Конструирование решений в задачах динамики систем на конечном промежутке времени тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Зимовец, Артем Анатольевич

• Зимовец, Артем Анатольевич
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Зимовец, Артем Анатольевич

Содержание

Введение

1 Свойства слабой инвариантности и инвариантности множеств относительно дифференциального включения

1.1 Слабо инвариантные и инвариантные множества относительно дифференциального включения

1.2 Дефект слабой инвариантности множества относительно дифференциального включения

1.3 Дефект инвариантности множества относительно дифференциального включения

1.4 Примеры

1.4.1 Пример расчета дефекта слабой инвариантности

1.4.2 Пример расчета дефекта инвариантности

2 Построение множеств достижимости управляемых систем

2.1 Сеточный метод построения множеств достижимости

2.2 Операция овыпукления в сеточном методе построения множеств достижимости

2.3 Метод приграничного слоя

2.4 Оптимизированный метод приграничного слоя

2.5 Структуры данных для представления сеточных множеств

2.5.1 Представление сеточных множеств с использованием множества граничных точек

2.5.2 Представление сеточных множеств с использованием многоуровневой битовой карты

2.6 Алгоритмы работы с сеточными множествами

2.6.1 Алгоритм построения симплициального комплекса с вершинами в точках сеточного множества

2.6.2 Алгоритмы аппроксимации симплексов точками сеточного множества

2.6.3 Алгоритм приближенного построения выпуклой оболочки

2.6.4 Алгоритмы вычисления расстояний между сеточными множествами

2.7 Примеры

2.7.1 Задача построения множества достижимости управляемой системы на плоскости

2.7.2 Задача остановки вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной точки

Заключение

Список цитированной литературы

128

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Конструирование решений в задачах динамики систем на конечном промежутке времени»

Введение

Актуальность темы исследования

В диссертации изучаются вопросы, связанные с моделированием поведения динамических систем, представимых в виде системы дифференциальных уравнений с параметром, величиной которого можно управлять, или соответствующего ей дифференциального включения (д. в.). Изучение всех возможных вариантов поведения таких систем приводит нас к важным для теории и практики понятиям множества достижимости и интегральной воронки управляемой системы.

Как оказалось, задача построения множеств достижимости и интегральных воронок тесно связана с задачами о сближении управляемых систем в различных постановках, рассматриваемыми в математической теории управления. В этих задачах требуется из множества различных траекторий выделить ту, которая переводит моделируемый объект из заданного начального состояния в конечное и при этом удовлетворяет определенному критерию качества.

Современный облик математической теории управления в значительной степени определился работами выдающихся отечественных математиков JI.C. Понтрягина и H.H. Красовского. Большой вклад в развитие этой теории внесли В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, А.Б. Куржанский, A.B. Кряжим-ский, Е.Ф. Мищенко, Ю.С. Осипов, А.И. Субботин, Ф.Л. Черноусько, их сотрудники и ученики. Среди зарубежных исследователей, внесших весомый вклад в развитие теории, отметим Р. Айзекса, Р. Беллмана, Р. Калмана, Дж. Лейтмана, У. Флеминга и других.

Задача о сближении управляемой системы (или д. в.) с заданным целевым множеством в фиксированный момент времени — одна из ключевых задач в математической теории управления. С ней связаны другие важные задачи, такие, например, как задача об оптимальном быстродействии или задача о сближе-

нии управляемой системы с целевым множеством не позже фиксированного момента времени. К этой задаче также можно свести и многие другие задачи динамики систем, имеющие важное прикладное значение.

Существует несколько подходов для решения таких задач.

Один из них основан на применении принцииа максимума Л.С. Понтря-гина [2,4,6,7,11,19,35,37,69,96]. Принцип максимума Л.С. Понтрягина позволил исследовать и получить решение многих прикладных задач, которые не укладывались в рамки вариационного исчисления. Подход к решению задач, основанный на применении принципа максимума, используется, в основном, для решения задач оптимального управления, в которых управляемая система описывается векторным дифференциальным уравнением с правой частью, обладающей определенной степенью гладкости. Как хорошо известно, этот подход оказался эффективным при исследовании и решении многих задач механики, математики и экономики.

Другой подход к решению задач математической теории управления, теории дифференциальных игр и, в частности, упомянутой здесь задачи о сближении основан на использовании множеств разрешимости при конструировании решений [31,49,52-55,58,78,80-82,93,94,97,98,108,115,116,157]. При этом под множеством разрешимости понимаем множество исходных позиций управляемой системы, из которых разрешима задача о сближении.

Как известно, множество разрешимости в задаче о сближении слабо инвариантно относительно управляемой системы, и для тех исходных позиций системы, которые принадлежат множеству разрешимости, существует эффективная процедура управления с поводырем (см. [51,54,108]), обеспечивающая попадание движения системы на целевое множество. Процедура основана на отслеживании поводыря, движущегося в множестве разрешимости вплоть до встречи с целевым множеством. При этом существенно используется свойство слабой инвариантности множества разрешимости относительно управляемой системы.

Можно сказать, что это свойство является центральным при реализации этой процедуры. Основная тяжесть здесь ложится на выделение множества разрешимости в пространстве позиций. К сожалению, его удается выделить (точно) или описать аналитически далеко не всегда; мы вынуждены поэтому конструировать множество разрешимости приближенно.

В результате приближенного конструирования получаем множество в пространстве позиций, не обладающее свойством слабой инвариантности - дефектное множество. При этом, естественно, возникает вопрос о том, в какой мере сконструированное множество не обладает свойством слабой инвариантности. Эта мера влияет на точность приведения движений управляемой системы на целевое множество из начальных позиций, принадлежащих сконструированному множеству. В главе I диссертации для аккуратной постановки этого вопроса и ответа на него вводится некоторая числовая характеристика, оценивающая эту меру сверху — дефект слабой инвариантности множества (см. 1118]). Эта характеристика оценивает сверху степень несогласованности эволюции (временных) сечений множества и динамики системы с точки зрения понятия слабой инвариантности. Тематика первой главы примыкает к работам [119-121,187].

Множество разрешимости в задаче о сближении управляемой системы (или д. в.) в конечный момент времени может быть представлено в терминах так называемого «обратного» времени как начинающаяся на целевом множестве интегральная воронка управляемой системы (или д. в.), но выраженная в терминах «обратного» времени. Множество разрешимости в этой задаче удобнее всего конструировать как упомянутую интегральную воронку, имеющую начальным множеством целевое множество задачи о сближении.

Интегральные воронки управляемых систем и дифференциальных включений обладают свойством (сильной) инвариантности; это свойство используется при конструировании интегральных воронок. При этом при пошаговом (по времени) конструировании интегральных воронок оно выступает как полу-

групповое свойство множеств достижимости управляемых систем. Для нетривиальных управляемых систем интегральные воронки удается сконструировать лишь приближенно. В связи с этим возникает вопрос, аналогичный тому, который возникал относительно аппроксимаций множеств разрешимости в задаче о сближении: «В какой мере построенное приближение интегральной воронки является инвариантным множеством (относительно соответствующей динамической системы)?»

Таким образом, мы отметили два подхода к решению задач управления и, в частности, задачи о сближении с целевым множеством в конечный момент времени. Мы отметили, что тот подход к построению решений задачи о сближении, который основан на вычислении множеств разрешимости, тесно связан с понятиями инвариантности и слабой инвариантности. Реализация его в конкретных задачах о сближении осуществляется в два этапа: первый этап — конструирование множеств разрешимости как соответствующих обладающих свойством инвариантности интегральных воронок динамической системы (управляемой системы или д. в.), выраженной в «обратном» времени; второй этап — реализация процедуры построения разрешающего управления в «прямом» времени, использующей сконструированное множество разрешимости и его слабую инвариантность относительно динамической системы. Поскольку во многих случаях интегральные воронки не удается выделить точно, то возникает потребность в разработке эффективных численных методов построения интегральных воронок управляемых систем.

Степень разработанности темы

Свойства слабой инвариантности и инвариантности и связанные с ними задачи удержания движений динамической системы на замкнутом множестве W в пространстве позиций изучались в работах отечественных и зарубежных математиков А.Б. Куржанского, А.И. Субботина, Т.Ф. Филипповой, E.JI. Тон-кова, В.А. Дыхты, В.Н. Ушакова, Х.Г. Гусейнова, J.-P. Aubin, P. Saint-Pierre,

M. Quincampoix, Z. Kannai, P. Tallos, G. Hacldacl и многих других [3,5,24,25,33, 36,60,66-68,75,88,104,112, ИЗ, 128,137-139,150,158,161,165,166,170,181].

Отметим также полезные для теории интегральных воронок динамических систем исследования Е.С. Половинкина и его сотрудников [89,90,92], в которых многие важные задачи изучаются с активным использованием конструкций негладкого и выпуклого анализа и, в том числе, касательных конусов Булигана и Кларка.

По видимому, не случайно интерес к изучению свойства слабой инвариантности проявился впервые в 40-е годы XX века. Одной из первых известных работ, посвященных изучению этого свойства, явилась работа М. Нагумо [175[, в которой получен критерий слабой инвариантности для обыкновенных векторных дифференциальных уравнений вида х — f(x), где f{x)— однозначная функция. Отметим и другие работы, посвященные слабой инвариантности, в которых рассматривались динамические системы с однозначной правой частью [145,152,180]. В 1975 г. Ф. Кларком было рассмотрено д. в. с многозначной правой частью и получен критерий слабой инвариантности (см. [149]).

Серьезное внимание в 70-е - 80-е годы XX века уделялось исследованию инвариантности в линейных управляемых системах. Эти исследования велись как отечественными, так и зарубежными математиками [135,141]. Отметим монографию М. Уонэма «Линейные многомерные системы управления», «Наука», 1980 г. [114], в которой рассматривались различные задачи управления линейными системами на основе геометрического подхода и, в частности, изучалась проблема инвариантности линейных систем к возмущениям.

В 80-е - 90-е годы XX века тематика слабо инвариантных и инвариантных множеств получила дальнейшее развитие, которое было связано с применением конструкций негладкого анализа в теории дифференциальных включений (см. [3,20,28,29,32,33,38,40,68,92,104,106,107,111]). Отметим здесь работу G. Haddad [158], в которой был получен критерий слабой инвариантности в

инфинитезимальной форме, связывающий правую часть дифференциального включения с конусом касательных направлений Булигана.

Тематика главы I близка к работам Х.Г. Гусейнова, А.И. Субботина, H.H. Субботиной, В.Н. Ушакова [24,27-29,157,186], в которых изучалось свойство u-стабильности в игровой задаче о сближении. Свойство u-стабильности в позиционных дифференциальных играх представляет собой свойство слабой инвариантности множеств в пространстве позиций игры относительно некоторого набора дифференциальных включений, связанного с динамикой конфликтно-управляемой системы. Это свойство, являющееся ключевым в теории позиционных дифференциальных игр, было введено в конце 60-х - начале 70-х годов в работах H.H. Красовского и А.И. Субботина [46, 50, 53]. Оно представлено в известной монографии H.H. Красовского и А.И. Субботина «Позиционные дифференциальные игры», «Наука», 1974 г. [54]. Именно эти исследования H.H. Красовского л А.И. Субботина индуцировали появление работ [105-108,157], посвященных инфинитезимальному описанию и-стабильных множеств.

Важное направление в математической теории управления, посвященное исследованию трубок (ансамблей) траекторий динамических систем, было развито A.B. Куржанским и его сотрудниками Т.Ф. Филипповой, О.И. Никоновым и др. Исследования в этом направлении посвящены созданию теории трубок траекторий управляемых систем [59,67,68]. В частности, изучались смежные задачи о построении прямых и попятных областей достижимости, образующих инвариантные множества соответствующих динамических систем с многозначными состояниями.

Одной из первых работ, посвященных задачам управления при наличии фазовых ограничений на управляемую систему, является работа A.B. Кур-жанского и Ю.С. Осипова [64]. Рассмотрение управляемых систем, стесненных фазовыми ограничениями, повлекло за собой изучение трубок траекто-

рий, выживающих относительно фазового ограничения. Введенный в работах [59,63,166,168] новый класс эволюционных уравнений (/ц.-уравнений) оказался полезным при описании ряда множеств и многозначных отображений, возникающих в математической теории управления и, в том числе, при описании внутренних и внешних оценок трубок траекторий и множеств достижимости управляемых систем. Это описание оказалось также полезным при разработке алгоритмов аппроксимации множеств достижимости эллипсоидами и полиэдрами.

Вопросам описания эволюции множеств достижимости управляемых систем и дифференциальных включений носвящсны работы A.A. Толстоного-ва [109,111] и А.И. Панасюка [84].

Понятие слабой инвариантности связано с теми задачами, в которых то или иное множество обладает способностью удерживать в себе хотя бы одну траекторию управляемой системы, т. е. с задачами выживаемости. Однако во многих современных задачах от множеств и управляемых систем не требуется выполнения такого жесткого условия как удержание траекторий на множестве в течение всего промежутка времени. Требуется лишь, чтобы для каждого промежутка времени существовали траектории, проводящие в множестве некоторую достаточно большую долю времени и при этом с увеличением длины промежутка эта доля стремилась к единице. Такое требование соответствует широкому кругу задач управления, встречающихся на практике. Этим обусловлено появление новых вариантов определения слабо инвариантных и инвариантных множеств. Так, относительно недавно в работах Е.Л. Тонкова, Е.А. Панасенко и Л.И. Родиной [83,102] было введено понятие статистически слабо инвариантного множества относительно управляемой системы. Параллельно с этим понятием в задачах управления с более жесткими требованиями, предъявляемыми к управлениям, было введено в работах [101,102] понятие множества, статистически инвариантного относительно управляемой системы. В работе [100] дано

подробное изложение результатов исследований, относящихся к статистически слабо инвариантным и статистически инвариантным множествам.

Опыт, накопившийся при решении задачи вычисления множеств достижимости, подтверждает, что точное вычисление множеств достижимости или их аналитическое описание возможны, как правило, для простых задач, тех, в которых управляемые системы имеют относительно простую динамику. Подавляющее же большинство задач таковыми не являются. Возникает необходимость в разработке методов и алгоритмов приближенного вычисления множеств достижимости.

Разработка методов и алгоритмов приближенного вычисления множеств достижимости, в свою очередь, стимулирует изучение различных теоретических вопросов, относящихся к множествам достижимости и интегральным воронкам. Изучение этих вопросов способствует разработке эффективных алгоритмов приближенного вычисления множеств достижимости. Так, изучаются геометрическая структура множеств достижимости и интегральных воронок управляемых систем и дифференциальных включений (выпуклость, невыпуклость, гладкость границы множества достижимости и т. д.); топологические характеристики множеств достижимости (замкнутость, ограниченность, связность, размерность и т. д.); вопросы, касающиеся описания границы множеств достижимости [6,8,12-14,16,30,69,96,110,124-126,130,153].

Опишем подробнее проблематику, связанную с приближенными вычислениями множеств достижимости управляемых систем на конечном промежутке времени.

В настоящее время имеются несколько различных подходов, ведущих к эффективному приближенному вычислению множеств достижимости. Укажем некоторые из них.

1. Аппроксимация множеств достижимости эллипсоидами в фазовом пространстве управляемой системы;

2. Аппроксимация множеств достижимости многоугольниками и полиэдрами;

3. Аппроксимация множеств достижимости наборами пикселей (вокселей) в фазовом пространстве.

Следует отметить, что научные исследования по тематике аппроксимаций множеств достижимости управляемых систем эллипсоидами ведутся, начиная с 70-х годов XX века, в научных школах А.Б. Куржанского и Ф.Л. Черноусько.

В этих школах создана солидная теоретическая платформа для разработки алгоритмов приближенного вычисления множеств достижимости и интегральных воронок [15,21-23,79,127,132 134,167,169], на базе которой разработаны алгоритмы и программы, позволяющие проводить эффективные приближенные вычисления для определенных классов управляемых систем (см., например, [129]). Сотрудниками A.B. Куржанского ведутся также работы по аппроксимации множеств достижимости полиэдрами. Здесь отметим работы Е.К. Костоусовой [43-45] по аппроксимации множеств достижимости полиэдрами, сочетающие в себе приближенные вычисления с теоретическими обоснованиями.

Тематике полиэдральных аппроксимаций (аппроксимаций, основанных на использовании спмплициальных комплексов) посвящены также работы В.Н. Ушакова и А.П. Хрипунова [122,131].

В 70-е - 80-е годы XX века значительное место в математической теории управления занимали задачи управления и наблюдения, относящиеся к различного рода линейным управляемым системам, в том числе и задачи, связанные с проблематикой конструирования множеств достижимости линейных управляемых систем. Здесь отметим известные монографии H.H. Красовского [47,48] и работы [56,61,62,65,70].

Параллельно проводилась разработка алгоритмов приближенного вычисления множеств достижимости нелинейных управляемых систем на плоскости.

Их основу составляла аппроксимация множеств достижимости невыпуклыми многоугольниками, которые во многих задачах, таких как, например, задача об управлении сферическим маятником, имеют непростую геометрию. При работе с такими многоугольниками возникает потребность в эффективных алгоритмах, реализующих пересечение, объединение и алгебраические суммы многоугольников. Потребность в разработке таких алгоритмов возникает не только в математической теории управления, но и в компьютерной графике, в теории распознавания образов и т. д. Здесь укажем близкую к нам работу В.А. Вах-рушева, A.M. Тарасьева, В.Н. Ушакова [17], результаты которой были использованы не только при решении задач управления нелинейными системами на плоскости, но и при решении задач теории дифференциальных игр. Отметим кандидатскую диссертацию А.П. Хрииунова [131|, а также работы B.C. Пацко и его сотрудников, относящиеся к построению множеств достижимости конкретных управляемых систем размерности выше двух (см. [9,10,57,86,87]).

Несколько позже в работе Х.Г. Гусейнова, А.Н. Моисеева и В.Н. Ушакова [26] был предложен пиксельный метод приближенного вычисления множеств достижимости нелинейных управляемых систем на конечном промежутке времени и обоснована его корректность.

В начале 2000-х годов исследования В.Н. Ушакова, A.M. Тарасьева и их учеников А.П. Хрипунова и В.А. Вахрушева были продолжены в работах A.A. Незнахина [74,75] и А.Р. Матвийчука [71,72], посвященных задачам выживаемости управляемых систем и задачам управления протяженными объектами, представляющим один из важных классов задач математической теории управления и часто встречающимся в экологии, экономике и технике.

При этом в работах [71,72] развита техника приближенного вычисления множеств достижимости па базе приближенного представления множеств достижимости многоугольниками на плоскости.

Работы [74, 75] основаны на методах приближенного вычисления, в ко-

торых используется пиксельное представление множеств в фазовом пространстве управляемой системы или дифференциального включения. Использование пиксельных представлений множеств достижимости и фазовых ограничений в задаче выживаемости существенно упрощает и унифицирует один из основных этапов процедуры построения аппроксимаций множеств достижимости в задаче выживаемости — построение аппроксимаций пересечения множества достижимости и фазового ограничения. К тому же пиксельный метод в принципе универсален в том смысле, что с помощью него легко реализуются теоретико-множественные операции пересечения, объединения, алгебраической суммы множеств, дополнения и т. д. Вопросы, касающиеся реализуемости этого метода, сводятся к вопросам о том, позволяют ли имеющиеся в нашем распоряжении ЭВМ реализовать упомянутые выше теоретико-множественные операции за приемлемое время. Дело в том, что при построении достаточно точных аппроксимаций в задаче выживаемости эти операции должны проводиться многократно с участием большого количества множеств, состоящих, как правило, из большого числа пикселей (вокселей). В связи с этим особенно актуальными стали методы, которые позволяют существенно сократить время вычислений.

Отмегим, что алгоритмы приближенного вычисления множеств достижимости автономных дифференциальных включений с локально лшпшщевой правой частью рассматривались в работах М.С. Никольского [76,77], В.А. Комарова и К.Э. Певчих [41]. В этих работах были предложены методы аппроксимации множеств достижимости и получены оценки скорости сходимости этих методов в метрике Хаусдорфа.

Цель работы

Цель диссертационной работы состоит в дальнейшем изучении свойств слабой инвариантности и инвариантности множеств относительно дифференциального включения, в расширении понятий слабой инвариантности и инвариантности, а также в разработке эффективных численных методов построения

множеств достижимости и интегральных воронок управляемых систем и дифференциальных включений.

Научная новизна

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Введены понятия дефекта слабой инвариантности и дефекта инвариантности множеств относительно дифференциального включения.

2. Показано, как, используя введенные понятия дефекта слабой инвариантности и дефекта инвариантности множества в пространстве позиций, расширить это множество до слабо инвариантного либо инвариантного множества с тем же самым начальным (временным) сечением.

3. Разработан численный метод приближенного построения множеств достижимости управляемых систем в пространстве К", основанный на аппроксимации множеств достижимости узлами заданной «кубической» сетки и применении техники ломаных Эйлера к дифференциальным включениям. В ходе вычислений используются только точки приграничных слоев рассматриваемых множеств. Обоснована сходимость разработанного численного метода.

4. Разработаны структуры данных для хранения множеств, состоящих из узлов заданной «кубической» сетки, позволяющие избежать непосредственного хранения информации о координатах каждой точки этих множеств.

Теоретическая и практическая значимость работы

Введенные в работе понятия дефекта слабой инвариантности и дефекта инвариантностн множеств относительно дифференциального включения позволяют расширить множества, не обладающие свойствами слабой инвариантности и инвариантности, до слабо инвариантных и инвариантных множеств с теми же самыми начальными (временными) сечениями. Множество, обладающее малым дефектом слабой инвариантности относительно заданного дифференциального включения, может быть использовано для организации процедуры управления, обеспечивающей решение задачи о сближении с целевым множеством в фазовом

пространстве в фиксированный момент времени. Эта процедура гарантирует для начальных позиций, принадлежащих множеству, существование движения управляемой системы (или д. в.), приходящего в упомянутый момент времени в малую окрестность целевого множества. Тем самым решается задача о сближении с целевым множеством в «ослабленной» постановке — задача о сближении движений управляемой системы (или д. в.) с малой окрестностью целевого множества. Таким образом, введение понятие дефекта слабой инвариантности расширяет наши возможности при построении решений ряда математических и прикладных задач управления.

Предложенный в работе численный метод приближенного вычисления множеств достижимости позволяет сократить объем вычислений за счет использования в ходе итерационного процесса только точек, расположенных вблизи границ рассматриваемых множеств, т. е. точек приграничного слоя. На базе предложенного метода разработан комплекс программ, позволяющий конструировать приближенные решения ряда задач управления и, в том числе, ряда задач о сближении с целевым множеством в фиксированный момент времени.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Зимовец, Артем Анатольевич

Заключение

Сформулируем кратко основные результаты диссертации.

1. Предложены способы расширения множеств, не являющихся слабо инвариантными либо инвариантными относительно заданного дифференциального включения, до слабо инвариантных и инвариантных множеств путем введения понятий дефекта слабой инвариантности и дефекта инвариантности множества.

2. Предложен метод приграничного слоя для приближенного вычисления множеств достижимости управляемых систем в пространстве Мп и обоснована его сходимость.

3. На основе предложенных в диссертации конструкций и методов создан комплекс программ, предназначенных для моделирования поведения динамических систем (управляемых систем или д. в.), основу которого составляют схемы приближенного вычисления множеств достижимости. Проведены численные расчеты в ряде примеров.

Перспективы дальнейшего развития темы состоят в разработке параллельных алгоритмов решения поставленных задач, а также создании принципиально новых методов вычисления множеств достижимости.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Зимовец, Артем Анатольевич, 2013 год

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Айзеке, Р. Дифференциальные игры [Текст] / Р. Айзеке. — М.: Мир, 1967. - 479 с.

2. Арутюнов, A.B. Принцип максимума Понтрягина. Доказательство и приложения [Текст] / A.B. Арутюнов, Г.Г. Магарил-Ильяев, В.М. Тихомиров. — М.: Изд-во «Факториал Пресс», 2006. — 144 с.

3. Асеев, С.М. Гладкие аппроксимации дифференциальных включений и задача быстродействия [Текст] / С.М. Асеев // Тр. мат. ин-та АН СССР им. В.А. Стеклова. - 1991. - Т. 200. - С. 27-34.

4. Афанасьев, В.Н. Математическая теория конструирования систем управления [Текст]: Учеб. для вузов / В.Н. Афанасьев, В.Б. Колмановский, В.Р. Носов. — 3-е изд., исир. и доп. — М.: Высш. шк., 1989. — 447 с.

5. Баранов, В.Н. Задачи выживания для систем с последействием [Текст]: дис. ...канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 / В.Н. Баранов. — Ижевск, 2003. — 109 с.

6. Благодатских, В.И. Дифференциальные включения и оптимальное управление [Текст] / В.Н. Благодатских, А.Ф. Филиппов // Тр. МИАН им. В.А.Стеклова. - 1985. - Т. 169. - С. 194-252.

7. Болтянский, В.Г. Математические методы оптимального управления [Текст] / В.Г. Болтянский. - М.: Наука, 1969. - 408 с.

8. Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений [Текст] / Ю.Г. Борисович [и др.]. — Изд. 2-е, испр. и доп. — М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2011. - 224 с.

9. Боткин, Н.Д. Численное построение сечений множеств позиционного поглощения в линейной дифференциальной игре [Текст] / Н.Д. Боткин //

Алгоритмы и программы решения линейных дифференц. игр. / УНЦ АН СССР. - Свердловск: 1984. - С. 5-38.

10. Боткин, Н.Д. Позиционное управление в линейной дифференциальной игре [Текст] / Н.Д. Боткин, B.C. Пацко // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. - 1983. - № 4. - С. 78-85.

11. Брайсон, А. Прикладная теория оптимального управления |Тексгг] / А. Брайсон, Хо Ю-ши. — М.: Мир, 1972. - 544 с.

12. Булгаков, А.И. Асимптотическое представление множеств ¿-решений дифференциального включения [Текст] / А.И. Булгаков // Матем. заметки. - 1999. - Т. 65, вып. 5. - С. 775-779.

13. Булгаков, А.И. Интегральные включения с невыпуклыми образами и их приложения к краевым задачам дифференциальных включений [Текст] / А.И. Булгаков // Матем. сб. - 1992. - Т. 183, № 10. - С. 63-86.

14. Бутковский, А.Г. Метод интегральных воронок дифференциальных включений для исследования управляемых систем [Текст] / А.Г. Бутковский // Дифференциальные уравнения. — 1986. — Т. 21, № 8. — С. 13041313.

15. Варайя, П. Эллипсоидальные методы для задач динамики и управления [Текст[ / П. Варайя, А.Б. Куржанский // Современная математика и ее приложения. - 2005. - Т. 23. - С. 34-72.

16. Варга, Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями [Текст] / Дж. Варга. — М.: Наука, 1977. — 624 с.

17. Вахрушев, В.А. Алгоритмы построения пересечения и объединения множеств на плоскости [Текст] / В.А. Вахрушев, A.M. Тарасьев, В.Н. Ушаков // Управление с гарантированным результатом. — Свердловск: ИММ УНЦ АН СССР. - 1987. - С. 28-36.

18. Галанин М.П. Методы численного анализа математических моделей [Текст] / М.П. Галанин, Е.Б. Савенков. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2010. - 591 с.

19. Гамкрелидзе, Р.В. Основы оптимального управления [Текст] / Р.В. Гам-крелидзе. — Тбилиси: Изд-во Тбилисского университета, 1977. — 254 с.

20. Гончаров, В.В. О существовании решений одного класса дифференциальных включений на компактном множестве [Текст] / В.В. Гончаров // Сиб. матем. журн. - 1990. - Т. 31, № 5. - С. 24-30.

21. Гусев, М.И. Внешние оценки множеств достижимости нелинейных управляемых систем [Текст] / М.И. Гусев // Автоматика и телемеханика. — 2012. - № 3. - С. 39-51.

22. Гусев, М.И. Оценки множеств достижимости многомерных управляемых систем с нелинейными перекрестными связями ]Текст] / М.И. Гусев // Тр. ИММ УрО РАН. - 2009. - Т. 15, № 4. - С. 82-94.

23. Гусев, М.И. Оценки погрешности для множеств достижимости управляемых систем с фазовыми ограничениями [Текст] / М.И. Гусев // Тр. ИММ УрО РАН. - 2006. - Т. 12, № 2. - С. 64-77.

24. Гусейнов, Х.Г. О свойствах стабильных мостов в задаче сближения [Текст] / Х.Г. Гусейнов // Автоматика и телемеханика. — 1993. - № 5. -С. 27-35.

25. Гусейнов, Х.Г. Сильно инвариантные множества относительно дифференциального включения и задача сближения для разрывных систем управления [Текст] / Х.Г. Гусейнов // Дифференциальные уравнения. — 1992. — Т. 28, № 9. - С. 1490-1498.

26. Гусейнов, Х.Г. Об аппроксимации областей достижимости управляемых систем [Текст] / Х.Г. Гусейнов, А.Н. Моисеев, В.Н. Ушаков // Прикладная математика и механика - 1998. - Т. 62, № 2. - С. 179-187.

27. Гусейнов, Х.Г. Стабильные мосты в дифференциальной игре сближения и их производные [Текст] / Х.Г. Гусейнов, А.И. Субботин, В.Н. Ушаков // Тезисы докладов V Всесоюзн. конф. «Управление в механических системах». — Казань, 1985. — С. 38.

28. Гусейнов, Х.Г. Сильно и слабо инвариантные множества относительно дифференциального включения [Текст] / Х.Г. Гусейнов, В.Н. Ушаков // Докл. АН СССР. - 1988. - Т. 303, № 4. - С. 794-797.

29. Гусейнов, Х.Г. Сильно и слабо инвариантные множества относительно дифференциального включения, их производные и применение к задачам управления [Текст] / Х.Г. Гусейнов, В.Н. Ушаков // Дифференциальные уравнения. - 1990. - Т. 26, № 11. - С. 1888-1894.

30. Давыдов, A.A. Особенности границы достижимости в двумерных управляемых системах [Текст[ / A.A. Давыдов // Успехи мат. наук. — 1982. — Т. 37, № 3. - С. 183-184.

31. Дарьин, А.Н. Метод динамического программирования в задачах синтеза управлений [Текст] / А.Н. Дарьин, A.B. Куржанский // Труды международной конференции «Проблемы управления и приложения: техника, производство, экономика». — 2005. — Т. 2. — С. 51-65.

32. Демьянов, В.Ф. Недифференцируемая оптимизация [Текст] / В.Ф. Демьянов, Л.В. Васильев. — М.: Наука, 1981. — 384 с.

33. Демьянов, В.Ф. Основы негладкого анализа и квазидифференциальное исчисление [Текст] / В.Ф. Демьянов, A.M. Рубинов. — М.: Наука, 1990. — 431 с.

34. Дижевский, А.Ю. Общий подход к реализации методов построения три-ангуляций неявно заданных поверхностей, использующих разбиение пространства на ячейки [Текст] / А.Ю. Дижевский // Вычислительные методы и программирование. - 2007. - Т. 8. - С. 286-296.

35. Дикусар, B.B. Качественные и численные методы в принципе максимума [Текст] / В.В. Дикусар, A.A. Милютин. — М.: Наука, 1989. — 144 с.

36. Дыхта, В.А. Слабая инвариантность, оценки интегральных воронок и необходимые условия оптимальности в динамических системах с неограниченными и импульсными управлениями [Текст] / В.А. Дыхта, О.Н. Сам-сонюк, С.П. Сорокин // Вестник Бурятского государственного университета. - 2010. - Вып. 9. - С. 35-47.

37. Зеликин, М.И. Оптимальное управление и вариационное исчисление [Текст] / М.И. Зеликин. - М.: Изд-во МГУ, 1985. - 95 с.

38. Кларк, Ф. Оптимизация и негладкий анализ [Текст] / Ф. Кларк. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. — 280 с.

39. Колмогоров, А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа [Текст] / А.Н. Колмогоров, C.B. Фомин. — М.: Наука, 1976. — 544 с.

40. Комаров, В.А. Уравнение множеств достижимости дифференциальных включений в задаче с фазовыми ограничениями [Текст] / В.А. Комаров // Тр. мат. ин-та АН СССР им. В.А. Стеклова. - 1988. - Т. 185. - С. 116-125.

41. Комаров, В.А. Об одном методе аппроксимации множеств достижимости дифференциальных включений с заданной точностью [Текст] / В.А. Комаров, К.Э. Певчих // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. — 1991. — Т. 31, № 1. - С. 153-157.

42. Кормен, Т. Алгоритмы [Текст]: построение и анализ / Т. Кормен, Ч. Лей-зерсон, Р. Ривест. — М.: МЦНМО: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2004. -960 с.

43. Костоусова, Е.К. О внешних полиэдральных оценках для множеств достижимости систем с билинейной неопределенностью [Текст] / Е.К. Костоусова // Прикладная математика и механика. — 2002. — Т. 66, вып. 4. — С. 559-571.

44. Костоусова, E.K. О внешнем полиэдральном оценивании множеств достижимости в «расширенном» пространстве для линейных многошаговых систем с интегральными ограничениями на управление [Текст] / Е.К. Костоусова // Вычисл. технологии. — 2004. — Т. 9, № 5. — С. 54-72.

45. Костоусова, Е.К. Гарантированные оценки точности вычислений в задачах управления и оценивания [Текст] / Е.К. Костоусова, A.B. Куржан-ский // Вычисл. технологии. - 1997. - Т. 2, № 1. - С. 19-27.

46. Красовский, H.H. Игровые задачи динамики. I [Текст] / H.H. Красов-ский // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1969. - № 5. - С. 3-12.

47. Красовский, H.H. Игровые задачи о встрече движений [Текст] / H.H. Красовский. - М.: Наука, 1970. — 420 с.

48. Красовский, H.H. Теория управления движением [Текст] / H.H. Красовский. - М.: Наука, 1968. - 476 с.

49. Красовский, H.H. Управление динамической системой [Текст] / H.H. Красовский. — М.: Наука, 1985. — 518 с.

50. Красовский, H.H. Альтернатива для игровой задачи сближения [Текст] / H.H. Красовский, А.И. Субботин // Прикладная математика и механика. —

1970. - Т. 34, вып. 6. - С. 1005-1022.

51. Красовский, H.H. Аппроксимация в дифференциальной игре [Текст] / H.H. Красовский, А.И. Субботин // Прикладная математика и механика. -1973. - Т. 37, вып. 2. - С. 197-204.

52. Красовский, H.H. Дифференциальная игра наведения [Текст] / H.H. Красовский, А.И. Субботин // Дифференциальные уравнения. — 1970. — Т. 6, № 4. - С. 579-591.

53. Красовский, H.H. О структуре игровых задач динамики [Текст] / H.H. Красовский, А.И. Субботин // Прикладная математика и механика. —

1971. - Т. 35, выи. 1. - С. 110-122.

54. Красовский, H.H. Позиционные дифференциальные игры [Текст] / H.H. Красовский, А.И. Субботин. — М.: Наука, 1974. — 456 с.

55. Кряжимский, A.B. Дифференциально-разностная игра сближения с функциональным целевым множеством [Текст] / A.B. Кряжимский, Ю.С. Осипов // Прикладная математика и механика. — 1973. — Т. 37, вып. 1. — С. 3-13.

56. Кряжимский, A.B. О моделировании управления в линейной динамической системе [Текст] / A.B. Кряжимский, Ю.С. Осипов // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. - 1983. - № 2. - С. 51-60.

57. Построение множества разрешимости в задаче проводки самолета при ветровом возмущении [Текст1] / С.И. Кумков [и др.] // Динамические системы и проблемы управления, Сборник научных трудов, Тр. ИММ УрО РАН. — 2005. - Т. И, № 1. - С. 149-159.

58. Куржанский, А.Б. Альтернированный интеграл Понтрягина в теории синтеза управлений [Текст] / A.B. Куржанский // Труды МИАН. - 1999. — Т. 224. - С. 234-248.

59. Куржанский, А.Б. Об аналитическом описании множества выживающих траекторий дифференциальной системы [Текст] / А.Б. Куржанский // Успехи матема. наук. - 1985. - Т. 40, № 4. - С. 183-194.

60. Куржанский, А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности [Текст] / А.Б. Куржанский. — М.: Наука, 1977. — 392 с.

61. Куржанский, А.Б. К оптимизации управляемых систем при наличии ограничений. I [Текст] / А.Б. Куржанский, М.И. Гусев // Дифференциальные уравнения. - 1971. - Т. 7, № 9. - С. 1591-1602.

62. Куржанский, А.Б. К оптимизации управляемых систем при наличии ограничений. II [Текст] / А.Б. Куржанский, М.И. Гусев // Дифференциальные уравнения. - 1971. - Т. 7, № 10. - С. 1789-1800.

63. Куржанский, А.Б. Эволюционные уравнения для пучков траекторий синтезированных систем управления [Текст] / А.Б. Куржанский, О.И. Никонов // Доклады РАН. - 1993. - Т. 333, № 4. - С. 578-^81.

64. Куржанский, А.Б. К задаче управления с ограниченными фазовыми координатами [Текст] / А.Б. Куржанский, Ю.С. Осипов // Прикладная математика и механика. - 1968. - Т. 32, № 2. - С. 194-202.

65. Куржанский, А.Б. К управлению линейной системой обобщенными воздействиями [Текст] / А.Б. Куржанский, Ю.С. Осипов // Дифференциальные уравнения. - 1969. - Т. 5, № 8. - С. 1360-1370.

66. Куржанский, А.Б. Слабо инвариантные множества гибридных систем [Текст] / А.Б. Куржанский, П.А. Точилин // Дифференциальные уравнения. - 2008. - Т. 44, № И. - С. 1523-1533.

67. Куржанский, А.Б. Об описании множества выживающих траекторий дифференциального включения [Текст] / А.Б. Куржанский, Т.Ф. Филиппова // Докл. АН СССР. - 1986. - Т. 289, № 1. - С. 38-41.

68. Куржанский, А.Б. Об описании пучка выживающих траекторий управляемой системы [Текст] / А.Б. Куржанский, Т.Ф. Филиппова // Дифференциальные уравнения. - 1987. - Т. 23, № 8. - С. 1303-1315.

69. Ли, Э.Б. Основы теории оптимального управления [Текст] / Э.Б. Ли, JI. Маркус. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1972. — 576 с.

70. Лотов, A.B. Численный метод построения множеств достижимости для линейных управляемых систем с фазовыми ограничениями [Текст] / A.B. Лотов // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. — 1975. — Т. 15, № 1. — С. 67-78.

71. Матвийчук, А.Р. Задача об оптимальном по быстродействию управлении подвижным объектом на плоскости при наличии фазовых ограничений [Текст] / А.Р. Матвийчук // Изв. РАН. ТиСУ. - 2004. - № 1. - С. 89-95.

72. Матвийчук, А.Р. Задачи об управлении протяженными объектами на плоскости [Текст]: дис. ...канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 / А.Р. Матвийчук. — Екатеринбург, 2005. — 171 с.

73. Михалев, Д.К. Построение решений в дифференциальных играх на конечном промежутке времени и визуализация решений [Текст]: дис. ... канд. физ.-мат. наук: 05.13.18 / Д.К. Михалев. — Челябинск, 2009. — 206 с.

74. Ыезнахин, A.A. О построении ядра выживаемости для обобщенной динамической системы [Текст] / A.A. Незнахин // Деп. в ВИНИТИ 06.12.00 — № 3082-В00. - 22 с.

75. Незнахин, A.A. Сеточный метод приближенного построения ядра выживаемости для дифференциального включения [Текст] / A.A. Незнахин,

B.Н. Ушаков // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. — 2001. -- Т. 41, № 6. —

C. 895-908.

76. Никольский, М.С. Об аппроксимации множества достижимости для дифференциального включения [Текст] / М.С. Никольский // Вестн. Моск. унта. Сер. вычисл. матем. и кибернетика. — 1987. — Т. 4. — С. 31-34.

77. Никольский, М.С. Об одном методе аппроксимации множества достижимости для дифференциального включения [Текст] / М.С. Никольский // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. - 1988. - Т. 28, № 8. - С. 1252-1254.

78. Никольский, М.С. О нижнем альтернированном интеграле Понтрягина в линейных дифференциальных играх преследования [Текст] / М.С. Никольский // Математический сборник. - 1985. - Т. 128 (170), № 1 (9). — С. 35-49.

79. Овсеевич, А.И. Экстремальные свойства эллипсоидов, аппроксимирующих области достижимости [Текст] / А.И. Овсеевич // Пробл. управ, и теории информ. - 1983. - Т. 12, № 1. - С. 43-54.

80. Осипов, Ю.С. Дифференциальные игры систем с последействием [Текст] / Ю.С. Осипов // Доклады АН СССР. - 1971. - Т. 196, № 4. - С. 779-782.

81. Осипов, Ю.С. Об одной дифференциальной игре сближения [Текст] / Ю.С. Осипов // Дифференциальные игры и задачи управления, Тр. ин-та матем. и мех. УНЦ АН СССР. - 1975. - С. 157-166.

82. Осипов, Ю.С. О регуляризации управлений в дифференциально-разностной игре сближения-уклонения [Текст] / Ю.С. Осипов, Л.П. Алексе-енко // Дифференциальные уравнения. — 1976. — Т. 12, № 6. — С. 999-1006.

83. Панасенко, Е.А. Асимптотически устойчивые статистически слабо инвариантные множества управляемых систем [Текст] / Е.А. Панасенко, Л.И. Родина, Е.Л. Тонков // Тр. ИММ УрО РАН. - 2010. - Т. 16, № 5. -С. 135-142.

84. Панасюк, А.И. Уравнения областей достижимости и их применение в задачах оптимального управления [Текст] / А.И. Панасюк // Автоматика и телемеханика. — 1982. — № 5. - С. 67-78.

85. Пахотинских, В.Ю. Построение решений в задачах управления на конечном промежутке времени [Текст]: дис. ...канд. физ.-мат. наук: 05.13.18 / В.Ю. Пахотинских. — Челябинск, 2005. — 160 с.

86. Пацко, B.C. Игра «шофер-убийца» и ее модификации [Текст] / B.C. Пац-ко, В.Л. Турова // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. — 2008. — № 2. — С. 105-110.

87. Пацко, B.C. Численное решение дифференциальных игр на плоскости [Текст] / B.C. Пацко, В.Л. Турова. Препринт. — Екатеринбург: УрО РАН, 1995. - 77 с.

88. Перейра, А. Инвариантность для импульсных управляемых систем [Текст] / А. Перейра, Ж. Силва, В. Оливейра // Автоматика и телемеханика. - 2008. — № 5. — С. 57-71.

89. Половинкин, Е.С. О выпуклых и сильно выпуклых аппроксимациях множеств [Текст] / Е.С. Половинкин // Докл. РАН. - 1996. - Т. 350, Ш 1. -С. 865-872.

90. Половинкин, Е.С. Стабильность терминального множества и оптимальность времени преследования в дифференциальных играх [Текст] / Е.С. Половинкин // Дифференциальные уравнения. — 1984. — Т. 20, № 3. — С. 433 446.

91. Половинкин, Е.С. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа [Текст] / Е.С. Половинкин, М.В. Балашов. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. -416 с.

92. Половинкин, Е.С. Дифференцирование многозначных отображений и свойства решений дифференциальных включений [Текст] / Е.С. Половинкин, Г.В. Смирнов // Докл. АН СССР. - 1986. - Т. 288, № 2. - С. 296-301.

93. Понтрягин, JI.C. О линейных дифференциальных играх. I [Текст] / Л.С. Понтрягин // Докл. АН СССР. - 1967. - Т. 174, № 6. - С. 12781281.

94. Понтрягин, Л.С. О линейных дифференциальных играх. II [Текст] / Л.С. Понтрягин // Докл. АН СССР. - 1967. - Т. 175, № 4. - С. 764-766.

95. Понтрягин, JI.C. Основы комбинаторной топологии [Текст] / Л.С. Понтрягин. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. — 120 с.

96. Математическая теория оптимальных процессов [Текст] / Л.С. Понтрягин [и др.]. — М.: Физматлит, 1961. — 391 с.

97. Пшеничный, Б.Н. Структура дифференциальных игр [Текст] / Б.Н. Пшеничный //Докл. АН СССР. - 1969. - Т. 184. № 2. - С. 285-287.

98. Пшеничный, Б.Н. О дифференциальных играх с фиксированным временем [Текст] / Б.Н. Пшеничный, М.И. Сагайдак // Кибернетика. — 1970. — № 2. - С. 54-63.

99. Роджерс, Д. Алгоритмические основы машинной графики [Текст] / Д. Роджерс. - М.: Мир, 1989. - 512 с.

100. Родина, Л.И. Инвариантные и статистически слабо инвариантные множества управляемых систем [Текст]: дис. .. .д-ра физ.-мат. наук: 01.01.02 / Л.И. Родина. — Владимир, 2011. — 246 с.

101. Родина, Л.И. Статистически инвариантные множества управляемой системы [Текст] / Л.И. Родина, Е.Л. Тонков // Вестник Тамбовского Университета. - 2009. - Т. 14, № 4. - С. 788-790.

102. Родина, Л.И. Статистически слабо инвариантные множества управляемых систем [Текст] / Л.И. Родина, Е.Л. Тонков // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. — 2011. — № 1. - С. 67-86.

103. Скворцов, A.B. Обзор алгоритмов построения триангуляции Делоне [Текст] / A.B. Скворцов // Вычислительные методы и программирование. — 2002. - Т. 3. - С. 14-39.

104. Субботин, А.И. Монотонные относительно предпорядка траектории дифференциальных включений [Текст] / А.И. Субботин // Тр. ИММ УрО РАН. - 1992. - Т. 1. - С. 138-146.

105. Субботин, А.И. Обобщение основного уравнения теории дифференциальных игр [Текст] / А.И. Субботин // Докл. АН СССР. - 1980. - Т. 254, № 2. - С. 293-297.

106. Субботин, А.И. Свойства потенциала дифференциальной игры [Текст] / А.И. Субботин, H.H. Субботина // Прикладная математика и механика. — 1982. - Т. 46, вып. 2. - С. 204-211.

107. Субботин, А.И. Сопряженные производные функции цены дифференциальной игры [Текст] / А.И. Субботин, A.M. Тарасьев // Докл. АН СССР. -1985. - Т. 283, № 3. - С. 559-564.

108. Субботин, А.И. Оптимизация гарантии в задачах управления [Текст] / А.И. Субботин, А.Г. Ченцов. - М.: Наука, 1981. - 288 с.

109. Толстоногой, A.A. Дифференциальные включения в банаховом пространстве [Текст] / A.A. Толстоногов. — Новосибирск: Наука. 1986. — 296 с.

110. Толстоногов, A.A. О структуре множества решений дифференциального включения в банаховом пространстве [Текст] / A.A. Толстоногов // Мат. сб. - 1982. - Т. 118, № 1. - С. 3-18.

111. Толстоногов, A.A. Об уравнении интегральной воронки дифференциального включения [Текст] / A.A. Толстоногов // Матем. заметки. - 1982. — Т. 32, № 6. С. 841-852.

112. Тонков, E.JI. Динамические задачи выживания [Текст] / E.JI. Тонков // Вестн. Перм. гос. тех. ун-та. Функционально-дифференциальные уравнения. - 1997. - № 4. - С. 138-148.

113. Тонков, E.JI. Инвариантные и устойчиво инвариантные множества дифференциальных включений [Текст] / E.JI. Тонков, Е.А. Панасенко // Труды Матем. ин-та им. В.А. Стеклова. - 2008. - Т. 262. - С. 202-221.

114. Уонэм, М. Линейные многомерные системы управления. Геометрический подход [Текст] / М. Уонэм. — М.: Наука, 1980. — 375 с.

115. Ухоботов, В.И. Аналитическая схема построения стабильных мостов для операторов программного поглощения с инвариантными семействами множеств [Текст] / В.И. Ухоботов // Изв. ИМИ УдГУ. - 2005. - № 2 (32). -С. 23-34.

116. Ухоботов, В.И. Однотипные дифференциальные игры с выпуклой интегральной платой [Текст] / В.И. Ухоботов, Д.В. Гущин // Тр. ИММ УрО РАН. - 2011. - Т. 17, № 1. - С. 251-258.

117. Ушаков, В.Н. Дефект инвариантности множеств относительно дифференциального включения [Текст] / В.Н. Ушаков, A.A. Зимовец // Вест-

ник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. - 2011. - № 2. - С. 98-111.

118. Ушаков, В.Н. К вопросу о слабой инвариантности множеств относительно дифференциального включения, порожденного управляемой системой [Текст] / В.Н. Ушаков, A.A. Зимовец // Тр. ИММ УрО РАН. - 2012. -Т. 18, № 4. — С. 271-285.

119. Ушаков, В.Н. Дефект стабильности множеств в игровых задачах управления [Текст] / В.Н. Ушаков, Я.А. Латушкин // Тр. ИММ УрО РАН. -2006. - Т. 12, № 2. - С. 178-194.

120. Ушаков, В.Н. К вопросу о дефекте стабильности множеств в игровой задаче о сближении [Текст] / В.Н. Ушаков, А.Г. Малёв // Тр. ИММ УрО РАН. - 2010. - Т. 16, № 1. - С. 199-222.

121. Ушаков, В.Н. Дефект стабильности в игровой задаче о сближении в момент [Текст] / В.Н. Ушаков, А.Р. Матвийчук, П.Д. Лебедев // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные Науки. — 2010. - Вып. 3. - С. 87-103.

122. Ушаков, В.Н. О приближенном построении интегральных воронок дифференциальных включений [Текст] / В.Н. Ушаков, А.П. Хрипунов // Журн. выч. мат. и мат. физ. - 1994. - Т. 34, № 7. - С. 965-977.

123. Федоренко Р.П. Приближенное решение задач оптимального управления [Текст] / Р.П. Федоренко. — М.: Наука, гл. ред. физ.-мат. лит., 1978. — 488 с.

124. Филиппов, А.Ф. Классификация компактных инвариантных множеств динамических систем [Текст] / А.Ф. Филиппов // Изв. РАН. Сер. матем. -1993. - Т. 57, № 6. - С. 130-140.

125. Филиппов, А.Ф. Классические решения дифференциальных уравнений с многозначной правой частью [Текст] / А.Ф. Филиппов // Вестник МГУ, математика и механика. — 1967. — N° 3. — С. 16-26.

126. Филиппов, А.Ф. О существовании решений многозначных дифференциальных уравнений [Текст] / А.Ф. Филиппов // Матем. заметки. — 1971. — Т. 10, № 3. - С. 307-313.

127. Филиппова, Т.Ф. Дифференциальные уравнения эллипсоидальных оценок множеств достижимости нелинейной динамической управляемой системы [Текст] / Т.Ф. Филиппова // Тр. ИММ УрО РАН. - 2010. - Т. 16, № 1. -С. 223-232.

128. Филиппова, Т.Ф. Задачи о выживаемости для дифференциальных включений [Текст]: дис. ...д-ра физ.-мат. наук: 01.01.02 / Т.Ф. Филиппова. — Екатеринбург, 1992. — 266 с.

129. Филиппова, Т.Ф. Алгоритмы оценивания множеств достижимости импульсных управляемых систем с эллипсоидальными фазовыми ограничениями [Тексгг[ / ТФ. Филиппова, О.Г. Матвийчук // Автоматика и телемеханика. - 2011. - № 9. - С. 127 141.

130. Финогенко, И.А. О дифференциальных включениях с позиционными разрывными и импульсными управлениями [Текст] / И.А. Финогенко, Д.В. Пономарев // Тр. ИММ УрО РАН. - 2013. - Т. 19, № 1. - С. 284-299.

131. Хрипунов, А.П. Построение областей достижимости и стабильных мостов в нелинейных задачах управления [Текст]: дис. ... канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 / А.П. Хрипунов. - Екатеринбург, 1992. - 140 с.

132. Черноусько, Ф.Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. Метод эллипсоидов [Текст] / Ф.Л. Черноусько. — М.: Наука, 1988. — 319 с.

133. Черноусько, Ф.Л. Эллипсоидальная аппроксимация множеств достижимости линейной системы с неопределенной матрицей [Текст] / Ф.Л. Черноусько // Прикладная математика и механика. — 1996. — Т. 60., № 6. — С. 940-950.

134. Черноусько, Ф.Л. Аппроксимация множеств достижимости при помощи пересечений и объединений эллипсоидов [Текст] / Ф.Л. Черноусько, А.А. Янгин // Изв. АН СССР. Техн. Кибернетика. - 1987. - № 4. - С. 145152.

135. Якубович, В.А. Оптимизация и инвариантность линейных стационарных систем управления [Текст] / В.А. Якубович // Автоматика и телемеханика. - 1984. - № 8. - С. 5-44.

136. Adelson-Velskii, G.M. An algorithm for the organization of information [Text] / G.M. Adelson-Velskii, E.M. Landis // Soviet Math. Doklady. - 1962. -Vol. 3. - P. 1259-1263.

137. Aubin, J.-P. Viability theory [Text] / J.-P. Aubin. — Boston. Birkhauser. 1991.

138. Aubin, J-P. Differential inclusions. Set-valued maps and viability theory [Text] / J.-P. Aubin, A. Cellina. - Springer-Verlag, 1984.

139. Aubin, J.-P. Monotone invariant solutions to differential inclusions [Text] / J.-P. Aubin, F. Clarke // J. London Math. Soc. - 1977. - 16. - P. 357-366.

140. Barber, C.B. The Quiekhull algorithm for convex hulls [Text] / C.B. Barber, D.P. Dobkin, H.T. Huhdanpaa // ACM Transactions on Mathematical Software. - 1996. - Vol. 22, № 4. - P. 469-483.

141. Basile, G. Controlled and conditioned invariant subspaces in linear systems theory [Text] / G. Basile, G. Marro //J. Optimization Th. к Appl. — 1969. — Vol. 3, № 5. - P. 306-315.

142. Bentley, J.L. Approximation algorithms for convex hulls [Text] / J.L. Bentley, F.P. Preparata, M.G. Faust // Communications of the ACM. — 1982. - Vol. 25, № 1. - P. 64-68.

143. Bowyer, A. Computing Dirichlet tesselations [Text] / A. Bowyer // The computer journal. - 1981. - Vol. 24, № 2. - P. 162-166.

144. Bresenham, J.E. Algorithm for computer control of a digital plotter [Text] / J.E. Bresenham // IBM System Journal. - 1965. - Vol. 4. - P. 25-30.

145. Brezis, H. On a caracterization of flow invariant set [Text] / H. Brezis // Comm. Pure Appl. Math. - 1970. - Vol. 23. - P. 261-263.

146. Carneiro, B.P. Tetra-Cubcs: An algorithm to generate 3D isosurfaces based upon tetrahedra [Text] / B.P. Carneiro, C.T. Silva, A.E. Kaufman // Proc. of SIGGRAPH'96. - 1996. - P. 205-210.

147. Chazelle, B. An optimal convex hull algorithm in any fixed dimension [Text] / B. Chazelle // Discrete & Computational Geometry. — 1993. — Vol. 10. - -P. 377-409.

148. Chazelle, B. Derandomizing an output-sensitive convex hull algorithm in three dimensions [Text] / B. Chazelle, J. Matousek // Computational Geometry: Theory and Applications. - 1995. - Vol. 5, № 1. - P. 27-32.

149. Clarke, F.H. Generalized gradients and applications [Text] / F.H. Clarke // Trans. Amer. Math. Soc. - 1975. - Vol. 205. - P. 247-262.

150. Qualitative properties of differential inclusions: a survey [Text] / F.H. Clarke [et al.] // J. of Dynamical and Control Systems. - 1995. - Vol. 1. - P. 1-48.

151. Clarkson, K.L. Applications of random sampling in computational geometiy, II [Text] / K.L. Clarkson, P.W. Shor // Discrete & Computational Geometry. — 1989. - Vol. 4, № 5. - P. 387-421.

152. Crandall, M.G. A generalization of Peano's existence theorem and flow invariance [Text] / M.G. Crandall // Proc. Amer. Math. Soc. — 1972. — Vol. 36. - P. 151-155.

153. Filippov, A.F. Differential equations with discontinuous righthand sides [Textj / A.F. Filippov. - Dordrecht: Kluwer, 1988.

154. Graham, R.L. An efficient algorithm for determining the convex hull of a finite planar set [Text] / R.L. Graham // Information Processing Letters. — 1972. - Vol. 1, № 4. - P. 132-133.

155. Gueziec, A. Exploiting triangulated surface extraction using tetrahedral decomposition [Text] / A. Gueziec // IEEE Transactions on Visualization and Computer Graphics. - 1995. - Vol. 1, № 4. - P. 328-342.

156. Guibas, L.G. A dichromatic framework for balanced trees [Text] / L.G. Guibas, R. Sedgewick // Proceedings of the 19th Annual Symposium on Foundations of Computer Science. — 1978. — P. 8-21.

157. Guseinov, H.G. Derivatives for multivalued mappings with applications to game-theoretical problems of control [Text] / H.G. Guseinov, A.I. Subbotin, V.N. Ushakov // Problems Control Inform. Theory. - 1985. Vol. 14. - P. 155167.

158. Haddad, G. Monotone trajectories of differential inclusions and functional differential inclusions with memory [Text] / G. Haddad // Israel J. Math. — 1981. - Vol. 39. - P. 83-100.

159. Heger, D. A Disquisition on The Performance Behavior of Binary Search Tree Data Structures [Text] / D. Heger // The European Journal for the Informatics Professional. - 2004. - Vol. 5, № 5. - P. 67-75.

160. Jarvis, R.A. On the identification of the convex hull of a finite set of points in the plane [Text] / R.A. Jarvis // Information Processing Letters. — 1973. — Vol. 2, № 1. - P. 18-21.

161. Kannai, Z. Viable trajectories of nonconvex differential inclusions [Text] / Z. Kannai, P. Tallos // Nonl. Anal. Theory Meth. and Appl. - 1992. - Vol. 18, № 3. - P. 295 306.

162. Kim, C.E. Sequential and parallel approximate convex hull algorithms [Text] / C.E. Kim, I. Stojmenovic // Computers and Artificial Intelligence. — 1995. —

Vol. 14, № 6. - P. 597-610.

163. Kirkpatrick, D.G. The ultimate planar convex hull algorithm? [Text] / D.G. Kirkpatrick, R. Seidel // SIAM Journal on Computing. - 1986. — Vol. 15, № 1. - P. 287-299.

164. Klette, R. On the approximation of convex hulls of finite grid point set [Text] / R. Klette // Pattern Recognition Letters. — 1983. — Vol. 2, № 1. - P. 19-22.

165. Kurzhanski, A.B. On the set-valued calculus in problems of viability and control for dynamic processes: the evolution equation [Text] / A.B. Kurzhanski, T.F. Filippova // Les Annales de l'lnstitut Henri Poincare, Analyse non-lineaire. - 1989. - P. 339-363.

166. Kurzhanski, A.B. On the theory of trajectory tubes — a mathematical formalism for uncertain dynamics, viability and control [Text] / A.B. Kurzhanski, T.F. Filippova // Advances in nonlinear dynamics and control: a report from Russia / ed. A.B. Kurzhanski. — Boston etc.: Birkhauser, 1993. - P. 122-188. (Progress in Systems and Control Theory; Vol. 17).

167. Kurzhanski, A.B. Ellipsoidal Calculus for Estimation and Control [Text] / A.B. Kurzhanski, I. Valyi. - SCFA. Boston: Birkhauser, 1997.

168. Kurzhanski, A.B. Dynamic optimization for reachability problems [Text] / A.B. Kurzhanski, P. Varaiya // Journal of Optimization Theory and Applications. - 2001. - Vol. 108, № 2. - P. 227-251.

169. Kurzhanski, A.B. Ellipsoidal techniques for reachability analysis [Text] / A.B. Kurzhanski, P. Varaiya // Proc. Pittsburg Conference «Hybrid Systems-2000». V. 1790 of Lecture Notes in Control Science. - Springer, 2000. - P. 202214.

170. Set-valued Analysis and Differential Inclusions [Text] / A.B. Kurzhanski, V.M. Veliov (eds). - Ser. PSCT 18. Brikhauser, Boston. 1994.

171. Lo, S.H. Volume discretization into tetrahedra-I. Verification and orientation of boundary surfaces [Text] / S.H. Lo // Computers and structures. — 1991. — Vol. 39, № 5. - P. 493-500.

172. Lo, S.H. Volume discretization into tetrahedra-II. 3D triangulation by advancing front approach [Text] / S.H. Lo // Computers and structures. — 1991. - Vol. 39, № 5. - P. 501-511.

173. Lohner, R. Generation of three-dimensional unstructured grids by the advancing-front method [Text] / R. Lohner, P. Parikh // International journal for numerical methods in fluids. - 1988. - Vol. 8, № 10. - P. 1135-1149.

174. Lorensen, W.E. Marching Cubes: A high resolution 3D surface construction algorithm [Text] / W.E. Lorensen, H.E. Cline // ACM SIGGRAPH Computer Graphics. - 1987. - Vol. 21, № 4. - P. 163-169.

175. Nagumo, M. Uber die Lage der Integralkurven gewöhnlicher Differentialgleichungen [Text] / M. Nagumo // Proc. Phys. Math. Japan. — 1942. - Vol. 24. - P. 551-559.

176. Owen, S.J. A survey of unstructured mesh generation technology [Text] / S.J. Owen // Proceedings of 7th International Meshing Roundtable, Dearborn, MI. - 1998. - P. 239-269.

177. Pfaff, B. Performance analysis of BSTs in system software [Text] / B. Pfaff // ACM SIGMETRICS Performance Evaluation Review. - 2004. - Vol. 32, №1.-P. 410-411.

178. Preparata, F.P. Convex hulls of finite sets of points in two and three dimensions [Text] / F.P. Preparata, S.J. Hong // Communications of the ACM. - 1977. - Vol. 20, № 2. - P. 87-93.

179. Another proof for the equivalence between invariance of closed sets with respect to stochastic and deterministic systems [Text] / M. Quincampoix [et al.] //in «Bulletin des Sciences Mathematiques». — 2010. — Vol. 134. — P. 207-214.

180. Redheffer, R.M. The theorems of Bony and Brezis on flow invariant sets [Text] / R.M. Redheffer // Amer. Math. Monthly. - 1972. - Vol. 79. - P. 740747.

181. Saint-Pierre, P. An algorithm for viability Kernels in Holderian ease: approximation by discrete dynamical systems [Text] / P. Saint-Pierre, M. Quincampoix //J. Math. System Estim. Control. — 1995. — Vol. 5, № 1. — P. 115-118.

182. Samet, H. The quadtree and related hierarchical data structures [Text] / H. Samet // ACM Computing Surveys. - 1984. - Vol. 16, № 2. - P. 187-260.

183. Seidel, R. Constructing higher-dimensional convex hulls at logarithmic cost per face [Text] / R. Seidel //In proceedings of the 18th annual ACM symposium on Theory of computing. - - 1986. - P. 404-413.

184. Seidel, R. Randomized search trees [Text] / R. Seidel, C. Aragon // Algorithmica. - 1996. - Vol. 16, № 4/5. - P. 464-497.

185. Sleator, D.D. Self-adjusting binary search trees [Text] / D.D. Sleator, R.E. Tarjan // Journal of the ACM. - 1985. - Vol. 32. - P. 652-686.

186. Subbotina, N.N. On characteristic differential inclusions to unified differential games [Text] / N.N. Subbotina, V.N. Ushakov // Proceedings of the IX-th International Symposium on Dynamic Games and Applications. — (December, 18-21, 2000) Australia, Adelaide, University of South Australia. — P. 464-467.

187. Ushakov, V.N. Stable and unstable sets in problems of conflict control [Text] / V.N. Ushakov, S.A. Brykalov, Y.A. Latushkin // Functional Differential Equations. - 2008. - Vol. 15, № 3-4. - P. 309-338.

188. Watson, D.F. Computing the n-dimensional Delaunay tesselation with application to Voronoi polytopes [Text] / D.F. Watson // The computer journal. - 1981. - Vol. 24, № 2. -- P. 167-172.

189. Yerry, M. A. Three-dimensional mesh generation by modified octree technique [Text] / M.A. Yerry, M.S. Shephard // International journal for numerical methods in engineering. - 1984. - Vol. 20, № 11. - P. 1965-1990.

190. Zunic, J. Approximate convex hull algorithm — efficiency evaluations [Text] / J. Zunic // Journal of Information Processing and Cybernetics. — 1990. -Vol. 26, № 3. - P. 137 148.