Построение моделей механики сплошных сред с учетом изменяющейся микроструктуры материала тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, доктор наук Вильчевская Елена Никитична

• Вильчевская Елена Никитична
• доктор наук
• 2020

Оглавление диссертации доктор наук Вильчевская Елена Никитична

Оглавление

Введение

Краткое содержание диссертации

Основные обозначения

1. Определение эффективных свойств гетерогенных материалов через параметры микроструктуры

1.1. Основные соотношения

1.1.1. Тензоры вклада неоднородности

1.1.2. Замещающие соотношения

1.1.3. Схема осреднения Максвелла в терминах соответствующих микроструктурных параметров

1.2. Эффективные свойства материалов с неэллипсоидальными включениями и трещинами

1.2.1. Эффективная теплопроводность однонаправленного волокнистого композита с частично отслоившимися волокнами

1.2.2. Эффективная электрическая проводимость материала с вогнутыми включениями

1.3. Эффективные свойства гетерогенного материала с трансверсалыю-изотропной матрицей

1.3.1. Эффективные упругие свойства кортикальной костной ткани

1.3.2. Эффективные свойства трансверсалыю-изотропного материала с произвольно ориентированными круговыми трещинами

1.4. Эффективные свойства вязко-упругих материалов

1.4.1. Тензор вклада в ползучесть как соответствующий микроструктурный параметр

1.4.2. Эффективная вязкость материала со сплюснутыми сфероидальными включениями

1.4.3. Замещающие соотношения для упруго-вязких материалов

1.5. Основные результаты

2. Моделирование структурных изменений в веществе на основе

параметров состояния

2.1. Балансовые соотношения для сред с микроструктурой

2.2. Моделирование фазового перехода под действием температуры

2.3. Основные результаты

3. Моделирование локализованных структурных превращений

3.1. Фазовые превращения в деформируемых телах

3.1.1. Фазовые превращения в изолированном включении

3.1.2. Множественное возникновение зародышей новой фазы

3.2. Моделирование распространения фронта химической реакции

3.2.1. Тензор химического сродства. Равновесная концентрация

3.2.2. Исследование эффекта запирания или ускорения реакции в зависимости от свойств материала, геометрии образца и типа приложенной внешней нагрузки

3.3. Основные результаты

4. Теория микрополярных сред со структурными изменениями

4.1. Определение инерционных и кинематических характеристик эле-

ментарного объема

4.1.1. Балансовое соотношение для тензора инерции

4.2. Уравнения динамики микрополярных сред при наличии структурных изменений

4.3. Определяющее соотношение для источникового члена

4.3.1. Упругие оболочки под давлением

4.3.2. Взаимосвязь изменений температуры и угловой скорости

4.3.3. Моделирование процесса измельчения гранулированного материала

4.3.4. Дипольная поляризация материала

4.4. Основные результаты

Основные результаты диссертации

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Построение моделей механики сплошных сред с учетом изменяющейся микроструктуры материала»

В последнее время большое внимание уделяется разработке, созданию и исследованию новых функциональных материалов, обладающих внутренней микроструктурой. Область применения таких материалов необычайно широка, начиная с легких автомобильных и аэрокосмических панелей и заканчивая микроэлектронными элементами. В свою очередь, под воздействием внешних факторов микроструктура материала может изменяться, в результате чего в материале происходит перераспределение полей напряжений, могущее привести к пластическим деформациям, развитию или блокированию процессов разрушения. Таким образом, развитие теорий, связанных с описанием изменений микроструктуры материалов, имеет как фундаментальное, так и прикладное значение, а учет взаимного влияния внешних термомеханических воздействий и кинетики внутренних структурных изменений является весьма актуальной задачей.

Работа посвящена разработке моделей механики сплошных сред, интегральным образом учитывающих микроструктурные особенности материалов и микроструктурные процессы физико-химической природы, возникающие при деформировании тел, и влияющие на их деформационно-прочностные свойства, такие как фазовые переходы, структурные превращения, химические реакции, взаимодействия с полями различной природы и т.п.

В настоящее время существует большое количество разнообразных методов и подходов, позволяющих учитывать микроструктуру материалов. Наиболее распространенные подходы основаны на использовании дополнитель-

пых параметров, вводимых в модель, чтобы более полно и адекватно учесть реакцию материала на разнообразные внешние термомеханические воздействия. Физический смысл структурных параметров может быть различным. Например, в работах Л.О. Качанова и Ю.Н. Работнова [264, 281, 282] для исследования проблем длительного разрушения и механики трещин введен параметр поврежденности (сплошности), который может быть интрепретиро-ван как относительная площадь поперечного сечения, занятого микродефектами, микропорами и микротрещинами. В работе [170] параметр поврежденности связывался с пористостью материала, а в [24] мера поврежденности материала учитывалась через интенсивность накопленных деформаций ползучести. П.А. Жилин [231,259 261] пористость среды связывал с функцией распределения числа частиц, введение которой, по существу, стирала грань между дискретным и континуальным описаниями. Для учета анизотропного характера накопления повреждений вводились также различные тензорные меры поврежденности [108,123,219].

Во многих подходах введение параметров состояния базируется, в основном, на разработке феноменологических моделей, основанных на добавлении к известным определяющим уравнениям соотношений для дополнительных параметров, характеризующих состояние системы, например, концентрации одной из фаз (см, к примеру, работы В.А. Лихачева, В.Г. Малинина, A.A. Мовчана, В. Левитас, J. Arghavani, D. Lagoudas, С. Lexcellent, M. Pánico, Q.P. Sun, W. Zaki и др. [6,25,119,121,158,195,229,269,271]). В этом случае набор введенных структурных параметров зачастую определяется интуитивным выбором факторов и взаимосвязей, оказывающих определяющее влияние на протекающие процессы, а достоверность результатов проверяется сравнением полученных на основе предложенной модели теоретических соотношений между различными измеряемыми величинами с соответствующими экспериментальными данными.

В ряде моделей основное значение приобретает разделяющая фазы граница, изменение положения которой соответствует переходу части материала в другое фазовое состояние. Форма и положение границы является дополнительной степенью свободы, характеризующей внутреннюю микроструктуру материала. Явное введение в рассмотрение границ раздела фаз приводит к тому, что задачи о двухфазных конфигурациях деформируемых тел становятся задачами с неизвестной границей. В настоящее время большинство аналитических результатов в рамках данного подхода получена в квазистатическом приближении, в котором рассматривается однопараметрическое семейство статических задач, связанных между собой времени-подобным параметром. Положение равновесной границы раздела фаз ограничивается дополнительным термодинамическим условием, которое должно выполняться на границе фаз в дополнение к обычным кинематическому и силовому условиям непрерывности векторов перемещения и усилия. Это дополнительное условие является аналогом равенства химических потенциалов на равновесной границе фаз в классической теории фазовых переходов первого рода [248,267,268]. Термодинамическое условие было получено М.А. Гринфельдом [251] из условия стационарности энергии, а М. Гартиным и R.D. James [80, 94] как следствие локальной устойчивости двухфазного поля деформаций. Другие способы получения термодинамического условия можно найти, например, в работах [56,68,95,241,252,255,265,278,283]. Значительный вклад в развитие механики деформируемых тел с квазистатическими границами раздела фаз внесли В.Л. Бердичевский, A.A. Вакуленко, М. Гартин, М.А. Гринфельд, В.А. Еремеев, В.И. Кондауров, Н.Ф. Морозов, Л.В. Никитин, В.Т. Осмоловский, А.Л. Ройтбурд, Л.М. Трускиновский, A.B. Фрейдин, R. Abeyratne, J.M. Ball, К. Bhattacharya R.D. James, J.K. Knowles, [1,3,58,78,104,240,254,257, 262,265,272,274]. Динамика фазовых превращений в упругих телах рассматривалась М. Гартиным, М.А. Гузевым, Н.Ф. Морозовым, В.Г. Осмоловским,

Л. Трускиновским, R. Abeyratne, J.K. Knowles [2, 81, 82,173, 253, 273, 284] и другими авторами. Применительно к описанию химической реакции между твердой и газообразной компонентами, локализованной на фронте реакции

границе, разделяющей исходный и новый материалы распространение фронта химической реакции определяется нормальной компонентой тензора химического сродства, являющегося обобщением скалярного сродства в классической химической термодинамике [59 61,67,208].

Для описания фазовых переходов II рода Л.Д. Ландау и Е.М. Лившицем [267] был введен параметр порядка, характеризующий дальний порядок в среде, возникающий в результате спонтанного нарушения симметрии. Примерами параметра порядка могут служить намагниченность при переходе в ферромагнитное состояние или плотность сверхпроводящего конденсата при переходе металлов и сплавов в состояние сверхпроводимости. Эволюция микроструктуры при этом описывается зависящим от времени уравнением Гинзбурга-Ландау. Этот подход главным образом используется применительно к описанию фазовых переходов, связанных с изменением физических свойств вещества, а не его агрегатного состояния. Позднее параметр порядка приобрел более широкий смысл и стал использоваться в методах фазового поля, где вместо отслеживания резкого интерфейса между двумя фазами исследуется непрерывное поле параметра порядка. Это поле имеет постоянное значение в объеме, занимаемом каждой фазой, и плавно меняется между двумя значениями на границе между фазами. Методы фазового поля были использованы в работах А. Артемьева, В. Левитаса, А.Г. Хачатуряна, Z. Wang, J. Zhu [7,8,120,198,224,225] и других.

Еще один распространенный подход к учету микроструктуры материала основан на наделении дополнительными степенями свободы частиц среды (микрополярные и микроморфные среды, жидкие кристаллы). Механика микрополярных сред получила развитие в основополагающих работах Э.Л. Аэ-

ро, В.А. Пальмова, Е. Kroner, R.D.Mindlin, R.A. Toupin [4,109,137,157,199, 200]. Позднее в работах [33,96,129,151,159,166] были исследованы упругие, а в работах [28,54,55,73,122,150,193] пластические и вязко-упругие микрополярные среды. Значительный вклад в теорию микрополярных сред был сделан А.К. Эрингеном с соавторами [41 46], которые ввели в рассмотрение тензор инерции полярной частицы, являющийся характеристикой материала и определяющий инерцию вращения частиц тела. Базируясь на представлении о материальной частице как об абсолютно твердом теле, ими был сформулирован закон сохранения микроинерции (см, например, [41,44,136,203]), который подразумевает, что тензор инерции частицы меняется только вследствие вращения частицы как единого целого. Более общие модели сред, содержащие большее число степеней свободы, изучались В.И. Ерофеевым, Л.М. Зубовым, W.T.Koiter, R.D.Mindlin, A.C.Eringen и др. [42,106,136,200,235,258]. Механика сред с внутренними степенями свободы изучалась также М.А. Гузевым, И.А. Куниным, В.П. Мясниковым [111,275,276].

Несмотря на большое количество публикаций по данной тематике, существует ряд открытых вопросов, которые требуют дальнейшего исследования и ведут к необходимости модификации классических моделей и подходов. В частности, консолидация или дефрагментация частиц в сыпучих средах приводит к необходимости модификации традиционного представления о материальной частице как о неделимом твердом теле, а рассматривать ее как открытую систему, обменивающуюся массой с окружающими частицами. Также объединение или распад частиц среды нарушает биектив-ность между актуальной и отсчетной конфигурациями. Кроме того, описание структурных изменений в неупругих материалах, обладающих одновременно свойствами жидкости и твердого тела, приводит к необходимости использовать пространственное описание, где все физические величины вводятся в рассмотрение применительно к выделенному в пространстве элементарному

объему, содержащему множество частиц, перемещающихся и вращающихся независимо друг от друга. При этом возникают вопросы о физическом смысле вектора угловой скорости, тензора поворота и тензора инерции данного элементарного объема.

Для решения вышеперечисленных проблем существующие модели должны быть соответствующим образом адаптированы и модифицированы. Одним из возможных подходов, позволяющих строить модели, удовлетворяющие указанным требованиям, является подход, основанный на введении дополнительных параметров состояния, эволюция которых определяется балансовыми соотношениями с источниковыми членами, моделирующими происходящие в материале структурные изменения. В зависимости от типа материала, масштабного уровня построения модели и информации о происходящих процессах могут использоваться разные параметры состояния. Чем ниже масштабный уровень, тем более детальной должна быть информация о микроструктуре и ее реакции на внешние и внутренние воздействия, и тем более сложной будет построенная модель. При выборе модели очень важным является соблюдение баланса между сложностью модели и учетом всех особенностей, наблюдаемых в эксперименте. В идеале, желательно иметь максимально простую модель, в которой, тем не менее, учитываются факторы, оказывающие существенное влияние на исследуемые процессы. Разработке именно таких моделей посвящена диссертационная работа.

Цели работы Основными целями настоящей работы являются разработка моделей механики деформируемых тел с изменяющейся микроструктурой в рамках моделей механики и термодинамики континуума путем введения дополнительных параметров состояния и источниковых членов.

Основными задачами данной работы являются:

• Оценка эффективных свойств гетерогенных материалов через фиксиро-

ванные параметры микроструктуры

структурных параметров в зависимости от внешних и внутренних термомеханических воздействий

•

тельных параметров состояния, содержащих в балансовых соотношениях источниковые члены

пиковых членов с учетом микроструктурных изменений

Теоретическая и практическая значимость диссертации. Диссертация носит теоретический характер. Предложенные модели описания структурных превращений в средах с микроструктурой могут быть применены к широкому классу задач из различных разделов механики сплошных сред. Разработанный в диссертации подход обеспечивает общие теоретические основы для описания деформационного поведения сплошных, порошковых и жидких сред, связанных с изменениями микроструктуры (процессы фазовых и структурных переходов, химические реакции, консолидация и дефрагмен-тация частиц, перемешивание, изменение ориентации частиц под влиянием электро-магнитных полей). Развитие механики сред с микроструктурой может оказаться полезным для создания и описания поведения новых функциональных материалов. Построение и исследование моделей механики микрополярных сред важно для задач микрофильтрации, использования диэлектриков и жидких кристаллов в электронике, формирования термопластиков, усиленных волокнами. Учет влияния механических напряжений на скорость протекания химических реакций и влияние химических реакций на возникновение внутренних напряжений имеет большое значение в литий-ионных

батареях и водородных двигателях.

Достоверность полученных результатов обеспечивается строгой математической постановкой задач, предельными переходами к известным случаям, применением математически обоснованных методов решения, использованием надежных и проверенных численных алгоритмов, качественным совпадением с экспериментальными результатами.

Научная новизна. В диссертации разработан новый аналитический подход к учету микроструктуры материала в рамках механики и термодинамики континуума. На основе фундаментальных законов механики сплошных сред предложены модели описания структурных изменений в материале с учетом изменяющейся плотности распределения числа частиц. Введен новый структурный параметр, являющийся аналогом параметра порядка и характеризующий фазовое состояние материала, для которого сформулировано дополнительное балансовое соотношение с источниковым членом.

Разработана методика определения инерционных и кинематических свойств репрезентативного объема, играющего роль макрочастицы при пространственном описании. Показано, что при наличии структурных изменений в среде, классическое уравнение сохранения тензора инерции должно быть заменено балансовым соотношением с источниковым членом, отвечающим за изменения микроструктуры. Необходимость формулировки нового балансового соотношения и, в частности, интерпретация входящего в него источникового члена, продемонстрирована на основе рассмотрения репрезентативного объема на мезоуровне с учетом микроструктуры материала.

Предложена методика построения определяющего уравнения для источникового члена с учетом изменений микроструктуры материала. В рамках разработанного подхода решен ряд модельных задач, демонстрирующих особенности предложенной модели по сравнению с классической теорией микро-

полярных сред

Процедура определения эффективных свойств материала с упругими включениями через эффективные свойства пористого материала обобщена на случай вязко-упругих матрицы и включений.

Продемонстрированы эффекты запирания или ускорения химической реакции в открытой системе деформируемое твердое тело - газ в зависимости от свойств материала, геометрии образца и типа приложенной внешней нагрузки. Показано что тонкий поверхностный слой нового материала может предотвратить распространение реакции внутрь образца. Получены зависимости толщины критического слоя от энергетического параметра и внешних термомеханических воздействий.

Апробация работы. Результаты, полученные в диссертации, представлялись на ежегодных летних школах-конференциях "Advanced Problems in Mechanics" (С.-Петербург, 2002-2019); XL межд. семинаре "Актуальн. про-бл. прочности" (Великий Новгород, 2002); восьмой международной конференции "Современные проблемы механики сплошных сред" (Ростов-на-Дону, 2002); III Всероссийской конференции по теории упругости (Азов, 2003); 25th Yugoslav Congress on Theoretical and Applied Mechanics (Novi Sad, Serbia 2005), Recent Advances in Nonlinear Mechanics (Aberdin, Scotland, UK, 2005 и Kuala Lumpur, Malaysia 2009); на Всероссийских съездах по теоретической и прикладной механике (Нижний Новгород, 2006, 2011 и Уфа, 2019); Международной конференции "XVIII сессия Международной школы по моделям механики сплошной среды" (Саратов, 2007) European Conference on Fracture (Brno, Czech Republic, 2008), международный конгресс ЮТАМ (Beijing, China 2012); 8th EUROMECH Solid Mechanics Conference (Graz, Austria, 2012); Trilateral French-German-Russian Seminar (Wittenberg, Germany, 2012); GAMM seminars on multiscale material modeling (Magdeburg, Germany 2012, 2015); II международная научная конференция "Современные проблемы механики" (Ки-

ев, Украина, 2013); Advances in Micromechanics of Material (Rzeszow, Poland 2014); школе-семинаре "Математическое моделирование и биомеханика в современном университете" (Дивноморское, 2014, 2017, 2019); 9th European Solid Mechanics Conference (Leganes-Madrid, Spain 2015); V International Conference on Topical problems of continuum mechanics (Tsaghkadzor, Armeni, 2017); International workshop "New developments in micropolar theory" (Berlin, Germany,

2017); Workshop "Encounter of the third kind" on "Generalized continua and microstructures" (Arpino, Italy, 2018); 12th International Conference on Advanced Computational Engineering and Experimenting (Amsterdam, The Netherlands,

2018); International Workshop "Generalized Continua in Engineering" (Berlin, Germany, 2018); International conference "The problems of interactions of defor-mable media" (Goris, Armenia, 2018); семинаре под руководством проф. А. Чер-каева (Университет Солт-Лейк Сити, США); семинарах под руководством проф. М. Вирчигрох (Абердин, Шотландия); семинарах под руководством проф. В. Мюллера (Технический Университет Берлина, Германия); на семинарах кафедры теоретической механики СПбГПУ (руководитель семинара — чл.-корр. РАН A.M. Кривцов); городских семинарах по механике ИПМаш РАН (руководитель семинара — чл.-корр РАН Д.А. Индейцев); семинарах академика Н.Ф. Морозова (ИПМаш РАН, С.-Петербург); семинарах по прикладным задачам механики (руководители семинара — чл.-корр. РАН А.К. Беляев и д.т.н. В.А.Полянский); семинаре "Пермского национального исследовательского политехнического университета".

В полном объеме диссертация докладывалась на городском семинаре по механике ИПМаш РАН (руководитель семинара — чл.-корр РАН Д.А. Индейцев); семинаре кафедры теоретической механики СПбГПУ (руководитель семинара — чл.-корр РАН A.M. Кривцов); семинаре по прикладным задачам механики (руководители семинара — чл.-корр. РАН А.К. Беляев и д.т.н. В.А.Полянский);

На различных этапах данная работа поддерживалась грантами РФФИ (Ж№ 17-51-12055, 16-01-00815, 13-01-00687,10-01-00670, 07-01-00525, 04-01-00431, 01-01-00324); РНФ (Ж№ 19-41-04106, 18-19-00160, 14-11-00599); DFG "Meso-skopische Interpretation von Materialparametern der Mikropolartheorie"2017; входила в Программы фундаментальных исследований РАН академиков Н.Ф. Морозова и И.Г. Горячевой.

Публикации по теме диссертации. Результаты диссертационной работы опубликованы в 42 работах в том числе в 28 работах в изданиях, входящих в международные базы цитирования Web of Science и SCOPUS.

Полнота изложения материала. Все основные результаты диссертации опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК России.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, 4 глав и заключения. Общий объем диссертации 300 страниц. Диссертация содержит 5 таблиц, 88 рисунков и список литературы из 286 наименований.

Краткое содержание диссертации

Первая глава посвящена построению моделей, в которых учет микроструктуры заложен в параметрах, которые не меняются при внешних воздействиях. Главным достоинством этих моделей является возможность установления ясных взаимосвязей между макро- и микро- описанием материала, т.е. возможность объективного и надежного определения макро-поведения среды, адекватным образом учитывающего микроструктуру материала. Разумеется, такие модели имеют ограниченную область применения. Они могут использоваться в случаях, когда необходимо интегральным образом оценить

вклад микроструктуры в физико-механические свойства материала, установить взаимосвязи между различными свойствами среды и т.п.

В то время как методы гомогенизации композитов с изотропной матрицей достаточно хорошо разработаны (см., например, книги [22,147,152]) и широко используются в различных приложениях, расчет эффективных свойств гетерогенных материалов с анизотропной матрицей является одной из наиболее сложных задач микромеханики. Кроме того, поскольку для неэллипсоидальных включений тензор Хилла не является постоянным внутри включения, а задача Эшелби не имеет аналитического решения, практически все известные подходы используют слишком идеализированную форму неоднородности, что препятствует широкому использованию полученных результатов в прикладных областях. В первой главе предложены различные подходы к получению приближенных аналитических выражений для эффективных свойств трансверсально-изотропного материала с произвольным образом ориентированными сфероидальными включениями, а также изотропного материала с вогнутыми включениями.

Также в первой главе строятся эффективные свойства вязко-упругих гетерогенных сред с использованием дробно-экспоненциальных операторов Скотта Блэра-Работнова [12,164]. В качестве модельной задачи в параграфе 1.4.2 рассмотрен изотропный вязко-упругий материал, содержащий множественные вязко-упругие частицы в форме сплюснутых эллипсоидов ориентация которых варьируется от строго ориентированной до произвольной. В параграфе 1.4.3 замещающие соотношения для упругих материалов, устанавливающие связь между упругими свойствами пористого материала и тем же материалом с упругим наполнителем, распространены на вязко-упругие сре-

Результаты опубликованы в [189,191,210 213].

Во второй главе рассматриваются модели с дополнительными переменными или структурными параметрами, характеризующими микроструктуру материала. В отличие от рассмотренных в первой главе микроструктурных параметров, дополнительные переменные могут эволюционировать, отражая изменение структуры вещества и характера взаимодействия между частицами на микроуровне. Достоинство моделей, в которых используются структурные параметры, состоит в том, что они позволяют при минимальном усложнении классических моделей механики сплошной среды учесть влияние процессов немеханического происхождения. В частности, в работе показано, что введение в модель одной дополнительной скалярной неизвестной оказывается достаточным для того, чтобы наделить модель новыми свойствами, такими, как, например, возможность фазовых переходов или структурных превращений.

Ключевую роль в развиваемом в данной работе подходе играет уравнение баланса энергии, поскольку именно это уравнение перевязывает между собой величины различной физической природы и процессы, происходящие на разных масштабных уровнях и определяет, какие структурные параметры могут рассматриваться, как параметры состояния. Также из уравнения баланса энергии следуют уравнения состояния, перевязывающие между собой различные термодинамические величины. Во второй главе диссертации, с использованием параметров состояния, строятся модели, описывающие различные структурные превращения в материалах, связанные как с изменением внутренней структуры материала, в частности, с образованием трещин и микропор или с консолидацией или дефрагментацией частиц, так и с разнообразными фазовым переходами и химическими реакциями, сопровождающимися дополнительным производством тепла, инициированным структурными изменениями в материале.

В качестве примера рассмотрен фазовый переход, характеризующийся

резким изменением чиела частиц, происходящее вследствии того, что при температуре фазового перехода подводимая в среду энергия идет не на нагревание, а на структурные превращения. Примером такого фазового перехода может быть переход мартенсит-аустенит, сопровождающийся образованием мелкозернистой фазы. Предлагаемый подход к описанию такого типа фазового перехода близок к методам, основанным на использовании в качестве независимой переменной параметра порядка. Основная идея описания фазового перехода состоит в моделировании материала однокомпонентной средой, которая может находиться в разных фазовых состояниях с разными физическими свойствами. Введен в рассмотрение новый структурный параметр, характеризующий количество частиц в данной точке пространства, приходящееся на единицу массы, по значению которого можно судить о фазовом состоянии среды в данный момент времени, и предложено определяющее соотношение для источникового члена, моделирующее фазовый переход под действием температуры. Результаты этих исследований опубликованы в работах [90,91,215].

Третья глава посвящена моделированию структурных превращений материала, происходящих в локализованных областях пространства. Такие модели естественным образом возникают, например, при исследовании движения фазовой границы или границы фронта химической реакции.

В разделе 3.1.1 поставлена и исследована задача о фазовом превращении в изолированном включении. Скачкообразный переход включения из одного однофазного состояния в другое, а также возможность существования двухфазных состояний включения определяются энергетической предпочтительностью. В пространстве деформаций строятся области существования однофазных и двухфазных состояний включения. Доказываются характеристические свойства двухфазных деформаций и исследуется их устойчивость по отношению к возмущению межфазной границы.

Во втором разделе в приближении эффективного поля рассмотрено множественное возникновение в твердом теле эллипсоидальных зародышей новой фазы, объемная концентрация, форма и ориентация которых меняются под влиянием внешнего поля и определяются минимизацией свободной энергии. В пространстве деформаций строятся области существования равновесных эллипсоидальных включений новой фазы и исследуется устойчивость двухфазных состояний. Построенные макродиаграммы деформирования демонстрируют эффект деформационного размягчения на пути фазового превращения.

Последний раздел главы посвящен моделированию распространения фронта химической реакции в деформируемом твердом теле. Продемонстрировано влияние механических напряжений на ускорение, замедление и блокировку химической реакции. Показано, что существование тонкого поверхностного слоя нового материала может предотвратить распространение реакции внутрь образца или, напротив, достаточно толстый слой нового материала может заблокировать реакцию из-за внутренних напряжений. Получены зависимости толщины критического слоя от энергетического параметра и внешних термомеханических воздействий. Исследовано, как знак и величина кривизны фронта реакции, тип граничных условий (жесткое или мягкое нагру-жение) и величины внутренних и внешних напряжений влияют на скорость реакции.

Результаты моделирования возникновения и развития фронтов фазовых и химических превращений в деформируемых твердых телах опубликованы в работах [63 67,75,76,142,207 209,244 246,249,250,279].

Четвертая глава посвящена развитию теории микрополярных сред в рамках пространственного описания. При пространственном описании все физические величины вводятся в рассмотрение применительно к выделенному в пространстве элементарному объему, содержащему множество частиц, пере-

мещающихся и вращающихся независимо друг от друга. При этом возникают вопросы о физическом смысле вектора угловой скорости, тензора поворота и тензора инерции данного элементарного объема. В четвертой главе диссертации предлагается методика определения инерционных и кинематических характеристик элементарного объема. При этом оказывается что, в отличие от классического подхода, при котором каждая полярная частица феноменологически эквивалентна твердому телу, тензор инерции элементарного объема может меняться под влиянием внешних воздействий, вызывающих консолидацию или дефрагментацию находящихся в элементарном объеме микрочастиц или предпочтительную ориентацию микрочастиц в пространстве. Таким образом, тензор инерции элементарного объема рассматривается не как заданный параметр, а как дополнительная внутренняя переменная, изменение которой соответствует изменению физико-механических свойств материала.

Поскольку структурные параметры изменяются с течением времени, для них должны быть сформулированы дополнительные кинетические уравнения, описывающие эволюцию этих параметров под влиянием внешних воздействий. В работе показано, что изменение тензора инерции описывается классическим балансовым соотношением механики сплошных сред с источ-никовым членом, характеризующим структурные изменения среды. Для введенного источникового члена необходимо сформулировать дополнительное определяющее уравнение. В работе предлагается методика определения общего вида определяющего уравнения для источникового члена, основанная на рассмотрении изменений в микроструктуре материала в результате внешних воздействий.

Далее рассмотрены модельные задачи, демонстрирующие особенности предложенной модели по сравнению с классической теорией микрополярных сред. Результаты исследований опубликованы в работах [52,53,71,92,93,139,143 146,214,216,217,243,247,286].

Основные обозначения

£ _ время;

ек ...................... орты декартовой системы координат;

г — пространственная координата; Е — единичный тензор второго ранга;

J = (етепепет + етепетеп)/2 — единичный тензор четвертого ранга; (С) — среднее по пространству; ф _ объемная концентрация; а — тензор напряжений Коши; е — линейный тензор деформаций; С — тензор упругости; § _ тензор податливости;

[£] = С+ — С- _ скачок некоторой величины ( на границе раздела;

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Вильчевская Елена Никитична, 2020 год

Литература

[1] Abeyaratne R., Bhattacharya K., Knowles J. K. Strain-energy functions with multiple local minima: Modeling phase transformations using finite thermoelasticity // Nonlinear Elasticity: Theory and Application / Ed. by Y. Fu, R. W. Ogden.^ Cambridge : Cambridge University Press, 2001.— P. 433-490.

[2] Abeyaratne R., Knowles J.K. Kinetic relations and the propagation of phase boundaries in solids // Archive for Rational Mechanics and Analysis. — 1991. - Vol. 114, no. 2. - P. 119-154.

[3] Abeyaratne R., Knowles J. K. Evolution of phase transitions. A continuum theory. — Cambridge et al. : Cambridge University Press, 2006.

[4] Aero E.L., Kuvshinskii E.V. Fundamental equations of the theory of elastic media with rotationally interacting particles // Sov. Phys. Solid State. — 1961. ^ Vol. 2, no. 7. - P. 1272-1281.

[5] Altenbach H., Naumenko K., Zhilin P. A micro-polar theory for binary media with application to phase-transitional flow of fiber suspensions // Continuum Mechanics and Thermodynamics. — 2003. — Vol. 15, no. 6. — P. 539-570.

[6] Arghavani J.and Auricchio F., Naghdabadi R., Reali A.and Sohrabpour S. A 3-d phenomenological constitutive model for shape memory alloys under multiaxial loadings // Int. J. Plast. - 2010. - Vol. 26. — P. 976-991.

[7] Artemev A., Jin Y., Khachaturyan A.G. Three-dimensional phase field model of proper martensitic transformation // Acta Mater. — 2001. — Vol. 49. — P. 1165-1177.

[8] Artemev A., Wang Y., Khachaturyan A.G. Three-dimensional phase field model and simulation of martensitic transformation in multilayer systems under applied stresses // Acta Mater. - 2000. - Vol. 48. - P. 2503-2518.

[9] Beel J. A., Groswald D. E., Luttges M. W. Alterations in the mechanical properties of peripheral nerve following crush injury // Journal of Biomechanics. - 1984. - Vol. 17. - P. 185-193.

[10] Benveniste Y. On the Mori-Tanaka's method in cracked bodies // Mechanics Research Communications. — 1986. — Vol. 13. — P. 193-201.

[11] Benveniste Y., Miloh T. On the effective thermal conductivity of coated short-fiber composites // Journal of Applied Physics.^ 1991.— Vol. 69.^ P. 1337-1344.

[12] Blair G. W. S., Coppen F. M. V. The subjective judgement of the elastic and plastic properties of soft bodies; the "differential thresholds" for viscosities and compression moduli // Proc. R. Soc. Lond. B. — 1939. — Vol. 128, no. 850.^ P. 109-125.

[13] Bristow J.R. Microcracks, and the static and dynamic elastic constants of an- nealed and heavily cold-worked metals // British Journal of Applied Physics. - 1960. - Vol. 11. - P. 81.

[14] Budiansky B., O'connell R.J. Elastic moduli of a cracked solid // International Journal of Solids and Structures. — 1976. — Vol. 12. — P. 81-97.

[15] Chao C.K., M.H. Shen. Thermal problem of curvilinear cracks in bonded dissimilar materials // Journal of Applied Physics. — 1993. — Vol. 73. — P. 7129-7137.

[16] Chen F.. Giraud A., Sevostianov I., Grgic D. Numerical evaluation of the Es-helby tensor for a concave superspherical inclusion // International Journal of Engineering Science. — 2015. — Vol. 93. — P. 51-58.

[17] Chen F.. Sevostianov I., Giraud A., Grgic D. Evaluation of the effective elastic and conductive properties of materials containing concave pores // International Journal of Engineering Science. — 2015. — Vol. 97. — P. 60-68.

[18] Chen K. Microcontinuum balance equations revisited: the mesoscopic approach //J. Non-Equilib. Tlierinodyii. 2007. Vol. 32. — P. 435-458.

[19] Chen W.T. Displacement discontinuity over a transversely ssotropic halfspace // IBM J. Res. and Dev. - 1964. - Vol. 8. - P. 435-442.

[20] Chen W.T. Some aspects of a flat elliptical crack under shear stress // Journal of Mathematics and Physics. — 1966. — Vol. 45, no. 1-4. — P. 213223.

[21] Chen Y.H., Wang C.W., Zhang X., Sastry A.M. Porous cathode optimization for lithium cells: Ionic and electronic conductivity, capacity, and selection of materials // Journal of Power Sources. - 2010. - Vol. 195. - P. 2851-2862.

[22] Christensen R.M. Mechanics of composite materials.^ New York : Wiley, 1979.

[23] Christensen R.M. Theory of viscoelasticity. — New York : Academic Press, 1982.

[24] Cocks A.C.F., Ashby M.F. The growth of dominant crack in a creeping material // Scr. Metall. - 1982. - Vol. 6. - P. 109-114.

[25] Constitutive model for the numerical analysis of phase transformation in polycrystalline shape memory alloys / D. Lagoudas, D. Hartl, Y. Chemisky et al. // Int. J. Plast. - 2012. - Vol. 32. - P. 155-183.

[26] Cowin S. C. The relationship between the elasticity tensor and the fabric tensor // Mech Mater. - 1985. - Vol. 4. - P. 137-147.

[27] Currey J. D. Bones: Structure and mechanics. — New York : Princeton University Press, 2002.

[28] DeBorst R. A generalization of J2-flow theory for polar continua // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. — 1993. — Vol. 103, no. 3. — P. 347-362.

[29] Delph T.J. Intrinsic strain in SiO2 thin films // Applied Physics. — 1998. — Vol. 83. — P. 785-792.

[30] Dluzewski P. H. Finite deformations of polar elastic media // International journal of solids and structures. — 1993. — Vol. 30, no. 16. — P. 2277-2285.

[31] Dong X. N., Guo X. E. The dependence of transversely isotropic elasticity of human femoral cortical bone on porosity // Journal of Biomechanics. — 2004. - Vol. 37. - P. 1281-1287.

[32] Dunn M.L., Wienecke H.A. Inclusions and inhomogeneities in transversely isotropic piezoelectric solids // International Journal of Solids and Structures. - 1997. - Vol. 34. - P. 3571-3582.

[33] Dyszlewicz J. Micropolar theory of elasticity.^ Berlin : Springer Science, 2004.

[34] Ehlers W., Ramm E., Diebels S., D'Addetta G.A. From particle ensembles to Cosserat continua: homogenization of contact forces towards stresses and

couple stresses // International journal of solids and structures. — 2003. — Vol. 40. — P. 6681-6702.

[35] Elliott H.A. Three-dimensional stress distributions in hexagonal aeolotrop-ic crystals // International Journal of Engineering Science.^ 2005.^ Vol. 42. — P. 455-476.

[36] Eringen A.C. Simple microfluids // International Journal of Engineering Science. - 1964. - Vol. 2, no. 2. - P. 205-217.

[37] Eringen A.C. Continuum physics, Vol. IV. — New York : Academic Press, 1976.

[38] Eringen A.C. A continuum theory of rigid suspensions // International Journal of Engineering Science. - 1984. - Vol. 22. - P. 1373-1388.

[39] Eringen A.C. Rigid suspensions in viscous fluid // International Journal of Engineering Science. — 1985. — Vol. 23. — P. 491-495.

[40] Eringen A.C. Continuum theory of dense rigid suspensions // Rheologica Acta. - 1991. - Vol. 30. - P. 23-32.

[41] Eringen A.C. A unified continuum theory of electrodynamics of liquid crystals // International Journal of Engineering Science. — 1997. — Vol. 35, no. 12/13. — P. 1137-1157.

[42] Eringen A. C. Microcontinuum field theories: I Foundations and solids. — New York : Springer Verlag, 1999.

[43] Eringen A. C. Microcontinuum field theories- II Fluent media. — New York : Springer Verlag, 2001.

[44] Eringen A. C., Kafadar C. B. Polar field theories. In: Continuum physics IV. — London : Academic Press, 1976.

[45] Eringen A. C., Suhubi E. S. Nonlinear theory of simple microelastic solids // International Journal of Engineering Science. — 1964. — Vol. 2. — P. 189203.

[46] Eringen A. C., Suhubi E. S. Nonlinear theory of simple microelastic solids // International Journal of Engineering Science. — 1964. — Vol. 2. — P. 389404.

[47] Eshelby J. The elastic energy-momentum tensor // Elasticity. — 1975. — Vol. 5. - P. 321-335.

[48] Fabrikant V.I. Applications of potential theory in mechanics: a selection of new results. — Dordrecht; Boston : Kluwer Academic Publishers, 1989.

[49] Fedale T.D., Taya M . Effective thermal conductivity of composites with fibre-matrix debonding // Journal of Materials Science Letters.^ 1991. — Vol. 10. - P. 682-684.

[50] Fedorov F. Theory of elastic waves in crystals. — New York : Plenum Press, 1968.

[51] Equation of state of pure water and sea water : Rep. / Marine Physical Laboratory of the Scripps Institution of Oceanography ; Executor: F.H. Fisher, O. E. Dial, Jr. — San Diego : 1975.

[52] Fomicheva M., Vilchevskaya E., Mtiller W., N. Bessonov. Funnel flow of a navier-stokes-fluid with potential applications to micropolar media // Facta Universitatis, Series: Mechanical Engineering.^ 2019.^ Vol. 17, no. 2.— P. 255-267.

[53] Fomicheva M., Vilchevskaya E., Mtiller W., N. Bessonov. Milling matter in a crusher: modeling based on extended micropolar theory // Continuum Mechanics and Thermodynamics. — 2019. — Vol. 31. — P. 1559-1570.

[54] Forest S., Sievert R. Elastoviscoplastic constitutive frameworks for generalized continua // Acta Mechanica. - 2003. - Vol. 160, no. 1-2. - P. 71-111.

[55] Forest S., Sievert R. Nonlinear microstrain theories // International journal of solids and structures. - 2006. - Vol. 43, no. 24. - P. 7224-7245.

[56] Fosdick R., Hertog B. The Maxwell relation and Eshelby's conservation law for minimizers in elasticity theory // Journal of Elasticity. — 1989. — Vol. 22. — P. 193-200.

[57] Fraction-exponential representation of the viscoelastic properties of dentin / S. Seyedkavoosi, D. Zaytsev, B. Drach et al. // International Journal of Engineering Science. — 2017. — Vol. 111. — P. 52-60.

[58] Freidin A.B. On new phase inclusions in elastic solids // ZAMM. — 2007. — Vol. 871, no. 2. — P. 102-116.

[59] Freidin A. On chemical reaction fronts in nonlinear elastic solids // Proc. of XXXVII Summer School-Conference Advanced Problems in Mechanics / Institute for Problems in Mechanical Engineering of Russian Academy of Sciences. - 2009. - P. 231-237.

[60] Freidin A. Chemical affinity tensor and stress-assist chemical reactions front propagation in solids // ASME 2013 International Mechanical Engineering Congress and Exposition. — 2014.

[61] Freidin A.B. On a chemical affinity tensor for chemical reactions in de-formable solids // Mechanics of Solids. - 2015. - Vol. 50 (3). - P. 260-285.

[62] Freidin A.B., Fu Y.B., Sharipova L.L., Vilchevskaya E.N. Spherically symmetric two-phase deformations ans phase transition zones // Int. J. Solids and Struct. - 2006. - Vol. 43. - P. 4484-4508.

[63] Freidin A., Korolev I., Aleschenko S., Vilchevskaya E. Chemical affinity tensor and chemical reaction front propagation: theory and FE-simulations // International Journal of Fracture. - 2016. - Vol. 202, no. 2. - P. 245-259.

[64] Freidin A., Vilchevskaya E. On initial state of stress induced phase transformation due to multiple appearance of new phase ellipsoidal nuclei // Proceedings Advanced Problems in Mechanics APM 2006. — Russian Academy of Sciences, IPME RAS, 2006. - P. 311-317.

[65] Freidin A.B., Vilchevskaya E.N. Multiple development of new phase inclusions in elastic solids // Int. J. Engineering Science. — 2009. — Vol. 47. — P. 240-260.

[66] Freidin Alexander, Vilchevskaya Elena. Chemical affinity tensor in coupled problems of mechanochemistry // Encyclopedia of Continuum Mechanics / Ed. by H. Altenbach, A. Ochsner. — 2019.

[67] Freidin A.B., Vilchevskaya E.N., Korolev I.K. Stress-assist chemical reactions front propagation in deformable solids // Int. J. Engineering Science. — 2014. Vol. 83. — P. 57-75.

[68] Freidin A.B., Vilchevskaya E.N., Sharipova L.L. Two-phase deformations within the framework of phase transition zones // Theoretical and Applied Mechanics. - 2002. - Vol. 28-29. - P. 149-172.

[69] Fricke H. The maxwell-wagner dispersion in a suspension of ellipsoids // Journal of Physical Chemistry. - 1953. - Vol. 57. - P. 934-937.

[70] Giraud A., Sevostianov I. Micromechanical modeling of the effective elastic properties of oolitic limestone // International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences. - 2013. - Vol. 62. - P. 23-27.

[71] Glane S., Rickert W., Müller W. H., Vilchevskaya E. Micropolar media with structural transformations: Numerical treatment of a particle crusher // Proceedings Advanced Problems in Mechanics APM 2017. — Russian Academy of Sciences, IPME RAS, Peter the Great St. Petersburg Polytechnic University, 2017. — P. 197-211.

[72] Glansdorff P., Prigogine I. Thermodynamic theory of stability and fluctuation.— Wiley-Interscience. New York, 1971.

[73] Grammenoudis P., Tsakmakis C. Predictions of microtorsional experiments by micropolar plasticity // Proceedings of the Royal Society A Mathematical Physical and Engineering Sciences. — 2005. — Vol. 461, no. 2053. — P. 189— 205.

[74] Grechka V., Vasconselos I., Kachanov M. The influence of crack shapes on the effective elasticity of fractured rocks // Geophysics. — 2006. — Vol. 71. — P. D153-D160.

[75] Grigoreva P., Vilchevskaya E. N., Müller W. H. Modeling stress-affected chemical reactions in Solids — A Rational Mechanics Approach // Advances in Mechanics of Microstructured Media and Structures. Vol. 87 / Ed. by F. delPIsola, V.A. Eremeyev, A. Porubov. — Cham : Springer, 2018.^ P. 157-183.

[76] Grigoreva P., Vilchevskaya E. N., Müller W. H. Stress and diffusion assisted chemical reaction front kinetics in cylindrical structures // Contributions to Advanced Dynamics and Continuum Mechanics / Ed. by H. Altenbach, H. Irschik, V. Matveenko. Springer, 2019.^ P. 53-72.

[77] Grinfeld M.A. Construction of a physically-linear theory of coherent transitions // Mechanics of Solids. - 1986. - Vol. 44. - P. 79-91.

[78] Grinfeld M.A. Thermodynamic methods in the theory of heterogeneous systems . — New York : Longman, 1991.

[79] Guerrero F., Sevostianov I., Giraud A. On an arbitrarily oriented crack in a transversely-isotropic medium // International Journal of Fracture. — 2007. - Vol. 148. - P. 273-279.

[80] Gurtin M.E. Two-phase deformation of elastic solids // Arch.Rat.Mech.Anal. - 1983. - Vol. 84, no. 1. - P. 1-29.

[81] Gurtin M.E. The dynamics of solid-solid phase transitions 1. Coherent interfaces // Archive for rational mechanics and analysis. — 1993. — Vol. 123, no. 4. — P. 305-335.

[82] Gurtin M.E. Configurational forces as basic concepts of continuum physics. — Springer, 2000.

[83] Gusev E., Lu H., Gustafsson T., Garfunkel E. Growth mechanism of thin silicon oxide films on Si(100) studied by medium-energy ion scattering // Phys. Rev. B. - 1995. - Vol. 52. - P. 1759-1775.

[84] Hamilton E.L. Elastic properties of marine sediments // Journal of geophysical research. - 1971. - Vol. 76, no. 2. - P. 579-604.

[85] Hasselman D.P.H., Johnson L.F. Effective thermal conductivity of composites with interfacial thermal barrier resistance // Journal of Composite Materials. - 1987. - Vol. 21. - P. 508-515.

[86] Hill R. A self-consistent mechanics of composite materials // Journal of the Mechanics and Physics of Solidss. — 1965. — Vol. 11. — P. 357-372.

[87] Hoenig A. The behavior of a flat elliptical crack in an anisotropic elastic body // International Journal of Solids and Structures. — 1978. — Vol. 14. — P. 925-934.

[88] Homminga J., Mccreadie B.R., Weinans H., Huiskes R. The dependence of the elastic properties of osteoporotic cancellous bone on volume fraction and fabric //J Biomech. - 2003. - Vol. 36. - P. 1461-1467.

[89] Islam Md. R., Pramila A. Thermal conductivity of fiber reinforced composites by the FEM // Journal of Composite Materials. — 1999. — Vol. 33. — P. 1699-1715.

[90] Ivanova E., Vilchevskaya E. Description of thermal and micro-structural processes in generalized continua: Zhilin's method and its modifications // Generalized Continua as Models for Materials / Ed. by H. Altenbach, S. Forest, A.M. Krivtsov. Berlin, Heidelberg : Springer, 2013.— P. 179-197.

[91] Ivanova Elena, Vilchevskaya Elena. Zhilin's method and its modifications // Encyclopedia of Continuum Mechanics / Ed. by H. Altenbach, A. Ochsner. - 2017.

[92] Ivanova E.A., Vilchevskaya E.N., Miiller W.H. Time derivatives in material and spatial description — what are the differences and why do they concern us? // Advanced Methods of Continuum Mechanics for Materials and Structures. — Singapore : Springer, 2016. — Vol. 20.

[93] Ivanova E. A., Vilchevskaya E. N. Micropolar continuum in spatial description // Continuum Mechanics and Thermodynamics. — 2016. — Vol. 28, no. 6. - P. 1759-1780.

[94] James R.D. Co-existent phases in one-dimensional static theory of elastic bars // Arch.Rat.Mech.Anal. - 1979. - Vol. 72, no. 2. - P. 99-140.

[95] James R.D. Finite deformation by mechanical twinning // Arch. Rat. Mech .Anal. - 1981. - Vol. 7. - P. 143-177.

[96] Jeong J., Neff P. Existence, uniqueness and stability in linear Cosserat elasticity for weakest curvature conditions // Mathematics and Mechanics of Solids. - 2010. - Vol. 15, no. 1. - P. 78-95.

[97] Kachanov M. Continuum model of medium with cracks // Journal of the Engineering Mechanics Division. — 1980. — Vol. 106. — P. 1039-1051.

[98] Kachanov M., Sevostianov I. Effective properties of heterogeneous materials. — Dordrecht : Springer, 2013.

[99] Kachanov M., Sevostianov I. Micromechanics of materials, with applications. — Cham : Springer, 2018.^ P. 712.

[100] Kanaun S. Elliptical crack in an anisotropic elastic medium subjected to a constant external field // International Journal of Fracture. — 2007. — Vol. 148. - P. 95-102.

[101] Kanaun S.K., Levin V.M. Self-consistent methods for composites. Static problems. — Springer, 2008.

[102] Kanaun S.K., Levin V.M. Elliptical cracks arbitrarily oriented in 3D-anisotropic elastic media // International Journal of Engineering Science. — 2009. - Vol. 47. - P. 777-792.

[103] Kinney J. H., Habelitz S., Marshall S. J.and Marshall G. W. The importance of intrafibrillar mineralization of collagen on the mechanical properties of dentin // Journal of Dental Research. - 2003. - Vol. 82, no. 12. - P. 957961.

[104] Knowles J.K. Dynamic thermoelastic phase transitions // International Journal of Solids and Structures. — 1995. — Vol. 32, no. 17. — P. 2703-2710.

[105] Knowles J.K., Sternberg E. On the failure of ellipticity and the emergence of discontinuous deformation gradients in plane finite elastostatics // Journal of Elasticity. - 1978. - Vol. 8. - P. 329-379.

[106] Koiter W. T. Couple-stresses in the theory of elasticity. Pt I—II // Proc. Koninkl. Neterland. Akad. Wetensh. 1964. — Vol. B, no. 1. — P. 17-44.

[107] Kondepudi D., Prigogine I. Modern thermodynamics. From heat engines to sissipative structures. — New York : John Wiley & Sons, 1998.

[108] Krajcinovic D. Damage mechanics.^ Amsterdam : Elsevier Science, 1996.

[109] Kroner E. On the physical reality of torque stresses in continuum mechanics // International Journal of Engineering Science.^ 1963.^ Vol. 15 no. 2. — P. 261-278.

[110] Kuna-Ciska 1 H., Skrzypek J.J. CDM-based modelling of damage and fracture mechanisms in concrete under tension and compression // Eng Fract Mech_ _ 2004. - Vol. 71. - P. 681-698.

[111] Kunin I.A. Elastic media with microstructure. — Springer, 1983.

[112] Kushch V.I. Transverse conductivity of unidirectional fibrous composite with interface arc cracks // International Journal of Engineering Science. — 2010. - Vol. 48. - P. 343-356.

[113] Kushch V.I., Sevostianov I. Maxwell homogenization scheme as a rigorous method of micromechanics: Application to effective conductivity of a composite with spheroidal particles // International Journal of Engineering Science, _ 2016. - Vol. 98. - P. 36-50.

[114] Kushch V.I., Sevostianov I. The "rigorous"Maxwell homogenization scheme in 2d elasticity: Effective stiffness tensor of composite with elliptic inhomo-geneities // Mechanics of Materials. - 2016. - Vol. 103. - P. 44-54.

[115] Larsson R., Diebels S. A second-order homogenization procedure for multi-scale analysis based on micropolar kinematics // International Journal for Numerical Methods in Engineering.^ 2007.^ Vol. 69, no. 12.— P. 2485 2512.

[116] Larsson R., Zhang Y. Homogenization of microsystem interconnects based on micropolar theory and discontinuous kinematics // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. — 2007. — Vol. 55, no. 4. — P. 819-841.

[117] Laurendeau N.M. Statistical Thermodynamics: Fundamentals and Applications. — USA : Cambridge University Press, 2005.

[118] Levin V.M., Michelitsch T., Sevostianov I. Spheroidal inhomogeneity in a transversely isotropic piezoelectric medium // Archive of Applied Mechanics. - 2000. - Vol. 70. - P. 673-693.

[119] Levitas V.I., Idesman A.V., Preston D.L. Microscale simulation of marten-sitic microstructure evolution // Phys. Rev. Let.s. — 1988. — Vol. 93. — P. 105701.

[120] Levitas V.I., Lee D.W., Preston D.L. Interface propagation and microstructure evolution in phase field models of stress-induced martensitic phase transforma- tions // Int. J. Plast. - 2010. - Vol. 26. - P. 395-422.

[121] Lexcellent C., Leclercq S., Gabry B., Bourbon G. The two way shape memory effect of shape memory alloys: an experimental study and a phenomeno-logical model. // Int. J. Plast. - 2000. - Vol. 16. — P. 1155-1168.

[122] Lippmann H. Eine Cosserat-Theorie des plastischen Fli^ens. // Acta Me-chanica. - 1969. - Vol. 8, no. 3-4. - P. 93-113.

[123] Litewka A. Effective material constants for orthotropically damaged elastic solid // Arch Mech. - 1985. - Vol. 37, no. 6. - P. 631-642.

[124] Litewka A., Lis Z. Creep damage and creep rupture of metals. // Applied Stress Analysis / Ed. by T.H. Hyde, E. Ollerton. — Dordrecht : Springer, 1990.

[125] Loret B., Simoes F.M.F. A framework for deformation, generalized diffusion, mass transfer and growth in multi-species multi-phase biological tissues // European Journal of Mechanics A/Solids. — 2005. — Vol. 24. — P. 757-781.

[126] Markworth A.J. The transverse thermal conductivity of a unidirectional fiber composite with fiber-matrix debonding: a calculation based on effective medium theory // Journal of Materials Science Letters. — 1993. — Vol. 12. — P. 1487-1489.

[127] Martin R. B., Burr D. B. Structure, function and adaptation of compact bone. — New York : Raven Press, 1989.

[128] Marx D. Proton transfer 200 years after von Grotthuss: Insights from ab initio simulations // ChemPhysChem. — 2006. — Vol. 7, no. 9. — P. 18481870.

[129] Maugin G.A. On the structure of the theory of polar elasticity // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. — 1998. — Vol. 356, no. 1741. — P. 13671395.

[130] Maxwell J. C. A treatise on electricity and magnetism. — Oxford: Clarendon Press : Cambridge University Press, 1873.

[131] McCartney L.N. Maxwell's far-field methodology predicting elastic properties of multiphase composites reinforced with aligned transversely isotropic spheroids // Philosophical Magazine. — 2010. — Vol. 90. — P. 4174-4207.

[132] McCartney L.N., Kelly A. Maxwell's far-field methodology applied to the prediction of properties of multi-phase isotropic particuate composites // Proceedings of the Royal Society of London. — 2008. — Vol. A464. — P. 423-446.

[133] Mear M., Sevostianov I., Kachanov M. Elastic compliances of non-flat cracks // International Journal of Solids and Structures. — 2007. — Vol. 44. - P. 6412-6427.

[134] Mikata Y. Determination of piezoelectric Eshelby tensor in transversely isotropic piezoelectric solids // International Journal of Engineering Science, _ 2000. - Vol. 38. - P. 605-641.

[135] Milton G.W. The theory of composites. — Cambridge University Press, 2012.

[136] Mindlin R.D. Micro-structure in linear elasticity // Arch. Rat. Mech. Anal. - 1964. - Vol. 16, no. 1. - P. 51-78.

[137] Mindlin R.D., Tiersten H.F. Effects of couple-stresses in linear elasticity // Archive for Rational Mechanics and Analysis. — 1962. — Vol. 11. — P. 415448.

[138] Mori T., Tanaka K. Average stress in matrix and average elastic energy of materials with misfitting inclusions // Acta metallurgica. — 1973. — Vol. 21, no. 5. — P. 571-574.

[139] Morozova A.S., Vilchevskaya E. N., Miiller W. H., N.M. Bessonov. Interrelation of heat propagation and angular velocity in micropolar media // Dynamical Processes in Generalized Continua and Structures / Ed. by H. Altenbach, A. Belyaev, V. Eremeyev et al. — Springer, 2019. — P. 413-425.

[140] Miiller I. A history of thermodynamics: The doctrine of energy and entropy. — Berlin : Springer, 2007.

[141] Müller I., Müller W.H. Fundamentals of thermodynamics and applications: with historical annotations and many citations from Avogadro to Zermelo. — Berlin : Springer, 2009.

[142] Müller W.H., Vilchevskaya E.N., Freidin A.B. Structural changes in micromaterials: phenomenology, theory, applications, and simulations // Lecture Notes of TICMI. - 2015. - Vol. 16. - P. 2-74.

[143] Müller W. H., Vilchevskaya E. N. Micropolar theory from the viewpoint of mesoscopic and mixture theories // Physical Mesomechanics. — 2017. — Vol. 20, no. 3. - P. 263—279.

[144] Müller W. H., Vilchevskaya E. N. Micropolar media with structural transformations - Theory illustrated by an example problem // Materials Physics and Mechanics. — 2018. — Vol. 35. — P. in print.

[145] Müller W. H., Vilchevskaya E. N. Micropolar theory with production of rotational inertia: a rational mechanics approach // Generalized Models and Non-classical Approaches in Complex Materials 1 / Ed. by H. Altenbach, J. Pouget, M. Rousseau et al. — Cham : Springer, 2018.^ P. 195-229.

[146] Müller W. H., Vilchevskaya E. N., Weiss W. A meso-mechanics approach to micropolar theory: A farewell to material description // Physical Mesomechanics. - 2017. - Vol. 20, no. 3. - P. 250-262.

[147] Mura T. Micromechanics of defects in solids. — Dordrecht: Martinus Nijhoff, 1987.

[148] Müller I., Ruggeri T. Rational extended thermodynamics (Vol. 37).— Springer Science & Business Media, 2013.

[149] Nanoindentation testing of human enamel and dentin / R. Halgas, J. Dusza, J. Kaiferova et al. // Ceramics-Silikäty. - 2013. - Vol. 57, no. 2. - P. 92-99.

[150] Neff P. A finite-strain elastic-plastic Cosserat theory for polycrystals with grain rotations // International Journal of Engineering Science. — 2006. — Vol. 44. - P. 574-594.

[151] Neff P., Jeong J. A new paradigm: the linear isotropic Cosserat model with conformally invariant curvature energy // ZAMM-Journal of Applied Mathematics and Mechanics/Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik. - 2009. - Vol. 89, no. 2. - P. 107-122.

[152] Nemat-Nasser S., Hori M. Micromechanics: Overall properties of heterogeneous solids. — Elsevier, 1993.

[153] Numerical modeling of carbon/carbon composites with nanotextured matrix and 3D pores of irregular shapes / B. Drach, I. Tsukrov, T. Gross et al. // International Journal of Solids and Structures. — 2011. — Vol. 48. — P. 24472457.

[154] Oeve W.l, Schröter J. Balance equation for micromorphic materials // Journal of Statistical Physics. - 1981. - Vol. 25, no. 4. - P. 645-662.

[155] Onaka S. Averaged Eshelby tensor and elastic strain energy of a superspheri-cal inclusion with uniform eigenstrains // Philosophical Magazine Letters. —

2001. - Vol. 81, no. 4. - P. 265-272.

[156] Onaka S. Elasticstates of doughnut-like inclusions with uniform eigenstrains treated by averaged Eshelby tensors // Philosophical Magazine Letters. —

2002. — Vol. 81, no. 1. — P. 1-7.

[157] Palmov V.A. Fundamental equations of the theory of asymmetric elasticity // Applied Mathematics and Mechanics. — 1964. — Vol. 28, no. 3. — P. 496-505.

[158] Panico M., Brinson L.C. A three-dimensional phenomenological model for martensite reorientation in shape memory alloys //J. Mech. Phys. Solids. — 2007. - Vol. 55. - P. 1491-2511.

[159] Pietraszkiewicz W., Eremeyev V.A. On natural strain measures of the nonlinear micropolar continuum // International journal of solids and structures. - 2009. - Vol. 49, no. 3-4. - P. 774-787.

[160] Pines B. Ya. Odnofokusnye rentgenovskie trubki i prikladnoi rentgenovskii analiz (Monofocus X-ray Tube and Applied X-ray Analysis, in Russ.).^ Moscow : Tekhniko-teoreticheskaya literatura, 1955.

[161] Preparation of rechargeable lithium battaries with polymethyl methacrylate based gel polymer electrolyte by in situy-ray irradiation-induced polymerization / Y.F. Zhou, S. Xie, X.W. Ge et al. // Journal of Applied Electrochemistry. - 2004. - Vol. 34, no. 11. - P. 1119-1125.

[162] Prigogine I. Introduction to thermodynamics of irreversible processes. — Sprindfield : Charles C. Thomas Publishers, 1955.

[163] Prigogine I., Defay R. Chemical Thermodynamics. — Longmans, Green, London, 1988.

[164] Rabotnov Yu.N. Elements of hereditary solid mechanics. — Moscow : Mir, 1977.

[165] Rabotnov Y.N. Equilibrium of an elastic medium with after-effect (reprint) // Fractional Calculus and Applied Analysis. — 2014. — Vol. 17, no. 3. - P. 684-696.

[166] Ramezani S., Naghdabadi R. Energy pairs in the micropolar continuum // International journal of solids and structures. — 2007. — Vol. 44, no. 14-15. — P. 4810-4818.

[167] Replacement relations for thermal conductivity of a porous rock / F. Chen, Yu. Popov, I. Sevostianov et al. // International Journal of Rock Mechanics & Mining Sciences. - 2017. - Vol. 97. - P. 64-740.

[168] Rice J. Continuum mechanics and thermodynamics of plasticity in relation to microscale deformation mechanisms // Constitutive Equations in Plasticity / Ed. by A. Argon. - MIT Press, 1975. - P. 23-75.

[169] Rickert W., Vilchevskaya E. N., Miiller W. H. A note on Couette flow of micropolar fluids according to Eringen's theory // Mathematics and Mechanics of Complex Systems. - 2018. - Vol. 7, no. 1. - P. 25-50.

[170] Riedel H. The extension of a macroscopic crack at elevated temperature by the growth and coalescence of microvoids // Creep in Structures / Ed. by A.R.S. Ponter, D.R. Hayhurst. Berlin, Heidelberg : Springer, 1981.— P. 504-519.

[171] Rivlin R.S. The formulation of theories in generalized continuum mechanics and their physical significance // Symposia Mathematica. — 1968. — Vol. 1. — P. 357-373.

[172] Rodin G. J. Eshelby's inclusion problem for polygons and polyhedra // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. — 1996. — Vol. 44, no. 12. — P. 1977-1995.

[173] Rosakis P., Knowles J.K. Unstable kinetic relations and the dynamics of solid-solid phase transitions // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. — 1997. — Vol. 45, no. 11-12.- P. 2055-2081.

[174] Rosencher E., Straboni A., Rigo S., G. Amsel. An 180 study of the thermal oxidation of silicon in oxygen // Appl. Phys. Lett. — 1979. — Vol. 34. — P. 254-257.

[175] Selection of conductive additives in li-ion battery cathodes a numerical study / Y.H. Chen, C.W. Wang, G. Liu et al. // Journal of the Electrochemical Society. - 2007. - Vol. 154, no. 10. - P. A910-A916.

[176] Sevostianov I. Thermal conductivity of a material containing cracks of arbitrary shape // International Journal of Engineering Science. — 2006. — Vol. 44. - P. 513-528.

[177] Sevostianov I. On the shape of effective inclusion in the Maxwell homoge-nization scheme for anisotropic elastic composites // Mechanics of Materials. - 2014. - Vol. 75. - P. 45-59.

[178] Sevostianov I., Giraud A. On the compliance contribution tensor for a concave superspherical pore // International Journal of Fracture. 2012. — Vol. 177. - P. 190-206.

[179] Sevostianov I., Giraud A. Generalization of Maxwell homogenization scheme for elastic material containing inhomogeneities of diverse shape // International Journal of Engineering Science. — 2013. — Vol. 64. — P. 23-36.

[180] Sevostianov I., Gorbatikh L., Kachanov M. Recovery of information on the microstructure of porous/microcracked materials from the effective elastic/conductive properties // Materials Science and Engineering: A.— 2016. - Vol. 318, no. 1-2. - P. 1-14.

[181] Sevostianov I., Kachanov M. Compliance tensor of ellipsoidal inclusion // International Journal of Fracture. — 1999. — Vol. 96. — P. 13-17.

[182] Sevostianov I., Kachanov M. Modeling of anisotropic elastic properties of plasma-sprayed ceramic coatings in relation to their microstructure // Acta Mechanica. - 2000. - Vol. 48. - P. 1361-1370.

[183] Sevostianov I., Kachanov M. Explicit cross-property correlations for anisotropic two-phase composite materials // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. - 2002. - Vol. 50. - P. 253-282.

[184] Sevostianov I., Kachanov M. On approximate elastic symmetries and elliptic orthotropy // International Journal of Fracture. — 2008. — Vol. 46. — P. 211— 223.

[185] Sevostianov I., Kachanov M., Zohdi T. On computation of the compliance and stiffness contribution tensors of inhomogeneities // International Journal of Solids and Structures. - 2008. - Vol. 45. - P. 4375-4383.

[186] Sevostianov I., Levin V., Radi E. Effective viscoelastic properties of micro-cracked materials: Application of Maxwell homogenization scheme // Mechanics of Materials. - 2015. - Vol. 84. - P. 28-43.

[187] Sevostianov I., Verijenko V., Verijenko B. Evaluation of microstructure and properties deterioration in short fiber reinforced thermoplastics subjected to hydrothermal aging // Composite Structures. — 2003. — Vol. 62. — P. 411 417.

[188] Sevostianov I., Yilmaz N., Kushch V., Levin V. Effective elastic properties of matrix composites with transversely-isotropic phases // Proceedings of the Cambridge Philosophical Society,. — 1948. — Vol. 44. — P. 522-533.

[189] Seyedkavoosi S., Vilchevskaya E., Sevostianov I. Randomly oriented cracks in a transversely isotropic material // International Journal of Solids and Structures. - 2018. - Vol. 150. - P. 222-229.

[190] Sluis O.van der, Vosbeek P.H.J., Schreurs P.J.G., Meijer H.E.H. Homogenization of heterogeneous polymers // International Journal of Solids and Structures. - 1999. - Vol. 36, no. 21. - P. 3193-3214.

[191] Smirnov A., Vilchevskaya E., Sevostianov I. Evaluation of the effective vis-coelastic properties of a material containing multiple oblate inhomogeneities using fraction-exponential operators // International Journal of Engineering Science. - 2019. - Vol. 144. - P. 103124.

[192] Static linear and nonlinear elastic properties of normal and arterialized venous tissue in dog and man / R. L. R. Wesly, R. N. Vaishnav, J. C. A. Fuchs et al. // Circulation Research. - 1975. - Vol. 37. - P. 509-520.

[193] Steinmann P. A micropolar theory of finite deformation and finite rotation multiplicative elastoplasticity // International journal of solids and structures. - 1994. - Vol. 31, no. 8. - P. 1063-1084.

[194] Stojanovic R., Djuriic S., Vujoseviic L. On finite thermal deformations // Arch. Mech. Stos. - 1964. - Vol. 16. - P. 102-108.

[195] Sun Q.P., Hwang K.C. Micromechanics constitutive description of ther-moelastic martensitic transformations // Advances in applied mechanics. — 1994. _ v0i. 3i. _ p. 249-298.

[196] Sutardja P., Oldham W. Modeling of stress effects in silicon oxidation // IEEE Trans. Electron Devices. - 1988. - Vol. 36 (11).- P. 2415-2421.

[197] Talreja R. Damage characterization by internal variables // Damage mechanics of composite materials / Ed. by R.. Talreja. — Amsterdam : Elsevier, 1994. _ p. 53 78.

[198] Taming martensitic transfer- mation via concentration modulation at nanoscale / J. Zhu, Y. Gao, D. Wang et al. // Acta Mater. — 2017. — Vol. 130. - P. 196-207.

[199] Toupin R.A. Elastic materials with couple-stresses // Archives for Rational Mechanics and Analysis. - 1962. - Vol. 11. - P. 385-414.

[200] Toupin R.A. Theories of elasticity with couple-stress // Archives for Rational Mechanics and Analysis. — 1964. — Vol. 17. — P. 85-112.

18

oxidation of silicon as a function of temperature and pressure // Appl. Surf. Sd. - 1989. - Vol. 39. - P. 65-80.

[202] Truesdell C. The elements of continuum mechanics. — New York : Springer, 1965.

[203] Truesdell C., Toupin R. A. The classical field theories.^ Heidelberg : Springer, 1960.

[204] Tsukrov I., Kachanov M. Effective moduli of an anisotropic material with elliptical holes of arbitrary orientational distribution // International Journal of Solids and Structures. - 2000. - Vol. 37. - P. 5919-5941.

[205] Tsukrov I., Novak J. Effective elastic properties of solids with defects of irregular shape // International Journal of Solids and Structures. — 2002. — Vol. 39. — p. 1539-1555.

[206] Tsukrov I., Novak J. Effective elastic properties of solids with two-dimensional inclusions of irregular shape // International Journal of Solids and Structures. - 2004. - Vol. 41. - P. 6905-6924.

[207] Vilchevskaya E., Freidin A. On phase transformations of an inclusion in an external strain field // Proceedings Advanced Problems in Mechanics APM 2004. - Russian Academy of Sciences, IPME RAS, 2004. - P. 447-454.

[208] Vilchevskaya E.N., Freidin A. Modelling a chemical reaction front propagation in elastic solids: ID case. // Proc. of XXXVII Summer School-Conference Advanced Problems in Mechanics / Institute for Problems in

Mechanical Engineering of Russian Academy of Sciences. — 2009. — P. 681— 691.

[209] Vilchevskaya E., Freidin A. On kinetics of chemical reaction fronts in elastic solids // Surface Effects in Solid Mechanics. 2013.^ P. 105-117.

[210] Vilchevskaya E., Levin V., Seyedkavoosi S., Sevostianov I. Replacement relations for a viscoelastic material containing multiple inhomogeneities // International Journal of Engineering Science. — 2019. — Vol. 20. — P. 26-37.

[211] Vilchevskaya E., Sevostianov I. Effective elastic properties of a particulate composite with transversely-isotropic matrix // International Journal of Engineering Science. — 2015. — Vol. 94. — P. 139-149.

[212] Vilchevskaya E., Sevostianov I. Overall thermal conductivity of a fiber reinforced composite with partially debonded inhomogeneities // International Journal of Engineering Science. — 2016. — Vol. 98. — P. 99-109.

[213] Vilchevskaya E., Sevostianov I. Effect of pore shapes on the overall electrical conductivity of cathode materialin Li-ion batteries // International Journal of Engineering Science. - 2020. - Vol. 146. - P. 103187.

[214] Vilchevskaya E. N. On micropolar theory with inertia production // State of the Art and Future Trends in Material Modeling / Ed. by H. Altenbach, A. Ochsner. - 2019. - P. 421-442.

[215] Vilchevskaya E. N., Ivanova E.A., Altenbach H. Description of the liquidgas phase transition in the frame of continuum mechanics // Continuum Mechanics and Thermodynamics. — 2014. — Vol. 26, no. 2. — P. 221-245.

[216] Vilchevskaya E. N., Miiller W. H. New Aspects in Micropolar Fluid Theory. // Special Issue Related Problems of Continuum Mechanics / Ed. by H. Altenbach, J. Pouget, M. Rousseau et al. — 2018.

[217] Vilchevskaya E. N., Miiller W. H. Some remarks on recent developments in micropolar continuum theory // Proc. 5th International Conference on Topics Problems of Continuum Mechanics, Armenia. — Journal of Physics: Conference Series, IOPScience, 2018.

[218] Volterra V. Sur les équations intégro-différentielles et leurs applications // Acta Mathematica. - 1912. - Vol. 35. - P. 295-356.

[219] Voyiadjis G.Z., Kattan P.I. Advances in damage mechanics: metals and metal matrix Composites. — Oxford : Elsevier, 2006.

[220] Wagner W., Pruss A. The IAPWS formulation 1995 for the thermodynam-icproperties of ordinary water substance for general and scientific use //J. Phys. Chem. Ref. Data. - 2002. - Vol. 31, no. 2. - P. 387-535.

[221] Walpole L.J. On the overall elastic moduli of composite materials // Journal of the Mechanics and Physics of Solidss. — 1969. — Vol. 17. — P. 235-251.

[222] Walpole L.J. Fourth-rank tensors of the thirty-two crystal classes: Multiplication tables // Proceedings of the Royal Society of London. A. Mathematical and Physical Sciences. - 1984. - Vol. 391, no. 1800. - P. 149-179.

[223] Wang C.-W., Sastry A. M., Striebel K. A., Zaghib K. Extraction of layer-wise conductivities in carbon-enhanced, multilayered LiFeP04 cathodes // Journal of the Electrochemical Society.^ 2005.^ Vol. 152.— P. A1001-A1010.

[224] Wang Y., Khachaturyan A.G. Three-dimensional field model and computer modeling of martensitic transformations // Acta Mater. — 1997. — Vol. 45. — P. 759-773.

[225] Wang Y., Li J. Phase field modeling of defects and deformation. // Acta Mater. - 2010. - Vol. 58, no. 4. - P. 1212-1235.

[226] Wilmanski K. Continuum thermodynamics. Part I: Foundations. — Singapore : WorldScientific, 2008.

[227] Wither P.J. The determination of the elastic field of an ellipsoidal inclusion in a transversely isotropic medium, and its relevance to composite materials // Philosophical Magazine. - 1989. - Vol. A 59. - P. 759-781.

[228] Yu H.Y., Sanday S.C., Chang C.I. Elastic inclusions and inhomogeneities in transversely isotropic solids // Proceedings of the Royal Society of Lon- don A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. — The Royal Society, 1994. P. 239-252.

[229] Zaki W., Moumni Z. A three-dimensional model of the thermomechanical behavior of shape memory alloys //J. Mech. Phys. Solids. — 2007. — Vol. 55. — P. 2455-2490.

[230] Zhao J.F., Luo Z.Y., Ni M.J., Cen K.F. Dependence of nanofluid viscosity on particle size and pH value // Chinese Physics Letters. — 2009. — Vol. 26, no. 6. - P. 1-3.

[231] Zhilin P.A. Phase transition and general theory of elasto-plastic bodies // Proc. of XXXVII Summer School-Conference Advanced Problems in Mechanics (APM-2002), St. Petersburg / Institute for Problems in Mechanical Engineering of Russian Academy of Sciences. — 2002. — P. 36-48.

[232] Zhilin P.A., Kolpakov Ya.E. A micro-polar theory for piezoelectric materials // Lecture at XXXIII Summer School - Conference Advanced Problems in Mechanics. - 2005. - P. 250-261.

[233] Zimmerman R.W. Compressibility of two-dimensional cavities of various shapes // Journal of Applied Mechanics. — 1986. — Vol. 53. — P. 500-504.

[234] Zimmerman R. W. Thermal conductivity of fluid-saturated rocks // Journal of Petroleum Science and Engineering. — 1989. — Vol. 3. — P. 219-227.

[235] Zubov L.M. Nonlinear theory of dislocations and disclinations in elastic bodies. — Berlin, Heidelberg, New-York et al : Springer-Verlag, 1997.

[236] Zysset P.K., Curnier A. An alternative model for anisotropic elasticity based on fabric tensors // Mech Mater. - 1995. Vol. 21. P. 243-250.

[237] The application of a homogeneous half-soace model in the analysis of endothelial cell micropipette measurements / D. P. Theret, M. J. Levesque, M. Sato et al. // ASME Journal of Biomechanical Engineering.^ 1998.^ Vol. 110. - P. 190-199.

[238] The role of proteoglycans in the nanoindentation creep behavior of human dentin / L. E. Bertassoni, M. Kury, C. Rathsam et al. // Journal of the Mechanical Behavior of Biomedical Materials. — 2016. — Vol. 55. — P. 264270.

[239] A study of electrochemical kinetics of lithium ion in organic electrolytes / S.-I. Lee, U.-H. Jung, Y.-S. Kim et al. // Korean Journal of Chemical Engineering. - 2002. - Vol. 19. - P. 638-644.

[240] Бердичевски В.Л. Зародыши расплава в твердом теле // Докл. АН ССОР. - 1983. - Т. 273, № 1. - С. 80-84.

[241] Вакуленко A.A. О микро- и макрокинетике мартенситных превращений // МТТ. - 2001. - Т. 5. - С. 43-62.

[242] Вакуленко A.A., Качанов М. Л. Континуальная теория среды с трещинами // МТТ. - 1971. - Т. 4. - С. 159-166.

[243] Вильчевская E.H. Моделирование структурных превращений в микрополярных средах //XII Всероссийский съезд по фундаментальным

проблемам теоретической и прикладной механики сборник докладов. — 2019.

[244] Вильчевская E.H., A.B. Фрейдин. Множественное возникновение эллипсоидальных зародышей новой фазы // Доклады академии наук. — 2006. - Т. 411, № 6. - С. 707-774.

[245] Вильчевская E.H., A.B. Фрейдин. О фазовых превращениях в области неоднородности материала. 4.1. Фазовые превращения включения в однородном внешнем поле. // МТТ. — 2007. — № 5. — С. 208-228.

[246] Вильчевская E.H., A.B. Фрейдин, Н.Ф. Морозов. Кинетика фронта химической реакции в центрально-симметричных задачах механохимии // Доклады академии наук. — 2015. — Т. 461, № 5. — С. 525-529.

[247] Вильчевская E.H., Иванова Е.А. Определение инерционных и кинематических характеристик моментной среды при пространственном описании //XI Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики сборник докладов. — 2015. — С. 39403942.

[248] Гиббс Дж. Термодинамика. Статистическая механики. М. : Наука, 1982.

[249] Григорьева П.М., Вильчевская E.H. Влияние выбора модели диффузии на кинетику химической реакции // Diagnostics, Resource and Mechanics of Materials and Structures. - 2018. C. 59-82.

[250] Григорьева П.М., Вильчевская E.H. Выбор модели диффузии и его влияние на кинетику химической реакции // Проблемы динамики взаимодействия деформируемых сред. Труды IX международной конференции. 2018. С. 133-137.

[251] Гринфельд М.А. Об условиях термодинамического равновесия фаз 11 ел1111 и11 ()-у11 ругоiч) материала // Докл. АН СССР. 1980. Т. 251, Л" 4. С. 824-827.

[252] Гринфельд М.А. Методы механики сплошных сред в теории фазовых превращении. М.: Наука, 1990.

[253] Гузев М.А. Условия на границе раздела фаз нелинейно-упругого материала в динамическом случае // ДАН. — 2007. — Т. 416, № 6. — С. 763 765.

[254] Еремеев В.А., Зубов JI.M. Об устойчивости равновеси нелинейно-упругих тел, испытывающих фазовые превращения // Изв. АН СССР. МТТ_ _ 1991_ _ Т 2. - С. 56-65.

[255] Еремеев В.А., Зубов Л.М. Условия фазового равновесия в нелинейно-упругих средах с микроструктурой // Докл. АН СССР. 1992. Т. 322, № 6. — С. 1052-1056.

[256] Еремеев В.А., Фрейдин A.B., Шарипова Л.Л. Одномерная задача о фазовом превращении упругого шара // Докл. АН СССР. — 2003. — Т. 391, № 2. — С. 189-193.

[257] Еремеев В.А., Фрейдин A.B., Шарипова Л.Л. Об устойчивости равновесия двухфазных упругих тел // ПММ. — 2007. — Т. 71, № 1. — С. 66-92.

[258] Ерофеев В.И. Волновые процессы в твердых телах с микроструктурой. -М.: МГУ, 1999.

[259] Жилин П.А. Математическая теория неупругих сред // Успехи механики, _ 2003. - Т. 2, № 4. - С. 3-36.

[260] Жилин П.А. К общей теории неупругих сред // Механика материалов и прочность конструкций. Труды СПбГПУ. — 2004. — Т. 489. — С. 8-27.

[261] Жилин П.А. Рациональная механика сплошных сред. СПб.: Изд-во Политехи, ун-та, 2012.

[262] Каганова И.М., Ройтбурд А.Л. Равновесие упруго взаимодействующих фаз // Журнал экспериментальной и теоретической физики. — 1988. — Т. 94, № 6. - С. 156-173.

[263] Канааун С.К., Левин В.М. Метод эффективного поля в механике композитных материалов. — Петрозаводск : Петрозаводский гос. Университет, 1993.

[264] Качанов Л. О времени разрушения в условиях ползучести // Изв. АН СССР.- 1958.-С. 26-31.

[265] Кондауров В.И., Никитин Л.В. О фазовых переходах первого рода в нелинейно-упругих средах // Докл. АН СССР. — 1982. — Т. 262, № 6. — С. 1348-1351.

[266] Кубланов Л.В., Фрейдин A.B. Зародыши твердой фазы в деформируемом материале // ПММ. - 1988. - Т. 52, № 3. - С. 493-501.

[267] Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Статистическая физики. М.: Наука, 1976.

[268] Леонтович М.А. Введение в термодинамику. Статистическая физики. М.: Наука, 1983.

[269] Лихачев В.А., Малинин В.Г. Структурно-аналитическая теория прочности. — СПб : Наука, 1993.

[270] Лурье А. И. Нелинейная теория упругости. — М. : Наука, 1980.

[271] Мовчан A.A. Микромеханический подход к описанию деформации мар-тенситных превращений в сплавах с памятью формы // Изв. РАН. МТТ_ _ 1995. _ Т L _ с. 197-205.

[272] Морозов Н.Ф., В.Г. Осмоловский. О постановке и теореме существования для вариационной задачи о фазовых переходах в механике сплошных сред // ПММ. - 1994. - Т. 58, № 5. - С. 125-132.

[273] Морозов Н.Ф., В.Г. Осмоловский. Уравнение колебания упругого тела, допускающего двухфазовое состояние // Изв. АН СССР. МТТ. — 1994. Т. 1. — С. 38-41.

[274] Морозов Н.Ф., Фрейдин A.B. Зоны фазовых переходов и фазовые превращения упругих тел при различных видах напряженного состояния // Тр. мат. ин-та им. В.А. Стеклова. — 1998. — Т. 223. — С. 220-232.

[275] Мясников В.П., Гузев М.А. Геометрическая модель внутренних самоуравновешенных напряжений в твердых телах // Докл. АН. 2001. Т. 380, № 5. — С. 1-3.

[276] Мясников В.П., Гузев М.А., Ушаков A.A. Структурное описание материалов // Изв.вузов. Сев.-Кавк.Регион. Естеств. науки. — 2003. — С. 256-265.

[277] Назыров И.Р., Фрейдин A.B. Фазовые превращения при деформировании твердых тел в модельной задаче об упругом шаре // Изв. РАН. МТТ_ _ 1998. _ Т 5_ _ с. 52-71.

[278] Осмоловский В.Г. Вариационная задача о фазовых переходах в механике сплошной среды. — СПб : Изд-во СПб ун-та, 2000.

[279] П.М. Григорьева, Вильчевская E.H. Решение связанных краевых задач механохимии // Неделя науки СПбПУ. Материалы научной конферен-

ции с международным участием. Лучшие доклады. 2018. С. 218 222.

[280] Р.Л. Салганик. Механика тел с большим числом трещин // Изв. АН СССР, МТТ. - 1973. - Т. 4. - С. 149-158.

[281] Работнов Ю.Н. О механизме длительного разрушения // Вопросы прочности материалов и конструкций. — 1959. — С. 5-7.

[282] Работнов Ю.Н. Избранные труды. Проблемы механики деформируемого твердого тела. — М.: Наука, 1966. — С. 196.

[283] Трускиновский Л.М. Равновесные межфазные границы // Докл. АН СССР. - 1982. - Т. 265, № 2. - С. 306-310.

[284] Трускиновский Л. Динамика неравновесных фазовых границ в теп-лопроводящей нелинейно-упругой среде // II.M.M. 1987. Т. 51. С. 1009-1019.

[285] Устинов К.Б. О вычислении энергии неоднородности: асимптотики и область их применения // Изв. АН СССР, МТТ. — 2010. — Т. 2. — С. 103 ИЗ.

[286] Фомичева М.А., Вильчевская E.H. Моделирование процесса дробления порошковых материалов в рамках пространственного описания // Неделя науки СПбПУ. Материалы научной конференции с международным участием. Лучшие доклады. — 2018. — С. 190-195.