Поверхностные меры и формула Стокса в локально выпуклых пространствах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Шамарова, Эвелина Юрьевна

• Шамарова, Эвелина Юрьевна
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Шамарова, Эвелина Юрьевна

1 Аппроксимация поверхностных мер на поверхностях конечной коразмерности в локально выпуклом пространстве

1.1 Терминология и обозначения главы.

1.2 Теоремы о поверхностном слое.

1.3 Применение полученных результатов к гауссовским мерам

1.4 Построение поверхностной меры.

2 Применение теоремы о поверхностном слое к доказательству формулы Стокса

2.1 Операции в классе дифференциальных форм соболевского типа относительно гладкой меры на ЛВП.

2.2 Формула Стокса.

3 Поверхностные меры на поверхностях бесконечной коразмерности — Броуновский лист со значениями в компактном ри-мановом многообразии

3.1 Первый шаг построения процесса

3.2 Теорема Чернова для эволюционных семейств.

3.3 Асимптотика по Ь для интеграла вида Ше-^ау.

3.4 Применение теоремы Чернова для эволюционных семейств к построению неоднородных процессов на многообразии.

3.5 Второй шаг построения процесса

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Поверхностные меры и формула Стокса в локально выпуклых пространствах»

Общая характеристика работы Актуальность темы

Диссертация относится к бесконечномерному анализу. В ней рассматриваются два класса поверхностных мер в локально выпуклых пространствах. Первый из этих классов образован поверхностными мерами на обладающих конечной коразмерностью (бесконечномерных) подмногообразиях локально выпуклых пространств. При этом предполагается, что поверхностные меры порождаются гладкими мерами на этих пространствах. Второй класс образован поверхностными мерами на подмногообразиях, обладающих бесконечной коразмерностью. При этом в качестве объемлющего пространства рассматривается пространство непрерывных функций, определенных на квадрате и принимающих значения в евклидовом пространстве, и предполагается, что в этом пространстве задана мера, порождаемая так называемым броуновским листом; в качестве подмногообразия рассматривается множество непрерывных функций, определенных на (том же) квадрате и принимающих значения в компактном римановом многообразии этого евклидова пространства. В диссертации также доказан аналог теоремы Чернова для эволюционных семейств операторов.

Исследование свойств поверхностных мер первого класса составляет одно из традиционных направлений бесконечномерного анализа. Оно тесно связано с исследованием бесконечномерных дифференциальных операторов и общей проблемой дезинтегрирования мер. Изучение таких поверхностных мер начато в работах А. В. Скорохода [10}, и А. В. Угланова [19} около 30 лет назад в рамках теории гладких мер на бесконечномерных пространствах, созданной в работах С. В. Фомина, О. Г. Смолянова и их учеников. Теория таких поверхностных мер существенно используется в так называемом исчислении Малливена [33}, [23}. В настоящее время эта область бесконечномерного анализа может рассматриваться как классическая.

Техника, развитая при исследовании поверхностных мер на подмногообразиях конечной коразмерности, оказалась недостаточной для исследования поверхностных мер на подмногообразиях, обладающих одновременно бесконечной размерностью и бесконечной коразмерностью. Возникающие здесь трудности были преодолены в серии работ О. Г. Смолянова, X. ф. Вайцзек-кера и их соавторов [11}г [36}, [15}> [14}, [35}. В этих работах была развита техника построения поверхностных мер на подмногообразиях векторного пространства функций вещественного аргумента, принимающих значения в Г, в предположении^ что подмногообразия образованы функциями, принимающими значения в римановом подмногообразии К". Полученные результаты связаны с исследованием эволюционных дифференциальных уравнений на многообразиях. Следующим естественным шагом является распространение этой техники на случай векторного пространства и его подмногообразия, состоящих из функций нескольких вещественных переменных [16] (см. также [25], [26], [33], [23], [39]). Такого рода многообразия возникают в квантовой теории поля и в ТУ-теории. Таким образом, тема диссертации представляется вполне актуальной.

Научная новизна

Все результаты диссертации являются новыми. Основные из них состоят в следующем:

1. Описан метод аппроксимации поверхностных мер Угланова с помощью мер некоторых окрестностей для подмногообразий коразмерности 1 в локально выпуклом пространстве и доказана теорема о поверхностном слое.

2. Развито исчисление дифференциальных форм конечной костепени в локально выпуклом пространстве и доказана формула Стокса для поверхностей коразмерности 1 в локально выпуклом пространстве.

3. Доказан аналог теоремы Чернова для эволюционных семейств операторов.

4. Описан метод построения броуновского листа со значениями в компактном римановом многообразии, вложенном в конечномерное евклидово пространство. Этот результат существенно усиливает аналогичный результат Малливена для групп Ли.

Методы исследования

В диссертации используются методы бесконечномерного и стохастического анализа, а также ряд специальных конструкций.

Теоретическая и практическая ценность

Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы при решении задач стохастического анализа на многообразиях, в частности при исследовании случайных полей со значениями в компактном римановом многообразии.

Апробация диссертации

Результаты диссертации докладывались на семинаре механико-математического факультета МГУ "Бесконечномерный анализ и математическая физика" под руководствам профессора О. Г. Смолянова и профессора Е. Т. Шавгулидзе, на семинаре отдела математической физики института математики РАН под руководством академика В. С. Владимирова и член.-корр. РАН И. В. Воловича и на XXV конференциях молодых ученых МГУ (2003).

Публикации

Основное содержание диссертации опубликовано в 3-х работах автора, работ по теме диссертации написанных в соавторстве нет.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения и трех глав, разбитых на параграфы. Общий объем диссертации составляет 99 страниц. Список литературы включает 40 наименований.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Шамарова, Эвелина Юрьевна, 2005 год

1. Шамарова Э.Ю. Об аппроксимации поверхностных мер в локально выпуклом пространстве.// Мат. Заметки 2002, т.72. № 4. стр. 597 - 616.

2. Шамарова Э.Ю. Теорема Чернова для эволюционных семейств.// Сборник конференции молодых ученых МГУ, 2003, стр. 457 460.

3. Шамарова Э.Ю. Построение броуновского листа со значениями в компактном римановом многообразии. // Мат. Заметки 2004, т.76. № 4. стр. 635 640.

4. Авербух В. И., Смоляное О. Г., Фомин С. В. Обобщенные функции и дифференциальные уравнения на линейных пространствах. I. Дифференцируемые меры.// Тр. ММО. 1971. Т.24. с.133-174.

5. Богачев В. И., Гауссовские меры. М.: Наука. Физматлит, 1997.

6. Вайцзеккер Х.фон, Смоляное О. Г. Дифференциальные формы на бесконечномерных пространствах и аксиоматический подход к формуле Стокса. //Доклады Академии Наук, 1999, том 367, № 2, с. 151-154.

7. Вайцзеккер Х.фон, Леандр Р., Смоляное О.Г. Алгебраические свойства бесконечномерных дифференциальных форм конечной костепени. //Доклады Академии Наук, 1999, том 369, № 6, с. 727-731.

8. Далецкий Ю. Л., Фомин С. В., Меры и дифференциальные уравнения на бесконечномерных пространствах. М., Наука, 1983.

9. Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. М.: Наука, 1970.

10. Скороход А. В., Интегрирование в гильбертовом пространстве. Москва, 1995.

11. Смоляное О. Г., Гладкие меры на группах петель, ДАН, т.345 №4, с. 455-458, 1995.

12. Смоляное О. Г. Потоки де Рама и формула Стокса в гильбертовом пространстве.// ДАН СССР, 1986. Т. 286. № 3. 554-558.

13. Смоляное О. Г., Анализ на топологических линейных пространствах и его приложения. М., Издательство МГУ, 1979.

14. Смоляное О. Г., Вайцзеккер X. ф, Виттих О., Сидорова Н. А. Поверхностные меры Винера на траекториях в римановых многообразиях, ДАН, т. 383, в. 4, 458-446 (2001).

15. Смоляное О. Г., Вайцзеккер X. ф, Виттих О., Сидорова Н. А. Поверхностные меры, порождаемые диффузиями на путях в римановых многообразиях, ДАН, т. 377, в. 1-6, 441-463 (2002).

16. Смоляное О. Г., Вайцзеккер X. ф, Виттих О., Построение диффузий на множестве отображений отрезка в компактное риманово многообразие, ДАН, т.402, №6, с. 1-5, 2005

17. Стернберг С. Лекции по дифференциальной геометрии. М.: Мир, 1970.

18. Угланов А. В., Поверхностные интегралы в линейных топологических пространствах. // ДАН. 1995, т.344, N 4, с.450-453.

19. Угланов А. В., Поверхностные интегралы в банаховом пространстве. // Мат.сб. 1979, т. 110, N 2, с. 189-217.

20. Яхлаков В.Ю. Поверхностные меры на поверхностях конечной коразмерности в банаховом пространстве.// Мат. заметки, 1990, т.47, вып. 4, с. 147-156.

21. Робертсон А., Робертсон В., Топологические векторные пространства. М., Мир, 1967.

22. Шварц Л. Анализ. М.: Мир, 1972.

23. Н. Airault, P. Malliavin, Integration on loop groups. II. Heat equation for the Wiener measure, J. Funct. Anal. 104 (1992), No 1, 71-109

24. Bogachev, Vladimir /., Gaussian measures. TYansl. from the Russian by the author. (English) Mathematical Surveys and Monographs. 62. Providence, RI: American Mathematical Society, xii, 433p.

25. Driver B.K., Integration by parts and quasi-invariance for heat kernel measures on loop groups, J. Funct. Anal. 149 (2) (1997) 470-547.

26. Driver B.K., Srimurthy V., Absolute continuity of heat kernel measure with respect to pinned Wiener measure on loop groups, The Annals of Probability, 2000.

27. Goldstein, Jerome A., Semigroups of linear operators and applications. (English) Oxford Mathematical Monographs. New York: Oxford University Press; Oxford: Clarendon Press. X, 245 p., 1985.