полупроводниках. Используя модель газа свободных электронов, удается объяснить ряд явлений, связанных с распространением волн в твердотельной плазме. В работе построена теория циклотронного резонанса в металлах, помещенных в постоянное магнитное поле, ориентированное параллельно их поверхности.

Дальнейшее развитие эта теория получила в работах [1517], в которых были уточнены ее отдельные положения, даны объяснения экспериментальных результатов по наблюдению циклотронного резонанса в различных металлах, определено влияние на это явление изменений угла наклона вектора внешнего магнитного поля по отношению к поверхности плазмы. В работе ]15] было указано на возможность использования этой теории для случая газовой плазмы. Эксперименты по циклотронному резонансу сыграли важную роль в исследовании свойств электромагнитных колебаний в плазме твердых тел. Изучая коллективные возбуждения подвижных носителей заряда [16-19], можно получить важную информацию, например, об энергии связи, кристаллической структуре, поверхности Ферми и электрических характеристиках твердых тел [20-23].

Теория циклотронных колебаний в металлах, основывающаяся на представлении электронов проводимости в виде заряженной

Ферми-жидкости, была построена в работе [24]. Позднее дисперсионные свойства объемных циклотронных волн в металлах изучались в работах [25-29]. С помощью численного счета были построены дисперсионные кривые обыкновенных и необыкновенных объемных волн на высших гармониках циклотронных частот.

Существование объемных циклотронных волн в магнитоактив-ной плазме теоретически доказывается с помощью кинетической теории , в рамках которой можно учесть конечные размеры лармо-ровского радиуса вращения частиц. Волны этого типа затухают слабо, если они распространяются поперек внешнего постоянного магнитного поля [2,3,30-32]. Затухание объемных волн на циклотронных частотах исследовалось, например, в работах [33,34].

Задачи о распространении волн тесно связаны с задачами об их возбуждении. Удобным способом возбуждения волн различного типа является пучковый. Впервые на возможность возникновения неустойчивости в системах плазма-пучок было указано в работах [35,3б]. Различные аспекты теории возбуждения объемных циклотронных волн потоками заряженных частиц исследуютоя в работах [3,37-41].

В магнитоактивной плазме существует большое количество слабозатухающих собственных колебаний, частоты которых при определенных условиях могут совпадать. Изменение дисперсии объемных циклотронных волн при взаимодействии их с гибридными волнами рассмотрено в монографии [2]. Связь между объемными волнами на циклотронных частотах и спиновыми волнами в электронно-дырочной плазме магнитоупорядоченных металлов и полупроводников исследовалась в работах [42-45]. Определены поправки к частотам волн в области взаимодействия. Известно [46-48], что спиновые волны существуют и в неферромагнитных металлах, их взаимодействие с объемными циклотронными волнами рассмотрено в работе [W]. Определено значение волнового вектора, при котором дисперсионные кривые этих волн пересекаются.

В лабораторных условиях плазма часто оказывается подверженной воздействию мощного внешнего электромагнитного излучения. Осцилляции частиц плазмы в переменном электрическом поле могут привести к параметрическим неустойчивоетям (см., например, [50-52] ). Параметрические резонансы в плазме, помещенной во внешнее постоянное магнитное поле и переменное электрическое, исследовались в работах [53-57] . Вычислены пороги не-устойчивостей, максимальные значения инкрементов. Циклотронные неустойчивости объемных колебаний плазмы, находящейся под воздействием высокочастотного электрического поля, изучались, например, в работах [3,58-6l].

Вопросы, связанные с параметрическим возбуждением поверхностных волн, исследованы менее полно. Кинетическая теория параметрического воздействия внешнего переменного электрического поля на распространение в полуограниченной изотропной плазме волн поверхностного типа построена в работе [б2]. Параметрическое возбуждение поверхностных колебаний в холодной магни-тоактивной плазме с размытыми границами исследовалось, например, в работах [бЗ,б4] .

В данной диссертации рассмотрены следующие вопросы.

1. Определение условий существования поверхностных волн на циклотронных частотах в ограниченных плазменных системах при различной ориентации внешнего постоянного магнитного поля относительно границ плазмы.

2. Исследование дисперсионных зависимостей этих волн, вычисление их декрементов затухания, определение влияния на дис

Персию поверхностных волн этого типа величины поперечных размеров плазмы.

3. Изучение возможности возбуждения поверхностных циклотронных волн с помощью пучков заряженных частиц, распространяющихся вне плазмы, вычисление величин их инкрементов при пучковых и диссипативных неустойчивоетях.

4. Исследование взаимодействия поверхностных циклотронных волн с волнами других типов: спиновыми, гибридными и электромагнитными.

Исследование свойотв поверхностных волн важно с научной и с практической точек зрения. Неустойчивые состояния таких волн в твердотельной плазме широко используются для генерации, усиления и преобразования колебаний в большом диапазоне частот в различных микроэлектронных приборах. Изучение поверхностных волн позволяет получить информацию о кинетических свойствах и взаимодействии носителей заряда в твердотельной плазме, об их энергетическом спектре [2о].

Поверхностные волны в магнитоантивной плазме в случае, когда внешнее постоянное магнитное поле ориентировано перпендикулярно границе плазмы, рассматривались, например, в работах [8,65-68]. Определены дисперсионные зависимости ВЧ и НЧ поверхностных волн, вычислены их декременты затухания и глубины проникновения поля в плазму.

Собственные колебания ограниченных плазменных систем в случае, когда внешнее магнитное поле направлено вдоль поверхности плазмы, исследовались, например, в работах [б9-7б]. Используя кинетический подход, удается учесть влияние на дисперсионную зависимость поверхностных волн их непотенциальности, вычислить затухание, обусловленное дисперсией среды.

Однако на возможность распространения в ограниченных плазменных системах поверхностных волн на гармониках циклотронных частот указано не было. Это определило выбор темы диссертационной работы.

На защиту выносятся следующие положения.

1. Дисперсионные зависимости и выражения для декрементов затухания ВЧ и НЧ поверхностных волн на гармониках циклотронных частот, а также условия, при которых в ограниченных плазменных системах, находящихся во внешних постоянных магнитных полях, могут существовать электронные и ионные поверхностные волны этого типа.

2. Зависимость глубины проникновения поля поверхностных циклотронных волн в плазму от ориентации внешнего постоянного магнитного поля относительно границы плазмы. Слабое влияние поперечных размеров плазменных систем на дисперсионные свойства этих волн.

3. Возбуждение поверхностных циклотронных волн с помощью пучков заряженных частиц, движущихся вне плазмы, выражения для инкрементов, о которыми возбуждаются эти волны при пучковых и диссипативных неустойчивоотях.

Эффект линейного взаимодействия поверхностных циклотронных волн (ПЦВ) со спиновыми и гибридными волнами.

5. Явление параметрического возбуждения ПЦВ в гиротроп-ной плазме, выражения для инкрементов длинноволновых и коротковолновых колебаний этого типа.

Диссертация оостоит из введения, трех глав и заключения. Во введении кратко рассмотрено состояние исследований объемных циклотронных колебаний в плазме, определены задачи данной работы и сформулированы основные положения, представляемые к защите.

В первой главе диссертации исследованы условия, при которых в ограниченной плазме, помещенной во внешнее постоянное магнитное поле, направленное перпендикулярно ее границе, возможно распространение поверхноотных циклотронных волн. Плазма считается однородной и полностью ионизованной, отражение частиц от границ плазмы полагается зеркальным. Исследована дисперсия этих волн, вычислены декременты их затухания, которое определяется двумя факторами: столкновением частиц плазмы между собой и дисперсией среды (аналог затухания Ландау [77] ). Изучена возможность возбуждения ПЦВ пучками заряженных частиц.

В разделе I.I показано, что ВЧ поверхностные волны на циклотронных частотах могут распространяться в полуограниченной плазме в условиях слабой пространственной дисперсии вдоль направления внешнего постоянного магнитного поля. Они характеризуются обратной дисперсией: групповая и фазовая скорости этих волн направлены во взаимно противоположные стороны. Вычислены декременты затухания ВЧ ПЦВ для различных диапазонов длин волн.

В разделе 1.2 показано, что в полуограниченной плазме с указанной ориентацией внешнего магнитного поля могут существовать ионные ПЦВ при условии слабой проотранотвенной дисперсии вдоль нормали к поверхности плазмы. Получены выражения, определяющие дисперсию этих волн и декременты их затухания.

В разделе 1.3 рассмотрено влияние на дисперсионные свойства ионных и электронных ПЦВ конечных поперечных размеров плазмы. Несмотря на то, что поверхностные волны этого типа хорошо проникают в плазму (глубина проникновения существенно больше длины волны вдоль направления распространения), их дисперсия оказывается слабо зависящей от толщины слоя. Показано, что ПЦВ, распространяющиеся в плазменном слое при рассматриваемой ориентации внешнего магнитного поля, являются симметричными волнами.

В разделе 1.4 исследуется вопрос о возмокности возбуждения ПЦВ с помощью пучков заряженных частиц, распространяющихся вне плазмы. Вычислены линейные инкременты, с которыми они возбуждаются при пучковых и диссипативных неустойчивоетях. Показано, что величина инкрементов, полученных в рамках модели полуограниченной плазмы, меньше, чем величина инкрементов ПЦВ, вычисленных в случае слоя плазмы.

Во второй главе диссертации рассматривается распространение необыкновенных поверхностных циклотронных волн (НПЦВ) в ограниченной плазме, помещенной во внешнее постоянное магнитное поле, которое направлено вдоль ее границ. Пространственная дисперсия полагалась слабой, а отражение частиц от поверхности плазмы - диффузным.

В разделе 2.1 показано, что в условиях слабой пространственной дисперсии вдоль поверхности плазмы и вдоль нормали к ней в полуограниченной плазме при указанном направлении внешнего магнитного поля могут распространяться электронные НПЦВ. Они характеризуются нормальной дисперсией. Показано, что волны с одинаковой частотой, распространяющиеся в противоположные стороны, характеризуются различными волновыми векторами: волна, движущаяся в сторону вращения электронов у поверхности плазмы, имеет волновое число больше, чем волна,движущаяся в обратную сторону. Найдены выражения для декремента затухания НПЦВ.

В разделе 2.2 на примере модели полуограниченной плазмы исследуются дисперсионные свойства ионных НПЦВ. По сравнению со случаем, когда внешнее магнитное поле было направлено перпендикулярно поверхности плазмы, поле волны хуже проникает в плазму. Глубина проникновения поля в плазму порядна длины волны вдоль направления ее распространения. Имеется анизотропия волновых векторов волн, распространяющихся во взаимно противоположных направлениях. Приведены решения дисперсионного уравнения для НЧ НПЦВ на второй и четвертой гармониках ионной циклотронной частоты.

В разделе 2.3 рассмотрен вопроо о влиянии на дисперсию и затухание НПЦВ конечных поперечных размеров плазменной системы, в которой они распространяются. Получены дисперсионные уравнения для ВЧ и НЧ рассматриваемых волн в случае плазменного слоя произвольной толщины. На примере колебаний на второй гармонике циклотронных частот показано, что величина поперечных размеров плазмы практически не влияет на дисперсионные свойства НПЦВ. Если толщина слоя существенно больше длины волны вдоль направления распространения, то дисперсионное уравнение имеет такой же вид (а, следовательно, и решения), как и для модели полуограниченной плазмы. В случае тонного плазменного слоя (толщина его существенно меньше длины рассматриваемых волн) решения будут незначительно отличаться от случая полуограниченной плазмы, и характерные размеры плазмы не войдут в дисперсионное уравнение для НПЦВ при таком приближении. Коэффициенты затухания и характер анизотропии между величинами волновых векторов волн, распространяющихся на одинаковых частотах во взаимно противоположных направлениях, будут такие же, как и в случае полуограниченной плазмы.

В разделе 2Л рассматривается линейная стадия неустойчивости НПЦВ в ограниченной плазме, помещенной во внешнее магнитное поле, параллельное ее границе, при возбуждении их пучками заряженных частиц. Найдены инкременты пучковых и диссипативных неустойчивостей НПЦВ в длинноволновой области спектра. Показано, что в приближении тонкого плазменного слоя инкременты возбуждаемых волн существенным образом зависят от характерных поперечных размеров плазмы. Приведены сравнительные данные для значений инкрементов волн, возбуждаемых в данной системе, и в случае гиротропной плазмы.

В третьей главе диссертации исследуются различные аспекты взаимодействия поверхностных волн на циклотронных частотах с волнами других типов.

В разделе 3.1 изучается линейное взаимодействие между ПДВ и плазменными волнами на гибридных частотах. Найдены поправки к частоте поверхностных волн рассматриваемого типа в области пересечения дисперсионных кривых. Показано, что НЧ ПЦВ в условиях слабой пространственной дисперсии вдоль направления распространения при взаимодействии с гибридными волнами в твердотельной плазме существенно меняют свою дисперсию. Поправки к частотам ВЧ ПЦВ, которые могут взаимодействовать с верхнегибридными волнами только в коротковолновой части спектра, и частотам НПЦВ будут того же порядка, что и разность to-nu)^ в отсутствие такого взаимодействия ( К1 -номер гармоники, 00^ - циклотронная частота).

В разделе 3.2 рассмотрена связь между поверхностными циклотронными и спиновыми волнами, распространяющимися в маг-нитоупорядоченных кристаллах, а также в неферромагнитных металлах, помещенных во внешнее магнитное поле. Оказывается, что НПЦВ не взаимодействуют со спиновыми волнами: магнитные характеристики среды не входят в дисперсионное уравнение для необыкновенных волн. Вычислены поправки к частотам ПЦВ при пересечении их дисперсионных кривых с ветвями спиновых волн в твердотельной плазме с различными магнитными свойствами. Поназано, что по сравнению со случаем объемных циклотронных волн эффективность этого взаимодействия уменьшилась.

В разделе 3.3 исследуется параметрическое воздействие внешнего переменного электрического поля, направленного параллельно границе плазмы, на распространение ПЦВ в ограниченной плазме, помещенной во внешнее постоянное магнитное поле, ориентированное перпендикулярно поверхности плазмы. Вычислены инкременты параметрической неустойчивости ПЦВ в пределах длинных и коротких длин волн. Определены условия, в которых возможно развитие этой неустойчивости. Приведены численные оценки инкрементов ПЦВ в области сильной и слабой пространственной дисперсии вдоль поверхности плазмы.

В заключении перечислены основные результаты диссертационной работы.

- 15 -Г 1 А В А I

ПОВЕРХНОСТНЫЕ ЦИКЛОТРОННЫЕ ВОЛНЫ В ГИРОТРОПНОЙ

ПЛАЗМЕ

I.I. Дисперсия и затухание электронных поверхностных циклотронных волн в полуограниченной плазме

Впервые на существование собственных продольных колебае Н / ний безграничной плазмы на частоте U)~2uJ2 (со^ /t -электронная циклотронная частота) было указано в работе [9]. Этот результат удалось получить, последовательно учитывая тепловое движение электронов. В дальнейшем, основываясь на кинетических представлениях, было показано, что собственные объемные волны в плазме существуют и на высших гармониках электронной циклотронной частоты [llt12j, Продольные колебания "газа" электронов на циклотронных частотах неустойчивы вследствие конечности ларморовского радиуса частиц [ю]. Используя модель, электронной Ферми-жидкости, в работе [24-] было предсказано существование циклотронных волн в металлах.

Интенсивное изучение объемных колебаний плазмы на гармониках циклотронных частот продолжается и сейчас (см., например, монографии [l-5] и цитируемую в них литературу).

Исследуем возможность распространения поверхностных волн на циклотронных частотах в полуограниченной плазме, состоящей из электронов и ионов одного сорта [78] . Полагаем, что внешнее магнитное поле Н0 направлено перпендикулярно к поверхности плазмы, границу которой считаем резкой, т.е. переходная область много меньше среднего ларморовского радиуса. Плазму с такой ориентацией внешнего магнитного поля будем называть ги-ротропной. Считаем, что отражение частиц от ее поверхности происходит зеркально. Предлагаемую систему можно использовать при изучении свойотв твердотельной плазмы [20-2з] и генерации в ней колебаний.

Для описания равновесных состояний частиц плазмы будем использовать функции распределений Максвелла и Ферми-Дирака. Первая из них соответствует газовой плазме и полупроводникам с малой концентрацией носителей заряда, а вторая - случаю вырожденной плазмы твердых тел [~3,5,2о].

Постановка задачи. Систему координат выбираем так, что плазма занимает область Ъ^О , поверхностная волна распространяется вдоль оси X , внешнее постоянное магнитное полеНонаправлено вдоль 2 (см.рис.1). Исходная система уравнений состоит из линеаризованного кинетического уравнения для функции распределения ^ частиц плазмы (i.i.i) где . и fit. I I о с ya* ~ циклотронная частота, - заряд, м^ - эффективная маоса [2l] частиц сорта cL для электронов, сА- ^ для ионов), с - скорость света в вакууме, Ф - азимуi (о) тальный угол в пространстве скоростей, 4 - равновесная

ОЧ функция распределения, V^ - частота столкновений, и уравнений Максвелла.

При решении этой системы уравнений воспользуемся методом Фурье: оda } (I.I.2) i 00

Зависимость электрического и магнитного полей волны от координат и времени ищем в виде

4 (г) х-а У J. От координаты ^ поля не зависят.

Считаем, что исследуемые волны являются медленными: их фазовая скорость существенно меньше скорости света

00 4 в вакууме с = -— . В этом случае уравнения Максвелла прибли-к женно удается разделить на две системы уравнений, не связанных друг с другом. Одна из них описывает Е -волну с компонентами Е , Н , Е , а вторая - Н -волну, компонентами которой яв

X ^ 2 ляются /-/ , £ , Н . Исследуем Е -волну, т.н. Н -волна в х у г рассматриваемой геометрии поверхностной быть не может.

Для медленных волн электрическое поле можно считать квазипотенциальным тогда Е —О. И из уравнений Максвелла в указанном приближении получается следующая система уравнений для Е -волны:

1 с if с (I.I.3)

На область z<c> поле продолжим четно, а поля Ь^ и Ну - нечетно.

При рассматриваемой ориентации внешнего магнитного поля и зеркальном отражении частиц от границы плазмы связь между компонентами Фурье плотности тока и электрического поля линейная [ja] i. i.4) где - тензор проводимости. Его компоненты имеют такой же t N вид, как и компоненты 6>; неограниченной плазмы [l-3J. К

Применяя к системе (1.1,3) преобразование (I.I.2) и последовательно исключая из нее Фурье-образы полей Нч и Е , у 2 получим следующее уравнение:

F м (I.I.5)

К '

Здесь +- тензор диэлектрической проницаемости магнитоантивной неограниченной плазмы [l-5],

- относительная диэлектрическая постоянная решетки (для газовой плазмы £0= V , для плазмы полупроводников = = М00), 5и - символ Кронекера.

Применяя к (I.I.5) обратное преобразование Фурье, получим выражение для импеданса плазмы:

Ejoj^ Г (II?)

IAWI2 К ' где

I.I.8)

II,

Здесь ДМнимая часть в выражениях для Д^] появляется при выделении в тензоре - эрмитовой и антиэрмитовой частей: in '4'L с к • Аналогичным образом, полав 2 гая в системе (I.I.3) J^J^ 0 ? можно найти импеданс вакуума

-V iKf ctq w - ■,, ■ = 7Г~ J—5-F - (I.I.9)

Для получения дисперсионного уравнения приравняем импедансы (I.I.7) и (I.I.9) т У и di алло)

Интеграл (I.1.8) ответственен за затухание рассматриваемой волны. Известно, что в неограниченной бесстолкновительной плазме электромагнитные волны, распространяющиеся поперек магнитного поля, с длиной волны много больше среднего ларморовского радиуса частиц плазмы затухают слабо, если jп^I тепловая скорость частиц). Это объясняется тем, что число частиц, поглощающих энергию этих волн при максвелловском распределении частиц плазмы по скоростям экспоненциально мало, пог 2-2 ~zi скольку пропорционально -п toj < V где состав" ляющая волнового вектора вдоль направления внешнего постоянного магнитного поля [?9]. Но в разложении Фурье поля поверхностной волны всегда есть слагаемые с малыми длинами волн, взаимодействие ноторых с частицами плазмы может привести к сильному затуханию поверхностной волны [80].

Чтобы вычислить интегралы, входящие в дисперсионное уравнение (I.I.I0), рассмотрим отдельно случай слабой и сильной пространственной дисперсии. Слабая пространственная дисперсия среды вдоль некоторого направления означает, что длина волны в этом направлении существенно больше характерного плазменного масштаба, каким является ларморовский радиус Vt<^j J* в случае сильной пространственной дисперсии имеет место обратное неравенство.

Дисперсия волн. При максвелловском распределении частиц плазмы по скоростям для компонент £ ^ , входящих в выражение для Л 1<\) , имеют место следующие соотношения: л jrqv^uJ v ИА I>

2 т /.I -Ч*.

2 Г , , i -V*

S = €

-

Y\--oO \J/f[- С^ V/j-^ 6J где о? w=5 0 ел'- wUJ, / , 2 4fteZ n 4 Z 1 - модифицированная функция Бесселя, равновесная плотность частиц. Для получения в явном виде зависимости 1) следует упростить выражения для компонент тензора Н- , входящих в

С» ^ уравнение (I.I.I0). В этом разделе ограничимся исследованием только высокочастотных поверхноотных циклотронных волн (ПЦВ), поэтому движением ионов пренебрежем. Вместо сумм по <Х для компонент тензора диэлектрической проницаемости плазмы останутся только электронные слагаемые. Предположим, что частота волны близка к 5 -ой гармонике электронной циклотронной частоты. Тогда в выражениях для <£• удержим слагаемые о И =

Ь Лч s S [2,3 J . При вычислении первого интеграла в уравнении (I.I.I0) считаем, что главный вклад в него дают те О^ f для которых IX ,1» i . Это означает, что дисперсия вдоль

П сч нормали к границе плазмы предполагается слабой. В этом случае ее it а ^о выражения для се <-• существенно упростятся:

2 ,2 Л е. л -f 2 -2 д-2 где f здесь и далее для упрощения записи будем считать

Воспользовавшись тем, что в условиях слабой пространст венной дисперсии вдоль нормали к поверхности плазмы Д (q) экспоненциально мало, им можно пренебречь в выражении для | . Тогда первый интеграл в уравнении (I.I.I0) легко вычисляется [78]. й дисперсионное уравнение принимает такой вид: где

К = у н

- L ^ У = -{

I.I.I3)

Если квадрат волнового числа вдоль нормали к границе плазмы Чъ будет положительной величиной, то рассматриваемая волна будет поверхностной, т.е. . Из уравнения

2 / / (I.I.I4) видно, что >0 , если и сумма имеют одинаковые знаки.

Исследуем уравнение (I.I.I3), пренебрегая затуханием волны, которое обусловлено столкновениями электронов с ионами (V^ ) и с поверхностью плазмы ( У) . Оно имеет действительные решения при £ + Z . Это означает, что рассматриваемая волна будет поверхностной при условии . По

•it следнему неравенству легко удовлетворяет плазма большой плот-2 2 ности: J2.e . В этом случае дисперсионное уравнение

I.I.I3) сводится к более простому ^ О . Его можно решить аналитически, рассматривая отдельно случаи сильной (^е">> { ) и слабой ( у) пространственной дисперсии вдоль направления распространения волны. При находим:

Z^/JJU)** t<0 (1. 1.15)

1 U- S2 / -1

1 J^+Zl^)] ' " " - (I.I.K)

Из условия слабой пространственной дисперсии вдоль нормали к границе плазмы 4) получаем ограничение на величину резонансной расстройки £ : I \ \

Ге) , S>'2- (X.I.I7)

Если пространственная дисперсия сильная вдоль поверхности плазмы » но слабая вдоль нормали к ней, то

К ^f s-/23 (I.I.I8) jf / z> ГгпГ I % л ^--J - A>0 • (I-I.I9)

2 - /

Решение (I.I.18) получено при 2(^ZT (Je )

В этом случае хорошо выполняется начальное предположение о слабой пространственной дисперсии вдоль нормали к границе плазмы, т.к. W и ZS2-?,'1 ( JZ* «

Из выражений (I.I.15), (I.I.16), (I.I.18) и (I.I.19) видно, что в условиях слабой пространственной дисперсии вдоль нормали к границе плазмы и произвольном значении ПЦВ характеризуются обратной дисперсией и хорошо проникают в плаз

-{ \ -4 му: к^ ^ . При частота ПЦВ неонолько ниже $>и)е

0) » а при^е»4 - выше (S-i)u>e (ft>о), т.е. с ростом К1 частота убывает. Поэтому групповая и фазовая скорости этих волн направлены противоположно. График зависимости и) приведен на рис.2. Он имеет сходный вид с графиком дисперсии потенциальной циклотронной волны объемного типа [ 3'], но это разные волны. Поверхностная волна двумерна, ее амплитуда максимальна на границе плазмы. Решения (I.I.I5) и (I.I.I8) единственные для уравнения (I.I.I3), т.к. при других предположениях не будет выполняться условие 4 . А если считать дисперсию вдоль нормали к поверхности плазмы сильной, т.е. полагать | «{ , то мнимая и действительная части дисперсионного уравнения будут одного порядка, поскольку | Jm ) л ^ ^

Et<l* в этих условиях ПЦВ существовать не могут: 1

-Ч Яе. I.

Модель газа свободных электронов хорошо описывает многие особенности распространения волн в металлах и вырожденных полупроводниках £ 3,5,20-23']. Для описания распределения электронов по энергиям в таких средах используют распределение Ферми-Дирака. Рассмотрим, как изменится дисперсия ПЦВ по сравнению со случаем максвелловской функции распределения.

В кинетическое уравнение (I.I.I) равновесная функция рас

QJL0) определения входит в виде производной

Здесь 5Чх) - дельта-функция Дирака, дисперсия считается изотропной и квадратичной £ = Р/2^ [20,2l], <£ F= ^ ^ * -энергия Ферми, "fc - постоянная Планка,^оеУ/з> - фер-миевский волновой вектор. Ферми - жидкостными эффектами пренебрегаем: они слабо выражены в случае металлов с простой поверхностью Ферми. Наличие дельта-функции в кинетическом уравнении приводит к тому, что все скорости вычисляются на поверх typ

Рис. 2 ности Ферми.

Общий вид компонент тензора диэлектрической проницаемости по сравнению со случаем максвелловского распределения изменится (см.,например, j^3,5,2oJ) . Приведем значения £ ^ , ' Езъ • К0Т0Рые нам понадобятся в дальнейшем:

Г " . (I.I.20)

- c^3 0 = -?+- / \ --- ' si - J Эе+п h~ - o^ о где , . . qVpCQi^-^

I = - ^.и $ , - -—--. p — граничная скорость Ферми, - функция Бесселя.

Предполагая дисперсию вдоль нормали к поверхности слабой: 160— п и)е \ , и не учитывая затухание волны, связанное с дисперсией среды (3) , из уравнения (I.I.I0) получим дисперсионное уравнение, по форме совпадающее с соответствующим в случае максвелловской функции распределения:

Е^ (I.I.21)

Аналитические зависимости K^-^^cJ) можно получить в случаях сильной и слабойпространственной дисперсии, заменяя в (I.I.20) функции Бесселя их асимптотическими значениями [8l].

В условиях слабой пространственной дисперсии вдоль нормали к поверхности плазмы и вдоль направления распространения волн выражения для трех компонент , входящих в уравнение

I.I.2I), можно записать тан: г 22 F а = i

Л.

Л? S

К V \г s"2 V

4Vf rj Я

3 i^fy 7 " ■' 1 ^ ^ 4

5Ъ

J2

2>Jll^z

2S

I.1.22) где l^in ^+i9d9^ ^^cote^'ede. d.1.23)

О о

Подставляя полученные значения компонент тензора диэлектрической проницаемости вырожденной плазмы в уравнение (I.I.2I), решаем его аналогично случаю максвелловского распределения частиц. Действительные корни уравнение (I.I.2I) имеет при У

2,

Zu).

-Sfs/ГЙ г "Я- г

2-е О

I.1.24) г n z

К, m C^J X

5 VF L3(s2-0£

IS

KV. { h 3 1 ;

3JIJ

I.I.25)

В случае сильной диспероии вдоль поверхности плазмы, но слабой вдоль нормали к ней из (I.I.20) получаются следующие выражения для £ . , входящих в дисперсионное уравс /С нение (I.I.2I):

I / -г^о2^ ( у

I.I.26) г,;+ 26 = + —^—— ^

ЗЪ ' \ A , Л ' -9 /. , ,2\ 1

Подставляя (I.1.26) в уравнение (I.I.21), получим решение: , 2 Й2 / 3 (1,1,28) < , — К. --- I £ « к 2

Сравнивая результаты, полученные для фермиевского и мак-свелловского распределений частиц плазмы по скоростям, приходим к выводу, что выбор равновесной функции распределения практически не влияет на дисперсию ПЦВ. В обоих случаях это волна с обратной дисперсией, хорошо проникающая в плазму и существующая в плазме большой плотности. Волновые числа вдоль направления распространения различаются на численный множитель порядна Z 7Г и ( ^ I соответственно при К/р» и .

Затухание. Вычислим затухание ПЦВ, которое, как уже упоминалось, определяется столкновениями электронов с ионами (О ) и с границей плазмы (С/J . Вклад первого явления в величину затухания учесть легко, поскольку наиболее существенно частота столкновений входит в выражение для резонансной расстройки "А . Чтобы определить вклад в затухание, определяемый столкновениями электронов с границей плазмы, надо вычислить интеграл J . Метод счета подобных интегралов изложен в монографии [в]. Поскольку выбор равновесной функции распределения не влияет на результат, то вычисления будем проводить на примере случая распределения Максвелла.

Чтобы взять интеграл С/ в уравнении (I.I.I0), надо . // знать конкретные значения компонент тензора в слу

СК СК чаях Цд»4 и у• Вое пропорциональны

2 // г ср(-ХЛ{А/) , поэтому и Л (- х^]. Следовательно, основной вклад в 0 внесут слагаемые с X * . Поскольку сК интеграл (I.I.8) четный по ^ , то его можно заменить на два интеграла от прежнего подынтегрального выражения, но с новыми пределами интегрирования: от нуля до бесконечности. В зависимости от того, сильная или слабая пространственная дисперсия вдоль поверхности плазмы имеет место, в выражении для Д"(q) определяющую роль будут играть различные слагаемые. Поэтому, сделав замену переменных dq-^^—^ dt , рассмотрим отv у

Tck К Y\<h дельно случаи и .

При величина J представляется в виде суммы

СГ= • где

3 = ^ Г ^Xj^o. ^ CI.I.29)

Vre 71 •

В уоловиях сильной пространственной дисперсии величина ^ будет определяться выражением (I.I.29), a несколько изменится: j = (I.I.3D yfjf К* 1 ' I ■

Чтобы найти полную величину декремента затухания электронной ПЦВ, надо в уравнении (I.I.I3) выделить мнимую часть, полагая к к = к. W£ lSI« Iк,, л J * ' СД/ 6v

В случае слабой пространственной дисперсии вдоль поверхности плазмы, используя (I.I.29) и (I.I.30), найдем = —-—п 132) где OCb^Jig6) - величина порядка оое { .

При ^^ 1 декремент затухания ВЧ ПЦВ имеет следующий вид:

S п / ч

3 (I.I.33)

Следовательно, при и при t^>> { определяющим в величине декремента затухания является столкновение между частицами. g*

Поскольку диспероия ВЧ ПЦВ аномальна, то < о • Истинное заi тухание волн происходит в направлении их групповой, а не фазовой скорости. Причиной малого (по сравнению со столкновитель-ным) затухания поверхностных циклотронных волн вследствие учета пространственной дисперсии (вторые слагаемые в формулах (I.I.32) и (I.I.33) ) является слабая неоднородность поля вдоль нормали к границе плазмы >>

Заключение диссертации по теме «Физика плазмы», Гирка, Владимир Александрович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе получены следующие результаты.

I. Определены условия существования электронных и ионных поверхностных циклотронных волн в ограниченной плазме, помещенной во внешнее постоянное магнитное поле, которое направлено перпендикулярно поверхности плазмы. Показано, что дисперсия рассматриваемых поверхностных волн в этом случае является обратной. Решение дисперсионного уравнения для НЧ ПЦВ X

УУ\ с точностью до слагаемых порядка Ут* совпадает при заL мене величин, характеризующих электронные колебания, на соответствующие ионные с решением в случае ВЧ волн этого типа. Вычислено затухание волн, которое определяется в основном столкновениями между частицами плазш; малость вклада в декремент затухания эффекта столкновения частиц с поверхностью плазмы объясняется слабой неоднородностью поля волны вдоль нормали к границе плазмы.

2. Исследовано влияние поперечных размеров плазмы на дисперсию НЧ и ВЧ ПЦВ. Показано, что решение дисперсионного уравнения, полученного в рамках модели плазменного слоя, слабо отличается от решения дисперсионного уравнения в случае полуограниченной плазмы. Замена максвелловской равновесной функции распределения на фериевскую качественно не меняет результаты, но численные множители изменяются.

3. Исследованы дисперсионные свойства электронных и ионных НПЦВ, распространяющихся на четных гармониках циклотронных частот в плазме, находящейся во внешнем постоянном магнитном поле, ориентированном параллельно поверхности плазмы. Волны этого типа характеризуются нормальной дисперсией. Свойства НЧ НПЦВ отличаются от свойств ВЧ волн этого типа. Это связано с изменением асимптотик тензора диэлектрической проницаемости плазмы в области высоких и низких частот: при ш~и>£ вклад электронных слагаемых по порядку величины такой же, как и вклад ионных слагаемых.

4. Показано, что в случае, когда внешнее магнитное поле направлено перпендикулярно границе плазмы, волна хорошо проникает в плазму: глубина проникновения существенно больше длины волны. Если внешнее магнитное поле ориентировано параллельно поверхности, то волна плохо проникает в плазму: глубина проникновения порядка длины волны.

5. Исследовано возбуждение поверхностных волн на циклотронных частотах пучками заряженных частиц. Вычислены инкременты в случаях диссипативных и пучковых неустойчивостей. Показано, что величины инкрементов НПЦВ не зависят от массы частиц пучка и увеличиваются с уменьшением поперечных размеров плазменного слоя (при пучковых неустойчивоетях к2) ). В случае, когда внешнее магнитное поле направлено перпендикулярно границе плазмы, максимальное значение инкрементов ПЦВ

-1/у при пучковых неустойчивоетях пропорционально (а ) ,

6. Рассмотрено линейное взаимодействие поверхностных волн на циклотронных частотах с гибридными волнами при различной ориентации внешнего магнитного поля относительно поверхности плазмы. Вычислены поправки к частотам этих поверхноотных волн в области взаимодействия с гибридными волнами различных типов. Изучена связь ПЦВ оо спиновыми волнами в магнитоупорядоченных кристаллах и неферромагнитных металлах, находящихся во внешнем магнитном поле.

7. Исследовано параметрическое возбуждение ПЦВ внешним переменным электрическим полем. Вычислены величины инкрементов параметрических неустойчивостей этой волны в области больших « 4 ) и малых ( К{ R » У ) длин волн.

В заключение считаю своим приятным долгом выразить глубокую благодарность моему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Кондратенко А.Н. за постоянное внимание к работе и поддержку. Автор также признателен кандидатам физико-математических наук Азаренкову Н.А., Куклину В.М. и Ткаченко В.И. за полезные советы и обсуждение отдельных результатов работы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Гирка, Владимир Александрович, 1984 год

1. Гинзбург В.Л, Распространение электромагнитных волн в плазме. - М.: Наука, 1967, 684 с.

2. Ахиезер А.И., Ахиезер И.А., Половин Р.В., Ситенко А.Г., Степанов К.Н. Электродинамика плазмы. М.: Наука, 1974, 720 с.

3. Ломинадзе Д.Г. Циклотронные волны в плазме. Тбилиси: Мец-ниереба, 1975, 224 с.

4. Гинзбург В.Л., Рухадзе А.А. Волны в магнитоактивной плазме. М.: Наука, 1975, 256 с.

5. Александров А.Ф., Богданкевич Л.С., Рухадзе А.А. Основы электродинамики плазмы. М.: Выошая школа, 1978, 408 с.

6. Ситенко А.Г. Электромагнитные флуктуации в плазме. Харьков: Изд-во Харьковского гос. ун-та, 1965, 184 с.

7. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. -М.: Физматгиз, 1959, 532 с.

8. Кондратенко А.Н. Плазменные волноводы. М.: Атомиздат, 1976, 232 с.9. (Рлес&аиЬ/г^ и? а mou^MdU ШеЫ. Р^л. 4951 > v. 82 > A/Z> p. 2 32-2 42.10. tt.X, -iotoA „Uriko^aid (Ца&а-Иол a*id Pfoj^ma. O^daiiOM Щь. i/1. Л/^ р.Ш-222.

9. Ситенко А.Г., Степанов К.Н. О колебаниях электронной плазмы в магнитном поле. ЖЭТФ, 1956, т.31, в.4, с.642-651.

10. Sk^^tecn $>. Wai-et ш a. (P&ibnvst in a. fVl&~o^jdU УШ. (Р^Л. Реt/., ■14Ь'8> vJOQj13. ftlu-Mynont/ 1/1/. ё^ /п. /?. бЬ^и'-рш

11. Microti sZztSytn^ jfa&w /Ht'oz&d/^fa en ai/„ p.ib'O?- <tff3.

12. Азбель М.Я., Канер Э.А. Теория циклотронного резонанса в металлах. ЖЭТФ, 1957, т.32, в.4, с.896-914.

13. Канер Э.А. Циклотронный резонано в плазме. ЖЭТФ, 1957, т.33, в.2, с.544-546.

14. Канер Э.А. К теории циклотронного резонанса. ЖЭТФ, 1957, т.33, в.6, с.1472-1476.

15. Канер Э.А., Скобов В.Г. Электромагнитные волны в металлах в магнитном поле. УФН, 1966, т.89, в.З, с.367-408.

16. Веденов А.А. Плазма твердых тел. УФН, 1964, т.84, в.4, с.533-555.

17. Эдельман B.C. Магнитоплазменные волны в висмуте. УФН, 1970, т.102, в.1, с.55-85.

18. Платцман Ф., Вольф П. Волны и взаимодействия в плазме твердого тела. М.: Мир, 1974, 438 с.

19. Лифшиц И.М., Азбель М.Я., Каганов М.И. Электронная теория металлов. М.: Наука, 1971, 416 с.

20. Стил М», Вгораль Б. Взаимодействие волн в плазме твердого тела. Н.: Атомиздат, 1973, 248 с.

21. Владимиров В.В., Волков А.Ф., Мейлихов Е.З. Плазма полупроводников. М.: Атомиздат, 1979, 256 с.

22. Силин В.П. Колебания вырожденной электронной жидкости. -ЖЭТФ, 1958, т.35, в.5, с.1243-1250.

23. Силин В.П. Циклотронные волны в вырожденной электронной жидкости. ЖЭТФ, 1968, т.54, в.З, с.1016-1021.26. (^OCUvvicm VJctMx 1А/. т.> g-m З&О.п ъ1 -uld on H-c^fa J-zet^u&yi eg1. Ръс tcon Ы ^i^fte .196^ V. m, /1/3, л 6S9-64&1U

24. Каладзе Т.Д., Ломинадзе Д.Г., Степанов К.Н. Спектры обыкновенных циклотронных волн в металлах. Физика твердого тела, 1973, т.15, в.1, с.119-122.

25. Каладзе Т.Д., Ломинадзе Д.Г., Степанов К.Н. Спектры необыкновенных циклотронных волн в металлах. Физика твердого тела, 1973, т.15, в.II, с.3312-3317.

26. Ломинадзе Д.Г., Степанов К.Н. Низкочастотные колебания плазмы в случае квазипоперечного распространения. Ядерный синтез, 1964, т.4, № 4, с.281-286.

27. Киценко А.Б., Степанов К.Н. Распространение волн в плазме поперек магнитного поля. Ядерный синтез, 1964, т.4, № 4, с.272-278.

28. OuxcofjOtd ZW. (2 t) ofr W HaJit^ovUcs

29. VVOWgsVUA. LH „— tlcieulffll </<Э 6 6~J1.. 6J 73-84.

30. Иванов Ю.Б., Рухадзе A.A. О высокочастотной проводимости магнитоактивной плазмы. Изв.вузов, Радиофизика, 1964, т.7, № 2, с.232-241.

31. Гончар В.Ю., КоржА.Ф., Степанов К.Н. Столкновительное поглощение циклотронных колебаний плазмы. УФЖ, 1983, т.28, № 8, c.II80-II85.

32. Ахиезер А.И., Файнберг Я.Б. О взаимодействии пучка заряженных частиц с электронной плазмой. ДАН СССР, 1949, т.69, № 4, с.555-556.- 116 36. , <£ сУРььОЪ^ ^ ftfa'yrna1. Й-tM* j Л//^ /Н4

33. Михайловский А.Б. Теория плазменных неустойчивостей. т.1. Неустойчивости однородной плазмы. М.: Атомиздат, 1970, 296 о.38. Ашл&мхьп О. о^ ё&сРши ,ihwon (Хелож ivkbg^cc ZCe&t.-fc flue£„

34. Михайловский А.Б., Пашицкий Э.А. К теории устойчивости ионного пучка, инжектируемого в плазму поперек магнитного поля. НТФ, 1965, т.35, в.II, с.1945-1959.40. ^(^-^о .X, ikuta С7. tz^cUatcOrt ^ ^ Cydtd

35. ЪОП НаГЬыиОЫС \Л)О<УЪ*4 I" fi&LZW&c 6cJ & fl&Lp&vxdtCU

36. Ai^e&ted g&dfaoti $eao<vi, — iofrt^заи, I/. л/4, Л Э23-в4£>.

37. Иванов A.A., Муравьев В.Ф. Возбуждение электростатических ионных циклотронных колебаний поперечным током. ДАН СССР, 1971, т.201, № 3, с.567-569.

38. Барьяхтар В.Г., Савченко М.А., Степанов К.Н. О взаимодействии плазменных и спиновых волн в ферромагнитных полупроводниках и металлах. ЖЭТФ, 1966, т.50, в.З, с.576-588.

39. Савченко М.А., Степанов К.Н. Связанные спиновые, электромагнитные и плазменные волны в ферритах. Физика металлов и металловедение, 1966, т.22, в.4, с.498-505.

40. Барьяхтар В.Г., Рудашевский Е.Г., Савченко М.А., Степанов К.Н. О взаимодействии электромагнитных, плазменных и спиновых волн в антиферромагнитных полупроводниках и металлах. ЖЭТФ, 1966, т.51, в.1, с.250-257.

41. Ломинадзе Д.Г., Савченко М.А., Степанов К.Н. Связанные циклотронные и спиновые волны в полупроводниках и металлах. ЖЭТФ, 1967, т.53, в.4, с.1296-1310.

42. Ломинадзе Д.Г., Рухадзе А.А. О взаимодействии спиновых и циклотронных волн в неферромагнитных металлах. Физика металлов и металловедение, 1968, т.26, в.6, c.III7-III9.

43. Галеев А.А., Сагдеев Р.З. Параметрические явления в плазме. Ядерный синтез, 1973, т.13, № 4, с.603-621.

44. Силин В.П. Параметрическое воздействие излучения большой мощности на плазму, М.: Наука, 1973, 288 с.

45. Ситенко А.Г. Флуктуации и нелинейное взаимодействие волн в плазме. Киев: Наукова думка, 1977, 248 с.53. оал Л7. Pa/ux.sKe>t>Uc Svbctfat&br? in ffazma си a /Ma^yiette ЭЪФ?. (P/'ufi. Да/^л//, />. $Г6~362.

46. Алиев Ю.М., Силин В.П., Уотсон X. Параметрический резонанс в плазме, находящейся в магнитном поле. ЖЭТФ, 1966, т.50, в.4, с.943-953.

47. Алиев Ю.М., Зюндер Д. Параметрическое возбуждение верхнего и нижнего гибридных резонанеов. ЖЭТФ, 1969, т.57, в.4(10), с.1324-1328.

48. Андреев Н.Е., Кирий А.Ю. К теории параметрической неустойчивости плазмы, находящейся в ВЧ электрическом и постоянном магнитном полях. 1ТФ, 1971, т.41, в.б, с.1080-1087.

49. Андреев Н.Е. Параметрическая неустойчивость плазмы в постоянном магнитном и слабом высокочастотном электрическом полях. Изв. вузов, Радиофизика, 1971, т.14, № 8, с.1160-1167.

50. Силин В.П. Ионно-циклотронная неустойчивость плазмы, находящейся в сильном высокочастотном поле. ЖТФ, 1967, т.37, в.5, с.991-993.

51. Алиев Ю.М.Силин В.П. Параметрическое воздействие на плазму излучения большой мощности вблизи электронных циклотронных частот. ЖТФ, 1972, т.42, в.II, с.2249-2254.

52. Киценко А.Б., Панченко В.И., Степанов К.Н. Электронно-звуковая и ионно-циклотронная параметрические неустойчивости плазмы в переменном электрическом поле. 1,2.- ЖТФ, 1973, т.43, в.7, с.1426-1444.

53. Киценко А.Б., Ломинадзе Д.Г., Степанов К.Н. Параметрическое возбуждение электронных циклотронных колебаний плазмы в переменном электрическом поле. ЖЭТФ, 1974, т.66, в.2, с.611-62I.

54. Алиев Ю.М., Градов О.М., Кирий А.Ю. Кинетическая теория параметрического возбуждения поверхностных волн в полуограниченной плазме. ЖЭТФ, 1972, т. 63, в Л, с .112-120.

55. Алиев Ю.М., Градов О.М. Параметрическое возбуждение поверхностных волн в неоднородной замагниченной плазме. -ЖТФ, 1972, т.42, в.II, с.2447-2448.

56. Ловецкий Е.Е., Стародуб А.Н. Поверхностные колебания маг-нитоактивной плазмы в высокочастотном поле. ЖТФ, 1974, т.44, в.З, о.508-513.

57. Пахомов В.И., Степанов К.Н. Потенциальные поверхностные волны в магнитоактивной плазме. ЖТФ, 1967, т.37, в.8, с.1393-1400.

58. Кондратенко А.Н. Проникновение поля в плазму. М.: Атом-издат, 1979, 232 с.

59. Кондратенко А.Н., Круша И. Поверхностные низкочастотные волны в ограниченной магнитоактивной плазме. УФЖ, 1980, т.25, № 5, с.866-868.68. ^(Mtuklia 0.? ffu&o У. ж&огу of mAqne

60. Шосъе сп \л.емА 4f>acloU Я^глрелi/. to, л/S, />< 10769. Франк-Каменецкий Д.А. О собственных колебаниях ограниченной плазмы. ЖЭТФ, I960, т.39, в.З, с.669-679.

61. Степанов К.Н. О распространении поверхностных волн в магнитоактивной плазме. ЖТФ, 1965, т.35, в.8, с.1349-1358.

62. Кондратенко А.Н. Кинетическая теория электромагнитных волнв ограниченной магнитоактивной плазме. ЖТФ, 1966, т.36, в.П, с. 1943-1954.

63. Ландау Л.Д. 0 колебаниях электронной плазмы. ЖЭТФ, 1946, т.16, в.7, с.574-582.

64. Гирка В.А., Кондратенко А.Н. Поверхностные циклотронные волны в полуограниченной гиротропной плазме. Изв. вузов, Радиофизика, 1980, т.23, № 12, с.1416-1420.

65. Шафранов В.Д. Электромагнитные волны в плазме. В кн.: Вопросы теории плазмы, в.З. - М.: Атомиздат, 1963, с. 3140.

66. Кондратенко А.Н. 0 затухании волн, распространяющихся в ограниченной плазме поперек магнитного поля. ЖТФ, 1965, т.35, в.6, с.1015-1021.

67. Кузнецов Д.С. Специальные функции. 2-е изд. переработ, и доп. - М.: Высшая школа, 1965, 424 с.

68. РЫуууМ,l&ta^oevtyuid, {cft.ZZ-Oct.2>, wit. ialb o^d Coin,Ul$,pap. ivfia^Qi^ р.166-2>6в.

69. Гиркз В.А., Пенева Й. Возбуждение поверхностных циклотронных волн в слое плазмы. УФЖ, 1982, т.27, № 8, с.1246-1247.

70. Богданов Е.В., Кислов В.Я., Чернов З.С. Взаимодействие электронного пучка с плазмой. Изв. АН СССР, Радиотехника и электроника, I960, т.5, № 2, с.229-238.

71. Горбатенко М.Ф. Взаимодействие электронного пучка с плазмой. УФЖ, 1962, т.8, № 3, с.233-243.

72. Пахомов В.И., Степанов К.Н. Взаимодействие потока заряженных частиц с поверхностными волнами в плазме. ЖТФ, 1968, т.38, в.5, с.796-805.

73. Ханкина С.И., Яковенко В.М. К теории поверхностных волн в твердых телах. Физика твердого тела, 1967, т.9, в.Ю, с.2943-2947.

74. Кондратенко А.Н., Куклин В.М. Возбуждение поверхностных низкочастотных волн в магнитоактивной сильно неизотермической плазме пучками заряженных частиц. ЖТФ, 1975, т.45, в.6, с.1310-1314.

75. Гирка В.А., Кондратенко А.Н. Возбуждение поверхностных циклотронных волн в твердотельной плазме пучками заряженных частиц. ЖТФ, 1982, т.52, в.8, с.1521-1525.

76. Гирка В.А., Кондратенко А.Н., Подобинский В.О. Необыкновенные поверхностные циклотронные волны в полуограниченной плазме в условиях слабой пространственной дисперсии. -УФЖ, 1981, т.26, № 4, с.681-683.

77. Гирка В.А., Пенева Й. Поверхностные циклотронные волны вплазме. 1У научно-практическая конференция молодых ученых и специалистов, Харьков, 1983, - с.7.

78. Гирка В.А. Взаимодействие поверхностных циклотронных волн с волнами других типов. УФЖ, 1984, т.29, № II , с. 16501658.

79. Ахиезер А.И., Барьяхтар В.Г., Пелетминсний С.В. Спиновые волны. М.: Наука, 1967, 368 с.

80. Гуревич А.Г. Магнитный резонанс в ферритах и антиферромагнетиках. М.: Наука, 1973, 592 с.

81. Фсшъол И/., iac^i ftl&ujnztaHbt^u? Wlodzt of & -cfhecW CUm^d^j of i/ Д/З^.p< ЪоЯ -32 О. J

82. Тихонов A.H., Самарский А.А. Уравнения математической физики. 4 изд.исправл. - М.: Наука, 1972, 736 с.

83. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1970, 720 с.