Поверхностные меры на пространстве траекторий в многообразии, порожденные броуновским движением в объемлющем евклидовом пространстве тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Сидорова, Надежда Андреевна

• Сидорова, Надежда Андреевна
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Сидорова, Надежда Андреевна

1 Введение

1.1 Мотивировка и основные результаты.

1.2 Структура работы и дальнейшие результаты.

1.3 Терминология и обозначения.

1.4 Основные идеи доказательств.

1.4.1 Поверхностная мера Si: случай плоского нормального расслоения

1.4.2 Поверхностная мера Si: общий случай.И

1.4.3 Поверхностная мера S

1.4.4 Сходимость поверхностных мер на бесконечности

2 Геометрия трубчатых окрестностей

2.1 Геометрические инварианты многообразия в специальных системах координат.

2.1.1 Специальные системы координат.

2.1.2 Производная проекции 7Г

2.1.3 Производная проектора Р.

2.1.4 Вторая фундаментальная форма в специальных координатах

2.1.5 Кривизна и поле трения в специальных координатах

2.2 Векторное поле сноса.

2.2.1 Две естественные меры на трубчатой окрестности

2.2.2 Поле сноса: определение и свойства.

2.3 Разложение Ферми непрерывных семимартингалов

2.3.1 Стохастический параллельный перенос.

2.3.2 Разложение Ферми непрерывных М£о-значных семимартингалов

3 Поверхностные меры

3.1 Смещенный случайный процесс (yt).

3.1.1 Определение и свойства.

3.1.2 Поверхностная мера смещенного процесса.

3.2 Соотношение между мерами W и /л.

3.2.1 Эквивалентность мер W и Плотность.

3.2.2 О (^-приближение.

3.2.3 Приближение плотности dM/dy.

3.3 Основные результаты

3.3.1 Поверхностная мера первого типа.

3.3.2 Поверхностная мера второго типа.

4 Два частных случая

4.1 Одномерные многообразия.

4.1.1 Поверхностные меры для произвольных интервалов времени [0, Т].

4.1.2 Сходимость при Т —»• оо.

4.2 Случай плоского нормального расслоения.

4.2.1 Параллельные многообразия.

4.2.2 Разложение оператора Лапласа.

5 Дополнение

5.1 Введение в поверхностные меры, порожденные диффузионными процессами.

5.2 Введение в поверхностные меры на негладких многообразиях

Список обозначений

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Поверхностные меры на пространстве траекторий в многообразии, порожденные броуновским движением в объемлющем евклидовом пространстве»

1.1 Мотивировка и основные результаты

Изучение поверхностных мер на бесконечномерных пространствах играет важную роль как в теории меры и функциональном анализе, так и в теории случайных процессов. Понятие поверхностной меры является естественным обобщением понятия меры Лебега на поверхности в R": по мере ц на бесконечномерном пространстве X строится мера /2s, сосредоточенная на достаточно гладкой поверхности S в X, которая находится в том же соответствии с исходной мерой ц, что и мера Лебега на поверхности в Rn с обычной мерой Лебега в Rn. Такая мера называется поверхностной мерой на S, порожденной мерой \i в объемлющем пространстве.

Существуют различные способы определения поверхностных мер, порождаемых достаточно гладкими мерами на бесконечномерных пространствах. Первый был предложен А.В. Скороходом ([4]) и затем развит А.В. Углановым ([6]). Затем П. Малявэном ([10]) был предложен другой - альтернативный - способ определения поверхностных мер.

Оба этих подхода обладают общим недостатком - они определяют поверхностные меры только в случае, когда поверхность обладает конечной коразмерностью.

В данной работе изучается случай поверхностей бесконечной коразмерности. В качестве объемлющего пространства рассматривается пространство непрерывных функций Сао([0, l],Rn) со значениями в Rn, равных фиксированному значению oq в нуле. Затем фиксируется гладкое компактное т-мерное риманово многообразие М С Rn без края, содержащее точку ао, и в качестве поверхности в объемлющем пространстве рассматривается пространство непрерывных функций Сао([0,1], М) С Сао{[0, l],Rn) со значениями в многообразии. Наконец, в качестве исходной меры на объемлющем пространстве рассматривается мера Винера W, соответствующая стандартному n-мерному броуновскому движению с началом в точке ао- В этом случае существует (как минимум) два естественных способа определить поверхностную меру на Сао([0,1], М), порожденную мерой Винера W. Оба этих способа были предложены О.Г. Смоляновым ([5]), поэтому такие меры также называются поверхностными мерами Смолянова.

Пусть М£ - трубчатая окрестность многообразия М, состоящая из всех таких точек объемлющего пространства Rn, что расстояние от них до многообразия не превышает е, т.е.

М£ = {аеГ: dist(a, М) ^ е}, где символом dist обозначена обычная евклидова метрика в Мп.

Далее, пусть (bt) - стандартное n-мерное броуновское движение с началом в точке ао. Обозначим символом W£ вероятностную меру на пространстве Cao([0, 1],R") (сосредоточенную на Сао([0,1],Ме)), являющуюся условным распределением случайного процесса (bt) при условии, что его траектория не покидает трубчатую е-окрестность многообразия М, т.е. w wk0([Q,i],Me) £ W(Cao([0,l],M£))'

Определение 1. Мера Si на пространстве Cao([0,1], М), определяемая как слабый предел

Si = (слабый) limWg, называется поверхностной мерой первого типа (или поверхностной мерой, соответствующей условным броуновским движениям).

Основным результатом данной работы является теорема 1, в которой доказывается, что поверхностная мера первого типа Si существует, эквивалентна мере Винера Wм на пространстве Cao([0,1], М), соответствующей броуновскому движению на многообразии М, а ее плотность Радона-Никодима задается формулой dSi , х ехР fo R{ut)dt 4-1 /q ||сг||2(а;г)^|

Шм ~ EwM ехР{-1 £ R(ujt)dt +1 f0lM*(ut)dt}' где R(a) - скалярная кривизна, а а (а) - вектор трения (равный (dim М)к(а), где к(а) - вектор средней кривизны) многообразия М в точке а 6 М.

Неожиданным следствием этой теоремы является тот факт, что поверхностная мера Si совпадает с поверхностной мерой, описанной в [27], которая определяется следующим образом: для каждого разбиения интервала времени Р : 0 = to < ti • • • < tn = 1 рассматривается условное распределение броуновского движения в Rn при условии, что в моменты времени ti оно принимает значения в многообразии М (т.е. в некотором смысле рассматривается совокупность броуновских мостов), и затем диаметр разбиения устремляется к нулю.

Замечательно также и то, что именно такой геометрический потенциал, как в формуле (1.1), появляется при изучении квантово-механических голо-номных связей в [21, стр. 500].

Вторым естественным определением поверхностной меры на пространстве Сао([0,1], М), соответствующей броуновскому движению в объемлющем пространстве, является следующее. Пусть (:rf) - броуновское движение вГ с началом в точке do и с отражением на границе дМ£ трубчатой е-окрестности. Обозначим закон распределения случайного процесса (rf) символом Wg.

Определение 2. Мера §2 на пространстве Сао([0,1], М), определяемая как слабый предел

S2 = (слабый) limW£, £—►0 называется поверхностной мерой второго типа (или поверхностной мерой, соответствующей броуновским движениям с отражением).

В теореме 2, являющейся вторым главным результатом работы, доказывается, что поверхностная мера §2 существует и совпадает с винеровской мерой Wм

Заметим, что оба этих результата могут быть интерпретированы как новые способы построения меры Винера на многообразии. Согласно теореме 2, винеровская мера Wм может быть построена как предел броуновских движений с отражением в объемлющем пространстве. Кроме того, если обозначить символом ip какое-нибудь (отделенное от нуля, непрерывное и ограниченное) продолжение плотности Радона-Никодима (1.1) на пространство Сао([0,1],ЕГ), то, согласно теореме 1, мера Винера Wм может быть определена как предел мер при е —> 0.

Заметим, что аналогичные определения поверхностных мер могут быть даны для произвольного интервала времени [0,Т] вместо интервала [0,1]. В случае произвольного Т будут выполняться теоремы, аналогичные теоремам 1 и 2 с той лишь разницей, что интегрирование в формуле для плотности поверхностной меры первого типа будет производиться от 0 до Т. Таким образом, возникает естественный вопрос о предельном поведении поверхностных мер при Т —> сю (в'смысле слабой сходимости). Для поверхностных мер второго типа ответ (как и сам вопрос) тривиален: предельной мерой является мера Винера на пространстве Сао([0,оо), М). Предельное поведение поверхностных мер первого типа описывается в теореме 3 для случая компактных одномерных многообразий (т.е. замкнутых кривых без самопересечений) в Rn. Доказывается, что предельная мера является законом распределения броуновского движения со сносом (не зависящим от времени), удовлетворяющего стохастическому дифференциальному уравнению dyt = dbt + V log (p{yt)dt с начальным условием уо = ао, где ip - определенная однозначно с точностью до мультипликативной константы положительная собственная функция оператора м + а к обозначает (среднюю) кривизну кривой М.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Сидорова, Надежда Андреевна, 2006 год

1. Вентцель А.Д., Курс теории случайных процессов // второе издание, Наука, Москва (1996)

2. Колмогоров А.Н., Фомин С.В., Элементы теории функций и функционального анализа // Москва, Мир (1989)

3. Пугачев О.В., Поверхностные меры на бесконечномерных пространствах // Матем. заметки, т. 63, в. 1 (1998)

4. Скороход А.В., Интегрирование в гильбертовых пространствах // Наука, Москва (1974)

5. Смолянов О.Г., Гладкие меры на группах петель // ДАН, т. 345, 4, 455-458 (1995).

6. Угланов А.В., Поверхностные интегралы в банаховых пространствах /1 Матем. сборник, т. 110, в. 2, 189-217 (1979)

7. Уорнер Ф.В. Основы гладких многообразий и групп Ли // Москва, Мир (1987), пер. с англ. Warner F.W., Foundations of differentiable manifolds and Lie groups // Glenview Illinois-London, Scott, Foresman & Сотр. (1971)

8. Хасьминский P.3., Эргодические свойства возвратных диффузионных процессов и стабилизация решений параболических уравнений // Теория вероятн. и ее прим. 5, N.2, 179-196 (1960)

9. Airault H., Malliavin P., Integration geometrique sur I'espace de Wiener // Bull. Sci. Math. (2), 112, 3-52 (1988)

10. Bass R.F., Uniqueness for the Skorokhod equation with normal reflection in Lipschitz domains // Electron. J. Probab. 1, No.11, Paper 11, (1996).

11. Berg M. van den, Lewis J.T., Brownian motion on a hypersurface // Bull. Lond. Math. Soc. 17, 144-150 (1985).

12. Bogachev V.I., Smooth measures, the Malliavin calculus and approximations in infinite-dimensional spaces // Acta Univ. Carolin. Math. Phys., 31, No. 2, 9-23 (1990)

13. Carmo M.P.do, Riemannian geometry ]/ translated from the Portuguese, Mathematics, Theory & Applications. Boston, MA etc.: Birkhauser. (1992)

14. Driver В., A Primer on Riemannian Geometry and Stochastic Analysis on Path Spaces // http://math.ucsd.edu/ ~ driver/driver/preprints.html, University of California, San Diego.

15. Eells J., Lemaire L., Selected topics in harmonic maps // Reg. Conf. Ser. Math. 50, Amer. Math. Soc., Providence, R.I. (1983).

16. Elworthy K.D., Stochastic differential equations on manifolds // Cambrige University Press, Cambrige (1982)

17. Gray A., Tubes // Redwood City, CA etc.: Addison-Wesley Publishing Company(1990)

18. Jost J., Riemannian geometry and geometric analysis // 2nd Edition, Universitext, Berlin, Springer (1998)

19. Freidlin M.I., Wentzell A.D., Diffusion processes on graphs and the averaging principle // Ann. Probab. 21, No.4, 2215-2245 (1993)

20. Froese R., Herbst I., Realizing holonomic constraints in classical and quantum mechanics // Comm. Math. Phys. 220, 489-535 (2001)

21. Karatzas I., Shreve S.E., Brownian motion and stochastic calculus // 2nd Edition, Springer, New York (1991)

22. Lewis J.T., Brownian motion on a submanifold of Euclidean space // Bull. Lond. Math. Soc. 18, 616-620 (1986).

23. Pinsky R.G., Second order elliptic operators with periodic coefficients: criticality theory, perturbations, and positive harmonic functions // J. Funct. Anal. 129, 80-107 (1995)

24. Revuz D., Yor M., Continuous martingales and Brownian motion // 2nd edittion, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Berlin, Springer-Verlag (1994)

25. Rogers L.C.G., Williams D., Diffusions, Markov processes, and Martingales, Volume 2: ltd calculus // John Wiley к Sons, New York (1987)

26. Smolyanov O.G., Weizsacker H.v., Wittich 0., Brownian motion on a manifold as limit of stepwise conditioned standard Brownian motions // Can. Math. Soc. Conference Proceedings, Volume in honour of S. Albeverio's 60th birthday 29, 589-602 (2000)

27. Stroock D.W., Varadhan S.R.S., Multidimensional diffusion processes // Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Berlin, Heidelberg, New York, Springer-Verlag (1979)

28. Weizsacker H.v., Winkler G. Stochastic integrals, An introduction // Friedrich Vieweg, Advanced Lectures in Mathematics (1990)

29. Сидорова H.A., Броуновское движение во вложенном многообразии как предел броуновских движений с отражением в его трубчатых окрестностях // Матем. заметки, т.73, в.6, 947-950 (2003)

30. Сидорова Н.А., Сходимость поверхностных мер Смолянова // Сборник конференции молодых ученых, МГУ, 153-155 (2003)

31. Сидорова Н.А., Предельное поведение поверхностных мер на пространствах траекторий // Матем. заметки, т.76, в.2, 258-263 (2004)