Поверхностные и внутренние волны в стратифицированной жидкости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат наук Федоров, Максим Сергеевич

• Федоров, Максим Сергеевич
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Федоров, Максим Сергеевич

Оглавление

Введение

1 Волны в слоисто-неоднородной жидкости

1.1 Слоисто-неоднородная жидкость. Эффект «мертвой воды»

1.2 Неустойчивость Тонкса-Френкеля

1.3 Неустойчивости Рэлея-Тейлора и Кельвина-Гельмгольца

1.4 Нелинейные волны

35

2 Линейные периодические волны в стратифицированной идеальной жидкости конечной толщины

2.1 Эффект «мертвой воды» на гравитационных волных

2.2 Эффект «мертвой воды» на капиллярных волнах

2.3 Взаимодействие внешних и внутренних гравитационных

волн в слоисто-неоднородной жидкости

2.4 О влиянии вязкости на внешние и внутренние волны в слоисто-неоднородной жидкости

78

93

93

3 Нелинейные периодические волны в стратифицированной идеальной жидкости конечной толщины

3.1 Нелинейный анализ эффекта «мертвой воды» для гравитационных волн

3.2 Нелинейный анализ эффекта «мертвой воды» для капиллярных волн

3.3 Нелинейное резонансное взаимодействие волн в слоисто-неоднородной жидкости

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Поверхностные и внутренние волны в стратифицированной жидкости»

Введение

Актуальность темы исследования

Проблема исследования волнового капиллярно-гравитационного движения в стратифицированной жидкости актуальна в связи с многочисленными приложениями в геофизике, технической физике, точном научном приборостроении и представляет интерес как чисто академический, связанный с физикой моря и физики атмосферы, так и чисто практический связанный с проблемами судоходства и воздухоплавания. Одной из проблем в исследовании волн в стратифицированной жидкости заключается в исследовании переноса энергии и импульса между нелинейными волнами в слоисто-неоднородной жидкости. Само явление проявляется, например, в виде эффекта «мертвой воды»: в эффекте переноса энергии и импульса нелинейных волн на свободной поверхности жидкости к нелинейным волнам на границе раздела сред. Амплитуда волн на границе раздела при этом принимает очень большую величину. Это явление имеет место в проливах, соединяющих водоемы с различной соленостью, например, в Гибралтарском проливе, соединяющем Средиземное море и Атлантический океан, при смешении неодинаково прогретых потоков воды (воздуха) с различной температурой или при таянии льда на поверхности замерзающих морей, когда на поверхности тяжелой соленой воды, появляется линза более легкой пресной. Суда, попавшие в такую линзу, пройдя по инерции некоторое расстояние, останавливались, и оставались неподвижными, с какой бы мощностью не работали винты, а энергия винтов шла на раскачку гравитационных волн большой амплитуды на границе раздела пресной и соленой воды, тогда как на свободной поверхности пресной жидкости волны имели малую амплитуду. Судно освобождалось из плена, только когда вследствие процессов естественной диффузии и перемешивания соленость воды выравнивалась по вертикали, а граница стратификации по плотности размывалась. Этому феномену было дано наименование эффекта «мертвой воды», которому частично уделено внимание в данной работе.

Имеет приложения этот эффект и в микромире: в слоисто-неоднородной жидкости в жидкостной эпитаксии, при получении микро- и наноматериалов с заданными свойствами. В этой области работает капиллярный аналог эффекта «мертвой воды», исследованный в последнее время и является предметом нижеследующего рассмотрения.

Особенный интерес представляет исследование волнового движения в вязкой слоисто-неоднородной жидкости в связи с неразрешёнными до сих пор проблемами динамического поверхностного натяжения и возобновившимися попытками экспериментального исследования влияния вязкости жидкости на эффект «мёртвой воды».

В связи с вышесказанным представляет интерес изучение нелинейных волн и возможностей нелинейного резонансного взаимодействия капиллярно-гравитационных и капиллярно-флутктуационных волн (в области наноразмеров) на границе раздела и на свободной поверхности в системе, состоящей из двух несмешиваемых, несжимаемых, жидкостей.

Степень разработанности темы

Методы исследования нелинейных периодических капиллярно-гравитационных волн начали разрабатываться около ста лет назад. Первая теоретическая работа по этой теме выполнена в начале двадцатого столетия Дж.Р. Вилтоном методом прямого разложения основных уравнений гидродинамики идеальной жидкости и граничных условий к ним по малому параметру, равному отношению амплитуды волны к ее длине. Анализ Вилтона - первая существенная модификация нелинейной модели периодических гравитационных волн Г.Г. Стокса на случай учета капиллярных сил.

Во второй половине двадцатого века, после того как Ф.Р. Брезертон и В.Ф. Саймоне сформулировали методы нелинейного анализа периодических волн, процедура решения Дж.Р. Вилтона была улучшена с помощью метода разных масштабов.

Среди работ последних десятилетий отметим работы Мак-Голдрика, А.Х. Найфэ, М.Дж. Мерсье, У.Дж. Янга,. Т.Б. Бенжамина, P.E. Девиса, Т. Кубота, О.В. Авраменко, И.Т. Селезова и др. Однако большинство решенных задач в основном двухмерные, в которых волны принимаются слабонелинейными и длинными по отношению к полной толщине жидких слоев.

Цели и задачи данной диссертационной работы:

• исследование взаимодействия капиллярно-гравитационных волн, порожденных различными поверхностями раздела в слоисто-неоднородной жидкости;

• исследование нелинейного резонансного взаимодействия волн в слоисто-неоднородной жидкости;

• исследование влияния вязкости контактирующих жидкостей на декременты волн;

• исследование капиллярного аналога эффекта «мертвой воды».

Для достижения поставленных целей были решены следующие задачи:

• в теоретическом аналитическом анализе была исследована и уточнена реализация феномена «мертвой воды», заключающаяся в экспоненциальном увеличении амплитуд гравитационных и капиллярных волн на границе раздела сред при стремлении к нулю разности плотностей или величины коэффициента межфазного натяжения границы раздела;

• в теоретическом аналитическом исследовании проведен анализ влияния электростатического поля на капиллярный аналог эффекта «мертвой воды»;

• в теоретическом аналитическом анализе был проведен нелинейный анализ волнового движения в поле силы тяжести на свободной поверхности и на заряженной границе раздела двух идеальных несмешивающихся жидкостей;

• в теоретическом аналитическом анализе проведено исследование нелинейного резонансного взаимодействия между поверхностными и внутренними волнами.

Научная новизна

— в аналитическом исследовании волнового движения на границе раздела несмешивающихся жидкостей и на свободной поверхности верхней жидкости выяснилось, что в области капиллярных волн в линейном и нелинейном приближениях имеет место аналог эффекта «мертвой воды», ранее известный лишь в области гравитационных волн.

— найдены аналитические выражения для декрементов поверхностных внутренних волн слабовязкой, двухслойной жидкости.

— в аналитических асимптотических расчетах второго порядка малости показано, что для гравитационных волн в слоисто-неоднородной жидкости, стратифицированной по плотности, и для капиллярных волн порожденных поверхностями раздела с различными коэффициентами поверхностного натяжения имеет место внутреннее нелинейное резонансное взаимодействие;

— обнаружено, что поверхностные капиллярно-гравитационные волны обмениваются энергией между собой при катализационном влиянии внутренних волн.

Теоретическая и практическая значимость работы

Диссертационная работа посвящена обнаружению и исследованию новых эффектов: капиллярного аналога «мертвой воды», катализационного влияния внутренних волн на взаимодействие поверхностных.

Полученные результаты помимо чисто академического гносеологического интереса в области геофизики и физики моря представляют и практический для точного приборостроения и многослойной жидкостной эпитаксии при получении материалов с заданными свойствами. Результаты нелинейного волнового движения в поле силы тяжести на свободной поверхности и на границе раздела сред представляют интерес в связи с многочисленными приложениями,

перечисленными выше и могут быть использованы в разнообразных академических, технических и технологических приложениях.

Методология и методы исследования

При исследовании нелинейных волн и нелинейного внутреннего резонансного взаимодействия капиллярно-гравитационных волн в слоисто-неоднородной несжимаемой жидкости, использовались аналитические асимптотические методы компьютерного моделирования и классической математической физики: метод многих временных и пространственных масштабов. Так же была использована модель потенциального течения жидкости. Для исследования влияния вязкости использовалась модель маловязкой ньютоновской жидкости.

Положения, выносимые на защиту

1. Нелинейное исследование второго порядка малости волнового движения поверхностных и внутренних волн в слоисто-неоднородной жидкости со свободной поверхностью, в котором получен аналитический вид нелинейных поправок к амплитудам волн имеющие резонансный характер. Найдены точные положения вырожденных и вторичных комбинационных резонансов.

2. Исследование нелинейного резонансного обмена между волнами, порожденными различными поверхностями раздела сред. В окрестностях резонансов исследован нелинейный обмен энергией между волнами, порожденными различными поверхностями раздела. Показано, что во вторичных комбинационных резонансах реально обмениваются энергией только волны, порожденные свободной поверхностью. Внутренние волны участвуют в этом процессе, но играют каталитическую роль.

3. Исследование и уточнение реализации капиллярного аналога эффекта «мертвой воды», ранее известного лишь в области гравитационных волн. Установлено, что амплитуды капиллярных волн на границе раздела жидкостей экспоненциально увеличиваются при близких значениях плотности и малой величине коэффициента поверхностного натяжения границы раздела.

/ 4

1 I

я

4. Исследование влияния вязкости контактирующих жидкостей на волновое движение, в котором получен аналитический вид декрементов затухания поверхностных и внутренних волн. Показано, что величина декрементов зависит от кинематических вязкостей обеих сред, но при малом значении вязкости одной из сред, величина декремента определяется в основном вязкостью другой среды, что позволяет пользоваться моделью контакта вязкой среды с невязкой.

Степень достоверности и апробация результатов

Полученные результаты являются достоверными, что подтверждается асимптотическими переходами к результатам других авторов.

Материалы работы докладывались и обсуждались на: Всероссийской конференции молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах» (Пермь, 2008); Материалы VIII, IX и X Международных конференциях «Волновая электрогидродинамика проводящей жидкости. Долгоживущие плазменные образования и малоизученные формы естественных электрических разрядов в атмосфере» (Ярославль, 2009, 2011, 2013); XXIV и XXV научных конференциях стран СНГ «Дисперсные системы» (Одесса, 2010, 2012); 16-й всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых (Волгоград, 2010); Всероссийской научно-методической конференции «Математическое образование и наука в технических и экономических вузах» (Ярославль, 2010, 2012, 2014); XIII Харитоновских чтениях «Экстремальные состояния вещества. Детонация. Ударные волны» (Саров, 2011); XXI международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов» (Москва, 2014).

Все результаты диссертации получены лично автором. В совместных работах с А.И. Григорьевым научному руководителю принадлежат лишь постановка задачи и общее руководство. В работах [82-89] автору принадлежит решение задачи, а метод ее исследования С.О. Ширяевой. В работе [89] диссертанту принадлежит процедура построения асимптотического разложения, позволяющая получить В.Д. Труфанову решение задачи.

1. Волны в слоисто-неоднородной жидкости

1.1 Слоисто-неоднородная жидкость. Эффект «мертвой воды»

История изучения внутренних гравитационных волн в океане началась с океанографической экспедиции в Северной Атлантике (1893-1896) под руководством норвежского полярного исследователя Fridtjof Wedel-Jarlsberg Nansen [64]. Во время этой экспедиции F. Nansen неоднократно наблюдал внезапную потерю скорости судна «Fram», вплоть до полной его остановки, хотя море было спокойным и все двигатели работали в прежнем режиме. Этому явлению было дано название эффект «мертвой воды». Моряки неоднократно сталкивались с данным феноменом и до экспедиции Ф. Нансена, но ученые относили сообщения о неожиданных остановках судов к фантастическим вымыслам. Постепенно выявились некоторые характерные черты этого явления. Было замечено, что4 «мертвая вода» задерживает обычно суда средних размеров. Крупные суда и мелкие лодки, как правило, избегали его влияния.

Известный тогда метеоролог Vilhelm Friman Koren Bjerknes выдвинул гипотезу о том, что потеря скорости у судна, которую наблюдал Нансен на своем судне, идет за счет образования волн на поверхности границы раздела пресной и соленой воды. Впоследствии экспериментатор и ученик Бьернеса, Vagn Walfrid Ekman [41] поставил эксперимент, в котором наблюдал проявление эффекта «мертвой воды» в стратифицированной по плотности жидкости, и подтвердил гипотезу Бьеркнеса. Кроме того Ekman при проведение своих экспериментов с различными типа лодок, описал некоторые аспекты связанные с эффектом «мертвой воды»:

1. Сопротивление, которое испытывает корабль при движении в двухслойной жидкости намного больше, сопротивления при движении в однородной по плотности жидкости. Это происходит из за того, что на границе стратификации двух жидкостей энергия винтов корабля, идет на раскачку внутренних волн. Этот эффект проявляется максимально, когда скорость корабля

меньше максимальной скорости внутренней волны [46], а максимальная скорость определяется как:

т = I Р2-Р1 ¥Ь~

ф У р2

Данная зависимость, сопротивления к движению корабля которую наблюдал Экман, показана на «Рис. 1.1». На этой фигуре экспериментальные точки, которые отмечены крестами, сравниваются с линейной теорией вязкого сопротивления (сплошные линии). Локальный максимум сопротивления в

стратифицированной жидкости, наблюдается, когда скорость немного меньше с™.

При более высоких по сравнению с с™ скоростях, сопротивление, испытываемое

кораблем, подобно тому как если бы он двигался в однородной вязкой жидкости.

Более современные исследователи [37, 43, 44, 50, 55, 56 62, 77] проводили аналогичные эксперименты, результаты которых совпадают с результатами Экмана.

Рис. 1.1: Зависимость сопротивления корабля от скорости его движения на поверхности пресной воды (/9] = 1.000г.]см?) толщиной \-2 см. над слоем соленой воды

(р2 = 1.030 г./ см. ), в сравнении со случаем однородной жидкости для случая «глубокой воды» с глубиной 23 см, и случаем «мелкой воды» с глубинами 5 см и 2,5 см. Экспериментальные точки 5 обозначены крестами, а модель - сплошными линиями 1, 4.

2. Другой вклад Экмана касается описания граничных волн, которые образуются при движении позади кормы корабля. А именно, он наблюдал два типа волн: поперечные и расходящиеся. Следует отметить, что легко могут наблюдаться только граничные волны, в отличие от поверхностных, амплитуда которых принимает очень малые значения. Отношение, связывающее амплитуды

(Pa-Pi) 1 ,

внешних и внутренних волн имеет вид --^ =- (р - плотность воздуха,

(Р2"Л) 500

рх - плотность верхнего слоя и р2 - плотность нижнего слоя жидкостей). Поперечные волны могут достигать больших амплитудных значений до их разрушения. Но когда скорость корабля становится больше чем с™, они

пропадают, и в конечном счете остаются только расходящиеся волны.

Визуализацию этих волн можно найти из численного моделирования в работах таких ученых как Miloh [62], Yeung и Nguyen [81]. В их работах используется число Фруда, которое сравнивает среднюю скорость корабля со

значением с™.

Теоретические исследования внутреннего волнового сопротивления в эффекте «мертвой воды», используя модель жидкости с двумя слоями и свободной поверхностью, начались с работ Л.Н.Сретенского [25] и W.E. Lamb [19, 53].

В слоисто-неоднородной жидкостью со свободной поверхностью и границей раздела каждая из границ раздела может генерировать волны. Волны порожденные свободной поверхность будем называть поверхностными, а волны порождаемыми границей раздела - внутренними. Суть эффекта «мертвой воды» заключается в том, что энергия источника (корабля или лодки) не равномерно распределяется между поверхностными и внутренними волнами: большая ее часть идет на увеличение амплитуды внутренних волн.

Заметный вклад в теорию волн в слоисто-неоднородной жидкости связан с именем Л.Н.Сретенского. В своей работе опубликованной в 1934 году он теоретически обосновал эффект «мертвой воды». Он показал, что сопротивление

движущегося по свободной поверхности предмета зависит от амплитуды внутренних волн. Л.Н.Сретенский [25] исследует волновые движения на границе раздела бесконечно глубокой жидкости, заполняющей нижнюю половину трехмерного пространства XOYZ с плотностью р2, и волновые движения на свободной поверхности слоя жидкости толщиной к и плотностью рх находящийся на поверхности бесконечно глубокой жидкости, причем р2> Р\. В более позднее время в своей монографии [26] Л.Н.Сретенский дал более компактное решение этой задачи в терминах волн в слоисто-неоднородной жидкости. Используя уравнение Бернулли, отбрасывая в нем квадраты скоростей частиц жидкости в виду их малости, Л.Н.Сретенский получает вертикальные отклонения точек свободной поверхности и поверхности раздела от их равновесных положений:

1 ( д(р2 д^Л

у=и' 2 %{Рг-Р\)\2 )

у=о

Подставляя в граничные условия решения гидропотенциалов в виде плоских бегущих волн и учитывая условие ограниченности на бесконечной глубине, получается система из трех уравнений относительно неизвестных коэффицентов Ах, А2, В1:

(сг2 - gk^A[ ехр (Щ + (о-2 + gk}вl ехр{-Щ = 0;

АХ-В{=А2,

^сг2 - gk)j р2А2 ехр {Иг) - [сг2 - gk^ Ах ехр (-кк) + (сг2 + gk)j В{ ехр (~кИ)

Детерминант этой системы дает два различных значения частоты а:

рх= 0. (1.1.1)

сг2 = gk^, сг2 = gk ^{Шг)-

Рг~Р\

р2+р1т(кИ)'

Для первого корня сг уравнение свободной поверхности и поверхности раздела принимают вид:

77i =-—v41exp(^//)cos(b:)sin(cri) т]2 = -—v42exp(£/z)cos(b:)sin(o?)

S g

Видно, что полученные формы поверхности не зависят от плотностей рх и /?2 > и поэтому отношение амплитуд колебаний поверхности раздела к амплитуде колебаний свободной поверхности будет иметь такое же значение как будто бы жидкость была однородной.

Совсем все иначе будет выглядеть, если в систему уравнений (1.1.1) подставить второй корень частоты. Выражения для профилей волн будут иметь вид:

щ =-2kaDcos{kx)sm(o-t) rt2 = ^—&<rexp(£/i)Dcos(fa:)sin(a-/)

Pi-Pi

Видно, что в виду малой разницы в плотностях соседних слоев жидкости, отношения амплитуды свободной поверхности к границе раздела сред может достигать больших значений и пропорциональна величине:

А exp(kh). Pi — Pi

Интерес с участием внутренних гравитационных волн возобновился и сильно возрос после П-ой мировой войны, когда американский флот потерял несколько своих подводных лодок. Одной из них была самая современная на то время атомная подводная лодка «Thresher» (1963). Во время проходивших испытаний на предельной глубине (до 360 метров) связь с лодкой была потеряна. Ученые предполагают, что причиной гибели подводной лодки стали внутренние волны. В тот день в районе испытаний свирепствовал циклон, который и мог их вызвать. Позднее здесь были зарегистрированы мощные внутренние волны высотой до 100 метров и периодом колебаний около восьми минут. Такие волны могли легко «затащить» лодку на глубину ниже предельной, на которую был рассчитан ее прочный корпус.

1.2 Неустойчивость Тонкса-Френкеля

Началом теоретического исследования периодических волн бесконечно малой амплитуды на однородно заряженной поверхности идеально проводящей жидкости является работа Я.И. Френкеля [28]. В ней исследован вопрос о нахождении критических условий реализации неустойчивости поверхности жидкости по отношению к однородно распределенному электрическому заряду, индуцированному внешним электростатическим полем. Л.А. Тонкс за год до появления работы Френкеля провел качественную оценку условий реализации этой неустойчивости [76]. Он получил критерий неустойчивости заряженной поверхности жидкости с точностью до коэффициента ~ 2, сравнивая лапласовское давление под искажением, в виде сферического сегмента, рельефа плоской поверхности жидкости с давлением на него однородного электростатического поля, направленного перпендикулярно невозмущенной поверхности.

На практике, неустойчивость заряженной поверхности жидкости по отношению к электрическому заряду проявляется в том, что при превышении поверхностной плотностью заряда некоторого критического значения, с поверхности жидкости начинается сброс заряда в виде большого числа маленьких сильно заряженных капелек [5, 6, 75]. Сначала на поверхности образуются конусообразные выступы, - конусы Тейлора. Затем с вершин этих выступов электрическое поле начинает отрывать заряженные капельки [5, 6, 75].

Френкель строго вывел критерий реализации неустойчивости в рамках метода нормальных мод Рэлея [70], а саму неустойчивость, с течением времени стали, называть неустойчивостью Тонкса-Френкеля, чтобы почтить первооткрывателей. Он рассмотрел в линейном по бесконечно малой амплитуде волны приближении задачу определения спектра капиллярно-гравитационных волн на заряженной поверхности идеальной несжимаемой, идеально проводящей бесконечно глубокой жидкости. В системе координат ОХУХ с осью 02, направленной вертикально вверх, и плоскостью ОХУ, совпадающей с равновесной в поле сил тяжести плоской поверхностью жидкости, полная математическая формулировка этой задачи имеет вид [20, 28]:

2 > 0: ДФ = 0; г<0: А(р = 0;

П д<Р г д<р дФ д2% . _ . к -

О? & СЯ & сЬс

г->сю: | УФ |—»0;

Здесь г - время; £ = х) - отклонение свободной поверхности жидкости от плоской равновесной формы; поверхностная плотность электрического заряда в равновесном состоянии, (Ец = 4ял"0); р и у - плотность и коэффициент поверхностного натяжения жидкости соответственно; g - ускорение поля силы тяжести; <р = потенциал поля скоростей в жидкости, обусловленный

возмущением ее свободной поверхности; Ф = Ф(^,х,2) - добавка к величине электрического потенциала над поверхностью жидкости, вызванная отклонением формы этой поверхности от равновесной плоской. Для простоты, движение жидкости считается не зависящим от координаты у.

Решение задачи Френкеля в комплексной форме имеет вид [20, 28]:

£ = (о = kg

С \

1 +

V

У

Безразмерный параметр Ж > 0 в дальнейшем будет называться параметром Тонкса-Френкеля. Он равен отношению электрических и лапласовских сил под искривлением свободной поверхности жидкости с характерным линейным

масштабом равным капиллярной постоянной жидкости (а = \fyj~pg) и

определяется выражением:

цг- Е0

4Р%7 Ьл^ряу

Общим решением задачи Френкеля является суперпозиция синусоидальных прогрессивных волн различных длин Я = 2л!к, где к- волновое число. Принимается, что свободная поверхность жидкости подвержена тепловым

возмущениям, которые в фиксированный момент времени образуют рельефную структуру с характерной высотой складок ~ д/кГ/у, где

к = 8.31 ■ 107 эрг /(моль • град) - постоянная Больцмана. Согласно принципам гармонического анализа, такой рельеф можно представить суперпозицией «простейших гармонических складок». Решение Френкеля показывает, как такие простейшие возмущения, называемые в дальнейшем модами, будут эволюционировать во времени:

При 0 < IV < 2 амплитуда всех возможных тепловых возмущений остается малой ~ д/кТ/у . При \У>2 существует интервал волновых чисел:

для которых амплитуды возмущений экспоненциально растут во времени. В рамках линейного подхода это нарастание не ограничено (т.е. обеспечено до тех пор, пока амплитуда волны уже не сможет считаться весьма малой по сравнению с ее длиной).

Складывается следующая картина явления. Если 0 < IV < 2, то на свободной поверхности лапласовские силы преобладают над электрическими на вершинах возмущений равновесной поверхности, связанных со всеми возможными модами. Поэтому плоская равновесная форма свободной поверхности оказывается устойчивой по отношению к любым виртуальным возмущениям.

Для каждой моды с волновым числом к имеется свое пороговое значение параметра Тонкса-Френкеля

у

при котором на гребнях искажения свободной поверхности жидкости лапласовские и электрические силы в точности уравновешиваются. Любое, даже

малое, превышение параметром ¡V порогового значения приводит к нарушению равновесия в сторону доминирования электрических сил, стремящихся увеличить амплитуду возмущения. Мода с волновым числом

имеет самый низкий порог IV = ЙГ* по условиям реализации неустойчивости, и называться основной (как это показано на «Рис.1.2»), Напомним, что рассуждения Тонкса приводят к условию реализации неустойчивости IV > 1, вдвое более слабому, чем у Френкеля.

_1_I_I_I_1_

О 1 2 3 4 к

Рис. 1.2: Зависимость критического значения параметра Тонкса-Френкеля от волнового числа в безразмерных переменных, в которых g = р = сг-1.

Модель Френкеля не дает полного представления о неустойчивости заряженной поверхности жидкости по отношению к электрическому заряду. Она описывает только начальную стадию неустойчивости и предсказывает нестабильность возмущений малой амплитуды. Из решения Френкеля следует, что отклонение формы закритически заряженной поверхности жидкости от равновесной за малое время от момента появления заряда на свободной поверхности превысит амплитуду термокапиллярных колебаний. Вопрос о

дальнейшей эволюции возмущения модель Френкеля не решает. Тем не менее, предложенный Френкелем критерий неустойчивости малых возмущений Ж > 2 принят за условие реализации практически наблюдаемой неустойчивости заряженной поверхности жидкости по отношению к электрическому заряду. Четкое теоретическое обоснование этого факта, так же как и его корректная экспериментальная проверка в научной литературе не представлены. Для детального исследования вопроса необходим анализ задачи Френкеля в нелинейной по амплитуде волнового движения постановке. Проведение такого анализа является актуальным вопросом современной электрогидродинамики.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Федоров, Максим Сергеевич, 2014 год

Список литературы

[1] Авраменко, О. В. Характерные свойства распространения волновых пакетов в двухслойной жидкости. / О.В. Авраменко, Ю.В. Гуртовый, И.Т. Селезов // Прикладна пдромеханжа. — 2009 —. Том 11, № 4. — С. 3 - 8.

[2] Белоножко, Д.Ф. Неустойчивость заряженной границы раздела двух несмешивающихся вязких жидкостей с учетом релаксации заряда / Д.Ф. Белоножко, А.И. Григорьев, С.О. Ширяева // Журн. техн. физики. — 1998. — Т.68, вып. 9. — С.13-19.

[3] Белоножко, Д.Ф. Неустойчивость плоской границы раздела двух несмешивающихся проводящих вязких жидкостей в нормальном электрическом поле / Д.Ф. Белоножко, А.И. Григорьев, С.О. Ширяева // Изв. РАН Механика жидкости и газа. — 1998. — №6. — С.116-123.

[4] Бреховских, JI.M. Введение в механику сплошных сред / JI.M. Бреховских,

B.В. Гончаров. — М.: Наука, 1982. — 439 с.

[5] Габович, М.Д. Исследование нелинейных волн на поверхности жидкого металла, находящегося в электрическом поле / М.Д. Габович, В.Я. Порицкий // Письма в журн. эксперим. и теор. физики. — 1981. — Т.33, вып.6. —

C.320-324.

[6] Габович, М.Д. Жидкометаллические источники ионов (обзор) / М.Д. Габович //УФН.— 1983. — Т.140, №1. — С.137-151.

[7] Григорьев, А.И. Неустойчивость заряженной плоской границы раздела сред по отношению к тангенциальному разрыву на ней зависящего от времени поля скоростей / А.И. Григорьев // Журн. техн. физики. — 2000.— Т. 70, вып.1. — С. 24-26.

[8] Григорьев, А.И. Параметрическая раскачка неустойчивости заряженной свободной поверхности жидкости на фоне неустойчивости Кельвина-Гельмгольца / А.И. Григорьев, A.C. Голованов, С.О. Ширяева // Журн. техн. физики. — 2002. -— Т.72, вып.11. — С.28-33.

[9] Григорьев, А.И. О структуре поля скоростей, связанного с волновым движением на однородно заряженной границе раздела двух вязких

несмешивающихся жидкостей. / А.И. Григорьев, Д.М. Пожарицкий, С.О. Ширяева // Журн. техн. физики. — 2009. — Т.79, вып.9. — С. 36-42.

[10] Григорьев, А.И. Нелинейный анализ особенностей взаимодействия капиллярных волн конечной амплитуды в слоисто-неоднородной жидкости / А.И. Григорьев, М.С. Фёдоров, С.О. Ширяева // Журн. техн. физики. — 2011. — Т.81, вып.11. — С.31-39.

[11] Григорьев, А.И. Влияние электрического поля на капиллярный эффект «мёртвой воды» / А.И. Григорьев, М.С. Фёдоров, С.О. Ширяева // Журн. техн. физики. — 2012. — Т.82, №6. — С.9-19.

[12] Григорьев, А.И. Неустойчивость заряженной плоской поверхности тангенциального разрыва двух несмешивающихся жидкостей различных плотностей / А.И. Григорьев, С.О. Ширяева // Журн. техн. физики. — 1994. — Т.64, вып.9. — С.23-34.

[13] Григорьев, O.A. О возможной природе движений жидкости, вызванных релаксацией поверхностного натяжения / O.A. Григорьев, С.О. Ширяева, А.И. Григорьев // Письма в журн. техн. физики. — 1995.— Т.21, вып.12. — С.36-41.

[14] Григорьев, А.И. Капиллярный аналог эффекта «мертвой воды» в стратифицированной жидкости с заряженной границей раздела сред /

A.И. Григорьев, С.О. Ширяева, М.С. Федоров // Журн. техн. физики. — 2010. — Т.80, вып.7. —С.8-17.

[15] Григорьев, А.И. Капиллярные колебания и неустойчивость Тонкса-Френкеля слоя жидкости конечной толщины / А.И. Григорьев, С.О. Ширяева,

B.А. Коромыслов, Д.Ф. Белоножко // Журн. техн. физики. — 1997. — Т.67, вып.8. —С.25-31.

[16] Дерягин, Б. В. Теория устойчивости коллоидов и тонких пленок / Б.В. Дерягин. — М.: Наука, 1986. — 405 с.

[17] Кожевников, В.М. Электрические свойства слоя магнитной жидкости под действием сильных электрических полей / В.М. Кожевников, И.Ю. Чуенкова,

М.И. Данилов, С.С. Ястребов // Журн. техн. физики. — 2006. — Т.76, вып.7. —С.129-131.

[18] Кожевников, В.М. Динамика развития процессов самоорганизации в тонком слое магнитной жидкости при воздействии постоянного электрического поля / В.М. Кожевников, И.Ю. Чуенкова, М.И. Данилов, С.С. Ястребов // Журн. техн. физики. — 2008. — Т.78, вып.2. — С.51-57.

[19] Ламб, Г., Гидродинамика / Г. Ламб. — М.: ОГИЗ, 1947. — 929 с.

[20] Ландау, Л.Д. Электродинамика сплошных сред / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. — М.: Наука, 1992. — 662 с.

[21] Ле Блон, П. Волны в окене / П. Ле Блон, Л. Майсек. — М.: Мир, 1981. — Т.2. —366 с.

[22] Рид, Р. Свойства газов и жидкостей / Р. Рид, Т.Л. Шервуд. — Химия, 1971. —704 с.

[23] Саночкин, Ю.В. Ван-дер-ваальсовы волны в жидкостях со свободной поверхностью / Ю.В. Саночкин // Журн. техн. физики. — 2003. — Т.73, вып.5. — С.24-29.

[24] Селезов, И.Т. Особенности распространения волновых пакетов в двухслойной жидкости конечной глубины / И.Т. Селезов, О.В. Авраменко, Ю.В. Гуртовый // Прикладная гидромеханика. —2005. — 7 (79), № 1. — С. 80-89.

[25] Сретенский, Л.Н. О волнах на поверхности раздела двух жидкостей с применением к явлению «мертвой воды» / Л.Н. Сретенский // Журн. геофизики. — 1934. — Т.4, вып.З. — С.332-367.

[26] Сретенский, Л.Н. Теория волновых движений жидкости / Л.Н. Сретенский. — М.: Наука, 1977. —815 с.

[27] Филипс, О.М. Взаимодействие волн. / О.М. Филипс // Сб. Нелинейные волны. — М: Мир, 1977. — С.197-220

[28] Френкель, Я. И. К теории Тонкса о разрыве поверхности жидкости постоянным электрическим полем в вакууме / Я.И. Френкель // Журн. эксперим. и теор. физики. — 1936. — Т.6, №4. — С.348-350.

[29] Ширяева, С.О. Линейное взаимодействие волн на заряженной границе раздела сред при наличии тангенциального разрыва поля скоростей / С.О. Ширяева // Журн. техн. физики. — 2001. — Т.71, вып.З. — С. 9-16

[30] Ширяева, С.О. О влиянии эффекта релаксации поверхностного натяжения на спектр движений жидкости с заряженной свободной поверхностью / С.О. Ширяева, О.А. Григорьев // Журн. техн. физики. — 2000. — Т.70, вып.6. —С. 31-36.

[31] Ширяева, С.О. О взаимодействии капиллярных волн на заряженном тангенциальном разрыве поля скоростей / С.О. Ширяева, О.А. Григорьев, Д.Ф. Белоножко // Письма в журн. техн. физики. — 2000. — Т.26, вып.11. — С. 10-17.

[32] Ширяева, С.О. Эффект динамического поверхностного натяжения и капиллярное волновое движение на заряженной поверхности жидкости / С.О. Ширяева, О.А. Григорьев, А.И. Григорьев // Журн. техн. физики. — 1996. — Т.66, №10. — С. 31-46.

[33] Ширяева, С.О. Особенности реализации неустойчивости Кельвина-Гельмгольца при конечной толщине верхней среды / С.О. Ширяева, Ю.Б. Кузьмичев, Ф.С. Голованов, Д.Ф. Белоножко // Электронная обработка материалов. — 2000. — №2. — С. 25-33.

[34] Avramenko, О. V. Nonlinear wave propagation in a fluid layer based on semiinfinite fluid / O.V. Avramenko, I.T. Selezov // Доповда НАНУ. — 1997. — №10. — P. 61-66.

[35] Benjamin, T.B. Internal waves of finite amplitude and permanent form / T.B. Benjamin // J. Fluid Mech. — 1966. — V. 25, pt.2. — P. 241-270.

[36] Bretherton, F.P. Resonant interaction between waves. The case of discrete oscillations / F.P. Bretherton // J. Fluid Mech. — 1964. — V.20, pt.3. — P. 457-479.

[37] Buick, J.M. Comparison of a lattice Boltzmann simulation of steep internal waves and laboratory measurements using particle image velocimetry / J.M. Buick, A.J. Martin // Eur. J. Mech. B-FIuids. — 2003. — V. 22, № 1. — P. 27-38

[38] Corteiezzi, L. Small-amplitude waves on the surface of layer of viscous liquid / L. Corteiezzi, A. Prosperety // J. Quart. Appl. Math. —1981.—V.38, №4.—P.375-3 89.

[39] Davis, R.E. Solitary internal waves in deep water / R.E. Davis, A. Acrivos // J. Fluid Mech. — 1967. — V. 29, pt. 3. — P. 593-607.

[40] Dias, F. Nonlinear gravity and capillary-gravity waves / F. Dias, C Kharif// Ann. Rev. Fluid Mech. — 1999, — V.31. — P.301-346.

[41] Ekman, V.W. On dead water. In: Nansen F, editor. The Norwegian north polar expedition 1893-1896. / V.W. Ekman // Scientific Results. Kristiania. — 1904. — P. 152-166.

[42] Funakoshi, M. Long internal waves of large amplitude in a two-layer fluid / M. Funakoshi, M. Oikawa // J. Phys. Soc. Japan. —1986.—V. 55, № 1. — P. 128-144.

[43] Ganzevles, S. P. M. Swimming obstructed by dead-water / S.P.M. Ganzevles, F.S. Nuland, L.R.M. Maas, H.M. Toussaint // Naturwissenschaften. — 2009. — №96. —P. 449^156.

[44] Ganzevles, S.P.M. Characteristics of a freestyle stroke in stratified water. / S.P.M. Ganzevles and L.R.M. Maas. // Unpublished manuscript. — 2010.

[45] Gerkema, T. A Unified model for the generation and fission of internal tides in a rotating ocean / T.A. Gerkema // J. Mar. Sci. — 1996. — № 54. — P. 21-50.

[46] Gill, A. E. Atmosphere-Ocean Dynamics / A.E. Gill. — Academic Press (London), — 1982. —p. 128.

[47] Grigor'ev, A.I. Influence of Disjoining Pressure upon Stability in the Electric Field of a Charged Liquid Film on the Surface of a Hard Core / A.I. Grigor'ev, M.I. Munichev, S.O. Shiryaeva // J. Coll. Int. Sci. — 1994. — №166. — P. 267-274.

[48] Grue, J. Properties of large amplitude internal waves / J. Grue, A. Jensen, P.O. Rusas, J.K. Sveen // J. Fluid Mech. —1999. — V. 380. — P. 257-278.

[49] Hammack, J.L. Resonant interactions among surface water waves / J.L. Hammack, D.M. Henderson // Ann. Rev. of Fluid Mech. — 1993. — V.25. — P. 55-97.

[50] Hasselmann, K On the nonlinear energy transfer in a gravity wave spectrum / K. Hasselmann // J. Fluid Mech. — 1962. — 12. — P. 481-500.

I

p

I

[51] Kao, T. W. Internal solitons on the pycnocline: generation, propagation, and shoaling and breaking over a slope / T.W. Kao, F.S. Pan, D. Renouard // J. Fluid Mech. — 1985. —V. 159. —P. 19-53.

[52] Kubota, T. Propagation of weakly nonlinear internal waves in a stratified fluid of finite depth / T. Kubota, D.R.S. Ko, L.D. Dobbs // AIAA J. Hydrodyn. — 1978. — V. 12. —P. 157-165.

[53] Lamb, H. On Waves in an Elastic Plate / H. Lamb // Proc. Roy. Soc. London, Ser. — 1917. —A 93, —P. 114-128.

[54] Lick, W. Nonlinear wave propagation in fluids / W. Lick // Ann. Rev. of Fluid Mech. — 1970. — V.2. — P.l 13-136.

[55] Maas, L. R. M. Worden mooi-weer verdrinkingen door dood-water veroorzaakt / L.R.M. Maas, H. van Haren // Meteorologica, 2006. — №15, — P. 211-216.

[56] Maas, L. R.M. 2013 Effects of fluid stratification on swimming, rowing and paddling / L.R.M. Maas IIIn: Sports Physics. — 2013. — P. 217-226.

[57] McGoldrick, L.F. Resonant interactions among capillary-gravity waves / L.F. McGoldrick // J. Fluid Mech. — 1965. — V.21, pt.2. —P. 305-331.

[58] McGoldrick, L.F. On Wilton's ripples: special case of resonant intaractions / L.F. McGoldrick//J. Fluid Mech. — 1970. — V.42, pt.l. — P. 193-200.

[59] McGoldrick, L.F. On the rippling of small waves: a harmonic nonlinear nearly resonant interacrion / L.F. McGoldrick // J. Fluid Mech. — 1972. — V.52, pt.4. — P. 723-751.

[60] Melcher, J.R. Electrohydrodynamic charge relaxation and interfacial perpendicular-field instability / J.R. Melcher, C.V. Smith // Phys. Fluids. — 1969. — V.12, №4. — P. 778-790.

[61] Mercier, M.J. Resurrecting dead-water phenomenon / M.J. Mercier, R. Vasseur, T. Dauxois//Nonlin. Processes Geophys. — 2011. — V. 18.—P. 193-208.

[62] Miloh, T. Dead-Water Effects of a ship moving in stratified seas / T. Miloh, M.P. Tulin, G. Zilman // J. Offshore Mech. Art. — 1993. — V.l 15. — P. 105-110.

[63] Miskovsky, N.M. Effects of viscosity on capillary wave instabilities of planar liquid-metal surface in an electric field / N.M. Miskovsky, P.H. Cutler, M. Chug // J. Appl. Phys. — 1990. — V.68, №4. — P. 1475-1482.

[64] Nansen, F. Farthest North: The epic adventure of a visionary explorer /

F. Nansen. — Skyhorse Publishing, New-York, 1897.

[65] Nayfeh, A.H. Triple - and quintuple-dimpled wave profiles in deep water / A.H. Nayfeh // The phys. of fluids. — 1970. — V.13, №3. — P. 545-550.

[66] Nayfeh, A.H. Third-harmonic resonance in the interaction of capillary and gravity waves / A.H. Nayfeh // J. Fluid Mech. — 1971. — V.48, pt.2. — P. 385-395.

[67] Nayfeh, A.H. The method of multiple scale and non-linear dispersive waves / A.H. Nayfeh //J. Fluid Mech. 1971. — V.48, pt.3. —P. 463-475.

[68] Nayfeh, A.H. Nonlinear propagation of wave-packets on fluid interface / A.H. Nayfeh // Trans. ASME. J. Appl. Mech. Ser.E. — 1976. — V.43, № 4. — P.584-588.

[69] Neron, de Surgy Linear growth of instabilities on a liquid metal under normal electric field / de Surgy Neron, J.P. Chabrerie, O. Denoux, J.E. Wesfreid // J. Phys. II. France. — 1993. —V.3, №8. —P. 1201-1225.

[70] Rayleigh On the equilibrium of liquid conducting masses charged with electricity / Rayleigh//Phil. Mag. — 1882. — V.14. — P. 184-186.

[71] Sapir, M. Reduction of the Rayleigh-Taylor instability effects on ICF targets via a voltage-shaped ion beam / M. Sapir, D. Havazelet // J. Phys.D. Appl. Phys. — 1985. —V.18.—P. 41-46.

[72] Segur, H. Soliton models of long internal / H. Segur, J.L. Hammack // J. Fluid Mech. — 1982. — 118. - P. 285-304.

[73] Simons, W.F. A variational method for weak resonant wave interactions / W.E. Simons//Proc. Roy. Soc. Ser.A. — 1969. —V.309. —P. 551-575.

[74] Stoks, G.G. On the theory of oscillatory waves / G.G. Stoks // Camb. Phil. Soc. Trans. — 1847. —V.8. —P. 441-455.

[75] Taylor, G.I. The stability of horizontal fluid interface in a vertical electric field /

G.I. Taylor, A.D. McEwan // J. Fluid Mech. — 1965. — V.22, №1. — P. 1-15.

[76] Tonks, L. A. Theory of liquid surface rupture by uniform electric field / L.A. Tonks // Phys. Rev. — 1935. — V.48. — P. 562-568.

[77] Vosper, S. B. Experimental studies of strongly stratified flow past three-dimensional orography / S.B. Vosper, L.P. Castro, W.H. Snyder, S.D. Mobbs // J. Fluid Mech. — 1999. — 390. — P. 223-249.

[78] Wilton, J.R. On Deep water waves / J.R. Wilton // Phil. Mag. S.6. — 1914. — V.27, №158. — P. 395-394.

[79] Wilton, J.R. On ripples / J.R. Wilton // Phil. Mag. S.6. — 1915. — V.29, №173.—P. 689-700.

[80] Yang, Y.J. Convex and concave types of second baroclinic mode internal solitary waves / Y.J. Yang // Nonlin. Process. Geophys. — 2010. — 17. 605.

[81] Yeung, R. W. Waves generated by a moving source in a two-layer ocean of finite depth / R.W. Yeung, T.C. Nguyen // J. Eng. Math. — 1999. — 35. — P. 85-107.

Публикации автора диссертации в журналах, входящих в Перечень ведущих периодических изданий

[82] Григорьев, А.И. Капиллярный аналог эффекта «мертвой воды» в стратифицированной жидкости с заряженной границей раздела сред / А.И. Григорьев, С.О. Ширяева, М.С. Федоров // Журн. техн. физики. — 2010. — Т. 80, вып. 7. —С. 8-17.

[83] Григорьев, А.И. Волновое движение в поле силы тяжести на свободной поверхности и на границе стратификации слоисто-неоднородной жидкости. Нелинейный анализ / А.И. Григорьев, М.С. Федоров, С.О. Ширяева // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. — 2010. — № 5. — С. 130-140.

[84] Григорьев, А.И. Нелинейный анализ особенностей взаимодействия капиллярных волн конечной амплитуды в слоисто-неоднородной жидкости / А.И. Григорьев, М.С. Федоров, С.О. Ширяева // Журн. техн. физики. — 2011. — Т. 81, вып. 11. —С. 31-39.

[85] Григорьев, А.И. Влияние электрического поля на капиллярный эффект «мертвой воды» / А.И. Григорьев, М.С. Федоров, С.О. Ширяева // Журн. техн. физики. — 2012. — Т. 82, вып. 6. — С. 9-19.

[86] Григорьев, А.И. Волны в стратифицированной по плотности двухслойной жидкости конечной толщины с заряженной границей раздела / А.И. Григорьев, М.С. Федоров // Электронная обработка материалов. — 2013. — № 2. — С. 48-51.

[87] Григорьев, А.И. О влиянии вязкости на поверхностные и внутренние волны в двухслойной жидкости со свободной поверхностью / А.И. Григорьев, М.С. Федоров, С.О. Ширяева // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. — 2014. —№5. —С.17-24.

[88] О нелинейном внутреннем резонансном взаимодействии поверхностных и внутренних волн в слоисто-неоднородной жидкости / С.О.Ширяева, Н.А. Петрушов, А.И. Григорьев, М.С. Фёдоров // Журн. техн. физики. — 2014. — Т.84, вып. 9. — С.31-38.

[89] Труфанов, В.Д. Внутренние волны в двухслойной жидкости конечной толщины с заряженной границей раздела / В.Д. Труфанов, М.С. Федоров, С.О. Ширяева // Электронная обработка материалов. — 2014. — № 4. — С. 311-316.

Другие публикации автора

[90] Григорьев, А.И. Взаимодействие гравитационных волн, бегущих по различным поверхностям раздела в слоисто-неоднородной жидкости [Электронный многопредметный научный журнал] / А.И. Григорьев, М.С. Федоров, С.О. Ширяева // «Исследовано в России». — 2010. — С. 260-268. — URL: http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2010/020.pdf.

[91] Григорьев, А.И. Нелинейный анализ неустойчивости Релея-Тейлора заряженной границы раздела сред / А.И. Григорьев, С.А. Суханов, М.С. Федоров // Экстремальные состояния вещества. Детонация. Ударные волны. РФЯЦ — ВНИИЭФ. XIII Харитоновские чтения. — Саров, 2011. — С. 565-569.

[92] Федоров, М.С. Об устойчивости волн на границе раздела двух жидкостей с близкими плотностями / М.С. Федоров // Неравновесные процессы в

сплошных средах: материалы Всероссийской конф. молодых ученых. — Пермь, 2008. — С.286-288.

[93] Федоров, М.С. О взаимодействии волн, бегущих по свободной поверхности и поверхности раздела, в двухслойной системе несмешивающихся жидкостей / М.С. Федоров, С.О. Ширяева // Волновая электрогидродинамика проводящей жидкости. Долгоживущие плазменные образования и малоизученные формы естественных электрических разрядов в атмосфере: материалы VIII междунар. конф. — Ярославль: ЯрГУ, 2009. — С. 180-184.

[94] Федоров, М.С. Нелинейный анализ эффекта мертвой воды / М.С. Федоров // Волновая электрогидродинамика проводящей жидкости. Долгоживущие плазменные образования и малоизученные формы естественных электрических разрядов в атмосфере: материалы IX междунар. конф. — Ярославль: ЯрГУ, 2011. — С. 218-223.

[95] Федоров, М.С. Нелинейный анализ гравитационного волнового движения на свободной поверхности на границе стратификации слоисто-неоднородной жидкости / М.С. Федоров // Дисперсные системы: XXIV научная конференция стран СНГ, 20-24 сент. 2010г., Одесса, Украина: материалы конференции / М-во образования и науки Украины, Одесский нац. ун-т. им. И.И. Мечникова. — Одесса: Астропринт, 2010. — С.301-303.

[96] Федоров, М.С. Капиллярный аналог эффекта «мертвой воды» / М.С. Федоров // Шестнадцатая Всероссийская научная конференция студентов-физиков и молодых ученых, г. Волгоград, 22-29 апреля 2010 г.: материалы конф.; Волгоград: Изд-во АСФ России, 2010. — С.273-274.

[97] Федоров, М.С. Нелинейный анализ волн в слоисто-неоднородной жидкости / М.С. Федоров // Дисперсные системы: XXV международная научная конференция, 17-21 сент. 2012г., Одесса, Украина: материалы конф. / М-во образования и науки Украины, Одесский нац. ун-т. им. И.И. Мечникова. — Одесса, 2012. — С.243-244.

[98] Федоров, М.С. Математическое моделирование капиллярного эффекта «мертвой воды» / М.С. Федоров // Математика и математическое

образование. Теория и практика: межвуз. сб. науч. тр. Вып. 7. — Ярославль: Изд-во ЯГТУ, 2010. — С. 356-366.

[99] Федоров, М.С. Волны в слоисто-неоднородной жидкости / М.С. Федоров // Математика и математическое образование. Теория и практика: межвуз. сб. науч. тр. Вып. 8. — Ярославль: Изд-во ЯГТУ, 2012. — С. 130-140.

[100] Федоров М.С. Исследование внутренних волн / М.С. Федоров,

B. Д. Труфанов // 66 всероссийская научно-техническая конференция студентов, магистрантов и аспирантов высших учебных заведений с международным участием. —Ярославль: Изд-во ЯГТУ, 2013. С. 370.

[101] Федоров, М.С. Нелинейный анализ третьего порядка малости внешних и внутренних волн в слоисто — неоднородной жидкости / М.С. Федоров // Материалы X международной конференции. — Ярославль: ЯрГУ, — 2013. —

C. 235-242.

[102] Федоров, М.С. Нелинейные поправки к частотам внутренних и внешних волн в двухслойной жидкости / М.С. Федоров // XXI Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых по фундаментальным наукам «Ломоносов — 2014», 2014. — С. 84 - 86.

[103] Федоров М.С. О влиянии вязкости жидкостей на внешние и внутренние волны / М.С. Федоров // 67 всероссийская научно-техническая конференция студентов, магистрантов и аспирантов высших учебных заведений с международным участием. — Ярославль: Изд-во ЯГТУ, 2014. С. 384.