Построение решений в задачах управления на конечном промежутке времени тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Пахотинских, Василий Юрьевич

• Пахотинских, Василий Юрьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Пахотинских, Василий Юрьевич

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I ПИКСЕЛЬНЫЙ ПОДХОД ПРИ РЕШЕНИИ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ УПРАВЛЕНИЯ НА КОНЕЧНОМ ПРОМЕЖУТКЕ ВРЕМЕНИ

§1. Приближенное построение множества достижимости управляемой системы

1.1 Постановка задачи сближения с целью управляемой системы

1.2 Пиксельный метод приближенного построения множеств достижимости дифференциального включения

§2. Пиксельные алгоритмы построения множеств достижимости управляемых систем в задачах на плоскости

§3. Пиксельные алгоритмы построения множеств достижимости управляемых систем в трехмерном пространстве

§4. Пиксельные алгоритмы построения множеств достижимости управляемых систем с фазовыми ограничениями

§5. Вычислительная схема построения траекторий управления динамической системой в трехмерном пространстве

ГЛАВА II КОНСТРУИРОВАНИЕ СТАБИЛЬНЫХ МОСТОВ И РАЗРЕШАЮЩИХ ПРОЦЕДУР УПРАВЛЕНИЯ В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ИГРАХ СБЛИЖЕНИЯ-УКЛОНЕНИЯ

§1. Дифференциальная игра сближения-уклонения с фазовыми ограничениями. Свойство стабильности в задаче о сближении и стабильные мосты

1.1 Дифференциальная игра сближения-уклонения

1.2 Оператор стабильного поглощения

1.3 Аппроксимирующая система множеств

§2. Пиксельный алгоритм построения стабильных мостов в дифференциальных играх на плоскости с фазовыми ограничениями

§3. Пиксельный алгоритм построения стабильных мостов в дифференциальных играх с фазовыми ограничениями в трехмерном пространстве

§4. Процедура управления с поводырем первого игрока

§5. Вычислительная схема построения траекторий, порожденная процедурой управления с поводырем первого игрока в дифференциальной игре сближения-уклонения в трехмерном пространстве

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Построение решений в задачах управления на конечном промежутке времени»

Диссертация посвящена исследованию некоторых задач управления с геометрическими ограничениями на управления. При этом рассматриваются управляемые системы на конечном промежутке времени.

В диссертации рассматриваются, в основном, две крупные задачи управления.

В одной из них задана управляемая система, в которой присутствует только управление и отсутствует помеха. Требуется построить управление, обеспечивающее сближение с целевым множеством в конечномерном евклидовом пространстве. Эта задача рассматривается в рамках теории оптимального управления.

Во второй задаче в управляемой системе, стесненной фазовыми ограничениями и функционирующей на конечном промежутке времени, присутствует не только управление, но и помеха, стесненная, так же как и управление, геометрическими ограничениями. В этой задаче ставится вопрос о построении позиционного способа управления, обеспечивающего сближение с целевым множеством при любой реализации упомянутой выше помехи. Эта задача рассматривается в рамках теории позиционных дифференциальных игр.

Современное состояние теории оптимального управления и теории дифференциальных игр в значительной мере определили исследования отечественных математиков. Здесь отметим исследования Л.С.Понтрягина [96-101] и его ближайших сотрудников Е.Ф.Мищенко, Р.В.Гамкрелидзе, В.Г.Болтянского [19-24]; исследования Н.Н.Красовского [48-52] и его ближайших сотрудников А.Б.Куржанского, Ю.С.Осипова, А.И.Субботина [59, 60, 62-65,81, 107-110].

Важные результаты в теории дифференциальных игр принадлежат Б.Н.Пшеничному [103, 105] и его ученикам А.А.Чикрию, Ю.Н.Данилину, Г.Ц.Чикрий [130, 131].

Большой вклад в развитие теории оптимального управления и дифференциальных игр внесли Ф.Л.Черноусько [124-129] и его сотрудники А.А.Меликян, Л.Д.Акуленко, И.М.Ананьевский, Н.Н.Болотник [1, 2, 72, 73, 134].

Значительные результаты получены также М.И.Зеликиным, А.В.Кряжимским, А.Г.Ченцовым, М.И.Гусевым, Н.Н.Субботиной, Т.Ф.Филипповой, В.И.Максимовым, Е.С.Половинкиным, Л.А.Петросяном, М.С.Никольским, Н.Л.Григоренко, Е.Л.Тонковым, Н.Н.Петровым,

A.В.Арутюновым, А.М.Тарасьевым, А.А.Успенским, С.Т.Завалищиным,

B.И.Ухоботовым, Н.Ю.Лукояновым, С.В.Чистяковым, Ю.С.Ледяевым, В.С.Пацко, А.Н.Сесекиным, В.Д.Батухтиным, Э.Г.Альбрехтом, В.Е.Третьяковым и другими (см. Литература).

Среди зарубежных математиков, внесших значительный вклад в развитие теории оптимального управления и дифференциальных игр, отметим Р.Айзекса [3], Р.Беллмана [14, 15], Р.Калмана [140, 141], У.Флеминга [137, 138].

В настоящее время практические потребности и развитие вычислительной техники стимулируют повышенное внимание к задачам управления и дифференциальным играм, а также к вычислительным методам решения задач управления и дифференциальных игр. Одной из важных проблем, тесно связанных с этими задачами, и подвергшихся тщательному изучению с разных сторон, является задача построения множеств достижимости управляемых систем. Изучению этой задачи сопутствует ряд вопросов теоретической направленности, в частности, изучение свойств (в том числе топологических) множеств достижимости и интегральных воронок. Этому посвящены, например, работы [16, 17, 69, 79, 106]. В работах [30, 31, 45, 46] предложены методы приближенного конструирования множеств достижимости, базирующиеся на пошаговых конструкциях. В течение нескольких десятилетий успешно развиваются теория и методы построения верхних и нижних эллипсоидальных и полиэдральных оценок множеств достижимости и интегральных воронок управляемых систем [47, 74, 76, 80, 124, 125, 145, 148, 149]. Возможность вычисления множеств достижимости и их верхних и нижних оценок позволяет численно решать задачи построения оптимальных управлений и траекторий управляемых систем. В настоящее время достигнуты значительные успехи в решении этих задач. В немалой степени эти успехи достигнуты благодаря развитию вычислительной техники, в том числе, техники, позволяющей распараллеливать вычисления. Большая часть исследований, посвященных построению множеств достижимости, интегральных воронок и их оценок, оптимальных управлений и траекторий относится к линейным системам (см., например, [45, 47, 62, 124, 125, 142, 146, 147]). Однако в последнее время возрастает число исследований, посвященных нелинейным управляемым системам (см., например, [30, 31, 46]).

В случаях, когда управляемая система подвержена неконтролируемым помехам, задача сближения управляемой системы с целевым множеством может быть формализована как дифференциальная игра. В теории дифференциальных игр важное место занимает проблема построения множеств разрешимости - таких множеств, в пространстве позиций, из которых разрешима задача гарантированного наведения на целевое множество. В теории позиционных дифференциальных игр [48-56] эти множества называются стабильными мостами. Основная трудность при решении задачи позиционных дифференциальных игр ложится на построение или конструирование стабильного моста. В случае, когда стабильный мост сконструирован, реализовать позиционный способ управления можно несколькими путями (см. [50, 54, 56]), например, или в форме экстремального прицеливания на стабильный мост, или в форме процедуры управления с поводырем.

Существует несколько подходов к решению задачи выделения стабильного моста в пространстве позиций [56, 110, 123]. Достаточно эффективными являются алгоритмы приближенного построения стабильного моста, основывающиеся на так называемых попятных конструкциях. Этим конструкциям, введенным в [56], уделено значительное внимание в научной тематике, посвященной дифференциальным играм [85, 86, 112, 113, 120, 121]. В работах [54, 56, 110, 123] конструкции стабильных мостов применялись, прежде всего, для всевозможных теоретических построений и рассуждений. Доведение конструкций стабильных мостов до стадии разработки численных алгоритмов потребовало немало времени и дополнительных исследований. На начальном этапе разработки алгоритмов и численных процедур построения стабильных мостов внимание специалистов было сосредоточено преимущественно на линейных управляемых системах, которые надлежало привести на выпуклое целевое множество в фазовом пространстве. Это обстоятельство существенно облегчает численные процедуры построения стабильных мостов, позволяя применять методы и алгоритмы выпуклого анализа и линейного программирования [87, 112, 132]. Параллельно для линейных дифференциальных игр сближения с выпуклым целевым множеством успешно развивались такие методы построения множеств разрешимости, как методы вычисления альтернированного интеграла Л.С.Понтрягина [63, 75, 77, 92, 93].

В 80-х годах предыдущего столетия были начаты исследования по разработке алгоритмов и численных методов построения стабильных мостов для некоторых классов нелинейных дифференциальных игр [113, 121]. При этом рассматривались, в основном, нелинейные по фазовой переменной управляемые системы на плоскости. Были предложены алгоритмы и методы приближенного вычисления стабильных мостов для таких систем [113], базирующиеся на приближенном представлении сечений стабильного моста невыпуклыми многоугольниками на плоскости и на многократном применении операций пересечения и объединения невыпуклых многоугольников на плоскости.

В середине 90-х годов ХХв. были предприняты первые попытки применить к решению задачи приближенного построения стабильных мостов для управляемых систем на плоскости пиксельные методы.

Пиксел (сокр. от англ. picture element) - это минимальный элемент изображения. Пиксельные методы имеют ряд преимуществ перед упомянутым выше методом, базирующимся на многократном использовании операций пересечения и объединения многоугольников на плоскости. Одно из таких важных преимуществ - простота построения пересечения и объединения множеств, составленных из пикселов. Второе важное преимущество, впрочем, вытекающее из первого, состоит в том, что эти методы перспективны при построении стабильных мостов и множеств достижимости управляемых систем высокой размерности.

Настоящая диссертация посвящена разработке алгоритмов и программ построения множеств достижимости и стабильных мостов на базе пиксельных методов.

В диссертации также рассматриваются задачи приближенного построения стабильных мостов в нелинейных дифференциальных играх с ограничениями на фазовый вектор управляемой системы. Указана попятная схема приближенного построения стабильного моста на базе применения унифицированных конструкций.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Пахотинских, Василий Юрьевич

Заключение

По окончании работы над диссертацией были достигнуты следующие результаты в решении поставленных задач.

1. Разработаны пиксельные алгоритмы аппроксимации множеств достижимости нелинейных управляемых систем в пространствах размерностей 2 и 3 на конечном промежутке времени, в том числе при наличии фазовых ограничений.

2. Разработаны алгоритмы построения управления, использующие пиксельный подход в представлении множеств достижимости и обеспечивающие решение задачи сближения с некоторой окрестностью целевого множества.

3. Разработаны попятные пошаговые конструкции, аппроксимирующие стабильные мосты в нелинейных дифференциальных играх с фазовыми ограничениями (фазовое пространство Rm) и обоснована их сходимость при длине шага, стремящейся к нулю.

4. Разработаны алгоритмы приближенного построения стабильных мостов в нелинейных по фазовой переменной дифференциальных играх с фазовыми ограничениями (фазовый вектор управляемой системы имеет размерность 2 и 3)

5. Предложены алгоритмы построения управления с поводырем, использующие пиксельный подход в представлении множеств разрешимости и обеспечивающие решение задачи сближения с некоторой окрестностью целевого множества.

6. Разработаны программы приближенного построения множеств достижимости и стабильных мостов в задачах управления и гарантированного управления для управляемых систем в пространствах размерностей 2 и 3, реализующие предложенные алгоритмы.

7. Проведено моделирование на ЭВМ ряда задач управления и дифференциальных игр с применением разработанных алгоритмов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Пахотинских, Василий Юрьевич, 2005 год

1. Акуленко, Л.Д. Приближенное решение нелинейных задач оптимального управления колебательными процессами методом канонического разделения движений / Л.Д. Акуленко // ПММ. - 1976. - Т.40, вып. 6. -С.1024-1033.

2. Аверкян, В.В. Оптимизация режимов управления манипуляционными роботами с учетом энергозатрат / В.В. Аверкян, Л.Д. Акуленко, Н.Н. Болотник // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1976. - №5. - С.42-47.

3. Айзеке, Р. Дифференциальные игры / Р. Айзеке. М.: Мир, 1967. - 479с.

4. Алексейчик, М.И. Дальнейшая формализация основных элементов антагонистической дифференциальной игры / М.И. Алексейчик // Мат. анализ и его прил. Ростов на Дону: Ростовский гос. ун-т. 1975. - Т.7. -С. 197-199.

5. Альбрехт, Э.Г. Об экстремальных стратегиях в нелинейных дифференциальных играх / Э.Г. Альбрехт // ПММ. 1986. - Т.50, вып. 3. -С. 339-345.

6. Альбрехт, Э.Г. Построение приближенных решений некоторых квазилинейных дифференциальных игр / Э.Г. Альбрехт // Тр. ИММ УрО РАН. Екатеринбург, 2000. - Т.6, №1. - С.27-38.

7. Альбрехт, Э.Г. О дифференцируемости по параметру цены линейной игры сближения / Э.Г. Альбрехт, М.И. Логинов // Игровые задачи управления: Тр. ИММ УНЦ АН СССР. Свердловск, 1987. - С. 15-22.

8. Арутюнов, А.В. Условия экстремума. Анормальные и вырожденные задачи. / А.В. Арутюнов. М.: Факториал, 1997. - 254с.

9. Арутюнов, А.В. Принцип максимума в задачах оптимального управления с фазовыми ограничениями. Невырожденность и устойчивость. / А.В. Арутюнов, С.М. Асеев // Докл. РАН.- 1994. Т.334, №2. - С. 134-137.

10. Арутюнов, А.В. Принцип максимума для дифференциальных включений с фазовыми ограничениями / А.В. Арутюнов, В.Г. Благодатских // Тр. МИАН.- 1991. Т.200, - С.4-26.

11. Бабалыев, М.Х. Об одном методе приближенного вычисления множеств позиционного поглощения в дифференциальных играх сближения / М.Х. Бабалыев, А.П. Хрипунов; ИММ УрО РАН. Екатеринбург, 1994. -19с.

12. Деп. в ВИНИТИ 27.06.94, №1590-В94.

13. Барабанова, Н.Н. О классах стратегий в дифференциальных играх уклонения от встречи / Н.Н. Барабанова, А.И. Субботин // ПММ. 1971. -Т.35, вып. 3. - С.385-392.

14. Батухтин, В.Д. Об условиях завершения игры преследования / В.Д. Батухтин, А.И. Субботин // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1972. -№1. - С.3-8.

15. Беллман, Р. Динамическое программирование./ Р. Беллман. М.: ИЛ, 1960.-400с.

16. Беллман, Р. Некоторые вопросы математической теории процессов управления. / Р. Беллман, И. Гликсберг, О. Гросс. М.: ИЛ, 1962. 336с.

17. Благодатских, В.И. О выпуклости сфер достижимости / В.И. Благодатских // Дифференц. уравнения. 1972.- Т.8, №12. - С.2149-2155.

18. Благодатских, В.И. Дифференциальные включения и оптимальное управление / В.И. Благодатских, А.Ф. Филлипов // Тр. мат. ин-та АН СССР. 1985. - Т.169. - С. 194—252.

19. Брыкалов, С.А. Конфликтно управляемая система с нефиксированным моментом окончания. / С.А. Брыкалов // Тр. ИММ УрО РАН. -Екатеринбург, 2000. Т.6, №2. - С.313-319.

20. Болтянский, В.Г. Метод локальных сечений в теории оптимальных процессов / В.Г. Болтянский // Дифференц. уравнения. 1968. - Т.4, №12 - С.2166-2183.

21. Болтянский, В.Г. Математические методы оптимального управления / В.Г. Болтянский. М.: Наука, 1969. - 408с.

22. Болтянский, В.Г. Опорный принцип в задачах оптимального управления / В.Г. Болтянский // Дифференц. уравнения. 1973. - Т.9, №8. - С. 13631370.

23. Гамкрелидзе, Р.В. Основы оптимального управления. / Р.В. Гамкрелидзе. -Тбилиси: Изд-во Тбилис. ун-та, 1975. 229с.

24. Гамкрелидзе, Р.В. Оптимальные по быстродействию процессы при ограниченных фазовых координатах / Р.В. Гамкрелидзе // Докл. АН СССР.- 1959. Т.125, №3. - С.475^78.

25. Гамкрелидзе, Р.В. Оптимальные процессы управления при ограниченных фазовых координатах. /Р.В. Гамкрелидзе // Изв. АН СССР. Сер. Мат.1960. Т.24, №3. - С.315-356.

26. Григоренко, Н.Л. К задаче группового преследования / Н.Л. Григоренко // Тр. мат. ин-та АН СССР. 1988. - Т.185. - с.66-73.

27. Григоренко, Н.Л. Нелинейные динамические игры / Н.Л. Григоренко, С.Б. Колосов //Фунд. и прикл. мат. 1996. - Т.2, №1. - С. 113-124.

28. Конструирование решений в некоторых дифференциальных играх с фазовыми ограничениями / С.В. Григорьева, В.Ю. Пахотинских, А.А. Успенский, В.Н. Ушаков // Математический сборник. 2005 - Т. 196, №4-С.51-78.

29. Гусев, М.И. Об устойчивости информационных множеств / М.И. Гусев // Тр. ИММ УрО РАН. Екатеринбург, 2000.- Т.6, №1.- С.55-71.

30. Гусев, М.И. Обратные задачи динамики управляемых систем / М.И. Гусев, А.Б. Куржанский // Механика и научно-технический прогресс. М.: Наука, 1987.-Т. 1. - С. 187-195.

31. Гусейнов, Х.Г. Об аппроксимации областей достижимости управляемых систем / Х.Г. Гусейнов, А.Н. Моисеев, В.Н. Ушаков // ПММ. 1998-Т.65, №2.

32. Гусейнов, Х.Г. Сильно и слабо инвариантные множества относительно дифференциального включения / Х.Г. Гусейнов, В.Н. Ушаков // Докл. АН СССР. 1988. - Т.303, №4. - С.794-796.

33. Дарьин, А.Н. Управление в условиях неопределенности при двойных ограничениях / А.Н. Дарьин, А.Б. Куржанский // Дифференц. уравнения. -2003. Т.39, №11. - С.1474-1486.

34. Дубовицкий, А.Я. Принцип максимума в регулярных задачах оптимального управления, у которых концы фазовой траектории лежат на границе фазового ограничения / А.Я. Дубовицкий, В.А. Дубовицкий // Автоматика и телемеханика. 1987. - №12. - С.25-33.

35. Дубовицкий, А.Я. Критерий существования содержательного принципа максимума в задаче с фазовыми ограничениями / А.Я. Дубовицкий, В.А.

36. Дубовицкий //Дифференц. Уравнения. 1995 - Т.31, №10. - С.1611-1616.

37. Дубовицкий, А.Я. Задачи на экстремум при наличии ограничений / А.Я. Дубовицкий, А.А. Милютин // Докл. АН СССР. 1963. - Т. 149, №4. -С.759-762.

38. Завалищин, С.Т. Импульсные процессы: модели и приложения. / С.Т. Завалищин, А.Н. Сесекин. М.: Наука, 1991.

39. Завалищин, С.Т. Прикладные задачи синтеза и проектирования управляющих алгоритмов / С.Т. Завалищин, В.И. Суханов. М.: Наука, 1985.- 144с.

40. Зайцев, В.А. Достижимость, согласованность и метод поворотов В.М. Миллионщикова / В.А. Зайцев, E.JI. Тонков // Изв. вузов. Математика. -1999. Т.441, №2. - С.45-56.

41. Иоффе, А.Д. Теория экстремальных задач / А.Д. Иоффе, В.М. Тихомиров М.: Наука, 1974. - 479с.

42. Камзолкин, Д.В. Методы решения некоторых классов задач оптимального управления и дифференциальных игр: автореф. дис. канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 / Д.В. Камзолкин. Москва, 2005. - 18с.

43. Киселев, Ю.Н. Экстремальное описание неизвестных параметров в краевой задаче принципа максимума / Ю.Н. Киселев // Тр. ИММ УрО РАН. Екатеринбург, 2000. - Т.6, №1. - С.72-90.

44. Кларк, Ф. Оптимизация и негладкий анализ / Ф. Кларк. М.: Наука, 1988.

45. Клейменов, А.Ф. Задачи построения динамики неантагонистических позиционных диффуренциальных игр / А.Ф. Клейменов // Тр. ИММ УрО РАН. Екатеринбург, 2000. - Т.6, №2. - С.З80-393.

46. Комаров, В.А. Оценки множества достижимости для линейных систем / В.А. Комаров // Изв. АН СССР. Серия математическая. 1984. - Т.48, №4- С.865-879.

47. Комаров, В.А. Оценки множества достижимости дифференциальных включений /В.А. Комаров //Мат. заметки 1985 - Т.37, вып.6 - С.916-925.

48. Костоусова, Е.К. Полиэдральные аппроксимации в задачах гарантированного управления и оценивания: автореф. дис. докт. физ.-мат. наук: 01.01.02, 01.01.07. / Е.К. Костоусова Екатеринбург, 2005- 42с.

49. Красовский, Н.Н. Игровые задачи о встрече движений/Н.Н. Красовский-М.: Наука, 1970.-420с.

50. Красовский, Н.Н. Теория управления движением / Н.Н. Красовский. М.: Наука, 1968.-476с.

51. Красовский, Н.Н. Управление динамической системой / Н.Н. Красовский М.: Наука, 1985. - 520с.

52. Красовский, Н.Н. К задаче унификации дифференциальных игр / Н.Н. Красовский // Докл. АН СССР. 1976. - Т.226, №6. - С. 1260-1263.

53. Красовский, Н.Н. Унификация дифференциальных игр / Н.Н. Красовский // Игровые задачи управления. Свердловск: ИММ УНЦ АН СССР, 1979. -Вып. 26.-С. 191-248.

54. Красовский, Н.Н. О некоторых игровых ситуациях в теории управляемых систем / Н.Н. Красовский, Ю.М. Репин, В.Е. Третьяков // Изв. АН СССР.

55. Техн. кибернетика. 1965. - №4. - С. 1-11.

56. Красовский, Н.Н. Аппроксимация в дифференциальных играх. / Н.Н. Красовский, А.И. Субботин // ПММ. 1973. - Т. 37, вып. 2. - С. 197-204.

57. Красовский, Н.Н. Задача о сближении управляемых объектов / Н.Н. • Красовский, А.И. Субботин // ПММ. 1968. - Т. 32, вып. 4. - С. 575-586.

58. Красовский, Н.Н. Позиционные дифференциальные игры / Н.Н. Красовский, А.И. Субботин. // М.: Наука, 1974. - 456с.

59. Красовский, Н.Н. Альтернатива для игровой задачи сближения / Н.Н. Красовский, А.И. Субботин // ПММ. 1970. - Т.34, вып. 6. - С. 1005-1022.

60. Красовский, Н.Н. Экстремальные стратегии в дифференциальных играх / Н.Н. Красовский, А.И. Субботин // Докл. АН СССР. 1971. Т. 196, № 2. -С. 278-281.

61. Кряжимский, А.В. О реконструкции экстремальных возмущений в параболических уравнениях / А.В. Кряжимский, В.И. Максимов, Ю.С. Осипов // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1997. - Т. 37, № 3. -С. 291-302.

62. Кумков, С.И. Модельная задача импульсного управления с неполной информацией I / С.И. Кумков, B.C. Пацко // Тр. ИММ УрО РАН.w

63. Екатеринбург, 1992. Т. 6, № 1. С. 106-121.

64. Куржанский, А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. / А.Б. Куржанский. М.: Наука, 1977. - 392с.

65. Куржанский, А.Б. Альтернированный интеграл Понтрягина в теории синтеза управлений / А.Б. Куржанский // Тр. Мат. ин-та. Им. Стеклова. -1999. Т. 224. - С. 234-238.

66. Куржанский, А.Б. К задаче управления с ограниченными фазовыми координатами / А.Б. Куржанский, Ю.С. Осипов // ПММ. 1968. - Т. 32, вып. 2. - С. 194-202.

67. Ледяев, Ю.С. Об оптимальных стратегиях в дифференциальных играх фиксированной продолжительности / Ю.С. Ледяев, Е.Ф. Мищенко // Докл. АН СССР. 1986. - Т. 286, № 2. - С. 284-287.

68. Ледяев, Ю.С. Экстремальные задачи в теории дифференциальных игр / Ю.С. Ледяев, Е.Ф. Мищенко // Тр. Мат. ин-та АН СССР. 1988. -Т. 185. -С. 147-170.

69. Лейтман, Дж. Методы оптимизации с приложениями к космическим летательным аппаратам/ Дж. Лейтман-М.: Наука, 1965.

70. Ли, Э.Б. Основы теории оптимального управления / Э.Б. Ли, Л. Маркус. -М.: Наука, 1972. 574с.

71. Максимов, В.И. О динамическом решении уравнений в банаховых пространствах / В.И. Максимов // Тр. Мат. ин-та АН СССР. 1998. - Т. 220.-С. 195-209.

72. Меликян, А.А. Сингулярные характеристики управлений в частных производных первого порядка / А.А. Меликян // Докл. РАН. 1996. -Т.351, № 1.-С. 24-28.

73. Меликян, А.А. Игровая задача простого преследования на двумерномконусе / А.А. Меликян, Н.В. Овакимян // ПММ. 1997. - Т. 55, вып. 5. -С. 741-751.

74. Никольский, М.С. Две теоремы о накрытии и их применение для оценки множеств достижимости снизу / М.С. Никольский // Тезисы международной конференции, посвященной 90-летию JI.C. Понтрягина. -М.: Т. Optimal Control and Арр, 1998. С. 247-248.

75. Никольский, М.С. Об альтернированном интеграле JI.C. Понтрягина / М.С. Никольский // Мат. сб. 1981. - Т. 116, № 7. с. 136-144.

76. Никольский, М.С. Об аппроксимации множества достижимости для дифференциального включения / М.С. Никольский // Вестник Московского университета. Вычислительная математика и кибернетика. -1987. Сер. 15, № 4. с. 31-34.

77. Никольский, М.С. О нижнем альтернированном интеграле Понтрягина в линейных дифференциальных играх преследования / М.С. Никольский // Мат. сборник. 1985. - Т. 128, № 1. - С. 35^9.

78. Никольский, М.С. Некоторые оценки множества достижимости для управляемого уравнения Ван дер Поля / М.С. Никольский, Мусса Абубакар // Тр. ИММ УрО РАН. Екатеринбург, 2000. - Т. 6, № 1. -С. 150-159.

79. Овсеевич, А.И. Область достижимости управляемых систем, их свойства, аппроксимации и применения: автореф. дис. докт. физ.-мат. наук: 01.01.02./А.И. Овсеевич.-М., 1996.-21с.

80. Овсеевич, А.И. Двусторонние оценки областей достижимости управляемых систем / А.И. Овсеевич, Ф.Л. Черноусько // ПММ. 1982. -Т. 46, вып. 5. - С. 737-744.

81. Осипов, Ю.С. Позиционное управлениие в параболических системах / Ю.С. Осипов // ПММ. 1977. - Т. 41, вып. 2. - С. 195-201.

82. Панасюк, А.И. Дифференциальное уравнение невыпуклых множеств достижимости / А.И. Панасюк // Мат. заметки. 1985. - Т. 37, вып. 5. -С.717-726.

83. Пахотинских, В.Ю. Построение множеств достижимости динамических управляемых систем с заданными ограничениями на фазовый вектор / В.Ю. Пахотинских // Наука и технологии. Труды XXXIII Российской школы. Москва, 2003. - С. 306-316.

84. Пахотинских, В.Ю. Численное моделирование решений управляемой нелиненой динамической системы / В.Ю. Пахотинских, Т.Б. Токманцев, А.А. Успенский //Наука и технологии. Труды XXXIV Российской школы-Москва, 2004. С. 270-280.

85. Пахотинских, В.Ю. Аппроксимация стабильных мостов в дифференциальных играх с ограничениями на фазовый вектор / В.Ю. Пахотинских, А.А. Успенский, В.Н. Ушаков // Изв. Урал. гос. ун-та. -2002.-№26.

86. Пахотинских, В.Ю. Конструирование стабильных мостов в дифференциальных играх с фазовыми ограничениями / В.Ю. Пахотинских, А.А. Успенский, В.Н. Ушаков // ПММ. 2003. - Т. 67, вып. 5. С. 771-783.

87. Пацко, B.C. Квазилинейная дифференциальная игра качества второго порядка. I / B.C. Пацко // Задачи динамического программирования. -Свердловск: УНЦ АН СССР. 1989.

88. Петров, Н.Н. Доказательство существования значения игры преследования с ограниченным временем / Н.Н. Петров // Дифференциальные уравнения. 1970. - Т. 6, вып. 5. - С.784-797.

89. Петров, Н.Н. О существовании значения игры преследования / Н.Н. Петров // Докл. АН СССР. 1970. - Т. 190, № 6. - С. 1280-1291.

90. Петросян, JI.A. Дифференциальные игры преследования / JI.A. Петросян — Л.: ЛГУ, 1977.-222с.

91. Петросян, Л.А. Дифференциальные игры с неполной информацией / Л.А Петросян, Г.В.Томский. Иркутск: Изд-во ун-та, 1984. - 187с.

92. Половинкин, Е.С. Неавтономные дифференциальные игры / Е.С. Половинкин // Дифференц. уравнения. 1979. - Т. 15, №6. - С. 1007-1017.

93. Половинкин, Е.С. Стабильность терминального множества и оптимальность времени преследования в дифференциальных играх / Е.С. Половинкин // Дифференц. уравнения. 1984. - Т. 20, № 3. - С. 433-446.

94. Пономарев, А.П. Оценка погрешности численного метода построения альтернированного интеграла Понтрягина / А.П. Пономарев // Вестн. Моск. ун-та. Вычисл. матем. и киберн. 1978. - Сер.15, №4. - С. 37-43.

95. Пономарев, А.П. Устойчивость и сходимость альтернированных сумм Понтрягина / А.П. Пономарев, Н.Х. Розов // Вестн. Моск. ун-та. Вычисл.матем. и киберн. 1978. - Сер. 15, № 1. - С. 82-90.

96. Понтрягин, JI.C. К теории дифференциальных игр / JI.C. Понтрягин // Успехи мат. наук. 1966. - Т.21, №4. - С. 219-274.

97. Понтрягин, JI.C. О линейных дифференциальных играх. I / JI.C. Понтрягин // Докл. АНСССР. 1967. - Т. 174, № 6. - С. 1278-1281.

98. Понтрягин, JI.C. О линейных дифференциальных играх. II / JI.C. Понтрягин // Докл. АНСССР. 1967. - Т. 175. - № 4. - С. 764-766.

99. Математическая теория оптимальных процессов / JI.C. Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф.Мищенко. М.: Наука, 1961. - 391с.

100. Понтрягин, JI.C. Задача об убегании одного управляемого объекта от другого / JI.C. Понтрягин, Е.Ф.Мищенко // Докл. АН СССР. 1969. -Т. 189, № 4. - С. 721-723.

101. Понтрягин, JI.C. Задача об уклонении от встречи в линейных дифференциальных играх / JI.C. Понтрягин, Е.Ф.Мищенко // Дифференциальные уравнения. 1971. - Т. 7, № 3. - С. 436-445.

102. Попова, С.Н. Согласованные системы и управление показателями Ляпунова / С.Н. Попова, Е.Л. Тонков // Дифференц. уравнения. 1997. -Т.ЗЗ, № 2. - С. 226-235.

103. Пшеничный, Б.Н. Структура дифференциальных игр / Б.Н. Пшеничный // Докл. АН СССР. 1969. - Т. 184, №2. - С. 285-287.

104. Пшеничный, Б.Н. Дифференциальные игры / Б.Н. Пшеничный, В.В. Остапенко. Киев: Наукова думка, 1992. - 260с.

105. Пшеничный, Б.Н. О дифференциальных играх с фиксированным временем / Б.Н.Пшеничный, М.И. Сагайдак // Кибернетика. 1970. - №2. - С. 54-63.

106. Сесекин, А.Н. Динамические системы с нелинейной импульсной структурой: автореф. дис. докт. физ.-мат. наук: 01.01.02 / А.Н. Сесекин. Екатеринбург, 1997г. 35с.

107. Субботин, А.И. Экстремальные стратегии в дифференциальных играх с полной памятью / А.И. Субботин // Докл. АН СССР. 1972. - №1. - С.3-8.

108. Субботин, А.И. Экстремальные стратегии в дифференциальных играх: дис. докт. физ.-мат. наук. / А.И. Субботин. Свердловск, 1973. - 174с.

109. Субботин, А.И. К вопросу обоснования метода динамического программирования в задаче оптимального управления / А.И. Субботин, Н.Н. Субботина // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1983. - № 2.1. С.24-32.

110. Субботин, А.И. Оптимизация гарантии в задачах управления / А.И. Субботин, А.Г. Ченцов. М.: Наука, 1981. - 288с.

111. Тарасьев, A.M. Аппроксимационные схемы построения минимаксных решений уравнений Гамильтона-Якоби / A.M. Тарасьев // ПММ. 1994. — Т. 58, вып. 2. С. 22-36.

112. Тарасьев, A.M. О построении стабильных мостов в линейной игре сближения-уклонения / A.M. Тарасьев, В.Н. Ушаков. Свердловск, 1983. - 61 с. - Деп. в ВИНИТИ, №2454-83.

113. Тарасьев, A.M. Об одном вычислительном алгоритме решения игровых задач управления / A.M. Тарасьев, В.Н. Ушаков, А.П. Хрипунов // ПММ. — 1987. Т. 51, вып. 2. - С. 216-222.

114. Толстоногое, А.А. К вопросу о решениях уравнения интегральной воронки дифференциального включения / А.А. Толстоногое // Дифференц. уравнения. 1984. - Т. 20, № 2. - С. 358-359.

115. Тонков, E.JI. Задачи управления показателями Ляпунова / Е.Л. Тонков // Успехи мат. наук. 1998. - Т. 53, вып. 4(322). - С. 146.

116. Тонков, Е.Л. Равномерная локальная управляемость и стабилизация нелинейной рекуррентной системы / Е.Л. Тонков // Дифференц. уравнения. 1982. - Т. 18, №5. - С.908-990.

117. Ухоботов, В.И. Непрерывная игра в пространстве с неполной линейной структурой / В.И. Ухоботов // Теория и системы упр. 1997. - №2. — С.107-109.

118. Ухоботов, В.И. Синтез гарантированного управления на основе аппроксимирующей схемы / В.И. Ухоботов // Тр. ИММ УрО РАН. — Екатеринбург, 2000. Т. 6, №1.- С. 239-246.

119. Ухоботов, В.И. К построению стабильного моста в игре удержания / В.И. Ухоботов // ПММ. 1981. - Т. 45, вып. 2. - С. 236-240.

120. Ушаков, В.Н. О приближенном построении решений в игровых задачах управления / В.Н. Ушаков, А.П. Хрипунов // ПММ. 1997. - Т. 61, вып. 3. С. 413-421.

121. Ушаков, В.Н. К задаче построения стабильных мостов в дифференциальной игре сближения-уклонения / В.Н. Ушаков // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1980. - №4. - С. 29-36.

122. Хрипунов, А.П. Построение областей достижимости и стабильных мостов в нелинейных задачах управления: дис. канд. физ.-мат. наук: 01.01.02. / А.П. Хрипунов. Екатеринбург, 1992. - 140с.

123. Ченцов, А.Г. Итерационная программная конструкция для дифференциальной игры с фиксированным моментом окончания / А.Г. Ченцов // Докл. АН СССР. 1978. - Т. 240, №1. - С. 796-800.

124. Черноусько, Ф.Л. Оценивание фазового состояния динамических систем / Ф.Л. Черноусько. М.: Наука, 1988. - 319с.

125. Черноусько, Ф.Л. Эллипсоидальная аппроксимация множеств достижимости линейной системы с неопределенной матрицей / Ф.Л. Черноусько // ПММ. 1996. - Т. 60, вып. 6. - С. 940-950.

126. Черноусько, Ф.Л. Манипуляционные роботы: динамика, управление, оптимизация / Ф.Л. Черноусько, Н.Н. Болотник, В.Г. Градецкий. М: Наука, 1998.-368с.

127. Черноусько, Ф.Л. Игровые задачи управления и поиска / Ф.Л. Черноусько, А.Л. Меликян. М.: Наука, 1976.

128. Черноусько, Ф.Л. Оптимальное управление при случайных возмущениях / Ф.Л. Черноусько., В.Б. Колмановский. М: Наука, 1978.

129. Черноусько, Ф.Л. Вычислительные и приближенные методы оптимального управления / Ф.Л. Черноусько., В.Б. Колмановский // Итоги науки и техники. Математический анализ. 1977. - Т. 14.

130. Чикрий, А.А. Нелинейная задача об уклонении от встречи с терминальным множеством сложной структуры / А.А. Чикрий // ПММ. -1975. Т.39, вып. 1. - С. 3-11.

131. Чикрий, А.А. Групповое преследование в дифференциально-разностных играх / А.А. Чикрий, Г.Ц. Чикрий // Дифференц. уравнения. 1984.

132. Алгоритмы и программы решения линейных дифференциальных игр /Под ред. А.И.Субботина и В.С.Пацко. Свердловск: ИММ УрО АН СССР, 1984.-295с.

133. Akbin, I. Monotone invariant solutions to differential inclusions /1. Akbin, F. Clarke // J.London Math. Soc. 1977. -V. 16. - P.357-366.

134. Ananevskii, I.M. Syntesis of a continuous control of a rheonomic mechanical system / I.M. Ananevskii // Appl. Math. Mech.- 2003.- V.67, №2.- P. 143-156.

135. Nonsmooth Analysis and Control Theory / F.H. Clarke, Yu.S. Ledyaev, R.J.

136. Stern, P.R. Walenski. -N.Y.: Springer, 1998. 278p.

137. Chentsov, A.G. Asymptotic attainability / A.G. Chentsov. Dordrecht: Kluwer, 1997. -322p.

138. Fleming, W.H. The Convergence Problem of Differential Games / W.H. Fleming //J. Math. Annal and Appl. 1961. - V. 3.- P. 102-116.

139. Fleming, W.H. The Convergence Problem of Differential Games II / W.H. Fleming // Adv. in Game Theory. Princeton: Princeton Univ. Press, 1964. -P. 195-210.

140. Haddad, G. Monotone trajectories of differential inclusions and functional-differential inclusions with memory / G. Haddad // Israel J. of Math. — 1981. — V. 81.-P. 83-100.

141. Kalman, R. Mathematical Description of Linear Dynamical Systems / Kalman R. // J.SIAM. 1963. - Ser. A., Control 1.

142. Kalman, R. Controllability of Linear Dynamical Systems. / R. Kalman, Y.C. Ho, Narendra. // Contrib. Diff. Equations. 1963. - V. 1, № 2.

143. Kostousova, E.K. Control sunthesis via parallelotopes: optimization and parallel computations / E.K. Kostousova // Optimization. Methods and Software.-2001.-V. 14.-P. 267-310.

144. Krasovskii, A.N. Control under Lack of Information. / A.N. Krasovskii, N.N. Krasovskii. Berlin etc: Birkhauser, 1995. - 322p.

145. Kryazhimskii, A.V. Input reconstructiblity for linear dynamics / A.V. Kryazhimskii, Yu.S. Osipov. Ordinary differential equation (Working paper IIASA; WP-93-65). - Luxenburg, 1993. - 28c.

146. Kurzhanski, A.B. Identification: A Theory of Guaranteed Estimates / A.B. Kurzhanski // From Data to Model. Berlin etc: Springer-Verlag, 1989.

147. Kurzhanski, A.B. The principle of optimality in measurement feedback control for linear systems / A.B. Kurzhanski // Directions in Mathematical Systems Theory and Optimization Eds. A.Rantzer and Ch.Byrhes. Berlin: Springer, 2003.-P.l 93-202.

148. Kurzhanski, A.B. Ellipsoidal Calculus for Estimation and Control / A.B.

149. Kurzhanski, I. Valyi. Boston: Birkhauser, 1997. - 321p.

150. Kurzhanski, A.B. Reachability analysis for uncertain systems the ellipsoidal technique / A.B. Kurzhanski, P. Varaiya // Dynamics of continuous, discrete and impulsive systems. Ser. B. - 2002. - V.9, №3. - P. 347-367.

151. Osipov, Yu.S. On dynamical restoration of parameters of elliptic systems / Yu.S.Osipov, A.I. Korotkii // Некорректно поставленные задачи в естественных науках. М., 1992. - С. 108-117.

152. Quincampoix, М. Differential inclusions and target problems / M. Quincampoix // SIAM J. Control and Optim. 1992. - V.30.2. - P. 324-335.

153. Subbotin, A.I. Generalized Characteristics of First-Order Partial Differential Equations. / A.I. Subbotin. Rapp. Montreal Univ. Montreal, 1993. - №3, CRM-1848. -43p.

154. Subbotin, A.I. Generalized Solution of First-Order PDEs. The Dynamical Optimization Perspective / A.I Subbotin. Boston: Birkhauser, 1995. 312p.